Chủ đề 09 chiều dài lò xo image marked image marked

CHỦ ĐỀ 9: CHIỀU DÀI LÒ XO
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 o  0

 o 

mg
g
 2
k


 o 

mg sin  g sin 

k
2

▪ Chiều dài lò xo khi vật ở vị trí cân bằng:  vtcb   0   o
▪ Chiều dài ở li độ:    0   o  x (chiều (+) hướng từ trên xuống)
   min

  max
 max   0   o  A  vtcb
2


 min   0   o  A  A   max   min


2

 Trường hợp A   0  Khi dao động lò xo luôn bị dãn
Dãn nhiều nhất (khi vật cao nhất):  0  A
Dãn nhiều nhất (khi vật thấp nhất)  0  A .
 Trường hợp A   0  Khi dao động lò xo vừa dãn vừa nén
Nén nhiều nhất (khi vật cao nhất): A   0

Đặt mua file Word tại link sau:
/>Không biến dạng khi: x   0
Dãn nhiều nhất (khi vật thấp nhất):  0  A .
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: CLLX dao động theo phương thẳng đứng: x  5cos 10 t  cm . Chiều dương hướng xuống. Cho

m  100 g ,  0  30cm,  2  10 .


a) Tính  0 , k .
b) Tính  khi vật dao động được T/3.
c) Tính  khi vật có vận tốc 25 2 m/s.
a)  o 

g



2



10

10 

2

 0, 01m  1cm

k  m 2  0,1. 10   100 N / m
2

b) Ban đầu t  0,   0 : Vật đang ở biên dương.
Sau T/3 vật quay được góc 120 và có x = -2,5 cm.

    o   o  x  30  1  2,5  28,5cm
2

2
 25 2 
v
c) x   A      52  
  2,5 2cm
 
 10 
2

    o   o  x  30  1  2,5 2  31  2,5 2cm .

Ví dụ 2: [Trích đề thi đại học năm 2012]. Tại nơi có gia tốc trọng trường là g, một con lắc lò xo treo
thẳng đứng đang dao động điều hòa. Biết tại vị trí cân bằng của vật độ dãn của lò xo là  . Chu kì dao

động của con lắc này là:
A. 2

g


B.

1
2

g


C.

1
2


g

D. 2


g

Lời giải:
Tại VTCB lực đàn hồi cân bằng với trọng lực của vật nên:
Fdh  P  k .  mg 

m
g
m 
 2

. Do đó T  2
. Chọn D
k

k
g

Ví dụ 3: Một con lắc lò xo trong quá trình dao động điều hòa có chiều dài biến thiên từ 16cm đến 22cm.
Biên độ dao động của con lắc là:
A. 2cm

B. 3cm

C. 4cm

D. 6cm

Lời giải:
Ta có biên độ dao động của con lắc: A 

 max   min
 3cm . Chọn B
2

Ví dụ 4: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng và dao động điều hòa, trong khoảng thời gian một phút nó thực
hiện được 30 dao động. Trong quá trình dao động chiều dài lò xo biến thiên từ 20cm đến 28 cm. Lấy


g   2 m / s 2 . Chiều dài tự nhiên của lò xo là:
A.  0 =24,5 cm.

B.  0 =23,5 cm.

C.  0 =24 cm.

D.  0 =23 cm.

Lời giải:
Ta có: Chiều dài lò xo ở vị trí cân bằng là  vtcb 
Mặt khác:  

g



2



g

 2 f 

2



g
N

 2 
 t 

2

 max   min
 24cm .
2

 1 cm    0   cb    23(cm) . Chọn D.



Ví dụ 5: Con lắc lò xo treo thẳng đứng, dao động điều hòa với phương trình x  4 cos  5 t   cm . Chiều
3

dài tự nhiên của lò xo là  0  20cm , lấy g   2 m / s 2 . Chiều dài nhỏ nhất và lớn nhất của lò xo trong quá
trình dao động là:
A.  max  28cm;  min  20cm

B.  max  28cm;  min  24cm .

C.  max  24cm;  min  16cm

D.  max  22cm;  min  14cm .
Lời giải:

Ta có: A  4cm,   5 rad / s .
Mặt khác:  

mg
g
10
 2 
 0, 04m  4cm .
k

25 2

Chiều dài cực đại của lò xo là:  max   0    A  28cm .
Chiều dài cực tiểu của lò xo là  min   0    A  20cm . Chọn A.
Ví dụ 6: Một con lắc lò xo nhẹ treo thẳng đứng. Khi treo vật m1  300 g vào lò xo thì lò xo dài 20cm. Khi
treo vật m2  800 g vào lò xo đó thì dài 25cm. Lấy g  10m / s 2 . Độ cứng lò xo là:
A. 20 N/m.

B. 80 N/m.

C. 10 N/m.

D. 100 N/m.

Lời giải:
Ta có: 1   0  1   0 
Suy ra: 1   2 

m1 g
mg
;2  0  2
k
k

 m1  m2  g  k  m1  m2 g  100 N / m . Chọn D.
k

1   2

Ví dụ 7: Một lò xo chiều dài tự nhiên  0  30cm treo thẳng đứng, đầu dưới có một vật khối lượng m. Khi
vật ở vị trí cân bằng thì lò xo dãn ra 10cm. Chọn trục Ox thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ



tại vị trí cân bằng. Kích thích cho quả cầu dao động với phương trình x  3cos  t   . Chiều dài của lò
4

xo khi quả cầu dao động được một phần tư chu kì từ lúc bắt đầu dao động là :


A.   43cm.

B.   37cm.

C.   37,88cm.

D.   42,12 cm.

Lời giải:
Tại thời điểm ban đầu ta có :   
Sau

 x  1,5 2

4
v  0



T T T
  t
4 8 8  A 2 2  A A 2 2 


Trong thời gian



A 2
3T
 1,5 2
vật đến điểm có li độ x 
2
8

Khi đó chiều dài lò xo là:  x   0    x  42,12cm . Chọn D.
Ví dụ 8: Lò xo có chiều dài tự nhiên  0  30cm treo thẳng đứng dao động với phương trình

2

x  10 cos  20t 
3



2
 cm. Chọn chiều dương hướng lên và lấy g  10m / s . Chiều dài lò xo ở thời điểm


t=0,2s là
A. 39,2 cm.

B. 45,8 cm.

C. 35,8 cm.

D. 29,2 cm.

Lời giải:
Ta có:  

g

2

 2,5cm

2


Tại thời điểm t = 0,2s ta có: x  4 cos  20.0, 2 
3



  3,3cm


Do chọn chiều dương hướng lên nên chiều dài của lò xo tại thời điểm này là  x   0    3,3  35,8cm .
Chọn C.
Ví dụ 9: Một con lắc lò xo dao động theo phương thẳng đứng. Nâng vật đến vị trí lò xo không biến dạng
rồi thả nhẹ để vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Biết khi vật có vận tốc 24m/s thì gia tốc
bằng 2m/s2. Tần số góc dao động có giá trị bằng
A. 3 rad/s

B. 2 3 rad/s

C. 5 rad/s

D. 2 rad/s

Lời giải:
Tại thời điểm ban đầu lò xo không bị biến dạng :   A .
Khi đó:   A 
Lại có x 

a


2



g

2
2

v2





; A2  x 2 
2

2



100



4



4



4



24



2

  2  4    2  rad / s  . Chọn D.

Ví dụ 10: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, vật treo có khối lượng m. Kéo vật xuống dưới vị trí cân bằng
3cm rồi truyền cho nó vận tốc 40 cm/s thì nó dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của
lò xo và khi vật ở vị trí thấp nhất, lò xo giãn 15 cm. Lấy gia tốc trọng trường g  10m / s 2 . Gia tốc cực đại


của vật là:
A. amax  50cm / s 2

B. amax  5m / s 2

C. amax  1,57 m / s 2

D. amax  49,34m / s 2

Lời giải:
Ở vị trí cân bằng lò xo dãn:  

g

2

.

Ở vị trí thấp nhất lò xo dãn một đoạn:  max    A 
Suy ra

1

2

2

 A  0,15 .

 0, 015  0,1A .

Mặt khác theo hệ thức độc lập ta có: x 2 
 A

g

v2

2

 A2  0, 032  0, 42  0, 015  0,1A   A2

1
 5cm  amax   2 A  102.0, 05  5m / s 2 . Chọn B.
20

Ví dụ 11: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Giữ vật theo phương thẳng đứng làm lò xo dãn 4cm rồi truyền
cho nó vận tốc 80cm/s hướng lên để vật dao động điều hòa. Biết rằng tại vị trí cao nhất lò xo không nén
giãn. Lấy g  10m / s 2 , biên độ dao động của vật là:
A. 4 3 cm

B. 5cm

C. 10cm

D. 4 2 cm

Lời giải:
Do ở vị trí cao nhất lò xo không nén không giãn nên   A 

g

2

Khi lò xo dãn 4(cm) vật cách vị trí cân bằng A- 0,04 (m)
Ta có hệ thức độc lập: x 2 
Do đó  A  0, 04  
2

v2



2

v2



2

 A2 .

 A2   A  0, 04   0,82.
2

A
 A2  A  10cm. Chọn C.
g

Ví dụ 12: Lần lượt treo vào hai vật có khối lượng m1  4m và m2  5m vào một lò xo treo thẳng đứng thì
khi cân bằng, lò xo có chiều dài lần lượt là 30,5cm và 34,5 cm. Lấy g   2  10m / s 2 chu kì dao động của
con lắc khi treo đồng thời hai vật là
A. T = 1s

B. T = 1,2s

C. T = 1,5s
Lời giải:

Khi treo vật nặng khối lượng m ta có: 4mg  k  1   0 
Khi treo vật nặng khối lượng 3m ta có: 5mg  k   2   0 
Suy ra mg  k   2  1  .

D. T = 2s


Chu kì khi treo 2 vật T  2

 
9m
m
 6
 6 2 1  1, 2 s . Chọn B.
k
k
g

Ví dụ 13: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Người ta kích thích cho quả nặng dao động điều hòa theo
phương thẳng đứng xung quanh vị trí cân bằng. Biết thời gian quả nặng đi từ vị trí thấp nhất đến vị trí cao
nhất cách nhau 10cm là  / 5 (s). Tốc độ khi vật qua vị trí cân bằng là
A. v = 50 cm/s

B. v = 25 cm/s

C. v = 50  cm/s

D. v = 25  cm/s

Lời giải

 max   0   0  A
Ta có: 
  max   min  2 A  10  A  5cm .
 min   0   0  A
Thời gian vật nặng đi từ vị trí có biên độ - A đến vị trí có biên độ A là t 
Khi đó t 





 


5

.

 
  5 . Vậy tốc độ cực đại vmax  A.  5.5  25cm / s . Chọn B.
t 
5

Ví dụ 14: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Chiều dài tự nhiên của lò xo là

 0  30cm , trong khi vật dao động, chiều dài lò xo biến thiên từ 32 cm đến 38 cm. Độ biến dạng của lò xo
tại vị trí cân bằng là
A.  0  6cm

B.  0  4cm

C.  0  5cm

D.  0  3cm

Lời giải:

 min   cb  A  cb  A  38  cb  35
Ta có: 


  0   cb   0  5cm . Chọn C.
A  3
 max   cb  A  cb  A  32



Ví dụ 15: Con lắc lò xo treo thẳng đứng, dao động điều hòa với phương trình x  5cos  4 t   cm .
3

Chiều dài tự nhiên của lò xo là 40 cm. Tính chiều dài của lò xo khi vật dao động được

4
T , kể từ thời điểm
3

t = 0, chọn chiều dương hướng lên?
A. 43,75 cm

B. 51,25cm

C. 48,25 cm

D. 46,25cm

Lời giải:

2
 0, 0625m  6, 25cm .
Tần số góc   4   0  2 
 16 2
g

 5

x

5.cos

1

A
3 2
+) Tại thời điểm t= 0, ta có 
 vật ở vị trí M1 : có li độ x  di chuyển về VTCB.
2
v  5.sin   0


3
+) Tại thời điểm t = t2, ta có t 

4T
2 4T 8
   .t 
.

 vật ở vị trí M2 có li độ x = -A.
3
T 3
3


Vậy chiều dài của lò xo cần tính là  4T   0   0  x  40  6, 25  5  51, 25cm . Chọn B.
3

Ví dụ 16: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Chiều dài tự nhiên của lò xo là

 0  30cm , còn trong khi dao động chiều dài biến thiên từ 32 cm đến 38 cm. Lấy g  10m / s 2 , tốc độ cực
đại của vật nặng là:
A. vmax  60 2  cm / s 

B. vmax  30 2  cm / s 

C. vmax  30  cm / s 

D. vmax  60  cm / s 
Lời giải:

 min   cb  A  cb  A  38  cb  35
Ta có: 


  0   cb   0  5cm .
A  3
 max   cb  A  cb  A  32
Tần số góc dao động của vật là:  

g
10

 10 2 rad/s.
 0
0, 05

Vậy tốc độ cực đại của vật nặng là vmax  A.  3.10 2  30 2cm / s . Chọn B.
Ví dụ 17: Một CLLX dao động theo phương thẳng đứng, k = 62,5 N/m; m=100g. Giữ vật theo phương
thẳng đứng làm lò xo dãn 3,2 cm rồi truyền cho nó vận tốc 60 cm/s hướng lên để vật dao động điều hòa.
Biên độ dao động của vật là:
A. 3 3 cm

C. 2 2 cm

B. 0,8 13 cm

D. 2,54cm

Lời giải:
Ta có:  0 

mg
k
 0, 016(m)  1, 6  cm  ;  
 25  rad / s 
k
m

Khi lò xo dãn 3,2 (cm) vật cách vị trí cân bằng 3,2 – 1,6 = 1,6 (cm)
Ta có: A  x 
2

v2



2

 1, 62  2, 42  0,8 13  cm  . Chọn B.

Ví dụ 18: Con lắc lò xo đang dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ A  4 2  cm  . Biết lò xo
có độ cứng k = 50 (N/m), vật dao động có khối lượng m = 200 (g), lấy  2  10 . Khoảng thời gian trong
một chu kì để lò xo dãn một lượng lớn hơn 2 2 cm là:
A. 2/15s

B. 1/15s

C. 1/3s
Lời giải:

D. 0,1s


Để dãn lớn hơn 2 2cm 
t 

A
A
thì vật có li độ nằm trong khoảng x  đến A
2
2

T T T 1
m 1
0, 2 2
   2
 2
  s  . Chọn A.
6 6 3 3
k 3
50 15

Ví dụ 19: Một lò xo nhẹ có chiều dài tự nhiên 30 cm có độ cứng là k, đầu trên cố định, đầu dưới gắn vật có
khối lượng m sao cho vật dao động điều hòa trên mặt phẳng nghiêng so với mặt phẳng ngang một góc 30
với phương trình x  6 cos 10t  5 / 6  cm  (t đo bằng giây) tại nơi có gia tốc trọng trường g  10  m / s 2  .
Trong quá trình dao động chiều dài cực tiểu của lò xo là
A. 29 cm

B. 25 cm

C. 31 cm

D. 36 cm

Lời giải:

Độ dãn của lò xo thẳng đứng khi vật ở VTCB:
 0 

mg sin  g sin 

 0, 05  m 
k
2

Chiều dài lò xo tại VTCB:  cb   0   0  35  cm  (  0 là chiều dài tự nhiên).
Chiều dài cực tiểu (khi vật ở vị trí cao nhất):  min   cb  A  29  cm  . Chọn A.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng ở nơi có gia tốc trọng trường là g. Khi cân bằng lò xo dãn một
đoạn  0 . Tần số góc dao động của con lắc được xác định bằng công thức:
A.  

 0
g

B.   2

g
 0

C.  

1
2

 0
g

D.  

g
 0

Câu 2: Một con lắc lò xo gồm vật khối lượng m = 1kg gắn với lò xo độ cứng k = 100 N/m có thể dao
động trên mặt phẳng nằm ngang không ma sát. Kéo vật dịch khỏi vị trí cân bằng một đoạn 10 cm theo
phương trục lò xo và truyền cho vật tốc độ v = 1m/s hướng về vị trí cân bằng. Vật sẽ dao động với biên
độ:
A. A = 15 cm

B. A = 10 cm

C. A = 14,14 cm

D. A = 16 cm


Câu 3: Một con lắc lò xo có k = 100 N/m, quả nặng có khối lượng m = 1kg. Vật dao động điều hòa với
biên độ dao động A = 10 cm. Khi đi vật có tốc độ v = 80 cm/s thì nó cách VTCB một đoạn là
A. 10 cm

B. 5 cm

C. 4 cm

D. 6 cm

Câu 4: Một con lắc lò xo có k = 20 N/m và m = 0,2 kg dao động điều hòa. Tại thời điểm t, vận tốc và gia
tốc của viên bi lần lượt là 20 cm/s và 2 3  m / s 2  . Biên độ dao động của vật là:
A. 4 cm

B. 16 cm

C. 4 3 cm

D. 10 3 cm

Câu 5: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có m = 100g, k = 100 N/m. Kéo vật từ vị trí cân bằng xuống
dưới một đoạn 3cm và tại đó truyền cho nó một vận tốc v  30 cm/s (lấy  2  10 ). Biên độ dao động
của vật là:
A. 2cm

B. 2 3 cm

D. 3 2 cm

C. 4 cm

Câu 6: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa. Vật nặng có khối lượng m = 100 (g), lò xo
có độ cứng k = 50 N/m. Lấy g  10m / s 2 , tại vị trí cân bằng lò xo biến dạng một đoạn là:
A.  0  5 cm

B.  0  0,5 cm

C.  0  2 cm

D.  0  2 mm

Câu 7: Một con lắc lò xo dao động thẳng đứng. Vật có khối lượng m = 0,2kg. Trong 20 (s) con lắc thực
hiện được 50 dao động. Độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng là (lấy g = 10 m/s2)
A.  0  6 cm

B.  0  2 cm

C.  0  5 cm

D.  0  4 cm

Câu 8: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa. Chiều dài tự nhiên của lò xo là  0  30 cm,
vật nặng có khối lượng m = 200 (g), lò xo có độ cứng k = 50 N/m. Lấy g = 10 m/s2, chiều dài lò xo ở vị
trí cân bằng là:
A.  cb  32 cm

B.  cb  34 cm

C.  cb  35 cm

D.  cb  33 cm

Câu 9: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa. Vật nặng có khối lượng m = 500 (g), lò xo
có độ cứng k = 100 N/m. Lấy g = 10 m/s2, chu kì dao động của vật là

A. T = 0,5 (s)

B. T = 0,54 (s)

C. T = 0,4 (s)

D. T = 0,44 (s)

Câu 10: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng ở nơi có gia tốc trọng trường là g. Khi cân bằng lò xo dãn một
đoạn  0 . Tần số dao động của con lắc được xác định bằng công thức:
A. f  2

 0
g

B. f 

1
2

g
 0

C. f 

1
2

 0
g

D. f  2

g
 0

Câu 11: Một vật khối lượng m = 200 (g) được treo vào lò xo nhẹ có độ cứng k = 80 N/m. Từ vị trí cân
bằng, người ta kéo vật xuống một đoạn 4 cm rồi thả nhẹ. Khi qua vị trí cân bằng vật có tốc độ là
A. v = 40 cm/s

B. v = 60 cm/s

C. v = 80 cm/s

D. v = 100 cm/s

Câu 12: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Chiều dài tự nhiên của lò xo là

 0  30 cm, trong quá trình dao động, chiều dài của lò xo biến thiên từ 34 cm đến 44 cm. Chiều dài lò xo
tại vị trí cân bằng là:


A.  cb  36 cm

B.  cb  39 cm

C.  cb  38 cm

D.  cb  40 cm



Câu 13: Con lắc lò xo treo thẳng đứng, dao động điều hòa với phương trình x  5cos  4 t   cm .
3

Chiều dài tự nhiên của lò xo là 40 cm. Tính chiều dài của lò xo khi vật dao động được

2
T , kể từ thời
3

điểm t = 0, chọn chiều dương hướng xuống?
A. 43,5 cm

B. 48,75 cm

C. 43,75 cm

D. 46,25 cm

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Vì con lắc treo thẳng đứng, ta có  0 

g



 

2

g
. Chọn D.
 0

Câu 2: Ta có   10  rad / s 
Áp dụng hệ thức độc lập x 2 
Câu 3: Ta có  

v2

2

 A  A  102 

1002
 10 2 cm. Chọn A
102

k
 10  rad / s 
m
2

2

v
 80 
Áp dụng hệ thức độc lập x     A2  x  102     6cm . Chọn D
 

 10 
2

Câu 4: Ta có  

k
 10  rad / s 
m
2

2
2
2
v  a 
 20   200 3 
2
Áp dụng hệ thức độc lập     2   A  A     
  4cm . Chọn A
2
   
 10   10 

Câu 5: Ta có  

k
 10  rad / s 
m
2

2

v
 30 
Áp dụng hệ thức độc lập x     A2  A  32  
  3 2cm . Chọn D
 
 10 
2

Câu 6: Ta có  

k
50
g
10

 10 5 rad / s   0  2 
m
0,1

10 5





2

 0, 02m  2cm .

Chọn C.
Câu 7: Chu kì dao động của vật là T  0, 4 s   
Độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng là  0 

g



2



2 2

 5 rad / s
T
0, 4

10

 5 

2



10
 0, 04m  4cm . Chọn D.
25.10

Câu 8: Ta có  

k
50
g
10

 5 10 rad / s   0  2 
m
0, 2

5 10





2

 0, 04m  4cm .

Chiều dài lò xo khi ở vị trí cân bằng là  cb   0   0  30  4  34cm . Chọn B.
Câu 9: Ta có:  

k
100
2
2


 10 2 rad / s  T 

 0, 44 s . Chọn D.
m
0,5
 10 2

Câu 10: Tần số dao động của vật là f 
Câu 11: Ta có :  

1
2

g
. Chọn B.
0

k
80

 20 rad / s
m
0, 2

Biên độ dao động A  4cm  vmax  A.  80cm / s . Chọn C.

 min   cb  A  cb  A  44
  39
Câu 12: Ta có : 
. Chọn B.


  cb
A  5
 max   cb  A  cb  A  34
Câu 13: Tần số góc   4   0 

g

2



2
 0, 0625m  6, 25cm
16 2

 5

 x1  5cos 3  2
A
 vật ở vị trí M1 : có li độ x  di chuyển về VTCB.
+) Tại t = 0, ta có: 
2
v  5sin   0

3
+) Tại t  t2 , ta có t 

2T
2 2T 4

A
   .t 
.

 vật ở vị trí M2 có li độ x  .
3
T 3
3
2

Vậy chiều dài của lò xo cần tính là  2T   0   0  x  40  6, 25 
3

5
 48, 75cm . Chọn B.
2