Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán tổ hợp – xác suất

Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

1.MỞ ĐẦU:
1.1. Lý do chọn đề tài:
Tổ hợp – Xác suất là một phần quan trọng, mới lạ khác với các kiến thức đại
số khác trong chương trình toán học THPT. Các dạng bài về quy tắc đếm, tổ hợp,
chỉnh hợp, xác suất rất đa dạng và dễ nhầm lẫn. Qua thực tiễn qua trình dạy học
đồng thời thông qua tìm hiểu, điều tra từ giáo viên và học sinh ở trong trường
THPT Tĩnh Gia 2, tôi thấy giáo viên khó khăn trong việc đưa ra hệ thống bài tập về
Tổ hợp – Xác suất phong phú, đa dạng sao cho học sinh có thể nhận định và đưa ra
cách giải chính xác. Học sinh thì vì hay gặp sai lầm trong khi đưa ra lời giải, hoặc
chưa xác định đúng ý tưởng của bài đã vội kết luận lời giải, một số khác thấy mơ
hồ, rối rắm khi thấy các dữ kiện nhiều, phức tạp, từ đó nhụt ý chí, dẫn đến ngại suy
nghĩ và đưa ra ý tưởng giải bài tập loại này. Mặt khác, trong các đề thi đại học từ
năm 2014 trở về trước, và trong các kỳ thi học sinh giỏi tỉnh Thanh hóa và các tỉnh
khác, bài toán này là một trong những bài trọng điểm để phân loại năng lực học
sinh, khi giải được loại toán này các em mới đạt vào top khá giỏi. Để giúp học sinh
có thể hệ thống và nắm vững các cách tư duy giải các dạng bài Tổ hợp- Xác suất
chương trình toán 11 nên tôi đã nghiên cứu ra đề tài này.
Đặc biệt năm nay được phân công dạy lớp chọn số 1, đảm nhiệm đội tuyển
học sinh giỏi, qua nghiên cứu giảng dạy tôi thấy việc triển khai sáng kiến “ Hướng
dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất ” là sát thực, phu
hợp và cần thiết với việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh khá giỏi và ôn luyện cho
học sinh thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng trong kỳ thi THPT QG, đặc biệt giúp bản
thân tôi ôn luyện cho đội tuyển học sinh giỏi của trường tham gia kỳ thi học sinh
giỏi cấp tỉnh. Do vậy tôi chọn đề tài này để nghiên cứu nhằm phần nào đáp ứng yêu
cầu trên và góp phần vào nâng cao chất lượng dạy học cho nhà trường .
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Trang bị cho học sinh về một số lý thuyết, một số dạng và cách giải bài toán Tổ
hợp - Xác suất.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng

cao kỹ năng tư duy sáng tạo.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Các bài tập về Tổ hợp – Xác suất nằm trong chương trình toán học 11 trung học
phổ thông, trong các đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng .
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Tích lũy qua nhiều năm giảng dạy phần này.
- Thông qua việc kiểm tra đánh giá năng lực tiếp thu của học sinh.
- Thông qua trao đổi góp ý và học tập kinh nghiệp từ các đồng nghiệp.
- Thông qua sách giáo khoa, sách bài tập, hệ thống bài tập và tài liệu tham khảo.

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

1


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

- Thông qua các đề thi học sinh giỏi lớp 11, 12 tỉnh thanh hóa các năm 2011 đến
nay của tỉnh Thanh Hóa và các đề thi học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 của các trường
THPT trên toàn quốc.
- Thông qua các đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng từ năm 2015 đến nay .
- Thông qua các đề thi thử đại học của các trường THPT trên toàn quốc.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Căn cứ vào lý thuyết chương II: ’’ Tổ hợp – Xác suất’’ trong chương trình đại số và
giải tích 11 cơ bản . Tôi tóm tắt nội dung lý thuyết như sau:
2.1.1. Hai quy tắc đếm:
2.1.1.1. Quy tắc cộng:
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động
này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trung với cách

nào của hành động thứ nhất thì công việc đó m+n cách thực hiện.
- Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.
2.1.1.2. Quy tắc nhân:
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực
hiện hành động thứ nhất, và ứng với mỗi cách thực hiện đó có n cách thực hiện
hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.
- Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.
2.1.2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp:
2.1.2.1. Hoán vị:
(n ≥ 1)

Cho tập hợp A gồm n phần tử
. Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử
của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó
- Số các hoán vị của n phần tử :
2.1.2.2. Chỉnh hợp:

Pn = n ! = 1.2.3.4...( n − 1).n

.

(n ≥ 1)

Cho tập hợp A gồm n phần tử
. Kết quả của việc lấy k phần tử của tập hợp
A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n
phần tử đã cho.
- Quy ước:

0! = 1

Ank =

- Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử :

n!
( n − k )!

.

Pn = A

- Tính chất:
2.1.2.3. Tổ hợp:

n
n

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

2


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.
(n ≥ 1)

Cho tập hợp A gồm n phần tử
. Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi
là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Cnk =

- Số các tổ hợp chập k của n phần tử :
C =C
k
n

n−k
n

k −1
n −1

C

+C

k
n −1

n!
k !.(n − k )!

.

=C

k
n

- Tính chất:

;
.
2.1.3. Xác suất của biến cố:
2.1.3.1. Phép thử, không gian mẫu, biến cố:
- Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó,
mặc du đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.
- Tập hợp các kết quả có thể thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu
của phép thử và kí hiệu là

Ω

.

- Số phần tử của không gian mẫu :

n ( Ω)

- Biến cố là tập con của không gian mẫu. Tập
cố chắc chắn.
2.1.3.2. Các phép toán trên các biến cố:
- Biến cố đối của biến cố A là
- Hợp của hai biến cố A, B là
- Giao của hai biến cố A, B là

∅

là biến cố không thể, tập

Ω

là biến

A=Ω\ A
A∪ B
A∩ B

A∩ B = ∅

Nếu
thì A và B xung khắc.
2.1.3.3. Xác suất của biến cố:
Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu
số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số
P( A) =

cố A, kí hiệu là
- Tính chất:

n( A)
n (Ω )

Ω

chỉ có một

là xác suất của biến

n( A)
n (Ω )

P(∅) = 0; P(Ω) = 1

0 ≤ P( A) ≤ 1
P( A) = 1 − P ( A)

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

3


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

Nếu A và B xung khắc thì

P( A ∪ B ) = P ( A) + P( B)
P( A.B) = P ( A).P( B)

Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì
Từ cơ sở lý thuyết về số phức tôi định hướng giải quyết bài toán tổ hợp xác
suất trong các tiết ôn tập:
- Phân loại các dạng bài tập Tổ hợp – Xác suất.
- Nêu cách định hướng giải cho từng loại bài toán Tổ hợp – Xác suất.
Với đề tài " Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp –
Xác suất.'' sẽ giúp học sinh giải quyết nhanh chính xác trước một bài toán Tổ hợp –
Xác suất trong chương trình Đại số và giải tích 11.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Trong quá trình ôn tập thi học kỳ 2, ôn thi HSG lớp 11 cấp trường cho học
sinh lớp 11 phần Tổ hợp – Xác suất. Học sinh chỉ mới giải quyết được một số bài
toán dễ , khi gặp một số bài toán yêu cầu cao hơn đa số các em chưa đưa ra được
hướng giải quyết ngay, hoặc đưa ra lời giải sai, hoặc có em đưa ra được hướng giải

quyết thì giải quyết chậm và trưa triệt để bài toán.
Trước khi áp dụng đề tài, tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút về Tổ
hợp – Xác suất. Kết quả :
9-10
7-8
5-6
3-4
0-2
Sĩ
Lớp
số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11A1

45

1

2,2

11

24,5

23

51,1

10

22,2

0

0

11A2

42

0

0

5

11,9

14

33,3

20

47,6

3

7,2

Với các vấn đề của thực trạng trên, tôi đã mạnh dạn triển khai cho các em
mảng kiến thức này nhằm giải tỏa bớt những bất cập nói trên.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng trong sáng kiến
kinh nghiệm:
2.3.1. Giải pháp:
- Tổ chức 3 buổi (9 tiết) ôn tập cho học sinh ôn thi THPT QG, bồi dưỡng học sinh
khá giỏi.
- Nêu các dạng bài toán về Tổ hợp – Xác suất , đưa ra cách giải cho từng dạng, hệ
thống các bài tập tự luận cho học sinh rèn luyện kỹ năng làm bài.
- Nêu các cách sử dụng máy tính casio bỏ túi để tính toán nhanh kết quả.
- Cuối chuyên đề cho học sinh làm bài kiểm tra .
2.3.2. Nội dung giải pháp:
Phương pháp chung:
- Xác định được khi nào dùng quy tắc cộng, khi nào dùng quy tắc nhân.

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

4


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

- Khi bài toán có sự sắp xếp thứ tự của tất cả các phần tử một tập hợp thì dùng
hoán vị. Có sự sắp xếp thứ tự một số phần tử thì dùng chỉnh hợp. Nếu chỉ cần chọn
một số phần tử nào đó mà không quan tâm đến thứ tự của chúng thì dùng tổ hợp.
- Đối với bài toán xác suất, xác định đúng không gian mẫu, xác định đúng biến cố.
Đa số đưa về cách tính xác suất cơ bản, nếu biến cố đối dễ xác định hơn chúng ta
nên đưa về tính xác suất của biến cố đối. Nếu xuất hiện biến cố độc lập thì chúng
ta dùng công thức nhân xác suất.
- Nắm vững các dấu hiệu chia hết.
- Đưa về một trong các dạng cơ bản sau.
A. DẠNG BÀI LẬP SỐ, CHỌN SỐ TỰ NHIÊN :
Phương pháp:
- Chọn chữ số có tính chất đặc biệt trong các chữ số cần lập trước, sau đó chúng ta
mới chọn các chữ số còn lại. Chú ý đến vị trí thứ tự của các chữ số, sự giống nhau
và khác nhau của các chữ số. Chữ số đầu tiên có điều kiện khác 0.
- Tránh trường hợp dùng các quy tắc đếp bị trùng lặp khi đó số lượng đếm được sẽ
bị dư ra.
Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau mà chữ số liền trước
lớn hơn chữ số liền sau?
Hướng dẫn: - Số thỏa mãn đề bài chỉ được lập duy nhất từ một bộ số gồm 5 chữ
số bất kỳ
Bài giải:
C105

Chọn ra 5 chữ số bất kỳ có
cách. Mà mỗi bộ 5 chữ số đó lập được duy nhất một
số gồm năm chữ số thỏa mãn chữ số liền trước lớn hơn chữ số liền sau.
C105 = 252

Suy ra có

(số).
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau thỏa mãn:
a) số đó chia hết cho 5.
b) số đó có chứa chữ số 0 nhưng không có chữ số 1.
Hướng dẫn: - Ở câu a, chọn chữ số thỏa mãn dấu hiệu chia hết cho 5 trước.
- Ở câu b, chọn vị trí cho số 0 trước.
Bài giải:
a) Gọi số cần tìm có dạng
Vì

abcdef , ( a ≠ 0; a, b, c, d , e, f

đôi một khác nhau)

f =0
abcdef M5 ⇒ 
f =5

Với

f =0

thì

abcde

có

A95

cách chọn

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

5


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

Với

f =5

thì

abcde

có

8.A84

cách chọn

Vây theo quy tắc cộng thì có
b) Gọi số cần tìm có dạng
Chọn vị trí trong

abcdef

A95 + 8. A84 = 28560

(số)

abcdef , (a ≠ 0; a , b, c, d , e, f

đôi một khác nhau và khác 1)

cho chữ số 0 có 5 cách.

Năm vị trí còn lại chọn từ tập

N \ { 0;1}

có

A85

cách chọn

5. A85 = 33600

Vây theo quy tắc nhân thì có
(số)
Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau trong đó có ba chữ số
chẵn và ba chữ số lẻ.
Hướng dẫn: - Vì chữ số đầu khác 0 nên ta chọn chữ số đứng đầu trước. Sau đó
chọn vị trí cho các chữ số còn lại.
Bài giải:
abcdef , (a ≠ 0; a , b, c, d , e, f

Gọi số cần tìm có dạng
TH1: Với a chẵn thì a có 4 cách chọn
Có
Có

C42

A53

cách chọn hai chữ số chẵn còn lại, và

Theo quy tắc nhân thì có:
TH2: Với a lẻ thì a có 5 cách chọn
Có

3
5

cách chọn vị trí để xếp hai chữ số đó.

cách chọn và xếp 3 chữ số lẻ .
4.C42 . A52 . A53 = 28800

C42

A52

đôi một khác nhau)

cách chọn hai chữ số lẻ còn lại, và

(số)

A52

cách chọn vị trí để xếp hai chữ số đó.

A

Có

cách chọn và xếp 3 chữ số chẵn .

Theo quy tắc nhân thì có:

5.C42 . A52 . A53 = 36000

28800 + 36000 = 64800

(số)

Vậy có tất cả
(số)
Ví dụ 4: Từ hai số 1 và 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm tám chữ số trong đó
không có hai chữ số 1 đứng cạnh nhau.
Hướng dẫn: - Vì số được lập từ hai chữ số nên ta phải chia các trường hợp rồi
chọn vị trí cho nhiều chữ số giống nhau trước.
Bài giải:
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

6


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

⇒

Th1: Số cần lập có tám chữ số 6 Có 1 (số)
Th2: Số cần lập có một chữ số 1 và bảy chữ số 6
⇒

Có 8 cách chọn vị trí cho chữ số 1 Có 8 (số)
Th3: Số cần lập có hai chữ số 1 và sáu chữ số 6
Có

C72

cách chọn vị trí cho hai chữ số 1( hai khoảng trống trong 7 khoảng trống
⇒

giữa, trước và sau khi xếp sáu chữ số sáu) Có
Th4: Số cần lập có ba chữ số 1 và năm chữ số 6
Có

C63

C72

(số)

cách chọn vị trí cho ba chữ số 1( ba khoảng trống trong 6 khoảng trống giữa,
C63

⇒

trước và sau khi xếp năm chữ số sáu) Có
(số)
Th5: Số cần lập có bốn chữ số 1 và bốn chữ số 6
Có

C54

cách chọn vị trí cho bốn chữ số 1( bốn khoảng trống trong 5 khoảng trống

giữa, trước và sau khi xếp bốn chữ số sáu)

⇒

C54

Có

(số)

1 + 8 + C + C + C = 55
2
7

3
6

4
5

Theo quy tắc cộng thì có tất cả:
(số)
Ví dụ 5: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy
chữ số trong đó có hai chữ số 1, hai chữ số 2, các chữ số 3, 4, 5 chỉ có mặt một lần,
đồng thời các chữ số giống nhau thì không đứng cạnh nhau.
Hướng dẫn: - Bài toán này ta dùng biến cố đối. Chọn vị trí cho các chữ số giống
nhau đứng cạnh nhau trước.
Bài giải:
abc de fg

Gọi số cần tìm có dạng
TH1: Lập số tự nhiên gồm bảy chữ số trong đó có hai chữ số 1, hai chữ số 2, các
chữ số 3, 4, 5 có mặt một lần.
C72

Có
cách chọn vị trí cho hai chữ số 1, có
3! cách chọn ba vị trí cho ba chữ số 3, 4, 5.

C52

cách chọn vị trí cho hai chữ số 2 và

C72 .C52 .3! = 1260

Theo quy tắc nhân, trường hợp này có

(số)
TH2: Xét các trường hợp có hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau.
*) Trường hợp hai chữ số một đứng cạnh nhau, hai chữ số hai đứng cạnh nhau. Coi
mỗi cặp là một vị trí, vậy có 5! ( số)

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

7


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

*) Trường hợp hai chữ số một đứng cạnh nhau, hai chữ số hai không đứng cạnh
nhau. Coi cặp hai chữ số 1 là một vị trí.
C62 − 5

Có
cách chọn hai vị trí cho hai chữ số 2 không đứng cạnh nhau.
Có 4! Cách sếp các chữ sô 3, 4, 5 và cặp chữ số 1.
(C62 − 5).4!

Theo quy tắc nhân có
(số)
*) Trường hợp hai chữ số một không đứng cạnh nhau, hai chữ số hai đứng cạnh
nhau. Coi cặp hai chữ số 2 là một vị trí.
C62 − 5

Có
cách chọn hai vị trí cho hai chữ số 1 không đứng cạnh nhau.
Có 4! Cách sếp các chữ sô 3, 4, 5 và cặp chữ số 2.

Theo quy tắc nhân có

(C62 − 5).4!

(số)

Theo quy tắc cộng, trường hợp này có:
Vậy có tất cả:

1260 − 600 = 660

5!+ 2.(C62 − 5).4! = 600

(số)

(số)

A = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9}

Ví dụ 6: Cho tập
, gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm bốn
chữ số được lập từ tập A. Chọn nhẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số được
chọn chia hết cho 6.
(Trích đề thi khảo sát lớp 11 lần 1 -Trường THPT Tĩnh gia 2.)
Hướng dẫn: - Từ dấu hiệu chia hết cho 2 chọn vị trí cho chữ số tận cùng trước.
Sau đó dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 suy ra các cách chọn các chữ số còn lại.
Bài giải:
Số cách lập số tự nhiên gồm bốn chữ số được lập từ tập A là:

9.9.9.9 = 94

n(Ω ) = 9 4

Không gian mẫu:
Gọi biến cố A: “ Số được chọn từ tập S chia hết cho 6”.

Gọi số cần tìm có dạng
⇒d

có 9 cách chọn.

Chọn
Nếu

abcd M2 ⇒ d ∈ { 2, 4, 6,8}
abc d M6 ⇒ 
a + b + c + d M3

ab

có

9.9

cách chọn.

a + b + d = 3k , k ∈ N ⇒ c M3 ⇒ c ∈ { 3, 6,9} ⇒ c

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

có 3 cách chọn.
8


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

Nếu
Nếu

a + b + d = 3k + 1, k ∈ N ⇒ c : 3

dư 2

a + b + d = 3k + 2, k ∈ N ⇒ c : 3

Do đó

ab

⇒ c ∈ { 2;5;8} ⇒ c

dư 1

⇒ c ∈ { 1; 4;7} ⇒ c

có 3 cách chọn.
có 3 cách chọn.

c

bất kỳ thì có 3 cách chọn.

Theo quy tắc nhân:

n( A) = 4.9.9.3 = 972

P( A) =

n( A) 4
=
n(Ω) 27

Vậy xác suất của biến cố A là:
Ví dụ 7: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm sáu chữ số. Chọn nhẫu nhiên một số
từ S. Tính xác suất để số được chọn gồm sáu chữ số khác nhau trong đó hai chữ số
kề nhau không cung là số lẻ.
(Trích đề thi khảo sát HSG lớp 11 lần 2 -Trường THPT Tĩnh gia 2.)
Hướng dẫn:
- Từ điều kiện đề bài cho biết tổng số chữ số lẻ có trong số cần lập là bao nhiêu.
Từ các trường hợp chọn chữ số đầu chẵn hay lẻ rồi chọn vị trí cho các chữ số lẻ
không cạnh nhau
Bài giải:
Số cách lập số tự nhiên gồm sáu chữ số là:

9.10.10.10.10.10 = 9.105

n(Ω) = 9.105

Không gian mẫu:
Gọi biến cố A: “ Số được chọn từ tập S gồm sáu chữ số khác nhau trong đó hai chữ

số kề nhau không cung là số lẻ.”.
abcdef , (a ≠ 0; a, b, c, d , e, f

Gọi số cần tìm có dạng
đôi một khác nhau)
Để thỏa mãn số được chọn gồm sáu chữ số khác nhau trong đó hai chữ số kề nhau
không cung là số lẻ thì trong số này có không quá 3 chữ số lẻ.
Th1: Có một chữ số lẻ và năm chữ số chẵn.
Nếu
Nếu

a

a

lẻ thì có 5! cách xếp 5 chữ số chẵn
chẵn thì có

a

⇒

có 5! (số)

có 4 cách chọn. Có 5 cách chọn một chữ số lẻ, 5 cách chọn vị

trí để xếp chữ số lẻ đó. Có 4! cách sắp xếp 4 chữ sô chẵn còn lại.
Trường hợp này có : 5!+5.5.4!=3000 (số)
Th2: Có hai chữ số lẻ và bốn chữ số chẵn.

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

⇒

có 5.5.4!

9


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

Nếu

a

lẻ thì

còn lại, có
Nếu

a

có 5 cách chọn. Có 4.4 cách chọn và xếp một vị trí cho chữ số lẻ

cách chọn và xếp 4 chữ số chẵn

chẵn thì có
A52 .6

nhau có

⇒

trống.

A54

a

a

⇒

có

5.4.4. A54 = 9600

(số)

có 4 cách chọn. Chọn 2 số lẻ và xếp vào hai vị trí không kề

cách, 3 số chẵn còn lại có

A43

cách chọn và xếp vào các vị trí còn

4. A .6. A = 11520
2
5

có

4
5

9600 + 11520 = 21120

Trường hợp này có :
(số)
Th3: Có ba chữ số lẻ và ba chữ số chẵn .
Nếu

a

lẻ thì

a

có 5 cách chọn. Có
3
5

A42 .3

cách chọn và xếp hai vị trí không kề nhau

A

cho chữ số lẻ còn lại, có
⇒

cách chọn và xếp 3 chữ số chẵn.

5.C .3. A = 10800
2
4

có

Nếu

a

3
5

chẵn thì có
3
5

a

(số)
có 4 cách chọn. Chọn 3 số lẻ và xếp vào ba vị trí không kề

A

nhau có
⇒

cách, 2 số chẵn còn lại có

A42

cách chọn và xếp vào các vị trí còn trống.

4. A . A = 2880

có

3
5

2
4

Trường hợp này có :
Theo quy tắc cộng:

10800 + 2880 = 13680

(số)

n( A) = 3000 + 21120 + 13680 = 37800

P( A) =

n( A)
21
=

n(Ω) 500

Vậy xác suất của biến cố A là:
Ví dụ 8: Ba bạn Cường, Lương, Tâm mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự

[ 1;19]

nhiên thuộc đoạn
. Tính xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3.
( Trích đề thi THPT QG năm 2019. BGD&ĐT)
Hướng dẫn: - Từ dấu hiệu chia hết cho 3, dựa vào dấu hiệu số dư một số bất kỳ
chia cho 3 để xét các trường hợp.
Bài giải:
n(Ω) = 19.19.19 = 6859

Mỗi bạn có 19 cách viết một số. Không gian mẫu:
Gọi biến cố A: “ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3.”
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

10


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

[ 1;19]

Xét trên đoạn
có sáu số tự nhiên chia hết cho 3, bảy số tự nhiên chia cho 3 dư
1 và sáu số tự nhiên chia cho 3 dư 2.
Biến cố A xảy ra các trường hợp sau:

TH1: Cả ba bạn đều viết số chia hết cho 3

⇒

TH2: Cả ba bạn đều viết số chia cho 3 dư 1

có

⇒

6.6.6 = 216

có

⇒

(cách)

7.7.7 = 343

6.6.6 = 216

(cách)

TH3: Cả ba bạn đều viết số chia cho 3 dư 2
có
(cách)
TH4: Một bạn viết số chia hết cho 3, một bạn viết số chia cho 3 dư 1, một bạn viết
số chia cho 3 dư 2

⇒

Theo quy tắc cộng:

có

6.7.6.3! = 1512

(cách)

n( A) = 216 + 343 + 216 + 1512 = 2287

P( A) =

n( A) 2287
=
n(Ω) 6859

Vậy xác suất của biến cố A là:
Ví dụ 9: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6
2.105

chữ số và là bội số của 3, đồng thời bé hơn
.
( Trích đề thi giữa kỳ 2 năm học 2017-2018 trường THPT Hưng Nhân – Thái Bình)
Hướng dẫn: - Từ dấu hiệu chia hết cho 3, dựa vào dấu hiệu số dư một số bất kỳ
chia cho 3 để xét các trường hợp.
Bài giải:
Do số cần lập bé hơn

2.105

1bcdef

nên có dạng

Tổng tất cả các số có 6 chữ số dạng
1.6.6.6.6.6 = 6

1bcdef

được lập từ các chữ số trên là :

5

65 M3

Do
nên tổng số số chia hết cho 3 bằng tổng số số chia cho 3 dư 1 và bằng tổng
số số chia cho 3 dư 2
Vì vậy tổng số số tự nhiên gồm 6 chữ số và là bội số của 3, đồng thời bé hơn
là:

65
= 2592
3

2.105

(số)

Ví dụ 10: Gọi

S

là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau

được chọn từ các chữ số

1, 2,3, 4,5, 6,7,8,9

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc

S

. Tính xác
11


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

suất để lấy được một số chia hết cho

11

và tổng

4

chữ số của nó cũng chia hết cho

11.

( Trích đề thi khảo sát THPT QG năm 2019, Sở GD&ĐT Thanh Hóa)
Hướng dẫn: - Từ dấu hiệu chia hết cho 11 để suy ra các điều kiện của các chữ số.
Bài giải:
Số phần tử của S là

n ( S ) = A94 = 3024

Gọi số tự nhiên thuộc
Vì

S

có dạng

.

abcd

.

abcd = 1000a + 100b + 10c + d = 1001a + 99b + 11c + (−a − c ) + (b + d )

nên

abcd M

11 ⇔ b + d − (a + c)M
11

Từ giả thiết

11
a + cM
a +b + c + dM
11 ⇒ 
11
b + d M

Các cặp có tổng chia hết cho 11 là

( 2;9 ) ,(3;8),(4;7);(5;6)
n( A) = 4 × 3 × 2!× 2! = 48 ⇒ P =

abcd

48
1
= .
3024 63

Vậy số cách chọn số
thỏa mãn là
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Có bao nhiêu số có 8 chữ số khác nhau mà có mặt hai chữ số lẻ và ba chữ số
428400

chẵn, trong đó mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần. ( đáp số :
số)
( Trích đề thi HSG lớp 11 tỉnh năm 2019- Sở GD&ĐT Thanh Hóa)
Bài 2: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập số tự nhiên có 9 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số
vừa lập. Tính xác suất để số lập được là số có 9 chữ sô trong đó chữ số 5 có mặt
7
4374

đúng bốn lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. ( đáp số :
)
Bài 3: Trong tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số. Tính xác suất để lấy được số lẻ
gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, lớn hơn 500000.( đáp số :
Bài 4: Chọn ngẫu nhiên một số có 5 chữ số dạng
được số thỏa mãn

a≤b
.( đáp số :

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

77
15000

abc de

77
1875

)

. Tính xác suất để chọn

)

12


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

Bài 5: Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau và số đó chia hết
181440

cho 9. ( đáp số :
số )
Bài 6: Gọi A là tập hợp các ước số tự nhiên của 40500. Chọn ngẫu nhiên một số từ
8
15

tập A. Tính xác suất để số chọn được chia hết cho 6. ( đáp số :
)
( Trích đề thi giao lưu HSG lớp 11 năm 2018 – Trường THPT Đặng Thai Mai)
Bài 7: Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số. Chọn ngẫu nhiên một
số từ tập A. Tính xác suất để chọn được một số có hàng đơn vị bằng 1 và số đó chia
643
45000

hết cho 7 . ( đáp số :
)
( Trích đề thi chọn HSG lớp 11- năm học 2017-2018. Trường THPT Tĩnh Gia 2)

Bài 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại
15120

đúng ba lần. ( đáp số :
số)
Bài 9: Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau. Chọn
ngẫu nhiên một số từ tập A. Tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 3.
11
27

( đáp số :
)
( Trích đề thi chọn HSG lớp 11- năm học 2017-2018. Trường THPT Nghi Sơn)
Bài 10: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4 lập số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt
đúng hai lần, chữ số 1 có mặt đúng một lần, các chữ số còn lại có mặt không quá
một lần. Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập. Tính xác suất để số lập được là số chia hết
9
52

cho 4. ( đáp số : )
( Trích đề thi chọn HSG lớp 11-năm học 2017-2018,Trường THPT Đặng Thai Mai)
Bài 11: Gọi M là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau
dạng

abc de f

. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M. Tính xác suất để số được chọn là
37
34020

a>b>c>d >e> f

một số chẵn, đồng thời thỏa mãn
. ( đáp số :
)
Bài 12: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
5 chữ số khác nhau và số đó chia hết cho 15. ( đáp số :

222

)

(Trích đề thi khảo sát THPTQG lần 3 năm học 2017-2018, THPT Tĩnh gia 2.)

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

13


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

Bài 13: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ
31680

số khác nhau sao cho 3 và 5 không đứng cạnh nhau. ( đáp số :
số)
B. DẠNG BÀI CHỌN NGƯỜI, CHỌN VẬT :
Phương pháp:
- Chọn người hoặc chọn vật chú ý đến vị trí thứ tự , điều kiện của bài toán, xét đầy
đủ các trường hợp tránh trùng lặp.

Ví dụ 1: Một tiểu đội gồm 11 người trong đó có 4 bạn nữ và 7 bạn nam. Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp tiểu đội thành một hàng dọc thỏa mãn:
a) 4 bạn nữ xếp liền nhau
b) các bạn nữ không xếp liền nhau.
Hướng dẫn: - Ở câu a sắp xếp thứ tự 4 bạn thì dùng hoán vị .
- Ở câu b ta sắp thứ tự cho nhóm nam trước, rồi nữ xếp xen kẽ sau.
Bài giải:
a) Coi 4 bạn nữ là một vị trí và 7 bạn nam là 7 vị trí.
Xếp 4 bạn nữ thành 1 hàng dọc có 4! cách
Xếp cả 4 bạn nữ và 7 bạn nam thành 1 hàng dọc có 8! cách
4!.8! = 967680

Theo quy tắc nhân có :
(cách)
b) Xếp 7 bạn nam thành một hàng dọc có 7! cách
xen kẽ 7 bạn nam có 8 vị trí trống, chọn 4 vị trí trong 8 vị trí đó và sắp xếp 4 bạn
nữ vào sẽ có

A84

cách
7!. A84 = 8467200

Theo quy tắc nhân có :
(cách)
Ví dụ 2: Trường X có 50 học sinh Giỏi, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần
chọn ra một nhóm 3 học sinh Giỏi để đi dự trại hè. Tính xác suất sao cho 3 em
được chọn không có cặp anh em sinh đôi nào.
Hướng dẫn: - Ở bài này dùng biến cố đối cho đơn giản bài toán. Chọn 1 cặp sinh
đôi trước, sau đó chọn một học sinh bất kỳ nữa.

Bài giải:
Chọn 3 học sinh bất kỳ trong 50 học sinh có:

C503 = 19600

(cách)

n(Ω) = C = 19600
3
50

Không gian mẫu:
Gọi biến cố A: “ 3 em được chọn không có cặp anh em sinh đôi nào”.
Xét biến cố

A

: “3 em được chọn có 1 cặp anh em sinh đôi”

Số cách chọn 1 cặp anh em sinh đôi là 4 cách. Số cách chọn 1 người còn lại là

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

1
C48

14


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

1
⇒ n( A) = 4.C48
= 192

P( A) = 1 − P ( A) = 1 −

192
1213
=
19600 1225

Vậy xác suất của biến cố A là:
Ví dụ 3: Một hộp kín đựng 50 quả bóng kích thước bằng nhau, được đánh số từ 1
đến 50. Bốc ngẫu nhiên cung lúc hai quả bóng từ hộp trên ra. Tính xác suất để bốc
được 2 quả bóng có tích của hai số ghi trên 2 quả bóng là một số chia hết cho 10.
( Trích đề thi thử THPT QG năm 2019 - Trường THPT Chuyên Ngoại ngữ)
Hướng dẫn: - Từ dấu hiệu chia hết cho 10 phân chia các trường hợp để chọn,
tránh trường hợp trùng lặp.
Bài giải:
C502 = 1225

Bốc 2 quả bóng bất kỳ trong 50 quả bóng có

(cách)

n(Ω) = C = 1225
2
50

Không gian mẫu:
Gọi biến cố A: “2 quả bóng có tích của hai số ghi trên 2 quả bóng là một số chia hết
cho 10.”
Xảy ra các trường hợp sau:
Th1: 1 bóng ghi số chia hết cho 10 ( 10, 20, 30, 40, 50) và 1 bóng ghi số bất kỳ.
⇒

1
C51.C49
= 245

⇒

1
C20
.C51 = 100

có
(cách)
Th2: 1 bóng ghi số tận cung chỉ chia hết cho 2 ( 2, 4, 6, 8, 12, 14,...) và 1 bóng ghi
số tận cung chỉ chia hết cho 5 (5; 15; 25; 35; 45).
có

(cách)

⇒ n( A) = 245 + 100 = 345

P( A) =

n( A) 345

69
=
=
n(Ω) 1225 245

Vậy xác suất của biến cố A là:
Ví dụ 4: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người trong đó có 12 nam và 3 nữ.
Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện về giúp đỡ 3 huyện
miền núi tỉnh Thanh hóa, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và một nữ.
Hướng dẫn: - Chọn lần lượt số người yêu cầu về từng huyện, không có thứ tự .
Bài giải:
Chọn 4 nam và 1 nữ về huyện thứ nhất có

C124 .C31
4
8

1
2

cách

C .C

Chọn 4 nam và 1 nữ về huyện thứ hai có

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

cách

15


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.
1

Chọn 4 nam và 1 nữ về huyện thứ ba có cách
C124 .C31.C84 .C21 .1 = 207900

Theo quy tắc nhân có :
(cách)
Ví dụ 5: Bạn Lan có 10 bông hoa giống nhau và 3 cái bình khác nhau. Hỏi bạn Lan
có bao nhiêu cách căm 10 bông hoa vào 3 cái bình đó sao cho mỗi bình có ít nhất 1
bông hoa.
Hướng dẫn: - Dùng vách ngăn thành 3 nhóm.
Bài giải:
Sắp 10 bông hoa thành hàng ngang , giữa mỗi bông hoa có 9 khoảng cách, chọn 2
khoảng cách trong 9 khoảng cách để ngăn 10 bông hoa thành 3 nhóm. Mỗi nhóm
hoa cắm vào một lọ.
C93 = 84

Vậy số cách cắm hoa sao cho mỗi lọ ít nhất một bông là
Ví dụ 6: Một đoàn tàu có 3 toa chở khách: Toa I, toa II, Toa III. Trên sân ga có 4
hành khách chuẩn bị lên tàu. Biết rằng mỗi toa đều có 4 chỗ trống. Hỏi có bao
nhiêu cách sắp 4 hành khách lên tàu để mỗi toa có ít nhất một khách.
Hướng dẫn: - Chia trường hợp số khách lên từng toa, sau đó chọn toa và chọn
khách. Tránh trường hợp trùng lặp chọn hai đối tượng khách và toa cùng lúc.
Bài giải:
Một toa có 2 hành khách, hai toa có một hành khách
C42

Số cách chọn 2 hành khách vào 1 toa là: (cách)
Số cách chọn 1 toa để có hai hành khách là: 3 (cách)
Hai người còn lại chọn mỗi người một toa có: 2 (cách)
C42 .3.1 = 18

Theo quy tắc nhân có :
(cách)
Ví dụ 7: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh khối 10, 5 học sinh khối 11
và 3 học sinh khối 12 thành một hàng ngang. Tính xác suất để không có học sinh
khối 11 nào xếp giữa hai học sinh khối 10.
( Trích đề thi thử THPT QG năm 2019 - Trường THPT Yên Lạc)
Hướng dẫn: - Xét các trường hợp số học sinh lớp 12 đứng giữa hai học sinh khối
10, sau đó coi cụm đó thành một vị trí, rồi dùng hoán vị.
Bài giải:
Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh thành một hàng ngang có
n(Ω) = 10!

10!

(cách)

Không gian mẫu:
Gọi biến cố A: “ Xếp10 học sinh thành một hàng ngang mà không có học sinh khối
11 nào xếp giữa hai học sinh khối 10.”
Xảy ra các trường hợp sau:
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

16

Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

TH1: 2 học sinh khối 10 đứng cạnh nhau. Xem 2 bạn khối 10 là một vị trí, 8 bạn
⇒

2!.9! = 725760

khối 11 và 12 là 8 vị trí có
(cách)
TH2: 1 học sinh khối 12 đứng xen giữa 2 học sinh khối 10. Xem 3 bạn này là một
⇒

C31 2!.8! = 241920

⇒

A32 2!.7! = 60480

vị trí, 7 bạn khối 11 và 12 còn lại là 7 vị trí có
(cách)
TH3: 2 học sinh khối 12 đứng xen giữa 2 học sinh khối 10. Xem 4 bạn này là một
vị trí, 6 bạn khối 11 và 12 còn lại là 6 vị trí có
(cách)
TH4: 3 học sinh khối 12 đứng xen giữa 2 học sinh khối 10. Xem 5 bạn này là một
vị trí, 5 bạn khối 11 là 5 vị trí

⇒

có

A33 2!.6! = 8640

⇒ n( A) = 725760 + 241920 + 60480 + 8640 = 1036800

P ( A) =

(cách)

n( A) 2
=
n ( Ω) 7

Vậy xác suất của biến cố A là:
Ví dụ 8: Trong một hộp đựng 5 viên bi màu xanh ghi số từ 1 đến 5 và 6 viên bi
màu đỏ ghi số từ 6 đến 11. Chọn ngẫu nhiên trong hộp 3 viên bi. Tính xác suất để
trong 3 viên bi được chọn có đúng có đúng hai bi ghi số chẵn và đúng một bi màu
đỏ.
Hướng dẫn: - Chia các trường hợp bi màu đỏ ghi số chẵn hay lẻ rồi chọn bi màu
xanh còn lại. Nhớ rằng đây không có thứ tự chọn.
Bài giải:
Tổng số viên bi trong hộp là:

5 + 6 = 11

(bi)

Chọn 3 viên bi bất kỳ trong 11 viên bi có

C113 = 165

(cách)

n(Ω) = C = 165
3
11

Không gian mẫu:
Gọi biến cố A: “3 viên bi được chọn có đúng có đúng hai bi ghi số chẵn và đúng
một bi màu đỏ.”
Xảy ra các trường hợp sau:
⇒

C22 .C31 = 3

Th1: 2 bi màu xanh ghi số chẵn, 1 bi màu đỏ ghi số lẻ
có
(cách)
Th2: 1 bi màu xanh ghi số chẵn, 1 bi màu xanh ghi số lẻ, 1 bi màu đỏ ghi số chẵn
⇒

có

C21 .C31.C31 = 18

⇒ n( A) = 3 + 18 = 21

(cách)

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

17


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

P( A) =

n( A) 21
7
=
=
n(Ω) 165 55

Vậy xác suất của biến cố A là:
Ví dụ 9: Có 5 người xếp thành một hàng ngang và mỗi người gieo một đồng xu cân
đối đồng chất. Tính xác suất để tồn tại hai người cạnh nhau có cung kết quả.
( Trích đề thi thử THPT QG năm 2019 sở GD&ĐT Bắc Giang)
Hướng dẫn: - Ở bài này dùng biến cố đối cho đơn giản bài toán. Khi 2 người cạnh
nhau không cùng kết quả thì xảy ra những trường hợp nào?
Bài giải:
Mỗi người gieo một đồng xu cân đối đồng chất đều có thể xảy ra 2 kết quả sấp hoặc
ngửa. Xếp 5 người thành một hàng ngang có 5! cách
n(Ω) = 5!.25

Không gian mẫu:
Gọi biến cố A: “ tồn tại hai người cạnh nhau có cung kết quả”.
Xét biến cố

A

: “ hai người cạnh nhau bất kỳ không có cung kết quả”

Xảy ra 2 trường hợp với biến cố

A

là:

SNSNS ; NSNSN ⇒ n( A) = 2.5!

P ( A) = 1 − P ( A) = 1 −

2.5! 15
=
5!.25 16

Vậy xác suất của biến cố A là:
Ví dụ 10: Một thung đựng sáu quả bóng đỏ ghi số từ 1 đến 6, năm quả bóng vàng
ghi số từ 1 đến 5, bốn quả bóng xanh ghi số từ 1 đến 4. Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng
ra. Tính xác suất để 4 quả bóng lấy ra có đủ ba màu mà không có hai quả bóng nào
có số thứ tự trung nhau.
( Trích đề thi chọn HSG lớp 11 năm học 2017- 2018, Trường THPT Lam Kinh)
Hướng dẫn: - Chia các trường hợp số bóng đủ 3 màu. Trong mỗi trường hợp, do
không có hai quả bóng nào có số thứ tự trùng nhau nên ta phải chọn bóng có ít số
lượng ban đầu nhất.
Bài giải:
Tổng số quả trong thung là:

6 + 5 + 4 = 15

(bi)

Chọn 4 quả bóng bất kỳ trong 15 quả bóng có

C154 = 1365

(cách)

n(Ω) = C = 1365
4
15

Không gian mẫu:
Gọi biến cố A: “4 quả bóng lấy ra có đủ ba màu mà không có hai quả bóng nào có
số thứ tự trung nhau.”
Xảy ra các trường hợp sau:

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

18


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

Th1: 1 bóng xanh, 1 bóng vàng và 2 bóng đỏ. Chọn 1 bóng xanh đánh số từ 1 đến 4
có 4 cách , chọn 1 bóng vàng đánh số từ 1 đến 5 có
2
6 −2

C

đánh số từ 1 đến 6 có

cách

⇒

5 −1 = 4

cách , chọn 2 bóng đỏ

4.4.C = 96

có

2
4

Th2: 1 bóng xanh, 2 bóng vàng và 1 bóng đỏ.
Th3: 2 bóng xanh, 1 bóng vàng và 1 bóng đỏ.
⇒ n( A) = 96 + 72 + 54 = 222

P ( A) =

(cách)
⇒
⇒

có

4.C42 .3 = 72

(cách)

C .3.3 = 54

có

2
4

(cách)

n( A) 222
7
=
=
n(Ω) 1365 55

Vậy xác suất của biến cố A là:
Ví dụ 11: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 11A, 3 học sinh lớp 11B
và 5 học sinh lớp 11C thành một hàng ngang. Tính xác suất để không có học sinh
cung một lớp đứng cạnh nhau.
( Trích đề thi HSG lớp 11 tỉnh Thanh Hóa năm 2018)
Hướng dẫn: - Ta nên xếp thành hàng ngang học sinh lớp có số lượng nhiều trước
(cụ thể lớp 11C). Sau đó xen kẽ các học sinh hai lớp còn lại (A và B) vào sao cho
không có học sinh cùng một lớp đứng cạnh nhau. Chú ý để thiếu trường hợp.
Bài giải:
Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh thành một hàng ngang có

n(Ω) = 10!

10!

(cách)

Không gian mẫu:
Gọi biến cố A: “ Xếp10 học sinh thành một hàng ngang mà không có học sinh cung
một lớp đứng cạnh nhau.”
Xếp 5 học sinh lớp 11C thành hàng ngang có 5! cách, tạo ra 6 khoảng trống .
1C2C3C4C5C6
Xếp 5 học sinh còn lại vào các chỗ trống sao cho hai học sinh cung lớp không đứng
cạnh nhau.
Xảy ra các trường hợp sau:
TH1: Xếp 5 học sinh lớp A và lớp B vào vị trí từ 1 đến 5 hoặc từ 2 đến 6.
⇒

2.5! = 240

⇒

C31C21.2!.4! = 288

có
(cách)
TH2: Xếp 5 học sinh lớp A và lớp B vào vị trí từ 2 đến 5, do đó xếp 1 bạn lớp A và
1 bạn lớp B vào chung 1 vị trí , 3 bạn còn lại vào 3 vị trí ( ví dụ CABCACBCAC)
có

(cách)

⇒ n( A) = (240 + 288).5! = 63360

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

19


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

P ( A) =

n( A) 63360 11
=
=
n ( Ω)
10!
630

Vậy xác suất của biến cố A là:
Ví dụ 12: Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học lớp mình.
Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi
cung một số. Để mở cửa cần nhấn 3 nút liên tiếp khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút
theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng dần và có tổng bằng 10. Học sinh B
chỉ nhớ được là dãy tăng. Tính xác suất để B mở được cửa phòng học đó biết rằng
nếu bấm sai 3 lần liên tiếp cửa sẽ tự động khóa lại ( không cho mở nữa)
( Trích đề thi học kỳ I lớp 11 năm học 2018-2019, THPT Nguyễn Trãi- Bình Định)
Hướng dẫn:
- Liệt kê các trường hợp có thể mở khóa. Sau đó tính xác suất để B mở không đúng.
Sau đó dùng biến cố đối.

Bài giải:
Các trường hợp nhấn đúng là:
Gọi

X i ; i ∈ { 1; 2;3}

là biến cố mở đúng lần thứ

n( X i ) = 8; n(Ω X ) = C103 ⇒ P ( X i ) =

Do

X 1; X 2 ; X 3

{ 019;028; 037;046;127;136;145;235}
i; i ∈ { 1; 2;3}

8
1
14
= ⇒ P( X i ) =
3
C10 15
15

là các biến cố độc lập
3

631
 14 

P ( M ) = 1 − P( X 1 ).P ( X 2 ).P( X 3 ) = 1 −  ÷ =
 15  3375

⇒

Xác xuất để mở được là:
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Trong một cái hộp có 40 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 40. Lấy ngẫu nhiên
3 tấm thẻ trong hộp đó. Tính xác suất để tổng các số trên 3 tấm thẻ lấy được là một
127
380

số chia hết cho 3. ( đáp số :
)
( Trích đề thi chọn HSG lớp 11 năm học 2017- 2018, Trường THPT Vĩnh Lộc)
Bài 2: Một đoàn tàu có 4 toa chở khách với mỗi toa còn ít nhất 5 chỗ trống. Trên
sân ga có 5 hành khách chuẩn bị lên tàu. Tính xác suất để trong 5 hành khách lên
tàu có một toa có 3 khách lên, hai toa có một khách lên và một toa không có khách
15
64

nào lên. ( đáp số : )
Bài 3: Một hộp đựng 16 viên bi trong đó bảy viên bi trắng đánh số từ 1 đến 7, sáu
viên đen đánh số từ 8 đến 13, ba viên bi đỏ đánh số từ 14 đến 16. Lấy ngẫu nhiên
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

20


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

trong hộp 3 viên bi. Tính xác suất để 3 viên bi lấy ra có đúng hai màu và đều đánh
9
140

số chẵn. ( đáp số :
)
Bài 4: Có 7 bông hoa khác nhau và 3 lọ hoa khác nhau, một người cắm hết 7 bông
14
81

hoa vào ba lọ hoa trên. Tính xác suất để có đúng một lọ không có hoa. (đáp số : )
( Trích đề thi chọn HSG lớp 11 năm học 2017- 2018, Trường THPT Hoàng Hóa 2)
Bài 5: Từ một tập thể 14 người gòm 6 nam và 8 nữ trong đó có Minh và Hằng,
người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn sao cho trong
tổ công tác đó có một tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa Minh và Hằng không đồng thời
15048
có mặt. ( đáp số :
cách)
Bài 6: Biển số xe ô tô của tỉnh Bắc Ninh khi bắt đầu chuyển sang biển 5 chữ số thì
ông An đi đăng kí xe và là người đầu tiên chọn biển số và chọn ngẫu nhiên. Tính
xác suất để ông An có được biển số đẹp, biết biển số đẹp là những biển số có 5 chữ
số giống nhau hoặc các chữ số tăng dần. ( đáp số :

131
50000

)

(Trích đề thi khảo sát lớp 11 lần 1, năm học 2018-2019, THPT Thuận Thành số 1)

Bài 7: Có bao nhiêu cách cắm 7 bông hoa giống nhau vào 3 cái lọ khác nhau biết
không nhất thiết lọ nào cũng có hoa. ( đáp số :

36

)

(Trích đề thi khảo sát lớp 11 lần 1, năm học 2018-2019, THPT Gia Bình số 1)
Bài 8: Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo. Có 5 khách đến mua quần áo, mỗi
nười khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng. Tính xác suất để có ít nhất
một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách. ( đáp số :

181
625

)

(Trích đề thi khảo sát lớp 11 lần 1, 2018-2019, THPT Đào Duy từ- Hà Nội)
Bài 9: Trong kì thi THPT QG, thí sinh Tâm dự thi môn thi trắc nghiệm Toán. Đề thi
gồm 50 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án lựa chọn; trong đó có một phương án
đúng, làm đúng mỗi câu thí sinh được 0,2 điểm. Bạn Tâm chắc chắn đúng 42 câu,
trong 8 câu còn lại chỉ có 3 câu bạn ấy loại trừ được mỗi câu một đáp án chắc chắn
sai. Do không đủ thời gian nên Tâm khoanh bắt buộc khoanh bừa các câu còn lại.
Tính xác suất để bạn tâm được 9,4 điểm. ( đáp số :

499
13824

)

C. DẠNG BÀI QUY TĂC ĐẾM TRONG HÌNH HỌC
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

21


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

Phương pháp : - Dùng các phép đếm, liệt kê
- Dùng các tính chất của hình học.
1: Tính số đường chéo của đa giác đều 20 cạnh.
Ví dụ
(Trích đề thi khảo sát chất lượng THPTQG 2018, sở GD&ĐT Thanh Hóa)
Hướng dẫn: - Đường chéo của đa giác được sinh ra bởi hai đỉnh. Tuy nhiên hai
đỉnh cũng có thể tạo thành cạnh.
Bài giải:
Cứ hai đỉnh bất kỳ của đa giác thì tạo ra 1 đường chéo hoặc một cạnh. Mà có 20
cạnh nên số đường chéo là:
C202 − 20 = 170

(đường)
Cho một đa giác đều có 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm O. Gọi

Ví dụ 2:
X là tập hợp các tam giác có các đỉnh là các đỉnh của đa giác trên. Tính xác suất để
chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều.
( Trích đề thi khảo sát lần 1 lớp 11 năm học 2018-2019, Trường THPT Tĩnh Gia 2)
Hướng dẫn: -Nhận xét về các tam giác cân chung đỉnh cân được tạo ra từ các
đỉnh của đa giác.
Bài giải:

Chọn 3 đỉnh bất kỳ của đa giác tạo ra một tam giác .
Không gian mẫu:

n(Ω) = C183

Gọi biến cố A: “ Chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không
phải tam giác đều.”
Chia hình đa giác đều thành 2 phần bằng nhau qua đường kính của đường tròn (O)
là đường chéo đi qua 2 đỉnh của đa giác đó.
Mỗi cặp đỉnh đối xứng qua đường kính này cung với 2 đỉnh đầu mút của đường
kính tạo ra 2 tam giác cân ( kể cả tam giác đều), mà có tất cả 8 cặp như thế nên có
8.2=16 tam giác cân ( có 2 tam giác đều được tính) .
Mặt khác có tất cả 9 đường chéo là đường kính như trên.
Do đó số tam giác cân là:

16.9 = 144

, trong đó có

2.9 = 18

Có tất cả số tam giác cân ( không có tam giác đều) là:
⇒ n( A) = 126

tam giác đều được tính.

144 − 18 = 126

.
P( A) =

Vậy xác suất của biến cố A là:
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

n( A) 126 23
=
=
n(Ω) C183 136

22


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

Ví dụ 3: Cho 15 đường thẳng song song cắt 10 đường thẳng song song khác. Hỏi
có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành.
(Trích sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao)
Hướng dẫn: - Từ cặp đường thẳng song song này và cặp đường thẳng song song
khác cắt nhau tạo ra một hình bình hành.
Bài giải:
C152 .C102 = 4725

Có tất cả
(hình)
Ví dụ 4: Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên a lấy 17 điểm phân biệt, trên
b lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm
trên a và b. ( Trích bài tập sách bài tập đại số và giải tích 11 cơ bản),
Hướng dẫn: - Chia các trường hợp tạo ra tam giác.
Bài giải:
TH1: Chọn 2 điểm trên a và 1 điểm trên b

TH2: Chọn 1 điểm trên a và 2 điểm trên b
2720 + 3230 = 5950

⇒
⇒

Có

1
C172 .C20
= 2720

(tam giác)

C .C = 3230

Có

1
17

2
20

(tam giác)

Vậy có tất cả
(tam giác)
Ví dụ 5: Cho 20 điểm trong không gian trong đó có 10 điểm đồng phẳng, số còn lại
không có 4 điểm nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 điểm trong 20

điểm đó. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng khác nhau.
Hướng dẫn: - Chia các trường hợp tạo ra mặt phẳng. Dùng biến cố đối.
Bài giải:
Số mặt phẳng tạo ra từ 3 điểm bất kỳ trong 20 điểm là:

3
C20
= 1140

Số mặt phẳng trung nhau tạo ra từ 10 điểm đồng phẳng là:

C103 = 120

1140 − 120 + 1 = 1021

Vậy số mặt phẳng khác nhau là:
(mặt phẳng)
Ví dụ 6: Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt lấy 1, 2,
3, 4 điểm phân biệt ( không trung với các đỉnh của hình vuông) . Từ 10 điểm trên
có thể lập được bao nhiêu tứ giác.
(Trích đề thi khảo sát lớp 11 lần 3 năm học 2016-2017, trường THPT Nguyễn
Đăng Đạo, tỉnh Bắc Ninh)
Hướng dẫn: - Chia các trường hợp tạo ra tứ giác. Dùng biến cố đối.
Bài giải:
Tất cả bộ 4 điểm được chọn từ 10 điểm trên là:
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

C104 = 210

23

Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

Trong đó có những bộ không tạo ra tứ giác:

C44 + C33 .C71 + C43 .C61 = 32

210 − 32 = 178

Vậy số tứ giác tạo thành là:
(tứ giác)
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho đa giác đều 108 cạnh. Hỏi lập được bao nhiêu hình lục giác có đỉnh là
đỉnh của đa giác nhưng không có cạnh nào là cạnh của đa giác.( đáp số

6
4
C103
− C101

)

(Trích đề thi khảo sát HSG lớp 11 năm học 2018-2019, trường THPT Cẩm thủy 1)
Bài 2: Cho 20 điểm trong không gian trong đó có 10 điểm đồng phẳng, số còn lại
không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu tứ diện tạo thành từ 20
điểm đó ( đáp số 4635 tứ diện).
Bài 3: Cho đa giác đều 20 cạnh. Hỏi lập được bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh
320

của đa giác nhưng chỉ có một cạnh là cạnh của đa giác.( đáp số
tam giác).
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Với sáng kiến kinh nghiệm trên đây, bản thân rút ra được bài học kinh
nghiệm về công tác chuyên môn là: Để nắm vững ôn tập các dạng và phương pháp
giải các dạng bài tập về Tổ hợp – Xác suất trong chương trình thi THPT QG , thi
học sinh giỏi cấp tỉnh thì giáo viên cần phải hệ thống các kiến thức trọng tâm và
cách giải một số dạng bài về Tổ hợp – Xác suất trong chương trình đại số và giải
tích 11. Đồng thời giáo viên phải là người tạo ra động cơ để học sinh cung tham gia
giải quyết các vấn đề đã đặt ra. Sau cung giáo viên còn phải kiểm tra, đánh giá và
rút kinh nghiệm cho các em biết định hướng giải bài toán này.
Ý nghĩa của sáng kiến: Giúp cho giáo viên chủ động trong việc giảng dạy ôn
tập cho học sinh khối 11 một cách hệ thống và tương đối đầy đủ các dạng bài tập về
Tổ hợp – Xác suất, đồng thời sáng kiến kinh nghiệm này còn giúp học sinh phát
triển tư duy và rèn luyện kỹ năng giải toán. Từ đó học sinh có cái nhìn toàn diện và
tự tin hơn khi tiếp cận các dạng toán này.
Khả năng ứng dụng và triển khai: Sáng kiến đã được trình bày trước tổ
chuyên môn và học sinh lớp 11 ôn tập thi HSG cấp trường, cấp tỉnh, THPTQG dưới
dạng chuyên đề. Tôi triển khai áp dụng vào dạy các lớp 11A1, 11A2 và đã thu được
kết quả tốt, đa số học sinh nắm bắt tốt chuyên đề, biết vận dụng vào giải các loại
bài toán bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương trình đại số và
giải tích 11. Được học chuyên đề này, học sinh dễ dàng có sự lựa chọn phương
pháp thích hợp và vận dụng sáng tạo cho mỗi bài toán.
Sau khi áp dụng đề tài, tôi đã cho làm bài kiểm tra 45 phút về Tổ hợp – Xác
suất. Kết quả đã nâng lên rõ rệt, cụ thể:
Lớp
Sĩ
9-10
7-8

5-6
3-4
0-2
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

24


Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.

số

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

11A1

45

14

31,1

18

40

13

28,9

0

0

0

0

11A2

42

5

11,9

16

38,1

15

35,7

6

14,3

0

0

- Cụ thể đối với bài xác suất vận dụng cao ở đề thi học kỳ 1 có 15 em lớp 11A1 làm
đúng. Đối với đề thi khảo sát học kỳ 1 đa số các em lớp 11A1 đều làm đúng 12/13
câu tổ hợp – xác suất trong đề. Kỳ thi khảo sát đội tuyển HSG lớp 11, 4/5 em đều
làm đúng bài tổ hợp- xác suất trong cả 4 lần thi. Và kỳ thi chính thức 3/2019 đội
tuyển HSG có 4/5 em làm đúng câu tổ hợp trong đề, kết quả có 3 em đạt giải (2 Ba
và 1 KK).
3. KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
Sau khi triển khai sáng kiến này vào dạy học ôn tập cho học sinh lớp 11 tôi
thấy mang lại hiệu quả học tốt. Đồng thời cũng là tài liệu tham khảo, bổ sung kinh

nghiệm ra đề và giảng dạy phần Tổ hợp – Xác suất cho các đồng nghiệp, góp phần
vào việc nâng cao chất lượng dạy học chung cho nhà trường. Tuy nhiên với kinh
nghiệm còn ít, trải nghiệm chưa nhiều nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót,
hạn chế nhất định. Rất mong nhận được nhiều góp ý của Hội đồng khoa học nhà
trường THPT Tĩnh gia 2 và Hội đồng khoa học sở GD&ĐT Thanh Hóa.
3.2. Kiến nghị:
Với đề tài này tôi đã triển khai trong quá trình dạy học sinh lớp 11 ban
KHTN và các lớp ban Cơ bản học theo khối, mang lại hiệu quả là rất tốt. Vì vậy tôi
hy vọng đề tài này sẽ đóng góp vào việc giải bài toán đã nêu trên, và được đồng
nghiệp khai thác mở rộng hơn nữa, là tài liệu tham khảo cho các em học sinh lớp
11, 12 trong quá trình học tập cũng như ôn thi học sinh giỏi, ôn thi kỳ thi Quốc gia
THPT hàng năm.
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
[1]. Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 cơ bản, NXB Giáo Dục, Trần Văn Hạo
(Tổng chủ biên) - Vũ Tuấn (Chủ biên) .
[2]. Sách bài tập Đại số và giải tích 11 cơ bản, NXB Giáo Dục, Vũ Tuấn (Chủ
biên).
[3]. Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo Dục, Đoàn Quỳnh
(Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) .
[4]. Sách bài tập Đại số và giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo Dục, Nguyễn Huy
Đoan (Chủ biên)
[5]. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh hóa các năm 2011 đến năm 2019.
[6]. Đề thi chọn học sinh giỏi, đề thi khảo sát chất lượng các khối 10, 11, 12 môn
Toán các trường THPT trên toàn quốc .
[7]. Đề thi môn Toán Đại học, THPT QG từ năm 2011 đến nay của bộ GD&ĐT.
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

25