Phân dạng bài tập viét phương trình mặt cầu trong không gian tọa độ OXYZ nhằm giúp học sinh ôn thi THPT quốc

Mục lục
Nội dung
Mục lục
1.Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.5. Những điểm mới của SKKN
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử
dụng để giải quyết vấn đề
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt
động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị
Tài liệu tham khảo

Trang
1
2
2
2-3
3
3
3
3

3-4
4
4-18
18
18
18-19
19
20

1


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học cơ bản của các môn học khác, đòi
hỏi người học, người dạy phải đam mê, tâm huyết, tỉ mĩ và kiên
nhẫn mới có thể nắm được. Nó là môn học khó, trừu tượng với thời
lượng và nội dung chương trình sâu gây khó khăn cho người học và
người dạy. Thực tế cho thấy nhiều học sinh đam mê, yêu thích môn
toán nhưng kết quả thi đại học các năm về trước và thi trung học phổ
thông (THPT) quốc gia các năm gần đây không cao so với các môn
khác.
Chúng ta biết rằng trong các kì thi trung học phổ thông quốc
gia những năm gần đây bao giờ cũng có ít nhất một bài toán liên qua
đến mặt cầu. Đó là những dạng toán vừa dễ mà cũng vừa khó đối với
học sinh khi làm bài. Đặc biệt là các bài tập liên quan đến phương
trình mặt cầu chứa tham số học sinh thường lúng túng hay mắc sai
lầm trong việc nhận dạng nên chưa có phương pháp giải phù hợp.
Bên cạnh đó, mặt cầu là một nội dung quan trọng của chương trình
toán THPT. Nó vừa là đối tượng, nhưng hơn thế nó vừa là công cụ

hữu hiệu để giải quyết nhiều vấn đề phức tạp của toán THPT.
Về vấn đề này, cũng đã có rất nhiều tài liệu, sáng kiến kinh nghiệm
(SKKN) viết. Tuy nhiên tài liệu viết chuyên sâu, hệ thống và phân
dạng bài toán không nhiều. Vì thế học sinh thường gặp khó khăn khi
gặp các bài tập liên quan đến viết phương trình mặt cầu.
Do đó việc chọn lựa một đề tài SKKN nhằm góp phần giải
quyết vấn đề trên là việc làm phù hợp với thực tiễn, nâng cao chất
lượng giáo dục, thể hiện tình yêu nghề và trách nhiệm của người cán
bộ giáo viên. Chính vì vậy tôi chọn đề tài SKKN là:
“Phân dạng bài tập viết phương trình mặt cầu trong không gian
tọa độ Oxyz nhằm giúp học sinh ôn thi trung học phổ thông quốc
gia tốt hơn”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Các vấn đề được trình bày trong đề tài này có thể hỗ trợ cho các
em học sinh trung học phổ thông có cái nhìn toàn diện hơn về việc
giải một số dạng bài toán về phương trình mặt cầu.
- Giúp học sinh nhận dạng được bài tập về phương trình mặt cầu để
từ đó có cách giải phù hợp.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua
đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
- Nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng và khả năng giải các bài
toán trong kỳ thi THPT quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trong đời sống hàng ngày, chúng ta gặp rất nhiều đồ vật có
dạng hình cầu như: Quả bóng, quả địa cầu…nhưng rất ít người biết
2


về tính chất và phương trình của nó ra sao. Học sinh được học mặt
cầu và phương trình mặt cầu ở chương III sách giáo khoa 12 cơ bản

và nâng cao của bộ giáo dục và đào tạo phát hành. Trong chương III
này có ba đối tượng được nghiên cứu đó là: đường thẳng, mặt phẳng
và mặt cầu. Khi dạy về phương trình mặt cầu tôi nhận thấy rằng học
sinh tiếp thu tốt nhưng khi vận dụng vào bài tập vẫn còn học sinh
không làm được, không nhận dạng được bài tập để có phương pháp
giải thích hợp.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trình bày cho học sinh những kiến thức cơ bản về mặt cầu và
phương trình mặt cầu. Thông qua những ví dụ cụ thể với cách giải
đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy được những thế mạnh
của việc sử dụng phương pháp trên. Các ví dụ minh họa trong đề tài
này được lọc từ các tài liệu tham khảo và các đề thi đại học, THPT
quốc gia các năm gần đây và sắp xếp từ dễ đến khó. Trong các tiết
học trên lớp tôi ra cho học sinh giải các vi dụ này dưới nhiều
phương pháp để từ đó đánh giá được tính ưu việt của phương pháp
trên.
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình
nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề
tài.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế (công việc dạy - học của
giáo viên và HS).
- Phương pháp thu thập thông tin (nghiên cứu chương trình, hồ sơ
chuyên môn,…).
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu (lấy ý kiến của giáo viên và
HS thông qua trao đổi trực tiếp).
1.5. Những điểm mới của SKKN
- Đưa ra tập tài liệu chính thống và cụ thể giúp học sinh hiểu và giải
được các bài toán liên qua đến mặt cầu và phương trình mặt cầu.
- Hệ thống và phân dạng được một số bài tập về phương trình mặt

cầu đưa ra cách giải cụ thể.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực,
tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc trưng môn
học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học, bồi
dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác, rèn luyện kỹ
năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem
lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh.
3


Đối với bài sáng kiến kinh nghiệm này tôi sử dụng nguồn tài
liệu chính là:
- Sách giáo khoa hình học 12 cơ bản và nâng cao ( bộ giáo dục và
đào tạo) phát hành.
- Giải toán hình học 12 ( Bài giảng chuyên sâu toán THPT) của Lê
Hồng Đức và nhóm Cự Môn.
- Tài liệu chuyên toán ( bài tập hình học 12) của Đoàn Quỳnh (chủ
biên).
- Tạp chí toán học và tuổi trẻ, NXB Giáo dục của Bộ giáo dục đào
tạo- Hội toán học Việt Nam (1996- 2007).
Ngoài ra còn sử dụng tài liệu khai thác trên mạng.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua thực tiễn học tập và giảng dạy, bản thân nhận thấy bài
toán phương trình mặt cầu trong các bài thi cấp THPT là rất đa dạng,
đặc biệt là trong bài toán phương trình mặt cầu chứa tham số. Nhưng
học sinh thường không mạnh dạn, tự tin khi giải các toán dạng này
vì:
- Mặt cầu là phần kiến thức mới với học sinh, gắn liền với toán học

hiện đại, học sinh bắt đầu được làm quen ở cuối chương trình lớp
12.
- Tài liệu viết và phân dạng bài tập phương trình mặt cầu không
nhiều, học sinh không nhận diện được các dạng toán và chưa được
hướng dẫn một cách hệ thống phương pháp để giải quyết bài toán
một cách trọn vẹn.
- Số lượng các bài toán nêu trên xuất hiện ngày càng nhiều trong các
đề thi THPT quốc gia những năm gần đây.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để
giải quyết vấn đề
a.Phương pháp giải
Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh, tác giả đã giúp học sinh
nhận dạng bài toán và phương pháp giải các dạng toán theo hệ thống
bài tập được sắp xếp theo một trình tự logic.
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi phân loại bài tập viết
phương trình mặt cầu như: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu
cho trước, viết phương trình mặt cầu khi biết một số yếu tố cho
trước, lập phương trình tiếp diện của mặt cầu, xác định tâm và bán
kính của đường tròn là giao của mặt phẳng và mặt cầu, ứng dụng của
mặt cầu để giải một số bài toán đại số.
b. Phương trình mặt cầu:
Dạng 1:
2
2
2
Mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 (1)
4


2

2
2
2
2
2
Dạng 2: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 ( a + b + c − d > 0 )

(2).

Khi đó mặt cầu (S) có tâm I(-a; -b; -c), bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d .
c. Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng:
Cho mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R và đường thẳng ∆
Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆ : d ( I , ∆ )
Nếu d ( I , ∆ ) > R thì ∆ ∩ ( S ) = ∅ ;
Nếu d ( I , ∆ ) < R thì ∆ ∩ ( S ) tại 2 điểm phân biệt;

Nếu d ( I , ∆ ) = R thì ∆, ( S ) tiếp xúc nhau, ∆ gọi là tiếp tuyến của mặt cầu.
d. Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng:
Cho

mặt

cầu

(S)

tâm
( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 .

I(a;

b;

c),

bán

kính

R

Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P): d ( I , ( P ) ) =
Nếu:
1) d ( I , ( P ) ) > R thì ( P ) ∩ ( S ) = ∅ ;

và

mặt

phẳng

Aa +Bb +Cc+D
A2 + B2 + C 2

(

2
2
2) d ( I , ( P ) ) < R thì ( P ) ∩ ( S ) là đường tròn H ; r = R − d ( I ; ( P ) )

)

.

với H là

hình chiếu của I trên (P).
Vậy đường tròn trong không gian có phương trình:
2
2
2
2

( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R


 Ax + By + Cz + D = 0
3) d ( I , ( P ) ) = R thì mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) tiếp xúc nhau tại điểm H là

hình chiếu của I trên mặt phẳng (P). Khi đó mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của
mặt cầu (S).
e. Các dạng toán:
Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu cho trước
(Dạng phương trình (2)):
Cách 1: Đưa về dạng 1
Cách 2: Kiểm tra điều kiện a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 ⇒ tâm và bán kính.
Ví dụ 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a. x 2 + y 2 + z 2 − 8 x + 2 y + 1= 0 .
b. x 2 + y 2 + z 2 + 4 x + 8 y − 2 z − 4= 0 .
Bài giải

2
2
a. Từ x 2 + y 2 + z 2 − 8 x + 2 y + 1= 0 ta có ( x − 4 ) + ( y + 1) + z 2 = 16 .
Vậy mặt cầu (S) có tâm I ( 4; −1;0 ) và bán kính R = 4 .
5


b. Từ x 2 + y 2 + z 2 + 4 x + 8 y − 2 z − 4= 0 ta có: ( x + 2 ) + ( y + 4 ) + ( z − 1) = 25 .
Vậy mặt cầu (S) có tâm I ( −2; −4;1) và bán kính R = 5 .
Ví dụ 2: ( Giải toán hình học 12 của Lê Hồng Đức và nhóm Cự Môn)
Cho họ ( Sm ) : x 2 + y 2 + z 2 + 4mx − 2my − 6 z + m 2 + 4m = 0
a . Tìm điều kiện để ( Sm ) trên là phương trình mặt cầu.
b. Chứng minh rằng tâm của ( Sm ) nằm trên một đường thẳng cố định. Viết
phương trình đường thẳng cố định đó.
Bài giải
2
2
2
a. Phương trình đã cho ⇔ ( x + 2m ) + ( y − m ) + ( z − 3) = 4m 2 − 4m + 9
2

2

2

2

1

Ta thấy 4m − 4m + 9 = 4  m − ÷ + 8 > 0, ∀m .

2

Vậy ( Sm ) trên là phương trình mặt cầu với mọi m.
2

b. Mặt cầu ( Sm ) có tâm I m ( −2m; m;3) .

 x = −2m
1


y = − x
2
Ta có:  y = m ⇔ 
z = 3
 z = 3

1
2

Vậy trong mặt phẳng z = 3 tâm I m ( −2m; m;3) luôn nằm trên đường thẳng y = − x
.
Ví dụ 3:
Cho phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2m 2 x − 4my +8m 2 − 4 = 0
a. Tìm điều kiện để phương trình trên là phương trình mặt cầu.
b. Khi đó tìm tập hợp tâm của họ mặt cầu đó.
Bài giải
2
2
a. Phương trình đã cho ⇔ ( x − m 2 ) + ( y − 2m ) + z 2 = m 4 − 4m2 + 4

là phương trình mặt cầu ⇔ m 4 − 4m 2 + 4 = ( m 2 − 2 ) > 0 ⇔ m ≠ ± 2 .
2

b. Khi đó tâm I ( m 2 ; 2m; 0) . Ta thấy tâm I thuộc mặt phẳng Oxy và
yI2
xI =
.
4
y2
Vậy tập hợp tâm I là parabol x = nằm trong mp Oxy bỏ đi 2 điểm:
4
M (2; 2 2;0) và N (2; −2 2;0).

Dạng 2: Viết phương trình của mặt cầu khi biết một số yếu tố cho trước
a. Biết tâm và bán kính
Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
6


a. Biết tâm I ( −2; −4;1) và bán kính R = 4 .
b. Có đường kính AB với A ( 1;3;1) , B ( −2;0;1) .
Bài giải
a. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I ( −2; −4;1) và bán kính R = 4 có dạng:
2
2
2
( x + 2 ) + ( y + 4 ) + ( z − 1) = 16 .
uuur

b. Ta có: AB = ( −3; −3;0 ) ⇒ AB = 3 2 .



Gọi I là trung điểm của AB nên I  − ; ;1÷.
 2 2 
1 3

 1 3 
AB 3 2
=
Mặt cầu tâm I  − ; ;1÷ bán kính R =
có phương trình:
 2 2 

2

2

2

2

1 
3
9
2

 x + ÷ +  y − ÷ + ( z − 1) = .
2 
2
2



b. Đi xác định tâm và bán kính của mặt cầu:
- Biết tâm: tìm bán kính;
- Biết bán kính: tìm tâm;
- Chưa biết tâm và bán kính: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tiếp
xúc với 2 mặt phẳng cho trước.... thường xác định tâm trước sau đó đi tìm bán
kính.
Ví dụ 1:
Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 3) và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) với:
A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2).
Bài giải
x y z
+ + =1⇔ x + y + z − 2 = 0.
2 2 2
4
⇒ Phương trình mặt cầu:
Bán kính mặt cầu: R = d ( I , ( ABC ) ) =
3
16
2
2
2
( x − 1) + ( x − 2 ) + ( x − 3) = .
3

Phương trình mặt phẳng (ABC):

Ví dụ 2: : Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A ( 2, 0,1) , B ( 1, 0, 0 ) ,
C ( 1,1,1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): x + y + z − 2 = 0 .

Bài giải
Gọi phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng:
2
x + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 ( a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 ) .
Phương trình mặt cầu (S) có tâm I ( −a, −b, −c ) .

7


Theo đề bài phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A ( 2, 0,1) , B ( 1, 0, 0 ) , C ( 1,1,1)
và có tâm thuộc mặt phẳng (P) nên khi đó ta có hệ:
 4a + 2c + d = −5
 a = −1
 2c + d = −1
b = 0


⇔

 2a + 2b + 2c + d = −3 c = −1
 a + b + c = −2
d = 1

Vậy phương trình mặt cầu (S) cần tìm:
2
2
x 2 + y 2 + z 2 − 2x - 2z +1= 0 hay ( x − 1) + y 2 + ( x − 1) = 1 .
Ví dụ 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) sao cho mặt cầu cắt đường
5x − 4 y + 3z + 20 = 0
 3x − 4 y + z − 8 = 0

thẳng d có phương trình: 

tại 2 điểm A, B sao cho AB = 16.

Bài giải
r
Đường thẳng d đi qua M(11; 0; -25) và có véc tơ chỉ phương u = ( 2;1; − 2 )
.
uuu
r r
 MI , u 


= 15 .
r
Gọi H là hình chiếu của I trên d. Ta có: IH = d ( I , AB ) =
u
2

AB 
Khi đó bán kính mặt cầu: R = IH 2 + 
÷ = 17 .
 2 

Vậy phương trình mặt cầu: ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 289 .
Ví dụ 4:
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d có phương trình:
2

2

2

x −1 y − 2 z − 3
=
=
và hai mặt phẳng
2
1
2
( P1 ) : x + 2y + 2z − 2 = 0; ( P2 ) : 2x + y + 2z −1= 0 .

Lập phương trình mặt cầu có tâm I nằm trên d và tiếp xúc với 2 mặt phẳng trên.
Bài giải
Điểm I ∈ d ⇒ I ( 2t + 1; t + 2; 2t + 3) .
Mặt cầu tiếp xúc với 2 mặt phẳng ⇔ d ( I , ( P1 ) ) = d ( I , ( P2 ) ) .
t = 0
8t + 9 = 9t + 9
⇔ 8t + 9 = 9t + 9 ⇔ 
⇔  −18
t =
8
t
+
9
=
−
9
t

−
9

17

Với t = 0 ta có tâm và bán kính là: I1 ( 1; 2;3) ; R1 = 3 .

Nên phương trình mặt cầu ( S1 ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9 .
2

Với t = −

2

2

3
18
 19 16 15 
ta có tâm và bán kính là: I 2  − ; ; ÷; R2 =
17
17
 17 17 17 
8


2

2

2

19  
16  
15 
9

Nên phương trình mặt cầu ( S 2 ) :  x + ÷ +  y − ÷ +  z − ÷ =
.
17  
17   17 
289


Ví dụ 5:
Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2),
C(-1; 1; 2) và D(1; -1; 2).
Bài giải
Cách 1: Gọi I(x; y; z) tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Khi đó ta có
 IA2 = IB 2
 2
2
 IB = IC ⇒ tâm và bán kính là I ( 1;1;1) , R = IA = 2
 IC 2 = ID 2


Cách 2:
Gọi phương trình mặt cầu là:

x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 ( a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 ) .

Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên:
2a + 2b + d + 2 = 0
 a = −1
6a + 2b + 4c + d + 14 = 0
b = −1


⇒
⇔
−2a + 2b + 4c + d + 6 = 0
c = − 2


2a − 2b + 4c + d + 6 = 0
d = 2
2
2
2
Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 2 ) = 4 .

Dạng 3: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu
Bài toán 1:
Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I, bán kính R tại điểm A
Cách giải:

uu
r

Mặt phẳng (P) đi qua A và nhận véc tơ IA làm véc tơ pháp tuyến

Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S):
x 2 + y 2 + z 2 − 2x - 4y - 6z = 0 tại điểm M ( 4;3;1) .
Bài giải
Mặt cầu (S) có tâm I ( 1; 2;3) và có bán kính R = 14 .
Gọi (P) là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại điểm M ( 4;3;1) . Khi đó mặt
uuur
phẳng (P) đi qua M và nhận IM = (3;1; −2) làm véc tơ pháp tuyến nên đó mặt
phẳng (P) có phương trình:
3 ( x − 4 ) + 1 ( y − 3 ) − 2 ( z − 1) = 0 ⇔ 3 x + y − 2 z − 13 = 0 .
Bài toán 2:
Lập phương trình tiếp diện r(P) của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết
véctơ pháp tuyến của (P) là n = ( A; B; C ) .
9


Cách giải

( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 .

Có: d ( I , ( P ) ) = R ⇔

Aa +Bb +Cc+D
A + B +C
2

2

2

= R ⇒ tìm được D suy ra phương trình mặt

phẳng (P).
Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S):
x 2 + y 2 + z 2 − 4x - 2y - 6z + 5= 0 biết véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là
r
n = ( 1; 2; 2 ) .
Bài giải
Mặt cầu (S) có tâm I ( 2;1;3) và có bán kính R = 3 .
Gọi (P) là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) có dạng:
x + 2y + 2z + D = 0 . Khi đó ta có:
 D = −1
= 3 ⇔ 10 + D = 9 ⇔ 
3
12 + 22 + 22
 D = −19
Với D = -1 thì mặt phẳng (P) có dạng: x + 2y + 2z -1= 0 .
Với D = -19 thì mặt phẳng (P) có dạng: x + 2y + 2z -19 = 0 .
d ( I, ( P) ) = R ⇔

2+2+6+ D

=3⇔

10 + D

Ví dụ 2: ( Đề thi chính thức kì thi THPT quốc gia năm 2017)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( S ) : ( x + 1)

2

+ ( y − 1) + ( z + 2 ) = 2 và hai đường thẳng d :
2

2

x − 2 y z −1
= =
,
1
2
−1

x y z −1
= =
. Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng
1 1
−1
tiếp xúc với mặt cầu (S), song song với d và ∆ ?
A. x + y + 1 = 0
B. y + z + 3 = 0
C. x + z − 1 = 0
D. x + z + 1 = 0 .
∆:

Bài giải
2
2
2

Mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 2 có tâm I ( −1;1; − 2 ) và bán kính
uu
r

R = 2 . Đường thẳng d và ∆ có các vectơ chỉ phương ud = ( 1; 2; − 1) và
uu
r
u∆ = ( 1;1; − 1) .

Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Mặt phẳng (P) song song với d và ∆ nên véc tơ
r
ur uu
r
pháp tuyến n = u1 , u2  = ( −1;0; − 1) . Khi đó mặt phẳng có dạng: − x − z + d = 0 .
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên
d ( I,( P) ) = R ⇔

 d = −1
= 2 ⇔ 3+ d = 2 ⇔ 
2
 d = −5

3+ d

Vậy đáp án cần tìm là D.
Chú ý:
Trong bài toán cho biết véc tơ pháp tuyến dưới dạng:
10

- Biết ( P ) song song với một mặt phẳng hoặc song song với 2 đường thẳng cho
trước.
- Biết vuông góc với 1 đường thẳng cho trước.
Ví dụ 3: ( Tài liệu chuyên toán bài tập hình học 12 của Đoàn Quỳnh):
Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình:

( P ) : 2x - 3y + 2z − 3= 0
2
2
2
( S ) : ( x − 8 ) + ( y + 8 ) + ( z − 7 ) = 68

Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt
cầu (S).
Bài giải
Mặt cầu (S) có tâm I ( 8; −8; 7 ) và có bán kính R = 2 17 .
Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm. Do ( P ) / / ( Q ) nên mặt phẳng (Q) có dạng:
2x - 3y + 2z + D = 0

Mặt khác mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:
d ( I,( P) ) = R ⇔

2.8 − 3. ( −8 ) + 2.7 + D
22 + ( −3) + 22
2

 D = −20
= 2 17 ⇔ 54 + D = 34 ⇔ 
 D = −88

Với D = -20 thì mặt phẳng (P) có dạng: 2x - 3y + 2z − 20= 0 .
Với D = -88 thì mặt phẳng (P) có dạng: 2x - 3y + 2z − 88= 0 .
Ví dụ 4: Cho đường thẳng d và mặt cầu (S) có phương trình:
 x = 3 + 2t

2
2
2
d :  y = 3 + 2t , t ∈ R và ( S ) : ( x − 1) + ( y − 4 ) + ( z − 3) = 18 .
z = 1+ t


Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d và tiếp xúc với mặt
cầu (S).
Bài giải
Mặt cầu (S) có tâm I ( 1; 4;3) và có bán kính R = 3 2 .
r
u
Đường thẳng d có véctơ chỉ phương = ( 2; 2;1) và đi qua điểm M ( 3;3;1) .
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Do mặt phẳngr (P) vuông góc với đường thẳng d
nên mặt phẳng (P) nhận véctơ chỉ phương u = ( 2; 2;1) của đường thẳng d làm
véctơ pháp tuyến nên mặt phẳng (P) có dạng: 2x + 2y + z + D = 0 .
Mặt khác mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:
 D = −13 − 9 2
= 3 2 ⇔ 13 + D = 9 2 ⇔ 
.
22 + 22 + 12
 D = −13 + 9 2
Với D = −13 + 9 2 thì mặt phẳng (P) có dạng: 2x + 2y + z − 13 + 9 2= 0 .
d ( I , ( P) ) = R ⇔

2 +8+3+ D

Với D = −13 − 9 2 thì mặt phẳng (P) có dạng: 2x + 2y + z − 13 − 9 2 = 0 .
Bài toán 3:
11


Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P)
chứa đường thẳng d cho trước.
Cách giải:
- Xét đường thẳng d dưới dạng phương trình tổng quát;
- Viết phương trình chùm mặt phẳng đi qua d;
- Sử dụng điều kiện tiếp xúc tìm ra mặt phẳng (P).
Ví dụ 1: ( Giải toán hình học 12 của Lê Hồng Đức và nhóm Cự Môn)
Cho đường thẳng d và mặt cầu (S) có phương trình:
d:

x − 3 y −1 z − 2
2
2
=
=
và ( S ) : x 2 + ( y − 1) + ( z − 2 ) = 3
2
1
1

a. Chứng minh rằng đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A. Tìm
tọa độ tiếp điểm A.

b. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu
(S).
Bài giải
a. Mặt cầu (S) có tâm I ( 0;1; 2 ) và có bán kính R = 3 .

r
u
Đường thẳng d có véctơ chỉ phương = ( 2;1;1) và đi qua điểm M ( 3;1; 2 )
 x = 3 + 2t

Chuyển đường thẳng d về dạng tham số: d :  y = 1 + t , t ∈ R .
z = 2 + t


Thay phương trình tham số d vào phương trình mặt cầu (S) ta được:
2
( 3 + 2t ) + t 2 + t 2 = 3 ⇔ 6t 2 + 12t + 6 = 0 ⇔ t = −1 . Khi đó tiếp điểm A ( 1;0;1) .
b. Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tiếp xúc
với
uu
r mặt cầu (S) nên mặt phẳng (P) đi qua A và có véctơ chỉ phương
IA = ( 1; − 1; − 1) nên mặt phẳng (P) có dạng: x − y − z = 0 .
Ví dụ 2: ( Giải toán hình học 12 của Lê Hồng Đức và nhóm Cự Môn)
Cho đường thẳng d và mặt cầu (S) có phương trình:
d:

x − 3 y − 2 z +1
2
2
=

=
và ( S ) : x 2 + ( y − 1) + ( z − 2 ) = 14 .
9
3
5

a. Chứng minh rằng đường thẳng d không cắt mặt cầu (S).
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu
(S).
Bài giải
a. Mặt cầu (S) có tâm I ( 0;1; 2 ) và có bán kính R = 14 .
r
u
Đường thẳng d có véctơ chỉ phương = ( 9;3;5 ) và đi qua điểm M ( 3; 2; −1)

12


 x = 3 + 9t

Chuyển đường thẳng d về dạng tham số: d :  y = 2 + 3t , t ∈ R
 z = −1 + 5t


Thay phương trình tham số d vào phương trình mặt cầu (S) ta được:
2
2
2
( 3 + 9t ) + ( 1 + 3t ) + ( −3 + 5t ) = 14 ⇔ 115t 2 + 30t + 5 = 0 . Phương trình vô nghiệm.
Vậy đường thẳng d không cắt mặt cầu (S).

b. Lấy thêm điểm N ( −6; −1; −6 ) ∈ d và giả sử mặt phẳng (P) cần tìm có phương
trình:
( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B 2 + C 2 > 0 .
Vì M, N thuộc (P) nên:
3 A + 2 B − C + D = 0
5C = −9 A − 3B
⇔

 −6 A − B − 6C + D = 0
5D = −24 A − 13B

(I)

Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi
d ( I,( P) ) = R ⇔

B + 2C + D
A2 + B 2 + C 2

= 14

⇔ ( B + 2C + D ) = 14 ( A2 + B 2 + C 2 )
2

(II)

 A = −2 B
Thay (I) vào (II) ta được: A + 3 AB − 2 B = 0 ⇔ 
1
A= B


2
2

2

+ Với A = -2B thì chọn A = 1 suy ra B = 2, C = -3, D = -10. Khi đó phương trình
mặt phẳng (P) cần tìm: x + 2 y − 3z − 10 = 0 .
1
B thì chọn B = -1 suy ra A = 2, C = -3, D = -7. Khi đó phương trình
2
mặt phẳng (P) cần tìm: 2 x − y − 3 z − 7 = 0 .

+ Với A =

Dạng 4: Đường tròn trong không gian
Bài toán 1:
Xác định tâm, tính bán kính đường tròn là giao của mặt phẳng với mặt cầu cho
trước:
Cách giải:

(

2
2
Khi d ( I , ( P ) ) < R thì ( P ) ∩ ( S ) là đường tròn H ; r = R − d ( I ; ( P ) )

) với H là

hình chiếu của I trên (P).

Vậy đường tròn trong không gian có phương trình:
2
2
2
2

( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R


 Ax + By + Cz + D = 0

Ví dụ 1 ( Đề thi đại học khối A-2009): Cho mặt phẳng (P): 2 x − 2 y − z − 4 = 0
và mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2x - 4y - 6z - 11= 0 .
13


Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác
định tâm và bán kính của đường tròn đó.
Bài giải:
Mặt cầu (S) có tâm I ( 1; 2;3) và bán kính R = 5. Do
2.1 − 2.2 − 1.3 − 4

d ( I , ( P) ) = R ⇔

22 + ( −2 ) + ( −1)
2

2

=

9
= 3 < 5 = R nên mặt phẳng (P) cắt mặt
9

cầu (S) theo một đường tròn (C) có bán kính r = R 2 − d 2 ( I ; ( P ) ) = 4 và có tâm
H là hình chiếu của I trên (P). Tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình:
 x −1 y − 2 z − 3
=
=

−2
−1 ⇒ H ( 3;0; 2 ) .
 2

 2x -2y -z -4 = 0

Ví dụ 2 ( Đề minh họa kì thi THPT quốc gia 2017):
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;1;1) và
mặt phẳng ( P ) : 2x + y + 2z + 2 = 0 . Biết mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao
tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1. Viết phương trình của mặt cầu ( S )
A. ( S ) : ( x + 2) + ( y + 1) + ( z + 1) = 8

B. ( S ) : ( x + 2) + ( y + 1) + ( z + 1) = 10

C. ( S ) : ( x − 2) + ( y − 1) + ( z − 1) = 8

D. ( S ) : ( x − 2) + ( y − 1) + ( z − 1) = 10

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Bài giải
Gọi R, r lần lượt là bán kính của mặt cầu ( S ) và đường tròn giao tuyến

(

Ta có R 2 = r 2 + d ( I , ( P ) )

)

2

2

 2.2 + 1.1 + 2.1 + 2 
÷ = 10.
= 1+ 
2
2

÷
2 + 1+ 2



Mặt cầu ( S ) tâm I ( 2;1;1) bán kính R = 10 là ( x − 2) + ( y − 1) + ( z − 1) = 10.
Đáp án D
Bài toán 2: Viết phương trình mặt cầu đi qua một điểm M (x0, y0, z0) và chứa
2

2

2

2
2
2
2


( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R
đường tròn: 

 Ax + By + Cz + D = 0

Cách giải:
Tìm dạng phương trình mặt cầu (S):

( x − a)

2

+ ( y − b ) + ( z − c ) − R 2 + k ( Ax + By + Cz + D ) = 0 .
2

2

Thay tọa độ điểm M (x0,y0, z0) vào mặt cầu để tìm k .
Ví dụ 1 ( Tài liệu chuyên toán bài tập hình học 12 của Đoàn Quỳnh):
14


Viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua một điểm M (7, −3,1) và chứa đường tròn
2
2
2

( x − 3) + ( y − 4 ) + z = 36
(C ) : 

.

 4x + y - z - 9 = 0

Bài giải
2
2
2

( x − 3) + ( y − 4 ) + z = 36
Mặt cầu ( S ) chứa đường tròn ( C ) : 

 4x + y - z - 9 = 0

nên có dạng : ( x − 3) + ( y − 4 ) + z 2 − 36 + k ( 4x + y - z - 9 ) = 0 .
2

2

Do M (7, −3,1) ∈ ( S ) nên

( 7 − 3)

2

+ ( −3 − 4 ) + 12 − 36 + k ( 4.7 - 3- 1- 9 ) = 0 ⇔ k = −2 .
2

2
2

Vậy phương trình mặt cầu ( S ) : ( x − 3) + ( y − 4 ) + z 2 − 36 − 2 ( 4x + y - z - 9 ) = 0

⇔ x 2 + y 2 + z 2 − 14 x − 10 y + 2 z + 7 = 0 .

Dạng 5: Ứng dụng của mặt cầu giải một số bài toán đại số
Ví dụ 1:
 x 2 + y 2 + z 2 =1
Cho hệ phương trình: 
2 x − y + 2 z = m

(1)

Tìm m để hệ phương trình có đúng một nghiệm và hãy tìm nghiệm đó.
Bài giải
Nghiệm của hệ phương trình (nếu có) là tọa độ điểm chung của:
mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 =1 và mặt phẳng ( α ) :2 x − y + 2 z − m = 0
Mặt cầu (S) có tâm O(0; 0; 0) bán kính R = 1.
Do đó hệ (1) có đúng một nghiệm khi và chỉ khi (S) và (α) tiếp xúc nhau
⇔ d ( O, (α ) ) =

−m
22 + (−1) 2 + 22

=1 ⇔

−m
=1⇔
3

m = 3

m = − 3


Trường hợp 1: Với m = 3 nghiệm của hệ là hình chiếu vuông góc H của O trên
( α1 ) : 2 x − y + 2 z − 3 = 0 và đường thẳng ∆ qua O và vuông góc với (α1) có phương
 x = 2t

trình:  y = − t ( t ∈ R ) .
 z = 2t


Giá trị của tham số t tương ứng với điểm chung của (α1) và ∆là
t=

1
2 1 2
⇒ H  ,− , ÷
3
3 3 3

Trường hợp 2: Với m = -3. Gọi H’ là hình chiếu vuông góc của O trên

15


( α 2 ) : 2 x − y + 2 z + 3 = 0 và đường thẳng ∆ qua O và vuông góc với (α2) có phương
 x = 2t

trình:  y = − t ( t ∈ R ) .
 z = 2t



Giá trị của tham số t tương ứng với điểm chung của (α2) và ∆là
1
 2 1 2
t = − ⇒ H '  − ; ; − ÷.
3
 3 3 3
2
1
2

Vậy khi m = 3 thì hệ có mghiệm duy nhất là  x = ; y = − ; z = ÷
3
3
3

2
1
2

và khi m = - 3 thì hệ có mghiệm duy nhất là  x = − ; y = ; z = − ÷.
3
3
3


Ví dụ 2:
Cho ba số thực x, y, z thỏa: x 2 + y 2 + z 2 =1 . Tìm GTLN và GTNN của:
F = 2x + 2 y − z − 9

Bài giải:
Xét mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 =1 tâm O, bán kính R = 1 và mặt phẳng (α):
2 x + 2 y − z − 9 = 0.
 x = 2t

Đường thẳng ∆qua O và vuông góc với (α) có phương trình  y = 2t ( t ∈ R ) ,
z = − t

1
3
2
2
1
2
2
1




⇒ ∆ và (S) cắt nhau tại 2 điểm: A  ; ; − ÷ và B  − ; − ; ÷.
 3 3 3
 3 3 3
4 4 1
4 4 1
+ + −9
− − − −9
3 3 3
3 3 3

Khi
đó
và
d ( A, (α ) ) =
=2
d ( B, (α ) ) =
=4.
2
2
2
2
2
2
2 + 2 + ( −1)
2 + 2 + ( −1)

giá trị tham số t tương ứng với giao điểm của ∆ và (S) là t = ±

Lấy M(x; y; z) ∈(S),
d ( M , (α ) ) =

2x + 2 y − z − 9
2 + 2 + ( −1)
2

2

2

1

= F.
3

Luôn có
1
6 ≤ F ≤ 12 .
F ≤ 4⇔
3
2
1
2
1
Vậy Fmin = 6 đạt khi x = y = ; z = − và Fmax = 12 đạt khi x = y = − ; z = .
3
3
3
3
d ( A, (α ) ) ≤ d ( M , (α ) ) ≤ d ( B, (α ) ) ⇔
2≤

f. Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

( S ) : ( x − 3)

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 1) = 25
2

2

16


và song song với mặt phẳng (P): 4x + 3z - 17 = 0.
Bài tập 2: Viết phương trình mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng (P):
2
2
2

( x − 3) + ( y − 4 ) + z = 36
2x + 2y + z - 7 = 0 và chứa đường tròn ( C ) : 
.

 4x + y - z - 9 = 0

Bài tập 3:
2x − 2 y − z + 1= 0
và mặt
 x + 2 y − 2 z − 4= 0

Trong hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d): 
cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 + 4x − 6y + m = 0 .

Tìm m để d cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm M, N sao cho MN = 9.
Bài tập 4:
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + 5 = 0 và I(1; 2; -2):
a) Lập phương trình mặt cầu (C), tâm I sao cho giao tuyến của mặt cầu (C) và
mặt phẳng (P) là đường tròn có chu vi bằng 8π

b) Chứng minh rằng mặt cầu (C) nói trên tiếp xúc với (d): 2x - 2 = y + 3 = z.
c) Lập phương trình mặt phẳng đi qua (d) mà tiếp xúc với mặt cầu (C).
Bài tập 5:
 x 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 1) 2 = 9 ( S )

Cho điểm M(0; 2; 0) và đường tròn (C): 

 x+y+z =2

a) Chứng minh rằng M nằm ngoài (C). Lập phương trình các tiếp tuyến kẻ từ M
tới (C).
b) Từ M kẻ các tiếp tuyến tới mặt cầu (S). Tìm tập hợp các tiếp điểm.
Bài tập 6:
2
2
2
Cho mặt cầu (S): ( x − 2 ) + ( y + 3) + ( z + 3) = 5 và mặt phẳng (P):
x - 2y + 2z + 1 = 0.
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn. Lập
phương trình đường tròn (C) là giao tuyến và tìm tâm, tính bán kính của đường
tròn đó.
b) Lập phương trình mặt cầu chứa (C) và tâm nằm trên mặt phẳng (Q):
x + y + z + 3=0.
Bài tập 7:
Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình :

( S ) : ( x + 1) 2 + ( y − 2 ) 2 + ( z − 3) 2 = 9
( P ) : x - 4y - 3z + 5 = 0.
Lập phương trình tiếp diện của (S) đi qua A(0; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng
(P).

17


x + y + z = 3

Bài tập 8: Giải hệ phương trình:  x 2 + y 2 + z 2 = 3 .
 x 3 + y3 + z 3 = 3


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Khi dạy trước hết tôi đưa ra các bài toán để học sinh tìm lời
giải, sau đó tổng hợp cách làm và các dạng để học sinh nắm được
phương pháp, có cái nhìn tổng quát hơn khi giải toán. Các bài toán
này được thực hành trên lớp và kiểm tra , đa số học sinh tiếp thu và
vận dụng tốt đảm bảo yêu cầu chính xác, tiết kiệm thời gian khi làm
bài.
Mặt khác đây cũng là tài liệu mà các thành viên trong tổ, nhóm
chuyên môn học hỏi, bổ sung kiến thức cho bản thân nhằm nâng cao
chất lượng dạy và học trong nhà trường.
Bảng thống kê số phần trăm học sinh hiểu bài và vận dụng được:
Lớp
Sĩ số
Năm học Kết quả
2012 - 2013
12C8
42
50% học sinh hiểu và vận
dụng được

2014 - 2015
12C3
43
65% học sinh hiểu và vận
dụng được
2016 - 2017
12C4
45
80% học sinh hiểu và vận
dụng được
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Qua thời gian viết SKKN và vận dụng chuyên đề này vào giảng
dạy, tôi nhận thấy việc làm này đã thu được kết quả đáng kể từ phía
các em học sinh. Đây thực sự là một công cụ hữu hiệu, giúp học sinh
giải quyết bài toán nhanh, gọn và chính xác. Đồng thời các em đã có
được cái nhìn tổng thể về cách giải quyết bài toán này. Điều này
phần nào tạo cho các em học sinh có được tâm thế tốt khi sắp bước
vào các kỳ thi quan trọng.
Khi ứng dụng đề tài này vào giảng dạy cho học sinh, tôi nhận thấy
đây là một chuyên đề có thể tiếp tục áp dụng cho các năm tiếp theo,
đặc biệt rất phù hợp với mọi đối tượng học sinh. Tất nhiên là phải
tiếp tục hoàn thiện đề tài này hơn nữa. Bài học kinh nghiệm được rút
ra từ quá trình áp dụng SKKN của tôi là:
Phải thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương
pháp dạy học phù hợp. Người Thầy phải nhiệt tình, gương mẫu, làm
cho các em thấy được tinh thần nghiêm túc và hăng say nghiên cứu
khoa học của mình, có vậy học sinh mới noi gương Thầy quyết tâm
và ham mê học tập, từ đó để các em không cảm thấy áp lực trong
học tập.

18


Tiếp theo là, thường xuyên tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích
sự tìm tòi học tập ở học sinh.
3.2. Kiến nghị
Theo tôi việc bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên phải thường
xuyên và liên tục. Bản thân mỗi giáo viên cũng phải tự bồi dưỡng,
học hỏi, trau dồi kiến thức và không ngừng nâng cao trình độ chuyên
môn nghiệp vụ. Vì vậy nhà trường, các tổ, nhóm chuyên môn nên
phân công cụ thể từng người viết báo cáo, sáng kiến kinh nghiệm,
nghiên cứu khoa học phù hợp với thực tại giảng dạy của môn học.
Đồng thời cũng tạo điều kiện cho họ có thời gian trình bày hàng
tháng, hàng quý hoặc sau một kì để các thành viên trong tổ, nhóm
chuyên môn góp ý chỉnh sữa những vấn đề chưa được và những vấn
đề làm tốt cần phát huy. Có như vậy các thành viên trong nhà
trường, các tổ, nhóm chuyên môn học hỏi được của nhau và hoàn
thiện bộ tài liệu giảng dạy chung khi cần.
Mặt khác các tài liệu có chất lượng được hỗ trợ kinh phí hoặc
thưởng hoặc là căn cứ đánh giá thi đua cho người viết. Đó cũng một
phần khích lệ, động viên cho mỗi giáo viên.
Các báo cáo mang tính đặc thù bộ môn nên trình bày trong tổ, nhóm;
các báo cáo về phương pháp có thể trình bày trước cả hội đồng giáo
dục nhà trường.
Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi đã nhận được những góp ý
quý báu của các đồng nghiệp, song do thời gian nghiên cứu và ứng
dụng chưa dài, nên đề tài của tôi không tránh khỏi còn nhiều hạn
chế. Rất mong tiếp tục nhận được sự đóng góp khác từ phía đồng
nghiệp để tôi có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình.
Xin chân thành cảm ơn !

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, không sao chép nội
dung của người khác.

Nguyễn Thị Lan

19


Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa, sách bài tập hình học 12 (Chuẩn và Nâng cao) của bộ giáo
dục và đào tạo phát hành.
2. Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học, từ năm học 1997-1998
đến năm học 2004-2005 . NXB Đại học Quốc gia HN của tác giả
Doãn Minh Cường.
3. Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học – cao đẳng toàn quốc,
từ năm học 2002-2003 đến năm học 2009-2010 . NXB Hà Nội của
nhóm tác giả Trần Tuấn Điệp, Ngô Long Hậu, Nguyễn Phú Trường.
4. Các bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Tác giả: Nguyến Thái Hòe - XB năm 2006.
5. Tạp chí toán học và tuổi trẻ , NXB Giáo dục. của Bộ giáo dục
đào tạo- Hội toán học Việt Nam (1996- 2007).
6. Tài liệu khai thác trên mạng.
7. Giải toán hình học 12 ( Bài giảng chuyên sâu toán THPT) của Lê Hồng
Đức và nhóm Cự Môn.
8. Tài liệu chuyên toán ( bài tập hình học 12) của Đoàn Quỳnh (chủ biên).

20