SKKN Toán 12 Phân loại bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

LỜI NĨI ĐẦU
Trong chương trình Hình học 12, bài tốn viết phương trình đường thẳng trong
khơng gian là bài tốn hay và khơng q khó. Để làm tốt bài tốn này địi hỏi học sinh
phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ giữa đường thẳng, mặt
phẳng và mặt cầu. Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong các đề thi tốt nghiệp THPT và
thi vào Cao đẳng, Đại học nên yêu cầu học sinh phải làm tốt được dạng toán này là hết
sức cần thiết.
Trong quá trình giảng dạy, tơi thấy các em dễ nhầm lẫn khi giải bài toán dạng này
với bài toán viết phương trình mặt phẳng. Nhằm giúp các em giảm bớt khó khăn khi gặp
dạng tốn này tơi đã mạnh dạn đưa ra chuyên đề : “ Phân loại bài toán viết phương
trình đường thẳng trong khơng gian”. Trong chun đề, tơi đã đưa ra phân loại bài tập
viết phương trình đường thẳng từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một cách đơn giản, dễ
nhớ và từng bước giúp học sinh hình thành tư duy tự học, tự giải quyết vấn đề. Ngoài ra,
giúp cho các em làm tốt các bài thi tốt nghiệp cũng như thi vào các trường Cao đẳng và
Đại học.
Chuyên đề gồm 4 phần:
Phần I: Nhắc lại các kiến thức cơ bản có liên quan
Phần II: Phương pháp chung để giải toán
Phần III: Một số bài toán thường gặp
Phần IV: Bài tập tự luyện – Đáp số
Do thời gian có hạn và điều kiện nghiên cứu cịn hạn chế nên chun đề này
khơng tránh khỏi những thiếu sót. Tơi rất mong được sự quan tâm góp ý của các đồng
nghiệp trong tổ Tốn cùng tồn thể các bạn quan tâm đến chuyên đề này.
Tôi xin chân thành cám ơn.
Hải Dương, ngày 15 tháng 01 năm 2011

1


PHẦN I
NHẮC LẠI KIẾN THỨC CƠ BẢN CÓ LIÊN QUAN

1. Vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng:
r

r

r

* u ≠ 0 và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d thì u là vectơ chỉ phương
của đường thẳng d.
r

r

* u là chỉ phương của d thì k u cũng là chỉ phương của d ( k ≠ 0 )
2. Vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng:
r

r

r

* n ≠ 0 và có giá vng góc với mặt phẳng ( α ) thì n là VTPT của ( α )
r

r

* n là VTPT của ( α ) thì k n cũng là VTPT của ( α ) ( k ≠ 0 )
3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
* Phương trình tổng quát của ( α ) có dạng Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B2 + C2 ≠
0)

r

* Nếu ( α ) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì VTPT của ( α ) là n
( A;B;C)
r

* Nếu ( α ) đi qua điểm M(x0;y0;z0) và nhận n (A;B;C) là VTPT thì phương trình
của ( α ) là :
A(x- x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0  Ax + By + Cz + D = 0 (D = -Ax0 - By0 Cz0)
r

* Nếu ( α ) chứa hay song song với giá của hai vectơ không cùng phương a
r

r

r r

=(a1;a2;a3), b (b1;b2;b3) thì VTPT của ( α ) là n = [ a , b ] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 a2.b1)
* Nếu ( α ) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0 ), B (0;b;0), C(0;0;c) thì ( α
) có phương trình là :

x y z
+ + = 1 (điều kiện a.b.c ≠ 0 )
a b c

( phương trình trên gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn )
4. Phương trình của đường thẳng :
r

Nếu điểm M(x0 ; y0 ; z0) ∈ d và VTCP của d là u (a; b ; c ) thì :
2


 x = x0 + at

* Phương trình tham số của đường thẳng d là :  y = y0 + bt
 z = z + ct
0


* Phương trình chính tắc của d là :

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a
b
c

( t là tham số)
(a.b.c ≠ 0 )

5. Các kiến thức khác:
* Cho A(xA;yA;zA) và điểm B(xB; y B ; zB)
uuu
r

- Vectơ AB = (xB-xA ; yB-yA ; zB-zA )
x A + xB y A + y B z A + z B

;
;
)
2
2
2
r
r
r r
* Tích có hướng của a và b là một vectơ ký hiệu là [ a , b ]
r
r
r r
Nếu a = (a1;a2;a3) và b = (b1;b2;b3) thì [ a , b ] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 -

- Toạ độ trung điểm I của AB là I = (

a2.b1)
Chú ý:

r r

r

r r

r

+) [ a , b ] ⊥ a và [ a , b ] ⊥ b
r

r

r r

r

+) a và b cùng phương [ a , b ]= 0

3


PHẦN II. PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TỐN
Trong bài tốn viết phương trình đường thẳng d thì phương pháp chung nhất là đi xác
định vectơ chỉ phương của đường thẳng và toạ độ một điểm thuộc đường thẳng sau đó
dựa vào công thức của định nghĩa ( trang 83 SGK Hình học 12) để viết phương trình
đường thẳng.
Một số trường hợp cơ bản để xác định toạ độ VTCP của một đường thẳng :
 x = x0 + at
r

TH1: Nếu đường thẳng cho dưới dạng tham số (d):  y = y0 + bt thì 1 VTCP là u
 z = z + ct
0


(a;b;c)
TH2: Nếu đường thẳng d cho dưới dạng chính tắc

x − x0 y − y0 z − z0

=
=
(a.b.c ≠
a
b
c

r

0 ) thì 1 VTCP là u (a;b;c)
uuu
r

TH3: Nếu đường thẳng d đi qua 2 điểm phân biệt A, B thì d có 1VTCP là AB
r

Ví dụ: Xác định toạ độ vectơ chỉ phương u của đường thẳng d trong các trường
hợp sau:
 x = 1 − 2t

a/ d :  y = t
 z = −2 + 5t


( t là tham số)

b/ d:
Lời giải

r

a/ Ta có VTCP của d là u =(- 2; 1; 5)
r
b/ Ta có VTCP của d là u =(- 4; 5; 3)

4

x+2 y−3 z
=
=
−4
5
3


PHẦN III. MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1 : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d
r
biết d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có chỉ phương u = (a; b; c).
Hướng dẫn:
 x = x0 + at

* Phương trình tham số của đường thẳng d là :  y = y0 + bt ( t là tham số)
 z = z + ct
0

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
* Phương trình chính tắc của đường thẳng d là :
( điều kiện a.b.c

a
b
c
≠0)

Ví dụ : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số và
phương trình chính tắc của d trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua điểm M(-2; 1; -4) và có chỉ phương là u =(-3; 2; -1)
b/ d đi qua điểm M(-1;3;4) và có chỉ phương là u =(1;-4;0)
Lời giải
a/ Ta có

 x = −2 − 3t

phương trình tham số của d là :  y = 1 + 2t ( t là tham số )
 z = −4 − t


phương trình chính tắc của d là:

x + 2 y −1 z + 4
=
=
−3
2
−1

 x = −1 + t

b/ Phương trình tham số của d là:  y = 3 − 4t ( t là tham số )

z = 4


Khơng có phương trình chính tắc .
Dạng 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua hai điểm A, B
cho trước.
uuu
r
Hướng dẫn: - VTCP của d là AB
- Chọn điểm đi qua là A hoặc B
- Đưa bài toán về dạng 1
Ví dụ : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của d
trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua A(1; 2; -3) và B(-2; 2; 0 )
b/ d đi qua M(-2; 1; 3) và N (1; 1; -1)
c/ d đi qua C(-1; 2; 3) và gốc toạ độ.
Lời r
giải
uuu
a/ Do d đi qua A và B nên VTCP của d là AB = (-3; 0; 3)
5


 x = 1 − 3t

=> phương trình tham số của d là  y = 2
( t là tham số )
 z = −3 + 3t

uuuu

r
b/ Do d đi qua M và N nên VTCP của d là MN =(3; 0; -4)
 x = −2 + 3t

 phương trình tham số của d là:  y = 1
( t là tham số )
 z = 3 − 4t

uuu
r
c/ Do d đi qua C và O nên VTCP của d là OC =(-1; 2; 3)
 x = −1 − t

 phương trình tham số của d là:  y = 2 + 2t ( t là tham số )
 z = 3 + 3t


Dạng 3 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vng góc với mặt
phẳng ( α ) .
Hướng dẫn: -VTPT của mặt phẳng ( α ) là VTCP của đường thẳng d
⇒ đưa bài tốn về dạng 1
Ví dụ : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của d
trong các trường hợp sau :
a/ d đi qua A(-2; 4; 3) và vng góc với ( α ):2x - 3y – 6z + 19 = 0
b/ d đi qua B(1;-1;0) và vng góc với mặt phẳng (Oxy)
c/ d đi qua B(1;-1;0) và vng góc với mặt phẳng (Oxz)
d/ d đi qua B(1;-1;0) và vng góc với mặt phẳng (Oyz)
Lời giải
r

r

a/VTPT của ( α ) là n (2;-3;-6). Do d ⊥ ( α ) nên d nhận n là VTCP
 x = −2 + 2t

⇒ phương trình tham số của d là  y = 4 − 3t
( t là tham số)
 z = 3 − 6t

uu
r
b/ Do d ⊥ (Oxy) nên VTCP của d là k =(0; 0; 1)
x = 1

⇒ phương trình tham số của d là  y = −1
( t là tham số)
z = t

ur
u
d/ Do d ⊥ (Oxz) nên VTCP của d là j =(0; 1; 0)
x = 1

⇒ phương trình tham số của d là  y = −1 + t
z = 0


e/ Do d ⊥ (Oyz) nên VTCP của d là

( t là tham số)

u
r
i = (1; 0; 0)
6


x = 1 + t

⇒ phương trình tham số của d là  y = −1
z = 0


( t là tham số)

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường
thẳng d’.
Hướng dẫn: - VTCP của d’ chính là VTCP của d
⇒ đưa bài tốn về dạng 1.
Ví dụ : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của
đường thẳng d trong các trường hợp sau:
x = 2 + t

a/ d đi qua điểm A(2; -5; 3) và song song với d’  y = 3 + 2t ( t là tham số)
 z = 5 − 3t


b/ d đi qua điểm B(4;-2;2) và song song với d’:

x+2 y −5 z −2

=
=
4
2
3

c/ d đi qua điểm M(0; 2; 1) và song song với đường thẳng AB trong đó A(5;3;2),
B(2;1;-2)
d/ d đi qua điểm P(2; 3; 4) và song song với trục Ox.
Lời giải
r

a/ Do d // d’ ⇒ vectơ chỉ phương của d là u = (1; 2; -3)
x = 2 + t

⇒ phương trình tham số của d là:  y = −5 + 2t ( t là tham số)
 z = 3 − 3t

r

b/ Do d // d’ ⇒ Vectơ chỉ phương của d là u = (4; 2; 3)

 x = 4 + 4t

⇒ phương trình tham số của d là:  y = −2 + 2t ( t là tham số)
 z = 2 + 3t

uuu
r
c/ AB ( −3; −2; −4 ) là VTCP của đường thẳng d

 x = −3t

=> phương trình tham số của d là:  y = 2 − 2t ( t là tham số)
 z = 1 − 4t


u
r
d/ Do d // trục Ox ⇒ Vectơ chỉ phương của d là i = (1; 0; 0)
x = 2 + t

⇒ phương trình tham số của d là:  y = 3
( t là tham số)
z = 4


7


Dạng 5 : Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với 2 mặt phẳng cắt nhau (P)
và (Q)
r

r

r

r

r

Hướng dẫn : - VTCP của d là u = [ n P, n Q] ( n P ; n Q lần lượt là VTPT của hai mp (P) và
(Q))
- Đưa bài tốn về dạng 1.
Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của d
biết d đi qua điểm M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và
(Q): x – 3y + z -2 = 0.
Lời giải .

r
r
Ta có n P = (2; 3; -2); n Q=(1; -3; 1) lầnrlượtrlà VTPT của hai mp (P) và (Q). Do d //
r
(P) và d//(Q) nên vectơ chỉ phương của d là u = [ n P, n Q] = (-3; - 4; -9).
 x = 3 − 3t

⇒ Phương trình tham số của d là:  y = 1 − 4t
( t là tham số)
 z = 5 − 9t


Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của d
biết d đi qua điểm M(-2; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P): 3x + 2y - 4z +1 = 0 và
mặt phẳng (Oxy).
Lời giải .
r

r

Ta có VTPT của (P) là : n P = (3; 2; -4) và VTPT của (Oxy) là k =(0; 0; 1)

r
r r
Do d //(P) và d//(Oxy) nên VTCP của d là u = [ n P, k ] = (2; -3; 0)
 x = −2 + 2t

⇒ Phương trình tham số của d là:  y = 1 − 3t
z = 5


( t là tham số).

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, song song với mặt phẳng
(P) và vng góc với đường thẳng d’ ( d’ khơng vng góc với (P))
r

r

Hướng dẫn : - Xác định VTPT của (P) và VTCP của d’ lần lượt là n P và u ’
r
r r
- VTCP của d là u = [ n P, k ]=>Đưa bài tốn về dạng 1.
Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của
đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua điểm M(2; 3; 0), song song (P): 3x – 2y +z+1 = 0 và vng góc với d’:
x −1 y +1 z + 3
=
=
.
2
3

4

8


b/ d đi qua điểm M(-2; 1; 3), song song với mặt phẳng (Oxz) và vng góc với d’:
 x = 1 + 3t

 y = 2 − t (t là tham số)
 z = 4 + 2t


Lời giải
r

a/ Ta có : - VTPT của (P) là n P = (3; -2; 1)
u
r
- VTCP của đường thẳng d’ là u ' = (2; 3; 4 )
r
r
r u
Do d//(P) và d ⊥ d’ ⇒ VTCP của đường thẳng d là u = [ n P, u ' ] = (-11; -10; 13)
 x = 2 − 11t '

⇒ phương trình tham số của d là:  y = 3 − 10t '
 z = 13t '


( t’ là tham số)

ur
u

b/ Ta có : - VTPT của (Oxz) là j = (0; 1; 0)
u
r
- VTCP của d’ là u ' = (3; -1; 2 )
ur u
u r
r
Do d//(Oxz) và d ⊥ d’ ⇒ VTCP của d là u = [ j , u ' ] = (2; 0; -3)
 x = −2 + 2t '

⇒ Phương trình tham số của d là:  y = 1
 z = 3 − 3t '


( t’ là tham số)

Dạng 7 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vng góc với hai
đường thẳng d1 và d2 (d1 và d2 là hai đường thẳng chéo nhau)
ur

uu
r

Hướng dẫn :
- Xác định VTCP của d1 và d2 lần lượt là u1 và u2 )
ur uu

r
r
- VTCP của d là u = [ u1 , u2 ] => Đưa bài tốn về dạng 1.
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của
 x = 2 − 3t

đường thẳng d biết d đi qua điểm M(2; -3; 4), vng góc với d1:  y = 3 + t ( t là tham
 z = −1 + 2t


số ) và d2:

x +1 y z + 3
= =
2
5
3

Lời giải

ur
uu
r
Ta có : VTCP của d1 là u1 = (-3; 1; 2) và VTCP của d2 là u2 = (2; 5; 3 )
ur uu
r
r
Do d ⊥ d1 và d ⊥ d2 ⇒ VTCP của d là u = [ u1 , u2 ]= (-7; 13; -17)
 x = 2 − 7t


⇒ Phương trình tham số của d là:  y = −3 + 13t
( t là tham số).
 z = 4 − 17t


9


Dạng 8 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M đồng thời cắt cả hai
đường thẳng d1 và d2
Hướng dẫn :
Cách 1
- Viết pt mp(P) thoả mãn đi qua M và chứa d1
- Xác định giao điểm C của d2 và mp(P)
+ Nếu không tồn tại giao điểm thì kết luận bài tốn vơ nghiệm
+ Nếu có vơ số giao điểm thì kết luận bài tốn có vơ số nghiệm đó chính là chùm
đường thẳng trong mp(P) đi qua M
+ Nếu có nghiệm duy nhất thì chuyển sang bước tiếp theo
uuur
u
- Viết pt đường thẳng d thoả mãn đi qua M và nhận MC là VTCP. Chứng tỏ d
khơng song song với d1. Khi đó d chính là đường thẳng cần tìm.
Cách 2.
- Chuyển pt của d1 và d2 về dạng tham số ( lần lượt theo tham số t và t’)
- Giả sử d cắt d1 và d2 theo thứ tự tại B và C. Khi đó suy ra toạ độ B và C theo
thứ tự thoả mãn các pt tham số của d1 và d2
- Từ điều kiện M, B, C thẳng hàng ta xác định được toạ độ của B và C
- Đường thẳng d là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B
Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường
x = 1+ t


thẳng d biết d đi qua điểm A(1; 1; 0) và cắt cả 2 đường thẳng (d1) :  y = −t và (d2) :
z = 0

x = 0

 y = 0 (t, s là tham số )
z = 2 + s


Lời giải
r
r
Cách 1. Gọi (P) là mp chứa A và d1. Khi đó (P) qua A và nhận n là VTPT với n =

uuu ur
r
 AB, u1 



ur

r

(trong đó B(1;0;0); u1 (1;-1;0) là VTCP của d1) => n (0;0;1)
=> Phương trình của mp(P) là z = 0
Gọi C là giao điểm của (P) và d2 => C(0;0;0)
uur
u

CA ( 1;1;0 ) là VTCP
Gọi d là đường thẳng đi qua A và C => d đi qua A và nhận
x = t '

=> d có phương trình:  y = t ' ( t’ là tham số)
z = 0

ur
uuu
r
Dễ thấy CA và u1 không cùng phương => d là đường thẳng cần dựng.

Cách 2. Giả sử d là đường thẳng cần dựng và d cắt d1 và d2 theo thứ tự tại B và C.
Khi đó:
10


B ∈ d1 => B(1+t ; -t ; 0); C ∈ d 2 => C(0 ; 0 ; 2+s)
uuu
r
uuu
r
AB ( t ; −t − 1;0 ) ; AC ( −1; −1;2 + s )
=>

 s = −2
t = k (−1)

1



Ba điểm A, B, C thẳng hàng  −t − 1 = k (−1) ⇔ t = −
2
0 = k (2 + s )


1

k=


2

Vậy d là đường thẳng đi qua đi qua A(1;1;0) và C(0;0;0) => d có phương trình :
x = t '

y = t '
z = 0


( t’ là tham số).

Dạng 9 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vng góc với đường
thẳng d1 và cắt đường thẳng d2
Hướng dẫn :
- Chuyển phương trình của d2 về dạng tham số
- Giả r d cắt d2 tại B, khi đó tìm được toạ độ B thoả mãn pt tham số của d2 => toạ
sử
uuu
độ AB

uuu ur
r
- Vì d ⊥ d1 ⇔ AB.u1 = 0 => giá trị tham số => toạ độ điểm B
uuu
r
- Viết phương trình đường thẳng d thỏa mãn đi qua A và nhận AB là VTCP
Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi
qua A(0;1;1), vng góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 cho bởi: (d1):
x = 1− t
 x = 2u


và (d2) :  y = 1 + u
y = t
 z = −1
z = u



(t, u là tham số)

Lời giải
uuu
r
Giả sử ur là đường thẳng cần dựngur cắt d2 tại B, khi đó B(2u ;1+u ; u) => AB (2u ;
d
và
u ; u-1). Gọi u1 là 1 VTCP của d1 ta có u1 (-1;1;0)
uuu ur
r

uuu
r
Vì d ⊥ d1 ⇔ AB.u1 = 0 u = 0 => AB (0;0;-1)
x = 0

Vậy phương trình đường thẳng d là :  y = 1 ( t là tham số).
z = 1− t


Dạng 10 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vng góc với đường
thẳng d1 và cắt đường thẳng d1
Hướng dẫn :
- Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên d1 => toạ độ H theo tham số t
11


uuur ur

ur

- Do AH ⊥ d1 ⇔ AH .u1 = 0 ( u1 là VTCP của d1) => giá trị của tham số t => toạ
độ H
- Vậy d là đường thẳng đi qua 2 điểm A và H
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi
x = t

qua A(1;2;-2), vng góc với d’ và cắt d’ trong đó d’ có phương trình  y = 1 − t ( t là
 z = 2t


tham số).

Lời giải
uuur

Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên d’ => H(t ; 1 - t ; 2t) => AH (t – 1 ; -t –
1 ; 2t +ur
2)
u1 (1; -1; 2) là VTCP của d’
uuur ur

2
3

uuur  5

1 2

Do AH ⊥ d’ ⇔ AH .u1 = 0  6t + 4 = 0 t = − => AH  − ; − ; ÷
3 3 3




5

x = 1− 3 u

1


Vậy phương trình của d là :  y = 2 − u ( u là tham số)
3

2

 z = −2 + 3 u


Dạng 11 : Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) đồng thời cắt cả hai
đường thẳng d1 và d2
Hướng dẫn : - Nhận xét giao điểm của d1 và d2 với d chính là giao điểm của d1 và d2 với
mp(P).
- Xác định A và B lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với (P)
- Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B
Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng d
x = 1− t

nằm trong mp(P) : y + 2z = 0 đồng thời cắt cả 2 đường thẳng d1:  y = t
và d2 :
 z = 4t

x = 2 − t '

 y = 4 + 2t '
z = 1


( t và t’ là tham số)

12

Lời giải
Gọi A và B lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với (P) => A(1;0;0) và B(5;-2;1)
uuu
r
Khi đó đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua A và nhận AB (4;-2;1) là VTCP =>
 x = 1 + 4t

Phương trình của d là:  y = −2t ( t là tham số).
z = t


Dạng 12 : Viết phương trình đường thẳng d song song với d’ đồng thời cắt cả hai
đường thẳng d1 và d2
Hướng dẫn:
- Chuyển pt của hai đường thẳng d1 và d2 về dạng tham số (giả sử theo tham số t
và t’)
- Giả sử A và B lần lượt là giao điểm của d với d1 và d2 => Toạ độ A và B theo
tham số t và t’
r
- Xác định u là VTCP của d’
r
uuu
r
- Do d//d’ nên u và AB cùng phương => giá trị của tham số t và t’ => toạ độ 2
điểm A và B
uuu
r
- Đường thẳng d là đường thẳng đi qua A và nhận AB là VTCP

Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d biết
d song song với d’ : x - 4 =
x = t

d1 :  y = −1 + 2t
z = t

y −1 z −1
=
và d2 : x =
.
−2
3

y −7 z −3
=
đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 với
4
−2

Lời giải

x = t '
r

d’ có VTCP u (1;4;-2), d2 có pt tham số  y = 1 − 2t '
 z = 1 + 3t '


Giả sử A và B lần lượt là giao điểm của d với d1 và d2 => A(t ; -1 + 2t ; t) và

B(t’;1- 2t’;1 + 3t’)
uuu
r
=> AB (t’-t;2-2t’-2t;1+3t’-t)
r

uuu
r

Do d // d’ nên u và AB cùng phương 
A(2;3;2)

13

t ' = 1
t '− t 2 − 2t '− 2t 1 + 3t '− t
=
=

=>
1
4
−2
t = 2


x = 2 + u
r

Vậy d là đường thẳng đi qua A và nhận u là VTCP => d có pt là:  y = 3 + 4u ( u :

 z = 2 − 2u


tham số)

Dạng 13 : Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đều hai đường thẳng
song song d1 và d2 đồng thời d nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2.
Hướng dẫn : r
- VTCP u của d là VTCP của d1 hoặc d2
- Xác định toạ độ điểm M ∈ d1, N ∈ d2 ⇒ toạ độ trung điểm I của MN thuộc d.
r
- Vậy đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua I và nhận u là VTCP
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
 x = 2 + 3t

x − 4 y +1
z
=
=
d1:  y = −3 + t ( t là tham số ) và d2:
.
3
1
−2
 z = 4 − 2t


Viết phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2
đồng thời cách đều hai đường thẳng đó.
Lời giải

r

∈d

Do d1//d2 và d cách đều d1, d2 ⇒ chỉ phương của d là u = (3; 1; -2)
Lấy M(2; -3; 4) ∈ d1 , N(4; -1; 0) ∈ d2 ⇒ toạ độ trung điểm I của MN là I(3; -2; 2)
 x = 3 + 3t

⇒ phương trình tham số của d là  y = −2 + t
 z = 2 − 2t


( t là tham số )

Dạng 14 : Viết phương trình đường thẳng d là đường vng góc chung của hai
đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.
Hướng dẫn :
Cách 1.
- Gọi AB là đoạn vng góc chung của d1 và d2( A∈ d1 và B∈ d2). Khi đó toạ độ A
uuu
r
và B thoả mãn phương trình tham số của d1 và d2 =>Toạ độ của AB
- Từ điều kiện AB ⊥ d1 và AB ⊥ d2 =>Toạ độ A và B
- Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B
Cách 2.

14


r

u
r

r

- Xác định vectơ u và u ' lần lượt là VTCP của hai đường thẳng d1 và d2. Gọi v
r
r r u'
u , u 
là VTCP của đường thẳng d => v = 


- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d1
- Xác định A là giao điểm của d2 và mp(P)
r
- Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua A và nhận v là VTCP .
Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau d1:
 x = 1 + 2t

 y = 2 + t và
 z = −3 + 3t


x = 2 + u

d2 :  y = −3 + 2u . Viết phương trình đường vng góc chung của d1 và d2?
 z = 1 + 3u


Lời giải
ur

uu
r

ur

uu
r

Gọi u1 và u2 theo thứ tự là VTCP của d1 và d2 => u1 (2;1;3) và u2 (1;2;3)
Gọi AB là đoạn vng góc chung của d1 và d2( A ∈ d1 và B ∈ d2) => A(1+2t;2+t:3+3t) và
uuu
r
B(2+u;-3+2u;1+3u) => AB (u-2t+1;2u-t-5;3u-3t+4)
Từ điều kiện AB ⊥ d1 và AB ⊥ d2 
 29
ur
t = 9

u1 = 0
 2 ( u − 2t + 1) + 2u − t − 5 + 3 ( 3u − 3t + 4 ) = 0

⇔
⇔
uu
r
u − 2t + 1 + 2 ( 2u − t − 5 ) + 3 ( 3u − 3t + 4 ) = 0


u = 25
u2 = 0


9

r
 67 47 20  uuu  24 24 24 
=> A  ; ; ÷; AB  − ; − ; ÷
9 9 
 9 9 3 
 9
r
u ( 1;1; −1) là
Vậy đường thẳng vng góc chung d là đường đi qua A và nhận
uuu
r
 AB.

 uuu
r
 AB.


67

x = 9 + t '

47


VTCP => d có phương trình là:  y = + t ' ( t’ : là tham số)
9

20

z = 3 − t '


Dạng 15 : Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên
mặt phẳng (P).
Hướng dẫn : - Xác định điểm chung của d’ và mp(P)
+ Nếu d’ ⊂ ( P) thì hình chiếu của d’ chính là d’
15


+ Nếu d’//(P) thì
*Xác định A ∈ d '
*Xác định B là hình chiếu vng góc của A trên (P)
*d là đường thẳng đi qua B và //d’
+ Nếu d '∩ ( P) = M thì:
*Xác định A ∈ d ' ( A không trùng với M)
*Xác định B là hình chiếu vng góc của A trên (P)
*d là đường thẳng đi qua 2 điểm M và B
Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của
 x = 2 + 3t

đường thẳng d là hình chiếu của d’ :  y = 1 − t trên mặt phẳng (P): 2x- 3y + z +1 = 0.
z = 3 + t


Lời giải
1 3 5
2 2 2

Gọi M = d '∩ ( P) => M( ; ; )
Ta có A(2 ; 1 ; 3 ) ∈ d’

 x = 2 + 2u

Gọi d1 là đường thẳng đi qua A và vng góc với (P) => d1 có pt là:  y = 1 − 3u (*)
z = 3 + u

Gọi B là hình chiếu vng góc của A trên (P) => B = (P) ∩ d1

Thay (*) vào phương trình mp (P) ta được: 2(2+2u) – 3(1-3u) + 3+u +1 = 0 14u
5
14
uuu  11 8 2 
r
 9 29 37 
=> B  ; ; ÷ => MB  ; ; ÷
 14 14 14 
 7 14 14 

= - 5  u= −

ur

Đường thẳng d cần tìm là đường đi qua C và nhận u1 (11;8;2) là VTCP
9


 x = 7 + 11t

29

⇒ Phương trình tham số của d là :  y =
+ 8t
14

37

 z = 14 + 2t


16

( t là tham số )


PHẦN IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2; 1) và B(1; -1; 3). Viết
phương trình tham số của đường thẳng AB ( Đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần 1 năm
2007)
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(3; 4; 1), N(2; 3; 4). Viết
phương trình chính tắc của đường thẳng MN ( Đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần 2 năm
2007)
Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2) và N(3; 1; 5). Viết
phương trình tham số của đường thẳng đi qua M và N.
( Đề thi tốt nghiệp THPT phân ban lần 2 năm 2007)
Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(-1; 2; 3) và mặt phẳng ( α ):

x – 2y + 2z +5 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vng góc với ( α )
( Đề thi tốt nghiệp BTTHPT năm 2008)
Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và mặt phẳng ( α ) :
2x – 3y + 6z +35 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vng góc với ( α )
( TNTHPT không phân ban năm 2008)
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mặt phẳng ( α ):
2x – 2y + z - 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vng góc với ( α )
( Đề thi TN THPT phân ban năm 2008)
Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4). Viết
phương trình của đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vng góc với
mặt phẳng (OAB) ( Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2007)
Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng
(P): 2x +3y – 4z +5 =0 và (Q): 3x + y – z +4 = 0. Viết phương trình tham số của đường
thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q).
Bài 9: Lập phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng
x−3 y −3 z −3
=
=
d1:
1
3
1

x = 2 − t

và d2:  y = 2t
z = 8 + t


17

 x = −4 − t

Bài 10: Viết phương trình hình chiếu vng góc của đường thẳng d:  y = −1 + 8t
 z = −3t


trên mặt phẳng (P): 3x + 2y +z – 5 = 0.
Bài 11: Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả hai

đường thẳng

x = 3 + t

d1:  y = 2 + 5t (t ∈ R);
 z = −1 + 4t


x = 2 − t'

d2:  y = 4 + 2t ' (t’ ∈ R ).
z = 6 + t '


Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

x y −1 z + 2
=
=

2
−1
1

 x = −1 + 2t

và d2:  y = 1 + t (t ∈ R). Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt
z = 3


phẳng (P): 7x + y – 4z =0 và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2
( Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2007).
Bài 13: Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d song song
với với hai mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z -20 = 0, (Q): 3x - 4y + 9z + 8 = 0 và cắt hai
đường thẳng d1 và d2. Biết

d1 :

x + 4 y − 4 z +1
x−4 y z−2
=
=
= =
, d2:
.
2
−3
3
−2
3

4

Bài 14: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2; 3; 3 ), vuông góc với đường
 x = −3
x +1 y + 4 z + 2

=
=
thẳng d1:
và cắt đường thẳng d2:  y = 8 − t
3
1
1
z = 9 − t


(t ∈ R).

Bài 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường thẳng
d1:

x−2 y +2 z −3
=
=
,
2
−1
1

d2:

x −1 y −1 z +1
=
=
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A
−1
2
1

vng góc với d1 và cắt d2 ( Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2006).

18


Bài 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d:
 x = −3 + 2t

y = 1− t
 z = −1 + 4t


, viết phương trình đường thẳng d’ đi qua điểm A, cắt và vng góc với

đường thẳng d. ( Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2004)
Bài 17: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :

x+2 y−2 z
=
=
và

1
1
−1

mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao
cho d cắt và vng góc với đường thẳng ∆
( Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2009).
Bài 18: Viết phương trình đường thẳng d song song, cách đều d1, d2 và thuộc mặt phẳng
chứa hai đường thẳng d1, d2 trong đó d1:

x+2 y −5 z −9
=
=
;
3
−1
4

d2 :

x y+3 z+7
=
=
.
3
−1
4

Bài 19: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường
thẳng d biết d vng góc với mặt phẳng (P): x + 2y +z + 2 = 0 đồng thời cắt cả hai

x = 3 + t

đường thẳng d1:  y = 2 + 3t và d2:
 z = 1 − 2t


x = 2 − t'

 y = 3 + t'
 z = 4 + 2t '


( t và t’ là tham số ).

Bài 20: Viết phương trình tham số của d biết d song song với hai mặt phẳng (P):
x + 2y – z +1 = 0 và (Q): - x – y + 2z -2 = 0 đồng thời cắt hai đường thẳng
x = 1 + t
x = 3 − t'


d1:  y = 2 − t , d2:  y = 1 + 2t ' .
 z = 1 + 2t
z = 2 − t'



Bài 21: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;1;0), B(0;2;1)
và trọng tâm G(0;2;-1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm C và vng góc
với mặt phẳng (ABC).
( Đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A, B năm 2009).

Bài 22: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
mặt phẳng (P): x + 2y – z + 5 = 0.
19

x+3
= y + 1 = z − 3 và
2


a. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)
b. Viết phương trình đường thẳng d’ nằm trong mặt phẳng (P), đi qua giao điểm A
của đường thẳng d với mặt phẳng (P) và tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất.

ĐÁP SỐ
x = t

Bài 1 :  y = 2 − 3t
 z = 1 + 2t

 x = 1 + 2t

Bài 3 :  y = t
 z = 2 + 3t

 x = 1 + 2t

Bài 5 :  y = 2 − 3t
 z = 3 + 6t


(tham số t ∈ R)

Bài 2 :

x − 3 y − 4 z −1
=
=
−1
−1
3

(tham số t ∈ R)

 x = −1 + t

Bài 4 :  y = 2 − 2t
 z = 3 + 2t


(tham số t ∈ R)

 x = 3 + 2t

Bài 6 :  y = −2 − 2t (tham số t ∈ R)
 z = −2 + t


(tham số t ∈ R)

x y−2 z−2

=
Bài 7 : =
2
−1
1

 x = −1 + t

Bài 8 :  y = −1 − 10t
 z = −7t


(tham số t ∈ R)

x = 3 + t

Bài 9 :  y = −2 − 2t
 z = 7 + 5t


(tham số t ∈ R)

34 9

 x = − 13 + 13 t

167 40

− t
Bài 10:  y = −

13 13

z = t



(tham số t ∈ R)

x = 2

Bài 11:  y = 3
 z = −1 + t


(tham số t ∈ R)

Bài 12:

x − 2 y z +1
= =
7
1 −4

Bài 14 :

x−2 y −3 z −3
=
=
−5
7

8

 x = −2 + 8t

Bài 13 :  y = −3t
 z = 2 − 4t


(tham số t ∈ R)

20


Bài 15 :

x −1 y − 2 z − 3
=
=
1
−3
−5

Bài 16 :

x+4 y+2 z−4
=
=
3
2
−1

x + 3 y −1 z −1
=
=
Bài 17 :
−1
2
1

 x = −1 + 3t

Bài 18 :  y = 1 − t
 z = 1 + 4t


(tham số t ∈ R)

11

x = 4 + t

5

Bài 19 :  y = + 2t (tham số t ∈ R)
4

3

z = 2 + t


8

 x = 7 + 3t

13

Bài 20:  y = − t
7

9

z = 7 + t


(tham số t ∈ R)

 x = −1 + t

Bài 21:  y = 3 + t
 z = −4


Bài 22:

(tham số t ∈ R)

21

x +1 y z − 4

=
=
.
1
−1
−1


KẾT LUẬN

Bài tốn viết phương trình đường thẳng trong khơng gian là bài toán mà học sinh
hay gặp trong các kì thi tốt nghiệp THPT cũng như trong các kì thi vào các trường Đại
học và Cao đẳng. Việc phân loại bài tốn theo mức độ từ dễ đến khó đã giảm bớt được
sự khó khăn của học sinh khi gặp các bài tốn này. Tuy nhiên trong khn khổ của
chuyên đề này, tác giả chưa trình bày được hết các bài tốn về viết phương trình đường
thẳng mà mới chỉ dừng lại ở những bài toán hay gặp nhất. Các bài tốn ở mức độ khó
hơn, hoặc các cách giải khác vẫn chưa được đề cập tới. Hy vọng rằng với sự góp ý của
các bạn đồng nghiệp thì chuyên đề này sẽ được nghiên cứu và khai thác sâu hơn.

22


MỤC LỤC

Nội dung
Lời nói đầu
Phần I. Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan
Phần II. Phương pháp chung để giải toán
Phần III. Một số bài toán thường gặp
Phần IV. Bài tập tự luyện

Kết luận

23

Trang
1
2
4
5
17
22