Ứng dựng đạo hàm để giải một số bài toán thực tế trong chương trình phổ thông

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU……………………………………………………………………………………2

1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu

2

3

1.3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 3
1.4. Phương pháp nghiên cứu 3
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM...................................................................4
2.1. Cơ sở lí luận.

4

2.2. Cơ sở thực tiễn.

4

2.3. Thực trạng giải pháp cũ thường làm. 4
2.4. Giải pháp mới cải tiến:
2.5. Nội dung:

5

5

A – KIẾN THỨC CHUNG

5

B – BÀI TẬP VẬN DỤNG

5

3. KẾT LUẬN.............................................................................................. ........................17

1. Kết quả của sáng kiến................................................................................................17
2. Ý nghĩa của đề tài sáng kiến.
3. Hiệu quả kinh tế, xã hội

18

4. Điều kiện và khả năng áp dụng
5. Những đề xuất kiến nghị

18
18

19

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

Trang 1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài

Luật giáo dục năm 2005 tiếp tục xác định “Hoạt động giáo dục phải được thực hiện
theo nguyên lí học đi đôi với hành, giáo dục phải kết hợp với lao động sản xuất, lý luận
phải gắn liền với thực tiễn. . .”.
Mục tiêu của giáo dục ngày nay là đào tạo nguồn nhân lực có trình độ để phục vụ đất
nước.Do vậy các kiến thức học sinh được học phải gắn liền với thực tế. Chính vì lẽ đó mà
các nhà giáo dục đã không ngừng chỉnh sửa cải cách nội dung giảng dạy cho phù hợp với
yêu cầu của xã hội.
Đối với môn học xã hội thì các ứng dụng thực tế là rất dễ thấy.Học môn địa lý thì các
em có thể hiểu vì sao có các hiện tượng ngày, đêm, mưa, gió. . . vì vậy rất dễ lôi cuốn sự
hứng thú của học sinh. Ngược lại môn toán thì sao?Có lẽ ai đã từng học toán, đang học
toán đều có suy nghĩ rằng toán học ngoài những phép tính đơn giản như cộng, trừ nhân
chia . . . thì hầu hết các kiến thức toán khác là rất trừu tượng đối với học sinh.Vì vậy việc
học toán trở thành một áp lực nặng nề đối với học sinh.Họ nghĩ rằng toán học là mơ hồ xa
xôi, học chỉ là học mà thôi.Học sinh học toán chỉ có một mục đích duy nhất đó là thi
cử.Hình như ngoài điều đó ra các em không biết học toán để làm gì.Vì vậy họ có quyền
nghi ngờ rằng liệu toán học có ứng dụng vào thực tế được không nhỉ?
Sự thật là toán học có rất nhiều ứng dụng vào thực tế và nó thể hiện rất rõ trong cuộc
sống hằng ngày của con người nhưng chúng ta không để ý mà thôi. Với mục đích giúp
cho học sinh thấy rằng toán học là rất gần gũi với cuộc sống xung quanh, hoàn toàn rất
thực tế và việc tiếp thu các kiến thức toán ở nhà trường không chỉ để thi cử mà nó còn là
những công cụ đắc lực để giúp các em giải quyết các vấn đề, tình huống đơn giản trong
thực tế.
Sự thay đổi hình thức thi THPTQG môn toán từ tự luận sang trắc nghiệm là một
trong những bước ngoặt quan trọng trong cải cách giáo dục Việt Nam. Nội dung ma trận
đề thi trắc nghiệm minh họa môn toán đã được xác định, kiến thức được đề cập đến tất cả
các phần của lớp 12. Một điều quan trọng mà ta dễ nhận thấy là có 5 phần kiến thức luôn
có sự xuất hiện các bài toán ứng dụng thực tế mới lạ và hay. Từ đó để học sinh thấy rằng
việc học môn toán không chỉ là các kiến thức hàn lâm xa vời mà còn có rất nhiều ứng
dụng khác nhau trong đời sống gần gũi của chúng ta. Trên tinh thần đó tôi đã chọn đề tài
sáng kiến “ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC

TẾ TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG”. Đây là nội dung mới nên học sinh
thường gặp nhiều lúng túng khi giải quyết các bài toán dạng này. Vì vậy, nội dung tài liệu
đã phân loại thành các phần để học sinh dễ dàng nhận biết, bao gồm rất nhiều bài tập trắc
nghiệm phong phú vận dụng toán học vào thực tế. Sau phần đề bài tài liệu còn có phần
đáp án và lời giải chi tiết để đọc giả đối chiếu và tham khảo. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp
ích cho các bạn học sinh trong quá trình học tập, chủ động tự tin bước vào kì thi THPT
Trang 2


quốc gia sắp tới; và cũng là tài liệu tham khảo hữu ích cho các thầy cô trong quá trình
giảng dạy cho học sinh.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất những câu hỏi trắc nghiệm khách quan ứng dụng giải toán thực tế nhằm cho
học sinh tiếp cận với phương pháp đanh giá mới và phát triển năng lực tư duy giải toán
cho học sinh.
Giúp giáo viên hệ thống kiến thức và hướng dẫn học sinh cách tư duy giải các bài
toán ứng dụng thực tế trong chương trình phổ thông.
1.3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đưa ra một số chủ đề kiến thức trong trương trình Giải tích lớp 12 và đặt ra các bài tập
toán ứng dụng thực tế.
- Sử dụng một số kiến thức liên quan về hình học, giải tích lớp 12.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận.
- Phương pháp điều tra – khảo sát.
- Thực nghiệm sư phạm.
- Phương pháp thực nghiệm.
- Ngoài ra còn kết hợp các tài liệu tham khảo, trao đổi chuyên môn đồng nghiệp và của
các thành viên trong nhóm có nhiều năm kinh nghiệm trong công tác giảng dạy.

Trang 3

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận.
Để hình thành một kỹ năng không phải đơn giản mà phải trải qua một quá trình dài
trên cơ sở đúc rút những kinh nghiệm vốn có, trên cơ sở phân tích, tổng hợp và vận dụng
thực tế.
Kỹ năng trong giải toán và và vận dụng nó trong thực tế cũng có thể được hiểu như
là những những thủ thuật, sự sáng tạo trong quá trình giải toán. Đối với mỗi dạng toán đều
mang trong nó những cách giải với những thủ thuật riêng mà việc hình thành cho học sinh
những thủ thuật đó là một điều thật sự cần thiết cho người học toán.
Việc hình thành cho học sinh kỹ năng trong giải toán và vận dụng thực tế không chỉ
mang lại cho học sinh có một cách nhìn tổng quát về mặt phương pháp đối với một dạng
toán nào đó mà còn giáo dục cho học sinh biết phân tích, xem xét để trong mỗi tình huống
cụ thể, công việc cụ thể sẽ vận dụng khả năng nào là hợp lý. Đồng thời nó góp phần bồi
dưỡng cho ngưòi học những đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo như tính chủ
động, tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch, kỹ năng phân tích, tổng hợp. . . của một sự vật,
hiện tượng.
2.2. Cơ sở thực tiễn.
- Căn cứ vào mục đích dạy học môn Toán.
- Căn cứ vào tình hình dạy ở trường và đặc điểm, khả năng của học sinh.
- Căn cứ vào sách giáo khoa và chương trình hiện hành của BGD.
- Căn cứ vào tình huống dạy học và từng đối tượng học sinh.
- Căn cứ vào việc hướng dẫn, bồi dưỡng, rèn luyện học sinh tham gia thi các kỳ thi của Bộ
Giáo dục.
2.3. Thực trạng giải pháp cũ thường làm.
- Các bài toán vận dụng kiến thức sách giáo khoa để giải quyết vấn đề thực tế còn ít, nếu
có thì cũng chỉ mang tính tượng trưng hoặc áp đặt khiên cưỡng.
- Các tài liệu về mảng đề tài này còn rất hạn chế và không có sự phân loại rõ ràng.
- Học sinh còn rất lúng túng khi giải các bài toán loại này.

+ Ưu điểm:
- Đã đề cập đến các bài toán ứng dụng thực tế vận dụng các kiến thức trong chương trình
sách giáo khoa.
+ Nhược điểm:
- Môn Toán trong trường phổ thông là một môn học khó, lượng kiến thức lại nhiều, đòi
hỏi sự tư duy lôgic và tính trừu tượng cao. Học sinh hiện nay học thấy xa rời thực tế nên
dễ nản lòng và không hứng thú học tập.
+ Tồn tại và giải pháp cần được khắc phục:
Do học sinh không thấy được tính thiết thực của kiến thức nên dẫn đến học sinh
không chăm học, học không đều, số đông chưa chuẩn bị ở nhà bài trước khi đến lớp.
Một số giáo viên còn thiếu năng động, học hỏi, tìm tòi kiến thức mới không thoát
lý khỏi kiến thức của sách giáo khoa chậm đổi mới phương pháp dạy học.
Để khắc phục tình trạng này: Giáo viên giảng dạy cần phải đổi mới phương pháp dạy
học, đẩy mạnh hơn nữa sự vận dụng của môn Toán vào thực tiễn đời sống, sử dụng nhiều
nguồn tài liệu tham khảo, trao đổi với đồng nghiệp dạy giỏi bộ môn của mình để học tập
kinh nghiệm.
Trang 4


2.4. Giải pháp mới cải tiến:
+ Bản chất của giải pháp mới:
- Giảng dạy cho học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản sách giáo khoa từ đó vận dụng
các kiến thức để giải quyết các bài toán trong thực tế đặt ra.
+ Tính mới, tính sáng tạo của giải pháp:
- Phân loại theo từng dạng chủ đề kiến thức rõ ràng.
- Đưa ra các phần kiến thức chung tương ứng trong chương trình sách giáo khoa.
- Hệ thống các bài tập toán ứng dụng thực tế theo hình thức trắc nghiệm khách quan.
- Bài tập vận dụng được đề cập đều có lời giải chi tiết và phân tích tường tận.
- Những bài tập cần thiết đều có hình vẽ minh hoạ rõ ràng sinh động và phong phú để học
sinh dễ dàng nhận biết và vận dụng giải toán.

- Các bài toán đề cập đến các nội dung gần gũi và thực tế với đời sống hàng ngày không
hàn lâm xa vời.
2.5. Nội dung:

A – KIẾN THỨC CHUNG
1. Vận dụng các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số
2. Tìm GTLN – GTNN của hàm số:
Quy tắc chung: (Thường dung cho D là một khoảng).
- Tính f '  x  , giải phương trình f '  x   0 tìm nghiệm trên D.
- Lập BBT cho hàm số trên D.
- Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN.
Quy tắc riêng: (Dùng cho  a; b  ) . Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên

 a; b  .

- Tính f '  x  , giải phương trình f '  x   0 tìm nghiệm trên  a, b  .
- Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 � a, b  .

- Tính 4 giá trị f  a  , f  b  , f  x1  , f  x2  . So sánh chúng và kết luận.

B – BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài toán 1: Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay,
doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe honda Future Fi với chi phí mua
vào một chiếc là 27 (triệu đồng) và bán với giá 31 (triệu đồng) mỗi chiếc. Với giá bán này thì
số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh
hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và
ước tính rằng nếu giảm 1 (triệu đồng) mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng
thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện
giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất ?
A. 30,5 triệu đồng.

B. 206 cm3 . triệu đồng.
C. 25,5 triệu đồng.
D. 54 cm 3 . triệu đồng.
Hướng dẫn giải:
Gọi x ( x  0 , đơn vị: triệu đồng) là giá bán mới. Khi đó:
Trang 5


Số tiền đã giảm là: 31  x. Số lượng xe tăng lên là: 200(31  x).
Vậy tổng số sản phẩm bán được là: 600  200(31  x)  6800  200 x
Doanh thu mà doanh nghiệp sẽ đạt được là: (6800  200 x) x
Tiền vốn mà doanh nghiệp phải bỏ ra là: (6800  200 x).27
Lợi nhuận mà công ty đạt được sẽ là:
L( x)  Doanh thu – Tiền vốn

 (6800  200 x) x  (6800  200 x).27  200 x 2  12200 x  183600
L '( x)  400 x  12200. Cho L '( x)  0 � x  30,5

Lập BBT ta thấy lợi nhuật lớn nhất khi x  30,5.
Vậy giá bán mới là 30,5 (triệu đồng).
Chọn đáp án A.
Bài toán 2: Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một
điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá để xây đường ống trên bờ là
50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước.B’ là điểm trên bờ biển
sao cho BB’ vuông góc với bờ biển.Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C trên đoạn
AB’ sao cho khi nối ống theoACB thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng

A. 262 cm3 .

B. 3a.

C.

2
.
5

D.

2 2
.
5

Hướng dẫn giải:
Đặt x  B ' C (km ) , x �[0;9] , BC  x 2  36; AC  9  x
Chi phí xây dựng đường ống là C ( x )  130.000 x 2  36  50.000(9  x )
� 13 x

�
 5�
� x  36
�

Hàm C ( x ) , xác định, liên tục trên [0;9] và C '( x )  10000. �
2
2
2
C '( x )  0 � 13 x  5 x 2  36 � 169 x  25( x  36) � x 

2

25
5
�x
4
2

5

��
C (0)  1.230.000 ; C � � 1.170.000 ; C (9) �1.406.165
2

��
Vậy chi phí thấp nhất khi x  2,5 . Vậy C cần cách A một khoảng 6,5km.

Chọn đáp án A.
Trang 6

(USD)


Bài toán 3: Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra Côn Đảo
(điểm C).biết khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km, khoảng cách từ A đến B là 100km,
mỗi km dây điện dưới nước chi phí là 5000 USD, chi phí cho mỗi km dây điện trên bờ là
3000 USD. Hỏi điểm G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ A đến G rồi từ G đến C chi phí
ít nhất.

A.

2 2
.
3

2
.
5

B.

C. 55km

D.  60km

Hướng dẫn giải:
Gọi BG  x(0  x  100) � AG  100  x . Ta có GC  BC 2  GC 2  x 2  3600
Chi phí mắc dây điện: f ( x)  3000.(100  x)  5000 x 2  3600
Khảo sát hàm ta được: x  45 .
Chọn đáp án B.
Bài toán 4: Có hai chiếc cọc cao 10 m và 30 m lần lượt đặt tại hai vị trí A, B. Biết khoảng
cách giữa hai cọc bằng 24 m . Người ta chọn một cái chốt ở vị trí M trên mặt đất nằm giữa
hai chân cột để giang dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc (như hình vẽ).Hỏi ta phải đặt
chốt ở vị trí nào đề tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất?

A. AM  6 m, BM  18 m.
C. AM  4 m, BM  20 m.

B. AM  7 m, BM  17 m.
D. AM  4 m, BM  18 m.

Hướng dẫn giải:
Đặt AM  x (0  x  24) � BM  24  x . Ta có CM  CA2  AM 2  x 2  100

 24  x 

MD  MB 2  BD 2 
CM  MD 

 24  x 

2

2

 900 . Suy ra tổng độ dài hai sợi dây là:

 900  x 2  100  f ( x),(0  x  24)

Khảo sát hàm ta được: x  6  m   BM =18  m  . C
Chọn đáp án A.
Trang 7


Bài toán 5: Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng
"Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S, l là độ dài đường
biên giới hạn của tiết diện này, l - đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương; mương
đựơc gọi là có dạng thuỷ động học nếu với S xác định, l là nhỏ nhất). Cần xác định các
kích thước của mương dẫn nước như thế nào để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn
nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật)
y

x

A. x  4 S , y 

S
.
4

B. x  4 S , y 

C. x  2 S , y  S .
4

S
.
2

D. x  2S , y  S .
2

Hướng dẫn giải:
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương.Theo bài ra ta có: S = xy;
2S
2S
l  2y  x 
 x . Xét hàm số l ( x) 
 x.
x
x
Ta có l ' ( x) =

2S
x 2  2S
+
1
=
.
x2
x2

l ' ( x) = 0 � x 2  2S  0 � x  2S , khi đó y =

S
=
x

S
.
2

Dễ thấy với x, y như trên thì mương có dạng thuỷ động học, vậy các kích thước của
S
mương là x  2S , y =
thì mương có dạng thuỷ động học.
2
Chọn đáp án D.
Bài toán 6: Người ta muốn làm một cánh diều hình quạt sao cho với chu vi cho trước là
a sao cho diện tích của hình quạt là cực đại. Dạng của quạt này phải như thế nào?
A. x 

a
a
;y .
4
2

B. x 

a
a
;y .
3
3

C. x 

a
2a
;y
.
6
3

D. x 

a
2a
;y
.
2

3

y

xx

Hướng dẫn giải:
+ Gọi x là bán kính hình quạt, y là độ dài cung tròn. Ta có chu vi cánh diều là a  2 x  y
. Ta cần tìm mối liên hệ giữa độ dài cung tròn y và bán kính x sao cho diện tích quạt lớn

Trang 8


nhất. Dựa vào công thức tính diện tích hình quạt là S 
l 

 R2 
và độ dài cung tròn
360

2R
lR
, ta có diện tích hình quạt là: S 
.Vận dụng trong bài toán nàydiện tích
360
2

cánh diều là: S 

xy x(a  2 x) 1


 2 x( a  2 x ) .
2
2
4

a
a
� y  . Như vậy với chu vi cho trước,
4
2
diện tích của hình quạt cực đại khi bán kính của nó bằng nửa độ dài cung tròn.

+ Dễ thấy S cực đại � 2 x  a  2 x � x 

Chọn đáp án A.
Bài toán 7: Mương nước  P  thông với mương nước  Q  , bờ của mương nước  P 
vuông góc với bờ của mương nước  Q  . Chiều rộng của hai mương bằng nhau và

bằng 8m . Một thanh gỗ AB , thiết diện nhỏ không đáng kể trôi từ mương  P  sang
mương  Q  . Độ dài lớn nhất của thanh 20. (lấy gần đúng đến chữ số phần trăm) sao
cho 100. khi trôi không bị vướng là

5

A. 10 7 . .

B. 22,61m .

C. 23, 26m .

D. 23,62m .

Hướng dẫn giải:
H

B

 Q

8m
8m O

I

J
A

 P
Thanh gỗ trôi qua được khi thanh gỗ chạm điểm O thì OA �OB . Vậy ABmax khi
OA  OB ( A nằm trên bờ mương  P  , B nằm trên bờ mương  Q  ). Do hai mương có
chiều rộng bằng nhau nên tam giác HAB vuông cân tại H . Khi đó
AB  162  162  16 2 �22,627.

Trang 9


Chọn đáp án A.
Bài toán 8:Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6 cm. Người ta muốn cắt một hình thang
như hình vẽ. Tìm tổng  x  y để diện tích hình thang  EFGH đạt giá trị nhỏ nhất.

A. 7.

C. 7 2 .
2

B. 5.

D. 4 2.

Hướng dẫn giải:
Ta có S EFGH nhỏ nhất � S  S AEH  SCGF  S DGH lớn nhất.
Tính được 2S  2 x  3 y  (6  x)(6  y)  xy 4 x  3 y 36 (1)
Mặt khác AEH đồng dạng CGF nên
Từ (1) và (2) suy ra 2 S  42  (4 x 
nhất � 4 x 

AE AH

� xy  6 (2)
CG CF

18
18
) . Ta có 2S lớn nhất khi và chỉ khi 4 x 
nhỏ
x
x

18

3 2
�x
�y2 2.
x
2

Chọn đáp án C.
Bài toán 9:Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4 mét được đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt
(tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho
�
góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó ? ( BOC
gọi là góc nhìn)
C
1,4
B
1,8
A

A. AO  2, 4m.

B. AO  2m.

O

C. AO  2,6m.

Trang 10

D. AO  3m.

Hướng dẫn giải:
Với bài toán này ta cần xác định OA để góc �
ABC lớn nhất. Điều này xảy ra khi và
chỉ khi tanBOC lớn nhất. Đặt OA = x (m) với x > 0,
tan �
ABC  tan �
ABC
�
�
�
tan
ABC

tan
AB
C

ABC

ta có
1  tan �
ABC.tan �
ABC



AC AB

OA OA

=
AC. AB
1
OA2



1, 4
1, 4 x
1, 4 x
x
=
=
.
Xét
hàm
số
f(x)
=
2
2
3, 2.1,8
x  5,76
x  5,76
1
2
x

Ta có bảng biến thiên
x

f'(x)

0
+

f(x)

2,4
0

_

+

84
193
0

0

Bài toán trở thành tìm x > 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất.Ta có

1, 4 x 2  1, 4.5,76
f'(x) =
, f'(x) = 0 � x = �2,4
( x 2  5,76) 2
Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4m.
Chọn đáp án A.
Bài toán 10:Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một cái hàng rào hình chữ E
dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng

rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000
đồng là một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu
là 50 000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được.

A. 6250 m 2 .

B. 1250 m 2 .

C.  3125 m 2 .

Hướng dẫn giải:
Ta đặt các kích thước của hàng rào như hình vẽ

Trang 11

D. 50 m 2 .


Từ đề bài ban đầu ta có được mối quan hệ sau:
Do bác nông dân trả 15 000 000 đồng để chi trả cho nguyên vật liệu và đã biết giá
thành từng mặt
nên ta có mối quan hệ:
3 x.50000  2 y.60000  15000000 � 15 x  12 y  1500 � y 

150  15 x 500  5 x

12
4

Diện tích của khu vườn sau khi đã rào được tính bằng công thức:

f  x   2.x. y  2 x.

500  5 x 1
  5 x 2  500 x 
4
2

Xét hàm số f  x  
f ' x  

1
5 x 2  500 x  trên  0;100 

2

1
 10 x  500  , f '  x   0 � x  50
2

Ta có BBT

Chọn đáp án A.

Trang 12


Bài toán 11:Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần xả thành một
chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình
vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng x của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang
là lớn nhất.

A. x 

3 34  17 2
 cm  .
2

B. x 

3 34  19 2
 cm  .
2

C. x 

5 34  15 2
 cm  .
2

D. x 

5 34  13 2
 cm  .
2

Hướng dẫn giải:
Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là S  S MNPQ  4 xy
Cạnh hình vuông MN 

MP

2



40
2



 20 2  cm  � S  20 2



2

 4 xy  800  4 xy (1)

Ta có 2 x  AB  MN  AB  20 2  BD  20 2  40  20 2 � 0  x  20  10 2





2

Lại có AB 2  AD 2  BD 2  402 � 2 x  20 2  y 2  1600

� y 2  800  80 x 2  4 x 2 � y  800  80 x 2  4 x 2
Thế vào  1 � S  800  4 x 800  80 x 2  4 x 2  800  4 800 x 2  80 x 3 2  4 x 4





Xét hàm số f  x   800 x 2  80 x 3 2  4 x 4 , với x � 0; 20  10 2 có



f '  x   1600 x  240 x 2 2  16 x3  16 x 100  15 x 2  x 2












�x � 0;20  10 2
�
5 34  15 2
�x � 0;20  10 2
�
��
� x
Ta có �
2

2
16x 100  15x 2  x  0
�
�
�f '  x   0
�

Khi đó x 



5 34  15 2
chính là giá trị thỏa mãn bài toán.
2

Trang 13


Chọn đáp án C.
Bài toán 12:Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2016 vừa kết thúc, Nam đỗ vào trường Đại học
Bách Khoa Hà Nội. Kỳ I của năm nhất gần qua, kỳ II sắp đến.Hoàn cảnh không được tốt
nên gia đình rất lo lắng về việc đóng học phí cho Nam, kỳ I đã khó khăn, kỳ II càng khó
khăn hơn.Gia đình đã quyết định bán một phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 50 m,
lấy tiền lo cho việc học của Nam cũng như tương lai của em. Mảnh đất còn lại sau khi
bán là một hình vuông cạnh bằng chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu.Tìm số
tiền lớn nhất mà gia đình Nam nhận được khi bán đất, biết giá tiền 1m 2 đất khi bán là
1500000 VN đồng.
A. 112687500 VN đồng.
B. 114187500 VN đồng.
C. 115687500 VN đồng.

D. 117187500 VN đồng.
Hướng dẫn giải:
Diện tích đất bán ra càng lớn thì số tiền bán được càng cao

Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu lần lượt là
x, y  m  ,  x , y  0 
Chu vi mảnh đất hình chữ nhật ban đầu bằng 50m � 2  x  y   50 � y  25  x
Bài ra, ta có ngay mảnh đất được bán là một hình chữ nhật có diện tích là
2

25 � 625 625
�
S  x  y  x   x  25  x  x   25x  2x   �x 2 
�
 78,125
�
8
2 2� 8
�
2

Dấu "=" xả ra � x 2 

25
25
25 175
0� x
� y  25 

8

8
8
2 2

Như vậy, diện tích đất nước được bán ra lớn nhất 78,125 m2.
Khi đó số tiền lớn nhất mà gia đình Nam nhận được khi bán đất là
78,125.1500000  117187500
Bài toán13:Chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó có thể tựa vào tường AC và mặt đất
BC , ngang qua cột đỡ DH cao 4m, song song và cách tường CH  0,5m là:

A. Xấp xỉ 5,602.

B. Xấp xỉ 6,5902.

Trang 14

C. Xấp xỉ 5,4902.

D. Xấp xỉ 5,5902.


Chọn đáp án D.
Hướng dẫn giải:
Đặt BH  x  x  0  . Ta có BD  DH 2  BH 2  x 2  16
Vì DH / / AC nên

x 2  16
2x

DA HC

DB.HC

� DA 

DB HB
HB
x 2  16
� AB  x  16 
2x
2

Xét hàm số f  x   x 2  16 
có f(x) liên tục trên  0;� và

x
f ' x 

x
x 2  16



x  16
2

x 2  16
trên  0;� . Ta
2x

.2 x  2 x 2  16



4x2

x
x 2  16



8
x 2 x 2  16



x3  8
x 2 x 2  16

f '  x   0 � x  2; f '  x   0 � x  2; f '  x   0 � 0  x  2
Suy ra min AB  min f  x   f  2  
x� 0;�

5 5
�5,5902  m 
2

Chọn đáp án D.

Bài toán 14: Cho hai vị trí A , B cách nhau 615m , cùng nằm về một phía bờ sông như
hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m Một người
đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B . Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có

thể đi là:

A. 596,5m.

B. 671, 4m.

C. 779,8m.

Hướng dẫn giải:

Trang 15

D. 741,2m.


Giả sử người đó đi từ A đến M để lấy nước và đi từ M về B.
dễ dàng tính được BD  369, EF  492. Ta đặt EM  x, khi đó ta được:
MF  492  x, AM  x 2  1182 , BM 

 492  x 

2

 487 2 .

Như vậy ta có hàm số f  x  được xác định bằng tổng quãng đường AM và MB:
f  x   x 2  1182 

 492  x 

2

 487 2 với x � 0;492

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f  x  để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác
x
492  x
f
'
x


.


định được vị trí điểm M.
2
2
2
2
x  118
 492  x   487

f ' x   0 �
�

x
x 2  1182

x

x 2  1182




492  x

 492  x 

492  x

 492  x 

2

 487

2

2

0

 487

2

�x

 492  x 

2

 487 2   492  x  x 2  1182

2
2
2
2
2
�
�
  492  x   x 2  1182 
487 x    58056  118 x 
�492  x   487 2 �
�

�x �
�
��
��
0 �x �492
�
�
0
�
x
�
492
�

58056
� 58056
hay x  
58056
�x 
��
605
369 � x 
605
�
0 �x �492
�
�58056 �
Hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0; 492 . So sánh các giá trị của f (0) , f �
�,
� 605 �
�58056 �
f  492  ta có giá trị nhỏ nhất là f �
��779,8m
� 605 �
Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ 779,8m.
Chọn đáp án C.

Trang 16


3. KẾT LUẬN
1. Kết quả của sáng kiến.
Để thấy được kết quả sát thực của sáng kiến trong phần ôn tập HK1 của lớp

12C4, 12C7 tiến hành làm đối chứng cụ thể như sau:
Đầu tiên tôi ra bài về nhà cho các em làm 5 bài tập trong các bài tập ở trên. Yêu cầu các
em làm 5 bài tập này ra giấy và tôi đã thu được kết quả như sau:

Lớp

Sĩ số

Giỏi

Khá

TB

Yếu

12C4

44

8

9

16

11

12C7

41

4

6

17

14

Với kết quả tổng hợp bảng trên và thực tế bài làm của các em tôi thấy hầu hết
các chỉ làm được ở mức độ TB và Yếu. Một số ít em đạt được kết quả Khá, Giỏi.
Tôi đã cho các em học vào hai buổi chiều (4 tiết), trong hai buổi này tôi đã truyền thụ hết
nội dung chủ yếu của đề tài Sáng kiến (phát tài liệu tham khảo), sau đó tôi đã ra bài tập về nhà
trong 2 phần bài tập trên và yêu cầu các em về nhà giải. Kết quả thu được như sau:

Lớp

Sĩ số

Giỏi

Khá

TB

Yếu

12C4

44

12

20

12

0

12C7

41

8

15

18

0

Với kết quả như trên và thực tế bài làm của các em tôi nhận thấy các bài toán
trong đề tài mà tôi đưa ra học sinh tiếp thu và vận dụng có kết quả khá tốt nhiều,
đặc biệt học sinh có kết quả yếu không còn. Vì vậy với cách xây dựng hệ thống kiến
thức từ trong SGK đến những bài toán vận dụng thực tế theo từng dạng, thì học sinh
có thể dễ dàng nhận dạng và từ đó đưa ra lời giải một cách nhanh chóng.
2. Ý nghĩa của đề tài sáng kiến.
Đề tài sáng kiến này đã được thực hiện khi tôi tham gia dạy các lớp 12 và
luyện thi đại học. Trong quá trình dạyhọc chuyên đề này, học sinh thực sự thấy tự

tin, biết vận dụng thực tế khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam
mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt,
sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu.
Đề tài sáng kiến “Ứng dụng đạo hàm của hàm số giải một số bài toán thực tế
trong chương trình phổ thông” nói chung rất đa dạng và phong phú. Mỗi bài toán lại
Trang 17


có cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm
cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo. Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở
cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo. Để đạt kết quả cao học
sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo
liên quan.
3. Hiệu quả kinh tế, xã hội
* Hiệu quả kinh tế:
Nếu sáng kiến này được áp dụng trong việc giảng dạy ở một số tiết học toán sẽ
góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong các nhà trường, giúp cho giáo viên và
học sinh:
+ Tiết kiệm về thời gian: Vì sáng kiến đã tập hợp và phân loại khá đầy đủ các
dạng toán để học sinh dễ dàng tiếp cận và học tập.
+ Tiết kiệm được tiền trong việc mua các tài liệu và sách tham khảo đỡ tốn
kém cho gia đình học sinh và xã hội.
*Hiệu quả xã hội:
- Giáo viên:
+ Tạo hứng thú học tập cho học sinh, kích thích hoạt động, tư duy sáng tạo và
sự vận dụng với đời sống hàng ngày.
+ Phát huy tính sáng tạo của giáo viên.
+ Gây chuyển biến, tạo niềm tin, say mê yêu nghề cho các giáo viên.
+ Nâng cao hiệu quả giờ lên lớp giảm sự hàn lâm và tăng tính vận dụng của
môn toán với thực tế .

- Học sinh:
Học sinh hiểu bài học sâu sắc, phát huy tính sáng tạo đem lại niềm vui, hứng
thú, say mê học tập hơn, được rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức cơ bản vào
thực tiễn.
4. Điều kiện và khả năng áp dụng
- Điều kiện áp dụng:
Sáng kiến này hoàn toàn có thể thực hiện được trong quá trình dạy học đối với
học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia và ôn thi học sinh giỏi văn hóa. Đề tài khai
thác kiến thức trong sách giáo khoa và liên hệ thực tế với các nội dung phong phú
và đa dạng.
Về phương tiện dạy học: Có thể sử dụng trình chiếu đưa trước những tư liệu
hay ví dụ và mô phỏng hình ảnh để học sinh dễ dàng tưởng tưởng và vận dụng.
Trang 18


Áp dụng cho giáo viên giảng dạy bộ môn toán lớp 12 và ôn thi học sinh giỏi.
Sáng kiến là nguồn tài liệu học tập rất tốt cho học sinh học tập ôn thi THPT quốc
gia.
- Khả năng áp dụng:
Có thể sử dụng đề tài này để làm tư liệu cho việc dạy học theo chủ đề tích hợp
liên môn các môn học Vật lý,Hóa, Địa lý. . . .
5. Những đề xuất kiến nghị
Qua quá trình giảng dạy và kinh nghiệm công tác, tôi đã hệ thống Các bài toán
ứng dụng thực tế và phân loại một số bài tập phù hợp theo mức để cho học sinh
tham khảo tự giải.
Các bài toán ứng dụng thực tế rất phong phú và đa dạng, việc tìm ra một lời
giải hợp lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ. Giáo viên trước hết
phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho
học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vận dụng
linh hoạt các kiến thức cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải tạo cho học sinh tác

phong tự học, tự nghiên cứu.
Đây là đề tài cần được mở rộng và phát triển để giáo viên có thêm tư liệu
giảng dạy và học sinh được tiếp cận nhiều hơn.
Nội dung của Đề tài sáng kiến khá rộng, song trong khuôn khổ đề tài và thời
gian có hạn người viết cũng chỉ ra được các bài toán điển hình trong chương trình
Giải tích lớp 12. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng
nghiệp để chuyên đề này được đầy đủ hoàn thiện hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 4 năm 2019.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.

Dương Thị Ngọc Tú

Trang 19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Hình học 12, Bài tập hình học 12 - NXB GD năm 2008.
2. Hình học 12 nâng cao, Bài tập hình học 12 nâng cao - NXB GD năm 2008.
3. Giải tích 12, Bài tập giải tích 12 - NXB GD năm 2008.
4. Giải tích 12 nâng cao, Bài tập giải tích 12 nâng cao - NXB GD năm 2008.
5. Đại số và Giải tích 11, Bài tập Đại số và giải tích 11 - NXB GD năm 2008.
6. Đại số và Giải tích nâng cao 11, Bài tập Đại số và giải tích nâng cao 11 – NXB GD năm
2008.
7. Giải tích 11 nâng cao, Bài tập giải tích 12 nâng cao - NXB GD năm 2008.
8. Hình học 11, Bài tập hình học 11 – NXB GD năm 2008.
9. Hình học 11 nâng cao, Bài tập hình học 11 nâng cao - NXB GD năm 2008.

10. Ứng dụng toán để giải các bài toán thực tế - Trần Văn Tài NXB ĐHQG Hà Nội năm
2017
11. Rèn luyện kỹ năng giải quyết bài toán trắc nghiệm thực tế - Hứa Lâm Phong NXB
Thanh Hóa năm 2016
12. Đề thi thử THPTQG các trường và các sở GD một số trường trong cả nước
13. Các fanpage , , các nhóm toán mạng xã hội Bắc
Trung Nam, CLB giáo viên trẻ Huế, nhóm Toán 12….
14. Tạp chí toán học tuổi trẻ - các số tháng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 năm 2017.

Trang 20