Một số dạng toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN ............
TRƯỜNG TH&THCS ............
----------  ----------

BÁO CÁO
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH YẾU

“Một số dạng toán về tỉ lệ thức và tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau”

Tác giả chuyên đề: ................

Tháng 10 năm 2019
1. Tác giả chuyên đề, chức vụ, đơn vị công tác:
1


2.

Tác giả chuyên đề:
Chức vụ: Giáo viên.
Đơn vị công tác:
Email:
Tên chuyên đề: “ Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về tỉ lệ thức và
tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”.
3. Thực trạng giáo dục của nhà trường :
Trong nhiều năm đứng lớp giảng dạy, chuyên đề về tỉ lệ thức và tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau đã là niềm đam mê của tôi. Tuy nhiên khi đi sâu vào giảng dạy,
tôi thấy học sinh vẫn còn lúng túng với các phép tính trong tỉ lệ thức và đặc biệt là
một số học sinh yếu về toán thì cảm thấy khó khăn, cảm thấy sợ khi làm bài tập về tỉ
lệ thức. Bức xúc trước suy nghĩ của một số học sinh, tôi đã dành thời gian nghiên

cứu các tài liệu trong sách giáo khoa cũng như sách tham khảo để tìm ra những
dạng bài tập cơ bản nhất, những phương pháp giải đơn giản nhất để học sinh hứng
thú hơn trong việc học tập và nâng cao kết quả học tập của mình.
Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến thức về tỉ lệ thức và
dãy tỉ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chương trình Đại số lớp 7. Từ một tỉ lệ
thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỉ lệ thức nếu biết
được 3 số hạng ta có thể tính được số hạng thứ tư. Trong chương II, khi học về đại
lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch ta thấy tỉ lệ thức là một phương tiện quan trọng giúp ta
giải toán. Trong phân môn Hình học, để học được định lý Talet, tam giác đồng dạng
(lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỉ lệ thức. Mặt khác khi học tỉ lệ thức và tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau còn rèn tư duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả
năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới.
Với những lý do trên đây và với kinh nghiệm giảng dạy của mình tôi xin trình
bày chuyên đề “Bồi dưỡng học sinh yếu một số dạng toán về tỉ lệ thức và tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau” trong Đại số lớp 7, và một số giải pháp để việc
giải toán về tỉ lệ thức đạt hiệu quả cao.
4.
5.

Đối tượng học sinh, dự kiến số tiết dạy:
Đối tượng học sinh: Học sinh khối 7
Dự kiến số tiết dạy: 10 tiết
Hệ thống (Phân loại, bài tập đặc trưng) các dạng bài tập đặc trưng của
chuyên đề:
- Dạng toán 1: Tìm số hạng chưa biết trong một tỉ lệ thức.
2


6.

Dạng toán 2: Dạng toán chia tỉ lệ.
Dạng toán 3: Chứng minh tỉ lệ thức.
Dạng toán 4: Tính giá trị của một biểu thức.
Hệ thống các phương pháp cơ bản, đặc trưng để giải các bài tập trong
chuyên đề:
Để làm được các bài tập ở phần tỉ lệ thức này đầu tiên giáo viên cần cho học
sinh nắm chắc được một số kiến thức cơ bản sau đây:
1) Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức
a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ.
b) Tính chất:
a c

+Tính chất 1( tính chất cơ bản): Nếu b d thì ad = bc

+Tính chất 2( tính chất hoán vị): Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ
lệ thức:
2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
+ Từ tỉ lệ thức ta suy ra
+ Mở rộng: Từ dãy tỉ số bằng nhau
ta suy ra
( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
3) Chú ý:
Nếu có dãy tỉ số thì có thế viết là a: b: c = 2: 3: 4 hoặc ngược lại.
Hoặc có thể nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 4.
7. Hệ thống các ví dụ, bài tập cụ thể cùng lời giải minh họa cho chuyên đề:
7.1. Dạng toán 1: Tìm số hạng chưa biết trong một tỉ lệ thức.
1. Tìm một số hạng chưa biết:
Phương pháp: Áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
a c

b.c
a.d
a.d
 � a.d  b.c � a 
;b 
;c 
d
c
b
Nếu b d

Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết,
muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.
*Bài tập 1: Tìm x trong tỉ lệ thức sau :
- 0,52 : x = - 9,36 : 16,38
� x.  9,36   0.52.16,38
0,52.16,38
�x
 0,91
9,36

3


Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó
hơn như sau :
3 2
�1 �2
: 1 :
� x�

a) �3 �3 4 5

1 2
0, 2 :1  :  6 x  7 
5 3
b)

có thể đưa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x.
*Bài tập 2: Tìm x biết :
x
60

15
x

Giải : Từ

x
60

15
x
� x.x   15  .  60 
� x 2  900
� x 2  302

Suy ra x = 30 hoặc -30
Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống
nhau nên ta đưa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức cho học sinh khá
giỏi như các tỉ lệ thức:

x  1 60 x  1
9


15 x  1 ; 7
x 1
x 3 5

*Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức 5  x 7

Giải:
+ Cách 1: Từ
x3 5
 �  x  3 .7   5  x  .5
5 x 7
� 7 x  21  25  5 x
� 12 x  46
5
�x3
6
x 3 5
x 3 5 x
 �

5
7
+ Cách 2: Từ 5  x 7

có:

4

áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta


x 3 5 x x 3 5 x 2 1




5
7
57
12 6
x3 1
�
 � 6  x  3  5
5
6
5
5
� x 3  � x  3
6
6

Với học sinh khá giỏi giáo viên có thể cho các em tiếp cận với những bài tập ở mức
độ cao hơn như:
*Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức
x2 x4


x 1 x  7
�  x  2   x  7    x  4   x  1
� x 2  7 x  2 x  14  x 2  x  4 x  4
� 5 x  14  3x  4
� 5 x  3x  4  14 � 2 x  10 � x  5

Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do
đó sau khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau
Cách 2:

. Từ đó ta có:

2. Tìm nhiều số hạng chưa biết:
Phương pháp:
a) Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:
x y z
 
Tìm các số x, y, z thoả mãn a b c (1) và x +y + z = d (2)

( trong đó a, b, c, a+b+c �0 và a, b, c, d là các số cho trước)
x y z
  k
a b c
+ Cách giải: Đặt � x  k.a; y  k .b; z  k .c thay vào (2)

Ta có k.a + k.b + k.c = d
� k  a  b  c  d � k 

Từ đó tìm được

x

d
abc

a.d
bd
cd
;y
;z 
abc
abc
a bc

b) Hướng khai thác từ bài trên như sau.
5


+ Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau:
*

k1 x  k2 y  k3 z  e

2
2
2
* k1 x  k2 y  k3 z  f

*x.y.z = g

+ Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau: -

x
y y
z
 ; 
a1 a2 a3 a4

- a2 x  a1 y; a4 y  a3 z
- b1 x  b2 y  b3 z
b1 x  b3 z b2 y  b1 x b3 z  b2 y


a
b
c
x  b1 y2  b2 z3  b3


a
a
a3
2
- 1

+ Thay đổi cả hai điều kiện
Sau đây là một số bài tập minh họa cho phần này như sau:
x y z
 

*Bài tập 1: Tìm 3 số x, y, z biết 2 3 4 và x +y + z = 27

Giải: + Cách 1.
x y z
   k � x  2k , y  3k , z  4k
Đặt 2 3 4

Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2k  3k  4k  27 � 9k  27 � k  3
Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12.
+ Cách 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có.

x y z x  y  z 27
  

3
2 3 4 23 4 9
� x  2.3  6; y  3.3  9; z  4.3  12
Từ bài tập 1 ở trên ta có thể thành lập các bài toán sau:
x y z
 
*Bài tập 2: Tìm 3 số x, y, z biết 2 3 4 và 2x + 3y – 5z = -21
x y z
 
Giải: +Cách 1: Đặt 2 3 4 =k

6


-

x y z
2 x 3 y 5z
 


Cách 2: Từ 2 3 4 suy ra 4 9 20

Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 x 3 y 5 z 2 x  3 y  5 z 21




3
4
9 20
4  9  20
7
� x  6; y  9; z  12
x y z
 
2
2
2
*Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết 2 3 4 và 2 x  3 y  5 z  405

Giải:
-

x y z
 
Cách 1: Đặt 2 3 4 =k

-

x y z
 
Cách 2: từ 2 3 4

suy ra :
x2 y 2 z 2


4
9 162
2
2x
3y
5z 2
�


8
27
90

áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 x 2 3 y 2 5 z 2 2 x 2  3 y 2  5 z 2 405





9
8
27
90
8  27  90
45

Suy ra :
x2
 9 � x 2  36 � x  �6
42
y
 9 � y 2  81 � y  �9
9
z2
 9 � z 2  144 � z  �12
16

Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12.
x y z
 
*Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết 2 3 4 và x.y.z = 648

Giải:
-

x y z

 
Cách 1: Đặt 2 3 4 = k

-

x y z
 
Cách 2: Từ 2 3 4

7


3

�x � x y z xyz 648
� � � � � 

 27
24
�2 � 2 3 4 24
x3
�  27 � x 3  216 � x  6
8

Từ đó tìm được y = 9; z = 12.
Có một số bài tập mà đề bài chưa cho sẵn một dãy tỉ số bằng nhau, nhưng bằng tính
chất của tỉ lệ thức ta có thể đưa về dãy tỉ số bằng nhau dựa vào các điều kiện đã cho
trong bài, trong quá trình giảng dạy giáo viên cần làm rõ bước chuyển đó cho học
sinh, ví dụ các bài toán sau:
x y

z
 ;x 
2 và x +y +z = 27
*Bài tập 5. Tìm x,y, z biết 6 9

Giải:

Từ

x y
x y
 � 
6 9
2 3

Từ

x

Suy ra

z
x z
� 
2
2 4
x y z
 
2 3 4

Sau đó ta giải tiếp như bài tập 1.
*Bài tập 6. Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27
Giải: Từ
Từ
Suy ra

3x  2 y �

x y

2 3

4x  2z �

x z

2 4

x y z
 
2 3 4 sau đó giải như bài tập 1

*Bài tập 7: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = -21
Giải: từ 6x = 4y = 3z

�

6 x 4 y 3z
x y z



�  
12 12 12
2 3 4

Sau đó giải tiếp như bài tập 2
*Một số bài tập tự luyện cho dạng toán 1:
Bài 1: T×m c¸c sè h÷u tØ x trong c¸c tØ lÖ thøc
a) b) c) d)
e)
g)
h)
i)
k)
l)
m)
n)
p)
8


Bài 2: T×m x, y biÕt
a) vµ x+y=-15
b) vµ x-y=12
c) 3x=7y vµ xy=-16
d) vµ x+y=-60
e) vµ
Bài 3: Cho tØ lÖ thøc . TÝnh x vµ y biÕt a) x+y=110
b) xy=50
Bài 4: T×m x, y biÕt vµ 2x-y=34

Bài 5: T×m x, y , z biÕt a) vµ 4x-3y+2z=36.
b) vµ x-2y+3z=14
Bài 6: T×m t1, t2,...,t9 biÕt
vµ t1 +t2 +...+t9 =90
Bài 7: T×m x, y, z biÕt 2x=3y ; 5y=7z vµ 3x-7y+5z=30.
Bài 8: T×m a, b, c biÕt 2a=3b; 5b=7c vµ 3a-7b+5c=-30
Bài 9: T×m x, y, z biÕt
x:y:z=3:5:(-2) vµ 5x-y+3z=124.
7.2. Dạng toán 2: Dạng toán chia tỉ lệ.
Phương pháp giải
-Bước 1: Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết.
-Bước 2: Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện theo đề bài cho.
-Bước 3: Tìm các số hạng chưa biết.
-Bước 4: Kết luận.
Sau đây là một số bài tập minh họa cho dạng toán:
*Bài tập 1. Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là 22 cm và các cạnh của
tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Với học sinh yếu trước khi vào lời giải giáo viên cần có câu hỏi nhắc lại công thức
tính chu vi của một tam giác là gì? Vì những em đó thường không nhớ công thức
cũ.
+Lời giải:
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm, a, b, c  0 )
Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a + b + c = 22
Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có
Suy ra
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm
9

Ta thấy trong bài toán trên có 2 điều kiện là “ Chu vi tam giác bằng 22cm” và điều
kiện “ các cạnh của nó tỉ lệ với các số 2;4 5” có thể thay điều kiện ( 2) như sau :
biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất bằng 3. Khi đó ta có được
c-a=3
Và yêu cầu học sinh giải bài toán đó.
*Bài tập 2:
Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng
được tỉ lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp
7B thì hơn số cây của lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng được .
(Giáo viên yêu cầu học sinh đọc kĩ điều kiện thứ hai để biểu thị được qua các
chữ cái)
+Lời giải:
- Gọi số cây trồng được của lớp 7A,7B,7C lần lượt là a,b,c (cây, a,b,c nguyên
dương)
- Theo bài ra ta có
Suy ra:
Vậy số cây trồng được của 3 lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 21cây, 28cây, 35cây
*Bài tập 3: Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỉ số giữa số thứ nhất
và số thứ hai là , giữa số thứ hai và số thứ 3 là . Tìm ba số đó.
Lời giải: Gọi 3 số phải tìm là a,b,c
a 2 a 4
 ; 
3
3
3
Theo bài ra ta có b 3 c 9 và a  b  c  1009

Giải tiếp ta được a= -4 , b=-6, c=- 9
1
*Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi 5 số thóc ở kho I,

1
1
6 số thóc ở kho II và 11 số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau.

Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc
+Lời giải:
-Gọi số thóc của 3 kho I, II, III lúc đầu lần lượt là a, b, c (tấn, a,b,c>0)
10


1
4
a a  a
5
5
-Số thóc của kho I sau khi chuyển là
1
5
b b b
6
6
-Số thóc của kho II sau khi chuyển là

-Số thóc của kho III sau khi chuyển là

c

1
10
c c

11
11

4
5
10
a b c
6
11 và a+b+c=710 (*)
theo bài ra ta có 5
4
5
10
4
5
10
a b c�
a
b
6
11
5.20
6.20
11.20c
từ 5
�

a
b
c

abc
710




 10
25 24 22 25  24  22 71

(1)
Suy ra a = 25.10 = 250; b = 24.10 = 240 ; c = 22.10 = 220.
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I,II,III lần lượt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn.
Trong bài toán trên để từ bước (*) ra kết quả bước (1) thì nhiều học sinh còn
chưa biết biến đổi thế nào. Giáo viên cần dành thời gian nói rõ bước này cho học
sinh( nhân vào mẫu với số 20 chính là BCNN(4,5,10) = 20)
3
*Bài tập 5: Trong một đợt lao động ba khối 7, 8, 9 chuyển được 912 m

3
3
3
đất , trung bình mỗi học sinh khối 7,8,9theo thứ tự làm được 1, 2m ;1, 4m ;1,6m

Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4
và 5 . Tính số học sinh của mỗi khối .
+Lời giải:
Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là a,b,c(h/s)(a,b,c là số nguyên dương)
Số đất khối 7 chuyển được là 1,2a
Số đất khối 8 chuyển được là 1,4b
Số đất khối 9 chuyển được là 1,6c

a b b c
 ; 
Theo bài ra ta có 1 3 4 5

Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta được a= 80, b= 240, c= 300
Vậy số học sinh của khối 7, 8, 9 lần lượt là 80 h/s, 240h/s, 300h/s
*Một số bài tập tự luyện tập cho dạng toán:
11


Bi 1. Tìm các cạnh của một hình chữ nhật biết tỉ số hai cạnh là
2/3 và chu vi hình chữ nhật là 60m.
Bi 2. Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng tỉ
lệ với 3 và 2. Diện tích là 5400m2. Hãy tính chu vi của hình chữ
nhật đó.
Bi 3. Học sinh lớp 7A đợc chia thành ba tổ, cho biết số học sinh
tổ 1, tổ 2, tổ3 tỉ lệ với 2, 3, 4. Tìm số học sinh mỗi tổ của lớp
7A, nếu số học sinh lớp 7A là 45 học sinh.
Bi 4. Tìm hai số biết tỉ số của chúng là 5:7. Tổng các bình phơng của chúng là 4736.
Bi 5. Tìm số đo các góc của một tam giác biết rằng số đo các
góc của tam giác đó tỉ lệ với 2, 3, 4.
Bi 6. Tìm phân số biết rằng nếu cộng thêm cùng một số khác 0
vào tử và mẫu thì giá trị của phân số không thay đổi.
Bi 7. Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc vờn trờng rộng
300m2. Trong đó lớp 7A nhận 15% diện tích, lớp 7B nhận diện
tích còn lại. Phần còn lại sau khi hai lớp trên nhận đợc chia cho lớp
7C, 7D, 7E theo tỉ lệ . Tính diện tích vờn giao cho mỗi lớp.
Bi 8. Một trờng có ba lớp 7 biết rằng học sinh lớp 7A bằng số học
sinh lớp 7B và bằng số học sinh lớp 7C. Lớp 7C có số học sinh ít
hơn tổng số học sinh hai lớp kia là 57 bạn. Tính số học sinh mỗi

lớp.
Bi 9. Ba tổ học sinh trồng đợc 179 cây xung quanh vờn trờng. Số
cây tổ I trồng so với số cây tổ II bằng 6:11, so với số cây tổ III
trồng bằng 7:10. Hỏi mỗi tổ trồng đợc bao nhiêu cây.
Bi 10. Mỗi học sinh lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng đợc 2cây, 3
cây, 4 cây. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh tham gia trồng cây
biết rằng tổng số cây trồng đợc của ba lớp bằng nhau.
Bi 11. Số học simh lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ với 10, 9, 8. Số học sinh lớp
7Anhiều hơn số học sinh lớp 7B là 5 em. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu
học sinh.
Bi 12. Có ba tủ sách đựng tất cả 2250 cuốn. Nếu chuyển 100
cuốn từ tủ 1 sang tủ 3 thì số sách tủ 1, tủ 2, tủ 3 tỉ lệ với 16, 15
và 14. Hỏi trớc khi chuyển mỗi tủ có bao nhiêu cuốn sách.
Bi 13*. Tìm một số có ba chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18
và các chữ số của nó tỉ lệ với 1, 2, 3.
7.3. Dng toỏn 3: Chng minh t l thc.
*Phng phỏp:
chng minh t l thc ta thng dựng mt s phng phỏp sau:
Phng phỏp 1: Chng t rng A.D = B.C
Phng phỏp 2: Chng t hai t s cú cựng giỏ tr
Phng phỏp 3: S dng tớnh cht ca t l thc
* Mt s kin thc cn chỳ ý
(n 0)
12


=> = (n N*)
Sau đây là một số bài tập minh họa ( giả thiết các tỉ số đã cho đều có nghĩa)
*Bài tập 1. Cho tỉ lệ thức Chứng minh rằng
Với bài toán này thì thông thường chúng ta sẽ hướng dẫn học sinh làm theo một số

cách sau đây. Với đa số học sinh thì các em sẽ chọn cho mình cách 1 và cách 2 sau :
+ Lời giải:
+ Cách 1:
Đặt = k

=>

 =

+ Cách 2:
Từ
Ta có:
 =

Để học sinh hiểu và làm được tốt hơn theo cách này giáo viên cần hướng dẫn thật kĩ
học sinh cách đặt tỉ lệ thức ban đầu bằng k, sau đó cách rút một đại lượng theo đại
lượng kia k và cách thay như thế nào cho đúng, hợp lí để có kết quả cần chứng
minh.
Với những em học sinh khá toán giáo viên có thể hướng dẫn các em thêm cách làm
sau để các em có thêm hướng lựa chọn phương pháp trong quá trình giải toán:
+Cách 3: Từ


=>

=>=

*Bài tập 2. Cho tỉ lệ thức
Chứng minh rằng
(1)

Lời giải:
+ Cách 1: Đặt = k => thay vào 2 vế của (1) chứng minh 2 vế có cùng giá trị.
+ Cách 2: Vì
=>

 = = =
*Bài tập 3. Chứng minh rằng nếu thì
a)
b)

==

+Lời giải:
a) Từ

13


=>
b) Từ
=> =
==
=> =

*Bài tập 4. Cho b2 = ac; c2 = bd. Chứng minh rằng:
1)
2)

Lời giải:
1) Vì



Vậy
2) Có:


Bài 5: Cho a, b, c thỏa mãn
Chứng minh: 4(a-b)(b-c) =
GIẢI

Từ



7.4.

Dạng toán 4: Tính giá trị của một biểu thức:

*Bài tập 1 .
3x  y 3
x

Cho tỉ lệ thức x  y 4 . Tính giá trị của tỉ số y

Bài giải:
Cách 1 :
3x  y 3

x


y
4 � 4(3x – y) = 3(x+y) � 12x – 4y = 3x + 3y
Từ

� 12x – 3y = 3(x+y) � 9x = 7y

14


x
7
y
Vậy = 9

Với cách trên thì yêu cầu các em học sinh phải nắm được cách nhân một số với một
tổng hoặc một hiệu, sau đó vận dụng quy tắc chuyển vế.Trong quá trình giảng dạy
người giáo viên cần nhắc lại các quy tắc này cho học sinh nhớ lại. Tuy nhiên giáo
viên có thể hướng dẫn các em theo cách chia dưới đây như sau:
Cách 2:
Chia cả tử và mẫu của phân số thứ nhất cho y
3x
1
3
y

3x  y 3
x

1 4
y

x

y
4
�
Từ

x
3a  1
3
y
Đặt = a � a  1 = 4 .

Từ đó tìm a rồi suy ra tỉ số
*Bài tập 2.
yzx
x y z
 
Cho 2 3 4 . Tính giá trị của biểu thức P = x  y  z

Cách 1:
x y z
 
Đặt 2 3 4 = k � x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k � 0)
3k  4k  2k 5k 5


P = 2k  3k  4k 3k 3

5

Vậy P = 3

Cách 2 :
x y z
yzx y zx x yz x y z



 
5
2 3 4
3
Có 2 3 4 = 3  4  2

�

yzx x yz
yzx 5

�

5
3
x yz 3

5
Vậy P = 3

*Bài tập 3.
15

Cho dãy tỉ số bằng nhau
a
b
c
d



b  c  d a  c  d a  b  d b  c  a Tính giá trị của biểu thức
M

ab bc cd d a



cd ad ab bc

Bài giải:
a
b
c
d



Từ b  c  d a  c  d a  b  d b  c  a
�

a
b
c
d
1 
1 
1 
1
bcd
acd
abd
bca

�

a bcd a bcd abcd abcd



bcd
acd
abd
b  c  a (*)

+) Xét a  b  c  d  0 � a  b  (c  d ); b  c  (a  d )
� M  4

+) Xét a  b  c  d �0 Từ (*) ta có :
bcd  acd  ab d  bca
�a bcd �M 4

*Bài tập 4.
ab bc ca


a
b
Cho a , b ,c đôi một khác nhau và thỏa mãn c

� a�
� b�
� c�
P�
1 �
1 �
1 �
�
�
� b�
� c�
� a�
Tính giá trị của biểu thức

Bài giải:
ab bc ca
ab
bc
ca



�
1 
1 
1
a
b
c
a
b
Từ c

�

abc abc abc


c
a
b
(*)

+) Xét a  b  c  0 � a  b  c; a  c  b; b  c  a

16


P

a  b b  c a  c c a b abc
� �


� � 
 1
b
c
a
b c a
abc

+) Xét a  b  c �0 Từ (*) ta có :
a bc�P 8

*Bài tập 5 .
ab
bc
ca


Cho các số a;b;c khác 0 thỏa mãn a  b b  c c  a

Tính giá trị của biểu thức

P

ab 2  bc 2  ca 2
a 3  b3  c 3

Bài giải:
Với a, b, c �0 ta có :

ab
bc
ca


ab bc ca

�

ab bc ca
1 1 1 1 1 1


�     
ab
bc
ca
b a c b a c

�

1 1 1
  � a  b  c � P 1
a b c

*Một số bài tập áp dụng của dạng toán:

x  2 y 1
x


6 . Tính giá trị của tỉ số y
Bài 1. Cho 4 x  y
a  b  c a  b  c a  b  c


c
b
a
Bài 2. Cho a, b, c �0 và
.

 a  b  b  c  c  a
Tính M =

abc

2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
Bài 3. Cho
.
ab bc cd d a




c

d
d

a
a

b
bc
Tìm giá trị của M biết M =
bcd cd a d ab abc



k
a
b
c
d
Bài 5. Cho a+b+c+d �0 và
. Tính k
8. Kết quả triển khai chuyên đề tại đơn vị nhà trường:
17


Thực tế tại trường TH&THCS Vũ Di với tình hình học lực của học sinh đại
đa số là trung bình và yếu về môn toán thì chuyên đề này tôi dự tính sẽ áp
dụng thử đối với các em học sinh khối 7 của trường. Tuy nhiên trong 4 dạng
toán đưa ra thì tôi áp dụng đại trà 2 dạng toán dạng toán 1 và 2 cho tất cả các

học sinh, còn dạng toán 3 và 4 thì chỉ giảng dạy cho các em học sinh khá giỏi.
Chuyên đề này tôi chưa triển khai tại đơn vị của mình.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng với kiến thức còn hạn chế và thời gian nghiên
cứu viết chuyên đề chưa được nhiều chắc chắn tôi chưa thể đưa ra vấn đề một
cách trọn vẹn được, mong các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp đóng góp
ý kiến xây dựng để chuyên đề này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
.............., ngày 31 tháng 10 năm 2019.
Người viết

18