Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ trong giải toán hình học lớp 7

MỤC LỤC
PHẦN 1: Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.5. Những điểm mới của SKKN
PHẦN 2: Nội dung sáng kiến kinh ngiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN
2.3. Các giải pháp giải quyết vấn đề
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
PHẦN 3:
Kết luận và kiến nghị
Tài liệu tam khảo
Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng
đánh giá xếp loại cấp PGD&ĐT, cấp SGD&ĐT và các cấp cao
hơn xếp loại từ C trở lên

Trang
2
2
2
2
2
3
3
3
3-4
4 � 16
15

15-16
17
18

1


1. MỞ ĐẦU:
1.1. Lí do chọn đề tài.
Trong thực tế giảng dạy những năm học qua và hiện nay tôi nhận thấy tình
trạng học sinh học yếu phân môn Hình học ở trường THCS còn khá phổ biến,
học sinh đạt đến độ say mê để có kĩ năng trong giải toán hình học còn rất nhiều
hạn chế.
Toán học được coi là một trong những môn học chủ lực, trọng tâm nhất trong
trường THCS. Giải toán Hình học đối với học sinh lớp 7 với những bài toán có
lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng rất lớn trong việc phát triển năng
lực trí tuệ và tư duy khoa học, sáng tạo cho học sinh khi các em mới bước đầu
làm quen với lối suy luận logic và tư duy có chiều sâu.
Trên thực tế, mặc dù đồng nghiệp cũng đã cố gắng rất nhiều để tìm ra các
phương pháp hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán dạng này, xong chưa
thực sự tìm ra hướng đi có hiệu quả. Khi gặp dạng bài tập này học sinh thường
rất sợ vì không biết bắt đầu từ đâu, không biết phân tích bài toán để tìm ra lời
giải, không biết vận dụng kiến thức nào để giải quyết. Do vậy,các em thường tỏ
ra chán nản, không muốn tiếp tục cố gắng và dần bị mất niềm tin, không còn ý
chí phấn đấu, dẫn đến thành tích học tập không cao.
Để giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết những khó khăn, vướng mắc khi gặp
dạng bài toán này, tôi mạnh dạn đưa ra đề tài: “Hướng dẫn học sinh vẽ đường
phụ trong giải toán hình học lớp 7” với hy vọng tạo hướng đi hiệu quả cho học
sinh tiếp thu kiến thức một cách chủ động, tích cực, đồng thời khơi dậy niềm
đam mê học Toán đối với học sinh THCS, góp phần nâng cao chất lượng giáo

dục toàn diện. Bởi lẽ, dạy học cũng là một mặt trận và mỗi thầy cô giáo là một
người chiến sỹ trên mặt trận ấy!
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Bằng việc gợi mở cho HS các nội dung kiến thức hình học về giải bài toán có
kẻ thêm đường phụ, GV phải phân dạng được các bài toán hình học lớp 7 mà lời
giải có sử dụng đường phụ, đồng thời đi sâu vào hướng dẫn một số dạng bài
toán cụ thể nhằm tạo điều kiện để HS bổ sung trình độ kiến thức, phát triển tư
duy logic, khả năng khai thác bài toán và giải quyết các bài toán tương tự. Đồng
thời khơi dậy niềm đam mê, tính sáng tạo của học sinh trong học tập. Từ đó học
sinh hứng thú hơn trong học tập, phục vụ đắc lực cho công tác bồi dưỡng học
sinh giỏi.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Hướng dẫn học sinh khối 7 (với đối tượng học sinh khá - giỏi) tiếp cận và
giải quyết các dạng bài tập hình học mà lời giải cần phải kẻ thêm đường phụ.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu; phương pháp điều tra khảo sát
thực tế trên số lượng học sinh khá - giỏi khối 7 trường THCS Hà Thái qua các
năm học và trải nghiệm thực tế bằng những tiết học trên lớp; đặc biệt là các tiết
bồi dưỡng học sinh giỏi.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:
Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, kỹ năng vẽ yếu tố phụ trong giải toán
hình học ở lớp 7, khi các em bắt đầu tiếp cận với lối suy luận logic, tư duy độc
lập và có chiều sâu.
2


Giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực
sáng tạo khi gặp các dạng toán khó.
Giúp học sinh nắm vững các phương pháp vẽ yếu tố phụ trong giải toán hình
học ở chương trình Toán 7 bậc THCS, phát hiện và vận dụng các phương pháp

giải phù hợp với từng bài toán cụ thể ở các dạng khác nhau.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài toán khó
đối với với học sinh THCS. Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu
cầu học sinh nắm vững kiến thức cơ bản mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một
kỹ năng giải toán, có sự sáng tạo nhất định. Có lúc việc vẽ thêm các yếu tố phụ
làm cho việc giải bài toán trở nên dễ dàng, thuận lợi hơn, cũng có bài buộc phải
vẽ thêm yếu tố phụ mới tìm ra được lời giải. Để tạo ra được một đường phụ với
mục đích tạo nên một yếu tố trung gian liên kết tường minh các mối quan hệ
toán học giữa các điều kiện đã cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết
luận) đòi hỏi phải thực hiện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh,
tương tự hoá, đặc biệt hoá, từ đó suy luận, lập luận để tìm tòi và phát hiện vấn
đề... Đây là một trong những dạng toán đòi hỏi mức độ cao của kỹ năng mà
không phải học sinh nào cũng chủ động tiếp cận được và không phải giáo viên
nào cũng làm tốt được vai trò hướng dẫn. Bởi lẽ vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào
để có lợi cho việc giải bài toán là một điều hết sức khó khăn và vô cùng phức
tạp.
Vì vậy, nhiệm vụ của mỗi người giáo viên chúng ta là phải làm thế nào để
góp phần tạo ra cho đất nước nguồn lao động có trình độ cao và kỹ năng chuyên
nghiệp để đáp ứng được nhu cầu đặt ra từ cuộc Cách mạng công nghiệp 4.0,
nghĩa là phải “sáng tạo ra những con người có sáng tạo” như cố thủ tướng Phạm
Văn Đồng đã từng nói.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
*Thực trạng:
a. Đối với HS:
Hình học là bộ môn khó đòi hỏi sự tư duy cao đặc biệt là những bài tập cần
vẽ thêm yếu tố phụ.
Các em chưa có phương pháp học tập khoa học mà chỉ theo lối thụ động, chỉ
biết trả lời các câu hỏi mà giáo viên đưa ra hoặc làm lại bài giải khi giáo viên

trình bày qua, các em học còn yếu những kĩ năng cơ bản như kĩ năng phân tích
đề bài, kĩ năng sử dụng sơ đồ suy luận ngược để tìm lời giải, kĩ năng đề xuất vẽ
thêm yếu tố phụ để tìm lời giải…
Học sinh luôn chờ giáo viên giải mẫu rồi mới làm các bài chứng minh tương
tự hoặc giáo viên hướng dẫn từng bước rồi mới hoàn thành bài làm.
Học sinh chỉ chờ vào sự gợi ý mà không tự mình suy nghĩ phân tích để tìm ra
hướng chứng minh.
b. Đối với giáo viên:
- Ra nhiều bài tập nhưng ít có sự chọn lọc, nặng nề về việc trình bày lời giải
mà chưa chú ý đến việc hướng dẫn học sinh tự mình đi đến lời giải.
- Giáo viên chưa thực sự đầu tư thời gian để phân tích, tìm tòi lời giải.
3


- Việc khai thác sâu bài toán còn hạn chế ở nhiều giáo viên, chưa tìm thấy
được hướng đi mới cho bài toán .Bên cạnh đó, trong mỗi tiết học, mỗi bài giảng
của mình giáo viên chưa thực sự khơi dậy được niềm đam mê học toán, chưa
gây được hứng thú học tập cho các em.
- Vai trò hướng dẫn để tác động tích cực đến việc học tập của HS là rất quan
trọng mà có khi giáo viên không làm được. Vì vậy,để dạy tốt, người giáo viên
cần phải luôn tự học, tự bồi dưỡng để trang bị cho mình vốn kiến thức cần thiết
để truyền cho học sinh cách quan sát, phát hiện để dự đoán, vận dụng và sáng
tạo hợp lí.
c. Kết quả của thực trạng:
Qua thống kê điều tra với đối tượng HS khá - giỏi khối 7 trường THCS Hà
Thái trong 3 năm học : 2015-2016; 2016-2017; 2017-2018; thời gian điều tra
vào giữa học kỳ I các năm học, kết quả thu được như sau:
Số HS nhận dạng Số HS kẻ được
được các bài toán các đường kẻ
phải kẻ thêm

phụ hợp lý để
đường phụ
giải Toán lớp 7

Năm học

SSHS

Số HS không nhận
ra bài toán phải kẻ
thêm đường phụ

2015-2016

24

10

14

02

2016-2017

26

12

14

03

2017-2018

23

8

15

02

2.3. Các giải pháp giải quyết vấn đề:
a. Các yêu cầu khi vẽ các đường phụ:
* Vẽ đường phụ phải có mục đích rõ ràng:
Bằng việc phân tích tổng hợp, tương tự hoá từ nội dung bài toán,mày mò dự
đoán để tìm được mối quan hệ của kiến thức đã có với điều kiện đã cho của bài
toán và kết luận phải tìm. Từ đó xác định được yếu tố phụ cần vẽ thêm để phục
vụ mục đích chứng minh
* Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và
các bài toán dựng hình cơ bản (Vẽ góc, vẽ tia phân giác của một góc, vẽ tam
giác...)
b. Một số loại yếu tố phụ thường được sử dụng trong giải toán hình 7 ở
chương trình THCS:
- Yếu tố phụ là điểm: Vẽ trung điểm của đoạn thẳng, giao điểm của hai đường
kéo dài...
- Đường phụ là đường thẳng, đoạn thẳng: Vẽ tia đối, vẽ đường thẳng song với
đường thẳng xác định, vẽ đường vuông góc, vẽ tia phân giác, vẽ một số đường
đặc biệt: Đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao, đường trung bình...
- Yếu tố phụ là góc: Vẽ một góc bằng một góc cho trước, vẽ góc đặc biệt: 300,

450, 600; 900...
- Yếu tố phụ là một tam giác: Thường là vẽ tam giác cân, tam giác đều, tam giác
vuông.
c. Các biện pháp phân tích tìm ra cách vẽ đường phụ:
4


Dựa vào giả thiết, kết luận của bài toán, các định lý, các tính chất đã học để
tìm ra mối tương quan giữa các yếu tố đã biết và các yếu tố chưa biết, từ đó vẽ
đường phụ thích hợp ®Ó t¹o ra kh©u trung gian nh»m liªn kÕt c¸c
mèi quan hÖ để đưa bài toán cần giải quyết về bài toán quen thuộc đã biết
cách giải.
d. Các bài toán ví dụ:
Bài 1: Cho hình vẽ (Hình 1), biết:
�  1800  b0 ;
�  a0 ;
�
�  b0
CBy
xAB
ABC  a 0  b0 ;
BCz
Chứng tỏ rằng: Ax // Cz
* Phân tích:
Để chứng minh hai đường thẳng song song, ta thường sử dụng các phương pháp
sau:
- Chứng minh cặp góc sole trong bằng nhau; cặp góc đồng vị bằng nhau hoặc
cặp góc trong cùng phía bù nhau
- Chứng minh cho hai đường thẳng đó cùng song song hoặc cung vuông góc với
đường thẳng thứ ba...

- Với giả thiết đã cho của bài toán này ta nghĩ ngay đến cách chứng minh cho
Ax và Cz cùng song song với đường thẳng By
- Yếu tố trung gian cần vẽ thêm là tia Bm - tia đối của tia By để đưa bài toán về
bài quen thuộc đã biết cách giải (dựa vào dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng
song song) (Hình 2)
A

x

a +b

C

x

A

a
B
180 -b

b

y

m

B
2

1

z

y

z

C
Hình 2

Hình 1

* Do đó GV có thể hướng dẫn học sinh phân tích bài toán theo sơ đồ sau:
Ax // Cz
Ax // By

Cz // By
�C
� hoặc B
� C
�  1800
B
1
2

�  mBA
�
xAB
�  a0

xAB

�  (a 0  b 0 )  B
�
mBA
1

�  mBy
� B
�  b0
B
1
2

�  1800  b0 ; C
�  b0
B
2

Bm là tia đối của tia By

5


Bài 2: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh
huyền bằng nửa cạnh huyền [1]
* Phân tích bài toán:
- Đề bài cho tam giác ABC vuông tại A; AM là đường trung tuyến ứng với
1
2

cạnh huyền, yêu cầu chứng minh: AM  BC  2 AM  BC
- Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng
đoạn thẳng đó. Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao
cho M là trung điểm của AD.
A
GT

ˆ 90 0 ;
ABC; A
AM là trung tuyến

KL

1
AM  BC
2

1

2

B

* Học sinh luyện cách suy luận theo sơ đồ sau:
1
AM  BC
2

AM 

M

C

1

1
AD ; BC = AD
2
D

ABC =  CDA ( c.g.c)
�
�
AB=CD ; BAC
 DCA
 900
�  MCD
� )
AB // CD ( MBA

MAB = MDC ( c.g.c)
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AH vuông góc với
BC tại H, D là điểm trên cạnh AC sao cho AD = AB. Vẽ DE vuông góc với BC
tại E. Chứng minh rằng HA = HE.
A

D

k
B

H

E

C

[1] Bài 25/67-SGK toán 7 tập 2

6


* Phân tích bài toán:
Trong qua trình giải quyết bài toán GV cần luyện cho học sinh phải phân tích
và tự đặt ra các câu hỏi như sau:
- Để chứng minh HA = HE ta chưa thể gắn trực tiếp vào hai tam giác bằng
nhau để chứng minh được. Vậy ta phải dùng cách nào để chứng minh?
- Ta có thể chứng minh bằng đoạn thẳng thứ ba nào?
- Đoạn này tạo ra bằng cách nào?
- Căn cứ vào giả thiết AD = AB
Kẻ DK vuông góc với AH tại K. Như vậy ta sẽ có các cặp tam giác nào bằng
nhau? Bằng nhau theo trường hợp nào?
Như vậy khi HS tự trả lời được các câu hỏi, giáo viên có thể hỗ trợ nếu cần
thì bài toán sẽ được giải quyết; bên cạnh đó học sinh rèn được tư duy toán học,
kỹ năng phân tích bài toán để tìm cách giải quyết.
* Cách vẽ thêm yếu tố phụ là tạo ra đoạn thẳng thứ ba cùng bằng hai đoạn thẳng
cần chứng minh bằng nhau như trên nằm trong nhóm phương pháp chung gọi là

phương pháp “Tam giác bằng nhau”, phương pháp mới này rất hay, nó sẽ được
khai thác nhiều trong giải toán, đặc biệt là trong các bài toán hình học lớp 7.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối
của tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN Gọi K là trung điểm của MN.
Chứng minh rằng: Ba điểm B, K, C thẳng hàng.
* Phân tích bài toán: Hướng chứng minh ba điểm thẳng hàng trong bài toán
này là chỉ ra được KM và KN là hai tia đối nhau. Muốn vậy phải chỉ ra được
�
� , NKF
là hai góc đối đỉnh . Do đó đường phụ cần vẽ thêm chính là hai đoạn
MKE
thẳng cùng vuông góc với BC để tạo ra hai tam giác vuông bằng nhau.
* Học sinh có thể suy luận theo sơ đồ dưới đây:
Ba điểm B, K, C thẳng hàng
�

KM và KN là hai tia đối nhau
�
�  NKF
�
MKE
�
KME  KNE
( ME  BC tại E; NF  BC tại F)
�

Chứng minh ME = NF
�

Bài 5: Cho góc vuông xOy

và tia phân giác Oz. Từ một điểm
A trên tia Oz kẻ AB  Ox; AC 
Oy (B �Ox, C �Oy). Lấy điểm
M trên AB, nối M với O. Từ M vẽ
một đường thẳng tạo với MO một
góc bằng góc BMO cắt AC tại N.
�
Chứng minh rằng: MON
 45
* Phân tích bài toán:
�
Chứng minh: MON
 45
0

0

 BME =  CNF

1�
�
� MON
 xOy
2

� M
� giúp ta
Từ OAB  OAC ta suy được OB = OC . Kết hợp với giả thiết M
1
2

nghĩ đến việc vẽ thêm OD  MN (D �MN).
Từ đó chứng minh được BOM  DOM và DON  CON
1�
�
�
 DOM
 BOD
Để suy ra : BOM
;
2

�  CON
�  1 DOC
�
DON
2

7


�
�  DON
�  1 BOC
�  1 xOy
�  450
 MOD
Do đó: MON
2

2

z

x

B

A

M
1

2

D
N
y
C

O

Bài 6: Cho tam giác ABC có �A  600 . BD và CE là hai đường phân giác của
tam giác ABC. Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng ID = IE
* Phân tích bài toán:
�  600 .Vậy nên ta nghĩ ngay đến yếu
�  1200 , đo đó I�1  EIB
Dễ dàng nhận ra: BIC
� với mục đích chứng minh
tố phụ chính là đường phân giác IM của BIC
BEI  BMI và CDI  CMI . Từ đó ta có: ID = IE (= IM)

ID = IE (= IM)

A

BEI  BMI ; CDI  CMI
�B
�
B
1
2

�C
�
C
1
2

BI chung

CI chung

I�1  I�2  600

60

E

I�3  I�4  600

D

1

I
2 3

1

�
IM là phân giác của BIC

B

2

4
2
1

M

C

0
�
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A, A=20
.
Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC.

�  1 BAC
�

Chứng minh rằng DCA
2

* Phân tích bài toán:
- Bài cho ABC cân tại A, A = 200 ; AD = BC
( D AB)
�  1 BAC
�
- Yêu cầu chứng minh: DCA
2

- Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh
là 200, suy ra góc ở đáy là 800.
- Ta thấy 800 – 200 = 600 là số đo mỗi góc
của tam giác đều  Vẽ tam giác đều BMC

8


�  CAM
�  1 BAC
�
-  AMB =  AMC (c-c-c) � BAM
2
1
�  CAM
�  BAC
�
-  CDA =  AMC (c-g-c) � DCA
2

* Nhận xét:
- Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200, suy ra góc ở đáy là 800.
Ta thấy 800 – 200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này
gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết
AD = BC thì vẽ tam giác đều như vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa
AD với các cạnh của tam giác đều giúp cho việc chứng minh tam giác bằng
nhau dễ dàng.
- Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu khác:
- Vẽ tam giác đều ABM ( M và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB).
- Vẽ tam giác đều ACM ( M và B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AC).
- Vẽ tam giác đều ABM(M và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC).
- Ngoài ra còn những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính được góc
DCA dẫn tới điều phải chứng minh, các cách khác còn tuỳ thuộc vào sự sáng tạo
của mỗi học sinh và bắt nguồn từ việc yêu thích môn Hình học.
- Đây là một phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vào
trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán
được thuận lợi.
Bài 8: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC.
� ? [2]
�
So sánh BAM
và MAC
* Phân tích bài toán:
- Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC.
� ?
�
- Yêu cầu : So sánh BAM
và MAC
�

�
- Hai góc BAM
và MAC
không thuộc về một tam giác. Do vậy ta tìm một
�
�
tam giác có một góc bằng BAM
và tam giác đó chứa MAC
và liên quan đến AB,

AC vì đã có AB < AC. Từ đó Từ đó đưa về bài toán quan hệ giữa cạnh và góc
trong cùng một tam giác.
A
[2] Bài 7/24 SBT toán 7 tập 2
1 thể2 lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho
- Với cách phân tích đó, ta có

MD = MA. Nối CD hoặc BD thì bài toán coi như được giải quyết. Như vậy
1

điểm D là yếu tố phụ cần
B vẽ thêm để giải được2bài toán này. C
M

D

9


* Học sinh luyện cách suy luận theo sơ đồ sau:

�
�
So sánh BAM
và MAC
�
�
�
So sánh MDC và MAC
�
�
�
So sánh ADC
và CDA
�

So sánh AC và CD (trong  ACD)
�

�  MDC
� ; AB = CD, AC > AB
BAM
�

(MAB = MDC (c-g-c)
�

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.

Bài 9: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ
là đường thẳng BC lấy hai điểm D và E sao cho BD vuông góc với BA,

BD = BA; CE vuông góc với CA, CE = CA. Chứng minh rằng các đường
thẳng: AH, BE, CD cùng đi qua một điểm.
* Phân tích bài toán theo sơ đồ sau:

10


I

A
E
1

D
1

N
M
1

1

B

C

H

AH; BE; CD là 3 đường cao của cùng một tam giác
(Căn cứ: AH  BC )

�

Tạo ra một tam giác nhận AH là đường cao
�

Gọi đỉnh tam giác cần vẽ là I (I thuộc tia đối của tia AH) sao cho
CD  BI tại M và BE  CI tại N
�

� +DBM
�  90
D
1

�
�+ECN
�  900
E

0

1

�
� B
�; B
�+MBD
�  900
D
1

1
1
�
BCD  ABI

�
�C
�; C
�+NCE
�  900
E
1
1
1
�
CEB  ACI

AI = BC
�

I là điểm thuộc tia đối của tia AH sao cho AI = BC
* Một số bài tập đã hướng dẫn học sinh giải trong các tiết học cũng như
trong các tiết BDHS giỏi bằng phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ :
Chương I: Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song:
Bài 1: Cho hình vẽ (Hình 1). Chứng minh rằng: Mu // Tz
Hướng dẫn: Kẻ Mx // NT (Hình 2)
Hoặc: Kẻ Ny // Tz (Hình 3)

11

T

120

z

120

N

150
u

u

M

T

x

z

T

y

N

120

150

150

M

M

Hình.1

z

N

Hình 3

Hình 2

Bài 2: Cho hình vẽ (Hình 1).
�  1350
Biết rằng: AB // DE, B�  1150 ; D
�
Tính số đo BCD
?
D
135
A

E

D
135

B
115

A

B
115

?
C

E

?
x

y

C

Hình 1

Hình 2

Hướng dẫn: Vẽ đường thẳng xy đi qua C và song song với AB (Hình 2)

Chương II: Tam giác
Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC
Chứng minh rằng MN // BC và MN =

1
BC.
2

* Hướng dẫn: Trên tia đối của tia NM lấy điểm K sao cho: NM = NK. Từ đó
chứng minh MK //= BC
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 10cm, BC = 12cm, D là trung điểm của AB.
Vẽ DH vuông góc với BC tại H sao cho DH = 4cm. Chứng minh tam giác ABC
cân tại A.
* Hướng dẫn: Do ABC cân đỉnh A nên ta nghĩ đến cách lấy điểm phụ K là
trung điểm của đoạn thẳng BC
Bài 3: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba
góc bằng nhau.
Chứng minh rằng  ABC là tam giác vuông và  ABM là tam giác đều?
* Hướng dẫn:

12


A

K

C

3

1 2

M
H
B

1
�
o AM là phân giác của HAC
; MH = HB = BM và MH  AH nên ta nghĩ
2

ngay đến yếu tố phụ là đường vuông góc MK kẻ từ M dến đoạn thẳng AC
Từ đó tính được MK = MH =

1
1
�  300 � �
A3  300 � �
A  900
BM = MC � C
2
2

Bài 4: Cho tam giác ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường
vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC
tại E. Chứng minh rằng: BD = CE.
* Hướng dẫn:
- Bài cho  ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc
với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E.

- Yêu cầu chứng minh: BD = CE.
- Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba, rồi chứng
minh chúng bằng đoạn thẳng thứ ba đó. Đường phụ cần vẽ thêm là đường thẳng
qua B và song song với AC cắt DE ở F, BF chính là đoạn thẳng thứ ba
Bài 5: Cho ABC . Vẽ AH  BC (H � BC). Trên nửa mặt phẳng bờ AH có
chứa điểm B dựng AD  AB sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng còn lại
dựng AE  AC sao cho AE = AC. Nối D và E, AH cắt DE ở M. Chứng minh
rằng M là trung điểm của đoạn thẳng DE.
L

* Hướng dẫn:
Vẽ DK và EL cùng vuông góc với AH
Từ đó chứng minh: DK = EL (=AH)
Rồi suy ra MD = ME

E

M
K

D
A

B

H

C

Bài 6: Cho góc vuông xOy và tia phân giác Oz. Trên tia Oz lấy điểm A. Từ A

kẻ AB  Ox; AC  Oy (B �Ox, C �Oy). D là điểm tùy ý trên đoạn thẳng
�
OB. Nối A với D. Tia phân giác của CAD
cắt Oy tại E.
Chứng minh rằng: AD = CE + BD
* Hướng dẫn: Định hướng là tạo ra đoạn thẳng có độ dài bằng CE + BD và
chứng minh cho đoạn thẳng đó bằng AD.
13


Với hướng đi đó ta sẽ lấy điểm F trên tia đối của BO sao cho BF = CE
Từ đó chứng minh: AD = DF = CE + BD
�  900 ; �
ABC  540 , trên cạnh AC lấy D sao cho
Bài 7: Cho ABC có BAC
�  180 . Chứng minh rằng: BD < AC
DBC
* Hướng dẫn: Từ giả thiết của bài toán dễ dàng tính được �
ABD  360
Do đó yếu tố phụ cần vẽ thêm chính là tia phân giác BE của góc ABD và vẽ EF
vuông góc với BD (E �AD; F �BD).
�  400 . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A, A
�  100 . Trên tia Bx lấy điểm D sao cho
chứa điểm A vẽ tia Bx sao cho CBx
BD = BA. Tính số đo góc BDC.
* Hướng dẫn: Kinh nghiệm cho thấy khi giải các bài toán về tính số đo góc thì
phương pháp vẽ tam giác đều là công cụ thường sử dụng nhất.Trong bài toán
này ta vẽ thêm tam giác đều BEC (A và E nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có
bờ là đường thẳng BC)

�  800 . Gọi D là điểm nằm trong tam giác
Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A, A
�  100 ; DCB
�  300 .Tính số đo góc BAD.
sao cho DBC
* Hướng dẫn: Tương tự bài 7, trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A ta vẽ
�  700
tam giác đều BEC, từ đó tính được BAD
Bài 9: Cho tam giác ABC có �A  300 . Dựng bên ngoài tam giác ABC tam giác
đều BCD . Chứng minh rằng: AD2 = AB2 + AC2
* Hướng dẫn: Vẽ về phía ngoài tam giác ABC tam giác đều ABE

Chương III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác.
Các đường đồng quy trong tam giác
Bài 1: Cho  ABC cân tại A, điểm M nằm trong tam giác sao cho MB < MC.
Chứng minh rằng: �
AMB  �
AMC
A

A

E
M

M

C

B

Hình 1

B

C
Hình 2

Hướng dẫn: Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia Ax sao cho
�  BAM
� . Trên Ax lấy điểm E sao cho AE = AM (Hình 2)
CAx
Bài 2: Cho  ABC . H là trực tâm, G là trọng tâm, O là điểm cách đều ba đỉnh
của tam giác ABC.
14


Chứng minh rằng: H, G, O thẳng hàng và HG = 2.HO
A
H
G
O
B

C

M

D

Hướng dẫn: Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia OA lấy

điểm D sao cho OD = OA
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Qua thời gian áp dụng các kiến thức và phương pháp dạy vừa trình bày ở trên
thống kê điều tra với đối tượng HS khá-giỏi khối 7 trường THCS Hà Thái trong
3 năm học : 2015-2016; 2016-2017; 2017-2018; thời gian điều tra vào cuối các
năm học, kết quả thu được như sau:
Số HS nhận
dạng được
các bài toán
phải kẻ thêm
đường phụ

Số HS kẻ
được các
đường kẻ
phụ hợp lý
để giải Toán
lớp 7

Số HS giỏi
cấp Huyện

Năm học

SSHS

Số HS không
nhận ra bài
toán phải kẻ
thêm đường

phụ

2015-2016

24

02

22

12

02

2016-2017

26

05

21

13

03

2017-2018

23

03

20

13

04

3. Kết luận, kiến nghị:
3.1. Kết luận:
Bài toán hình học có lời giải cần phải kẻ thêm đường phụ tuy là những bài
toán khó nhưng lại là những bài toán hay, nó giúp cho tư duy logic của học sinh
phát triển, giúp rèn luyện cùng một lúc nhiều thao tác tư duy cho học sinh.
Đây là một đề tài nghiên cứu có thể nghiên cứu ở phạm vi rộng, hẹp tuỳ ý và
đề tài này mang tính ứng dụng rộng rãi trong các trường THCS.
Khi áp dụng đề tài này giáo viên cần phải lưu ý là trước hết phải giúp học
sinh nắm vững được các yêu cầu về vẽ (dựng) các đường phụ sau đó mới phân
dạng bài toán và đưa ra hướng dẫn một số bài toán cụ thể theo từng dạng đã
chia. Việc củng cố kỹ cho học sinh về phép dựng hình cơ bản là rất cần thiết
trong nội dung thực hiện.
15


Trong quá trình giảng dạy người giáo viên phải biết phát huy tính tích cực,
chủ động và sáng tạo của học sinh. Nhưng cách thức tiến hành nhẹ nhàng,
không gò bó, dễ hiểu, không làm phức tạp hóa bài giảng. Người giáo viên
chúng ta phải hướng dẫn học sinh xâu chuỗi từ giả thiết với kết luận một cách
logic. Qua đó kích thích được hứng thú học tập của học sinh.
3.2. Kiến nghị:
Do điều kiện chưa cho phép nên đề tài chưa nghiên cứu được ở phạm vi rộng

và cũng chưa thể trình bày được hết các phương pháp dạy đối với tấtcả các
dạng bài toán đã nêu và chưa mở rộng được ở tất cả các khối lớp.
Kính mong quý anh chị đồng nghiệp, ban giám khảo chân tình góp ý để sáng
kiến được hoàn chỉnh và trọn vẹn hơn. Góp phần tốt hơn nữa cho việc giảng
dạy bộ môn, tất cả vì học sinh thân yêu của chúng ta - những mầm non tương
lai của đất nước mà chúng ta là những người có trách nhiệm trực tiếp chăm sóc
và dạy dỗ.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Hà Trung, ngày 06 tháng 3 năm2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Vũ Ngọc Quyền

16


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Toán phát triển 7 tập 2, nhà xuất bản GD (Tác giả: Nguyễn Đức Tấn)
2. Cẩm nang vẽ hình phụ trong giải toán hình học phẳng nhà xuất bản
Tổng hợp Thành Phố Hồ Chí Minh (Tác giả: Nguyễn Đức Tấn)
3. Sách bài tập toán 7 tập 2, nhà xuất bản GD.
4. Sách giáo khoa toán 7 tập 2, nhà xuất bản GD.
5. Nâng cao và phát triển toán 7 tập 2, nhà xuất bản GD (Tác giả: Vũ Hữu
Bình)

6. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7, nhà xuất bản GD (Tác
giả: Bùi Văn Tuyên)
7. Tạp chí toán học tuổi thơ 2, tạp chí toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản
giáo dục.

17


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Vũ Ngọc Quyền
Chức vụ và đơn vị công tác: Hiệu trưởng trường THCS Hà Thái – Hà Trung
Thanh Hóa

TT

1

2

Tên đề tài SKKN
Một số kinh nghiệm nâng cao chất
lượng dạy học môn hình học ở
trường THCS Hà Thái .
Một số giải pháp nhằm nâng cao
chất lượng đội ngũ công chức, giáo
viên ở trường thcs hà thái, hà trung
trong giai đoạn hiện nay

Cấp đánh giá
xếp loại
(Phòng, Sở,
Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá
xếp loại (A,
B, hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

Phòng GD&ĐT
Hà Trung

C

2012-2013

Phòng GD&ĐT
Hà Trung

C

2013-2014

18