Các biện pháp nâng cao chất lượng giáo dục trong trường mầm non

Mục lục
TT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

Nội dung

Trang

1.Mở đầu
1.1.Lí do chọn đề tài
1.2.Mục đích nghiên cứu
1.3.Đối tượng nghiên cứu
1.4.Phương pháp nghiên cứu
1.5.Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3.Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,v

với bản thân,đồng nghiệp và nhà trường

12
3.Kết luận,kiến nghị
13
3.1.Kết luận
14
3.2. Kiến nghị
Tài liệu tham khảo

2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
17
18
18
18
20

1 . Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài:
Toán học là một môn học khó và quan trọng trong bậc phổ thông vì nó là cơ
sở của các ngành khoa học khác .Có kiến thức cơ bản về môn toán sẽ tạo cơ sở
vững chắc cho việc học tốt các môn khoa học tự nhiên .
Để nâng cao chất lượng các môn học nói chung và môn toán nói riêng

ngành giáo dục đã và đang từng bước đổi mới chương trình ,phương pháp giảng
1


dạy đẻ phát huy tính tích cực,chủ động của học sinh và một trong những quan
điểm chỉ đạo xây dựng chương trình mới,đổi mới phương pháp giảng dạy là
giảm lí thuyết và tăng yêu cầu thực hành,giúp học sinh có kỹ năng giải bài tập
toán và úng dụng giải quyết các tình huống,vận dụng vào thực tế cuộc sống hằng
ngày .
Môn Toán ở THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ
thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở
bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái
độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực lao động
sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán học.
Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo
viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt
khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh,giáo viên cần phải hình thành cho
học sinh những kiến thức cơ bản,tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính
tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ.
Trong vài năm trở lại đây, trong các đề thi vào lớp 10 THPT, trong các đề
thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện các bài toán bậc hai có ứng dụng
hệ thức Vi-ét khá phổ biến. Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này
trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dang.
Thế nhưng đa số học sinh khi gặp bài toán bậc hai, các em lại lúng túng
không giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em không
biết cách đọc thêm sách tham khảo nên thiếu tự tin và lúng túng không biết ứng
dụng hệ thức vi-ét để giải.
Để giúp học sinh tháo gỡ những vướng mắc trên và có định hướng đúng
đắn trước các bài toán bậc hai có phương pháp giải phù hợp cho mỗi bài toán ở
dạng này đồng thời giúp học sinh tự tin và đạt kết quả cao trong các kì thi tôi đã

chọn đề tài “Kinh nghiệm dạy học ứng dụng hệ thức Vi-et để giải các bài toán
bậc hai nhằm phát triển khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 9”
1.2.Mục đích nghiên cứu:
Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai có
ứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS. Từ đó các em có thể làm tốt
các bài toán bậc hai trong các kỳ thi tuyển.
Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ
bài toán bậc hai mà cả các dạng toán khác.
1.3.Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, trong môn đại số lớp 9, tìm
hiểu các bài toán bậc hai có ứng dụng hê thức Vi-ét.
1.4.Phương pháp nghiên cứu:
Căn cứ vào mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, tôi sử dụng các phương pháp
nghiên cứu sau:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu
Phương pháp thực nghiệm sư phạm
1.5.Những điểm mới của sáng kiến:
2


- Sáng kiến đã soạn ra các dạng bài toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi-ét
để giải:
Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn .
Dạng 2: Lập phương trình bậc hai .
Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.
Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao
cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số.
Dạng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức
chứa nghiệm.

Dạng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
Dạng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
2. Nội dung
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm :
Dạy học Toán thực chất là dạy hoạt động toán học. Học sinh - chủ thể của
hoạt động học cần phải được cuốn hút vào những hoạt động học tập do giáo
viên tổ chức và chỉ đạo , thông qua đó học sinh tự khám phá những điều
mình chưa biết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã sắp đặt
sẵn. Theo tinh thần này trong tiết lên lớp, giáo viên là người tổ chức và chỉ
đạo học sinh tiến hành các hoạt động học tập, củng cố kiến thức cũ,tìm tòi
phát hiện kiến thức mới. Giáo viên không cung cấp , không áp đặt những
kiến thức có sẵn đến với học sinh mà hướng cho học sinh thông qua các
hoạt động để phát hiện và chiếm lĩnh tri thức. Trong hoạt động dạy học
theo phương pháp đổi mới, giáo viên giúp học sinh chuyển từ thói quen học
tập thụ động sang tự mình tìm tòi và phát hiện kiến thức giúp rèn luyện khả
năng tư duy, nhớ kỹ các kiến thức đã học.
Thế nhưng “làm thế nào để giúp học sinh học tập tốt môn toán ?” luôn là câu
hỏi trăn trở bao người thầy có tâm huyết .Và chính các thầy cô ấy đã góp phần
không nhỏ vào việc đổi mới phương pháp giáo dục,tích luỹ kinh nghiệm của
mình để áp dụng vào mỗi giờ dạy và từng ngày nâng cao chất lượng của học
sinh, đáp ứng được nhu cầu và sự phát triển của xã hội .Là giáo viên trục tiếp
giảng dạy ,tôi luôn suy nghĩ tìm cách đổi mới phương pháp giảng dạy để phát
huy tính tích cực,độc lập sáng tạo của học sinh .
Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết : định lý Vi-ét và ứng
dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn,lập phương
trình bậc hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúng, học sinh được làm các bài
tập củng cố tiết lý thuyết vừa học.
Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không có
nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm
và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt. Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng và

hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này.
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
3


2.2.1.Thuận lợi:
-Tôi đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán khối 9 được 5 năm,bồi
dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển
vào lớp 10 nên tôi thấy được sự cần thiết phải thực hiện đề tài: “Kinh nghiệm
dạy học ứng dụng hệ thức vi-et để giải các bài toán bậc hai nhằm phát triển khả
năng tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 9 ”
- Tôi được các đồng nghiệp góp ý kiến trong giảng dạy.
- Đa số học sinh khá, giỏi đều mong muốn được nâng cao kiến thức.
2.2.2. Khó khăn:
- Thời lượng phân bố tiết cho phần này còn hạn chế, cụ thể ở chương trình
lớp 9 chỉ có 2 tiết . Do vậy chưa khai thác hết các ứng dụng của hệ thức Viét.
- Hầu hết số học sinh của trường là học sinh gia đình làm nông nghiệp. Do
đó các em ít được chú trọng nâng cao kiến thức.
2.2.3. Thực trạng của giáo viên và học sinh trường THCS Lưu Vệ
Những mặt đã đạt được:
- Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ kiến thức trong chương trình. Học sinh
nắm được kiến thức cơ bản và đã hoàn thành THCS ( đạt 98%).
- Nhà trướng có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, kém. Nhờ vậy học
sinh đã có nhiều tiến bộ.
Những mặt chưa đạt:
- Giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 hằng năm đã có học sinh đạt
giải cấp huyện môn Toán nhưng chưa nhiều và giải chưa cao
- Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng cao
kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn rất hạn chế.
Số liệu thống kê kết quả học tập khi chưa áp dụng đề tài :

Lớp
Số HS
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
Ts
%
Ts
%
Ts
%
Ts
% Ts %
9A
43
5 11,5 10
23,0
19 44,8 8 18,4 1 2,3
Từ những thuận lợi , khó khăn và các thực trạng trên, với đề tài này tôi
mong sẽ giúp các em có thêm kiến thức để tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
*Định lý Vi-et:
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì :
b

x1 + x 2 = −



a

c
x .x =
1
2

a


*Ứng dụng :
-Tính nhẩm nghiệm :
+Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a+b+c =0 thì phương trình
có một nghiệm là x1 = 1 ,nghiệm kia là x2 =

c
a

4


+Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b+c =0 thì phương
trình có một nghiệm là x1 = -1 ,nghiệm kia là x2 = -

c
a

-Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Nếu có hai số u và v thoã mãn điều kiện : u + v = S
u.v = P

thì u ; v là hai nghiệm của phương trình : x2 – Sx + P = 0.Điều kiện để có hai
số u ;v là: S2 – 4P ≥ 0.
- Giáo viên soạn ra các dạng bài toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi-ét để
giải. Trong đề tài này tôi trình bày 8 dạng sau:
Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn .
Dạng 2: Lập phương trình bậc hai .
Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.
Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao
cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số.
Dạng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức
chứa nghiệm.
Dạng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
Dạng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm.
Cụ thể như sau:
Dạng 1.Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:
1. Dạng đặc biệt:
Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 2x2 + 5x + 3 = 0 (1)
b) 3x2 + 8x - 11 = 0 (2)
Giải: Ta thấy:
a) Phương trình (1) có dạng a - b + c = 0, nên có một nghiệm x 1 = -1 và
nghiệm kia là x2 =

−3
2

b) Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0, nên có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm
kia là x2 =

−11
3

Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
a/ 35x2 - 37x + 2 = 0
b/ 7x2 + 500x - 507 = 0
c/ x2 - 49x - 50 = 0
d/ 4321x2 + 21x - 4300 = 0
2. Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm
còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình:
Ví dụ:
a/ Phương trình x2 – 2mx + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm m và nghiệm kia.
5


b/ Phương trình x2 + 5x + n= 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm n và nghiệm kia.
c/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai
nghiệm của phương trình.
d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x 2 –qx +50 = 0, biết phương trình
có hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Giải:
a/ Ta thay x1 = 2 vào phương trình x2 – 2mx + 5 = 0 , ta được:
4 – 4m + 5 = 0 ⇒ m =

1
4
5

5

Theo hệ thức Vi-ét : x1. x2 = 5 suy ra: x2 = x = 2
1
2
b/ Ta thay x1 = 5 vào phương trình x + 5x + n = 0 , ta được:
25+ 25 + n = 0 ⇒ n = −50
−50

−50

Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = -50 suy ra: x2 = x = 5 = −10
1
c/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 - x2 =11 và
theo hệ thức Vi-ét: x1+ x2 = 7 ta có hệ phương trình sau:
 x1 − x2 = 11  x1 = 9
⇔

 x1 + x2 = 7
 x2 = −2

Suy ra: q = x1. x2 = 9.(-2)= -18
d/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 = 2x2 và theo
hệ thức Vi-ét: x1. x2 = 50 ta có hệ phương trình sau:
 x1 = 2 x2
x = 5
⇔ 2 x2 2 = 50 ⇔ x2 2 = 52 ⇔  2

 x1.x2 = 50
 x2 = −5
Với x2 = 5 thì x1 = 10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = 5 + 10 = 15

Với x2 = −5 thì x1 = −10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15

Dạng 2.Lập phương trình bậc hai :
1/. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2
Ví dụ: Cho x1= 5; x2= 8 . Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Giải:
 S = x1 + x2 = 13
 P = x1 .x2 = 40

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 

Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
x2 – Sx + P = 0 ⇔ x2 – 13x + 40 = 0
Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:
a/ x1= 8 và x2= - 3
b/ x1= 3a và x2= a
c/ x1= 36 và x2= - 104
d/ x1= 1+ 2 và x2= 1 - 2
2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai
nghiệm của một phương trìnhcho trước
Ví dụ:
Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 .
Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
6


y1 = x2 +

1
1

y2 = x1 +
và
x1
x2

Giải:
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
1 1
1
1
x +x
2 9
+ x1 + = ( x1 + x2 ) +  + ÷ = ( x1 + x2 ) + 1 2 = 3 + =
x1
x2
x1 x2
3 2
 x1 x2 

1
1
1
1 9
P = y1. y2 =  x2 + ÷.  x1 + ÷ = x1.x2 + 1 + 1 +
= 2 +1+1+ =
x1  
x2 
x1 x2
2 2


S = y1 + y2 = x2 +

Vậy phương trình cần lập có dạng:
y 2 − Sy + P = 0 hay y 2 −

9
9
y + = 0 ⇔ 2 y2 − 9 y + 9 = 0
2
2

Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Không
giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
1
1
y2 = x2 +
và
x2
x1
5
1
(Đáp số: y 2 + y − = 0 ⇔ 6 y 2 + 5 y − 3 = 0 )
6
2
y1 = x1 +

2/ Cho phương trình: x2 - 5x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Không
giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:

y1 = x14 và y2 = x2 4
(Đáp số: y 2 − 727 y + 1 = 0 )
3/ Cho biết phương trình x2 - px + q = 0 có hai nghiệm dương x 1; x2 mà x1 <
x2 . Hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm là : x1 ( x2 − 1) và
x2 ( 1 − x1 )

4/ Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Hãy
lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 sao cho:
a/ y1 = x1 − 3 và y2 = x2 − 3
b/ y1 = 2 x1 − 1 và y2 = 2 x2 − 1
(Đáp số: a/ y 2 − 4 y + 3 − m 2 = 0 ; b/ y 2 − 2 y − (4m 2 − 3) = 0 )
Dạng 3.Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Ví dụ:
Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4.
Giải:
Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4
Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0
giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4
Vậy nếu a = 1 thì b = - 4
nếu a = - 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng:
Tìm hai số a, b biết tổng S và tích P:
a/ S = 3 và P = 2
b/ S = -3 và P = 6
7


c/ S = 9 và P = 20
d/ S = 2x và P = x2 – y2
Bài tập nâng cao:

Tìm hai số a, b biết:
a/ a + b = 9 và a2 + b2 = 41
b/ a - b = 5
và a.b = 36
2
2
c/ a + b =61 và a.b = 30
Hướng dẫn:
a/ Theo đề bài ta dã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức
Vi-ét thì cần tìm tích của hai số a và b.
Từ a + b = 9 ⇒ ( a + b ) = 81 ⇔ a + 2ab + b = 81 ⇔ ab =
2

2

2

(

81 − a 2 + b 2
2

) = 20

 x1 = 4
 x2 = 5

2
Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình có dạng: x − 9 x + 20 = 0 ⇔ 

Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
Nếu a = 5 thì b = 4
b/ Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng: a + b
Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = 5 và a.c = -36
 x1 = −4
 x2 = 9

2
Suy ra: a, c là nghiệm của phương trình có dạng: x − 5 x − 36 = 0 ⇔ 

Do đó:

Nếu a = - 4 thì c = 9 nên b = -9
Nếu a = 9 thì c = - 4 nên b = 4

Cách 2: Từ ( a − b ) = ( a + b ) − 4ab ⇒ ( a + b ) = ( a − b ) + 4ab = 169
2

2

2

2

 a + b = −13
2
⇒ ( a + b ) = 132 ⇒ 
 a + b = 13

- Với a + b = -13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :

 x = −4
x 2 + 13 x + 36 = 0 ⇔  1
 x2 = −9

Vậy a = - 4 thì b = - 9
- Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
x = 4
x 2 − 13 x + 36 = 0 ⇔  1
 x2 = 9

Vậy a = 4 thì b = 9
c/ Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
 a + b = −11
 a + b = 11

2
2
2
2
2
Từ a + b = 61 ⇒ ( a + b ) = a + b + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 11 ⇒ 
2

- Nếu a + b = -11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :
 x = −5
x 2 + 11x + 30 = 0 ⇔  1
 x2 = −6

Vậy a = - 5 thì b = - 6 hay a = - 6 thì b = - 5
8

- Với a + b = 11 và ab = 30, nên a, b là hai nghiệm của phương trình :
x = 5
x 2 − 11x + 30 = 0 ⇔  1
 x2 = 6

Vậy a = 5 thì b = 6 hay a = 6 thì b = 5
Dạng 4.Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình:
Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết biến
đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tích
hai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức.
1/ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 và x1. x2
Ví dụ 1:
2
a/ x12 + x22 = ( x12 + 2 x1 x2 + x2 2 ) − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2
3
3
2
2
b/ x1 + x2 = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 
2

c/ x14 + x2 4 = ( x12 ) + ( x2 2 ) = ( x12 + x2 2 ) − 2 x12 x2 2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  − 2 x12 x2 2
2

1

1

2

2

2

x1 + x2

d/ x + x = x x
1
2
1 2
Ví dụ 2: x1 − x2 = ?
2
2
Ta biến đổi ( x1 − x2 ) = x12 − 2 x1 x2 + x2 2 = ( x12 + 2 x1 x2 + x2 2 ) − 4 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2
⇒ x1 − x2 = ±

( x1 + x2 )

2

− 4 x1 x2

Bài tập áp dụng:
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
a/ x12 − x2 2 = ?
2
2
( HD x1 − x2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) = ... )

b/ x13 − x23 = ?

3
3
2
2
(HD x1 − x2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x1 x2 + x2 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  = ... )
2

c/ x14 − x2 4 = ?
4
4
2
2
2
2
( HD x1 − x2 = ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) = ... )
d/ x16 + x26 = ?
( HD x16 + x26 = ( x12 ) + ( x2 2 ) = ( x12 + x2 2 ) ( x14 − x12 x2 2 + x2 4 ) = ... )
3

3

e/ x16 − x26 = ?
f/ x17 + x27 = ?
g/ x15 + x25 = ?
1

1

h/ x − 1 + x − 1 = ?
1
2
2/ Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
Ví dụ :
Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
9


a/ x12 + x2 2
1

1

b/ x + x
1
2
Giải:
 S = x1 + x2 = 8
 P = x1.x2 = 15

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 

a/ x12 + x2 2 = ( x12 + 2 x1 x2 + x2 2 ) − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 82 − 2.15 = 34
2

x +x

1

1

8

x1

x2

34

1

1

9

1

1

14

1
2
b/ x + x = x x = 18
1
2
1 2
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy

tính:
2
a/ ( x12 + x2 2 )
(Đáp số: 46)

b/ x + x
(Đáp số :
)
15
2
1
2/ Cho phương trình: 8x2 - 72x + 64 = 0, Không giải phương trình, hãy
tính:
a/ x12 + x2 2
(Đáp số : 65)
b/ x + x
(Đáp số: )
8
1
2
2
3/ Cho phương trình: x - 14x + 29 = 0, Không giải phương trình, hãy
tính:
a/ x12 + x2 2
(Đáp số: 138)
b/ x + x
(Đáp số :
)
29
1

2
4/ Cho phương trình: 2x2 - 3x + 1 = 0, Không giải phương trình, hãy
tính:
a/ x12 + x2 2
(Đáp số : 1)
x1

x2

b/ x + 1 + x + 1
2
1
1

1

c/ x + x
1
2
1− x

(Đáp số:

5
)
6

(Đáp số: 3)
1− x

1
2
d/ x + x
(Đáp số : 1)
1
2
5/ Cho phương trình: x2 - 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 . Không giải

phương trình, hãy tính: Q =

6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x2 2
5 x1 x23 + 5 x13 x2

10


(

)

2

2
6. 4 3 − 2.8
6 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2
6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x2 2
17
Q
=
=

=
=
3
3
(HD:
2
2
5 x1 x2 + 5 x1 x2
5 x1 x2 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  5.8  4 3 − 2.8 80





(

)

)
6/ Cho phương trình: x2 - 3x + m = 0, với m là tham số, có 2 nghiệm x 1,
x2 (x1> x2 ). Tính giá trị biểu thức : A = x13 x2 − x1 x23 theo m.
Dạng 5.Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai
nghiệm này không phụ thuộc vào tham số :
Để làm các bài toán dạng này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1
và x2 (thường là a ≠ 0 và ≥ 0).
- Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1. x2 theo tham số.
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó
đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 .
- Ví dụ 1 : Cho phương trình: (m - 1)x 2 – 2mx + m - 4 = 0 có 2

nghiệm x1 và x2. Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 và x2 của
phương trình sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m ≠ 1
 m ≠ 1
m − 1 ≠ 0
m ≠ 1

⇔ 2
⇔
⇔
4

∆ ' ≥ 0
5m − 4 ≥ 0
 m − ( m − 1) ( m − 4 ) ≥ 0
 m ≥ 5
2m
2


 S = x1 + x2 = m − 1
 S = x1 + x2 = 2 + m − 1 (1)
⇔
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
m
−
4
 P = x .x =

 P = x .x = 1 − 3 (2)
1 2
1 2
m −1
m −1


2
2
Rút m từ (1), ta có: m − 1 = x1 + x2 − 2 ⇔ m − 1 = x + x − 2 (3)
1
2
3
3
Rút m từ (2), ta có: m − 1 = 1 − x1 x2 ⇔ m − 1 = 1 − x x (4)
1 2

Từ (3) và (4), ta có:
2
3
=
⇔ 2 ( 1 − x1 x2 ) = 3 ( x1 + x2 − 2 ) ⇔ 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 0
x1 + x2 − 2 1 − x1 x2

Ví dụ 2 :
Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình: (m - 1)x 2 – 2mx + m - 4 = 0.
chứng minh rằng biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 - 8 không phụ thuộc giá trị
của m.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:

m ≠ 1
 m ≠ 1
m − 1 ≠ 0
m ≠ 1

⇔ 2
⇔
⇔
4

∆ ' ≥ 0
5m − 4 ≥ 0
 m − ( m − 1) ( m − 4 ) ≥ 0
 m ≥ 5

11


2m

 S = x1 + x2 = m − 1
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
 P = x .x = m − 4
1 2
m −1


Thay vào biểu thức A, ta có:
A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 – 8 =

3.

2m
m−4
6m + 2m − 8 − 8(m − 1)
0
+ 2.
−8 =
=
=0
m −1
m −1
m −1
m −1
4
Vậy A = 0 với mọi m ≠ 1 và m ≥ .
5

Do đó biểu thức A không phụ thuộc giá trị của m.
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có 2 nghiệm x 1 và x2. Hãy
lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2
độc lập đối với m.
Hướng dẫn:- Tính  ta được: = (m - 2)2 + 4 > 0 do đó phương trình đã cho có
2 nghiệm phân biệt x1 và x2
- Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta biến đổi được : 2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 − 5 = 0 độc lập đối
với m.
2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có 2 nghiệm x 1 và x2.
Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và
x2 không phụ thuộc giá trị của m.

Hướng dẫn:
- Tính  ta được: = 16m2 + 33 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm
phân biệt x1 và x2
- Vận dụng hệ thức Vi-ét ta biến đổi được : 2 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = 0 không phụ
thuộc giá trị của m.
Dạng 6.Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm:
Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2
(thường là a ≠ 0 và ≥ 0).
Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có
ẩn là tham số).
Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1 :
Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = 0. Tìm giá trị của tham số
m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1 + x2 = x1 x2
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m ≠ 0
 m ≠ 0
m − 1 ≠ 0
⇔
⇔
2



2
2
∆ ' ≥ 0
 ∆ ' = 9 m − 2m + 1 − 9m + 27 ≥ 0

∆ ' = 3 ( m − 21)  − 9 ( m − 3) m ≥ 0

(

)

12


m ≠ 0
m ≠ 0
⇔
⇔
∆ ' = 9 ( m − 1) ≥ 0
 m ≥ −1
6(m − 1)

 S = x1 + x2 =
m
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
 P = x .x = 9( m − 3)
1 2

m
Vì x1 + x2 = x1 x2 (giả thiết)
6(m − 1) 9( m − 3)
=
⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 3m = 21 ⇔ m = 7 ( thỏa mãn)
Nên
m

m

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn hệ
thức: x1 + x2 = x1 x2
Ví dụ 2 :
Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m2 + 2 = 0. Tìm giá trị của tham số m
để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
7
4
 S = x1 + x2 = 2m + 1
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
2
 P = x1.x2 = m + 2
Vì 3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 (giả thiết)

(

)

2
∆ ' = ∆ ' = ( 2m + 1) − 4 m + 2 ≥ 0 ⇔ m ≥
2

 m = 2(TM )
4
Nên 3 m + 2 − 5 ( 2m + 1) + 7 = 0 ⇔ 
m = ( KTM )
3



(

2

)

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn hệ
thức: 3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + 7 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1 − 2 x2 = 0
2/ Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + 5m - 6 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 4 x1 + 3x2 = 1
3/ Cho phương trình: 3x2 - (3m - 2)x – (3m + 1) = 0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1 − 5 x2 = 6
Hướng dẫn:
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác so với bài tập ở VD1
và VD2 ở chỗ:
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1 + x2 và tích
nghiệm x1 x2 nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét để tìm tham số m.
+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như
vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về
13


biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 + x2 và tích nghiệm x1 x2 rồi từ đó vận dụng
tương tự cách làm đã trình bày ở VD1 và VD2.
Bài 1:

ĐKXĐ: m ≠ 0; m ≤

16
15


− ( m − 4) m
 S = x1 + x2 =
m
( 1)
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
m
+
7
 P = x .x =
1 2

m

Theo đề bài ta có:

x1 − 2 x2 = 0 ⇔ x1 = 2 x2 ⇔ x1 + x2 = 3 x2 ⇔ 2 ( x1 + x2 ) = 6 x2 ⇔ 2 ( x1 + x2 ) = 3x1
 x1 + x2 = 3 x2
2
⇔ 2 ( x1 + x2 ) = 9 x1 x2 ( 2 )
 2 ( x1 + x2 ) = 3 x1

Suy ra: 

Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình:

m2 + 127m - 128 = 0 ⇒ m1 = 1 ; m2 = -128 .
Bài 2:
ĐKXĐ: 11 − 96 ≤ m ≤ 11 + 96
 S = x1 + x2 = 1 − m
( 1)
 P = x1.x2 = 5m − 6

Theo hệ thức Vi-ét, Ta có: 

 x1 = 1 − 3 ( x1 + x2 )
4
x
+
3
x
=
1
⇔
Theo đề bài ta có: 1

2
 x2 = 4 ( x1 + x2 ) − 1
⇒ x1 x2 = 1 − 3 ( x1 + x2 )  .  4 ( x1 + x2 ) − 1
⇔ x1 x2 = 7 ( x1 + x2 ) − 12 ( x1 + x2 ) − 1( 2 )
2

m = 0
m = 1

Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình: 12m(m – 1) = 0 ⇒ ⇔ 

(TMĐK).
Bài 3:
2
2
Vì ∆ = ( 3m − 2 ) + 4.3 ( 3m + 1) = 9m 2 + 24m + 16 = ( 3m + 4 ) ≥ 0 với mọi số thực m
nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
3m − 2

 S = x1 + x2 = 3
( 1)
Theo hệ thức Vi-ét, Ta có: 
−
3
m
+
1
(
)
 P = x .x =
1 2

3
8 x1 = 5 ( x1 + x2 ) + 6
Theo đề bài ta có: 3x1 − 5 x2 = 6 ⇔ 
8 x2 = 3 ( x1 + x2 ) − 6
⇒ 64 x1 x2 = 5 ( x1 + x2 ) + 6  . 3 ( x1 + x2 ) − 6 
⇔ 64 x1 x2 = 15 ( x1 + x2 ) − 12 ( x1 + x2 ) − 36
2

Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình:

m ( 45m + 96 ) = 0

14


m = 0
⇔
 m = − 32 (TMĐK).
15


Dang 7.Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương
trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…
Ta lập bảng xét dấu sau:

Dấu
x1 x2 S = x1 +
P = x1 x2
Điều kiện chung
nghiệm
x2
m
±
trái dấu
P<0
 ≥ 0  ≥ 0 ; P< 0
±

±
cùng dấu
P>0
 ≥0  ≥0 ; P > 0
cùng dương + +
S>0
P>0
 ≥0  ≥0 ; P > 0 ; S > 0
cùng âm
- S<0
P>0
 ≥0  ≥0 ; P > 0 ; S < 0
Ví dụ : Xác định tham số m sao cho phương trình: x 2 – (3m + 1) x + m 2 – m – 6
= 0 có 2 nghiệm trái dấu.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì:

(

)

 ∆ = ( 3m + 1) 2 − 4.2. m 2 − m − 6 ≥ 0
∆ = ( m − 7 ) 2 ≥ 0∀m
∆ ≥ 0

⇔
⇔
⇔ −2 < m < 3

m2 − m − 6

P
=
m
−
3
m
+
2
<
0
P < 0
(
)(
)
P =

<0
2

Vậy với −2 < m < 3 thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu.

Bài tập áp dụng:
1/ Xác định tham số m sao cho phương trình: mx 2 – 2(m + 2) x + 3(m - 2) =
0 có 2 nghiệm cùng dấu.
2/ Xác định tham số m sao cho phương trình: 3mx 2 + 2(2m + 1) x + m = 0
có 2 nghiệm âm.
3/ Xác định tham số m sao cho phương trình: (m - 1)x 2 +2x + m = 0 có ít
nhất một nghiệm không âm.
Dạng 8.Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm :
Ví dụ 1 : Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x - m = 0. Gọi x 1 và x2 là các nghiệm

của phương trình. Tìm m để: A = x12 + x2 2 − 6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
 S = x1 + x2 = − ( 2m − 1)
 P = x1.x2 = − m

Theo hệ thức VI_ÉT,Ta có: 

Theo đề bài ta có:
2
2
2
A = x12 + x2 2 − 6 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 8 x1 x2 = ( 2m − 1) + 8m = 4m2 − 12m + 1 = ( 2m − 3) − 8 ≥ −8
Suy ra: min A = −8 ⇔ 2m − 3 = 0 ⇔ m =

3
2

Ví dụ 2 : Cho phương trình: x2 - mx + m - 1 = 0. Gọi x 1 và x2 là các nghiệm của
phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biều thức sau:
15


B=

2 x1 x2
x + x2 + 2 ( x1 x2 + 1)
2
1

2

 S = x1 + x2 = m
 P = x1.x2 = m − 1

Giải: Theo hệ thức Vi-ét , Ta có: 
2x x

2x x

1 2
1 2
=
Theo đề bài ta có: B = x 2 + x 2 + 2 ( x x + 1) =
2
( x1 + x2 ) + 2
1
2
1 2
Cách 1: Biến đổi B bằng cách thêm, bớt như sau:

B=

(

) = 1 − ( m − 1)

m 2 + 2 − m 2 − 2m + 1
m2 + 2

Vì ( m − 1)

2

( m − 1)
≥0⇒

2 ( m − 1) + 3
m +2
2

=

2m + 1
m2 + 2

2

m2 + 2

2

≥ 0 ⇒ B ≤1
m2 + 2
Vậy maxB = 1 ⇔ m = 1

Với cách thêm, bớt khác ta lại có:
1 2
1
1 2
1

2
m + 2m + 2 − m 2 − 2
m + 4m + 4 − m 2 + 2
m + 2)
(
1
2
2
2
2
B=
=
=
−
2
2
m +2
m +2
2 m2 + 2 2

(

Vì ( m + 2 ) ≥ 0 ⇒
2

( m + 2)

)

(

)

(

)

2

1
1
≥ 0 ⇒ B ≥ − . Vậy min B = − ⇔ m = −2
2
2 m +2
2

(

2

)

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc hai với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ
tìm điều kiện cho tham số B để phương trìnhdã sho luôn có nghiệm với mọi m.
2m + 1
⇔ Bm 2 − 2m + 2 B − 1 = 0 (với ẩn là m và B là tham số)
2
m +2
2
Ta có: ∆ = 1 − B ( 2 B − 1) = 1 − 2 B + B

B=

(*)

Để phương trình trên (*) luôn có nghiệm với mọi m thì ≥ 0
2
2
Hay 1 − 2 B + B ≥ 0 ⇔ 2 B − B − 1 ≥ 0 ⇔ ( 2 B + 1) ( B − 1) ≤ 0

1
B≤−


 2 B + 1 ≤ 0
2



B
−
1
≥
0
B
≥
1

1

⇔

⇔
⇔ − ≤ B ≤1
 2 B + 1 ≥ 0
2
  B ≥ − 1


2
  B − 1 ≤ 0
 B ≤ 1

1
2

Vậy: max B = −1 ⇔ m = 1 ; min B = − ⇔ m = −2
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 +(4m + 1)x + 2(m – 4) =0 .
2
Tìm m để biểu thức A = ( x1 − x2 ) có giá trị nhỏ nhất.
2/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 . Tìm m sao nghiệm x 1 và
x2 thỏa mãn điều kiện x12 + x2 2 ≥ 10 có giá trị nhỏ nhất.
3/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 4)x + m2 – 8 = 0 . Xác định m sao 2 nghiệm
x1 và x2 thỏa mãn điều kiện :
16


a/ A = x1 + x2 − 3x1 x2 đạt giá trị lớn nhất.
b/ B = x12 + x2 2 − x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
4/ Cho phương trình: x2 - (m – 1)x - m2 + m – 2 =0 . Với giá trị nào của m
để biểu thức C = x12 + x2 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

5/ Cho phương trình: x2 +(m + 1)x + m =0 . Xác định m để biểu thức
D = x12 + x2 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,với bản
thân,đồng nghiệp và nhà trường:
Từ việc nghiên cứu về “Dạy học ứng dụng hệ thức vi-et để giải các bài
toán bậc hai nhằm phát triển khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 9 ” khi
dạy học sinh tôi thu được kết quả như sau :
+ Giáo viên tự tin hơn khi giảng dạy và có nhiều phương pháp dạy hơn
làm cho học sinh dễ hiểu bài .
+Học sinh nắm chắc hơn và hiểu rõ hơn về ứng dụng của hệ thức vi-et
đặc biệt là học sinh biết vận dụng hệ thức vi-et khi giải các bài toán bậc hai và
thấy được sự đa dạng của toán học .
Đề tài còn là cơ sở để các đồng nghiệp tham khảo và lấy làm tài liệu khi
bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi vào PTTH.
*Kết quả cụ thể :
- Khi chưa áp dụng đề tài vào giảng dạy mà chỉ dạy xong chương trình SGK và
cho học sinh làm đề khảo sát ,chất lượng học sinh đạt được là :
Lớp
9A

Số HS
43

Giỏi
Ts
%
5 11,5

Khá
Ts

10

%
23,0

Trung bình
Ts
%
19 44,8

Yếu
Kém
Ts
% Ts %
8 18,4 1 2,3

-Sau khi áp dụng đề tài vào giảng dạy và khảo sát chất lượng học sinh ,kết quả
đạt được là :
Lớp

Số HS

Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
Ts
%
Ts

%
Ts
%
Ts
% Ts %
9A
43
7 16,1 14
32,2
21 49,4 1
2,3
Mong rằng đề tài : “Kinh nghiệm dạy học ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải
các bài toán bậc hai” góp phần giúp các em thêm kiến thức,biết ứng dụng hệ
thức Vi-ét vào giải các bài toán bậc hai để các em thêm tự tin trong các kỳ thi .
Chắc hẳn trong đề tài này tôi còn nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp ý
của quý thầy, cô giáo và các em học sinh.
3.Kết luận và kiến nghị
3.1.Kết luận:
Qua việc nghiên cứu thực tế vấn đề chỉ đạo nâng cao chất lượng dạy toán ở
trường THCS Lưu Vệ bản thân tôi rút ra những bài học kinh nghiệm sau:
17


Để hoàn thành tốt nhiệm vụ của người thầy và đáp ứng được nhu cầu học
tập ngày càng cao của học sinh đòi hỏi người thầy phải không ngừng học
hỏi,nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ và thực sự có tâm huyết với nghề
nghiệp .Trong quá trình giảng dạy người thầy phải đúc rút được kinh nghiệm
cho bản thân,linh hoạt sáng tạo để phát hiện và tìm ra cách giúp học sinh có khả
năng tổng hợp kiến thức và hình thành phương pháp giải cho mỗi dạng toán cụ
thể .Từ đó phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu bộ môn,dần

dần rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy sáng tạo,linh hoạt các em yêu thích
bộ môn và cố phương pháp học tập nghiên cứu các bộ môn KHTN khác .
Muốn vậy các bài tập đua ra cho học sinh cần phải chọn lọc từ bài dễ để
củng cố kiến thức đến bài khó để phát triển tư duy ,bài trước là gợi ý cho bài
sau,các phương pháp giải cung cấp cho học sinh phải dễ hiểu,dễ vận dụng .
Hệ thức vi-et và ứng dụng là một dạng toán không thể thiếu được trong
chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi vao THPT.Nếu chỉ dừng lại yêu
cầu trong SGK thì chưa đủ vì vậy đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học tự
nghiên cứu tìm tòi sáng tạo thường xuyên bổ sung kiến thức và tích luỹ kinh
nghiệm về vấn đề này .
3.2. Kiến nghị :
Để làm tốt và hiệu quả hơn công tác giáo dục, giảng dạy phân môn Đại số
trong nhà trường THCS, tôi xin mạnh dạn đề xuất một vài ý kiến nhỏ sau:
- Là giáo viên trực tiếp giảng dạy,tôi luôn mong muốn chất lượng học sinh
ngày càng được nâng cao .Do năng lực của bản thân còn hạn chế nên tôi kính
mong các cấp lãnh đạo tổ chức thêm các chuyên đề bồi dưỡng nghiệp vụ cho
giáo viên .Nhất là các đồng chí giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi,có kinh
nghiệm lâu năm truyền đạt kinh nghiệm của mình để chúng tôi có cơ hội được
giao lưu học hỏi lẫn nhau,nhằm nâng cao trình độ chuyen môn nghiệp vụ đáp
ứng nhu cầu học tập ngày càng cao của học sinh .
- Nhà trường cần mua sắm thêm tài liệu tham khảo, đầu tư cơ sở vật chất
và đồ dùng dạy học.
- Tổ chức thảo luận các chuyên đề đổi mới phương pháp dạy học cho tất
cả các giáo viên thường xuyên trong từng đợt, từng năm để ngày một nâng cao
chất lượng dạy học.
- Nhà trường nên tập trung xây dựng kế hoạch bồi dưỡng, chọn lọc qua
các năm và chỉ đạo các tổ chuyên môn, các giáo viên xây dựng kế hoạch bồi
dưỡng cụ thể , có tính chất tạo nguồn cho những năm tiếp theo .
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tư vấn giúp đỡ nhà trường chúng tôi sớm được
xây thêm phòng học để chúng tôi được dạy - học một ca, chúng tôi có thời gian

để sinh hoạt chuyên môn nhiều hơn, có phòng học để dạy HSG, phụ đạo HSYK
và nâng cao hơn nữa chất lượng đại trà.
Chắc hẳn trong đề tài này tôi còn nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp ý
của đồng nghiệp và mọi người quan tâm.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
18


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Quảng Xương ,ngày 10 tháng 04 năm
2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nôi dung của người
khác
Người thực hiện :

Nguyễn Thị Lan

TÀI LIỆU THAM KHẢO
19


1. Sách giáo khoa Toán 9 - Tập 2.
2. Sách bài tập Toán 9 - Tập 2.
3. Các đề thi tuyển học sinh giỏi các cấp của tỉnh Thanh Hoá
và các đề tuyển sinh vào lớp 10 hàng năm.
4. Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn toán của Nhà
xuất bản giáo dục Việt Nam.
5. Nâng cao và phát triển Toán 9 –Tập 2

(Tác giả Vũ Hữu Bình )
6. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9
(Tác giả Bùi Văn Tuyên )
7.Toán nâng cao và các chuyên đề Đại Số 9
(Tác giả Vũ Dương Thuỵ -Nguyễn Ngọc Đạm )

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG XƯƠNG
20


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KINH NGHIỆM DẠY HỌC ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ET ĐỂ
GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẬC HAI NHẰM PHÁT TRIỂN KHẢ
NĂNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 9 .

Người thực hiện: Nguyễn Thị Lan
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Lưu Vệ
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

QUẢNG XƯƠNG NĂM 2019

21


22