Rèn luyện kỹ năng tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật cho học sinh lớp 6

MỤC LỤC
STT

Nội dung

Trang

1

1. Mở đầu

1

2

1.1.

Lý do chọn đề tài

1

3

1.2.

Mục đích nghiên cứu

1

4

1.3.

Đối tượng nghiên cứu

1

5

1.4.

Phương pháp nghiên cứu

2

6

2. Nội dung của sáng kiến

2

7

2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến

2

8

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến

4

9

2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử
dụng để giải quyết vấn đề

5

10

2.4. Hiêu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt
động giáo dục, với bản thân đồng nghiệp và nhà trường

17

11

3. Kết luận, kiến nghị

18

12

3.1.

Kết luận

18

13

3.2.

Kiến nghị

19

14

Tài liệu tham khảo

20

1. Mở đầu:
1


1.1. Lý do chọn đề tài:
Toán học là một trong những môn học được coi trọng hàng đầu trong
chương trình giáo dục phổ thông. Bởi vì, không những Toán học được vận dụng
và phục vụ rộng rãi trong đời sống và trong khoa học mà các kiến thức và
phương pháp Toán học còn là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn
học khác.
Trong dạy học môn Toán thì giải toán có vai trò đặc biệt quan trọng, đó là
một việc mà cả người học và người dạy thường xuyên phải làm. Đối với học
sinh phổ thông, giải toán là hình thức chủ yếu để học toán. Các bài toán luôn
được coi là phương tiện có hiệu quả để giúp học sinh nắm vững tri thức, phát
triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo.
Trong chương trình Số học ở trường THCS học sinh được biết đến dạng

toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật. Trong dạng toán này lại được chia
thành nhiều dạng nhỏ khác nhau như: dãy tổng các số nguyên cách đều, dãy
tổng của các tích có các thừa số cách đều viết theo quy luật; dãy tổng của các
lũy thừa cùng cơ số nguyên có số mũ cách đều; dãy tổng các phân số viết theo
quy luật,... Đây đều là các dạng toán khó đối với học sinh các lớp đại trà vì phần
lý thuyết không có trong sách giáo khoa, phần bài tập cũng chỉ có một vài bài
trong sách bài tập. Tuy nhiên trong chương trình bồi dưỡng và nâng cao Số học
cho học sinh THCS nói chung, cho học sinh khá giỏi lớp 6 nói riêng lại không
thể thiếu dạng toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật. Thực tế là có yêu cầu
đối với học sinh khá giỏi, vì trong bài kiểm tra cuối học kì, trong các đề thi học
sinh giỏi lớp 6 đều có dạng toán đó. Tuy nhiên nhiều học sinh khá giỏi khi mới
bắt đầu gặp dạng toán này cũng bị lúng túng, nhiều bài không tìm ra cách giải.
Trong khuôn khổ và thời gian không cho phép tôi chỉ xin trình bày những sáng
kiến của mình trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi môn toán 6 ở phần tính
tổng của dãy phân số viết theo quy luật mà trên nền tảng là khai thác từ bài tập
87 chương III- Sách bài tập. Đề tài có tên: “ Rèn luyện kĩ năng tính tổng của
dãy phân số viết theo quy luật cho học sinh lớp 6”
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Tôi chọn đề tài này nhằm phát triển tư duy toán cho học sinh lớp 6, góp
thêm một cách làm có hiệu quả đối với việc rèn luyện kĩ năng tính tổng của dãy
phân số viết theo quy luật. Góp phần tạo sự tự tin, chủ động kiến thức cho các
học sinh trong quá trình giải bài tập, trong thi cử, kiểm tra, đặc biệt là trong các
kì thi học sinh giỏi.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Trong đề tài này, tôi nghiên cứu về:
+ Nội dung bài tập 87 chương III- Sách bài tập. Các hướng khai thác bài
toán để vận dụng vào các dãy phân số tương tự.
+ Các dãy phân số viết theo quy luật thường gặp
+ Các kĩ năng biến đổi cần có để tính tổng dãy phân số viết theo quy luật.
2

+ Vận dụng kĩ năng biến đổi dãy phân số viết theo quy luật vào giải dạng
toán tìm x, chứng minh bất đẳng thức,...
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Khi lên ý tưởng và hoàn thiện đề tài tôi đã sử dụng các phương pháp:
+ Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu ý tưởng và nội dung bài 87 chương III- Sách bài tập để tìm
ra quy luật làm chung của dạng toán tính tổng của dãy phân số viết theo quy
luật.
- Nghiên cứu các dãy phân số viết theo quy luật thường gặp trong các đề
thi.
+ Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập số liệu thông tin: Điều
tra, khảo sát lớp 6A trường THCS Cẩm Phong thông qua bài kiểm tra.
+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
Sau nhiều năm giảng dạy các lớp đại trà và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi
thấy dạng toán tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật là dạng toán khá khó
đối với học sinh đại trà, còn đối với học sinh giỏi giai đoạn đầu khi các em mới
tiếp cận cũng rất khó khăn. Tuy nhiên bằng hướng dẫn khéo léo của giáo viên,
chỉ ra nguyên tắc làm chung cho dạng toán này thì chỉ sau một buổi những học
sinh trội hơn đã có thể tự làm các bài tương tự, những học sinh khá và trung
bình khá cần hướng dẫn thêm vài lần ở các buổi sau thì các em cũng làm được.
+ Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động:
Qua quá trình giảng dạy cũng như quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tôi
thấy những dạng toán nào mà có quy tắc làm chung thì học sinh cũng làm tốt
hơn. Như dạng toán tính tổng dãy phân số viết theo quy luật, lúc đầu học sinh
còn chưa định hướng được cách giải nhưng sau khi làm theo các bước gợi ý của
bài tập 87 sách bài tập và theo hướng dẫn của giáo viên tôi thấy học sinh dần
làm tốt hơn và thành thạo hơn. Các học sinh trung bình khá cũng đã biết làm.
2. Nội dung của sáng kiến

2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong chương trình Số học ở trường THCS nói chung, Số học 6 nói riêng
dạng toán tính tổng dãy phân số viết theo quy luật có vai trò quan trọng vì nó rèn
luyện và phát triển tư duy cho học sinh rất nhiều, không những thế nó còn giúp
học sinh học tốt dạng toán tìm x có chứa dãy phân số viết theo quy luât, dạng
toán chứng minh bất đẳng thức mà một vế là tổng dãy phân số viết theo quy
luật, dạng toán so sánh ,... Ngoài ra nó còn vận dụng vào tính tổng các phân thức
viết theo quy luật và giải phương trình ở lớp 8. Tuy dạng toán tính tổng của dãy
phân số viết theo quy luật không phải là dạng khó của phần Số học song nhiều
học sinh vẫn chưa làm được vì chưa nắm được bản chất của nó cũng như các
phép tính về phân số còn chưa thành thạo. Trong khi đó qua theo dõi tôi thấy
dạng toán tính tổng dãy phân số viết theo quy luật hoặc toán phải vận dụng dãy
3


phân số viết theo quy luật thường xuyên có trong các kì thi hết học kì II, kì thi
học sinh giỏi môn toán lớp 6 ở huyện Cẩm Thủy và các huyện khác trong tỉnh
Thanh Hóa và các tỉnh khác trong nước. Thế nhưng sách giáo khoa thì không đề
cập một bài toán nào về dãy phân số viết theo quy luật, sách bài tập thì chỉ có
hai bài là bài 87 và bài 95 (trong cả chương III - Phân số). Bài 87 có thể coi là
bài toán gốc của dạng toán tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật, phải biết
vận dụng linh hoạt nội dung bài 87 thì mới làm được bài 95 và các bài tập khác.
Từ thực tế đó trong quá trình giảng dạy tôi luôn chú trọng rèn luyện kĩ năng tính
tổng của dãy phân số viết theo quy luật mà điểm xuất phát là khai thác bài toán
87. Từ việc giải theo trình tự các câu của bài tập 87 tôi xây dựng cho học sinh kĩ
năng quan sát, nhận xét, đánh giá các dãy phân số tương tự, đặc biệt là kĩ năng
vận dụng toán.
2.1.1.Muốn rèn luyện kĩ năng tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật
cho học sinh lớp 6 thì trước tiên các em phải nắm được các công thức cơ bản
sau:

a,Định nghĩa phân số :
Ta gọi a với a,b ∈ Z, b≠ 0 là một phân số, a là tử số, b là mẫu số của phân
số.
b
b,Tính chất cơ bản của phân số
+ Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì
được phân số mới bằng phân số đã cho.
a a.m
=
( với m ∈ Ζ ; m ≠ 0 )
b b.m

+ Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số với một ước chung của chúng thì
đươc một phân số mới bằng phân số đã cho

a a:n
=
( với n ∈ ƯC(a ; b ) )
b b:n
c,Rút gọn phân số :
+ Quy tắc rút gọn phân số : Muốn rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu
của nó với một ước chung của chúng ( ước chung này khác 1 và – 1)
+ Phân số tối giản là phân số không còn rút gọn được nữa. Ước chung của
tử và mẫu chỉ có thể là 1 hoặc – 1
+ Muốn rút gọn một phân số đến tối giản ta chia cả tử và mẫu của chúng
với ước chung lớn nhất của chúng.
d, Cộng hai phân số
+Cộng hai phân số cùng mẫu

a b a+b

+ =
m m m
(a,b,m ∈ Z ;m ≠ 0)
4


+ Cộng hai phân số không cùng mẫu : Ta viết chúng dưới dạng hai phân số có
cùng một mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung

a c
a  c
− = + − 
b d
b  d
a c a.b
. =
f) Nhân hai phân số:
b d c.d
a c a.d
(c ≠ 0)
: =
g) Chia hai phân số:
b d b.c
e) Trừ hai phân số:

k) Tính chất cơ bản của phép nhân phân số :
a c c a
* Giao hoán : . = .
b d d b
 a c  p a  c p

* Kết hợp :  . . = . . 
 b d q b  d q
a
a a
* Nhân với số 1: .1 = 1. =
b
b b
* Phân phối giữa phép nhân với phép cộng:
a  c p a c a p
. +  = . + .
b  d q  b d b q
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Để khảo sát mức độ tự học và khả năng tư duy vận dụng của học sinh, sau
khi học xong bài “Phép nhân phân số” tôi yêu cầu học sinh làm bài tập 87chương III- sách bài tập toán 6 tập II trong thời gian 15 phút. Nội dung đề như
sau:
a. Cho hai phân số và (n ∈ Z, n > 0). Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này
bằng hiệu của chúng.
(4 điểm)
b. Áp dụng kết quả trên để tính giá trị của các biểu thức sau:
A= . + . + . + . + . + . + .
(3 điểm)
B= + + + + + +
(3 điểm)
Khảo sát từ lớp 6B trường THCS Cẩm Phong năm học 2017 - 2018 (Một lớp có hơn 90%
học sinh khá, giỏi môn Toán của học kì I) tôi thu được kết quả như sau:
Kết quả
Tổng số

Giỏi
Khá

Trung bình
Yếu, kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
34
0
0
6
17,6 9
26,5% 19
55,9%
Cần chú thích thêm là: Không có học sinh nào tính được giá trị biểu thức
B bằng cách vận dụng kết quả câu a (6 học sinh đạt điểm khá cũng chỉ biết áp dụng
câu a vào tính giá trị biểu thức A), một số học sinh tính giá trị biểu thức B bằng cách quy
đồng mẫu số các phân số nên chưa ra đến kết quả cuối cùng (không kịp thời gian).
5


Qua kết quả khảo sát cho thấy mặc dù tỉ lệ học sinh khá, giỏi học kì I
trong lớp rất cao, song khả năng tự học và tư duy linh hoạt với dạng toán này
còn rất nhiều hạn chế. Vì vậy trong các tiết luyện tập, ôn tập và các buổi dạy
thêm tiếp theo tôi phải chữa bài và hướng dẫn học sinh khai thác lại bài tập 87,
đồng thời soạn thêm nhiều bài tập về dạng toán tính tổng của dãy phân số viết
theo quy luật để hướng dẫn học sinh tự giải. Với cách làm này qua khảo sát và

đối chứng lại tôi thu được kết quả khá tốt. Cụ thể trong bài thi học sinh giỏi lớp
6 cấp huyện của huyện Cẩm Thủy vừa qua 4 học sinh của tôi đã làm được trọn
vẹn hai bài toán có liên quan đến tính tổng dãy phân số viết theo quy luật.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải
quyết vấn đề.
2.3.1. Tổ chức và hướng dẫn học sinh làm lại bài tập 87- chương III- Sách
bài tập, khai thác để rút ra cách làm chung cho những dãy phân số tương tự.
Bài tập 87- Chương III- SBT toán 6 tập hai:
a. Cho hai phân số và (n ∈ Z, n > 0). Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng hiệu
của chúng.
b. Áp dụng kết quả trên để tính giá trị của các biểu thức sau:
A= . + . + . + . + . + . + .
B= + + + + + +
* Hướng dẫn học sinh tìm hiểu và giải bài toán:
a. Bài toán yêu cầu chứng minh tích của hai phân số đã cho bằng hiệu của chúng,
tức là ta cần chứng minh đẳng thức:
. = Quy đồng mẫu, ta được: - = = = .
Vậy:

. = -

(1)

b. Trong tổng A: Mỗi tích của tổng A là dạng cụ thể của . . Như vậy ta chỉ cần viết mỗi
tích trong tổng thành hiệu 2 phân số như trong công thức (1), ta có:
A= . + . + . + . + . + . + .
A= - + - + - + - + - + - + A= - =
- Trong tổng B: Mỗi phân số chưa có dạng . . Vậy em hãy tìm cách đưa mỗi
phân số về thành tích hai phân số đều có tử là 1và hai mẫu số là hai số tự nhiên liên tiếp
để sử dụng công thức (1)?

Chẳng hạn: = . = Với cách gợi ý này của tôi học sinh đã biến đổi tương tự được các phân số còn
lại.
Yêu cầu một học sinh trình bày hoàn chỉnh:
B= + + + + + +
B= + + ++++
B= . + . + . + . + . + . + .
6


B= - + - + - + - + - + - + B= - =
GV: Vì . = nên nếu đề bài cho các phân số có dạng thì ta có thể áp dụng ngay công
thức (1) mà không cần biến đổi sang dạng . nữa. Như trong tổng B ở trên ta có thể
biến đổi từ đề bài đến bước 1, bỏ qua bước 2 để đến bước 3 luôn cho nhanh gọn.
Vậy, tổng quát ta có :

= -

(2)

* Khai thác bài toán:
+ Quan sát công thức (2) ta thấy: Nếu một phân số có mẫu là tích của hai số tự
nhiên liên tiếp (cách nhau 1 đơn vị), có tử số bằng 1, đúng bằng khoảng cách giữa hai
thừa số ở mẫu thì phân số đó viết được thành hiệu hai phân số có tử đều bằng 1, hai mẫu
số lần lượt là hai thừa số ở mẫu của phân số đã cho. Nhờ cách làm đó ta đã biến dãy
cộng thành dãy cộng, trừ đan xen để ước lược các số hạng đối nhau. Chẳng hạn - và + ;
- và + ; … Do đó bài toán được giải quyết nhanh chóng , chứ nếu quy đồng mẫu các
phân số trên chắc chắn sẽ gặp nhiều khó khăn (như một số bạn đã làm). Đó là chưa kể
đến có bài cần tính tổng của dãy gồm cả trăm , cả nghìn phân số thì việc quy đồng mẫu
số là không thể.
Từ công thức tổng quát và nhấn mạnh bằng lời, yêu cầu học sinh làm một số bài tập vận

dụng sau:
Bài 1: Hãy tính các tổng sau:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
a) A =
1.2 2.3 3.4
99.100
1
1
1
1
1
+
+
+
+ ×××××××+
b) B =
(với n ≥ 1; n ∈ N).
1×2 2×3 3×4 4×5
n×(n+ 1)
* Lời giải:
a) Học sinh tự làm
1
1
1

1
1
+
+
+
+ ×××××××+
b) B =
1×2 2×3 3×4 4×5
n×(n + 1)
B = 1 - + - + - + …… + - = 1- =
Bài 2: Không quy đồng, hãy tính nhanh các tổng sau:
− 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 −1 − 1 −1
+ + + + + + + +
a) B =
2 6 12 20 30 42 56 72 90
b) S =
Hướng dẫn:
a) Đặt (-1) làm thừa số chung và biến đổi các mẫu thành tích 2 thừa số liên
tiếp.
7


B=-

(

+

+

B=-(

)

+

+

)
B = - (1-

)=

b) Học sinh giải tương tự câu a)

S=

)

S=-(

)

S=-(
S=-(
Bài 3 (Bài 95- Chương III - SBT toán 6 tập hai). Tính nhanh:

M=
Khi gặp bài toán này một số học sinh của tôi đã rất lúng túng và mắc sai lầm như
sau (vì làm tương tự bài 1, bài 2 một cách máy móc.):

M=
M=
M=

+
-

=

Từ cách làm trên tôi đã chỉ ra cho học sinh thấy được sai lầm của các em và
phân tích bài toán, hướng dẫn cách giải bài tập này như sau. Hai thừa số ở mẫu
hơn kém nhau hai đơn vị, đúng bằng tử số nên ta thử tính:

,…
Vậy: M =

M= -

+
=

Bài 4 . Tính:

C=
Tương tự bài 3 học sinh làm được:

C=
8

+

C=1

=

C=1

Bài 5: Tính tổng: S = + + + …… +

3
50.53

Hướng dẫn: Tử số bằng 3 đúng bằng khoảng cách của hai thừa số ở mẫu. Vậy hãy thử
làm tương tự bài 3, 4 .
Lời giải: S = + + + …… +

3
50.53

S = - + - + - + ……+
S= S=

1
50

-

1

53

1
53

51
106

* Giáo viên: Như vậy ở các bài toán trên ta thấy các hạng tử trong tổng đều là
những phân số có dạng: tử là một số đúng bằng khoảng cách của hai thừa số ở
mẫu.Vậy với những dãy phân số có tử không bằng khoảng cách của hai thừa số
ở mẫu thì ta làm thế nào?
Bài 6: Tính tổng

a) A =
1
1
1
1
+
+
+ ××××××+
1 ×3 3 ×5 5 ×7
2009 ×2011
Hướng dẫn:
a) Đặt 2 làm thừa số chung để đưa về dãy phân số có mẫu là hai thừa số tự nhiên
liên tiếp, tử là 1 đúng bằng khoảng cách của hai thừa số ở mẫu.
b) B =

A= 2

A= 2. (1

)

A = 2.(1-

= 2.

b) Khi gặp bài toán này một số học sinh của tôi đã mắc sai lầm như sau (vì làm
tương tự bài 1, bài 2 một cách máy móc.):
1
1
1
1
1
+
+
+
+ ×××××××××+
B=
1×3 3×5 5×7 7×9
2009×2011
B=1-

1 1 1 1 1
1
1
+ − + − + ××××××+
−
3 3 5 5 7

2009 2011

B=1-

1
2011

=

2010
(kết quả này là sai đáng tiếc)
2011

9


Từ cách làm trên tôi đã chỉ ra cho học sinh thấy được sai lầm của các em đó là

≠

1-

;

;…
;

Như vậy, vì

; … nên ta phải

biến đổi B như sau:
1
1
1
1
+
+
+ ××××××+
B=
1 ×3 3 ×5 5 ×7
2009 ×2011

B=

+

B=

-

B=

(1-

)=

=

Bài 7. Tính tổng sau bằng cách nhanh nhất mà không dùng máy tính:

S=

+

+

+

+

Tương tự bài 6b) ta có: S = - ( +

S=-(

+

S=- (

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

)
)

S = - (1- +
S = - (1-

)

)
=- .

=

Bài 8 .
Tính giá trị biểu thức: C =

2
2
2
2
+

+
+ .... +
1.4 4.7 7.10
97.100

Lời giải:
1

1

1

1

C = 2. ( 1.4 + 4.7 + 7.10 + .... + 97.100 )
C=
C=
C=

3
3
3
3
+
+
+ .... +
)
1.4 4.7 7.10
97.100
2 1 1 1 1 1 1

1
1
( − + − + − + ..... +
−
)
3 1 4 4 7 7 10
97 100
2 1 1
2 99 33
( −
)= .
=
3 1 100
3 100 50

Bài 9: Tính tổng:
5

5

5

5

a) A = 2 ×4 + 4 ×6 + 6 ×8 + ×××××××+ 98 ×100
10


b) B =

1
1
1
1
+
+
+ ×××××××+
1 ×4 4 ×7 7 ×10
(3k + 1) ×(3k + 4)

Lời giải:
a) A

5

5

5

5

= 2 ×4 + 4 ×6 + 6 ×8 + ×××××××+ 98 ×100
5 2
2
2
2  51 1 1 1 1 1
1
1 
= 
+

+
+ ×××××××+
÷ =  − + − + − + ××××××+ −
÷
2  2 ×4 4 ×6 6 ×8
98 ×100  2  2 4 4 6 6 8
98 100 
5  1 1  49
=  −
÷=
2  2 100  40

b) B =

1
1
1
1
+
+
+ ×××××××+
1 ×4 4 ×7 7 ×10
(3k + 1) ×(3k + 4)


1 3
3
3
3
= 

+
+
+ ×××××××+
÷
3  1 ×4 4 ×7 7 ×10
(3k + 1) ×(3k + 4) 
1 1 1 1 1 1 1
1
1 
=  − + − + − + ××××××+
−
÷
3  1 4 4 7 7 10
3k + 1 3k + 4 
1
1  1 3k + 4 − 1
k +1
= 1 −
)=
÷= (
3  3k + 4  3 3k + 4
3k + 4

k +1
3k + 4
Bài 10: Tính nhanh các tổng sau:
10 10
10
10
+

+
+ ......... +
a) A =
56 140 260
1400
Vậy B =

b) B =
Hướng dẫn:
a) Bài này học sinh của tôi đem đặt thừa số chung là 10 nên khi phân tích các
mẫu thành tích hai thừa số thì giữa các mẫu không có quy luật gì cả. Tôi hướng
dẫn học sinh trước hết rút gọn mỗi phân số cho 2 để được các phân số có mẫu
quen thuộc và có quy luật:
5
5
5
5
10 10
10
10
+
+
+ ......... +
+
+
+ ......... +
=
56 140 260
1400 28 70 130
700

5
5
5
5
= 4.7 + 7.10 + 10.13 + ......... + 25.28
5
3
3
3
3
= 3 .( 4.7 + 7.10 + 10.13 + ......... + 25.28 )
5 1 1 1 1 1 1
1
1
= ( − + − + − + ............ +
− )
3 4 7 7 10 10 13
25 28
5 1 1
5 6
= .( − ) = .
3 4 28 3 28
5
=
14

A=

11

Vậy A=

5
14

b) Bài này tử bằng 1 nhưng khi tách các mẫu thành tích của hai thừa số thì giữa
các mẫu không có quy luật gì cả. Tôi gợi ý học sinh quan sát các mẫu xem có
liên hệ gì với các mẫu của câu a) không thì có học sinh phát hiện ra được.
Lời giải:

B=
B=
B = 2(

)

B=

+

B=

.(1-

+

B=

(1-

)=

)
)

=

2.3.2. Vận dụng kĩ năng tính tổng của dãy phân số có mẫu là tích hai thừa số
viết theo quy luật vào tính tổng của dãy phân số có mẫu là tích của 3, 4 thừa
số viết theo quy luật.
Giáo viên: Nếu mẫu là tích của 3, 4 số tự nhiên cách đều nhau thì sao?
Bài 11: Rút gọn biểu thức sau:

a) A =
b) B = + + + …… +
c) C =

+ …+

Hướng dẫn: a) Ở bài toán này, mẫu là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp, tử bằng
1 cũng đúng bằng khoảng cách giữa các thừa số ở mẫu, các em thử xem có viết
được mỗi phân số thành hiệu của hai phân số nào không mà giữa các phân số
phải có mối liên hệ?
Giáo viên hướng dẫn học sinh thử:

;

;…

Vậy: A =
=
=

+

)
)

12


=

=

=

b) Là dãy tổng quát của dãy ở câu a )

B = + + + …… +
=

( + + + …… + )

= . ( - + - + - + …+ - )
- )=

=

.

c) Vẫn theo nguyên tắc phải tách mỗi phân số thành hiệu hai phân số.Vận dụng
cách thử tương tự câu a) ta có:

;

;…

Vậy:
C=

+ …+

=

+ …+

=

+

=

)
-

= .

+…+

=

Bài 12: Rút gọn: A =

Hướng dẫn:

;

; ….

Vậy: A =
=

+

)

=
=

)
=

=

2.3.3. Vận dụng phương pháp tính tổng dãy phân số viết theo quy luật vào dạng toán
so sánh, chứng minh.

13

Bài 13: Chứng minh rằng : S

=

1
22

1

+ 32 +

Hướng dẫn: Ta đã biết tính tổng A=

1
42

+...+

1
100 2

<1

1
1
1
1
+

+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
99.100

Hãy so sánh mỗi số hạng trong tổng S với mỗi số hạng trong tổng A ta sẽ giải
quyết được bài toán.
Lời giải: Ta có

1
1
1 1
=
2 <
2.1 1 2
2
1
1
1 1
=
2 <
2.3 2 3
3

...
Suy ra:

1
1
1

1
=
2 <
99.100 99 100
100
1
1
1 1 1 1
1
+ - +
2 + 2 +...+
2 < 1 2 2 3
2
3
100
1
99
S < 1- 100 = 100 <1

1

1

...+ 99 - 100

Vậy S< 1
2
8
1 1 1
1

+
+
+
...
+
<
S
<
.
Chứng
minh
rằng
22 32 42
92
5
9
Tương tự bài 13 giáo viên để học sinh tự phát hiện
Lời giải:
1 1 1
1
+ Ta có: 2 + 2 + 2 + ... + 2 >
2 3 4
9
1
1
1 1 1 1 1
1 1 2
+ 2 + ... + 2 > − + − + ... + − =
Suy ra:
2

2
3
9
2 3 3 4
9 10 5

Bài 14: Cho S =

Vậy:

S>

+Ta lại có:
Suy ra:
Vậy:

(1)

1 1 1
1
+ 2 + 2 + ... + 2 <
2
2 3 4
9
1 1 1
1 1 8
1 1 1
1
<
+

+
+
...
+
1
−
+
−
+
...
+
− =
22 32 42
92
2 2 3
8 9 9
S<

Từ (1) và (2) ta có

(2)
2
8
5
9

Bài 15 .
Cho A=

+

. Chứng tỏ rằng A <

Hướng dẫn: Ta khó có thể quy đồng mẫu các phân số này, vậy hãy xem các
mẫu đó viết theo quy luật nào?
Học sinh viết được: A =

+
14


Giáo viên: Hãy tính tổng A xem kết quả có so sánh được với

không?

Học sinh tính được:
A=

+

A=
A = . (1A = . (1

)
)<

(Vì 1

<1)

Vậy A <
Bài 16 .
Cho A =

. Chứng minh A <

Hướng dẫn:
Giáo viên: Thử tính xem các mẫu của các phân số trong tổng có đặc điểm gì?
Học sinh tính được: A = +
Hay: A =

+

Giáo viên: Hãy so sánh tổng A với một tổng quen thuộc mà ta có thể tính được tổng đó?
Học sinh làm được: A <

A< + A< +

< +

=

Vậy A <
2.3.4. Vận dụng phương pháp tính tổng dãy phân số viết theo quy luật vào dạng toán tìm
x
Bài 17 . Tìm số nguyên x biết:
(1)
Mặc dù học sinh đã được va chạm dạng bài 2, bài 10 ở trên nhưng đến khi gặp bài này
nhiều học sinh vẫn mắc vì vừa phải biết đặt thừa số chung là x, vừa phải biết đưa tổng

dãy phân số về dạng có quy luật. Giáo viên phải gợi ý để đi đến lời giải:
Nhân hai vế của (1) với

ta được:

15


x.
x.

) =
+

)=

x.
x.
x
x = 11
Vậy: x = 11
Bài 18.
Tìm x biết:
Tương tự bài 17, giáo viên để học sinh tự làm.
Lời giải:

(x - 2)
(x - 2)

=

=

(x - 2)
(x - 2). =
(x - 2).2 = 16
x-2 =8
x = 10
Bài 19: Tìm số tự nhiên x biết :
 1
 1
1
1
1
2. 
+
+
+ ... +
÷=
x(x +1)  9
 9.10 10.11 11.12

16


Hướng dẫn : Có nhận xét gì về tổng các phân thức trong dấu ngoặc ?
Học sinh nhận ra các phân thức trong dấu ngoặc viết theo quy luật từ đó biến đổi
được:
2.

2.

:2

-

x + 1= 18
x = 17
Bài 20.
Tìm x biết:

+…+

).x =

Vì học sinh đã biết tính tổng các phân số trong ngoặc ở trên từ bài 11c) nên học
sinh tôi vận dụng làm tốt bài này như sau:

+ …+
+

(

).x
-

+ …+

.x =

). x =

.x=
.x=1
x=3
Vậy: x = 3
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

17


Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của tôi về rèn luyện kĩ năng tính tổng
của dãy phân số viết theo quy luật được đúc rút từ thực tế giảng dạy (đặc biệt là
trong quá trình bồi dưỡng học sinh khá, giỏi) ở trường THCS Cẩm Phong. Sau
khi dạy xong phần này tôi cũng đã cho học sinh làm lại bài kiểm tra 15 phút để
có số liệu đối chứng. Đề kiểm tra 15 phút như sau (đề dài hơn và phải vận dụng
nâng cao hơn đề 15 phút ban đầu):
Bài 1: (4 điểm) Tính các tổng sau bằng cách hợp lý nhất:
a, A =

1
1
1
1
+
+
+ ..... +
1.2 2.3 3.4
49.50

b, B =

5
5
5
5
+
+
+ ..... +
28 70 130
5548

Bài 2: (3 điểm)
Tìm x biết: x -

20
3
20
20
20
−
−
− ...=
11 .13 13.15 15.17
53.55 11

Bài 3: (3 điểm)
Cho A =

1

1
1
1
+ 2 + 2 + ... + 2 . Chứng minh rằng: A < 2.
2
1
2
3
50

Với đề bài như trên tôi thu được được kết quả như sau:
Tổng
số
34

SL
10

Giỏi
%
29,4

SL
15

Khá
%
44,1

Kết quả

Trung bình
SL
%
9
26,5

Yếu, Kém
SL
%
0
0

Kết quả trên là rất khả quan vì chỉ còn 9 học sinh có điểm trung bình.
Trong một bài kiểm tra nhanh của một chủ đề nâng cao thì việc những học sinh
có học lực trung bình và khá non chỉ đạt mức điểm trung bình là điều dễ hiểu,
những em này chưa làm được trọn vẹn các bài vận dụng. Tuy đây chỉ là kết quả
của một bài kiểm tra 15 phút, song tôi thấy việc áp dụng sáng kiến này trong quá
trình dạy toán lớp 6B ở trường THCS Cẩm Phong năm học 2017 - 2018 (đặc
biệt là trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi) đã đạt được nhiều thành công:
Về phía học sinh, tôi nhận thấy các em đã tiếp thu kiến thức một cách chủ
động, có hệ thống, vận dụng thành thạo, linh hoạt vào giải bài tập của các dạng
toán có liên quan. Xóa đi cảm giác khó, trừu tượng ban đầu đồng thời góp phần
để học sinh học tốt các nội dung khác sau này.
Sáng kiến kinh nghiệm cũng đã góp phần vào rèn luyện và phát triển tư
duy, nâng cao trí tuệ cho học sinh và học sinh cũng nhận thấy được dạng toán
này thật phong phú chứ không đơn điệu như hai bài tập trong sách bài tập. (Vì
khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm không cho phép nên tôi chỉ trình bày ra đây
20 bài tập của ba loại bài toán liên quan đến dạng toán tính tổng của dãy phân số
viết theo quy luật)
18

Về phía bản thân thông qua việc nghiên cứu đề tài tôi thấy mình vững vàng
hơn trong chuyên môn, hiểu sâu hơn về bài toán tính tổng dãy phân số viết theo
quy luật. Tôi thấy tự tin hơn, say mê hơn khi đứng trên bục giảng và đặc biệt là
trong quá trình ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi Toán 6 của nhà trường.
Học sinh hứng thú, chăm chỉ học tập, yêu thích bộ môn vì thế chất lượng
môn toán ngày càng được nâng cao. Trong kì thi học sinh giỏi lớp 6 năm học
2017-2018 lớp 6B trường THCS Cẩm Phong cũng đạt được 4 giải cấp huyện
trong đó có một câu liên qua đến tính tổng dãy phân số viết theo quy luật các
học sinh trường tôi đều làm tốt. Sự tiến bộ đó của học sinh chính là động lực để
tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm của mình.
3. Kết luận, kiến nghị:
3.1. Kết luận:
Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh không phải là công việc có thể
thực hiện trong ngày một ngày hai mà cần phải có sự kiên trì, bền bỉ và sáng tạo
của giáo viên trong suốt quá trình giảng dạy.
Thông qua việc nghiên cứu đề tài và áp dụng vào giảng dạy tôi rút ra một
số bài học kinh nghiệm sau:
+ Phải trang bị cho học sinh đầy đủ, chính xác các phép tính về phân số
và rút gọn phân số, nắm được các dạng toán thường gặp liên quan đến tính tổng
của dãy phân số viết theo quy luật.
+ Học sinh phải được rèn luyện nhiều các bài và dạng bài toán tính tổng
của dãy phân số viết theo quy luật từ bài đơn giản, cơ bản đến bài nâng cao, vận
dụng. Cần rèn luyện về cách lập luận và trình bày của học sinh.
+ Giáo viên cần sưu tầm bài tập, sắp xếp theo dạng bài để khi dạy hướng
dẫn học sinh tìm ra quy luật giải của mỗi dạng toán.
+ Với mỗi bài toán giáo viên phải để lại cho học sinh một ấn tượng, một
bước đi nào đó để khi gặp bài toán tương tự học sinh có thể liên hệ, vận dụng
được.

3.2. Kiến nghị:
Tôi xin đề xuất một ý nhỏ sau:
Đối với Sở và Phòng giáo dục: Hàng năm, sau mỗi kì chấm sáng kiến kinh
nghiệm Sở giáo dục và Phòng giáo dục nên gửi cho các trường học những sáng
kiến kinh nghiệm hay, thiết thực được xếp loại A cấp huyện và cấp tỉnh để giáo
viên các trường học tập và áp dụng vào thực tế giảng dạy, bởi vì sáng kiến kinh
nghiệm chỉ có giá trị khi được nhiều người sử dụng và mang lại hiệu quả cao
trong dạy học.

19


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Ngày 19 tháng 02 năm 2019

HIỆU TRƯỞNG

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Người viết sáng kiến

Nguyễn Thế Hiền
Nguyễn Thị Xuân

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa và bài tập toán 6 - Tập hai
2. Sách nâng cao và phát triển toán 6- Tập hai
3. Các đề khảo sát học sinh giỏi môn toán 6 huyện Cẩm Thủy và một số huyện

trong tỉnh Thanh Hóa.
4. Các đề kiểm tra chất lượng cuối học kì II môn Toán 6 huyện Cẩm Thủy và
một số huyện trong tỉnh Thanh Hóa.

20


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Xuân
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Cẩm Phong,
TT

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá
xếp loại

Kết quả
đánh giá
xếp loại

Năm học
đánh giá
xếp loại
21

(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)

(A, B,
hoặc C)

1.

Một số phương pháp giải
phương trình vô tỉ

Cấp huyện

C

2005-2006

2.

Một số phương pháp giúp đỡ
học sinh yếu kém môn toán
lớp 7

Cấp huyện

C

2011-2012

3.

Một số phương pháp giải bài
toán về phân số lớp 6

Cấp huyện

C

2013-2014

4.

Phương pháp rút gọn biểu
thức chứa căn thức bậc hai

Cấp huyện

C

2016-2017

22