CHUYEN_DE_TOA_DO( giai toan pho thong)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (300.18 KB, 50 trang )

Lời nói đầu
Chúng tôi dới sự hớng dẫn của thầy Nguyễn Danh Nam viết chuyên đề "Sử
dụng phơng pháp độ trong giải toán hình học phổ thông". Hình học phổ thông
khá là đa dạng và phong phú. ở đây chúng tôi nghiên cứu một khía cạnh cách
giải các bài toán hình học. Sử dụng phơng pháp tọa độ trong giải toán hình học,
đây là một phơng pháp khá mạnh, dùng nó có thể giải quyết hầu hết các bài
toán hình học ở phổ thông.
Chuyên đề gồm hai phần lớn:
Phần I. Sử dụng phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng giải các bài toán hình
học phẳng.
Phân II. Sử dụng phơng pháp tọa độ trong không gian giải các bài toán
hình học không gian.
Mục tiêu của chuyên đề: Cung cấp một thể loại giải toán hình học.
Chuyên đề có tính tổng hợp cao, có tính s phạm và tận dụng các thế mạnh
của phơng pháp.
Chúng tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới sự giúp đỡ động viên về
tinh thần của thầy Nguyễn Danh Nam.
Cuối cùng, dù đã cố gắng, nhng thật khó tránh khỏi những thiếu sót bởi
những hiểu biết và kinh nghiệm hạn chế rất mong nhận đợc những ý kiến đóng
góp quý báu của thầy và các bạn đọc.
Nhóm thực hiện:
Phạm Văn Thiện
Nguyễn Mạnh Hùng
Bùi Văn Giáp
(Lớp Toán A-K41)
Thái Nguyên, ngày 15 tháng 12 năm 2008
1
Giới thiệu chung
Chuyên đề gồm hai phần chính
Phần I
Sử dụng phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng

giải toán hình học phẳng
mở đầu
Phơng pháp toạ độ hoá trong mặt phẳng để giải các bài toán hình học đợc
chia thành các dạng:
Dạng 1: Giải bài toán định lợng
Dạng 2: Giải bài toán định tính
Dạng 3: Giải bài toán về điểm và quỹ tích điểm
Khi sử dụng phơng pháp này là thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Thiết lập trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm cần
thiết.
Bớc 2: Thực hiện bài toán dựa trên kiến thức về hình học giải tích trong
mặt phẳng.
Việc thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp là bớc làm quan trọng nhất, nó đợc
lựa chọn trên các dạng thờng gặp sau:
1. Bài toán có hai điểm cố định A, B
Ta thờng thiết lập hệ toạ độ theo một trong ba dạng sau:
Dạng 1: A, B Cx Dạng 2: A, B Oy
và đối xứng qua Oy và đối xứng với Ox
Dạng 3: A, B ở về một phía của một trục
2
O
A B
x
O
A
B
x
y
y
x

O A
B
x
O
A
B
y y
x
O
A
B
y
x
O
A
B
2. Bài toán cho

ABC
1. Nếu ABC đều, ta thờng thiết lập hệ trục toạ độ theo một trong ba dạng
sau:
2. Nếu ABC cân tại A, ta thờng thiết lập hệ trục toạ độ theo một trong hai
dạng sau:
3. Nếu ABC vuông tại A, ta thờng thiết lập hệ trục toạ độ theo một trong
hai dạng sau:
4. Nếu ABC là thờng thì chọn một đỉnh trùng với gốc toạ độ và có một
cạnh trùng với một trục toạ độ.
3. Bài toán cho tứ giác ABCD
1. Nếu ABCD là hình vuông hoặc hình chữ nhật ta thờng thiết lập hệ trục
toạ độ theo một trong ba dạng sau:

3
A
y
B O H C
x
B
y
AO
C
x
y
A
B C
O G
x
A
y
B O H C
x
A
y
BO
C
x
y
xO A C
B
y
xO B A
C

2. Nếu ABCD là hình vuông hoặc hình thoi, ta thờng thiết lập hệ toạ độ
theo dạng sau:
3. Nếu ABCD là hình thang vuông, ta thờng thiết lập hệ toạ độ theo một
trong hai dạng sau:
Bài toán 1:
Giải bài toán định lợng
I. Phơng pháp
Ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm
cần thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông thờng
bao gồm:
4
OA D
CB
x O A
D
C
B
x
y y
O
D
A
B C
y
x
OA C
B
D

y
x
AO
B
C
D
y
x
AO
B
C
D
y
x
+ Độ dài đoạn thẳng.
+ Khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng.
+ Góc giữa hai đờng thẳng
+ Diện tích
II. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Cho ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4. Gọi M là trung điểm
của AC. Tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp MBC.
Giải:
Cho hệ trục toạ độ với A 0, b oy và C Ox
Khi đó: A(0, 0), B(0, 3), C (4, 0) và M(2, 0)
Giả sử đờng tròn (O) ngoại tiếp MBC
Có dạng: (O) x
2
+ y
2
- 2ax

- 2by + C = 0
Với a
2
+ b
2
- c 0
Điểm M, B, C (O) nên
4 - 4a + c = 0 a = 3
9 - 6b + c = 0 b =
17
6
thoả mãn điều kiện
16 - 8a + c = 0 c = 8
Vậy đờng trong (O) có bán kính
R
2
= a
2
+ b
2
- c =
325
36
R =
5 13
6
Ví dụ 2: Cho ABC vuông cân tại A. Tính góc giữa hai trung tuyến BE, CF
Giải:
Cho hệ trục toạ độ Oxy với A O, B Ox và C Oy

Khi đó: A(0, 0), B(a, 0), C(0, a), E(0,
2
a
), F(
2
a
, 0)
Nên ta có:
AE
uuur
(-a,
2
a
),
CF
uuur
(
2
a
, -a)
5
y
B
O A M C x
y
C
O A F B x
E

BE = CF =

5
2
a
2
BE CF ( )
2 2
a a
a a a = + =
uuur uuur
Cos =
2
2
.
4
5
5
.
4
BE CF
a
a
BE CF
= =
uuur uuur
uuuur uuuur
Ví dụ 3: Cho ABC vuông cân tại C. Dựng đoạn CI (với I AB) vuông
góc với trung tuyến AM. Tính tỷ số
BI
AI
.

Giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxy với C O, A Ox và B Oy (Giả sử CA = CB = 1)
Khi đó: A(1, 0), B(0, 1), C(0, 0), M(0,
1
2
).
Giả sử I(x, y),
Do
AI
uur
cùng hớng với
AB
uuur
Do đó:
1
1 1
x y
=

(1)
Do CI
uur

AM
uuuur
nên ta có
0
2
y
x + =

(2)
Từ (1) và (2):
1
1
3
1 1
2
0
2 3
x y
x
y
x y

=
=

+ = =

Hay
1 2 1
;
3 3 2
BI
I
AI

=
ữ

Ví dụ 4: Cho hình thang vuông ABCD, đờng cao AB. Biết rằng:
. 4AB AC =
uuur uuur
,
. 9CA CB =
uuur uuur
và
. 6CB CD =
uuur uuur
a. Tính độ dài các cạnh của hình thang.
6
y
B
C O A x
M
I
b. Gọi EF là đờng trung bình của hình thang, tính độ dài hình chiếu của EF
lên BD.
Giải:

Chọn hệ trục toạ độ Oxy với B O, A Ox khi đó:
A(0, h), B(0, 0), C(b, 0), D(a, h) với a, b, h > 0
a. Ta có:
2
4 . (0, ).( , )AB AC h b h h= = =
uuur uuur
h = 2 AB = 2
2
9 . ( , ).( , 0)CA CB b h b b= = =
uuur uuur
b = 3 BC = 3
6 . ( ,0).( , ) 3( 3)CB CD b a b h a= = =
uuur uuur
a = 1 AD = 1
CD
2
= AB
2
+ NC
2
= (b - a)
2
+ h
2
= 4 + 4 = 8 CD =
2 2
b. Ta có:
Hình chiếu của EF lên BD là E
1
F

1
( )
1 1
. 2
. ,
5
.
BD EF
E F EF Cos BD EF EF
BD EF

= = =

uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
Bài toán 2:
Giải các bài toán định tính
I. Phơng pháp
Ta thực hiện các bớc sau:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thiết hợp, từ đó suy ra toạ độ các điểm cần
thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điều kiện, từ đó suy ra kết quả cần
chứng minh. Cụ thể.
1. Để chứng minh một biểu thức vectơ, ta cần xác định toạ độ của các
vectơ trong biểu thức đó, từ đó thay vào biểu thức để đa ra kết luận.
7
y
A
O B N C x

D
F
E
F
1
E
1
h
a b
2. Chứng minh mối liên hệ đại số.
3. Với
1 2
,a a
ur uur
là vectơ chỉ phơng của (d
1
) và (d
2
) thì:
a. (d
1
) // (d
2
)
1
. 1 .
2 2 2 2
c c c c
x x y y
AE BF

+

= +
ữ

uuur uuur
//
2
a
uur

b. (d
1
) (d
2
)
1
a
ur

2
a
uur

1
a
ur
.
2
a

uur
= 0
II. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Cho ABC đều cạnh a. M là điểm bất kỳ nằm trên đờng tròn
ngoại tiếp ABC. Chứng minh rằng:
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= 2a
2
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxy với trọng tâm G O, A Oy và BC // Ox
Khi đó: A(0,
3
3
a
), B(
3
.
2 6
a a

), C (
3
.
2 6
a a

)
Ta có:
Đờng tròn ngoại tiếp ABC có phơng trình:
(C): x
2
y
2
=
2
3
a
; Điểm M(x
0
,y
0
) C

2
2 2
0 0
3
a
x y+ =
(1)

2 2
2
2 2 2 2
0 0 0 0

3 3
3 2 6
a a a
MA MB MC x y x y

+ + = + + + + +
ữ ữ
ữ
ữ ữ

( )
2
2
2 2 2
0 0 0 0
3
3 2
2 6
a a
x y x y a

+ + + = + =
ữ
ữ
ữ

(1)
Ví dụ 2: Cho ABC vuông tại C. Trên các cạnh AC, CA, AB lấy các điểm
M, N, P sao cho:
MB NC PA
MC NA PB
= =
8
y
A
B C
O G x
Chứng minh rằng CP MN và CP = MN
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxy với C O, A Ox và B Oy
Khi đó: A(1, 0), B(0, 1), C(0, 0)
Khi đặt:
MB NC PA
K
MC NA PB
= = =
thì các điểm M, N, P lần lợt chia các đoạn
AC, CA, AB theo tỷ số K tức là:
1
,
1
M C
K

ữ
+

,
,
1
K
N O
K

ữ
+

,
1
,
1 1
K
P
K K

ữ
+ +

Từ đó ta có:
1
,
1 1
K
MN
K K

=
ữ
+ +

uuuur
2 2
. 0
(1 ) (1 )
K K
CP MN
K K
= =
+ +
uuur uuuur
CP MN
2 2
2
2 2 2
1 1
(1 ) (1 ) (1 )
K K
CP MN CP MN
K K K
+
= + = = =
+ + +
uuur uuuur
Ví dụ 3: Cho ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm BC, D là hình chiếu
của H trên AC, M là trung điểm HD. Chứng minh rằng AM BD.
Giải:

Chọn hệ trục toạ độ Oxy, giả sử H O(0, 0), A(0, a), B(-b, 0), C(b, 0)
Giả sử D(x, y) từ giả thiết ta có:
2 2
2 2 2 2
/ /
,
AD AC
a b ab
D
a b a b
BD AC

ữ
+ +

uuur uuur
uuur uuur
Toạ độ điểm
2 2
2 2 2 2
,
2( ) 2( )
a b ab

M
a b a b

ữ
+ +

Xét tính vô hớng:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
. 0
2( ) 2( )
a b a b ab ab
AM BD b a
a b a b a b a b

= + + =
ữ

+ + + +

uuuur uuur
9
y
B
O C N A x
M
P
A
y
B O H C

x
M
AM BD AM BD
uuuur uuur
Ví dụ 4: Cho ABC, biết BC
2
+ AC
2
= 5AB
2
Chứng minh rằng AE và BF vuông góc với nhau.
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho:
A(0, 0), B(1, 0), C(x
0
, y
0
).
0 0
1
,
2 2
x y
E
+

ữ

,
0 0

,
2 2
x y
F

ữ

BC
2
+ AC
2
= 5AB
2
2 2 2 2
0 0 0 0
( 1) 5x y x y + + + =
2 2
0
c c c
x y x z + + =
(*)
Xét
1
. 1 .
2 2 2 2
c c c c
x x y y
AE BF
+

= +
ữ

uuur uuur
=
( )
2 2
1
2 0
4
c c c
x y x+ =
(*)
AE BF
Bài toán 3:
Giải bài toán điểm và quỹ tích điểm
I. Phơng pháp
Ta thực hiện các bớc sau:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ các điểm cần
thiết.
Bớc 2: Thiết lập biẻu thức cho đối tợng cần tìm quỹ tích, từ đó suy ra quỹ
tích của nó.
II. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Cho đoạn AB = a cố định. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:
2
2 2
5
2
a
MA MB+ =

(1)
Giải
10
y
C
O A B x
F
E
Cho hệ trục toạ độ Oxy với A, B Ox và đối xứng qua Oy.
Khi đó:
,0
2
a
A

ữ

,
,0
2
a
B

ữ

Điểm M(x, y) thoả mãn (1) khi và chỉ khi:
2 2
2
2 2

5
2 2 2
a a a
x y x y

+ + + + =
ữ ữ

x
2
+ y
2
= a
2
Tức là M thuộc đờng tròn tâm O bán kính R = a
Ví dụ 2: Cho đoạn AB = a cố định. Tìm tập hợp tất cả các điểm M thoả
mãn:
2
2 2
2
a
MA MB =
(*).
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxy với A, B Ox và đối xứng qua Oy.
Khi đó:
,0
2
a
A

+
ữ

,
,0
2
a
B

ữ

Điểm M(x, y) thoả mãn (*)
2 2
2
2 2
2 2 2
a a a
x y x y

+ + + =

ữ ữ

4
a
x =

Tức là M (d) qua H là trung điểm của OB và vuông góc với AB.
Ví dụ 3: Cho ABC đều, cạnh a. Tìm tập hợp những điểm M
Sao cho:
2
. . .
4
a
MA MB MB MC MC MA+ + =
uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur
(1)
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxy với trọng tâm G O, A Oy và BC // Ox.
Khi đó:
3
0,
3
a
A

ữ
ữ

,
3
,
2 6
a a
B

ữ
ữ

,
3
,
2 6
a a
C

ữ
ữ

11
y
M
B
a
O x
A B
-a
a
-a
-a/2
a/2
y
E B
O H
M
d

x
§iÓm M(x, y) tho¶ m·n (1)
3 3
, ,
3 2 6
a a a
x y x y
  
−
− − − − −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
3 3
, ,
2 6 2 6
a a a a
x y x y
  
− −
+ − − − − −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
2
3 3
, ,
2 6 6 4
a a a a
x y x y

  
+ − − − − − =
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
2
2 2
4
a
x y⇔ + =
VËy ®iÓm M thuéc ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R =
2
a
12
y
A
B
C
O G x
M
a/2
Phần II
Sử dụng phơng pháp toạ độ
trong không gian giải toán
Chủ đề I: Giải các bài toán tam diện
Mở đầu
Phơng pháp toạ độ trong không gian để giải các bài toán của tam diện đợc
chia thành các dạng:
Dạng 1: Giải bài toán định lợng
Dạng 2: Giải bài toán cực trị

Dạng 3: Giải bài toán định tính
Dạng 4: Giải bài toán về điểm và quỹ tích điểm
Lợc đồ chung khi sử dụng phơng pháp này là thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp cho tam diện, từ đó suy ra toạ độ
của các điểm cần thiết.
Bớc 2: Thực hiện yêu cầu của bài toán dựa trên kiến thức về hình học giải
tích trong không gian.
Một số trờng hợp đặc biệt có góc tam diện Oabc
+ Tam diện vuông thì hệ trục toạ độ vuông
góc thiết lập ngay trên đó.
+ Tam diện có một góc phẳng vuông, khi
đó ta thiết lập một mặt của hệ trục toạ độ chứa
góc phẳng đó.
13
z c
y
b
O
a
x
z
y
b
O
a
x
c
Với các dạng tam diện khác ta cần linh hoạt (nếu có thể) để có phép
chuyển đổi thích hợp.
Bài toán 1:

Giải bài toán định lợng
I. Phơng pháp
Ta thực hiện các bớc sau:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp của tam diện, từ đó suy ra các
điểm cần thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông thờng
bao gồm:
+ Độ dài đoạn thẳng.
+ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
+ Khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng.
+ Khoảng cách giữa 2 đờng thăng.
+ Góc giữa hai đờng thẳng.
+ Góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng.
+ Góc giữa 2 mặt phẳng.
+ Thể tích khối đo diện.
+ Diện tích thiết diện.
II. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Cho góc tam diện vuông Oxyz, trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A,
B, C sao cho OA = a, OB = b, OC = c.
a. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC).
b. Trong OABC vẽ nội tiếp một hình lập phơng sao cho một đỉnh trùng với
O còn đỉnh đối diện thuộc mặt phẳng (ABC), tính độ dài cạnh của hình lập ph-
ơng.
Giải:
14
x
O
B
A
C

z
y
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với AOx, BOy và COz
Khi đó: A (a, 0, 0); B (0, b, 0); C (0, 0, c)
Phơng trình (ABC) đợc cho bởi:
(ABC):
1
=++
c
z
b
y
a
x
(ABC): bcx + cay + abz - abc = 0
a. Khoảng cách từ 0 đến mặt phẳng (ABC) đợc cho bởi:
222222222222
))(,(
baaccb
abc
baaccb
abc
ABCOdh
++
=
++

==
b. Giả sử cạnh của hình lập phơng bằng t và gọi A
1

là đỉnh đối diện với
đỉnh O của hình lập phơng. Suy ra A
1
(t, t, t) khi đó điều kiện là:
acbcab
abc
t
c
t
b
t
a
t
ABCA
++
==++
1)(
1
Vậy hình lập phơng có độ dài các cạnh bằng
acbcab
abc
++
thoả mãn điều
kiện đầu bài.
Bài toán 2:
Giải bài toán cực trị
I. Phơng pháp
Để sử dụng phơng pháp toạ độ trong không gian giải bài toán cực trị của
tam diện, ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm

cần thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức điều kiện (Nếu có)
Thiết lập biểu thức giải tích cho đối tợng cần tìm cực trị.
Bớc 3: Lựa chọn phơng pháp tìm cực trị, thông thờng là:
+ Phơng pháp tam thức bậc hai.
+ Sử dụng bất đẳng thức.
+ Sử dụng đạo hàm.
II. Ví dụ minh hoạ
15
Cho góc tam diện vuông Oxyz trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A, B, C sao
cho OA = a, OB = b, OC = c
a. Hãy tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)
b. Giả sử điểm A cố định còn các điểm B, C thay đổi nhng luôn thoả mãn
OA=OB+OC (tức là a = b + c). Hãy xác định vị trí điểm B và C sao cho V
OABC
là
lớn nhất.
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz
Khi đó: A (a, 0, 0); B (0, b, 0); C (0, 0, c)
a. Phơng trình (ABC) đợc cho bởi:
(ABC):
1
=++
c
z
b
y
a
x

(ABC): bcx + cay + abz - abc = 0
Khi đó:
222222
))(,(
baaccb
abc
ABCOd
++
=
b. Ta có: V
OABC

2426
1
6
1
3
2
aca
aabc
=

+
=
(theo Côsi)

Do đó: Max V
OABC

24
3
a
=
khi
2
a
cb
==
Bài toán 3:
Giải bài toán định tính
I. Phơng pháp
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp của tam diện, từ đó suy ra toạ độ
của các điểm cần thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điều kiện, từ đó suy ra kết quả cần
chứng minh. Cụ thể:
1). Để chứng minh một biểu thức Vectơ, ta cần xác định toạ độ của các
Véc tơ trong biểu thức đó, từ đó thay vào đa ra kết luận.
2). Chứng minh mối liên hệ đại số
3) Với
ba,
là Véc tơ chỉ phơng của (d
1
) và (d
2
) thì:
16

y
B
x
A
C
z
O
a, (d
1
) || (d
2
)
ba ||
b,
0.
21
=
babadd
4) Với
2
1
,nn
là VTPT của (P
1
) và (P
2
) thì:
a)
2121
|||| nnPP

b)
0.
212121
=
nnnnPP
5) Với
n
là VTPT của (P);
a
là VTCP của (d) thì:
a)
0.)(||
=
nanaPd
b)
naPd ||)(

II. Ví dụ minh hoạ
Cho góc tam diện vuông Oxyz lần lợt thuộc Ox, Oy, Oz sao cho OA = a,
OB=b, OC = c
Chứng minh rằng:
a
2
tg
^
A
= b
2
tg

^
B
= c
2
tg
^
C
Với
C
BA
^
^^
,,
là các góc trong ABC
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz
Khi đó: A (a, 0, 0); B (0, b, 0); C (0, 0, c)
Trong ABC có:
2222
2
^
.
.
.
caba
a
ACAB
ACAB
Cos
A

++
==
2222
222222
2222
4
^
.
))((
1
caba
accbba
caba
a
Sin
A
++
++
=
++
=
17
O
z
z
B
B x
C
222222
^

2
2
222222
^
accbbatga
a
accbba
Tg
AA
++=
++
=
(1)
Tơng tự:
222222
^
2
^
2
accbbatgctgtgb
C
B
++==
(2)
Từ (1) và (2) đpcm
Bài toán 4:
Giải bài toán quỹ tích điểm
I. Phơng pháp
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm
cần thiết.

Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho đối tợng cần tìm quỹ tích, từ đó
suy ra quỹ tích của nó.
II. Ví dụ minh hoạ
Cho góc tam diện vuông Oxyz. Tìm điểm M trong tam diện sao cho tổng
khoảng cách từ M tới các mặt phẳng (Oxy); (Oxz); (Oyz) bằng:
a. 1
b. OM
2
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz
Khi đó: M (x, y, z)
x, y, z

0 ở trong tam diện
Ta đợc:
d (M, (Oxy)) =
z
= z
18
y
B
x
A
C
z
O
M
d (M, (Oyz)) =
x
= x

d (M, (Oxz)) =
y
= y
Từ đó ta có tổng khoảng cách:
d = x + y + z
a. Với d = 1 x + y + z = 1
Vậy M thuộc phần phẳng giới hạn bởi ABC với
A (1, 0, 0); B (0, 1, 0); C (0, 0, 1)
b. d = OM
2
Ta có: x + y + z =
2
OM
( )
2
zyx
++
= 2 OM
2

( )
( )
3)1()1()1(2
222222
2
=++++=++
zyxzyxzyx
Vậy M thuộc phần mặt cầu (S) tâm I (1, 1, 1) bán kính R=
3
trong góc

tam diện.
Chủ đề 2: Sử dụng phơng pháp toạ độ
trong không gian giải các bài toán của hình chóp
Phơng pháp toạ độ hoá để giải các bài toán của hình chóp đợc chia thành
các dạng:
Dạng 1: Giải bài toán định lợng.
Dạng 2: Giải bài toán cực trị.
Dạng 1: Giải bài toán định tính.
Dạng 1: Giải bài toán về điểm và quỹ tích điểm.
Lợc đồ chung khi sử dụng phơng pháp này là thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp cho hình chóp, từ đó suy ra toạ độ
của các điểm cần thiết.
Bớc 2: Thực hiện yêu cầu của bài toán dựa trên kiến thức về hình học giải
tích trong không gian.
19
Với hình chóp việc toạ độ hoá thờng đợc thực hiện dựa trên đặc tính hình
học của nó. Ta có các trờng hợp thờng gặp:
1. Hình chóp đều: Thì hệ toạ độ đợc thiết lập dựa trên gốc O trùng với
tâm của đáy và trục Oz trùng với đờng cao của hình chóp, cụ thể:
a. Hình chóp đều SABC với cạnh bằng a, ta đợc:
A (O, OA, O)

=