phương trinh chứa tham số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (163.83 KB, 23 trang )
Hệ phương trình có chứa tham số
I-Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất một
phương trình bậc hai
Khi hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất một phương trình bậc hai ,ta có thể
rút ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại ,khi đó trong hệ có một phương
trình một ẩn có bậc nhỏ hơn bằng hai ,phương trình này có bao nhiêu nghiệm thì hệ có bấy
nhiêu nghiệm
Đê tìm điều kiện của tham số cho hệ phương trình có tập nghiệm thoả mãn tính chất nào
đó ,ta có thể sử dụng hệ thức Viét hoặc đồ thị hàm số để tìm
Bài 1 Cho hệ phương trình
−=−
=−
12
3
2
mxyx
yx
A,tìm m để hệ có nghiệm
B,Tìm m để hệ có hai ngiệm(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
) thoả mãn
P = x
2
1
+ x
2
2
+ y
2
1
+ y
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất
Giải
a- Hệ pt
⇔
=−+−
−=
016
3
2
mxx
xy
Hệ có nghiệm
⇔
pt (2) có nghiệm
⇔
010
,
≥−=∆
m
⇔
m
10
≤
b- Theo Viét :
+
1
x
x
2
=6 , x
1
.x
2
=m-1 Nên
p = (x
1
+x
2
)
2
-2x
1
.x
2
+(x
1
-3)
2
+(x
2
-3)
2
=-4m+46
6
≥
(m
≤
10)
6
min
=⇒
p
khi m=10
Bài 2 Cho hệ phương trình ;
=+
=+
)2(53
)1(53
22
byx
ayx
a-Tìm a,b để hệ có nghiệm
b-Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b
[ ]
2,1
−∈
c- Tìm b để hệ có nghiệm với mọi a
[ ]
2,1
−∈
Giải
a-Từ(1)
5
3xa
y
−
=⇔
thay vào (2)ta có :24x
2
-6ax+a
2
-5b=0(3) Hệ có nghiệm
⇔
pt(3) c
ó nghiệm
⇔
012015
2,
≥+−=∆
ba
⇔
b
8
2
a
≥
b-Không có a thoả mãn vì với b =-1 hệ không có nghiệm
c-Hệcó nghiệm với mọi a
[ ]
2,1
−∈
⇔
b
≥
max
)
8
(
2
a
≥
mọi a
[ ]
2,1
−∈
2
1
≥⇔
b
Các bài tập tương tự
1- Giải và biện luận h ệ phương trình :
=+−
=+
22
22
xyx
myx
2- Cho hệ phương trình :
=+
=−
byax
yx 14
22
a-Gi ải h ệ v ới a=0,25 ,b=0,5
b- Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b
3- Cho hệ phương trình
=−+
=−+
0
0
22
xyx
aayx
a- Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệt b-hệ có hai nghiệm(x
1
,y
1
)(x
2
,y
2
)Chứng minh rằng (x
1
-x
2
)
2
+(y
1
-y
2
)
2
1
≤
4- Cho hệ phương trình:
=+
=+−−
2
012
2
yx
mxyx
a- Tìm m để hệ có hainghiệm phân biệt
b-hệcó hai nghiệm(x
1
,y
1
)(x
2
,y
2
)Tìm mđể:(x
1
-x
2
)
2
+(y
1
-y
2
)
2
=4
5- Cho hệ phương trình:
−=−
=−
12
3
2
mxyx
yx
a- Tìm m để hệ có nghiệm
b- Tìm m để hệ có hai ngiệm(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
) thoả mãn
P = x
2
1
+ x
2
2
+y
1
+y
2
đạt giá trị nhỏ nhất
6-Tìm m để hệ cohainghiệm bằng nhau :
=−+−
=+
034
25
22
mymx
yx
7- Cho hệ pt:
=−
=+++
bxy
byxyxa )(
22
có nghiệm với mọi b CMR:a=0
II-Hệ đối xứng loại một
Hệ hai pt hai ẩn số gọi là hệ đối xứng loại một nếu đổi chỗ vị trí hai ẩn cho nhau thì mỗi
phương trình của hệ không thay đổi
Cách giải thông thường đặt s=x+y,p=xy(điều kiện s
2
p4
≥
)Khi đó có hệ phương trình ẩn
s,p lên để tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm ta giải hệ tìm được s,p theo tham số
m rồi thay vào điều kiện trên giải bất phương trình tìm được giá trị của tham số . Đôi khi
sử dụng cách đặt ẩn phụ khác để đưa về hệ đối xứng loại một ,khi đó tuỳ theo cách đặt ẩn
phụ ,mà điều kiện của ẩn phụ cũng khác nhau
Để tìm điều kiện cho hệ có nghiệm duy nhất có thể giải hệ phương trình rồi sử dụng điều
kiện bắt buộc để hệ có nghiệm duy nhất hoặc có thể lợi dụng vào tính đối xứng của hai ẩn
trong hệ để tìm điều kiện cần của tham số để hệ có nghiệm duy nhất .Sau đây là một số ví
dụ minh hoạ
Bài1-Chohệ phương trình:
=−+
−=−+
44)(5
1
xyyx
mxyyx
Tìm m để hệ có nghiệm Giải
Đặt s=x+y,p=xy(điều kiện s
2
p4
≥
)Thay vào hệ phương trình và giải hệ ta có s=4m
,p=5m-1
Hệ có nghiệm
⇔
s
2
p4
≥
⇔
m
1
≥
hoặc m
4
1
≤
Bài 2- Chohệ phương trình:
=+
=++
myx
mxyyx
22
Tìm m để hệ có nghiệm
Giải
Đặts=x+y,p=xy(điều kiện :s
p4
2
≥
)Khiđóhệphươngtrình:
=−
=+
mps
mps
2
2
+++=
+−−=
⇔
131
131
mmp
ms
hoặc
+−+=
++−=
131
131
mmp
ms
(với m
3
1
−
≥
)
Hệ có nghiệm
⇔
s
2
p4
≥
⇔
+−+≥++−
+++≥+−−
)131(4)131(
)131(4)131
2
2
mmm
mmm
0
≥⇔
m
(TMĐK)
Bài 3- Tìm m để hệ có nghiệm :
−=+
=+
23
44
22
myx
myx
Giải
Đặt s=x
2
+y
2
,p=x
22
y
(ĐK:s,p
)0
≥
Khiđóhệpt
⇔
−=−
=
232
2
mps
ms
⇔
+−
=
=
2
23
2
mm
p
ms
Hệcónghiệm
⇔
≥
≥
≥
0
0
4
2
p
s
ps
+≤≤
≤≤
⇔
532
10
m
m
Bài 4- Tìm m để hệ có nghiệm :
=−+−
=+
414 yx
myx
Giải
Đặtu=
4
−
x
,v=
1
−
y
(đK:u,v
0
≥
,x
4
≥
,y
1
≥
)Khiđóhệpt:
+=+
=+
53
4
22
mvu
vu
−
=
=+
⇔
2
321
4
m
uv
vu
Hệcónghiệm u
0
≥
,v
0
≥
⇔
≥+
≥
≥+
uvvu
uv
vu
4)(
0
0
2
≥−
−≥
⇔
0321
)321(216
m
m
7
3
13
≤≤⇔
m
Bài 5- Tìm m để hệ có nghiệm :
=++
=+++
myxxy
yxyx
)1)(1(
8
22
Giải
Đặtu=x(x+1),v=y(y+1)(ĐK :u
4
1
,
4
1
≥≥
v
)Khiđóhệ:
=
=+
muv
vu 8
nên u,v là nghiệm pt bậc hai:
X
2
-8X +m=0 (u,v
4
1
≥
)Hệ có nghiệm khi pt này có hai nghiệm lớn hơn bằng
4
1
⇔
Hai
đồ thị hai hàm số y=x
2
-8x và y=-m cắt nhau tại hai điểm có hoành độ
4
1
≥
.Nên dựa vào
đồ thị ta có giá trị m thoả mãn :-16
16
31
−≤≤
m
Bài6- Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt
−=−
=+
)(
1
33
yxmyx
yx
Giải Hệpt
=−++−
=+
⇔
omxyyxyx
yx
))((
1
22
=−
=+
⇔
0
1
yx
yx
v
=−++
=+
0
1
22
mxyyx
yx
⇔
−=
=+
==
mxy
yx
yx
1
1
2
1
Hệ có ba nghiệm phân biệt khi
−=
=+
mxy
yx
1
1
có hai nghiệm phân biệt x ,y
2
1
≠
⇔
pt X
2
-X +1-m=0 có hai nghiệm phân biệt
2
1
≠
⇔
034
〉−=∆
m
4
3
.
>⇔
m
(m=
4
3
ptcó nghiệm kép X=0,5)
Bai7-Cho hệ phương trình :
+=+
+=++
mmyxxy
mxyyx
2
)(
12
a-CMR : hệ có nghiệm với mọi giá trị của m
b-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
Giải
Đặt s=x+y , p=xy Khi đó hệ phương trình :
+=
+=+
mmsp
mps
2
12
=
+=
+=
=
⇔
)2(
1
)1(
1
mp
ms
mp
ms
a-Hệ (2) có mghiệm với mọi m (s
p4
2
≥
với mọi m)
b-Hệ(2)luôn có nghiệm với mọi m ,nên hệ có nghiệm thì hệ (2)có nghiệm duy nhất
ps 4
2
=⇔
mm 4)1(
2
=+⇔
1
=⇔
m
Với m=1 hệ (1)vô nghiệm ,hệ (2)có nghiệm duy nhất.Vậy m=1
Chú ý : Khi hệ pt tương đương với nhiều hệ khác thì ĐK cần để hệ có nghiệm duy nhất
là một trong các hệ đó có nghiệm duy nhất ,từ đó tìm được ĐK của tham số ,thay giá trị
của tham số tìm được vào hệ rồi giải hệ kiểm tra điều kiện đủ
Bài8-Tìm mđể hệ pt
=−+−−+
+=+
1)1(1
1
22
yxmyx
xyyx
có nghiệm duy nhất
Giải
* Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (y,x)cũng là nghiệm của hệ pt nên hệ có nghiệm duy nhất
thì x=y, thay vào hệ pt giải ra ta có x=y=1và m=0
* Với m=0 hệ pt :
=−+
+=+
11
1
22
yx
xyyx
⇔
=+
=−+
2
1
22
yx
xyyx
=−+
=−+
⇔
22)(
1
2
xyyx
xyyx
=
=
⇔
=
=+
−=
=+
⇔
1
1
1
2
)(
1
0
y
x
xy
yx
VN
xy
yx
Vậy :m=0
Chú ý : Để tìm điêu kiện cho hệ có nghiệm duy nhất có thể biến đổi hệ về dạng đơn
giản hơn rồi tìm điều kiện bắt buộc để hệ có nghiệm duy nhất Hoặc lợi dụng tính đối
xứng của hệ để tìm điều kiện cần của tham số để hệ có nghiệm duy nhất
`Bài tập
1-cho hệ pt :
−−=+
+=+
32
1
222
mmxyyx
myx
a-Giải hệ pt khi m=3
b-CMR :Hệ pt có nghiệm với mọi m
2- Cho hệ pt :
=+
+=++
mxyyx
myxyx
22
1
a-Giải hệ pt khi m=2
b- Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) sao cho x>0,y>0
3- Cho hệ pt :
=++
+=++
myxyx
mxyyx
22
6
22
a- Giải hệ khi m=-3
b- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
4- Tìm m để hệ :
−+=+
−=+
32
12
222
mmyx
myx
có ngiệm(x,y)saocho:p= xy đạt giá trị nhỏ nhất
5- Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt :
=+
+=+
4)(
22
2
22
yx
myx
6- Cho hệ pt :
−=+
=+
222
6 myx
myx
a- Giải hệ khi m=2
b- Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) sao cho F=xy+2x+2y đạt giá trị nhỏ nhất
7- Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt :
=+++
−=++
myxyx
myxxy
222
65)2)(2(
22
8- Tìm m để hệ :
−=+
=++
myx
mxyyx
23
22
có 4 nghiệm phân biệt
9- Giải biện luận hệ pt:
−=+
=++
myx
mxyyx
23
22
10-Tìm m để hệ có nghiệm :
=+
=−+
myx
mxyyx
III-Hệ đối xứng loại hai
+Hệ hai pt có hai ẩn gọi là hệ đối xứng loại hai nếu đổi chỗ ẩn x và y cho nhau thì pt này
của hệ chuyển thành pt kia và ngược lại
+Cách giải :Trừ từng vế của hai pt ,khi đó ta được pt tích dạng (x-y)f(x,y)=0 dựa vào pt
này có thể giải được hệ
+Để tìm ĐK cho hệ có nghiệm duy nhất cách làm như hệ đối xứng loại một
Bài1-Chohệpt:
+=
+=
mxyy
myxx
3
3
2
2
Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt
Giải
Trừ hai vế của của hai pt ta có :
+=
=−
myxx
yx
3
0
2
⇔
=
=−−
yx
myy 0)3(
⇔
+==
==
myx
yx
3
0
Hệ
có hai nghiệm phân biệt
⇔
m+3
30
−≠⇔≠
m
Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
+=−
+=−
xmyxy
ymxyx
22
22
2
2
Giải
Trừ hai vế của hai pt,ta có hệ:
+=−
=+−+−
ymxyx
myxyx
22
2
0)133)((
)1(
2
22
+=−
=
⇔
xmyxy
yx
hoặc
)2(
2
0133
22
+=−
=+−+
xmyxy
myx
Giải hệ (1) ta có x=y=0 v x=y=-m-1 Nên hệ có nghiệm duy nhất thì :-m-1=0
1
−=⇔
m
khi đó hệ (2) vô nghiệm .Vậy m=-1
Bài 3- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :
−=+
−=+
)1(
)1(
2
2
xmyxy
ymxxy
Giải
Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (y,x) cũng là nghiệm của pt nên hệ có nghiệm duy nhấtthì
x=y thay vào hệ có pt: 2x
0
2
=+−
mmx
có nghiệm duy nhất khi m=0 v m=8
Vớim=0hệlà:
=+
=+
0
0
2
2
yxy
xxy
⇔
=
=
0
0
y
x
hoặc
=+
=+
0)(
0
yxx
xy
(hệcóvôsốnghiệm)
Với m=8 hệ:
−=+
−=+
)1(8
)1(8
2
2
xyxy
yxxy
2
==⇔
yx
(hệ có nghiệm duy nhất)
Vậy m=8
Bài 4- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :
=−++
=−++
mxy
myx
61
61
Giải : Đ K :-1
6,
≤≤
yx
Nếu (x,y)là nghiệm của hệ thì (5-x,5-y)cũng là nghiệm của hệ nên hệ có nghiệm duy
nhất thì
−=
−=
yy
xx
5
5
⇔
x=y=
2
5
thay vào hệ ta có m=
14
Với
m=
14
hệ pt:
⇔
=−++
=−++
1461
1461
xy
yx
=−+++−++
=−++
1426161
1461
yyxx
yx
Mà
1426161
≤−+++−++
yyxx
dấu bằng xảy ra
⇔
x=y=
2
5
(thoả mãn hệ
pt)Nên hệ có nghiệm duy nhất x=y=
2
5
Vậy m=
14
Bài5-Tìm m để hệ có nghiệm
=−++
=−++
mxy
myx
21
21
Giải
ĐK :x,y
2
≥
Hệ
⇔
=−++
−−+=−−+
myx
yyxx
21
2121
⇔
=−++
−++
=
−++
myx
yyxx
21
)1(
21
3
21
3
Hàm số f(t)=
21
3
−++
tt
nghịch biến trong khoảng (2,+
∞
) Nênpt(1)
⇔
x=ythay vào
pt kia ta có pt:
mxx
=−++
21
Hệcónghiệmkhiptnàycónghiệm
⇔
3)21(
2
=−++≥≥
≥
xxMinm
x
Vậy:
3
≥
m
