Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm

Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT, việc
rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh có vai trò quan trọng. Việc giải toán là
hình thức chủ yếu của hoạt động toán học giúp học sinh phát triển tư duy, tính
sáng tạo, hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào tình huống mới, có
khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập suy nghĩ và biết lựa
chọn phương pháp tối ưu.
Trong quá trình giảng dạy môn toán, nhất là ở dạng bài toán liên quan tới
đồ thị hàm đạo hàm, tôi thấy nhiều em học sinh không làm được bài tập hoặc chỉ
làm được các bài có tính chất áp dụng công thức đơn giản. Trong khi đó bài toán
liên quan tới đồ thị hàm đạo hàm là một phần kiến thức quan trọng luôn có mặt
trong các đề thi Trung học phổ thông quốc gia (THPT QG) những năm gần đây.
Hơn nữa, việc thay đổi hình thức thi THPT QG đối với môn toán từ hình
thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm của Bộ GD&ĐT đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ
và khó khăn đối với việc dạy của giáo viên cũng như việc học của học sinh.
Hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi cần có những cách tiếp cận mới so với hình
thức thi tự luận. Việc đọc đồ thị hàm số y = f ( x) thường đơn giản nhưng việc
đọc và giải quyết các vấn đề liên quan tới đồ thì hàm số y = f ' ( x ) thì phức tạp
hơn nhiều. Do đó cần phải có hướng ôn tập tốt cho học sinh về vấn đề này.
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh
tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời
nâng cao chất lượng bộ môn nên bản thân đã chọn đề tài: Rèn luyện kĩ năng giải
bài toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Lự chọn đề tài này, mục đích nghiên cứu của tôi là : Để học sinh thấy
được mối liên hệ giữa đồ thị hàm số y = f '( x) với các vấn đề liên quan tới hàm
số y = f ( x) . Từ đó có kĩ năng giải quyết tốt các bài toán tương tự, đặc biệt có
hiệu quả cao trong kì thi THPT QG 2018 - 2019.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu mà tôi hướng đến trong đề tài này là: Học sinh lớp
12, trong đó trực tiếp là hai lớp tôi đang giảng dạy : 12A3 và 12A4
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế: Tôi đã tiến hành lập phiếu thông tin
khảo sát tình hình học sinh về việc giải quyết bài toán tính đơn điệu và cực trị
của hàm số y = f ( x) có liên quan đế đồ thị hàm số y = f '( x) ở hai lớp tôi đang
trực tiếp giảng dạy là 12A3 và 12A4.
- Phương pháp thu thập thông tin: Tôi đã tiến hành thu thập các thông tin liên
quan đến đề tài thông qua các bài viết trên mạng Internet, SGK Giải tích 12. Sau
đó chọn lọc thông tin phù hợp với đề tài của mình. Đồng thời thu thập thông tin
về phản ứng của học sinh đối với các bài toán liên quan tới hàm số y = f '( x) .
- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Tiến hành thống kê các thông tin, số liệu
để xử lí kết quả thu thập được, phục vụ cho việc phân tích, đánh giá trong quá
trình nghiên cứu.
Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

1


Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm
PHẦN 2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận.
2.1.1. Sự tương giao của đồ thị hàm số y = f ( x) với trục hoành.
Giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x) với trục hoành ( y = 0 ) là nghiệm
của phương trình hoành độ giao điểm f ( x) = 0 .
Ví dụ minh họa: Hàm số y = f ( x) có đồ thị hình bên.
Suy ra phương trình f ( x) = 0 có bốn nghiệm (Có tập
nghiệm S = { −1;1;2; 4} )

2.1.2 .Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số.

Bảng 1
x

x0 − h

f '( x)

−

x0
0

+

x0 + h

+

x0
0
f CD

−

x0 + h

f ( x)
f CT

Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0

Bảng 2
f '( x)

x0 − h

f '( x)

f ( x)

x

x

x0 − h

−

x0
||

f ( x)

+

Hàm số đạt cực đại tại x = x0
x0 + h

x
f '( x)

x0 − h

+

x0
||
f CD

−

x0 + h

f ( x)
f CT

Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0
Hàm số đạt cực đại tại x = x0
2.1.3. Một số phép biến đổi đồ thị.
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị (C ) và số thực dương a . Khi đó :
+ Đồ thị hàm số y = f ( x) + a là tịnh tiến của đồ thị (C ) theo trục Oy lên trên a
đơn vị.
+ Đồ thị hàm số y = f ( x) − a là tịnh tiến của đồ thị (C ) theo trục Oy xuống dưới
a đơn vị.
+ Đồ thị hàm số y = f ( x − a ) là tịnh tiến của đồ thị (C ) theo trục Ox sang phải
a đơn vị.
+ Đồ thị hàm số y = f ( x + a) là tịnh tiến của đồ thị (C ) theo trục Ox sang trái a
đơn vị.
+ Đồ thị hàm số y = f ( x) gồm hai phần:
- Phần 1: Phần không nằm bên dưới trục Ox của (C ) .
- Phần 2: Phần đối xứng với phần bên dưới trục Ox của (C ) qua Ox .

+ Đồ thị hàm số y = f ( x ) gồm hai phần:
- Phần 1: Phần không nằm bên trái trục Oy của (C )
- Phần 2: Phần đối xứng của phần 1 qua trục Oy .
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

2


Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm
Môn toán là một bộ môn chính trong nhà trường phổ thông, có ý nghĩa rất
quan trọng, bởi lẽ học sinh không chỉ được trang bị vốn kiến thức về toán học
mà qua đó còn góp phần rèn luyện sự cẩn thận, chính xác. Việc dạy toán trong
nhà trường phổ thông đang đặt ra một thách thức lớn với giáo viên hiện nay. Bởi
có một thực tế đáng báo động là tình trạng học sinh ngại học toán, thờ ơ với với
việc giải quyết các bài toán trắc nghiệm có hình thức giải quyết mới. Và cũng
không thể phủ nhận một nguyên nhân nữa là một số giáo viên chưa thực sự tạo
ra những đột phá trong việc đổi mới phương pháp dạy học nên hiệu quả thực sự
chưa cao. Vậy dạy thế nào cho hay, đạt hiệu quả cao, tạo hứng thú say mê cho
học sinh quả thực là một vấn đề cần phải giải quyết.
Trước yêu cầu đó, đòi hỏi người giáo viên dạy toán vừa phải nỗ lực để
nâng cao trình độ chuyên môn vừa phải nỗ lực trau dồi, củng cố thường xuyên
về kiến thức khoa học khác cũng như các phương pháp, hình thức dạy học hiện
đại vào quá trình dạy học. Để từ đó biết cách khơi gợi, lôi cuốn học sinh hăng
say học tập, thích phát biểu ý kiến xây dựng bài...
Qua thực tế giảng dạy của bản thân tôi tại các lớp: 12A3 và 12A4 là
những lớp cơ bản năng lực tư duy toán của các em còn rất nhiều hạn chế dẫn
đến việc các em khó khăn trong việc giải quyết các bài toán có tính mới lạ, đặc
biệt giải các bài toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm. Kết quả khảo sát cụ thể
như sau:

Khi chưa hướng dẫn cách giải quyết bài toán liên quan tới
hàm đạo hàm
Lớp
Số HS biết cách làm
Số HS không biết cách làm
SL
%
SL
%
12A3 (41 HS)
05
12.2
36
87.8
12A4 (44 HS)
05
11.4
39
88.6
Từ kết quả trên ta thấy, tình trạng học sinh không tự giải quyết được vấn
đề chiếm tỷ lệ rất cao. Nguyên nhân của thực trạng trên là:
Về phía học sinh: Do tâm lí của đa số các em là ngại học toán, năng lực
tính toán còn nhiều hạn chế, thậm chí nhiều em đã mất gốc kiến thức cơ bản ở
một số mảng. Một phần là do việc giải quyết các bài toán liên quan tới hàm đạo
hàm là khó và có rất ít tài liệu viết về vấn đề này một cách chi tiết.
Về phía nguyên nhân khách quan: do cơ sở vật chất, tài liệu minh họa, đồ
dùng dạy học để phục vụ cho môn học chưa thực sự phong phú, đa dạng, sinh
động. Mặt khác, do kiến thức trong một số tiêt học quá nhiều dẫn đến các em
mệt mỏi, giảm hứng thú.
Về phía giáo viên: bản thân nhận thấy việc đầu tư và thay đổi, vận dụng

linh hoạt các phương pháp dạy học mới không phải giờ nào cũng áp dụng được
một cách thường xuyên, liên tục.
Xuất phát từ thực trạng trên, tôi lựa chọn đề tài này vừa giúp các em
không chỉ nắm vững được nội dung kiến thúc của bài học mà còn có kĩ năng giải
quyết bài toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm. Đồng thời hướng tới hiệu quả
làm bài cao hơn trong kì thi THPT QG sắp tới.
2.3. Giải pháp và cách thức thực hiện.
Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

3


Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm
2.3.1.Dạng 1 : Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x ) xác định trên ¡ và có đồ
thị hàm số f ' ( x ) là đường cong trong hình bên. Mệnh
đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .
B. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 1; 2 ) .
C. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −2;1) .
D. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .
Cách thực hiện :
• Chỉ ra các khoảng mà hàm sô y = f '( x) nhận giá trị dương (âm) ?
• Thiết lập mối liên hệ giữa đồ thi hàm số y = f '( x) và yêu cầu của bài
toán đề ra ?
• Hướng dẫn giải:
Chọn D
Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên. Từ đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) ta có bảng biến
thiên như sau:

Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số y = f ' ( x )
- Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm trên trục hoành (có thể tiếp
xúc) thì f ( x ) đồng biến trên K .
- Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm dưới trục hoành (có thể tiếp xúc)
thì f ( x ) nghịch biến trên K
- Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f ' ( x ) vừa có phần nằm dưới trục
hoành vừa có phần nằm trên trục hoành thì loại phương án đó.
Trên khoảng ( 0; 2 ) ta thấy đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm bên dưới trục hoành.
Ví vụ 2: Cho hàm số y = f ( x) . Hàm số y = f '( x) có
đồ thị như hình bên. Hàm số y = f (2 − x ) đồng biến
trên khoảng
A. ( 1;3)
B. ( 2; +∞ )
C. ( −2;1)
D. ( −∞; −2 )
Cách thực hiện :
• Chỉ ra các khoảng mà hàm sô y = f '( x) nhận giá trị dương (âm) ?
• Thiết lập mối liên hệ giữa đồ thi hàm số y = f '( x) và yêu cầu của bài
toán đề ra ?
• Hướng dẫn giải:
Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

4


Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm
Chọn C
Cách 1:
Tính chất: f ( x) và f (− x) có đồ thị đối xứng với nhau qua Oy nên f ( x)
nghịch biến trên (a; b) thì f (− x) sẽ đồng biến trên (−b; − a) .

1 < x < 4

Ta thấy f '( x) < 0 với 
 x < −1

nên f ( x) nghịch biến trên ( 1;4 ) và

( −∞; −1) . Suy ra

g ( x) = f (− x) đồng biến trên ( −4; −1) và ( 1; +∞ ) .
Khi đó f (2 − x) đồng biến biến trên khoảng (−2;1) và ( 3;+∞ )

Cách 2:
 x < −1
.
1 < x < 4

Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) ta có f ′ ( x ) < 0 ⇔ 
Ta có ( f ( 2 − x ) ) ′ = ( 2 − x ) ′ . f ′ ( 2 − x ) = − f ′ ( 2 − x ) .
Hàm số y = f ( 2 − x ) đồng biến thì

 2 − x < −1

x > 3

( f ( 2 − x ) ) ′ > 0 ⇔ f ′ ( 2 − x ) < 0 ⇔ 1 < 2 − x < 4 ⇔  −2 < x < 1 .
Ví vụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có

y

2
đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = f ( x ) đồng biến
trong khoảng

 −1 1 

 −1

y = f '(x)
O
-1

1

4 x



A.  ; ÷.
B. ( 0;2 ) .
C.  ;0 ÷.
D. ( −2; − 1) .
 2 2
 2 
Cách thực hiện :
• Chỉ ra các khoảng mà hàm sô y = f '( x) nhận giá trị dương (âm) ?
• Thiết lập mối liên hệ giữa đồ thi hàm số y = f '( x) và yêu cầu của bài
toán đề ra ?
• Hướng dẫn giải:
Chọn C

2
Đặt g ( x ) = f ( u ) , u = x ≥ 0 thì g ′ ( x ) = 2 x. f ′ ( u ) nên
x = 0
x = 0
g′( x ) = 0 ⇔ 
⇔
 x = ±1; x = ±2
 f ′ ( u ) = 0 ⇔ u = ±1; u = 4
Lập bảng xét dấu của hàm số g ′ ( x )

Lưu ý: Cách xét dấu g ′ ( x )

Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

5


Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm
1 < x 2 < 4
1 < u < 4
⇔ 2
⇔ 1< x < 2
B1: Xét dấu f ′ ( u ) : ta có f ′ ( u ) > 0 ⇔ 
u < −1
 x < −1 ( loai )
 x < 2
−2 < x < 2
⇔
⇔
⇔ x ∈ ( −2; −1) ∪ ( 1;2 ) và ngược lại tức là những

 x < −1 ∪ x > 1
 x > 1
khoảng còn lại f ′ ( u ) < 0 .
B2 : xét dấu x (trong trái ngoài cùng).
B3 : lập bảng xét dấu rồi nhân dấu của f ′ ( u ) và x ta được như bảng trên

Ví vụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục
trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên dưới.
2
Hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) − x đồng biến trên khoảng
nào trong các khoảng sau đây ?
A. ( −∞; −2 ) .
B. ( −2;2 ) .
C. ( 2;4 ) .
D. ( 2; +∞ ) .
Cách thực hiện :
• Chỉ ra các khoảng mà hàm sô y = f '( x) nhận giá trị dương (âm) ?
• Thiết lập mối liên hệ giữa đồ thi hàm số y = f '( x) và yêu cầu của bài
toán đề ra ?
• Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) − 2 x ⇒ g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x.
Số nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0 chính là số giao điểm
của đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) và đường thẳng d : y = x (như
hình vẽ bên).
 x = −2

Dựa vào đồ thị, suy ra g ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 2 .
 x = 4

Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với x ∈ ( −2;2 ) thì đồ thị hàm số f ′ ( x )
nằm phía trên đường thẳng y = x nên g ′ ( x ) > 0 ) ⇒ hàm số g ( x ) đồng biến trên

( −2;2 ) .

2.3.2. Dạng 2 : Tìm cực trị của hàm số
Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ¡ và
có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) là đường cong trong
hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x = 2 .
B. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại x = 0 .
C. Hàm số y = f ( x ) có 3 cực trị.
Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

6


Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm
D. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x = 2 .
Cách thực hiện :
• Chỉ ra các điểm x0 mà hàm số y = f '( x) đổi dấu khi x đi qua x0 .
• Thiết lập mối liên hệ giữa đồ thi hàm số y = f '( x) và yêu cầu của bài
toán đề ra ?
• Hướng dẫn giải:
Chọn A
Giá trị của hàm số y = f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = 2 .
Ví dụ 6: Cho hàm số y = f ( x ) . Biết f ( x ) có đạo
hàm f ' ( x ) và hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình
vẽ. Hàm số g ( x ) = f ( x − 1) đạt cực đại tại điểm
nào dưới đây ?

A. x = 2.
B. x = 4.
C. x = 3.
D. x = 1.
Cách thực hiện :
• Chỉ ra các điểm x0 mà hàm số y = f '( x) đổi dấu khi x đi qua x0 .
• Thiết lập mối liên hệ giữa đồ thi hàm số y = f '( x) và yêu cầu của bài
toán đề ra ?
• Hướng dẫn giải:
Chọn B
x −1 = 1
x = 2


Cách 1 : g ' ( x ) = f ' ( x − 1) = 0 ⇔  x − 1 = 3 ⇔  x = 4 ;
 x − 1 = 5
 x = 6
1 < x − 1 < 3
2 < x < 4
g ' ( x ) = f ' ( x − 1) > 0 ⇔ 
⇔
x −1 > 5
x > 6

Cách 2 :
Đồ thị hàm số g ' ( x ) = f ' ( x − 1) là phép tịnh tiến
đồ thị hàm số y = f ' ( x ) theo phương trục hoành sang
phải 1 đơn vị.
Đồ thị hàm số g ' ( x ) = f ' ( x − 1) cắt trục hoành
tại các điểm có hoành độ x = 2; x = 4; x = 6 và giá trị hàm số g ' ( x ) đổi dấu từ

dương sang âm khi qua điểm x = 4 .

Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

7


Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm
Ví dụ 7: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ¡ .
Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên dưới.
2
Hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) + x đạt cực tiểu tại điểm
A. x = −1.
B. x = 0.
C. x = 1.
D. x = 2.
Cách thực hiện :
• Chỉ ra các điểm x0 mà hàm số y = f '( x) đổi dấu khi x đi qua x0 .
• Thiết lập mối liên hệ giữa đồ thi hàm số y = f '( x) và yêu cầu của bài
toán đề ra ?
• Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) + 2 x; g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = − x.
Suy ra số nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0 chính là số giao điểm giữa
đồ thị của hàm số f ′ ( x ) và đường thẳng y = − x.

 x = −1
x = 0
. Bảng biến thiên:
Dựa vào đồ thị ta suy ra g ′ ( x ) = 0 ⇔ 

x = 1

x = 2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g ( x ) đạt cực tiểu tại x = 0.
Chú ý: Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ( −∞; −1) ta
thấy đồ thị hàm f ′ ( x ) nằm phía trên đường y = − x nên g ′ ( x ) mang dấu +.
Ví dụ 8: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '( x )
trên ¡ và đồ thị của hàm số f '( x) như hình vẽ. Xét
2
hàm số g ( x ) = f ( x − 2 x − 1) . Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A. Hàm số có sáu cực trị.
B. Hàm số có năm cực trị.
C. Hàm số có bốn cực trị.
Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

8


Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm
D. Hàm số có ba cực trị.
Cách thực hiện :
• Chỉ ra các điểm x0 mà hàm số y = f '( x) đổi dấu khi x đi qua x0 .
• Thiết lập mối liên hệ giữa đồ thi hàm số y = f '( x) và yêu cầu của bài
toán đề ra ?
• Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có: g ' ( x ) = (2 x − 2) f '( x 2 − 2 x − 1) .
x = 1

x = 0
 2

Nhận xét: g ' ( x ) = 0 ⇔  x − 2 x − 1 = −1 ⇔  x = ±1
 x2 − 2x − 1 = 2
 x = 2; x = 3


Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có đúng ba cực trị.
Ví dụ 9: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục
trên ¡ và f ( 0 ) < 0, đồng thời đồ thị hàm số
y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên dưới
2
Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x ) là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Cách thực hiện :
• Chỉ ra các điểm x0 mà hàm số y = f '( x) đổi dấu khi x đi qua x0 .
• Thiết lập mối liên hệ giữa đồ thi hàm số y = f '( x) và yêu cầu của bài
toán đề ra ?
• Hướng dẫn giải:
Chọn C
 x = −2

Dựa vào đồ thị, ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔ 

x = 1

Bảng biến thiên của hàm số y = f ( x )

( nghiem kep )

.

Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

9


Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm
Xét g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) f ( x )
 x = −2

 f ′ ( x ) = 0 theo BBT f ( x )  x = 1 ( nghiem kep )
g′( x ) = 0 ⇔ 
¬ 
→
.
x = a ( a < −2 )
 f ( x ) = 0

 x = b ( b > 0 )
Bảng biến thiên của hàm số g ( x )

Vậy hàm số g ( x ) có 3 điểm cực trị.
Chú ý: Dấu của g ′ ( x ) được xác định như sau: Ví dụ chọn x = 0 ∈ ( −1; b )

theo do thi f '( x )
 x = 0 
→ f ′ ( 0 ) > 0. ( 1)

 Theo giả thiết f ( 0 ) < 0. ( 2 )
Từ ( 1) và ( 2 ) , suy ra g ′ ( 0 ) < 0 trên khoảng ( −1; b ) .
Nhận thấy x = −2; x = a; x = b là các nghiệm đơn nên g ′ ( x ) đổi dấu khi qua các
nghiệm này. Nghiệm x = 1 là nghiệm kép nên g ′ ( x ) không đổi dấu khi qua
nghiệm này, trong bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm x = 1 vẫn không ảnh hưởng
đến quá trình xét dấu của g ′ ( x ) .
2.3.3. Luyện tập
Bài 1: Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số
y = f ′ ( x ) như hình bên. Hàm số g ( x ) = f ( 3 − 2 x )
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. ( 0;2 ) .
B. ( 1;3) .
C. ( −∞; −1) .
D. ( −1; +∞ ) .
Lời giải
Chọn C
 −2 < x < 2
.
x > 5

Cách 1. Dựa vào đồ thị, suy ra f ′ ( x ) > 0 ⇔ 
Ta có g ′ ( x ) = −2 f ′ ( 3 − 2 x ) .

5
1

 −2 < 3 − 2 x < 2

⇔ 2
2.
Xét g ′ ( x ) < 0 ⇔ f ′ ( 3 − 2 x ) > 0 ⇔ 

3 − 2 x > 5
 x < −1
1 5
Vậy g ( x ) nghịch biến trên các khoảng  ; ÷ và ( −∞; −1) .
2 2
Cách 2. Ta có g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( 3 − 2 x ) = 0 .
Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

10


Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm
5

x = 2
3 − 2 x = −2

1

Theo đồ thị y = f ′ ( x ) ta có: 3 − 2 x = 2 ⇔  x = .
2
3 − 2 x = 5
 x = −1




Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C
1

Chú ý: Dấu của g ′ ( x ) được xác định như sau: Ví dụ ta chọn x = 0 ∈  −1; ÷, suy
theo do thi f '( x )
→ f ′ ( 3 − 2 x ) = f ′ ( 3) < 0.
ra 3 − 2 x = 3 



2

Khi đó g ′ ( 0 ) = − f ′ ( 3) > 0.
Nhận thấy các nghiệm của g ′ ( x ) là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
Bài 2: Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có

đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu
khoảng nghịch biến.
A. 5 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 2 .
2

Lời giải
Chọn B

Cách 1. Ta có y′ =  f ( x 2 ) ′ = 2 x. f ( x 2 )


  x > 0
 x > 0

2
 2
2
  f ′ ( x ) < 0
 x < −1 ∨ 1 < x < 4

theo dt f '( x )
¬ 
→
Hàm số nghịch biến ⇔ y′ < 0 ⇔ 
x
<
0
x<0


 
 ′ 2
 −1 < x 2 < 1 ∨ x 2 > 4
  f ( x ) > 0
1 < x < 2
⇔
 x < −2 ∨ −1 < x < 0
2

Vậy hàm số y = f ( x ) có 3 khoảng nghịch biến.

x = 0
x = 0
 2
x = 0
x = −1 
theo do thi f '( x )

¬ → 2
⇔  x = ±1.
Cách 2. Ta có g ′ ( x ) = 0 ⇔ 
2
x = 1
 f ′ ( x ) = 0
 x = ±2

2
 x = 4
Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

11


Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B
Chú ý: Dấu của g ′ ( x ) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng ( 2; +∞ )
( 1)

 x ∈ ( 2; +∞ ) → x > 0.
theo do thi f '( x )
→ f ′ ( x 2 ) > 0.
 x ∈ ( 2; +∞ ) → x 2 > 4 . Với x 2 > 4 

( 2)

Từ ( 1) và ( 2 ) , suy ra g ′ ( x ) = 2 xf ( x ) > 0 trên khoảng ( 2; +∞ ) nên g ′ ( x ) mang
dấu + .
Nhận thấy các nghiệm của g ′ ( x ) là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
2

Bài 3: Cho hàm số y = f ( x). Hàm số y = f '( x) có đồ
thị như hình bên. Hàm số y = f ( x − x 2 ) nghịch biến
trên khoảng nào ?

 1
 2




A.  − ; +∞ ÷.

 3
 2




B.  − ; +∞ ÷.




3

C.  −∞; ÷.
2


1



D.  ; +∞ ÷.
2


Lời giải
2
Chọn D Ta có g ' ( x ) = ( 1 − 2 x ) f ′ ( x − x ) . ;
 1 − 2 x < 0

2
  f ′ ( x − x ) > 0
.
Hàm số g ( x ) nghịch biến ⇔ g ′ ( x ) < 0 ⇔ 
1
−

2
x
>
0


 ′
f x − x2 ) < 0
  (
1

1 − 2 x < 0
1
x >
⇔
⇔x> .
2
 Trường hợp 1: 
2
2
 f ′ ( x − x ) > 0
 x − x2 < 1 ∨ x − x2 > 2

1

1 − 2 x > 0
x <
⇔
.
2

 Trường hợp 2: 
2
2
 f ′ ( x − x ) < 0
1 < x − x < 2 : vo nghiem

1
Kết hợp hai trường hợp ta được x > . Chọn D
2

Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

12


Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm
Cách 2. Ta có
1

x = 2
1 − 2 x = 0

1
theo do thi f '( x )
g′( x ) = 0 ⇔ 
¬ →
⇔  x − x 2 = 1: vo nghiem ⇔ x = . Bảng
2
′
2


2
 f ( x − x ) = 0
x
−
x
=
2
:
vo
nghiem



biến thiên

2

1  1 1 theo do thi f '( x )

→ f ′ ( x − x 2 ) > 0.
Cách 3. Vì x − x = −  x − ÷ + ≤ 
2 4 4

Suy ra dấu của g ' ( x ) phụ thuộc vào dấu của 1 − 2 x. Yêu cầu bài toán cần
1
g ' ( x ) < 0 
→1 − 2 x < 0 ⇔ x > .
2
2

Bài 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục
trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên dưới
Đặt g ( x ) = f ( x ) − x, khẳng định nào sau đây là
đúng ?
A. g ( 2 ) < g ( −1) < g ( 1) . B. g ( −1) < g ( 1) < g ( 2 ) .
C. g ( −1) > g ( 1) > g ( 2 ) . D. g ( 1) < g ( −1) < g ( 2 ) .
Lời giải

→ g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = 1.
Chọn C Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − 1 
Số nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = f ′ ( x ) và đường thẳng d : y = 1 (như hình vẽ bên dưới).

 x = −1

Dựa vào đồ thị, suy ra g ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1 . Bảng biến thiên
 x = 2

Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

13


Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm
→ g ( 2 ) < g ( −1) < g ( 1) . Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên 
Chú ý: Dấu của g ′ ( x ) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng ( 2; +∞ ) , ta
thấy đồ thị hàm số nằm phía trên đường thẳng y = 1 nên g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − 1 mang
dấu +.

Bài 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục
trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên. Hỏi

hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) + ( x + 1) đồng biến trên
khoảng nào trong các khoảng sau?
A. ( −3;1) .
B. ( 1;3) .
C. ( −∞;3) .
D. ( 3; +∞ ) .
2

Lời giải
Chọn B
Ta có

g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) + 2 ( x + 1) 
→ g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = − x − 1. Số
nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0 chính là số giao điểm

của đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) và đường thẳng d : y = − x − 1
(như hình vẽ bên ).

 x = −3

Dựa vào đồ thị, suy ra g ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1 .
 x = 3
 x < −3
Yêu cầu bài toán ⇔ g ′ ( x ) > 0 ⇔ 
(vì phần đồ thị của f ' ( x ) nằm phía
1

<
x
<
3

y
=
−
x
−
1
trên đường thẳng
). Đối chiếu các đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn.

Bài 6: Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) . Hai
hàm số y = f ′ ( x ) và y = g ′ ( x ) có đồ thị như
hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn
là đồ thị của hàm số y = g ′ ( x ) .



3

Hàm số h ( x ) = f ( x + 4 ) − g  2 x − ÷ đồng biến
2


trên khoảng nào dưới đây?
 31 
÷

 5

A.  5;

9



 31



C.  ; +∞ ÷
 5


B.  ;3 ÷
4 




D.  6;

25 
÷
4 

Lời giải
Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

14


Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm
Chọn B
3
2

Cách 1: Đặt X = x + 4 , Y = 2 x − . Ta có h′ ( x ) = f ′ ( X ) − 2 g ′ ( Y ) .
3

Để hàm số h ( x ) = f ( x + 4 ) − g  2 x − ÷ đồng biến thì h′ ( x ) ≥ 0
2



3 ≤ x + 4 ≤ 8

⇒ f ′ ( X ) ≥ 2 g ′ ( Y ) với X , Y ∈ [ 3;8] ⇒ 
.
3
3 ≤ 2 x − 2 ≤ 8

−1 ≤ x ≤ 4
−1 ≤ x ≤ 4
9
19



⇔ 9
19 ⇔  9
19 ⇔ ≤ x ≤ .Vì
4
4
 2 ≤ 2 x ≤ 2
 4 ≤ x ≤ 4
Cách 2: Kẻ đường thẳng y = 10 cắt đồ thị
a ∈ ( 8;10 ) .

 9   9 19  nên chọn B
 ; 3÷⊂  ; ÷
4  4 4 

hàm số y = f ′ ( x ) tại A ( a;10 ) ,

 f ( x + 4 ) > 10, khi3 < x + 4 < a
 f ( x + 4 ) > 10, khi − 1 < x < 4


⇒ 
Khi đó ta có  
3
3
3
3
25 .
 g  2 x − 2 ÷ ≤ 5, khi 0 ≤ 2 x − 2 < 11  g  2 x − 2 ÷ ≤ 5, khi 4 ≤ x ≤ 4



 
 
3
3

Do đó h′ ( x ) = f ′ ( x + 4 ) − 2 g ′  2 x − ÷ > 0 khi ≤ x < 4 .
2
4

3

Cách 3: Kiểu đánh giá khác: Ta có h′ ( x ) = f ′ ( x + 4 ) − 2 g ′  2 x − ÷.
2

25
9 
< x + 4 < 7 , f ( x + 4 ) > f ( 3) = 10 ;
Dựa vào đồ thị, ∀x ∈  ;3 ÷, ta có
4
4 
3
3 9

3 < 2 x − < , do đó g  2 x − ÷ < f ( 8 ) = 5 .
2
2 2

3

9 

Suy ra h′ ( x ) = f ′ ( x + 4 ) − 2 g ′  2 x − ÷ > 0, ∀x ∈  ;3 ÷.
2

4 
9 
Do đó hàm số đồng biến trên  ;3 ÷.
4 

Bài 7: Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị
hàm số y = f ′ ( x ) . Số điểm cực trị của hàm số
y = f ( x ) là
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Lời giải
Chọn A
Ta thấy đồ thị hàm số f ′ ( x ) có 4 điểm chung với trục hoành x1 ; 0; x2 ; x3
nhưng chỉ cắt thực sự tại hai điểm là 0 và x3 . . Bảng biến thiên

Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

15


Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm

Vậy hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực trị. Chọn A
Cách trắc nghiệm. Ta thấy đồ thị của f ' ( x ) có 4 điểm chung với trục hoành
nhưng cắt và băng qua luôn trục hoành chỉ có 2 điểm nên có hai cực trị.

 Cắt và băng qua trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại.
 Cắt và băng qua trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu.
Bài 8: Cho hàm số f ( x ) xác định trên ¡ và có đồ
thị của hàm số f ′ ( x ) như hình vẽ. Hàm số
y = g ( x ) = f ( x ) + 4 x có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Chọn A
Cách 1: y ' = g ' ( x ) = f ' ( x ) + 4 có đồ thị là phép tịnh tiến đồ
thị hàm số f ' ( x ) theo phương Oy lên trên 4 đơn vị.
Khi đó đồ thị hàm số g ' ( x ) cắt trục hoành tại 1 điểm, ta
chọn đáp án A
Cách 2: Số cực trị của hàm g ( x ) bằng số nghiệm bội lẻ
của phương trình g ' ( x ) = f ' ( x ) + 4 = 0 ⇔ f ' ( x ) = −4
Dựa vào đồ thị của hàm f ' ( x ) ta thấy phương trình trên có một nghiệm đơn.
Bài 9: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) như
hình vẽ. Số điểm cực tiểu của hàm số
1
g ( x ) = f ( x ) − x 3 là :
9
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .

D. 4 .
Lời giải

Chọn B
1
1
3
3
1
Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 trên mặt phẳng toạ độ đã có đồ thị f ′ ( x ) .
3
1
Dựa vào hình vẽ trên ta thấy phương trình f ′ ( x ) = x 2 có ba nghiệm đơn
3
x1 < x2 < x3

Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − x 2 . Khi đó g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x 2 .

Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

16


Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm

Ta lập được bảng xét dấu của g ' như sau
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy dấu của g ′ thay đổi từ ( − ) sang ( + ) hai lần.
Vậy có hai điểm cực tiểu.
Bài 10: Cho hàm số y = f ( x ) và đồ thị hình bên là
đồ thị của đạo hàm f ' ( x ) . Tìm số điểm cực trị của
2
hàm số g ( x ) = f ( x − 3) .
A. 2.

B. 3.
C. 4.

D. 5.
Lời giải

Chọn B
2
Ta có g ′ ( x ) = 2 xf ′ ( x − 3) ;
x = 0
g′( x ) = 0 ⇔ 
2
 f ′ ( x − 3) = 0
x = 0
x = 0
 2

theo do thi f '( x )
¬ →  x − 3 = −2
⇔  x = ±1
.
 x 2 − 3 = 1 ( nghiem kep )
 x = ±2 ( nghiem kep )



Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B
Chú ý: Dấu của g ′ ( x ) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng ( 2; +∞ )

( 1)
 x ∈ ( 2; +∞ ) → x > 0.
theo do thi f '( x )
→ x 2 − 3 > 1 
→ f ′ ( x 2 − 3) > 0.
 x ∈ ( 2; +∞ ) → x 2 > 4 

( 2)

Từ ( 1) và ( 2 ) , suy ra g ′ ( x ) = 2 xf ′ ( x − 3) > 0 trên khoảng ( 2; +∞ ) nên g ′ ( x )
mang dấu + .
Nhận thấy các nghiệm x = ±1 và x = 0 là các nghiệm bội lẻ nên g ′ ( x ) qua
nghiệm đổi dấu; các nghiệm x = ±2 là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta
2

Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

17


Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm
thấy f ′ ( x ) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 ) nên qua
nghiệm không đổi dấu.
2.4. Hiệu quả thực nghiệm.
* Đối với học sinh: Đa số học sinh nắm được kĩ năng giải bài toán liên quan đến
đồ thị hàm đạo hàm, không còn lúng túng khi xử lí dạng bài toán này.
* Đối với hoạt động dạy và học:
- Việc củng cố kiến thức của bài học có hiệu quả cao hơn, khắc sâu được kiến
thức và kĩ năng giải quyết bài toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm cho học
sinh.

- Học sinh chủ động tham gia xây dựng bài.
*Đối với bản thân giáo viên : có thêm kinh nghiệm giảng dạy, tăng thêm động
lực để tạo hứng thú học tập cho học sinh.
Kết qủa cụ thể qua các lớp tôi trực tiếp giảng dạy như sau:
Khi chưa áp dụng
Sau khi áp dụng
Số HS còn
Số HS biết
Số HS không
Số HS biết
Lớp
lúng túng
cách làm
biết cách làm
cách làm
khi làm bài
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A3
05
12.2
36
87.8
25

61
16
39
(41 HS)
12A4
05
11.4
39
88.6
23
52,3
21 47.7
(44 HS)
PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Việc đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn toán nhằm phát huy tính
tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh là một yêu cầu cần thiết và có vai trò
quan trọng trong quá trình giảng dạy của mỗi giáo viên. Đối với dạng bài toán
liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm thì việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học
sinh là một trong những mảng kiến thức quan trọng cần được các giáo viên dạy
chú ý để định hướng cho các em ôn tập đạt hiệu quả cao. Với những kinh
nghiệm và giải pháp của bản thân khi giảng dạy dạng bài toán này, tôi hi vọng
nó sẽ là một nguồn tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp để từ đó góp phần
nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn toán.
3.2. Kiến nghị.
Nhìn chung, việc thực hiện đổi mới phương pháp giáo dục không phải là
một việc làm của riêng ai. Bản thân mỗi giáo viên đứng lớp phải luôn trăn trở,
lựa chọn phương pháp dạy học sao cho phù hợp nhất để có thể truyền đạt được
kiến thức một cách hiệu quả và gây gứng thú học tập cho học sinh...Để làm được
điều đó, theo tôi bản thân giáo viên cần phải thường xuyên học hỏi, trau dồi

chuyên môn nghiệp vụ.
Đối với tổ chuyên môn, cần tổ chức các buổi thảo luận chuyên đề về
những vấn đề mới và khó xuất hiện trong đề thi trắc nghiệm. Đối với nhà trường
cần trang bị thêm cơ sở vật chất: Máy chiếu, phần mềm vẽ hình, trọn đề ... Tất
Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

18


Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm
cả những điều kiện trên sẽ là một nguồn động viên, kích thích sự say mê, sáng
tạo trong hoạt động dạy và học nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy của mỗi
giáo viên.
XÁC NHẬN CỦA
Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2019
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tôi xin cam kết : Đây là SKKN
của bản thân tôi, không copy.
(Tác giả ký và ghi rõ họ tên)

Hoàng Minh Thành

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục (2008)
2. Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục (2000)
3. Trần Thành Minh, Giải toán khảo sát hàm số 12, NXB Giáo dục (2003)
4. Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp, NXB Đại học Quốc
gia Hà Nội (2003)
5. Các bài viết trên các trang mạng Internet như: Toanmath.com, mathvn.com,
diendantoanhoc.net, toanhocbactrungnam.vn

DANH MỤC

Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

19


Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Hoàng Minh Thành
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên - Trường THPT Cẩm Thủy 1
Kết quả
đánh
giá xếp
loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh;
(A, B,
Tỉnh...)
hoặc C)
Cấp đánh giá
xếp loại

TT

Tên đề tài SKKN

Năm học
đánh giá
xếp loại

1.

Rèn luyện kỹ năng giải toán
trên tập hợp số phức cho học
sinh

Ngành GD tỉnh
Thanh Hóa

C

2010-2011

2.

Rèn luyện kĩ năng giải hệ
phương trình bằng phương
pháp hàm số

Ngành GD tỉnh
Thanh Hóa

C

2015-2016

Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

20


Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm
MỤC LỤC
Cấu trúc

Trang

1. MỞ ĐẦU

1

1.1. Lí do chọn đề tài

1

1.2. Mục đích nghiên cứu

1

1.3. Đối tượng nghiên cứu

1

1.4. Phương pháp nghiên cứu

1

2. NỘI DUNG

2

2.1. Cơ sở lí luận

2

2.2. Thực trạng vấn đề

3

2.3. Giải pháp và cách thức thực hiện

4

2.3.1. Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

4

2.3.2. Dạng 2: Tìm cực trị của hàm số

6

2.3.3. Luyện tập

10

2.4. Hiệu quả thực nghiệm

18

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

18

3.1. Kết luận

18

3.2. Kiến nghị

18

Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1

21