Các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số f(x)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (706.28 KB, 27 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 5
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ
CỦA HÀM SỐ
f '( x)
Người thực hiện: Lê Ngọc Hùng
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
Đơn vị công tác: Trường THPT Thọ Xuân 5
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học
1 NĂM 2018
THANH HÓA
MỤC LỤC
1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.5. Những điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3.Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
3. Kết luận, kiến nghị
1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài.
2
Trang 1
Trang 1
Trang 1
Trang 1
Trang 1
Trang 1
Trang 1
Trang 2
Trang 2
Trang 2
Trang 17
Trang 18
Trong môn giải tích đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết nhiều bai toán. Giữa
y = f '( x )
f ( x)
hàm số
và đạo hàm của
có nhiều mối liên hệ chặt chẽ. Điển hình là sự
đồng biến nghịch biến, cực trị. Đạo hàm của một hàm số ngoài việc biểu diễn dưới dạng
các công thức thì nó còn được biểu diễn dưới dạng đồ thị. Việc đưa vào đồ thị của
f '( x )
f ( x)
để tìm ra tính chất của hàm số
cho ta những bài toán hay.
Trong các đề thi hiện nay xuất hiện nhiều bài toán có giả thiết là cho đồ thị của hàm số
f '( x )
và yêu cầu chỉ ra các tính chất về sự biến thiên cũng như cực trị và một số tính
chất khác của hàm số
f ( x)
f '( x )
. Chính vì vậy tôi chọn đề tài “Các bài toán liên quan đến
đồ thị của hàm số
”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Giúp học sinh học tốt hơn bài toán liên quan đến đồ thị của đạo hàm.
- Tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 12 và đồng nghiệp.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Học sinh trường THPT Thọ Xuân 5.
- Các dạng bài tập liên quan đến đồ thị của đạo hàm.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Tìm hiểu những khó khăn khi học sinh khi làm các dạng bài tập liên quan đến đồ thị
của đạo hàm.
- Trao đổi với đồng nghiệp.
- Tìm tài liệu, phần mềm để vẽ hình ảnh trực quan.
- Áp dụng giảng dạy các lớp 12A1, 12A4 trường THPT Thọ Xuân 5.
1.5. Những điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm.
- Dùng hình ảnh trực quan được vẽ từ phần mềm [10].
- Áp dụng trong các bài toán trong các đề thi thử THPT QUỐC GIA năm học 2017-2018
[3].
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích cực, sáng tạo
của người học. Nhưng không phải thay đổi ngay lập tức bằng những phương pháp hoàn
toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy học hiện đại trên cơ sở
phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách
thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động.
Đồ thị hàm số là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tích lớp
12. Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ hơn các tính chất hàm số,
trực quan hơn trong các bài toán liên quan đến đồ thị. Để học sinh hiểu về các dạng bài
3
f '( x )
toán đồ thị của
Tôi đã phân dạng và các bài tập minh họa, sau đó là bài toán thực
tế trong các đề thi thử của các trường trong năm học 2017-2018.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Chủ đề đồ thị hàm số là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tích
lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ hơn các tính chất hàm
số, trực quan hơn trong các bài toán liên quan đến đồ thị. Nhìn chung khi học vấn đề
này, đại đa số học sinh(kể cả học sinh khá giỏi)thường gặp những khó khăn, sai lầm
sau:
- Các bài toán đều liên quan đến cho đồ thị cùa hàm số
f '( x )
từ đồ thị học sinh tìm ra
f ( x)
các tính chất của hàm số
hoặc các điểm cực trị, so sánh các giá trị hàm số, hay tìm
số nghiệm phương trình....
- Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ” để giúp
học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng.
- Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác khó hiểu.
- Kiến thức đồ thị như: Các phép tịnh tiến, đối xứng học sinh còn chưa thành thạo.
2.3. Giải pháp để giải quyết vấn đề.
Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu và điểm cực trị của hàm số:
y = f ( x ) ; y = f ( x ± a ) ; y = f ( x ) ± ax.
Bài 1.1: Hàm số
K
y = f ( x)
liên tục trên khoảng
như hình vẽ bên. Tìm số cực trị của hàm số
A.
C.
1.
B.
3.
D.
y = f ( x)
trên
K
y = f '( x )
trên
.
4.
y = f '( x )
Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị
cắt trục
tại mấy điểm mà thôi, không kể các điểm mà đồ thị
y = f '( x )
tiếp xúc với trục
Nhận xét:
a)
, biết đồ thị của hàm số
2.
Giải:
Ox
K
Xét một thực
y = f ( x + a)
a
Ox
. Ta chọn đáp án B.
dương. Ta có thể đổi yêu cầu lại là: Tìm số cực trị của hàm số
hoặc
y = f ( x - a)
trên
K
, thì đáp án vẫn không thay đổi. Chú ý số
4
cực trị của các hàm số
y = f ( x) y = f ( x + a )
,
và
y = f ( x - a)
là bằng nhau nhưng
x0
mỗi hàm số đạt cực trị tại các giá trị
khác nhau!
b) Giả thiết ở thí dụ 1 và các thí dụ sau có thể thay đổi theo hướng như sau:
y = f ( x)
Hàm số
liên tục trên khoảng
một nguyên hàm của hàm số
Bài 1.2: Hàm số
K
y = f ( x)
y = f ( x)
Ta có
g '( x) = f '( x +1)
y = g ( x)
và có đồ thị như hình vẽ. Biết
. Tìm số cực trị của hàm số
liên tục trên khoảng
như hình vẽ. Tìm số cực trị của hàm số
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Giải:
K
K
y = g ( x)
, biết đồ thị của hàm số
g ( x ) = f ( x +1)
trên
K
trên
y = f '( x )
là
K
.
trên
?
D. 3.
có đồ thị là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số
phương trục hoành sang trái 1 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số
hoành tại 1 điểm. Ta chọn đáp án B.
y = f '( x )
g '( x) = f '( x +1)
theo
vẫn cắt trục
y
O
x
Bài 1.3: Cho hàm số
khoảng
trị?
K
như hình vẽ. Khi đó trên
K,
hàm số
A. 1.
C. 3.
f ( x)
y = f ( x − 2018 )
B. 4.
D. 2.
5
có đồ thị
f ′( x)
của nó trên
có bao nhiêu điểm cực
Giải:
Đồ thị hàm số
f '( x - 2018)
hoành nên đồ thị hàm số
Bài 1.4: Cho hàm số
là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số
f '( x - 2018)
f ( x)
f ′( x)
theo phương trục
vẫn cắt trục hoành 1 điểm.Ta chọn đáp án A.
xác định trên
¡
và có đồ thị của hàm
y = g ( x) = f ( x) + 4 x
số
như hình vẽ . Hàm số
nhiêu điểm cực trị?
A. 1.
B.2.
Giải:
Cách 1:
f ′( x)
có bao
C. 3.
D.4.
y ' = g '( x ) = f '( x ) + 4
có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị hàm
f '( x )
Oy
số
theo phương
lên trên 4 đơn vị.
Khi đó đồ thị hàm số
chọn đáp án A.
Cách 2:
g '( x )
Số cực trị của hàm
phương trình
Bài 1.5: Cho hàm số
y = f '( x )
3.
C.
Giải:
bằng số nghiệm bội lẻ của
f '( x )
y = f ( x)
ta thấy phương trình trên có một nghiệm đơn.
liên tục trên
¡
. Hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
y = g ( x) = f ( x ) +
A.
g ( x)
g '( x) = f '( x) + 4 = 0 Û f '( x ) =- 4
Dựa vào đồ thị của hàm
1.
cắt trục hoành tại 1 điểm, ta
2017 - 2018 x
2017
B.
D.
2.
có bao nhiêu cực trị?
4.
6
y ' = g '( x ) = f '( x ) -
Ta có
hàm số
y = f '( x )
1<
vị. Ta có
số
g '( x )
2018
2017
theo phương
2018
<2
2017
. Suy ra đồ thị của hàm số
Oy
xuống dưới
là phép tịnh tiến đồ thị
đơn
y = f '( x )
và dựa vào đồ thị của hàm số
, ta suy ra đồ thị của hàm
cắt trục hoành tại 4 điểm. Ta chọn phương án D.
Bài 1.6: Cho hàm số
thị như hình vẽ. Đặt
A. Hàm số
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số
Giải:
Cách 1:
g ( x)
g ( x)
g ( x)
g ( x)
y = f ( x)
. Biết
g ( x ) = f ( x +1)
f ( x)
có đạo hàm
có hai điểm cực trị.
đồng biến trên khoảng
( 1;3)
và hàm số
nghịch biến trên khoảng
.
( 2;4)
.
có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
éx +1 = 1
ê
g '( x ) = f '( x +1) = 0 Û êx +1 = 3 Û
ê
êx +1 = 5
ë
−∞
f '( x )
. Kết luận nào sau đây đúng?
é
1 < x +1 < 3
g '( x) = f '( x - 1) > 0 Û ê
Û
ê
ëx +1 > 5
x
2018
2017
g '( x )
0
éx = 0
ê
êx = 2
ê
êx = 4
ë
é0 < x < 2
ê
ê
ëx > 4
2
4
7
+∞
y = f '( x )
có đồ
y,
-
0
+
0
-
0
+
y
Ta chọn đáp án C.
g '( x) = f '( x +1)
Cách 2: Đồ thị hàm số
phương trục hoành sang trái 1 đơn vị.
Ta thấy trên khoảng
hàm số
g ( x)
( 2; 4)
nghịch biến trên khoảng
Bài 1.7: Cho hàm số
f '( x )
và hàm số
g ( x ) = f ( x - 1)
x = 2.
A.
Giải:
Cách 1 :
đồ thị hàm số
y = f ( x)
y = f '( x )
. Biết
−∞
g '( x) = f '( x +1)
( 2;4)
f ( x)
, ta chọn đáp án C.
có đạo hàm
đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
x = 4.
x = 3.
x = 1.
B.
C.
D.
éx - 1 = 1
ê
g '( x ) = f '( x - 1) = 0 Û êx - 1 = 3 Û
ê
êx - 1 = 5
ë
2
4
éx = 2
ê
êx = 4
ê
êx = 6
ë
é2 < x < 4
ê
ê
ëx > 6
6
8
+∞
theo
nằm bên dưới trục hoành nên
có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
é1 < x - 1 < 3
g '( x ) = f '( x - 1) > 0 Û ê
Û
ê
x
1
>
5
ë
x
là phép tịnh tiến đồ thị hàm số
y = f '( x )
y,
-
0
+
0
-
0
+
y
Ta chọn đáp án B.
Cách 2 : đồ thị hàm số
tiến đồ thị hàm số
sang phải 1 đơn vị.
Đồ thị hàm số
g '( x) = f '( x - 1)
y = f '( x )
theo phương trục hoành
g '( x) = f '( x - 1)
điểm có hoành độ
là phép tịnh
cắt trục hoành tại các
x = 2; x = 4; x = 6
và giá trị hàm số
g '( x )
x=4
đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm
.
Ta chọn đáp án B.
Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hoặc so
y = f ( x) .
sánh các giá trị của hàm số
Bài 2.1: Cho hàm số
hàm số
y = f ′( x)
f ( x)
M
của
f ( x)
m = f ( 0 ) , M = f ( 5) .
A.
. Tìm giá trị nhỏ nhất
trên đoạn
D.
C.
y,
y
0
f ( 0)
2
-
0
+
và giá trị
m = f ( 2) , M = f ( 0) .
m = f ( 2 ) , M = f ( 5) .
Hướng dẫn:
0
m
[ 0;5] ?
B.
m = f ( 1) , M = f ( 5 ) .
x
. Đồ thị của
được cho như hình vẽ bên. Biết rằng
f ( 0 ) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 5 )
lớn nhất
có đạo hàm là
f ′( x)
3
5
+
f ( 3)
f ( 5)
9
f ( 2)
min f ( x) = f ( 2)
é0;5ù
ê û
ú
ë
và
f( 3) >
( 2) f ( 0 ) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 5) ⇒
f ( 0 ) − f ( 5 ) = f ( 2 ) − f ( 3) < 0 ⇒ f( 0) <
( 5)
Ta chọn đáp án
D.
Bài 2.2: Cho hàm số
y = f ′( x)
hàm số
f ( x)
có đạo hàm là
giá trị lớn nhất
của
f ( x)
m = f ( 4) , M = f ( 2) .
A.
. Tìm giá trị nhỏ nhất
trên đoạn
B.
m = f ( 0) , M = f ( 2) .
D.
C.
Giải
. Đồ thị của
được cho như hình vẽ bên. Biết rằng
f ( 0 ) + f ( 1) − 2 f ( 2 ) = f ( 4 ) − f ( 3)
M
f ′( x)
[ 0; 4] ?
m
và
m = f ( 4 ) , M = f ( 1) .
m = f ( 1) , M = f ( 2 ) .
:
x
y,
0
0
1
+
2
0
3
4
-
f ( 2)
y
f ( 0)
Dựa vào BBT ta có
f ( 4)
M = f ( 2)
, GTNN chỉ có thể là
10
f ( 0)
hoặc
f ( 4)
Ta lại có:
f ( 1) ; f ( 3) < f ( 2) Þ f ( 1) + f ( 3) < 2 f ( 2) Û 2 f ( 2) - f ( 1) - f ( 3) > 0
f ( 0 ) + f ( 1) − 2 f ( 2 ) = f ( 4 ) − f ( 3) ⇔ f ( 0 ) − f ( 4 ) = 2 f ( 2 ) − f ( 3) − f ( 1) > 0 ⇒ f ( 0 ) > f ( 4 ) .
Ta chọn đáp án A.
Bài 2.3: Cho hàm số
Phương trình
A.
C.
2
4
f ( x) = 0
y = f ( x)
y = f ′( x)
có đồ thị hàm số
như hình bên. Biết
f ( a) > 0
có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?
1
nghiệm.
B. nghiệm.
nghiệm.
D.
3
nghiệm.
y
a
Giải:
x
y,
Từ đồ thị của hàm số
a
−∞
-
0
b
y = f '( x )
b
+
c
O
x
ta có bảng biến thiên như sau:
c
+∞
0
-
0
+
f ( b)
y
f ( a)
c
f ( c)
b
c
f ( c) - f ( a) = ò f '( x) dx = ò f '( x) dx + ò f '( x )dx < 0 Þ f ( c ) < f ( a )
a
f ( c) > 0 :
f ( c) = 0 :
f ( c) < 0 :
PT
PT
PT
f ( x) = 0
f ( x) = 0
f ( x) = 0
a
b
. Do
vô nghiệm.
có 1 nghiệm.
có 2 nghiệm.
11
f ( a) > 0
nên
.
y
f ′( x)
a
O
c
b
Bài 2.4: Cho hàm số
f ( a) > 0
bên,
x
f ( x)
Chọn đáp án: A
có đạo hàm trên
y = f ′( x )
y = f ( x)
như trong hình vẽ
?
5
A. .
B. .
C. 2.
D. .
7
Giải:
y = f '( x )
Từ đồ thị của hàm số
a
−∞
y,
, đồ thị hàm số
. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số
3
x
¡
-
0
ta có bảng biến thiên như sau:
c
b
+
0
-
+∞
0 +
f ( b)
y
f ( a)
c
f ( c)
b
c
f ( c ) - f ( a ) = ò f '( x )dx = ò f '( x )dx + ò f '( x )dx > 0 Þ f ( c ) > f ( a ) > 0
a
a
b
f ( x)
Đồ thị
nằm trên trục ox với mọi x
Chọn đáp án: A
Bài 2.5: Cho hàm số
f ′( x)
y = f ( x)
Þ
có đạo hàm
đồ thị
f ′( x)
f ( x)
liên tục trên
như hình vẽ. Số nào lớn nhất trong các số sau
A.
f ( 0) .
B.
f ( 1) .
¡
và đồ thị của hàm số
f ( 0) ; f ( 1) ; f ( 3) ; f ( 4) ?
C.
12
cũng chính là đồ thị
f ( x)
f ( 3) .
D.
f ( 4) .
Giải:
x
y
0
1
,
+
3
0
-
0
4
+
f ( 1)
f ( 4)
y
f ( 0)
4
f ( 3)
3
4
f ( 4) - f ( 1) = ò f '( x )dx = ò f '( x) dx + ò f '( x)dx < 0 Þ f ( 4) < f ( 1) .
1
1
3
Ta chọn đáp án B.
Bài 2.6: Cho hàm số
y = f ( x)
¡
trên
và đồ thị của hàm số
nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
D.
f ( a) > f ( b)
f ( a ) > f ( b)
f ( a ) < f ( b)
f ( a) < f ( b)
có đạo hàm
f ′( x)
f ′( x)
liên tục
như hình vẽ. Khẳng định
f ( c) > f ( a) .
và
f ( c) < f ( a) .
và
f ( c) > f ( a) .
và
f ( c) < f ( a) .
và
a
f ( a ) - f ( b) = ò f '( x )dx > 0 Û f ( a ) > f ( b ) .
b
Giải:
c
f ( c ) - f ( a ) = ò f '( x)dx < 0 Û f ( c ) < f ( a ) .
a
Ta chọn đáp án B.
13
y = f ( x)
Bài 2.7: Cho hàm số
y = f '( x )
, có đồ thị của hàm số
g ( x) = f ( x ) - x
A.
C.
Giải :
Ta có
xác định và liên tục trên
¡
như hình vẽ sau. Đặt
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
g ( - 1) < g ( 1) < g ( 2) .
B.
g ( 2) < g ( - 1) < g ( 1) .
g ' ( x ) = f '( x ) - 1
g ( 2) < g ( 1) < g ( - 1) .
g ( 1) < g ( - 1) < g ( 2) .
D.
. Ta vẽ thêm đường thẳng
1
1
- 1
- 1
y = 1.
ù
g ( 1) - g ( - 1) = ò g '( x )dx = ò é
ëf '( x ) - 1ûdx < 0
Ta có:
Þ g ( 1) < g ( - 1) .
Þ g ( 2) < g ( 1) .
2
2
1
1
ù
g ( 2) - g ( 1) = ò g '( x ) dx = ò é
ëf '( x ) - 1ûdx < 0
Ta chọn đáp án B.
Dạng 3: Tìm khoảng đơn điệu, điểm cực trị, so sánh các giá trị của hàm số
ù
y= f é
ëu ( x ) û y = kf ( x ) ± g ( x )
,
Bài
3.1: (Câu 39 đề minh hoạ 001 năm 2018) Cho hàm số
y = f ( x) .
Hàm số
y = g ( x ) = f (2 − x)
A.
( 1;3)
y = f '( x)
có đồ thị như hình bên. Hàm số
đồng biến trên khoảng
( −2;1)
C.
Giải:
B.
D.
( 2; +∞ )
( −∞; −2 )
é2 - x <- 1
g '( x) =- f '( 2 - x) >Û f '( 2 - x) < 0 Û ê
Û
ê
1
<
2
x
<
4
ë
Ta có
Chọn đáp án C.
14
éx > 3
ê
ê
1 > x >- 2
ë
y = f ( x)
Bài 3.2: Cho hàm số
¡
có đạo hàm trên
y = f '( x )
hàm số
có dạng như hình bên. Hàm số
nào trong các khoảng sau ?
A.
Giải:
æ 3ö
ç
- 1; ÷
÷
ç
÷.
ç
è 2ø
B.
( - 1;1) .
C.
thoả
y = ( f ( x) )
( - 2; - 1) .
f '( x ) = 0 Û x = 1; x = ±2. f ( 2) = f ( - 2) = 0
Ta có
Ta có bảng biến thiên :
x
−∞
−2
1
+∞
f '( x)
+
0
-
0
+
nghịch biến trên khoảng
D.
( 1; 2) .
.
0
0
−∞
−∞
Þ f ( x ) < 0; " x ¹ ±2.
éf ( x) = 0
y'=0 Û ê
êf '( x) = 0 Û
ê
ë
2
y = ( f ( x ) ) Þ y ' = 2 f ( x ) . f '( x )
Xét
éx = ±2
ê
ê
ëx = 1; x = ±2
Bảng xét dấu :
x
f '( x)
−∞
−2
+
0
1
-
0
15
+∞
2
+
0
và đồ thị của
2
2
0
f ( x)
f ( 2) = f ( - 2) = 0
-
f ( x)
-
0
-
-
0
+
-
0
-
-
0
+
'
2
y=é
(ë f ( x) ) ùúû
ê
0
Chọn đáp án D.
y
4
2
−3
O
1
−2
3
Bài 3.3:
(câu 48-đề 102-TNTHPTQG 2017-2018)Cho hàm
y = f ( x)
số
. Đồ thị của hàm số
đề nào dưới đây đúng?
A.
B.
C.
D.
x
g ( 3) > g ( −3) > g ( 1)
g ( −3) > g ( 3) > g ( 1)
g ( 1) > g ( −3) > g ( 3)
g ( 1) > g ( 3) > g ( −3)
Giải:
y = f ′( x)
như hình bên. Đặt
.
.
.
.
g ' ( x ) = 2 f ' ( x ) − 2 ( x + 1) = 2 f ' ( x ) − ( x + 1)
Ta có:
Ta vẽ đường thẳng
y = x +1
.
16
g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1)
2
. Mệnh
1
1
- 3
- 3
ù
g ( 1) - g ( - 3) = ò g'( x)dx = 2 ò é
ëf '( x ) - ( x +1) ûdx > 0 Þ g ( 1) > g ( - 3) .
Ta có:
3
3
1
1
ù
g ( 3) - g ( 1) = ò g'( x )dx = 2ò é
ëf '( x ) - ( x +1) ûdx < 0 Þ g ( 3) < g ( 1) .
3
3
1
3
ù
é
ù
é
ù
g ( 3) - g ( - 3) = ò g'( x )dx = 2ò é
ëf '( x ) - ( x +1) ûdx = 2ò ëf '( x ) - ( x +1) ûdx + 2ò ëf '( x ) - ( x +1) ûdx
- 3
- 3
- 3
= 2 S1 - 2 S2 > 0 Þ g ( 3) > g ( - 3) .
Như vậy ta có:
g ( 1) > g ( 3) > g ( −3)
Ta chọn đáp án D.
Bài 3.4: (câu 47-đề 104-TNTHPTQG 2017-2018)Cho
hàm số
y = f ( x)
. Đồ thị của hàm số
g ( x ) = 2 f ( x ) + ( x + 1)
y = f , ( x)
2
bên. Đặt
.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
B.
C.
D.
g (1) < g (3) < g ( −3)
g (1) < g ( −3) < g (3)
g (3) = g ( −3) < g (1)
g (3) = g (−3) > g (1)
.
.
.
.
17
như hình
1
Giải:
Ta có:
g ' ( x ) = 2 f ' ( x ) + 2 ( x + 1) = 2 f ' ( x ) + ( x + 1) ⇒ − g ' ( x ) = 2 − ( x + 1) − f ' ( x )
y =- ( x +1)
Ta vẽ đường thẳng
1
1
−3
−3
.
g ( −3) − g ( 1) = − ∫ g ' ( x ) dx = 2 ∫ − ( x + 1) − f ' ( x ) dx > 0 ⇒ g ( −3 ) > g ( 1) .
3
3
1
1
g ( 1) − g ( 3) = − ∫ g ' ( x ) dx = 2 ∫ − ( x + 1) − f ' ( x ) dx < 0 ⇒ g ( 3 ) > g ( 1) .
3
1
3
−3
−3
1
g ( −3) − g ( 3) = − ∫ g ' ( x ) dx = 2 ∫ − ( x + 1) − f ' ( x ) dx + 2∫ − ( x + 1) − f ' ( x ) dx = 2 S1 − 2 S 2 > 0
⇒ g ( −3) > g ( 3)
Như vậy ta có:
g (1) < g (3) < g (−3)
Ta chọn đáp án A.
Dạng 4: Liên quan đến đồ thị của hàm số
y = f ( x ) ; y = f '( x ) ; y = f ''( x ) .
Bài 4.1: Cho hàm số
y = f ( x)
sao cho đồ thị hàm số
có đạo hàm liên tục trên
y = f '( x )
¡
,
là parabol có dạng như
trong hình bên. Hỏi đồ thị của hàm số
nào trong bốn đáp án sau?
y = f ( x)
18
cò đồ thị
Hướng dẫn: đáp án B.
Bài 4.2: Cho đồ thị của ba hàm số
y = f ′′ ( x )
y = f ( x)
,
được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm
y = f ( x)
y = f ′( x)
y = f ′′ ( x )
số
,
và
ứng với đường cong nào ?
( C3 ) ; ( C2 ) ; ( C1 )
A.
C.
( C2 ) ; ( C3 ) ; ( C1 )
Giải:
Trong khoảng
Trong khoảng
( C1 )
Đồ thị
( 0;+¥ )
( - ¥ ;0)
B.
.
D.
thì
thì
( C2 )
( C2 )
( C2 ) ; ( C1 ) ; ( C3 )
( C1 ) ; ( C3 ) ; ( C2 )
( C2 )
cắt trục
Ox
( C1 )
¡
Bài 4.3: Cho đồ thị của ba hàm số
( C2 )
y = f ( x)
,
( C3 )
“đi lên”.
“đi xuống”.
“đi lên”. Ta chọn đáp án A.
lại
y = f ′( x)
được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị
19
( C3 )
tại 1 điểm là điểm cực trị của của đồ thị
Đồ thị
đồng biến trên
mà đồ thị
nằm hoàn toàn trên trục hoành.Ta chọn đáp án A.
y = f ′′ ( x )
.
nằm dưới trục hoành và
( C3 ) .
( C2 )
.
nằm trên trục hoành và
nằm hoàn toàn trên trục hoành và
Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị
hàm số
theo thứ tự, lần lượt tương
.
Hoặc:
,
,
y = f ′( x)
y = f ( x)
các hàm số
cong nào ?
,
y = f ′( x)
( C3 ) ; ( C2 ) ; ( C1 )
A.
( C2 ) ; ( C3 ) ; ( C1 )
C.
B.
.
D.
( C2 )
Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị
hàm số
( C2 ) .
( C1 ) .
Đồ thị
( C3 )
và
.
Giải:
y = f ′′ ( x )
( C2 ) ; ( C1 ) ; ( C3 )
( C1 ) ; ( C2 ) ; ( C3 )
cắt trục
cắt trục
Ox
Ta chọn đáp án D.
Bài 4.4: Cho đồ thị của ba hàm số
y = f ′′ ( x )
Ox
y = f ′( x)
( C3 ) ; ( C2 ) ; ( C1 )
A.
( C2 ) ; ( C3 ) ; ( C1 )
C.
Giải:
Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị
y = f ( x)
y = f ′′ ( x )
.
B.
tại 3 điểm là 3 điểm cực trị của của đồ thị
y = f ′( x)
,
,
.
D.
( C2 )
( C3 )
( C1 )
cắt trục
Ox
y = f ′′ ( x )
theo thứ tự,
( C2 ) ; ( C1 ) ; ( C3 )
( C1 ) ; ( C2 ) ; ( C3 )
cắt trục
Ox
.
.
tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị
tại 1 điểm là điểm cực trị của của đồ thị hàm số
Bài 4.5: Cho đồ thị của ba hàm số
,
.
tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị hàm số
các hàm số
,
và
lần lượt tương ứng với đường cong nào ?
Đồ thị
án A.
.
được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị
y = f ( x)
hàm số
theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường
y = f ( x)
,
y = f ′( x)
được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị
y = f ( x)
y = f ′( x)
y = f ′′ ( x )
các hàm số
,
và
theo thứ
tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào ?
20
( C2 )
Ta chọn đáp
A.
( C1 ) ; ( C2 ) ; ( C3 )
( C3 ) ; ( C2 ) ; ( C1 )
C.
.
B.
.
D.
( C2 ) ; ( C1 ) ; ( C3 )
( C3 ) ; ( C1 ) ; ( C2 )
Giải:
Dựa vào phương pháp 1 có hai khả năng :
( C3 ) ; ( C1 ) ; ( C2 )
sát đồ thị ta thấy ứng với các khoảng mà đồ thị
( C3 )
.
( C1 )
( C2 ) ; ( C1 ) ; ( C3 )
hoặc
nằm trên trục hoành thì đồ thị
“đi lên” và ngược lại; còn ứng với các khoảng mà đồ thị
hoành thì đồ thị
( C1 )
. Quan
( C2 )
nằm trên trục
“đi lên” và ngược lại. Ta chọn đáp án D .
Bài 4.6: Cho đồ thị của ba hàm số
dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số
y = f ( x)
y = f ( x)
y = f ′′ ( x )
,
,
y = f ′( x)
y = f ′( x)
,
y = f ′′ ( x )
được vẽ mô tả ở hình
và
theo thứ tự, lần lượt tương ứng với
đường cong nào ?
A.
C.
( C3 ) ; ( C2 ) ; ( C1 )
( C2 ) ; ( C3 ) ; ( C1 )
Giải:
Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị
.
B.
.
D.
( C1 )
( C2 ) ; ( C1 ) ; ( C3 )
( C1 ) ; ( C3 ) ; ( C2 )
cắt trục
là 2 điểm cực trị của của đồ thị hàm số
cực trị của của đồ thị hàm số
( C1 )
Ox
.
.
tại 2 điểm
( C2 )
; đồ thị
( C3 )
cắt trục
. Ta chọn đáp án B.
Dạng 5: Một số dạng toán khác liên quan đến đồ thị hàm số
Bài 5.1: Cho hàm số
y = f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d Î ¡ ; a ¹ 0)
rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng
y =- 9
y = f '( x )
Ox
y = f '( x ) .
có đồ thị (C). Biết
tại điểm có hoành
độ dương và đồ thị hàm số
cho bởi hình vẽ bên. Tìm phần
nguyên của giá trị diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và
trục hoành?
A. 2.
B. 27.
C. 29.
D. 35.
21
tại 2 điểm là 2 điểm
Giải:
Ta có
f '( x) = 3ax 2 + 2bx + c
y = f '( x )
ra:
đi qua 3 điểm
. Dựa vào đồ thị hàm số
( - 1;0) ,( 3,0) ,( 1, - 4)
ta tìm được:
1
f '( x ) = x 2 - 2 x - 3 Þ f ( x ) = x 3 - x 2 - 3 x + C
3
Do (C) tiếp xúc với đường thẳng
f '( x ) = 0 Û x =- 1; x = 3 Þ x = 3.
y =- 9
y = f '( x )
ta thấy đồ thị hàm số
1
a = ; b =- 1; c =- 3
3
. Suy
.
tại điểm có hoành độ dương nên ta có:
Như vậy (C) đi qua điểm
( 3;- 9)
ta tìm được
1
C = 0 Þ f ( x) = x 3 - x 2 - 3x
3
.
Xét phương trình trình hoành độ giao điểm và trục hoành:
3+3 5
2
1 3
3 ±3 5
x - x 2 - 3 x = 0 Û x = 0; x =
3
2
S=
ò
3- 3 5
2
.
1 3
x - x 2 - 3x dx = 29, 25.
3
Ta chọn đáp số C.
Bài 5.2: Cho hàm số
y = f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d Î ¡ ; a ¹ 0)
rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng
độ âm và đồ thị hàm số
S
tích
9
A.
Giải:
y = f '( x )
y =4
có đồ thị (C). Biết
tại điểm có hoành
cho bởi hình vẽ bên. Tìm diện
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành?
27
21
5
4
4
4
B.
C.
D.
Ta có
f '( x ) = 3ax 2 + 2bx + c
y = f '( x )
. Dựa vào đồ thị hàm số
y = f '( x )
là parabol có trục đối xứng là trục tung nên
Đồ thị hàm số
y = f '( x )
đi qua 2 điểm
( 1;0) , ( 0, - 3)
22
ta thấy đồ thị hàm số
b = 0.
ta tìm được:
a = 1; c =- 3
.
f '( x ) = 3 x 2 - 3 Þ f ( x ) = x 3 - 3 x + C
Suy ra:
Do (C) tiếp xúc với đường thẳng
y=4
f '( x ) = 0 Û x =- 1; x = 1 Þ x =- 1.
.
tại điểm có hoành độ âm nên ta có:
( - 1;4)
C = 2 Þ f ( x ) = x 3 - 3x + 2
Như vậy (C) đi qua điểm
ta tìm được
Xét phương trình trình hoành độ giao điểm và trục hoành:
.
x3 - 3x + 2 = 0 Û x = - 1; x = 2.
2
S = ò x 3 - 3x + 2 dx =
- 1
27
.
4
Ta chọn đáp số B.
y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d Î ¡ ; a ¹ 0)
Bài 5.2: Cho hàm số
có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) đi qua gốc toạ độ và đồ thị
hàm số
A. 24.
Giải:
Ta có
y = f '( x )
f '( x ) = 3ax 2 + 2bx + c
ta thấy đồ thị hàm số
trục tung nên
y = f '( x )
?
D. 21.
. Dựa vào đồ thị hàm số
y = f '( x )
b = 0.
Đồ thị hàm số
y = f '( x )
là parabol có trục đối xứng là
đi qua 2 điểm
( 1;5) ,( 0; 2)
f '( x ) = 3 x + 2 Þ f ( x ) = x + 2 x + C
2
Suy ra:
f ( 3) - f ( 1)
cho bởi hình vẽ bên. Tính
B. 28.
C. 26.
ta tìm được:
C = 0 Þ f ( x) = x + 2 x Þ f ( 3) - f ( 2) = 21.
, đồ thị hàm số (C) đi qua gốc toạ độ nên
Ta chọn đáp án D.
Bài 5.3: Cho hàm số
y = f '( x )
ax + b
cx + d
.
3
3
y = f ( x) =
a = 1; c = 2
æ
ö
- d
ç
a, b, c, d Î ¡ ;
¹ 0÷
÷
ç
÷
ç
è
ø
c
, đồ thị hàm số
như hình vẽ. Biết đồ thị hàm số
y = f ( x)
23
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3. Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao
điểm của (C) với trục hoành ?
A.
1
3
y = x- .
2
2
y =-
C.
1
3
x+ .
2
2
B.
1
3
y = x+ .
2
2
y =-
D.
1
x + 2.
2
Giải:
y ' = f '( x ) =
Ta có
Đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số
ad - bc
( cx + d )
y = f '( x )
y = f '( x )
y = f '( x )
y = f ( x)
2
. Từ đồ thị hàm số
x =1 Þ
có tiệm cận đứng
( 2c + d )
đi qua điểm
đi qua điểm
= 2 Û ad - bc = 2 ( 2c + d )
2
b
= 3 Û b = 3d .
d
( 0;3) Þ
đi qua điểm
a = c =- d ; b = 3d
x- 3
x- 1
2
ad - bc
= 2 Û ad - bc = 2d 2
2
d
( 0; 2) Þ
a = c = 1; b =- 3; d =- 1 Þ y =
ta thấy:
-d
= 1 Þ c =- d .
c
ad - bc
( 2; 2) Þ
Giải hệ gồm 4 pt này ta được
Ta chọn
y = f '( x )
.
. Ta chọn đáp án A.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường.
Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa qua tôi nhận thấy rằng , tài liệu “Các bài
f '( x )
toán liên quan đến đồ thị của hàm số
” đã giúp tôi thu được nhiều kết quả khả
quan. Học sinh khắc phục được những “sai lầm” và khó khăn khi gặp bài toán đồ thị của
24
f '( x )
hàm số
. Thuận lợi cho việc tăng cường tính trực quan, cũng đẩy mạnh ứng dụng
công nghệ thông tin và dạy học. Từ đó các em học sinh rất thích thú và học tốt vấn đề
này. Trong quá trình giảng dạy, tôi tiến hành thử nghiệm với hai lớp: 12A1, 12A4 trong
đó sử dụng các dạng bài tập này để hướng dẫn đối với lớp 12A 1. Kết quả kiểm tra thử
như sau:
Lớp
Tổng số
Điểm 8 trở lên
Điểm 5 trở lên và < 8
Điểm dưới 5
SL
TL
SL
TL
SL
TL
12A1
42
15
35,7% 27
64,3%
0
0%
12A4
42
3
7,1%
34
81%
5
11,9%
Sau một thời gian áp dụng đề tài này trong giảng dạy tôi thấy số lượng giỏi, khá,
trung bình đã có tăng lên mặc dù chưa nhiều, số lượng yếu, kém vẫn còn. Nhưng đối với
tôi, điều quan trọng hơn cả là đã giúp các em thấy bớt khó khăn trong việc học tập bộ
môn toán, tạo niềm vui và hưng phấn mỗi khi bước vào tiết học
3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận
Trên đây tôi đã trình bày sáng kiến kinh nghiệm của mình trong việc tìm các tính
f '( x )
chất hoặc so sánh hay tìm số nghiệm phương trình từ đồ thị của hàm số
. Với các
dạng toán phân các loại khác nhau để học sinh dễ hiểu bài và các bài tập cập nhật trong
các đề thi thử THPT QG của các trường trong cả nước.
3.2. Kiến nghị
Trên đây là sáng kiến tôi đã thực hiện đối với học sinh lớp 12 trường THPT Thọ
Xuân 5 trong năm học vừa qua. Rất mong vấn đề này được xem xét, mở rộng hơn nữa
để áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, giúp các em có thêm tự tin và hứng thú khi
học môn Toán./.
25
