Câu hỏi mở ôn tập phần hàm số cho học sinh khối 12

MỤC LỤC
NỘI DUNG
1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng ngiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung sáng kiến
2.1. Cơ sở lí luận
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN
2.3. Giải quyết vấn đề
I. NHÓM CÂU HỎI VỀ SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
II. NHÓM CÂU HỎI VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
III. NHÓM CÂU HỎI VỀ SỰ TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
IV. NHÓM CÂU HỎI VỀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN
V. NHÓM CÂU HỎI VỀ GTLN, NN CỦA HÀM SỐ
2.4. Hiệu quả của SKKN
3. Kết luận, kiến nghị
TÀI LIỆU THAM KHẢO
DANH MỤC CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC XẾP LOẠI
PHỤ LỤC

Trang
1
1
1
1
1
1
1
2

2
2
6
13
15
17
19
20
21
22
1-7


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
Đứng trước kì thi THPT Quốc Gia sắp tới, trước tình hình đề thi trắc nghiệm
với những câu hỏi xoáy vào rất nhiều khía cạnh khác nhau, với nhiều cách hỏi khác
nhau ở cùng một giả thiết và ngày càng xuất hiện những câu hỏi mới, lạ và hóc búa.
Nhiều học sinh thấy chán nãn và mệt mỏi. Bản thân là một giáo viên dạy lớp 12A4
và 12A5 trường THPT Yên Định 1, đối tượng học sinh của tôi chủ yếu là học sinh
có học lực mức trung bình và khá, nhưng các em đang rất cố gắng, nổ lực trong học
tập. Tôi rất trăn trở với những khó khăn mà các em gặp phải. Làm sao để hệ thống
được kiến thức, phương pháp giải, phương pháp hỏi để giúp các em bớt khó khăn
hơn trong quá trình ôn tập và chủ động hơn khi tiếp cận các câu hỏi. Một ý tưởng
để tôi thực hiện là “Câu hỏi mở ôn tập phần hàm số cho học sinh khối 12”. Đó
cũng là tên đề tài mà tôi đã chọn để nghiên cứu.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Xây dựng hệ thống bài tập phát triển theo nhiều khía cạnh khác nhau, nói cách
khác là tập cho học sinh làm quen với bài toán mở để ôn tập tốt phần hàm số của
chương trình lớp 12 từ đó tạo hứng thú, động lực và phương pháp để các em ôn tập

tốt ở các chương sau.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài viết về một mảng kiến thức phần hàm số thuộc chương trình giải tích lớp
12 THPT. Và hướng tới đối tượng học sinh có học lực từ yếu đến khá, giỏi ở trường
THPT Yên Định 1.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Tôi chủ yếu sử dụng phương pháp thực nghiệm (nghiên cứu và trực tiếp giảng
dạy ở lớp 12A5). Ngoài ra còn sử dụng các phương pháp:
- Phương pháp quan sát (công việc dạy - học của các giáo viên và học sinh).
- Phương pháp đàm thoại, phỏng vấn (lấy ý kiến của các giáo viên và học sinh
thông qua trao đổi trực tiếp).
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
a. Cơ sở triết học:
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát
triển. Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, người giáo viên cần chú trọng gợi
động cơ học tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với
khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong
việc lĩnh hội tri thức.
b. Cơ sở tâm lí học:
Theo các nhà tâm lí học: Con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh
nhu cầu tư duy, khi đứng trước một khó khăn cần phải khắc phục.
c. Cơ sở giáo dục học:
Để giúp các em học sinh học tập tốt hơn, người giáo viên cần tạo cho học
sinh hứng thú học tập. Cần cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan
1


trọng, con người muốn phát triển cần phải có tri thức, cần phải học hỏi và tổng hợp
kiến thức cho riêng mình.

d. Theo luật giáo dục Việt Nam có viết: “Phương pháp giáo dục phổ thông cần
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc
điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng
vận dụng kiến thức, tác động đến tính cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của
học sinh”.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Kiến thức rộng, câu hỏi đa dạng, có rải rác trong các đề thi thử của các trường,
khó tổng hợp. Nhiều học sinh cảm thấy chán nãn và mệt mỏi.
2.3. Giải quyết vấn đề.
Xuất phát từ một bảng biến thiên quen thuộc…!
Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Ta hãy đặt các câu hỏi liên quan và nêu phương pháp giải !
Trước tiên kiểm tra nhanh học sinh về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Các điểm cực trị, tiệm cận, sự tương giao với các trục tọa độ của đồ thị hàm số. Sau
đó đi xây dựng các câu hỏi khó hơn, đòi hỏi tư duy cao hơn.
I. NHÓM CÂU HỎI VỀ SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Câu 1: Xét sự biến thiên của hàm số: y = f ( 2 x ) .
Phương pháp: - Tính đạo hàm y′ của hàm số.
- Giải phương trình: y′ = 0 .
- Giải bất phương trình: y′ > 0 (hoặc y′ < 0 ) .
- Lập bảng biến thiên và kết luận.
Ta có: y′ =  f ( 2 x ) ′ = ( 2 x′ ) . f ′ ( 2 x ) = 2 f ′ ( 2 x ) .
1
y′ = 0 ⇔ f ′ ( 2 x ) = 0 ⇔ 2 x = ±1 ⇔ x = ± .
2
2


1


x
>

2x > 1
2
y′ > 0 ⇔ f ′ ( 2 x ) > 0 ⇔ 
⇔
.
2
x
<
−
1
1

x < −

2
1
 1
y  ÷ = f ( 1) = 0; y  − ÷ = f ( −1) = 4 .
2
 2
Từ đó ta có bảng biến thiên:

Lưu ý: Vẫn có thể xét dấu y′ mà không cần giải bất phương trình y′ > 0 . Đó là ta
thử dấu trong một khoảng. Sau đó sử dụng quy tắc đan dấu khi y′ đi qua các
nghiệm bội lẻ và không đổi dấu khi đi qua các nghiệm bội chẵn của nó (tính cả
nghiệm của tử và mẫu, nếu y′ là hàm phân thức) . Chẳng hạn:

 1 1
để thử dấu trên khoảng  − ; ÷ ta chọn x = 0 . Ta có:
 2 2
 1 1
y′ ( 0 ) = 2 f ′ ( 2.0 ) = 2 f ′ ( 0 ) < 0 . Suy ra y′ < 0 trên khoảng  − ; ÷.
 2 2
Câu 2: Xét sự biến thiên của hàm số y = f ( − x ) .
Tương tự câu 1. Ta có bảng biến thiên:

3


Lưu ý: Ta có thể lấy đối xứng đồ thị hàm số y = f ( x ) qua trục Oy để được đồ thị
hàm số y = f ( − x ) từ đó suy ra bảng biến thiên như trên.
Câu 3: Xét sự biến thiên của hàm số y = f ( 3 − x ) .
Tương tự câu 1. Ta có bảng biến thiên:

Bình luận: Do y = f ( 3 − x ) = f  − ( x − 3)  nên ta có thể tịnh tiến đồ thị (hay
BBT) của hàm số y = f ( − x ) ở câu 2 sang bên phải 3 đơn vị ta được đồ thị (hay
BBT) của hàm số y = f ( 3 − x ) ở câu 3.

(

)

2
Câu 4: Xét sự biến thiên của hàm số y = f x + 1 .

Ta có: y′ =  f x 2 + 1 ′ = 2 x. f ′ x 2 + 1 .



x = 0
x = 0
2
′
′
y = 0 ⇔ 2 x. f x + 1 = 0 ⇔ 
⇔
.
 2
2
 f ′ x + 1 = 0  x + 1 = ±1
⇔ x = 0 (nghiệm bội 3).
 x2 + 1 > 1
2
f ′ x +1 > 0 ⇔  2
⇔ x ≠ 0.
x
+
1
<
−
1

Từ đó ta có bảng biến thiên:

(

)

(

(

(

)

)

(

)

)

Câu 3 tác giả lấy ý tưởng từ nguồn tham khảo số [II]

4


Bình luận: Nếu sử dụng lưu ý ở câu 1:
y′ ( 1) = 2 f ′ ( 2 ) > 0 . Ta có ngay bảng biến thiên:

(

)

2
Câu 5: Xét sự biến thiên của hàm số y = f 3 − x .

Tương tự câu 4 và sử dụng lưu ý ở câu 1. Ta có bảng biến thiên:

Câu 6: Xét sự biến thiên của hàm số y = f
Ta có: y′ =

2x + 1
2 x + x +1
2

.f ′

(

)

(

)

x2 + x + 1 .

x2 + x + 1 ;

1

1

x
=
−

x
=
−


2
2
2 x + 1 = 0


2
y′ = 0 ⇔ 
⇔  x + x + 1 = −1 ⇔  x = −1 .
2
 f ′ x + x +1 = 0
 2
x = 0

 x + x +1 =1



BBT:

(

)

5

Bình luận: Qua một số ví dụ trên, ta thấy việc xét sự biến thiên của hàm số
y = f ( u ( x ) ) đã trở nên khá quen thuộc và dễ hiểu.
II. NHÓM CÂU HỎI VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Nhắc lại một số phép suy đồ thị: Cho đồ thị ( C ) : y = f ( x ) .
1. Lấy đối xứng ( C ) qua trục Oy ta được đồ thị ( C1 ) : y = f ( − x )

2. Lấy đối xứng ( C ) qua trục Ox ta được đồ thị ( C2 ) : y = − f ( x )
3. Lấy đối xứng ( C ) qua gốc tọa độ O ta được đồ thị ( C3 ) : y = − f ( − x )
4. Tịnh tiến ( C ) lên trên a đơn vị (a > 0) theo trục Oy ta được đồ thị

( C4 ) : y = f ( x ) + a .
5. Tịnh tiến ( C ) xuống dưới a đơn vị (a > 0) theo trục Oy ta được đồ thị
( C5 ) : y = f ( x ) − a .
6. Tịnh tiến ( C ) sang phải a đơn vị (a > 0) theo trục Ox ta được đồ thị
( C6 ) : y = f ( x − a ) .
7. Tịnh tiến ( C ) sang trái a đơn vị (a > 0) theo trục Ox ta được đồ thị
( C7 ) : y = f ( x + a ) .
8. Đồ thị ( C8 ) : y = f ( x ) gồm hai phần:
- Phần 1: Là phần đồ thị ( C ) nằm phía trên trục Ox (tính cả các điểm nằm trên
trục Ox ).
- Phần 2: Là phần đối xứng với phần phía dưới trục Ox của đồ thị ( C ) , qua trục
Ox .
9. Đồ thị ( C9 ) : y = f ( x ) gồm hai phần:

6


- Phần 1: Là phần đồ thị ( C ) nằm phải trục Oy (tính cả các điểm nằm trên trục
Oy .

- Phần 2: Là phần đối xứng với phần 1 qua trục Oy .
Câu 7: Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị ?
Dựa BBT ta vẽ phác họa đồ thị ( C ) : y = f ( x ) như sau:

Sau đó dựa vào phép suy đồ thị thứ 8 nêu ở trên suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) :

⇒ Hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị

Câu 8: Hàm số y = f ( x ) + 1 có bao nhiêu điểm cực trị ?

Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) theo trục Oy lên trên 1 đơn vị, ta được đồ thị
hàm số y = f ( x ) + 1 .

Các câu từ 7 – 19 tác giả lấy ý tưởng từ nguồn tham khảo số [I]

7


⇒ Hàm số y = f ( x ) + 1 vẫn có 3 điểm cực trị .
Bình luận: Các phép tịnh tiến toàn bộ hay lấy đối xứng toàn bộ đồ thị hàm số sẽ
không làm thay đổi số điểm cực trị . Tức là các hàm số:
y = f ( − x ) ; y = − f ( x ) ; y = − f ( − x ) ; y = f ( x ) ± a; y = f ( x ± a )
(hằng số a > 0 ) đều có số điểm cực trị bằng số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) .
Câu 9: Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị ?
Sử dụng phép suy đồ thị thứ 9 như đã nêu ở trên ta phác họa được đồ thị hàm số
y= f ( x):

⇒ Hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị .

Câu 10: Hàm số y = f ( x − 2 ) có bao nhiêu điểm cực trị ?

Sử dụng phép suy đồ thị thứ 9 như đã nêu ở trên ta phác họa được đồ thị hàm số
y = f ( x ) . Sau đó tịnh tiến sang phải 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số

y= f ( x−2)

Các câu từ 7 – 19 tác giả lấy ý tưởng từ nguồn tham khảo số [I]

8


⇒ Hàm số y = f ( x − 2 ) có 3 điểm cực trị.
Bình luận: 1. Học sinh rất dễ nhầm lẫn theo kiểu: Tịnh tiến đồ thị
( C ) : y = f ( x ) sang phải 2 đơn vị, sau đó lấy đối xứng qua trục Oy .
2. Có thể nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x − 2 ) bằng
số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) .

Câu 11: Hàm số y = f ( x ) − 1 có bao nhiêu điểm cực trị ?

Tịnh tiến đồ thị ( C ) xuống dưới 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f ( x ) − 1 . Sau
đó sử dụng phép suy đồ thị thứ 8 ta được đồ thị hàm số y = f ( x ) − 1 .

⇒ Hàm số y = f ( x ) − 1 có 5 điểm cực trị.

Các câu từ 7 – 19 tác giả lấy ý tưởng từ nguồn tham khảo số [I]

9


Câu 12: Hàm số y = f ( x ) − 5 có bao nhiêu điểm cực trị ?

Tịnh tiến đồ thị ( C ) xuống dưới 5 đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f ( x ) − 5 . Sau
đó sử dụng phép suy đồ thị thứ 8 ta được đồ thị hàm số y = f ( x ) − 5 .

⇒ Hàm số y = f ( x ) − 5 có 3 điểm cực trị.

(

2
Câu 13: Hàm số y = f 3 − x

)

có bao nhiêu điểm cực trị ?

(

)

2
Trước tiên ta xét sự biến thiên của hàm số y = f 3 − x đã làm ở câu 5 phần I

Sau đó sử dụng phép suy đồ thị thứ 8 như đã nêu ở trên, suy ra đồ thị hàm số
y = f 3 − x 2 ⇒ hàm số y = f 3 − x 2 có 7 điểm cực trị.

(

)

(

)

Các câu từ 7 – 19 tác giả lấy ý tưởng từ nguồn tham khảo số [I]

10


(

)

2
Câu 14: Tìm điều kiện của tham số thực m để hàm số y = f x + m có đúng 3
điểm cực trị.
Ta có:
x = 0
x = 0
x=0


 2
2
y′ = 2 xf ′ x 2 + m ; y′ = 0 ⇔ 
⇔
x
+
m
=
−
1

⇔
2

 x = −m − 1 .
 f ′ x + m = 0  2
 x 2 = −m + 1
x + m =1

2
Hàm số y = f x + m có đúng 3 điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có đúng 3

(

)

(

(

)

)

nghiệm bội lẻ. Điều này xảy ra khi: − m − 1 ≤ 0 < − m + 1 ⇔ −1 ≤ m < 1 .

Câu 15: Hàm số y =  f ( x )  có bao nhiêu điểm cực trị ?
  f ( x )  2 = 0 ( 1)
2



Ta có: y′ = 3  f ( x )  . f ′ ( x ) ; y′ = 0 ⇔ 
.
 f ′ ( x ) = 0 ( 2 )
Dễ thấy các nghiệm của phương trình ( 1) đều là nghiệm bội chẵn. Do đó số điểm
cực trị của hàm số đã cho bằng số nghiệm bội lẻ của phương trình ( 2 ) .
3

Vậy số điểm cực trị của hàm số y =  f ( x )  bằng số điểm cực trị của hàm số
y = f ( x ) là 2 điểm cực trị.
3

Câu 16: Hàm số y =  f ( x )  có bao nhiêu điểm cực trị ?
  f ( x )  3 = 0 ( 1)
3


y′ = 4  f ( x )  . f ′ ( x ) ; y′ = 0 ⇔ 
 f ′ ( x ) = 0 ( 2 )
Dựa vào bảng biến thiên ⇒ phương trình f ( x ) = 0 có một nghiệm đơn x0 < −1 và
một nghiệm kép bằng 1. Do đó phương trình ( 1) chỉ có một nghiệm bội lẻ.
Phương trình ( 2 ) có hai nghiệm đơn x = ±1 . Vậy phương trình y′ = 0 có 3 nghiệm
4

bội lẻ phân biệt, nên hàm số y =  f ( x )  có 3 điểm cực trị.
4

Câu 17: Hàm số y =

1
có bao nhiêu điểm cực trị ?

f ( x)

 x = ±1
 f ′ ( x ) = 0
f ′( x )

⇔ x ≠ 1
⇔ x = −1 .
Ta có: y′ = − 2
; y′ = 0 ⇔  2
f ( x)
 f ( x ) ≠ 0  x ≠ x ( x < −1)
0
0


Các câu từ 7 – 19 tác giả lấy ý tưởng từ nguồn tham khảo số [I]

11


⇒ Hàm số y =

1
chỉ có 1 điểm cực trị.
f ( x)

Bình luận: Học sinh dễ bị nhầm lẫn theo kiểu: y′ = 0 ⇔ f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = ±1 . Rồi
kết luận hàm số có hai điểm cực trị.
1

2 có bao nhiêu điểm cực trị ?
Câu 18: Hàm số y =
 f ( x ) − 2 
 f ′ ( x ) = 0  x = ±1
2 f ′( x )
′
′
y
=
−
;
y
=
0
⇔
⇔
⇔ x = ±1 .
Ta có:

3
f
±
1
≠
2
(
)
f
x
≠

2
 f ( x ) − 2 
 ( )

1
y
=
⇒ Hàm số
2 có 2 điểm cực trị.
 f ( x ) − 2 
Câu 19: Hàm số y = f ( f ( x ) ) có bao nhiêu điểm cực trị ?

 f ′( x ) = 0
 x = ±1
′
′
′
′
y
=
f
x
.
f
f
x
;
y
=
0

⇔
⇔

( ) ( ( ))
Ta có:
.

 f ′ ( f ( x ) ) = 0  f ( x ) = ±1
Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) ta thấy:
- Phương trình: f ( x ) = 1 có 3 nghiệm phân biệt.

- Phương trình: f ( x ) = −1 có 1 nghiệm.
Do đó phương trình y′ = 0 có tất cả 6 nghiệm. Dễ thấy đây là 6 nghiệm đơn phân
biệt. Nên hàm số y = f ( f ( x ) ) có 6 điểm cực trị.
2
Câu 20: Tìm điều kiện của m để hàm số y = f ( x ) + f ( x ) + m có đúng 3 điểm
cực trị.
2
Xét: h ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + m .

h′ ( x ) = 2 f ( x ) . f ′ ( x ) + f ′ ( x ) = f ′ ( x ) ( 2 f ( x ) + 1) .

 f ′( x ) = 0
 x = ±1
h′ ( x ) = 0 ⇔ 
⇔
.

 f ( x) = − 1
x

=
x
x
<
−
1
(
)
0
0


2
BBT:

Các câu từ 20-24 tác giả lấy ý tưởng từ nguồn tham khảo số [II]

12


Dựa vào phép suy đồ thị thứ 8 đã nêu ở trên, suy ra hàm số y = h ( x ) có đúng 3
1
1
điểm cực trị khi: m − ≥ 0 ⇔ m ≥ .
4
4
Câu 21: Tìm số giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số
y = f 2 ( x ) + f ( x ) + m có đúng 7 điểm cực trị.

Cũng dựa vào phép suy đồ thị thứ 8 và bảng biến của hàm h ( x ) đã vẽ ở trên, suy ra

hàm số y = h ( x ) có đúng 7 khi m < 0 < m + 20 ⇔ −20 < m < 0
Vậy có 19 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

III. NHÓM CÂU HỎI VỀ SỰ TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
3
3
Câu 22: Biết f  ÷ < 1. Phương trình f ( x ) = f  ÷ có bao nhiêu nghiệm thực ?
2
2
 3
 3
Dựa vào BBT ⇒ f  ÷ > 0 ⇒ 0 < f  ÷ < 1.
 2
 2
3
Nên đường thẳng y = f  ÷ cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 3 điểm phân biệt.
2
3
Vậy phương trình f ( x ) = f  ÷ có 3 nghiệm thực phân biệt.
2
2
Câu 23: Tìm điều kiện của tham số thực m để phương trình f ( x ) = m có ba
nghiệm thực phân biệt.
2
Dựa vào bảng biến thiên ⇒ Điều kiện: 0 < m < 4 ⇔ m∈ ( −2;0 ) ∪ ( 0;2 ) .

2
Câu 24: Tìm điều kiện của tham số thực m để phương trình f ( x ) = m có ba
nghiệm thực phân biệt.
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) đã vẽ ở trên ⇒ Điều kiện: m 2 = 4 ⇔ m = ±2 .

Câu 25: Tính tổng các nghiệm thực của phương trình f ( cosx ) = 4 trên [ 0;2018] .

Các câu từ 20-24 tác giả lấy ý tưởng từ nguồn tham khảo số [II]

13


Dựa vào BBT hàm số y = f ( x ) ⇒ phương trình:
cosx = −1
f ( cosx ) = 4 ⇔ 
⇔ x = π + k 2π ( k ∈ Z) .
cosx
=
x
x
>
1
VN
(
)
(
)
1
1

1
1 1009
⇔ 0 ≤ k ≤ 320, k ∈ Z .
Cho: 0 ≤ π + k 2π ≤ 2018 ⇔ − ≤ k ≤ − +
2

2
π
⇒ Phương trình f ( cosx ) = 4 có 321 nghiệm thực trên [ 0;2018] .
321( π + 641π )
Tổng các nghiệm: S = π + 3π + 5π + ... + 641π =
= 103041π .
2
Câu 26: Tìm số nghiệm thực của phương trình f ( f ( x ) ) = 0 .
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) . Ta có:

 f ( x) = 1
f ( f ( x) ) = 0 ⇔ 
.
 f ( x ) = x0 ( x0 < −1)
- Phương trình: f ( x ) = 1 có 3 nghiệm thực.
- Phương trình: f ( x ) = x0 ( x0 < −1) có 1 nghiệm thực.

Dễ thấy 4 nghiệm trên phân biệt. Vậy phương trình f ( f ( x ) ) = 0 có 4 nghiệm thực
phân biệt.
2
Câu 27: Phương trình f − x + 4 x − 3 − 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm thực phân
biệt?
Dựa vào BBT hàm số y = f ( x ) tha thấy:

(

)

 − x 2 + 4 x − 3 = x1 ( x1 > 1) ( 1)


f ( − x 2 + 4 x − 3) = 2 ⇔  − x 2 + 4 x − 3 = x2 ( −1 < x2 < 1) ( 2 )
 2
 − x + 4 x − 3 = x3 ( x3 < −1) ( 3)
2
BBT hàm số g ( x ) = − x + 4 x − 3 :

Dựa vào BBT, suy ra: phương trình ( 1) vô nghiệm. Phương trình ( 2 ) , ( 3) đều có 2

(

)

2
nghiệm phân biệt. Vậy phương trình f − x + 4 x − 3 − 2 = 0 có 4 nghiệm thực
phân biệt.

Các câu từ 25-35 tác giả lấy ý tưởng từ nguồn tham khảo số [I]

14


Bình luận: Phát triển của bài toán trên: Tìm điều kiện của tham số thực m để
2
2
phương trình f − x + 4 x − 3 − m + 3m = 0 có 2; 3; 4 nghiệm thực phân biệt
(đây xem như bài tập về nhà cho học sinh suy nghĩ).
Câu 28: Nếu f ( x ) là hàm số đa thức bậc 3 . Hãy giải phương trình f ( 2 sinx ) = 1 .

(

)

3
2
*) Gọi: f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 ) . Ta có hệ:

 f ( −1) = 4, f ( 1) = 0
a = 1, b = 0
⇔
⇒ f ( x ) = x 3 − 3x + 2 .


c = −3, d = 2
 f ′ ( −1) = 0, f ′ ( 1) = 0
π
2π

x
=
+
k
 18
1
3
3
( k ∈ Z) .
* f ( 2 sinx ) = 1 ⇔ −2 ( 3sinx − 4sin x ) = −1 ⇔ sin3x = ⇔ 
5
π
2

π
2
x =
+k

18
3
IV. NHÓM CÂU HỎI VỀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN
1
Câu 29: Đồ thị hàm số y =
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận (đứng và
f ( x)
ngang) ?
1
= 0 ⇒ TCN: y = 0 .
- Do: xlim
→±∞ f ( x )

x =1
⇒ TCĐ: x = 1; x = x0 .
- Do phương trình : f ( x ) = 0 ⇔ 
x
=
x
x
<
−
1
(
)

0
0

1
Vậy đồ thị hàm số y =
có tất cả 3 đường tiệm cận (đứng và ngang).
f ( x)
1
Câu 30: Đồ thị hàm số y =
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận (đứng
f ( 3 − x) − 2
và ngang) ?
1
= 0 ⇒ TCN: y = 0 .
- Do: xlim
→±∞ f ( 3 − x ) − 2
3 − x = x1 ( x1 > 1)
 x = 3 − x1


- Do phương trình: f ( 3 − x ) = 2 ⇔ 3 − x = x2 ( −1 < x2 < 1) ⇒  x = 3 − x2 .
 3 − x = x x < −1
 x = 3 − x3
)
3( 3

⇒ TCĐ: x = 3 − x1; x = 3 − x2 ; x = 3 − x3 .

Các câu từ 25-35 tác giả lấy ý tưởng từ nguồn tham khảo số [I]

15


Vậy đồ thị hàm số y =

1
có tất cả 4 đường tiệm cận (đứng và ngang).
f ( 3 − x) − 2

x3 + x 2 − x − 1
Câu 31: Nếu f ( x ) là hàm số đa thức bậc 3 , thì đồ thị hàm số y = 2
f ( x) − 4 f ( x)
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) . Ta thấy:

 x = −1
*) f ( x ) = 4 ⇔ 
( x = −1 là nghiệm kép)
x
=
x
x
>
1
(
)
1
1

2

⇒ f ( x ) − 4 = a ( x + 1) ( x − x1 ) ( a là hệ số của x3 trong hàm số f ( x ) ).
x =1
*) f ( x ) = 0 ⇔ 
( x = 1 là nghiệm kép).
x
=
x
x
<
−
1
(
)
2
2

⇒ f ( x ) = a ( x − 1)

2

( x − x2 )

( a là hệ số của x3 trong hàm số f ( x ) ).

x3 + x 2 − x − 1
( x + 1) ( x − 1)
=
*) Suy ra: y = 2
f ( x ) − 4 f ( x ) f ( x )  f ( x ) − 4 
2

( x + 1) ( x − 1)
= 2
2
2
a ( x + 1) ( x − x1 ) ( x − 1) ( x − x2 )
2

=

1
.
a ( x − x1 ) ( x − 1) ( x − x2 )
2

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận đứng: x = x1; x = 1; x = x2 .
Câu 32: Nếu f ( x ) là hàm số đa thức bậc 3 , thì đồ thị hàm số

y=

( x + 1)

f ( x)

2

(x

2

− 4 x + 3)

có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận (đứng và ngang) ?

x =1
*) Do: f ( x ) = 0 ⇔ 
( x = 1 là nghiệm kép) .
x
=
x
x
<
−
1
(
)
0
0

2
⇒ f ( x ) = a ( x − x0 ) ( x − 1) ( a là hệ số của x3 trong hàm số f ( x ) , a > 0 ).
*) TXĐ: D = [ x0 ; +∞ ) \ { ±1;3} .

Các câu từ 25-35 tác giả lấy ý tưởng từ nguồn tham khảo số [I]

16


Ta có: y =

Do: lim

x →+∞

( x + 1)

f ( x)

2

(x

2

− 4 x + 3)

a ( x − x0 ) ( x − 1)

=

a ( x − x0 ) ( x − 1)

( x + 1) ( x − 1) ( x − 3)
2

a ( x − x0 )

2

( x + 1) ( x − 1) ( x − 3)

2

2

= lim

x →+∞

( x + 1) ( x − 3)
2

= 0 ⇒ TCN: y = 0 .

Dễ thấy các đường TCĐ: x = −1; x = 3 .
Vậy đồ thị hàm số y =

( x + 1)

f ( x)

2

(x

2

− 4 x + 3)

có tất cả 3 đường tiệm cận (đứng và

ngang).
V. NHÓM CÂU HỎI VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
Câu 33: Gọi M , m lần lượt là GTLN, NN của hàm số y = f ( sinx ) . Tính tổng
M + m.
Đặt t = sinx, t ∈ [ −1;1] .
Ta có: Maxf ( sinx ) = Max f ( t ) = 4 khi t = −1 ( sinx = −1) .
[ −1;1]

Minf ( sinx ) = Min f ( t ) = 0 khi t = 1 ( sinx = 1) .
[ −1;1]

⇒ M + m = 4.
4
4
Câu 34: Tìm GTLN của hàm số y = f ( 2sin x + 2cos x − 3) .
4
4
2
Đặt: t = 2sin x + 2cos x − 3 = −1 − sin 2 x, t ∈ [ −2; −1] .
Ta có: Maxy = Max f ( t ) = 4 khi t = −1 ( sin 2 x = 0 ) .

[ −2;−1]

 4x 
Câu 35: Tìm GTNN của hàm số y = f  2 ÷ trên đoạn [ 0; 2] .
 x +1

4x
, x∈ [ 0;2] . Lập bảng biến thiên ⇒ t ∈ [ 0;2] .
x2 + 1

y = Min f ( t ) = 0 khi t = 1 x = 2 ± 3 .
Ta có: Min
[ 0;2]
[ 0;2]

Đặt: t =

(

)

Câu 36: Nếu f ( x ) là hàm số đa thức bậc 3 . Hãy tìm số giá trị của tham số thực
m để GTLN của hàm số y = f ( x ) + m trên [ −3;3] bằng 30.
3
Theo trên (câu 28) ta đã tìm được: f ( x ) = x − 3 x + 2 .

3
*) Xét: h ( x ) = f ( x ) + m = x − 3x + 2 + m, ∀x∈ [ −3;3]

Câu 36 tác giả lấy ý tưởng từ nguồn tham khảo số [II]

17


Đựa vào BBT của hàm số f ( x ) ta suy ra BBT của hàm số h ( x ) trên đoạn [ −3;3]
như sau:

⇒ h ( x ) ∈ [ m − 16; m + 20] .

⇒ Max y = Max h ( x ) = Max { m − 16 , m + 20 } .

[ −3;3]
[ −3;3]
*) Nếu: m − 16 < m + 20 thì:
 m = 10 ( tm )
Max y = 30 ⇔ m + 20 = 30 ⇔ 
[ −3;3]
 m = −50 ( l )
*) Nếu: m − 16 ≥ m + 20 thì:
 m = 46 ( l )
Max y = 30 ⇔ m − 16 = 30 ⇔ 
.
[ −3;3]
 m = −14 ( tm )
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.
Câu 37: Nếu f ( x ) là hàm số đa thức bậc 3 . Hãy tìm điều kiện của tham số thực
m để GTLN của hàm số y = f ( x ) + m trên [ −3;3] nhỏ hơn 30.

y = Max { m − 16 , m + 20 } .
*) Theo câu trên, ta có: Max
[ −3;3]

 m − 16 < 30
 m∈ ( −14;46 )
Max
y
<
30
⇔
⇔
Do đó:



[ −3;3]
 m + 20 < 30  m∈ ( −50;10 )
⇔ m∈ ( −14;10 ) .
 m − 16 > 30
Bình luận: Max y > 30 ⇔ 
.
[ −3;3]
 m + 20 > 30
Câu 38: Nếu f ( x ) là hàm số đa thức bậc 3 . Hãy tìm số giá trị nguyên của tham số
thực m để GTNN của hàm số y = f ( x ) + m trên [ −3;3] nhỏ hơn 30.
*) Ta đã biết biết: h ( x ) = f ( x ) + m ∈ [ m − 16; m + 20]
*) Nếu: m − 16 ≤ 0 ≤ m + 20 ⇔ −20 ≤ m ≤ 16 .

Câu 37 tác giả lấy ý tưởng từ nguồn tham khảo số [I]

18


y = Min h ( x ) = 0 < 30 . Nên trường hợp này có 37 giá trị nguyên của
thì: Min
[ −3;3]
[ −3;3]
m thỏa mãn.
*) Nếu: m − 16 < m + 20 < 0 ⇔ m < −20 thì Min y = Min h ( x ) = m + 20 .
[ −3;3]

[ −3;3]

y < 30 ⇔ m + 20 < 30 ⇔ −50 < m < 10 .
Ta có: Min
[ −3;3]

Đối chiếu điều kiện đang xét ⇒ −50 < m < −20 . Nên trường hợp này có 29 giá
trị nguyên của m thỏa mãn.
*) Nếu: 0 < m − 16 < m + 20 ⇔ m > 16 thì Min y = Min h ( x ) = m − 16
[ −3;3]

[ −3;3]

Min y < 30 ⇔ m − 16 < 30 ⇔ −14 < m < 46 .
[ −3;3]

Đối chiếu điều kiện đang xét ⇒ 16 < m < 46 . Nên trường hợp này có 29 giá
trị nguyên của m thỏa mãn.
Vậy có tất cả 95 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bình luận: Khi biết cụ thể hàm số ta lại có nhiều câu hỏi khác nhau nữa có thể khai
thác. Tới đây tôi xin kết thúc bài viết.
2.4. Hiệu quả của SKKN.
- Học sinh cảm thấy hứng thú hơn trong các tiết học ôn tập, biết được các câu
hỏi tuy rất đa dạng nhưng thường xuất phát từ một bản chất hoặc một bài toán gốc
nào đó mà có thể các em đã biết, từ đó các em có thể sáng tạo ra các câu hỏi khác
nhau cho cùng một giả thiết. Các em cảm thấy tự tin và chủ động hơn khi tiếp cận
các câu hỏi. Đặc biệt là thu hút được cả đối với những học sinh có học lực yếu với
những câu hỏi từ mức độ nhận biết mà các em có thể tự đặt được đến các câu hỏi
khó hơn, nâng dần mức độ để phù hợp với những học sinh có lực học khá, giỏi.
Điều đó được minh chứng rõ nét khi tôi ra bài kiểm tra cho 2 lớp khối 12 mà tôi
trực tiếp giảng dạy, lực học của học sinh ở hai lớp là tương đương nhau nên tôi ra
cùng một đề, và tất nhiên đảm bảo tính khách quan. Nội dung kiểm tra chỉ ở

chương 1 khi cả hai lớp đều đã ôn tập xong phần hàm số trong cùng một khoảng
thời gian. Trong đó lớp 10A4 tôi cho các em ôn tập bình thường và ôn luyện đề về
phần hàm số, còn lớp 12A5 tôi tổng hợp theo phương pháp đã nêu trong SKKN.
Kết quả thu được có sự khác biệt rất rõ, được thể hiện trong bảng sau:
Lớp

Sĩ số

12A4
12A5

40
41

Tỉ lệ điểm
Giỏi
5%
12%

Khá
25%
37%

TB
57%
46%

Yếu
13%
5%

19


- Được đồng nghiệp đánh giá cao. Một số thầy, cô giáo trong trường dạy khối
12 đã áp dụng vào giảng dạy và thu được hiệu quả rất tích cực.
3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận: Bài viết trên đã thể hiện rất rõ ràng ý tưởng của tôi. Mong rằng nó là
một ý tưởng có ích cho các thầy, cô giáo trong việc soạn bài và dạy ôn tập cho học
sinh.
3.2. Kiến nghị:
- Đối với nhà trường:
Nhà trường tạo điều kiện về trang thiết bị dạy học, để giáo viên có điều kiện tìm
tòi và thực hiện các phương pháp dạy học mới.
- Đối với tổ, nhóm chuyên môn:
Tăng cường trao đổi chuyên môn, đặc biệt là các thành viên trong nhóm chuyên
môn tích cực chia sẻ các phương pháp dạy học, phương pháp giải bài tập mới,
hiệu quả để đồng nghiệp trao đổi, đánh giá, hoàn thiện hơn và vận dụng vào dạy
học.
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của mình viết, không sao chép nội
dung của người khác.
Người viết SKKN

Nguyễn Tư Tám

TÀI LIỆU THAM KHẢO
20


[I]. Đề thi thử của các trường THPT, của các sở GD&ĐT trong cả nước ở các năm
học 2016 – 2017 và 2017 – 2018.
[II]. Các đề minh họa, đề thi của BGD ở các năm học 2016 – 2017 và 2017 – 2018 .
----------------------------------------------------------------

21


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Nguyễn Tư Tám
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên toán tại trường THPT Yên Định 1.
TT

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá
xếp loại

1

Dạy học khám phá
vận dụng BĐT Côsi

Sở Giáo Dục &
Đào Tạo

Kết quả
đánh giá
xếp loại

Năm học
đánh giá
xếp loại

C

2016

22


PHỤ LỤC
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ \ { 1} , và có bảng biến thiên như hình vẽ
dưới đây:

1. Hãy chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị của hàm số
y = f ( x) .

2. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận (đứng và ngang) ?
3. Xác định số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và trục hoành.
4. Xét sự biến thiên của hàm số y = f ( 1 − 2 x ) .

(

)

2
5. Xét sự biến thiên của hàm số y = f 2 − x .

6. Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị ?

7. Hàm số y = f ( x ) − 3 có bao nhiêu điểm cực trị ?

(

)

2
8. Xét sự biến thiên của hàm số y = f 2 − x − 1 .

(

)

2
9. Tìm điều kiện của tham số thực m để hàm số y = f x + 2 x + m có đúng 3
điểm cực trị ?

10. Hàm số y =  f ( x ) − 3 có bao nhiêu điểm cực trị ?
2
11. Tìm điều kiện của tham số thực m để hàm số y = f ( x ) − 6 f ( x ) + m có đúng

8 điểm cực trị ?
2
12. Phương trình f x − 4 x + 6 − 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ?
4

(

(

)

)

2
13. Tìm m để phương trình f x − 4 x + m − 3 = 0 có 4 nghiệm thực phân biệt ?

14. Đồ thị hàm số y =

1
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận (đứng và ngang) ?
f ( x)
1


15. Đồ thị hàm số y =

1
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận
f 2 ( x) − 4 f ( x) + 3

(đứng và ngang) ?
Câu 2: [Sở GD & ĐT Hà Tỉnh – 2018]
Cho đồ thị hàm bậc ba y = f ( x ) như hình vẽ. Hỏi đồ thị
hàm số

(x
y=

2

+ 4x + 3

)

x2 + x

có bao nhiêu đường
x  f 2 ( x ) − 2 f ( x ) 
tiệm cận đứng ?
A. 2.
B. 4.
C. 6.
D. 3.
Câu 3: [Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai -Sóc Trăng-Lần 2-2018]
5
3
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = 3 x − 25 x + 60 x + m có

7 điểm cực trị?
A. 42 .

B. 21 .

C. 40 .

D. 20 .

Câu 4: [Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai-Sóc Trăng-Lần 2-2018]
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm
3
2
số y = x − 3 x − 9 x + m trên đoạn [ −2;4] bằng 16 . Số phần tử của S là

A. 0 .

B. 2 .

D. 1.

C. 4 .

Câu 5: [Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai-Sóc Trăng-Lần 2-2018]
Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ
thị như hình bên. Hàm số y = f ( 3 − 2 x ) nghịch
biến trên khoảng nào dưới đây ?
A. ( −1; +∞ ) .
B. ( 0;2 ) .
C. ( −∞; −1) .

D. ( 1;3) .

y

x
-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

Câu 6: [Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 1 - 2018]
Cho hàm số đa thức bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

2