Một số phương pháp giúp học sinh lớp 12 vận dụng hình học vào bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun số phức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (516.52 KB, 26 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 12 VẬN
DỤNG HÌNH HỌC VÀO BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔĐUN SỐ PHỨC
Người thực hiện: Hồ Thanh Quý
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
1 NĂM 2019
THANH HOÁ
MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU …………………………………………………………………….1
1.1. Lí do chọn đề tài …………………………………………………………....1
1.2. Mục đích nghiên cứu .……………………………………………………....1
1.3. Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………….1
1.4. Phương pháp nghiên cứu...………………………………………………….1
1.5. Nhứng điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.................................................2
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.......…………………. ..2
2.1.Cơ sở lí luận ……..…………………………………………………………..2
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm..................4
2.3. Các giải pháp thực hiện……………..………………....................................5
2.3.1. Dạng 1. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về Môđun của số
phức khi Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng...................................7
2.3.2. Dạng 2. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về Môđun của số
phức khi quỹ tích điểm biểu diễn là một đường tròn..........................................10
2.3.3.Dạng 3. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về Môđun của số
phức khi quỹ tích điểm biểu diễn là một Elip.....................................................14
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường……………………………………….............16
2.4.1.Đối với hoạt động giáo dục………………………………………............16
2.4.2. Đối với bản thân…………………………................................……........17
2.4.3. Đối với đồng nghiệp, tổ nhóm chuyên môn…………...................…...…17
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ……………………. . ………………. .........17
3.1. Kết luận…………………………………………........................................17
3.2. Kiến nghị…………………………..............................................................18
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...............................................................................19
2
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nh ỏ nh ất về Môđun c ủa s ố ph ức là
dạng toán phổ biến và quan trọng trong chương trình phổ thông và trong
các kỳ thi THPT Quốc Gia cũng như các kỳ thi học sinh giỏi. Có nhiều
phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất như sử dụng ph ương
pháp hàm số, bất đẳng thức. Nhưng vấn đề đó là đối v ới h ọc sinh ph ổ
thông hiện nay là khó, học sinh lung túng khi nhận d ạng và ch ọn đ ược
phương pháp thích hợp để giải.
Với mục đích là hình thành và phát triển tư duy toán học cho h ọc sinh,
giúp cho học sinh yêu thích và đam mê môn toán, hình thành cho h ọc sinh
vốn kiến thức, kỹ năng làm bài, khả nhận dạng và t ự vận dụng ki ến th ức
vào các bài toán cụ thể, và vận dụng vào th ực tiễn. Vì v ậy c ần thi ết ph ải
tìm ra phương pháp xây dựng các dạng toán sao cho nhanh g ọn, d ễ hi ểu đ ể
truyền đạt cho học sinh là rất cần thiết trong dạy học.
Việc dùng công cụ hình học vào giải quyết các bài toán đại số là một
cách nhìn rất mới mẻ với học sinh THPT. Mối quan hệ giữa đại số và hình
học là một vấn đề rất thú vị. Nếu biết chọn một phương pháp phù h ợp ta
có thể chuyển một bài toán đại số sang hình học một cách đ ơn gi ản, làm
cho việc giải bài toán đại số trở nên nhanh gọn và dễ hiểu hơn. Với nh ững
lí do trên, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương
pháp giúp học sinh lớp 12 vận dụng hình học vào bài toán tìm giá tr ị
lớn nhất, nhỏ nhất của Môđun số phức”
1.2. Mục đích nghiên cứu
Với đề tài này hy vọng góp phần nâng cao chất lượng học t ập, phát
triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong quá trình gi ải bài toán tìm giá tr ị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về Môđun của số phức bằng ph ương pháp hình
học, giúp các em đỡ lúng túng và tự tin khi đứng trước nh ững bài toán này.
Hy vọng đề tài sẽ là tài liệu cho học sinh và giáo viên ôn tập trong các kì thi
THPT quốc gia, và các kì thi học sinh giỏi, góp phần nâng cao ch ất l ượng
dạy và học trong các trường THPT hiện nay.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Nội dung chính của đề tài là phân dạng và chuy ển bài toán đại số
theo quan điểm hình học. Từ đó hệ thống bài tập theo mức độ khó tăng
dần nhằm cung cấp cho học sinh cách ứng dụng phương pháp hình vào xác
định tọa độ điểm và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về Môđun của số
phức, qua đó phát huy tính tư duy sáng tạo, tự học cho h ọc sinh.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận: Qua sách giáo khoa, sách tham kh ảo, m ột s ố tài
liệu liên quan khác…
3
- Phương pháp quan sát: Khảo sát quá trình dạy và học tại tr ường
THPT Tĩnh Gia 4.
- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy thực nghiệm, cho
kiểm tra thử với lớp đối chứng.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Theo tôi được biết, cũng đã có những đề tài sáng kiến kinh nghi ệm
viết về các bài toán liên quan đến số phức. Nhưng theo quan đi ểm c ủa cá
nhân tôi trong quá trình đổi mới hình thức thi THPT Quốc gia đối v ới môn
toán thì đề tài của tôi là một quan điểm mới v ề cách th ức làm bài c ụ th ể,
sáng kiến kinh nghiệm này cũng đã trình bày m ột cách có h ệ th ống, phân
dạng và có phương pháp làm cụ thể đối với từng dạng. Nó cũng sẽ giúp h ọc
sinh có cách nhìn bài toán bằng phương pháp m ới so v ới ph ương pháp t ự
luận để có thể làm bài nhanh hơn.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
• Môđun của số phức.
Số phức z = a + b i
(a, b∈ ¡ )
phẳng Oxy. Độ dài của véctơ
Kí hiệu
được biểu diễn bởi điểm
uuuu
r
OM
M ( a, b)
trên mặt
được gọi là môđun của số phức z.
| z |=| a + bi |= a 2 + b 2
• Tính chất.
| z |≥ 0, ∀z ∈ £ ,| z |= 0 ⇔ z = 0.
uuuu
r
| z |= a 2 + b 2 = zz = | OM | .
z ×z ′ =| z | ×| z | .
| kz |=| k | ×| z |, k ∈ ¡ .
z |z| ′
= ′ ,( z ≠ 0) .
z′
z
z − z' ≤ z + z' ≤ z + z' .
z 2 = a 2 − b 2 + 2abi =
+) Chú ý:
(a
2
− b 2 ) + 4a 2b 2 = a 2 + b 2 =| z |2 =| z |2 = z.z
2
+) Điểm M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức
z1 − z2 = MN
4
z1 , z2
thì khi đó
(
)
(
mz1 + nz2 = ( mz1 + nz2 ) mz1 + nz2 = m 2 z1 + n 2 z2 + mn z1 z2 + z1 ×z2
2
+)
2
2
• Suy ra hệ quả.
+)
+)
2
2
2
2
2
2
z1 + z2 = z1 + z2 + z1 ×z2 + .z1 ×z 2
z1 + z2 = z1 + z2 − z1 ×z2 + z1 ×z
2
2
2
z1 + z2 + z1 − z2 = 2 z1 + 2 z2
2
+)
2
z + z1 + z + z2
2
+)
2
2
z1 + z2
z1 − z2
= 2 z +
+
2
2
• Lưu ý:
+)
+)
+)
z1 + z2 ≤ z1 + z2
z1 − z2 ≤ z1 + z2
dấu bằng xảy ra
dấu bằng xảy ra
z1 + z2 ≥ z1 | − | z2
dấu bằng xảy ra
+)
(
2
2
z1 + z2 + z1 − z2 = 2 z1 + z2
| z |2 =| z || z |=| z |2
⇔ z1 = kz2 (k ≤ 0).
dấu bằng xảy ra
z1 − z2 ≥ z1 | − | z2
2
⇔ z1 = kz2 (k ≥ 0).
2
⇔ z1 = kz2 (k ≤ 0).
⇔ z1 = kz 2 (k ≥ 0).
).
∀z ∈ £ .
• Một số quỹ tích.
Biểu thức liên hệ
ax + by + c = 0 (1)
| z − a − bi | = | z − c − di | (2)
Quỹ tích điểm M
∆ : ax + by + c = 0
(1) Đường thẳng
(2) Đường trung trực đoạn với
5
)
( A( a, b), B(c, d ))
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R 2
hoặc
Đường tròn tâm , bán kính
| z − a − bi | = R
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 ≤ R 2
hoặc
Hình tròn tâm , bán kính
| z − a − bi | ≤ R
( x + a)2 ( y + c)2
+
= 1 (1)
b2
d2
hoặc
z − a1 − b1i + z − a2 − b2i = 2a (2)
(1) Elip
(2) Elip nếu
2a > AB, A ( a1 , b1 ) , B ( a2 , b2 )
2a = AB
Đoạn thẳng nếu
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghi ệm
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là m ột v ấn đ ề khó khăn
với nhiều học sinh.Nhưng nếu chúng ta biết nhìn bài toán d ưới góc độ hình
học thì việc giải sẽ đơn giản hơn. Tuy nhiên trên th ực tế, học sinh còn
những hạn chế và thường gặp những khó khăn sau:
+ Kiến thức hình học còn yếu, vì thế nhiều học sinh có tâm lí ng ại
học phần này.
+ Khả năng phân tích, tổng hợp kiến th ức chưa tốt.
+ Kĩ năng biến đổi, phân loại các dạng toán và tìm m ối liên hệ gi ữa
các dạng toán chưa tốt.
Kết quả khảo sát chất lượng học sinh lớp 12 trường THPT Tĩnh Gia 4
cho thấy chỉ có một số học sinh làm tốt, còn lại một bộ phận h ọc sinh làm
nhưng không đúng và thường bị mất điểm ở những bài tập này.
Từ những vấn đề trên tôi áp dụng sáng kiến vào th ực t ế gi ảng d ạy và
từng bước thu được kết quả tốt trong năm qua.
2.3. Giải pháp giải quyết vấn đề
Với các dạng bài tập này ch ỉ cần gắn đ ược đi ểm bi ểu di ễn hình h ọc
của số phức với một đường thẳng, đường tròn, hoặc elip, có ph ương trình
phù hợp là bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Sau đây là m ột s ố
bài tập minh họa cho phương pháp này. Hi vọng thông qua các bài t ập này
các em có thể áp dụng để giải những bài tập tương tự.
• Vận dụng kết quả của một số bài toán sau.
Bài toán 1.
Trong mặt phăng 0xy cho điểm I, đường thẳng , điểm M
thay đổi trên d. Khi đó giá trị nhỏ nhất của IM là?
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên đường
thẳng d, khi đó giá trị nhỏ nhất của IM là IH.
Bài toán 2.
6
Trong mặt phăng 0xy cho đoạn thẳng AB, và điểm I không nằm trên AB.
Điểm M thay đổi trên AB. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất c ủa đo ạn th ẳng
MI là?
Khi đó:
+) Nếu tam giác ABI có IAB tù hoặc ABI tù thì.
MI min = Min {IA;IB}
MI max = Max {IA;IB}
+ Nếu tam giác ABI có IAB và IBA đều không tù:
MI min = d(I;AB)
MI max = Max {IA; IB }
Bài toán 3.
Cho đường tròn (C) tâm (O, R),
và điểm I.
Điểm M thay đổi trên (C).
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của đoạn thẳng MI là?
MI min = | OI − R | .
MI max = OI + R.
Bài toán 4.
Cho hai điểm A, B. Gọi O là trung điểm AB.
Một điểm M thay đổi trên elip (E) cố định có tiêu điểm
là A và B.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng
OM? Khi đó (E) có trục lớn 2a, trục nhỏ là 2b.
Nên giá trị lớn nhất của OM bằng a, giá trị nhỏ nất của OM bằng b.
7
Bài toán 5.
Cho đường thẳng d, và 2 điểm A, B không nằm trên d. Một điểm M thay đ ổi
trên d. Tìm giá trị nhỏ nhất của P, biết
P = ( MA + MB ).
+ TH1: Nếu A, B thuộc hai nửa mặt phẳng
khác nhau bờ là d. Khi đó giá trị nhỏ nhất của P
là độ dài đoạn thẳng AB khi M = AB ∩ d.
+ TH2: A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ
là đường thẳng d.
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d, khi đó giá tr ị nh ỏ nh ất
của P là độ dài đoạn thẳng A’B khi M là giao điểm của AB' v ới d.
Bài toán 6.
Cho đường tròn (C) và đường thẳng d. Một điểm M
thay đổi trên (C), và một điểm N thay đổi trên d.
Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng MN ?
MN min =| R − d ( I ; d ) | khi (M ≡ K , N ≡ H
).
Bài toán 7.
C1
C2
Cho hai đường tròn ( ) và ( ). điểm M chạy
C1
C2
trên ( ) điểm N chạy trên ( ).
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của đoạn
thẳng MN ?
C1
C2
+ TH1 ( ) và ( ) cắt nhau:
MN Min
MN Max R 1 + R 2 + I1I 2
= 0,
=
+ TH2 (
MN Max
MN Max
C1
=
=
)và (
C2
) ngoài nhau:
I1I 2 − R 1 + R 2 .
R 1 + R 2 + I1I 2 .
8
+ TH3: (
C1
) và (
C2
) đựng nhau:
MN min = R1 − R2 ,
MN max = R 1 + R 2 + I1I 2 .
• Phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nh ỏ nhất của
Môđun số phưc bằng hình học.
Bước 1: Từ điều kiện số phức z cho trước đưa ra biểu diễn hình học của số
phức z.
Bước 2: Chuyển yêu cầu dạng đại số sang tìm cực trị hình học của điểm
biểu diễn hình học của z .
Bước 3: Sử dụng kiến thức hình học để giải quyết bài toán (các bổ đề trên)
2.3.1. Dạng 1: Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nh ỏ nh ất c ủa
môđun số phức khi Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng
| z + i + 1|=| z − 2i |
Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
z.
A.
1
10
.
B.
10
.
C.
1
10
1
5
.
D. .
Hướng dẫn :
M ( x; y )
Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm
là điểm biểu
z = x + yi (x, y ∈ ¡ )
diễn hình học của số phức
, khi đó
| z |= OM .
Ta có
| z + i + 1| = | z − 2i |
⇔ | x + 1 + ( y + 1)i | = | x + (y − 2)i |
⇔ ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 = x 2 + (y− 2) 2
⇔ x + 3y −1 = 0
Vậy điểm M thuộc đường thẳng (d):
x + 3y −1 = 0
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O lên đường thẳng d.
9
z
Gi
á trị nhỏ nhất của
⇒ OH = d (O; d ) =
bằng độ dài OH.
1
.
10
Chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn
của
| z − 2 + 3i |=| z + 1 + 2i |
. Tìm giá trị nhỏ nhất
z −3+i .
34
17
A.
.
B.
34
.
Hướng dẫn :
3 34
17
C.
.
D.
3
17
.
M ( x; y)
Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm
là điểm biểu diễn hình học của số
z = x + yi (x, y ∈ ¡ )
| z |= OM .
phức
, khi đó
Ta có:
| z − 2 + 3i | = | z + 1 + 2i | ⇔ | x − 2 + ( y + 3)i | = | x + 1 + (2 − y )i |
⇔ ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = ( x + 1) 2 + (2 − y ) 2 ⇔ 3 x − 5 y − 8 = 0.
Vậy điểm M thuộc đường thẳng (d):
Gọi
I (3; −1)
Khi đó
3x − 5 y − 8 = 0
| z − 3 + i |= ( x − 3) 2 + ( y + 1) 2 = IM .
thì
| z −3+i|
nhỏ nhất ⇔ IM nhỏ nhất
⇔ IM = d ( I ; d ) =
3 34
.
17
Vậy giá trị nhỏ nhất của
z −3+ i
bằng
3 34
17
Chọn đáp án C.
10
.
.
Ví dụ 3: Xét số phức
và
z = x + yi ( x, y ∈ ¡ )
z + 1 − i + z − 2 + 3i
P=−
A.
252
50
thỏa mãn điều kiện
đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị
P=−
.
z = z + 4 − 3i
B.
41
5
P=−
.
C.
61
10
P = x + 2y
P=−
.
D.
là:
18
5
.
Hướng dẫn:
M ( x; y )
Trong mặt phẳng Oxy, điểm
là điểm biểu diễn hình học của số
phức
z = x + yi (x, y ∈¡ )
| z |= OM .
, khi đó
z = z + 4 − 3i
Ta có:
⇔ x 2 + y 2 = ( x + 4 ) + ( y + 3)
2
2
⇔ 8 x + 6 y + 25 = 0
Vậy điểm M thuộc đường thẳng
(d):
8 x + 6 y + 25 = 0
.
P = z + 1 − i + z − 2 + 3i ⇔ P =
( x + 1)
2
+ ( y − 1) +
2
( x − 2)
Đặt
Gọi
A ( 2; −3)
B ( −1;1)
Khi đó
thì
thì
z − 2 + 3i = ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = MA.
z + 1 − i = ( x + 1) 2 + ( y − 1)2 = MB.
P = MA + MB
Như vậy ta cần tìm
Đặt
.
M ∈d
sao cho
P = MA + MB
f ( x, y) = 8 x + 6 y + 25
11
nhỏ nhất.
2
+ ( y + 3)
2
f (−1;1) f (2; −3)
A
B
Ta có
.
> 0 nên và nằm về một phía với đường thẳng d.
Gọi
A'
là điểm đối xứng của
⇒ MA + MB
Ta có
nhỏ nhất là
AA' ⊥ d
và đi qua
6 x − 8 y − 36 = 0
Gọi
I = AA' ∩ d
A' B
A
qua d, ta có
M = A' B ∩ d
khi
A ( 2; −3)
MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B
.
nên đường thẳng AA' có phương trình là:
.
I
ta có tọa độ của
4
x
=
25
⇔
8 x + 6 y + 25 = 0
y = − 219
50
6 x − 8 y − 36 = 0
là nghiệm của hệ:
4 219
I ;−
÷
25 50
hay
.
I là trung điểm của AA' nên tọa độ điểm A' là:
−42
x
=
A
'
x A ' = 2 xI − x A
25
⇔
yA' = 2 yI − y A
y = −144
A '
25
hay
uuuu
r 17 −169 −1
A' B = − ;
÷ = ( 17;169 )
25 25 25
Tọa độ của
M
Vậy
. Phương trình
là nghiệm của hệ:
P = x + 2y =
−61
10
−42 −144
A '
;
÷
25 25
.
A ' B :169 x − 17 y + 186 = 0
−67
x
=
169 x − 17 y + 186 = 0
50
⇔
8 x + 6 y + 25 = 0
y = −119
50
.
Chọn đáp án C.
Bài tập vận dụng.
12
.
.
Bài 1: Nếu
z
z −i + z −4
A.
2
z = z + 2i
là số phức thỏa
thì giá trị nhỏ nhất của
là
.
3
B.
.
4
C.
5
.
D. .
Chọn đáp án D.
z
Bài 2: Cho số phức
| z − 1 − i | + | z − 3 − 2i |= 5
thỏa mãn
z
lượt là giá trị lớn nhất, giái trị nhỏ nhất của
13 + 2.
A.
Chọn đáp án A.
B.
5 + 2.
, tính
M +m
13 + 5.
C.
. Gọi
M ,m
lần
.
13 + 2 5.
D.
M ( x; y )
z1 = 1 + 3i, z2 = −5 − 3i
Bài 3: Cho các số phức
. Tìm điểm
biểu diễn
số
z3
M
phức , biết rằng trong mặt phẳng phức điểm
nằm trên đường thẳng
x − 2y +1= 0
và môđun số phức
3 1
M − ;− ÷
5 5
A.
.
B.
w = 3z3 − z2 − 2 z1
3 1
M ; − ÷.
5 5
đạt giá trị nhỏ nhất là.
3 1
M ; ÷
5 5
C.
.
D.
3 1
M − ; ÷
5 5
.
Chọn đáp án D.
z 2 + 4 =| z ( z + 2i ) |
Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn:
| z +i|
của
.
A.1.
B. 2.
. Tìm giá trị nhỏ nhất
C.
4
.
D. 3.
Chọn đáp án B.
Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn:
z
giá trị nhỏ nhất của
.
A. 3.
B.
2
.
u = ( z + 3 − i)( z + 1 + 3i)
C.
4
13
.
D.
là một số thực. Tìm
2 2
.
Chọn đáp án D.
2.3.2. Dạng 2: Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
môdun số phức khi quỹ tích điểm biểu diễn là một đường tròn
| z − 3 + 4i |= 4
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
.Tìm giá trị nhỏ
z
m
M
nhất , giá trị lớn nhất
của .
m = 1; M = 9
m = 4; M = 9
m = 1; M = 5
m = 4; M = 5
A.
. B.
.
C.
. D.
Hướng dẫn:
M ( x; y )
Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm
là điểm biểu diễn hình học của số
z = x + yi (x, y ∈ ¡ )
| z |= OM .
phức
, khi đó
Ta có
| z − 3 + 4i |= 4 ⇔ ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 16.
Vậy điểm M thuộc đường tròn (C) tâm I(3; -4) bán kính
⇒ | z |Min = OM Min =| OI − R |= 5 − 4 = 1.
R = 4.
| z |Max = OM Max = OI + R = 5 + 4 = 9.
Chọn đáp án A
| z − 3 + 4i | +1
log 1
÷= 1
2
|
z
−
3
+
4
i
|
+
8
3
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
z
m
M
giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất
của .
m = 0; M = 5
m = 4; M = 5
m = 1; M = 10
A.
B.
C.
Hướng dẫn:
M ( x; y )
D.
. Tìm
m = 0; M = 10
.
Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm
là điểm biểu diễn hình học của số
z = x + yi (x, y ∈ ¡ )
| z |= OM .
phức
, khi đó
Ta có
| z − 3 + 4i | +1
| z − 3 + 4i | +1 1
log 1
=1⇔
=
÷
2 | z − 3 + 4i | +8 3
3 2 | z − 3 + 4i | +8
⇔ | z − 3 + 4i |= 5.
14
⇔ ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 52
Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm
R = 5.
kính
I (3, −4)
bán
OI = (3 − 0) 2 + ( −4 − 0) 2 = 5
Ta có:
⇒ m =| OI − R |= 5 − 5 = 0.
M = OI + R = 5 + 5 = 10.
⇒ m = 0, M = 10.
Chọn đáp án D.
Ví dụ 3: Xét các số phức thỏa mãn
z − 2 + 3i = 1
. Giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ
nhất của biểu thức
A.
13 + 2
C. 6 và 4.
và
P = z +1+ i
13 − 2
lần lượt là.
.
B.
D.
13 + 1
13 + 4
và
Hướng dẫn:
M ( x; y )
Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm
là
điểm biểu diễn hình học của số phức
z = x + yi (x, y ∈¡ )
| z |= OM .
, khi đó
Ta có
| z − 2 + 3i |= 1 ⇔ ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = 1.
I1
M thuộc đường tròn (C) tâm (2; -3) bán
R = 1.
kính
Quỹ tích điểm M là đường
2
2
( x − 2 ) + ( y + 3) = 1
tròn :
15
và
13 − 1
13 − 4
.
.
Quỹ tích điểm biểu diễn hình học của số phức
2
2
( x − 2 ) + ( y − 3) = 1
z
thuộc đường tròn tâm
I ( 2;3)
bán kính
z
là đường tròn:
R' =1
A ( −1;1) P = z + 1 + i = ( x + 1) 2 + ( y − 1) 2 = MA M
z
Gọi
,
là điểm biểu
AI = (2 + 1)2 + (3 − 1)2 = 13
Ta có:
Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng
Chọn đáp án B.
Ví dụ 4: Xét các số phức
thỏa mãn
w = z (1+ i)
, gọ i
z
thỏa mãn
w1
và
w2
AM 2 = AI + R ' = 13 + 1
AM 2 = AI − R′ = 13 − 1.
z − 2 − 4i = 5
. Trong các số phức
w
lần lượt là số phức có môđun nhỏ nhất
và
môđun lớn nhất. Khi đó
A.
−2 + 6i
.
w1 + w2
B.
2 + 4i
bằng.
.
C.
−4 + 12i
.
D.
4 + 8i
.
Hướng dẫn:
M ( x; y )
Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm
là điểm biểu diễn hình học của số
z = x + yi (x, y ∈ ¡ )
| z |= OM .
phức
, khi đó
| z − 2 − 4i |= 5 ⇔ ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 5
Ta có
⇒ M thuộc đường tròn (C) tâm I(2; 4)
bán kính
R = 5.
w = z ( 1+ i) = 2 z
16
w
z
đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất khi
cũng đạt giá trị nhỏ nhất
và giá trị lớn nhất.
M1, M 2
Đường thẳng OI cắt đường tròn tại hai điểm
.
uur
OI (2;4)
Đường thẳng OI đi qua gốc tọa độ nhận
làm véctơ chỉ phương nên
−2 x + y = 0
có phương trình tổng quát là:
.
M 1, M 2
Tọa độ hai điểm
là nghiệm của hệ phương trình:
x = 1
y = 2
⇔
x = 3
−2 x + y = 0
2
2
(
x
−
2)
+
(
y
−
4)
=
0
y = 6
suy ra
M 1 (1,2)
và
M 2 (3,6)
z
Giá trị lớn nhất của
=
z
OM 2 ⇒ z2 = 3 + 6i.
OM 1 ⇒ z1 = 1 + 2i
Giá trị nhỏ nhất của =
⇒ w1 = ( 1 + i ) ( 1 + 2i ) w2 = ( 1 + i ) ( 3 + 6i )
,
⇒ w1 + w2 = −4 + 12i.
.
Chọn đáp án C.
Bài tập vận dụng.
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn
z
nhất và giá trị lớn nhất của .
A.6.
Chọn đáp án B.
B. 2
Bài 2: Cho số phức
mãn
z1
10
.
thỏa mãn
z + 2−i
= 2
z +1− i
. Tính tổng của giá trị nhỏ
C. 10.
( 1 + i ) z + 1 − 5i
17
D.
10
.
=2 2
và số phức
z2
thỏa
z + 1 + 2i = z + i
A.
61
2
. Tính tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
.
B.
41
2
.
61
4
C.
.
z1 − z2 .
41
.
4
D.
Chọn đáp án B
Bài 3: Cho hai số phức
P = z1 + z2
trị của
.
P=4 6
A.
.
Chọn đáp án C.
B.
z1 , z2
P= 6
z1 + z2 = 8 + 6i
thõa mãn
.
C.
P = 2 26
.
w +i =
và
D.
z1 − z2 = 2
. Tìm giá
P = 6 + 3 2.
3 5
5
5w = ( 2 + i ) ( z − 4 )
w z
Bài 4: Cho các số phức , thỏa mãn
và
.
P = z − 1 − 2i + z − 5 − 2i
Giá trị lớn nhất của biểu thức
bằng.
A.
6 7
. B.
4 + 2 13
.
C.
2 53
.
D.
4 13
.
Chọn đáp án C.
z
Bài 5: Cho số phức thõa mãn
2
2
P = z + 2 − i + z − 2 − 3i
thức
.
A.
18
.
B.
16 + 2 10.
z −1+ i = 2
C.
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
18 + 2 10.
D.
38 + 8 10
Chọn đáp án D.
Bài 6: Biết số phức
2
T = z + 2 − z −i
A.
z = 33.
z
thỏa mãn
z − 3 − 4i = 5
2
và biểu thức
z.
đạt giá trị lớn nhất. Tính
B.
z = 50.
C.
z = 10.
D.
z = 2 5.
Chọn đáp án D.
2.3.3. Dạng 3: Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
môđun số phức khi quỹ tích điểm biểu diễn là một Elip
18
.
Ví dụ 1: Cho số phức
z
thỏa mãn
z − 4 + z + 4 = 10
z
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
17
M +m=
M +m=8
2
A.
.
B.
.
. Tính
C.
. Gọi
M +m
M ,m
lần lượt là
?
M + m =1
.
D.
M +m=4
.
Hướng dẫn:
Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm
M ( x; y )
là điểm biểu diễn hình học của số phức
z = x + yi (x, y ∈ ¡ )
Ta có:
, khi đó
| z |= OM .
z − 4 + z + 4 = 10
⇔ | ( x − 4) + yi | + | ( x + 4) + yi |= 10
⇔
( x − 4) 2 + y 2 + ( x + 4)2 + y 2 = 10
(∗)
M ( x; y ) F1 ( 4;0 ) F2 ( −4;0 )
Gọi
,
,
lần lượt là các điểm biểu diễn hình học
z −4 4
của các số phức , , .
( x − 4) 2 + y 2 = MF1.
Suy ra
( x + 4) 2 + y 2 = MF2 .
Khi đó
nhỏ
(*) ⇔ MF1 + MF2 = 10 ⇒ M
2b = 2 25 − 16 = 6
. Mà
z = OM
chạy trên Elip có trục lớn
.
z
Do đó giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
⇒ M +m =8
2a = 10
.
19
là
M =a=5 m=b=3
;
, trục
Chọn đáp án B.
Ví dụ 2: Gọi
0xy
tọa độ
A.1.
H
là hình biểu diễn tập hợp các số phức
z
trong mặt phẳng
2z − z ≤ 3
sao cho
, giá trị lớn nhất của .
C. 3.
B. 2.
D. 4 .
M ( x; y )
Hướng dẫn: Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm
là điểm biểu diễn
z = x + yi (x, y ∈ ¡ )
| z |= OM .
hình học của số phức
, khi đó
2z − z ≤ 3
Ta có:
⇔ 2 ( x + yi ) − ( x − yi ) ≤ 3
⇔ x2 + 9 y 2 ≤ 3 ⇔ x2 + 9 y 2 ≤ 9
⇔
x2 y 2
+ ≤1
9
1
.
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức
có phương trình:
a = 3, b = 1
Elip có
.
x2 y 2
+
=1
9
1
Nên giá trị lớn nhất của
z
là miền trong, và nằm trên Elip
.
z =a=3
Chọn đáp án C.
Ví dụ 3: Cho số phức
z
z + 3i + z − 3i = 10
A, B
thỏa mãn
. Gọi
lần lượt là
z
điểm biểu diễn cho các số phức thỏa mãn điều kiện trên và có m ôđun
lớn nhất và nhỏ nhất. Gọi
S=a+b
M (a; b)
là trung điểm của đoạn AB. Khi đó
bằng.
20
S=
A.
7
2
S=
.
B.
9
2
.
C.
S =5
.
D.
S = 4.
Hướng dẫn :
Giả sử
z = x + yi
(), Ta có:
z + 3i + z − 3i = 10
⇔ | x + ( y + 3)i | + | x + ( y − 3)i |= 10
⇔
( x 2 + ( y + 3) 2 + x 2 + ( y − 3) 2 = 10
Khi đó
(∗)
(*) ⇔ MF1 + MF2 = 10
M ( x; y ) F1 ( 0; −3) F1 ( 0;3)
Gọi
,
,
lần lượt là điểm biểu
z −3i 3i
diễn hình học của các số phức ,
, .
x 2 + ( y + 3) 2 = MF1.
Suy ra
x 2 + ( y − 3) 2 = MF2 .
Khi đó
nhỏ
(*) ⇔ MF1 + MF2 = 10 ⇒ M
2a = 2 25 − 9 = 8
chạy trên Elip có trục lớn
2b = 10
, trục
.
x2 y 2
+
=1
16 25
Do đó, phương trình chính tắc của elip là:
Vậy giá trị lớn nhất của
| z |= OB = OB ' = 5
khi
z = ±5i
có điểm biểu diễn là
M 1 (0; ±5).
Giá trị nhỏ nhất của
M 2 (±4.0).
| z |= OA = OA ' = 4
21
khi
z = ±4
có điểm biểu diễn là
Tọa độ trung điểm của
M 1M 2
là
5
5 9
M ±2; ± ÷
S = | a | + | b |= 2 + = .
2 ⇒
2 2
Chọn đáp án B.
Bài tập vận dụng.
(1+ i) z + 2 + (1+ i) z − 2 = 4
z
2
Bài 1: Cho số phức thỏa mãn
2018
m = z Max n = z Min
w .
w = m + ni
,
và số phức
. Tính
1009
1009
1009
5
6
4
21009
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
. Gọi
Chọn đáp án C.
Bài 2: Cho số phức
z
iz +
thỏa mãn
2
2
+ iz +
=4
1− i
i −1
z
lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
A.
M .n = 2
.
B.
M .n = 1
.
C.
M .n = 2 2
. Tính
.
D.
. Gọi
M .n
M
và
n
lần
.
M .n = 2 3
.
Chọn đáp án C.
z
Bài 3: Cho số phức
thỏa mãn
z − 2i + z + 2i = 5
. Tìm giá trị lớn nhất, giá
z
trị nhỏ nhất của
A.
5
2
3
2
và
.
.
B.
5
2
và 1 . C. 5 và 3 .
D. 3 và 2 .
Chọn đáp án A.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
2.4.1. Đối với hoạt động giáo dục
+ Thực nghiệm sư phạm là quá trình r ất quan tr ọng nh ằm làm sáng
tỏ những vấn đề lí luận của đề tài ở trường THPT Tĩnh Gia 4, đ ồng th ời
kết quả thu được của thực nghiệm là cơ sở khoa học để xác định tính đúng
đắn của đề tài.
22
+ Kết quả của việc thực nghiệm sư phạm sẽ cho bi ết đ ược s ự phù
hợp của đề tài với xu hướng đổi mới phương pháp dạy học theo h ướng
tích cực hiện nay.
Sau một năm học 2018-2019 cho việc áp d ụng cho đ ối t ượng h ọc
sinh ở 2 lớp 12 của trường THPT Tĩnh Gia 4. Kết quả đ ược tiến hành m ột
cách khách quan và thu được kết quả như sau:
Lớp và số lượng học sinh tham gia thực nghiệm:
STT Lớp
Sỉ số học sinh
Tổng số học
sinh
1
12A3
42
82
2
12A5
40
Tổng hợp điểm kiểm tra của các lớp trước khi áp dụng đề tài vào giảng
dạy.
Lớp
SL
Loại giỏi
Loại khá
Loại TB
Loại yếu
SL
SL
SL
SL
%
%
%
%
12A3
42
0
0
14
33,3
20
47,6
8
19,1
12A5
40
0
0
12
30
15
37,5
13
32,5
Tổng hợp điểm kiểm tra của các lớp sau khi áp dụng đề tài vào gi ảng d ạy.
Lớp
SL
Loại giỏi
Loại khá
Loại TB
Loại yếu
SL
SL
SL
SL
%
%
%
%
12A3
42
6
14,3
17
40,4
15
35,7
4
9,6
12A5
40
5
12,5
15
37,5
14
35
6
15
2.4.2. Đối với bản thân
- Đứng trước mỗi bài toán giáo viên phải phân tích về cả n ội dung và
phương pháp. Từ đó mà bồi dưỡng cho mình kiến th ức chuyên môn v ững
vàng và khả năng truyền thụ kiến thức cho học sinh.
- Thông qua đề tài sáng kiến kinh nghiệm, nh ững cách gi ải quy ết v ấn
đề khác nhau của học sinh làm cho giáo viên có nhiều kinh nghiệm h ơn
trong dự đoán và xử lí tình huống.
2.4.3. Đối với đồng nghiệp, tổ nhóm chuyên môn
Dạng toán này không quá khó, giáo viên nào cũng có th ể th ực hi ện đ ược.
Và có thể áp dụng được với tất cả các đối tượng h ọc sinh. Nên tôi đã đem
phổ biến trong tổ, các anh chị em trong tổ cũng có nhiều góp ý quý báu và
tôi đã mạnh dạn áp dụng vào lớp mình phụ trách và bước đầu đã mang lại
thành công .
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Sau quá trình làm sáng kiến tôi đã rút ra cho mình nh ững bài h ọc kinh
23
nghiệm như sau:
+ Đối với các dạng toán ở trên thì đôi lúc h ọc sinh phân tích bài gi ải
không đúng với yêu cầu của giáo viên, khi đó giáo viên ph ải tôn tr ọng và
phân tích theo hướng giải của các em sau đó ch ỉ rõ các ưu, khuy ết đi ểm
của hướng giải mà các em đã đưa ra.
+ Với phương pháp trên giúp học sinh tiếp thu bài h ọc m ột cách tích
cực và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo khoa học. Kết quả thu được
góp phần không nhỏ, đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp mà ngành
giáo dục đề ra.
+ Thực tế giảng dạy cho thấy học sinh rất hào h ứng tiếp thu và v ận
dụng ý tưởng của đề tài, học sinh không còn sợ mà trở nên thích thú,
ham tìm hiểu về những bài toán tương tự. Tuy nhiên không phải bất kì
bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nào cũng có th ể dùng ph ương
pháp hình học. Ngoài phương pháp hình h ọc nêu trên còn rất nhi ều kĩ
thuật và phương pháp khác để giải dạng toán này. Tuy nhiên ph ương
pháp này cho thấy việc vận dụng dạng bài toán này có hiệu qu ả, nhanh
gọn.
3.2. Kiến nghị
Vấn đề nâng cao chất lượng dạy và học môn toán học là nhiệm vụ,
trách nhiệm cũng là lương tâm của các thầy, cô giáo. Với tinh thần đó tôi
mong muốn góp phần nhỏ trí tuệ của mình trong giảng dạy với các đồng
nghiệp. Tuy nhiên do năng lực và thời gian có hạn, tôi rất mong đ ược s ự
đóng góp ý kiến bổ sung của các đồng nghiệp và hội đồng khoa h ọc các
cấp để sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn chỉnh h ơn, đồng th ời
giúp đỡ tôi tiến bộ và thành công trong giảng dạy. Mong tất cả các thầy
giáo, cô giáo có nhiều sáng kiến kinh nghiệm hay góp phần nâng cao chất
lượng giảng dạy nói chung và bộ môn Toán nói riêng.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG
Thanh hóa, ngày 24 tháng 5 năm
2019
Tôi xin cam đoan đây là SKSN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Người thực hiện
Hồ Thanh Quý
24
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[ 1]
Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn
Tuất, Giải tích 12, NXB Giáo dục, 2008.
[ 2]
Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên,
Hình Học 10, NXB Giáo dục, 2006.
[ 3]
Đề thi THPT quốc gia năm học 2016 - 2017, đề minh h ọa năm h ọc 2017
- 2018 của Bộ giáo dục và đào tạo.
[ 4]
Đề khảo sát chất lượng và đề thi thử của các tr ường THPT, các S ở
GD&ĐT trên cả nước năm 2017, 2018.
[ 5]
Lê Hồng Đức, Phương pháp giải các dạng toán THPT Số phức, NXB Đại
học Quốc gia Hà Nội, 2017.
[ 6]
www.mathvn.com.
[ 7]
.
[ 8]
.
25
