Một số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số f(x)

Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x)
1- MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học kĩ thuật và đời
sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác. Thông qua
việc học Toán, học sinh nắm vững được nội dung toán học và phương pháp giải
toán từ đó vận dụng vào các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên.
Chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong trường phổ thông, nó đòi hỏi
người thầy giáo mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo để có được những phương
pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết bài toán, đồng thời vận dụng vào thực
tế.
Các bài toán có liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x) là các bài toán khó,
một vấn đề nan giải đối với học sinh THPT, đặc biệt là đối với các học sinh dự thi
THPT Quốc Gia các năm gần đây. Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo
thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG). Trong đó
môn toán được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc
thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh
trong việc ôn luyện. Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số cách tiếp
cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận. Khi làm một bài toán yêu cầu học sinh
phải có kỹ năng, có suy luận và tư duy toán học nhanh nhạy đồng thời phải nắm
chắc kiến thức cơ bản .
Trong chương trình THPT vấn đề giải quyết các bài toán về hàm số có liên
quan đến đồ thị của hàm f '( x) có nhiều khó khăn đối với học sinh. Trong quá trình
dạy và đọc các tài liêu tham khảo, tôi đã rút ra kỹ năng nhỏ giúp học sinh giải các
bài toán liên quan đến đồ thị f '( x) . Xây dựng chương trình giải là một bước rất
quan trọng, để có được chương trình giải tối ưu trước hết phải nghiên cứu thật kĩ
cấu trúc của bài toán, xem xét dưới nhiều góc độ, nắm chắc kiến thức cơ bản từ đó
định ra hướng giải phù hợp. Các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x)
luôn là các bài toán khó có nhiều tư duy logic tổng hợp được nhiều kiến thức trong
chương trình THPT, giáo viên cần trang bị cho học sinh để giúp các em giải quyết
tốt các bài toán trong chương trình thi THPT Quốc Gia góp phần nâng cao tư duy

toán học, tạo điều kiện cho việc học toán nói riêng và trong quá trình học tập nói
chung.
Trong quá trình dạy học, ôn thi THPT Quốc Gia tôi nhận thấy phần các bài
toán liên quan đến đồ thị của hàm f '( x) học sinh còn lúng túng khi làm toán.
Với đề tài này tôi hy vọng sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi gặp các bài toán
liên quan đến đồ thị của hàm f '( x) đồng thời hình thành ở học sinh tư duy tích cực,
độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiên và giải quyết vấn đề, rèn luyện khả
năng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn.
1.2. Mục đích nghiên cứu.

1


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x)
Để cho học sinh thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số y = f '( x) với các vấn đề
của hàm số y = f ( x) . Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang lại kết quả cao
trong các kì thi, đặc biệt là kì thi THPTQG.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là vận dụng một số lý thuyết trong chương trình
SGK 12 để giải quyết các dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số y = f '( x) .
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lý luận
Định lý: (1) Nếu hàm số u = g ( x) có đạo hàm tại x là u '( x) và hàm số y = f (u ) có
đạo hàm tại u là y '(u ) thì hàm hợp y = f ( g ( x)) có đạo hàm tại x là: y '( x) = y '(u ).u '( x)
.
Dấu của hàm số trên từng khoảng:
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Khi đó
+) f ( x) > 0 với ∀x ∈ (−∞; a) ∪ (b; c)

+) f ( x) < 0 với ∀x ∈ (a; b) ∪ (c; +∞)
x = a

+) f ( x) = 0 ⇔  x = b
 x = c

Như vậy:
a/ x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f '( x) nằm phía trên trục
hoành thì trong khoảng đó hàm số f ( x) đồng biến.
b/ x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f '( x) nằm phía dưới trục
hoành thì trong khoảng đó hàm số f ( x) nghịch biến.
2.1.1.Tính đơn điệu của hàm số
Định lý: 2 Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên I
a) Nếu f '( x) > 0, ∀x ∈ I thì hàm số f đồng biến trên I .
b) Nếu f '( x) < 0, ∀x ∈ I thì hàm số f nghịch biến trên I .
+) Dấu hiệu hận biết tính đơn điệu của hàm số bằng bảng biến thiên
x
a
b
c
y’
+
0
f(b)
y
f(a)

f(c)

- Hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) .

1
2

Trang 161, sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 NXB Giáo Dục
Trang 5, sách giáo khoa Đại số và giải tích 12 nâng cao NXB Giáo Dục

2


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (b;c) .
2.1.2. Cực trị của hàm số.
Dấu hiệu nhận biết cực trị của hàm số bằng bảng biến thiên. 3
x
x0
a
f ’( x
+
0
)
f( x0 )

b

(Cực đại)

f( x )
x

x0

a

f(x
’

+

0

b
-

)

f( x )

(Cực tiểu)
f( x0 )

2.1.3. Giá trị lớn nhất nhỏ nhất
Dấu hiệu nhận biết giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng bảng biến thiên.
x
x0
a
b
’ x
f(
+

0
)
f( x0 )
f( x )
f ( x) = f ( x0 )
Ta có: Max
[ a ;b ]
x

f( a )

f(b)
x0

a

f(x
)
’

+

0

b
-

f( a )

3

Trang 13, sách giáo khoa Đại số và giải tích 12 nâng cao NXB Giáo Dục

f(b)

3


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x)
f( x )
f( x0 )
f ( x) = f ( x0 )
Tacó: Min
[ a ;b ]

3

Trang 13, sách giáo khoa Đại số và giải tích 12 nâng cao NXB Giáo Dục

4


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x)
x

a

b

f(x

’

+

)
f(b)
f( x )

f( a )

= f (a) Max f ( x) = f (b)
Ta có: M [inf(x)
; [ a ;b ]
a ;b ]
x

a

f(x
’

b
-

)
f( a )
f( x )
f ( x) = f (b) ; Maxf ( x ) = f (a)
Ta có: Min
[ a ;b ]

[ a ;b ]
2.1.4. Các bài toán liên quan đến tích phân.
+) Diện tích hình thang cong: 4

f(b)

S = S ( b) = F ( b) − F ( a)

b

S = ∫ f ( x) − g ( x ) dx.
a

2.2 Thực trạng của vấn đề
Do sự giảm tải của kiến thức ở bậc THPT mà số lượng bài tập SGK dùng
phương pháp này để giải còn rất ít, do đó Phương pháp này không mang tính chất
phổ biến và bắt buộc. Chính lẽ đó mà đại đa số học sinh sử dụng phương pháp này
một cách máy móc hoặc chưa biết sử dụng.
4

Trang 146, sách giáo khoa Đại số và giải tích 12 nâng cao NXB Giáo Dục

5


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x)
Đối với học sinh khá giỏi việc tiếp cận phương pháp này để giải toán là một
vấn đề cần thiết giúp cho các em có kỉ năng, kỉ xảo trong việc giải bài tập vận dụng

4

Trang 146, sách giáo khoa Đại số và giải tích 12 nâng cao NXB Giáo Dục

6


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x)
cao đồng thời chuẩn bị cho các em một kiến thức vững vàng và đạt kết quả cao
trong các kì thi THPTQG.
Hòa chung vào sự phấn đấu của các tổ chuyên môn trong nhà trường đội ngũ
giáo viên của tổ Toán đã không ngừng phấn đấu và đóng góp đáng kể vào thành
tích chung của nhà trường . Tuy nhiên thực trạng dạy học toán ở trường THPT nói
chung và trường THPT Tĩnh gia 1 nói riêng đang là điều trăn trở.
Về phiá học sinh:
+ Mặc dù học sinh đã ý thức được tầm quan trọng của toán học, tuy nhiên chất
lượng học tập môn Toán chưa thật sự cao và chưa đồng . Chất lượng chỉ tương đối
ổn định ở một số lớp khối
+ Vẫn còn học sinh chưa xác định đúng động cơ và mục đích học tập, học không
thể hiện được ý thức phấn đấu, vươn lên. Môn toán học sinh thường mắc phải
những sai lầm từ các phép biến đổi đơn giản, cách giải các bài toán về đồ thị của
hàm số f '( x) , có quá nhiều lỗ hổng kiến. Khả năng tiếp thu của học sinh còn hạn
chế.
- Về phía giáo viên: Trong những năm gần đây chúng ta đã thay đổi hình
thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm nên lượng kiến thức cũng rộng hơn. Bên cạnh
đó hệ thống các bài tập chưa đáp ứng được nhu cầu của thực tiễn, chưa có chiều
sâu, mới chỉ dừng lại ở việc cải tiến phương pháp. Trong quá trình giảng dạy chúng
ta chú ý nhiều đến việc truyền thụ khối lượng kiến thức mà chưa chú trọng đến
cách dẫn dắt học sinh tìm hiểu khám phá và lĩnh hội kiến thức từ đó chưa khơi dậy
được niềm đam mê và hứng thú học tập, chưa gợi được động cơ học tập cho hoạc
sinh.

2.3 Một số biện pháp
Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số.
Phương pháp chung:
+) Nếu đồ thị của hàm số y = f ¢( x) nằm trên trục hoành thì f '( x) > 0
+) Nếu đồ thị của hàm số y = f ¢( x) nằm phía dưới trục hoành thì f '( x) < 0
Từ đó suy ra tính đơn điệu của hàm số.
Đối với hàm hợp chúng ta sử dụng lưu ý thêm: đồ thị của hàm số y = f ¢( x) cắt trục
hoành tại x0 thì f '( x) = 0 . Từ đó ta có thể thiết lập bảng biến thiên của hàm số
y = f ( x) . Từ bảng biến thiên của hàm số ta suy ra tính đơn điệu.
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị hàm số y = f ¢( x)
như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Hàm số f ( x) đồng biến trên ( - 2;1) .
B. Hàm số f ( x) đồng biến trên ( 1;+¥ )
C. Hàm số f ( x) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 .
D. Hàm số f ( x) nghịch biến trên ( - ¥ ;- 2) .
Phân tích bài toán:

7


Mt s dng toỏn liờn quan n th ca hm s f '( x)
Ta thy rng th ca hm s y = f Â( x) nm trờn trc honh khi x (2;1) (1; +)
nờn f '( x) > 0 vi x (2;1) v (1; +)
th ca hm s y = f Â( x) nm phớa di trc honh khi x (; 2)
Li gii. Da vo th ca hm s y = f '( x) ta thy:


f '( x) > 0

khi

ộ- 2 < x < 1
ờ
ắắ
đ f ( x)
ờx > 1
ở

ng bin trờn cỏc khong ( -

2;1) , ( 1;+Ơ ) .

Suy ra A ỳng, B ỳng.
đ f ( x) nghch bin trờn khong ( - Ơ ;- 2) . Suy ra D ỳng.
f '( x) < 0 khi x <- 2 ắắ
Dựng phng phỏp loi tr, ta chn C.
Nhn xột: Nh vy t th ca hm s y = f '( x) ta cú th bit c giỏ tr ca
hm s y = f '( x) . T ú a ra li gii chớnh xỏc cho bi toỏn.
Vớ d 2. Cho hm s y = f ( x) . th hm s y = f Â( x) nh hỡnh bờn di

Hm s g( x) = f ( 3- 2x) nghch bin trờn khong no trong cỏc khong sau ?
A. ( 0;2) .
B. ( 1;3) .
C. ( - Ơ ;- 1) .
D. ( - 1;+Ơ ) .
Phõn tớch bi toỏn:
Th nht : Ta thy hm s g( x) = f ( 3- 2x) l mt hm hp nờn gÂ( x) = - 2 f Â( 3- 2x) .
Th hai: th ca hm s y = f Â( 3 - 2 x) cú dng ging nh th ca hm s
y = f Â( x)

Th ba: th ca hm s nm trờn trc honh thỡ giỏ tr ca nú dng, nm di
trc honh thỡ giỏ tr õm. v bng khụng ti giao im ca nú vi trc honh.
Li gii.
Ta cú gÂ( x) = - 2 f Â( 3- 2x) .
Ta cú

ộ 5
ờx =
2
ộ3- 2x = - 2 ờ
ờ
ờ
1
ờ
theo do thi f '( x)
gÂ( x) = 0 f Â( 3- 2x) = 0ơắ ắ ắ ắđ ờ3- 2x = 2 ờx = .
ờ
ờ
2
ờ3- 2x = 5
ờ
ở
ờx = - 1
ờ
ờ
ở

Bng bin thiờn

8

Mt s dng toỏn liờn quan n th ca hm s f '( x)

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn C.
Lu ý: vớ d ny ta cú th khụng cn lp bng bin thiờn m dựng suy lun ta
cng tỡm c kt qu c th:
Da vo th, suy ra
Ta cú
Xột

ộ- 2 < x < 2
f Â( x) > 0 ờ
.
ờx > 5
ở

gÂ( x) = - 2 f Â( 3- 2x) .

ộ- 2 < 3- 2x < 2
gÂ( x) < 0 f Â( 3- 2x) > 0 ờ

ờ3- 2x > 5
ở

Vy g( x) nghch bin trờn cỏc khong
Nhn xột: Du ca

gÂ( x)

ộ1
5
ờ < x<
ờ2
2.
ờ
ờx <- 1
ở

ổ
1 5ử
ỗ
ữ
ỗ ; ữ
ữ v ( - Ơ ;- 1) .
ỗ
ố2 2ứ

Chn C.

c xỏc nh nh sau: Vớ d ta chn

ổ 1ử
x = 0ẻ ỗ
- 1; ữ
ữ
ỗ
ữ,
ỗ
ố 2ứ

suy ra

Khi ú gÂ( 0) = - f Â( 3) > 0.
Nhn thy cỏc nghim ca gÂ( x) l nghim n nờn qua nghim i du.
Vớ d 3. ( thi THPTQG nm 2018)
theo do thi f ' x)
3- 2x = 3 ắắ ắ ắ(ắ
đ f Â( 3- 2x) = f Â( 3) < 0.

Cho hai hm s y = f ( x ) , y = g ( x ) . Hai hm s y = f ( x ) v y = g ( x ) cú th nh
hỡnh v bờn, trong ú ng cong m hn l th ca hm s y = g ( x ) .

3

Hm s h ( x ) = f ( x + 4 ) g 2 x ữ ng bin trờn khong no di õy?
31

A. 5; ữ.
5

2

9
B. ;3 ữ.
4



C. ; + ữ.

5

31



25

D. 6; ữ.
4

9


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x)
3

Phân tích bài toán: Hàm số h ( x ) = f ( x + 4 ) − g  2 x − ÷ là tổng của hai hàm hợp do


2

3

đó ta cần tìm x để : h′ ( x ) = f ′ ( x + 4 ) − 2 g ′  2 x − ÷ > 0


2

Lời giải

3

Ta có h′ ( x ) = f ′ ( x + 4 ) − 2 g ′  2 x − ÷.

2

25
9 
< x + 4 < 7 , f ( x + 4 ) > f ( 3) = 10 ;
Dựa vào đồ thị, ∀x ∈  ;3 ÷, ta có
4
4 
3
3 9

3 < 2 x − < , do đó g  2 x − ÷ < g ( 8 ) = 5 .
2
2 2

3

9 
Suy ra h′ ( x ) = f ′ ( x + 4 ) − 2 g ′  2 x − ÷ > 0, ∀x ∈  ;3 ÷ . Do đó hàm số đồng biến
2

4 
9 
trên  ;3 ÷.Chọn B.
4 
Nhận xét: Ở bài toán này ngoài việc dựa vào đồ thị của các hàm số y = f ′ ( x ) ,

y = g ′ ( x ) ta còn chú ý đến giá trị của nó ở trên từng khoảng mà đề bài cho.
4
3
2
Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x) = ax + bx + cx + dx + e , đồ thị hình bên là đồ thị
2
của hàm số y = f '( x ) . Xét hàm số g ( x) = f ( x - 2) . Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số

g ( x) nghịch biến trên khoảng ( - ¥ ; - 2) .
g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 2; +¥ ) .
g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( - 1;0) .
g ( x) nghịch biến trên khoảng ( 0;2) .

Hướng dẫn:
2
Ta có: g '( x ) = 2 x. f ' ( x − 2 )
éx = 0
ê
2
g '( x ) = 0 Û ê
êx - 2 =- 1 Û
ê2
ê
ëx - 2 = 2

éx = 0
ê
êx = ±1
ê
êx = ±2
ë
10


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x)
éx <- 2
f ' ( x 2 - 2) > 0 Û x 2 - 2 > 2 Û x 2 > 4 Û ê
ê
ëx > 2
x
−∞
- 2
- 1
2x
f '( 2 - x 2 )

+

0

-

0

-

g '( x )

-

0

+

0

+

Ta chọn đáp án C.
Bài tập rèn luyện:
Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số
Bài 1: Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị hàm số

y = f ¢( x)

0
0
0

1
+
-

+∞

2

0

+
-

+
0

+

0

-

0

+

như hình bên dưới

Hàm số g( x) = f ( 1- 2x) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. ( - 1;0) .
B. ( - ¥ ;0) .
C. ( 0;1) .
D. ( 1;+¥ ) .
Bài 2: Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị hàm số y = f ¢( x) như hình bên dưới

Hàm số g( x) = f ( 3- x ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

A. ( - ¥ ;- 1) . B. ( - 1;2) .
C. ( 2;3) .
D. ( 4;7) .
Bài 3: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢( x) như
hình bên dưới

Hàm số g( x) = 2 f ( x) - x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?
A. ( - ¥ ;- 2) .
B. ( - 2;2) .
C. ( 2;4) .
D. ( 2;+¥ ) .
Dạng 2: Cực trị của hàm số
2

11


Mt s dng toỏn liờn quan n th ca hm s f '( x)
Phng phỏp chung:
T th ca hm s y = f Â( x) ta tỡm giao im ca th y = f Â( x) vi trc honh.
Tỡm giỏ tr ca x0 f '( x0 ) i du v thit lp bng bin thiờn.
T bng bin thiờn ta s gii quyt c yờu cu ca bi toỏn.
Vớ d 1. ng cong trong hỡnh v bờn di l th hm s y = f Â( x) . S im
cc tr ca hm s y = f ( x) l

A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Phõn tớch bi toỏn:

th ct trc honh ti bao nhiờu im.
Giỏ tr ca y = f Â( x) dng khi no? õm khi no?
Li gii. Ta thy th hm s f Â( x) cú 4 im chung vi trc honh
nhng ch i du qua hai im l 0 v x3.
Bng bin thiờn

x1; 0; x2 ; x3

Vy hm s y = f ( x) cú 2 im cc tr. Chn A.
Nhn xột: Ta thy th ca f '( x) cú 4 im chung vi trc honh nhng ch i
du qua hai im nờn cú hai cc tr.
Vớ d 2. Cho hm s y = f ( x) . th hm s y = f Â( x) nh hỡnh
2
bờn. Tỡm s im cc tr ca hm s g( x) = f ( x - 3) .
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
2
Phõn tớch bi toỏn: Hm s g( x) = f ( x - 3) . l hm hp nờn
gÂ( x) = 2xf Â( x2 - 3) ; th ca hm s y = f Â( x) ct trc honh ti hai im v i du
qua mt im.
2
Li gii. Ta cú gÂ( x) = 2xf Â( x - 3) ;

ộx = 0
ờ
ộx = 0
theo
do

thi
f
'
x
(
)
ờ2
gÂ( x) = 0 ờ

ờf  x2 - 3 = 0ơắ ắ ắ ắđ ờx - 3 = - 2
(
)
ờ
ờ
2
ở
ờ
ởx - 3 = 1 ( nghiem kep)

ộx = 0
ờ
ờx = 1
.
ờ
ờ
ờ
ởx = 2 ( nghiem kep)

12

Mt s dng toỏn liờn quan n th ca hm s f '( x)
Bng bin thiờn

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn B.
Nhn xột: Du ca gÂ( x) c xỏc nh nh sau: Vớ d xột trờn khong ( 2;+Ơ )
( 1)
x ẻ ( 2;+Ơ ) đ x > 0.
theo do thi f '( x)
2
2
2
đ x - 3> 1ắắ ắ ắ ắđ f Â( x - 3) > 0.
( 2)
x ẻ ( 2;+Ơ ) đ x > 4 ắắ
2
T ( 1) v ( 2) , suy ra gÂ( x) = 2xf Â( x - 3) > 0 trờn khong ( 2;+Ơ ) nờn gÂ( x) mang du + .
Nhn thy cỏc nghim x = 1 v x = 0 l cỏc nghim bi l nờn gÂ( x) qua nghim
i du; cỏc nghim x = 2 l nghim bi chn (lớ do da vo th ta thy f Â( x)
tip xỳc vi trc honh ti im cú honh bng 1) nờn qua nghim khụng i
du.
Vớ d 3. Cho hm s y = f ( x) cú o hm liờn tc trờn Ă v f ( 0) < 0, ng thi
th hm s y = f Â( x) nh hỡnh v bờn di

S im cc tr ca hm s g( x) = f 2 ( x) l:
A. 1.
B. 2.
C.

D.

3.

4.

Phõn tớch bi toỏn:
- Hm s g( x) = f 2 ( x) l mt hm hp nờn

ộf Â( x ) = 0
g Â( x) = 2 f Â( x ) f ( x ) ; g Â( x ) = 0 ờ
ờf x = 0
ờ
ở( )

- y = f Â( x) ct trc honh ti bao nhiờu im?
- Lp bng bin thiờn ca hm s g( x) = f 2 ( x)
ộx = - 2
f Â( x) = 0 ờ
ờx = 1 ( nghiem kep) .
ở
y = f ( x)

Li gii. Da vo th, ta cú
Bng bin thiờn ca hm s

13


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x)

éx = - 2
ê
éf ¢( x) = 0 theo BBT f x êx = 1 ( nghiem kep)
ê
( )
.
Xét g¢( x) = 2 f ¢( x) f ( x) ; g¢( x) = 0 Û êêf ( x) = 0 ¬¾ ¾ ¾ ¾® êêx = a( a <- 2)
ê
ë
ê
êx = b( b> 0)
ë
g
x
Bảng biến thiên của hàm số ( )

Vậy hàm số g( x) có 3 điểm cực trị. Chọn C.
Nhận xét: Dấu của g¢( x) được xác định như sau: Ví dụ chọn x = 0 Î ( - 1;b)
theo do thi f '( x)
( 1)
¾ ¾ ¾® f ¢( 0) > 0.
 x = 0 ¾¾
( 2)
 Theo giả thiết f ( 0) < 0.
Từ ( 1) và ( 2) , suy ra g¢( 0) < 0 trên khoảng ( - 1;b) .
Nhận thấy x = - 2; x = a; x = b là các nghiệm đơn nên g¢( x) đổi dấu khi qua các nghiệm
này. Nghiệm x = 1 là nghiệm kép nên g¢( x) không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong
bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm x = 1 vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu
của g¢( x) .
Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f '( x) như hình

vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số g( x) = f ( x- 2017) - 2018x + 2019 là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải. Ta có g¢( x) = f '( x - 2017) - 2018; g¢( x) = 0 Û f '( x - 2017) = 2018.
Dựa vào đồ thị hàm số y = f '( x) suy ra phương trình f '( x- 2017) = 2018 có
đơn duy nhất. Suy ra hàm số g( x) có 1 điểm cực trị. Chọn A.

1

nghiệm

14


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x)
Bài tập rèn luyện
Bài 1. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢( x) như hình vẽ
bên dưới. Hỏi hàm số g( x) = f ( x) + x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?

A. x = 0.
C. x = 2.
Bài 2. Cho hàm số

B. x = 1.
D. Không có điểm cực tiểu.
y = f ( x) có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢( x) như hình vẽ

bên dưới.Hàm số g( x) = f ( x) A.

x = - 1.

Bài 3. Cho hàm số

B.

x=0.

y = f ( x)

x3
+ x2 - x + 2
3

đạt cực đại tại :

C.

. Đồ thị hàm số

x = 1.

y = f ¢( x)

D.

x=2.

như hình vẽ dưới đây

2 f x +1
f x
Số điểm cực trị của hàm số g( x) = e ( ) + 5 ( ) là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
¢
Bài 4: Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị hàm số y = f ( x) như hình vẽ bên dưới.

15


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g( x) = f ( x + m) có
trị ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. Vô số.

5

điểm cực

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và so sánh các giá trị của hàm số.
Phương pháp chung:

- Từ đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) ta thiết lập bảng biến thiên , từ bảng biến thiên ta
sẽ giải quyết được yêu cầu của bài toán
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên [ −2; 2] , có đồ thị của hàm số
y = f ′ ( x ) như hình bên. Tìm giá trị x0 để hàm số y = f ( x ) đạt giá trị lớn nhất trên
[ −2; 2] .
y
A. x0 = 2 .
B. x0 = −1 .
C. x0 = − 2 .
D. x0 = 1 .

x

Phân tích bài toán:

−2 −1 O 1

Ứng với x thuộc khoảng nào thì
f '( x ) > 0; f '( x) < 0

2

?

Từ đó thiết lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn:
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:
x

y,

- 2

- 1

+

0

1

+

0
f ( 1)

2

-

y

Ta chọn đáp án D.
Ví dụ 2. ( Đề thi ĐH Vinh lần 4 năm 2017) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm là
f ′ ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) được cho như hình vẽ bên. Biết rằng

16


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x)

f ( 0 ) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 5 ) . Tìm giá trị nhỏ nhất m

giá trị lớn nhất M của f ( x ) trên đoạn [ 0;5] ?
A. m = f ( 0 ) , M = f ( 5 ) .
B. m = f ( 2 ) , M = f ( 0 ) .
C. m = f ( 1) , M = f ( 5 ) .

và

D. m = f ( 2 ) , M = f ( 5 ) .

Phân tích bài toán : Học sinh dựa vào đồ thị hàm số
f '( x ) để thiết lập bảng biến thiên.

Hướng dẫn:

x

0

y,

0

-

2
0

3

+

f ( 0)

5

+
f ( 5)

y

f ( 2)
min
f ( x) = f ( 2) và f( 3) >
é0;5ù
ê
ë ú
û

( 2) ;

f ( 0 ) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 5 ) ⇒ f ( 0 ) − f ( 5 ) = f ( 2 ) − f ( 3) < 0 ⇒ f( 0) <

( 5)

Ta chọn đáp án D.
Ví dụ 3. Cho 3 hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) = f ′ ( x ) , y = h ( x ) = g ′ ( x ) có đồ thị là 3
đường cong trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. g ( −1) > h ( −1) > f ( −1) .

y

B. h ( −1) > g ( −1) > f ( −1) .

C. h ( −1) > f ( −1) > g ( −1) .
D. f ( −1) > g ( −1) > h ( −1) .
x
−2

Hướng dẫn:
Pương pháp: Đồ thị của hàm số f '( x ) cắt trục hoành tại
những điểm là các điểm cực trị của đồ thị hàm số f ( x)

−1 −0,5 O 0,5 1 1,5 2

( 3)

( 2 ) ( 1)

17


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x)
Tìm giao điểm của các đồ thị hàm số với trục hoành ( nếu có) sau đó dựa vào tính
chất sau:
f '( x ) > 0, ∀x ∈ I ⇒ f ( x ) tăng trên I. f '( x ) < 0, ∀x ∈ I ⇒ f ( x ) giảm trên I
Hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) = f ′ ( x ) , y = h ( x ) = g ′ ( x ) có đồ thị là 3 đường theo thứ tự
là ( 1) ;( 2) ;( 3) .
Từ đồ thị ta thấy: h ( −1) > g ( −1) > f ( −1)
Ta chọn đáp án B.

Bài tập tự luyện.
Bài 1. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) được
cho như hình vẽ bên. Biết rằng f ( 0 ) + f ( 1) − 2 f ( 2 ) = f ( 4 ) − f ( 3) . Tìm giá trị nhỏ
nhất m và giá trị lớn nhất M của f ( x ) trên đoạn [ 0; 4] ?
A. m = f ( 4 ) , M = f ( 2 ) . B. m = f ( 4 ) , M = f ( 1) .
C. m = f ( 0 ) , M = f ( 2 ) . D. m = f ( 1) , M = f ( 2 ) .
Bài 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên
trên ¡ và đồ thị của hàm số f ′ ( x ) trên đoạn [ −2;6]
như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các
khẳng định sau.
A.
C.

max f ( x ) = f ( −2 )
x∈[ −2;6]

max f ( x ) = f ( 6 )
x∈[ −2;6]

.

B.

. D.

max f ( x ) = f ( 2 )
x∈[ −2;6]

max f ( x ) = f ( −1)

x∈[ −2;6]

tục

.
.

Dạng 4: Các bài toán liên quan đến tích phân.
Phương pháp:

18


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x)
b

b

ò f ( x)dx > 0.

b

ò f ( x)dx < 0.

a

ò f ( x)dx = S 1

a

S 2 + S3 .

a

b

ò f ( x)dx = f (b) -

f (a ).

a

Ví dụ 1.(Đề thi THPTQG năm 2017) số
y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′( x) như hình
bên. Đặt h( x) = 2 f ( x) − x 2 . Mệnh đề nào dưới đây
đúng ?
A. h(4) = h(−2) > h(2) . B. h(4) = h(−2) < h(2) .
C. h(2) > h(4) > h(−2) . D. h(2) > h(−2) > h(4) .
Hướng dẫn:
Ta có h '( x) = 2 f '( x ) − 2 x = 2  f ' ( x ) − x  .
Ta vẽ đường thẳng y = x .

2

2

ù
h ( 2) - h ( - 2) = ò h '( x )dx = 2 ò é
ëf '( x ) - x ûdx > 0 Þ h ( 2) > h ( - 2) .
- 2

4

- 2

2

ù
h ( 4) - h ( 2) = ò h '( x )dx = 2 ò é
ëf '( x ) - x ûdx < 0 Þ h ( 4) < h ( 2) .
- 2

2

4

4

2

4

ù
é
ù
é
ù
h ( 4) - h ( - 2) = ò h '( x )dx = 2 ò é
ëf '( x ) - xûdx = 2 ò ëf '( x ) - x ûdx + 2 ò ëf '( x ) - x ûdx
- 2

- 2

- 2

2

h(4) - h(- 2) = 2 S1 - 2 S2 > 0 Þ h ( 4) > h ( - 2) .

Như vậy ta có: h ( - 2) < h ( 4) < h ( 2) . Ta chọn đáp án C.

19


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x)
Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục trên ¡ và đồ thị của hàm
số f ′ ( x ) như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. f ( a ) > f ( b) và f ( c) > f ( a ) .
B. f ( a ) > f ( b) và f ( c ) < f ( a ) .
C. f ( a ) < f ( b) và f ( c ) > f ( a ) .
D. f ( a ) < f ( b) và f ( c) < f ( a ) .
a

Hướngdẫn: f ( a ) - f ( b) = ò f '( x )dx > 0 Û f ( a ) > f ( b ) .
b

c

f ( c) - f ( a ) = ò f '( x )dx < 0 Û f ( c ) < f ( a ) .
a

Ta chọn đáp án B.
Ví dụ 3. Cho các số thực a , b , c , d thỏa mãn 0 < a < b < c < d và hàm số y = f ( x ) .
Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên [ 0; d ] . Khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng?
y

a

c

b

d

x

O

A. M + m = f ( 0 ) +
C. M + m = f ( b ) +
Hướng dẫn:
Ta có bảng biến thiên:
x
a
0
y

,

-

0

+

f ( c) .

B. M + m = f ( d ) +
D. M + m = f ( 0 ) +

f ( a) .

c

b

0

-

0

f ( c) .

f ( a) .

d

+

20


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x)
f ( 0)
y

f ( b)

f ( d)

f ( a)

f ( c)

So sánh f ( a ) ; f ( c)
c

b

c

f ( c) - f ( a ) = ò f '( x )dx = ò f '( x )dx + ò f '( x )dx < 0 Þ f ( c ) < f ( a ) Þ m = f ( c ) .
a

a

b

So sánh f ( 0) ; f ( b) ; f ( d ) .
b

a

b

f ( b) - f ( 0) = ò f '( x )dx = ò f '( x )dx + ò f '( x )dx < 0 Þ f ( b ) < f ( 0) .
0
d

0
c

a
d

f ( d ) - f ( b) = ò f '( x )dx = ò f '( x )dx + ò f '( x )dx < 0 Þ f ( d ) < f ( b ) .
b

b

c

Þ f ( d ) < f ( b) < f ( 0) Þ M = f ( 0) . Ta chọn đáp án A.

Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x) = ax + bx + cx + d ( a, b, c, d Î ¡ ; a ¹ 0) có đồ thị (C).
Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y =- 9 tại điểm có hoành độ dương
và đồ thị hàm số y = f '( x) cho bởi hình vẽ bên. Tìm phần

nguyên của giá trị diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
(C) và trục hoành?
3

A. 2.

B. 27.

C. 29.

2

D. 35.

Hướng dẫn:
2
Ta có f '( x ) = 3ax + 2bx + c . Dựa vào đồ thị hàm số
y = f '( x ) ta thấy đồ thị hàm số y = f '( x) đi qua 3 điểm ( - 1;0) , ( 3,0) , ( 1, - 4) ta
1
3

tìm được: a = ; b =- 1; c = - 3 .
1
3
Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y =- 9 tại điểm có hoành độ dương nên ta có:
f '( x ) = 0 Û x =- 1; x = 3 Þ x = 3.

Suy ra: f '( x ) = x 2 - 2 x - 3 Þ f ( x ) = x 3 - x 2 - 3x + C .

1

3

Như vậy (C) đi qua điểm ( 3; - 9) ta tìm được C = 0 Þ f ( x ) = x 3 - x 2 - 3x .

21


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x)
Xét phương trình trình hoành độ giao điểm và trục hoành:
1 3
3 ±3 5
x - x 2 - 3x = 0 Û x = 0; x =
.
3
2
3+3 5
2

S=

ò

3- 3 5
2

1 3
x - x 2 - 3x dx = 29, 25. Ta chọn đáp số C.
3

Bài tập tự luyện.

Bài 1. Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên
đoạn [- 1; 2] , có đồ thị của hàm số y = f '( x) như
hình vẽ sau. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
f ( x ) = f ( 2) .
A. max[- 1;2f ]( x) = f ( - 1) . B. max
[- 1;2]
f ( x) = f ( 1) . D. max f ( x) =
C. max
[- 1;2]
[- 1;2]

æö
3÷
fç
÷
ç
÷.
ç
è2 ø

Bài 2. Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên ¡ ,
có đồ thị của hàm số y = f '( x ) như hình vẽ sau. Đặt
g ( x) = f ( x ) - x Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. g ( - 1) < g ( 1) < g ( 2) . B. g ( 2) < g ( 1) < g ( - 1) .
C. g ( 2) < g ( - 1) < g ( 1) . D. g ( 1) < g ( - 1) < g ( 2) .
Một số bài toán khác.
Gọi S là quãng đường mà vật đi được, v là vận tốc và t là thời gian. Ta có : S ' = v
Bài toán 1:( Mã Đề 101- Đề thi THPTQG năm 2017) Một
vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc
vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong

khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị
đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối
xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị
là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng
đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm
tròn đến hàng phần trăm).
A. s = 23, 25 (km)

B. s = 21,58 (km)

C. s = 15,50 (km)

D. s = 13,83 (km)

Hướng dẫn:

22


Mt s dng toỏn liờn quan n th ca hm s f '( x)
Gi s phng trỡnh chuyn ng ca vt theo ng parabol
v ( t ) = at 2 + bt + c ( km / h) .
ùỡù
ùỡù
ùù c = 4
ùù c = 4
ùù
ù
- 5 2
Ta cú: ớ 4a + 2b + c = 9 ớù b = 5 ị v ( t ) = t + 5t + 4 .

ùù
ùù
4
- 5
ùù - b
ùù
=2
ùù
ùù a =
4
ợ
ợ 2a
31
Ta cú v ( 1) =
suy ra phng trỡnh chuyn ng ca vt tc theo ng thng
4
31
l y = . Vy quóng ng m vt di chuyn c trong 3 gi l:
4
1
3
ổ
ử
5
31
259
2
s = ũỗ
t + 5t + 4ữ
dt

+
dt
=
ằ 21,58. Ta chn ỏp ỏn B.
ữ
ỗ
ũ4
ữ
ỗ
ố
ứ
4
12
0
1

Bi toỏn 2: Mt ngi chy trong thi gian 1 gi, vn tc v
(km/h) ph thuc thi gian t (h) cú th l mt phn ca ng


parabol vi nh I ;8 ữ v trc i xng song song vi trc
2
tung nh hỡnh bờn. Tớnh quóng ng s ngi ú chy c
trong khong thi gian 45 phỳt, k t khi bt u chy.
A. s = 4,0 (km)
B. s = 2,3 (km)
C. s = 4,5 (km)
D. s = 5,3 (km)
Hng dn:
Gi s phng trỡnh chuyn ng ca vt theo ng parabol

v ( t ) = at 2 + bt + c ( km / h) .
1

ỡù
ùù
ùù c = 0
ùù a b
Ta cú: ớ + + c = 8
ùù 4 2
ùù
ùù - b = 1
ùùợ 2a 2

ùỡù c = 0
ù
2
ớ b = 32 ị v ( t ) =- 32t + 32t .
ùù
ùùợ a =- 32

Vy quóng ng m vt di chuyn c trong 45 phỳt l:
3/4

9
s = ũ( - 32t 2 + 32t ) dt = = 4,5 . Ta chn ỏp ỏn C.
2
0

2.4 Hiu qu ca sỏng kin kinh nghim
i vi hc sinh khi 12, khi cỏc em ó nhn thc mt cỏch y v hm s v

tớch phõn thỡ phng phỏp ny cú th ỏp dng mt cỏch ph bin v bi tp ra cho
hc sinh mang tớnh phong phỳ, a dng v khú hn.
23


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x)
Kết quả nhận thấy số lượng học sinh khá giỏi rất hứng thú với phương pháp giải
toán này và bài tập ra ở dạng này các em giải khá thành thạo.
Trong năm học 2017-2018, 2018-2019 qua các buổi dạy tôi đã sử dụng đồ thị của
hàm số f '(x) giúp học sinh giải quyết các bài tập về các bài tập có liên quan đến
hàm số nhanh hơn, gọn hơn, đẹp hơn. Sử dụng đồ thị của hàm số f '(x) là một công
cụ rất mạnh để giải các bài toán có liên quan. Đặc biệt là đối với các bài toán hàm
số. Kết quả là học sinh nắm được kiến thức, hiểu bài và áp dụng được vào các bài
tập tương tự. Cụ thể khoảng 30- 35% học sinh đạt kết quả trung bình, khoảng 6570% học sinh đạt kết quả Khá, Gỏi.
Loại Giỏi
Loại Khá
Loại TB
Năm học
Lớp
Số HS
SL
%
SL
%
SL
%
12A1
45
15
33,3

16
35,5
10
31,2
2017-2018
12A3
45
10
22,2
21
46,7
13
31,1
12A2
45
12
26,7
18
40,0
15
33,3
2018 - 2019
12A6
45
9
20,0
21
46,7
15
33,3

3. Kết luận, kiến nghị
3.1 Kết luận:
Sử dụng một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x) thường là
phương pháp rất hay, độc đáo, tổng hợp được nhiều kiến thức cho học sinh, nhưng
do không được phổ biến ở bậc THPT. Qua quá trình tham khảo, nghiên cứu và học
hỏi tôi sử dụng phương pháp này để dạy cho học sinh và nhận thấy có hiệu quả cao
đối với học sinh.
3.2 Kiến nghị:
Duy trì hoạt động viết sáng kiến kinh nghiệm trong từng năm học, đây là
hoạt động bổ ích thiết thực cho mọi giáo viên, nhất là trong công tác chuyên môn.
Cần động viên kịp thời để phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm ngày càng
phát triển sâu rộng.
Cần trang bị cho giáo viên dạy các tài liệu tham khảo phù hợp với chương
trình mới.
Tĩnh Gia, ngày 28 tháng 5 năm 2019
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Tôi xin cam đoan toàn bộ nội dung đề tài trên là do
ĐƠN VỊ
bản thân tôi nghiên cứu và thực hiện, không sao
chép nội dung của bất kỳ ai.
NGƯỜI VIẾT SKKN

Lê Đình Sơn

24


Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x)

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan, Sách giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục

2. Trần Văn Hạo, Giải toán đại số và giải tích 11 (Tái bản lần thứ nhất), NXB Giáo
Dục .

25