CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC
BÀI GIẢNG: MIN MAX SỐ PHỨC
* Phương pháp chung
+) Phương pháp đại số:
Dùng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối A B A B A B
Thế ẩn rồi sử dụng đạo hàm
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki (ac bd )2 (a 2 b2 )(c 2 d 2 )
+) Phương pháp hình học.
Ví dụ 1: Cho z thỏa mãn z 2 4i 5. Tìm max z .
B. 5
A. 3 5
C.
5
D. 13
Giải
Dấu hiệu: Đề bài yêu cầu tính max của một mô đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi.
Ta có: z 2 4i z 2 4i z 20 5 z 20 5 3 5
max z 3 5
Đáp án A.
Ví dụ 2: Cho z 3 4i 2. Tìm max z 1 .
A.
2 2
B. 2 2 2
C. 3 2 2
D. 4 2 2
Giải
Ta có:
z 1 4 4i z 1 4 4i z 3 4i
z 1 4 2 z 3 4i 2
z 1 4 2 2 max z 1 4 2 2
Đáp án D.
Ví dụ 3: Cho (1 i) z 1 7i 2. Tìm max z .
Giải
Ta có: (1 i) z 1 7i 2
1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh –
Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!
(1 i) z 1 7i
1 i
z
2
(1 i) z 1 7i
2
1 i
1 i
2
1 7i
1 z (3 4i) 1
1 i
Mà z 3 4i z (3 4i) 1 z 3 4i 1
z 5 1 6 max z 6.
Ví dụ 4: Cho z 1 2i z 2 i . Đặt w z 2 3i tìm min w .
Giải
Đặt z x yi ( x; y ) . Điều kiện đã cho trở thành
+) x yi 1 2i x yi 2 i ( x 1) 2 ( y 2) 2 ( x 2) 2 ( y 1) 2
x2 2 x 1 y 2 4 y 4 x2 4 x 4 y 2 2 y 1
2x 6 y 0
x 3y
+) w x yi 2 3i ( x 2)2 ( y 3)2 (1)
Thế x 3 y vào (1) ta được w (3 y 2) 2 ( y 3) 2 10 y 2 6 y 13
w'
20 y 6
2 10 y 2 6 y 13
Nhận thấy y
Vậy min w
w'0 y
3
10
3
thì w min
10
11 10
.
10
Ví dụ 5: Cho z 2 2 z 5 ( z 1 2i)( z 3i 1) . Tìm min w với w z 2 2i.
A.
3
2
B. 2
C. 1
D.
1
2
Giải
Ta có z 2 2 z 5 ( z 1 2i)( z 3i 1)
z 2 2 z 1 4 ( z 1 2i)( z 3i 1)
( z 1)2 4i 2 ( z 1 2i)( z 3i 1)
2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh –
Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!
( z 1 2i)( z 1 2i) ( z 1 2i)( z 3i 1)
z 1 2i 0
z 1 2i z 3i 1
+) z 1 2i 0 z 1 2i w 1 w 1
+) z 1 2i z 3i 1 ( x 1)2 ( y 2)2 ( x 1)2 ( y 3) 2 (Đặt z x yi ( x; y ) )
( y 2)2 ( y 3)2 y
1
2
2
1
3
1
3
Với y w x i 2 2i w ( x 2) 2
2
2
2
2
Vậy min w 1
Đáp án C.
Ví dụ 6: Cho z1 ; z2 thỏa mãn z1 z2 1; z1 z2 3. Tính max T z1 z2 .
A. 8
B. 10
C. 4
D. 10
Giải
Đặt z1 x1 y1i; z2 x2 y2i. ( x1 , y1 , x2 , y2 ) . Điều kiện đã cho trở thành
+) z1 z2 1 x1 y1i x2 y2i 1 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 1
x12 x22 y12 y22 2 x1 x2 2 y1 y2 1 (1)
+) z1 z2 3 x1 y1i x2 y2i 3
x12 x22 y12 y22 2 x1 x2 2 y1 y2 9 (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được x12 x2 2 y12 y2 2 5
+) T z1 z2 x12 y12 x2 2 y2 2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
T 1. x12 y12 1. x2 2 y2 2
1 1 . x12 x22 y12 y22
2.5 10
max T 10.
Đáp án D.
Ví dụ 7: Cho z 1 2. Tìm max T z i z 2 i
3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh –
Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!
Giải
Đặt z x yi ( x; y ) .
+) z 1 2 ( x 1)2 y 2 2 ( x 1)2 y 2 2
+) T x2 ( y 1)2 ( x 2)2 ( y 1)2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
T 1. x 2 ( y 1) 2 1. ( x 2) 2 ( y 1) 2 (1 1) x 2 ( y 1) 2 ( x 2) 2 ( y 1) 2
T 2.(2 x 2 2 y 2 4 x 6)
4.( x 2 y 2 2 x 3)
4. ( x 1) 2 y 2 2
Thay ( x 1)2 y 2 2 ta được
T 4.(2 2) 4
Vậy max T 4
Ví dụ 8: Cho z 2 3i 1 . Tìm giá trị lớn nhất của z 1 i là:
A. 4
D. 13 1
C. 13 2
B. 6
Giải
Đặt z x yi ( x; y ) . Điều kiện đã cho trở thành
+) x 2 ( y 3)i 1
( x 2)2 ( y 3)2 1 x2 y 2 4 x 6 y 12 0
+) z 1 i ( x 1)2 ( y 1)2
= x2 y 2 2 x 2 y 2
(1)
Thay x2 y 2 4 x 6 y 12 vào (1) ta được
z 1 i = 4 x 6 y 12 2 x 2 y 2 6 x 4 y 10
Xét 6 x 4 y 10 6( x 2) 4( y 3) 14
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
6( x 2) 4( y 3) (62 42 ) ( x 2) 2 ( y 3) 2 52.1 52
6( x 2) 4( y 3) 14 52 14 6 x 4 y 10 52 14
4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh –
Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!
z 1 i 6 x 4 y 10
52 14 = 13 1
+) Phương pháp hình học
Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Có 4 tập hợp điểm thường gặp
+) Đường thẳng
+) Đường tròn
+) Đường elip
+) Parabol
Gọi z x yi ( x, y ) có điểm biểu diễn là M ( x, y)
Bước 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Từ đó tìm max, min của mô đun
Chú ý: Số phức z x yi ( x, y ) có điểm biểu diễn là M ( x, y) . Mô đun của số phức z là độ dài
đoạn thẳng OM với O là gốc tọa độ.
Ví dụ 1: Cho số phức z x yi thỏa mãn z 2 4i z 2i đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính
N x2 y 2 .
A. N 8
B. N 10
C. N 16
D. N 26
Giải
Gọi M ( x, y) là điểm biểu diễn của số phức z x yi
+) z 2 4i z 2i ( x 2)2 ( y 4)2 x2 ( y 2)2 4 x 4 8 y 16 4 y 4
4 x 4 y 16 x y 4 0
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của z là một đường thẳng x y 4 0
+) N x 2 y 2 z
2
N min z min OM min OM d : x y 4 0
M (2, 2) N 22 22 8
Đáp án A.
5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh –
Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!
Ví dụ 10: Cho z (2 4i) 2. Tìm max, min của z 2i 1 .
Giải
Gọi M ( x, y) là điểm biểu diễn của số phức z x yi
+) z (2 4i) 2 ( x 2)2 ( y 4)2 4
M ( x, y) nằm trên đường tròn tâm I (2, 4) , bán kính R 2.
+) z 2i 1 ( x 1)2 ( y 2)2 MA (với A(1, 2) )
z 2i 1 min MA min M C
z 2i 1 max MA max. M D
AI (1, 6)
Phương trình đường thẳng AI là:
6x y 8 0
Tọa độ của C , D là nghiệm của hệ
6 x y 8 0
2
2
( x 2) ( y 4) 4
Từ hệ trên ta tính được MC, MD.
Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z 4 z 4 10. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z là:
A. 10 và 4
B. 5 và 4
C. 4 và 3
D. 5 và 3
Giải
Đặt z x yi ( x; y ) . Điều kiện đã cho trở thành
( x 4)2 y 2 ( x 4)2 y 2 10 (1)
Gọi M ( x, y) là điểm biểu diễn của số phức z x yi
Từ (1) MA MB 10 (với A(4,0), B(4,0) )
6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh –
Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!
Suy ra tập hợp điểm M nằm trên elip có:
+) a 5
+) b 3 , c 4
Vì M nằm trên elip nên z min OM min M A ; z max OM max M B
Vậy giá trị lớn nhất của z là 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của z là 3.
Đáp án D.
7 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh –
Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!