skkn một số phương pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT quảng xương 1 trả lời nhanh câu hỏi trắc nghiệm về bài toán cực trị của số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG I

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HƯỚNG DẪN
HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG I
TRẢ LỜI NHANH CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
VỀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC

Người thực hiện: Nguyễn Thị Sáu
Chức vụ: Giáo viên.
SKKN thuộc lĩnh vực : Toán học.

THANH HOÁ NĂM 2018


MỤC LỤC
Mục

Nội dung

Trang

1. Mở đầu
1.1

Lý do chọn đề tài

2

1.2

Mục đích nghiên cứu

2

1.3

Đối tượng nghiên cứu

2

1.4

Phương pháp nghiên cứu

2

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1
2.2

Cơ sở lí luận:

3

Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN

3

2.3

Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề

4

2.4

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

13

3. Kết luận, kiến nghị
3.1

Kết luận

13

3.2

Kiến nghị

13

2


1 – MỞ ĐẦU:

1.1 Lý do chọn đề tài:
Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2018 môn Toán vẫn tiếp tục năm thứ 2 với
hình thức thi trắc nghiệm.
Để làm bài trắc nghiệm có hiệu quả thì bài giải không những phải chính xác
mà còn phải nhanh, một trong những yếu tố quan trọng là đánh giá nhanh vấn đề
và nhanh chóng loại bỏ những phương án nhiễu. Để qua đó, chỉ cần kiểm tra đối
chiếu các đáp án còn lại với bài giải.
Trong cấu trúc đề thi THPT Quốc gia câu hỏi trắc nghiệm về cực trị của số
phức là một trong những câu thường xuyên có mặt trong đề thi minh họa, đề thi
chính thức của Bộ Giáo dục và đề thi thử của các trường trên cả nước trong hai
năm vừa qua. Đây thường là các câu hỏi ở mức độ vận dụng vì vậy đòi hỏi học
sinh phải có tư duy logic, có phương pháp thì mới giải nhanh và chính xác được.
Để làm dạng câu hỏi trắc nghiệm này, học sinh không chỉ phải nắm vững kiến
thức cơ bản, học thuộc các bước và trình tự trình bày bài toán cực trị về số phức
mà phải biết tổng hợp các loại kiến thức đã học từ mô đun của số phức kết hợp
kĩ năng tính toán về phần thực, phần ảo, số phức liên hợp... của số phức. Học
sinh phải biết phân tích và có cái nhìn bao quát, nhanh nhạy thì mới giải quyết
vấn đề một cách nhanh nhất, chính xác nhất.
Vì thế, học sinh rất dễ mất bình tĩnh, hoang mang không biết phải nhận dạng và
làm bài toán cực trị của số phức như thế nào, lấy những yếu tố nào là điểm quan
trọng để phát hiện vấn đề. Trong quá trình trực tiêp giảng dạy chương Số phức lớp
12, thông qua nghiên cứu tài liệu tham khảo; Tôi rút ra một số kinh nghiệm giúp
học sinh giải quyết vấn đề trên nhanh và chính xác dựa trên các dấu hiệu nhận biết
đặc trưng và dấu hiệu trực quan của các loại bài toán về cực trị của số phức. Và đã
viết thành một sáng kiến kinh nghiệm có tên: “Một số phương pháp hướng dẫn
học sinh lớp 12 Trường THPT Quảng Xương 1 trả lời nhanh câu hỏi trắc nghiệm
về bài toán cực trị của Số Phức”
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài này góp phần trang bị đầy đủ dấu hiệu nhận biết đặc trưng, dấu hiệu
trực quan của các dạng bài cực trị của Số Phức; kĩ năng phán đoán, phân tích

nhanh nhạy, chính xác vấn đề và phát triển tư duy học sinh: tư duy phân tích,
tổng hợp logic, sáng tạo và tạo thói quen cho học sinh khi giải quyết một vấn đề
luôn luôn tìm tòi khám phá những điểm đặc trưng, dấu hiệu nhận biết mấu chốt
để giải quyết vấn đề nhanh, chính xác nhất.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài được áp dụng trong chương Số Phức của chương trình giải tích lớp 12,
học sinh ôn thi THPT Quốc gia.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Trên cơ sở lý thuyết cơ bản trong sách giáo khoa, trước các câu hỏi trắc
nghiệm về cực trị của Số Phức, Tôi thường hướng dẫn học sinh nêu vấn đề từ
những kiến thức nào đã học, trình bày bài Số Phức rồi mới nhận dạng có dài, mất
thời gian hay không ? có giải quyết được vấn đề hay không ? có gặp khó khăn gì

3


không? Từ đó khuyến khích các em, phát hiện và tìm ra những đặc điểm đặc
trưng có thể làm dấu hiệu nhận biết để giải quyết vấn đề chính xác và triệt để.
Để học sinh tiếp cận vấn đề, Tôi chia thành năm bài toán và các phương pháp
làm bài toán cực trị của Số phức thông qua hệ thống kiến thức liên quan, nhận
xét dấu hiệu nhận biết đặc trưng, đến các ví dụ cụ thể để học sinh hình dung một
cách trực quan và biết cách sử dụng phù hợp từng phương pháp vào các bài toán
thích hợp, biết cách phối hợp các phương pháp với nhau để đưa ra được phương
án trả lời nhanh và chính xác nhất.
2 – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
2.1. Cơ sở lí luận:
Để thực hiện đề tài, cần dựa trên những kiến thức cơ bản:
- Các phép biến đổi về số phức, số phức liên hợp.
- Các phép tính về cộng trừ và nhân chia số phức.
- Các ép biến đổi liên quan đến mô đun của số phức.

- Các kiến thức về đường thẳng, đường tròn, đường elip trong mặt phẳng.
- Kĩ năng nhìn đồ thị của đồ thị hàm số.
- Kĩ năng nhìn vào tương giao của các đồ thị hàm số.
- Kĩ năng giải hệ phương trình.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Số phức là một trong những nội dung quan trọng chương trình toán lớp12 và
không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia. Bài toán về cực trị của số phức là
phần thể hiện rõ việc nắm kiến thức một cách hệ thống bao quát và cũng là phần
thể hiện được kĩ năng nhận dạng và tính toán nhanh nhạy, kĩ năng tổng hợp kiến
thức của học sinh khi thực hiện giải quyếvấn đề.
Vì vậy, câu hỏi trắc nghiệm về cực trị của số phức thoạt nhìn thì có vẻ đơn
giản nhưng nếu học sinh không nắm được các dấu hiệu đặc trưng thì thời gian
giải quyết vấn đề lâu, mất nhiều công sức, tạo tâm lí nặng nề, mất bình tĩnh, và
tiêu tốn thời gian dành cho những câu trắc nghiệm khác.
Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở lớp 12C5 tôi trực tiếp giảng
dạy năm học 2017 - 2018 trường THPT Quảng Xương 1, kết quả như sau:
Năm

Lớp

Sĩ số

Số học sinh trả
lời chính xác

Số học sinh trả lời chính
xác trong 30s – 1p

2017 - 2018

12C5

45

14

7

Đứng trước thực trạng trên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách giải
quyết khác trên cơ sở kiến thức trong SGK. Song song với việc cung cấp tri
thức, tôi chú trọng rèn rũa kỹ năng phát hiện và phân dạng bài toán, tính toán
với các điểm cực trị, tương giao giữa các đồ thị hàm số đã có trên hình vẽ, phát
triển tư duy cho học sinh để trên cơ sở này học sinh không chỉ học tốt phần này
mà còn làm nền tảng cho các phần kiến thức khác.

4


2.3. Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề:
Để làm bài toán về cực trị của số phức, học sinh có thể dựa trên cách làm
tuần tự các bước giải tự luận như đã học, Tuy nhiên cách làm trên lại gặp khó
khăn do thời gian để xử lí bốn phương án trả lời sẽ mất quá nhiều thời gian và
mệt mỏi, học sinh tự đặt câu hỏi có thể dựa trên một số đặc điểm đặc trưng nào
của các dạng đồ thị hàm số biểu diễn hình học của số phức để tìm được phương
án chính xác một cách nhanh nhất.
Sau đây ta sẽ xét một số dạng bài toán quen thuộc và phương pháp giải
nhanh câu hỏi trắc nghiệm về cực trị của số phức, mỗi dạng tôi đưa ra một số bài
toán cơ bản và ví dụ minh hoạ, trên cơ sở lý thuyết đã có hướng dẫn học sinh
cách phân tích sử dụng phương pháp phù hợp và lựa chọn cách giải đúng và
ngắn gọn nhất.

Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn z − ( a + bi ) = k , ( k > 0 ) , tìm giá trị nhỏ
nhất, giá trị lớn nhất của z .
PP giải:
z − ( a + bi ) = k , ( k > 0 ) ,  Tập hợp các điểm M biểu diễn số
phức z là đường tròn có tâm I ( a; b ) và bán kính R = k .

max z = OM = OI + R = a 2 + b 2 + k
2

z  = OM
Khi đó : →

min z = OM 1 = OI − R = a 2 + b 2 − k
Cách tìm tọa độ điểm M 1 , M 2 (tức là, tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn
nhất).
+ Phương trình đường tròn ( C ) quỹ tích của điểm M biểu diễn số phức z là:

( C ) : ( x − a)

+ ( y − b) = k 2
+ Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm O, I là d : Ax + By + C = 0 .
Khi đó, M 1 , M 2 là giao điểm của ( C ) và d .
( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = k 2
⇒ hai nghiệm ⇒ tọa độ hai
Giải hệ phương trình: 
 Ax + By + C = 0
điểm.
So sánh khoảng cách từ hai điểm vừa tìm được tới O , khoảng cách nào nhỏ hơn
thì điểm đó ứng với điểm M 1 và điểm còn lại là điểm M 2 .
Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z + z2 = r , ( r > 0 ) . Giá trị nhỏ nhất,


z2
r
+
max z =
z1
z1

lớn nhất của z : 
min z = z2 − r

z1
z1

2

2

5


Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 4i = 5 . Giá trị nhỏ nhất của z là:
A. 3 5
B. 5
C. 5
Hướng dẫn:
Tập hợp các điểm M ( z ) là đường tròn có tâm I ( 2; 4 ) và
bán kính R = 5

D. 13

min z = ON = OI − R = 2 2 + 4 2 − 5 = 5.
Chọn đáp án C
Nhận xét: Như vậy nếu HS biết được công thức này thì
chỉ làm trong vòng 30s là xong còn nếu tính toán thông
thường thì sẽ rất lâu mà còn dễ sai.
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 4i = 5 . Giá trị lớn nhất của z là:
A. 3 5
B. 5
C. 5
D. 13
Hướng dẫn: (Sử dụng hình vẽ của ví dụ 1)
max z = OM = OI + R = 2 2 + 42 + 5 = 3 5. Chọn đáp án A
Ví dụ 3: Trong các số phức z thỏa mãn z − 2 − 4i = 5 số phức có mô đun nhỏ
nhất là:
A. z = 3 + 6i
B. z = 3 − 6i
C. z = 1 + 2i
D. 1 − 2i
Hướng dẫn: (Sử dụng hình vẽ của ví dụ 1)
Phương trình đường thẳng OI là y = 2 x .
Tọa độ hai điểm M , N là nghiệm của hệ phương trình:
 y = 2 x
 y = 2 x

2
2 ⇔
2
2
( x − 2 ) + ( y − 4 )

( x − 2 ) + ( 2 x − 4 ) = 5
 x = 1
⇒ N ( 1;2 )

y
=
2
 y = 2x

⇔ 2
⇔
 x = 3
x − 4x + 3 = 0

⇒ M ( 3;6 )
  y = 6

+ Số phức z có môđun lớn nhất là z = 3 + 6i ứng với điểm M ( 3;6 ) .
+ Số phức z có môđun nhỏ nhất là z = 1 + 2i ứng với điểm N ( 1; 2 ) .
Vậy chọn đáp án C
Ví dụ 4: Nếu các số phức z thỏa mãn ( 1 + i ) z + 1 − 7i = 2 thì z có giá trị lớn
nhất bằng:
A. 4.
B. 3.
C. 7
D. 6.
Hướng dẫn:
6

1 − 7i 

Ta có: ( 1 + i ) z + 1 − 7i = 2 ⇔ ( 1 + i )  z +
÷= 2
1+ i 

⇔ 1 + i z − ( 3 + 4i ) = 2 z − ( 3 + 4i ) = 2 ⇔ z − ( 3 + 4i ) = 1

Tập hợp các điểm M ( z ) là đường tròn có tâm I ( 3;4 ) và bán kính R = 1
Vậy max z = OI + R = 32 + 42 + 1 = 6 ⇒ Chọn đáp án D.
Ví dụ 5: Nếu các số phức z thỏa mãn

−2 − 3i
z + 1 = 1 thì z có giá trị nhỏ nhất
3 − 2i

bằng:
A. 1.
B. 2.
C. 2
D. 3.
Hướng dẫn:
Ta có:
−2 − 3i
1
z + 1 = 1 ⇔ −iz + 1 = 1 ⇔ −i z +
= 1 ⇔ z + i = 1 ⇔ z − ( −i ) = 1.
3 − 2i
−i
Tập hợp các điểm M ( z ) là đường tròn có tâm I ( 0; −1) và bán kính R = 1.

Vậy max z = OI + R = 02 + ( −1) + 1 = 2 ⇒ Chọn đáp án B.
2

Bài toán 2: Trong các số phức z thỏa mãn z − z1 = r1 , ( r1 > 0 ) . Tìm giá trị nhỏ
nhất, lớn nhất của P = z − z2 .
PP giải:
Gọi I , A, M lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 ,z2 ,z .
max P = AM 1 = r1 + r2
IA
=
z
−
z
=
r
⇒
Khi đó:

1
2
2
min P = AM 2 = r1 − r2
Muốn tìm các số phức sao cho Pmax , Pmin thì ta đi tìm hai giao
điểm M 1 , M 2 của đường tròn ( I , r1 ) với đường thẳng AI .
Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z − z2 = r1 , ( r1 > 0 ) .
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của P = z − z3 .
Giải: max P =

z2
r

z
r
− z3 + 1 và min P = 2 − z3 − 1
z1
z1
z1
z1

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + 2i = 2 . Giá trị nhỏ nhất của z + 1 − i lần
lượt là
A. 7.
B. 3.
C. 2.
D. 5.
Hướng dẫn:



Ta có: z − 3 + 2i = z − ( 3 − 2i ) ÷ = 2 = r1 và z + 1 − i = z − ( −1 + i )
14 2 43
1 2 3 ÷
z2
 z1 

7


⇒ z1 − z2 = ( 3 − 2i ) − ( −1 + i ) = 5 = r2 ⇒ min z + 1 − i = 5 − 2 = 3 ⇒

Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Trong số phức z thỏa mãn z − 5i ≤ 3 , số phức có z nhỏ nhất thì có
phần ảo bằng bao nhiêu?
A. 4.
B. 0.
C. 3.
D. 2.
Hướng dẫn:
Tập hợp các điểm M ( z ) là đường tròn có tâm I ( 0;5 ) và
bán kính R = 3.
Vì z = OM nên số phức z có môđun nhỏ nhất là z = 2i
ứng với điểm M 1 ( 0;2 ) .
⇒ Chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z − 2 + 2i = 1 ,gọi z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ )
là số phức có z + 4i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức P = a ( b + 2 ) .
A. P = 2 −

1
2

B. P = − 2 −

1
2

1
2

C. P = + 2

1
2

D. P = − 2

Hướng dẫn:
Ta có: z − 2 + 2i = z − ( 2 − 2i ) = 1 ⇒ I ( 2; −2 ) và
14 2 43
z1

z + 4i = z − ( −4i ) ⇒ A ( 0; −4 ) .
{
z2

Tập hợp các điểm M ( z ) là đường tròn có tâm I ( 2; −2 ) và bán kính r1 = 1 .
Phương trình đường thẳng IA là: x − y − 4 = 0
Tọa độ hai điểm M , N là nghiệm của hệ phương trình:
y = x − 4
 x − y − 4 = 0
 y = x − 4

⇔
⇔

1
2
2
2
2
2

( x − 2 ) + ( y + 2 ) = 5 ( x − 2 ) + ( x − 4 + 2 ) = 1 ( x − 2 ) =

2
1
1


x = 2+
x = 2−
y = x − 4


1
1 
1
1 




2

2
⇔
∨
⇒ M1  2 +
; −2 +
;M2 2−
; −2 −
1 ⇔

÷
÷.
2
2
2
2


x − 2 = ± 2
 y = −2 + 1  y = −2 − 1


2 
2

8


 uuuur 
 AM 1 =  2 +


Khi đó  uuuuur
 AM =  2 −
2




1

1 
;2 +
÷
2
2
⇒ AM 1 > AM 2 ⇒ M 2 là điểm biểu diễn số phức cần
1
1 
;2 −
÷
2
2

tìm.
1

a
=
2
−

1 
1 
1
2
z = a + bi
⇒ z = 2−
+  −2 −
i


→
⇒
P
=
a
b
+
2
=
2
−
⇒
(
)

÷
2
2 
2
b = −2 − 1

2
Chọn đáp án A.
Bài toán 3: Trong số phức z thỏa mãn z − z1 + z − z2 = k , ( k > 0 ) .Tìm giá trị nhỏ
nhất, lớn nhất của P = z .
PP giải:
Gọi M , M 1 , M 2 lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z,z1 ,z2
Khi đó : z − z1 + z − z2 = k ⇔ MM 1 + MM 2 = k ⇔ M elip ( E ) nhận M 1 , M 2 làm
tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k = 2a.
Vì ở chương trình Toán lớp 10, chỉ được học elip có hai tiêu điểm là

F1 ( −c;0 ) , F1 ( c;0 ) nên thường đề bài sẽ cho dưới dạng:
z − c + z − c = k , ( 0 < c, k ∈ ¡ )
⇒ M ∈ elip ( E ) nhận F1 ( −c;0 ) , F1 ( c;0 ) làm tiêu điểm và có độ dài trục lớn
bằng k = 2a .
k

 z max = a = 2
⇒ 
2
2
 z = b = k − 4c
 min
2
Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z + z2 + z1.z − z 2 = k , . Tìm giá trị nhỏ
nhất, lớn nhất của P = z .
k 2 − 4 z2
k
Ta có: max z =
và min z =
2 z1
2 z1

2

Ví dụ1: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z + 4 + z − 4 = 10 , gọi M , m lần
lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất z . Khi đó, giá trị biểu thức P = M − m2
bằng
A. P = −6
B. P = −13
C. P = −5

D. P = −4
Hướng dẫn:

9


Áp dụng công thức trên, ta có:
10

 M = z max = 2 = 5
2
2
⇒
P
=
M
−
m
=
5
−
3
= −4 ⇒ Chọn đáp án D.

2
2
10
−
4.4
m = z =

=3
min

2
Bài toán 4: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = m + ni và z1 − z2 = p > 0. Tìm
giá trị lớn nhất của P = z1 + z2 .
PP giải:
 z1 = a + bi
a + c = m
⇒ z1 + z2 = a + c + ( b + d ) i = m + ni ⇒ 
Giả sử: 
c + d = n
 z2 = c + di
Ta có: z1 − z2 = a − c + ( b − d ) i ⇒ z1 − z 2 = ( a − c ) + ( b − d ) = p.
Khi đó:
2

2

2

( 1 + 1 ) ( a + b ) + ( c + d )  = 2 ( a + b + c + d ) .
2
2
2
2
a + c) + ( b + d ) + ( a − c) + ( b − d )
(
m2 + n2 + p 2
2

2
2
2
Mà a + b + c + d =
=
P = z1 + z2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≤

Suy ra:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) = m 2 + n 2 + p 2 ⇒ P ≤ m 2 + n 2 + p 2 ⇒ max P = m 2 + n 2 + p 2
Ví dụ 1: Với hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = 8 + 6i và z1 − z2 = 2 . Tìm giá
trị lớn nhất của P = z1 + z2 .
A. 4 6
B. 5 + 3 5
C. 2 26
D. 34 + 3 2
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức trên ta được :
P = z1 + z2 ≤ 82 + 62 + 22 = 2 26 ⇒ Chọn đáp án C.
Bài toán 5: Cho số phức z thỏa mãn z − z1=z − z2. Tìm GTNN của T =z − z0.
PP giải:
điều kiện z − z1=z − z2 thực chất là phương trình đường thẳng.
Nếu ta gọi M là điểm biểu diễn z , A là điểm biểu diễn z1 và B là điểm biểu
diễn z2 thì giả thiết tương đương với MA = MA hay M nằm trên đường trung trực
của AB . Gọi I là điểm biểu diễn của z0 thì T = IM .
Vậy IM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I trên d . Giá trị nhỏ nhất
bằng min T = d ( I , d ) .
Lưu ý: Không phải phương trình đường thẳng nào cũng có dạng z − z1=z − z2,
cho nên khi gặp giả thiết lạ, cách tốt nhất để nhận biết giả thiết là đường thẳng
hay đường tròn là gọi z = x + yi rồi thay vào phương trình.
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z + i + 1 = z − 2i . GTNN của z là:

10


1

3
B. 2
C.
D. 2 2
2
2
Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi thì M ( x; y ) là điểm biểu diễn z . Từ z + i + 1 = z − 2i
⇔ ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 = x 2 + ( y + 2) 2 ⇔ x − y − 1 = 0 . Vậy M di chuyển trên (d).
1
Có z= OM do đó z nhỏ nhất bằng d (O; d ) =
.
2
Chọn đáp án A.
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn ( z + 3 − i )( z + 1 + 3i ) là một số thực. Giá trị
nhỏ nhất của T =z − 1 + i
3
A. 3
B. 2 3
C.
D. 3 2
2
Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi , ta có
( z + 3 − i ) ( z + 1 + 3i ) = ( x + 3 ) + ( y − 1) i  ( x + 1) + ( − y + 3 ) i  . Tích này có phần
ảo là ( x + 3) ( − y + 3) + ( y − 1) ( x + 1) . Phần ảo bằng 0
⇔ 3x − 3 y + 9 − x + y − 1 = 0 ⇔ x − y + 4 = 0 (d). Vậy nếu gọi M là điểm biểu
diễn z thì M chạy trên đường thẳng (d).
Gọi A(1; −1) là điểm biểu diễn −1 + i thì
T = AM . Giá trị T nhỏ nhất bằng khoảng cách

từ A đến (d).
1 + 1 + 4
=3 2.
Vậy min T =
2
Chọn đáp án D.
A.

Ví dụ 3: Biết rằng số phức z thỏa mãn
u = ( z + 3 − i ) z + 1 + 3i là một số thực. Giá trị

(

)

nhỏ nhất của z là:
A.

B. 2 2

2

C.

Hướng dẫn:
Dùng bất đẳng thức. Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ ¡

(

)

)

3
2

D. 3 2

ta có

u = ( z + 3 − i ) z + 1 + 3i = x 2 + y 2 + 4 x − 4 y + 6 + 2 ( x − y + 4 ) i
Ta có: u là một số thực x − y + 4 = 0 ⇔ y = x + 4
z = x 2 + y 2 = x 2 + ( x + 4 ) = 2 ( x + 2 ) + 8 ≥ 2 2 ;∀x ∈ ¡
2

2

11


Vậy mô đun của z nhỏ nhất khi và chỉ khi x = −2 ⇒ y = 2 . Vậy min z = 2 2
Chọn đáp án B.
Ví dụ 4: Biết rằng số phức z thỏa mãn z − 1 + 3i = 2 + i − z . Số phức z sao cho
z + i − 3 đạt giá trị nhỏ nhất là:
99 23
99 23
+ i
A. z =
B. z = − − i
34 17

34 17
99 23
99 23
− i
C. z =
D. z = − + i
34 17
34 17
Hướng dẫn:
Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) ta có M(x;y) là
điểm biểu diễn của z
z − 1 + 3i = 2 + i − z ⇔ 2 x + 8 y + 5 = 0
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là
đường thẳng d: 2 x + 8 y + 5 = 0
z + i − 3 = AM ; với A ( 3;−1)
Phương trình đường thẳng ∆ qua A, và vuông góc với d: 4 x − y − 13 = 0
Khi đó z + i − 3 nhỏ nhất khi và chỉ khi AM nhỏ nhất khi và chỉ khi AM ⊥ d .
Khi đó M = ∆ ∩ d .
99 23
 99 23 
− i
Tìm M  ; − ÷. Vậy z =
34 17
 34 17 
Chọn đáp án C.
Ví dụ 5: Gọi z là số phức thỏa z − 1 + 2i = z + 3 − i và z − 1 + 2i nhỏ nhất. Khi
đó tổng phần thực và phần ảo của z là:
A. −

5

2

B.

23
6

C.

5
2

D. −

23
6

Hướng dẫn:
z − 1 + 2i = z + 3 − i ⇔ 8 x − 2 y + 5 = 0 ( d )
z − 1 + 2i = AM với A ( 1;−2 ) .
Phương trình đường thẳng ∆ qua A,
và vuông góc với d: x + 4 y + 7 = 0 .
Khi đó z − 1 + 2i nhỏ nhất khi và chỉ khi AM nhỏ nhất
3

khi và chỉ khi ⇔ AM ⊥ d . Khi đó M = ∆ ∩ d . Tìm M  −1; − ÷.
2

Chọn đáp án A.
*Bài tập tự luyện:

12


Bài 1. Cho số phức z thỏa mãn z + 2 − 2i = 1 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của z lần lượt là:
A. 2 2 + 1;2 2 − 1
B. 2 + 1; 2 − 1
C. 2;1
D. 3 + 1; 3 − 1
Bài 2. Cho số phức z thỏa mãn z + 1 + 2i = 4 5 . Giá trị nhỏ nhất của z lần
lượt là:
A. 5
B. 3 5
C. 5 5
D. 5 3
Bài 3. Trong các số phức z thỏa mãn z − 3 + 4i = z thì số phức z có môđun nhỏ
nhất là:
A. z =

11
+i
2

3
2

B. z = − 2i

5

2

C. z = −5 − i

1
6

D. z = −3 + i

Bài 4. Trong các số phức z thỏa mãn z − 2 − 4i = z − 2i thì số phức z có môđun
nhỏ nhất là:
A. z = −2 + 2i
B. z = −2 − 2i
C. z = 2 − 2i
D. z = 2 + 2i
Bài 5. Trong các số phức z thỏa mãn z − 3 + 4i = z , biết rằng số phức z = a + bi,
( a, b ∈ ¡ ) có môđun nhỏ nhất . Khi đó, giá trị của P = a 2 − b là:
1
1
D. P = −
4
2
Bài 6. Trong các số phức z thỏa mãn z + 1 − 5i = z + 3 − i , biết rằng số phức
a
z = a + bi , ( a, b ∈ ¡ ) có môđun nhỏ nhất . Khi đó, tỉ số
bằng:
b
1
2
A. 3.

B. .
C.
D. P = − 2
3
3
Bài 7. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − i = 1 . Giá trị lớn nhất của z − 1

A. P =

1
4

B. P =

1
2

C. P = −

là:
A. 2 + 1
B. 2 − 1
C. 2
D. 1
Bài 8. Cho số phức z thỏa mãn z + 1 − 2i = 2 . Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của z − i bằng:
A. 5.
B. 2.
C. 1
D. 3

Bài 9. Cho số phức z thỏa mãn ( 2 + i ) z + 1 = 1 . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của z − 1 bằng:
A. 3

B. 2 2

C.

2
5

D. 2 3

Bài 10. Cho số phức z thỏa mãn z − 1 + 2i = 10 . Giá trị lớn nhất của z + 1 − 4i
bằng:
A. 10
B.10 3
C. 3 10
D. 4 10
Bài 11. Cho số phức z thỏa mãn z − 1 − 2i = 4 . Gọi M và m lần lượt là giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z + 2 + i . Giá trị của T = M 2 + m 2 là :

13


A. T = 50
B. T = 64
C. T = 68
D. T = 16
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:

Sau khi hướng dẫn học sinh vận dụng các phương pháp trên trong một số
bài tập cụ thể tôi đã tiến hành kiểm tra sự tiếp thu và khả năng áp dụng của học
sinh các lớp kết quả như sau:

Năm

Lớp

Trước khi thực hiện đề tài
Số học sinh
Số học sinh
trả lời chính
Sĩ
trả lời
xác trong
số chính xác
30s – 1p

201712C5 45
2018

15

Sau khi thực hiện đề tài
Số học sinh
Số học sinh
trả lời chính
trả lời chính
xác trong
xác

30s – 1p

5

38

28

3 – KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ:
3.1. Kết luận:
Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán lớp
12C5, trường THPT Quảng Xương 1, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất
hứng thú với môn học, và nay lại giải quyết được một loại câu hỏi trắc nghiệm
một cách đơn giản, dễ hiểu. Chính vì các em cảm thấy hứng thú với môn học
nên tôi nhận thấy chất lượng của môn Toán nói riêng, và kết quả học tập của các
em học sinh nói chung được nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giáo
dục của nhà trường. Ngoài ra các em cũng học được cách tìm tòi, khám phá và
tự đặt ra câu hỏi và tìm cách giải quyết vấn đề đó như thế nào nhanh gọn, chính
xác và hiệu quả nhất.
3.2. Kiến nghị:
- Đối với nhà trường, đồng nghiệp khi giảng dạy phần Số phức và nhất là
khi hướng dẫn cho học sinh thực hiện trắc nghiệm phần này, nên để ý hơn đến
việc hướng dẫn học sinh biết cách rút ra các đặc điểm và dấu hiệu nhận biết đặc
trưng của các hàm số.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 15 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung

của người khác.

Nguyễn Thị Sáu
TÀI LIỆU THAM KHẢO
14


[1]. Sách giáo khoa Giải tích cơ bản và Giải tich nâng cao 12
[2]. Chuyên đề Số Phức của Trần Phương - Lê Hồng Đức
[3]. Chuyên đề Trắc nghiệm Số Phức của tác giả Đặng Việt Đông.
[4]. Rèn luyện kĩ năng giải bài tập tự luận và trắc nghiệm Giải tích 12 của tác giả
Lương Mậu Dũng – Nhà xuất bản Giáo dục.

15