Đề (Toán chuyên) 2004-2005 thi vào trường chuyên Quang Trung

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
NĂM HỌC 2004 – 2005
Môn thi: Toán (Bài thi cho lớp chuyên toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------
Bài 1. Cho hàm số
( 1) 3y m x m= − + +
a) Tìm điểm cố đònh mà đồ thò hàm số luôn đi qua với mọi giá trò
m
.
b) Tìm giá trò của
m
để đồ thò của hàm số tạo với các trục tung và trục hoành một tam
giác có diện tích 1(đơn vò diện tích).
Bài 2. Tìm số dư cuối cùng của phép chia hai đa thức sau:
( ) ( )
2000 2001 2002 2003 2004 2
1 : 1x x x x x x+ + + + + −
Bài 3. Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trò dương với mọi giá trò
x
thuộc tập xác đònh
của biểu thức:
3
3 2
2 4
2 3 6
x x
A
x x x
− −

=
− + −
Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn đó.
a) Qua A vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, gọi I và J theo thứ tự là hình chiếu của B và
C trên tiếp tuyến ấy. Xác đònh vò trí của A sao cho tứ giá BCIJ có diện tích lớn nhất.
Tìm diện tích của tứ giác theo bán kính
R
của đường tròn (O).
b) Dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa tam giác ABC. Gọi
F là giao điểm của AE và nửa đường tròn (O), K là giao điểm của CF và ED.
i) Chứng minh 4 điểm E, B, F, K thuộc một đường tròn.
ii) Tam giác BKC là tam giác gì? Tại sao?
iii) Tìm quỹ tích điểm E khi A di động trên nửa đường tròn (O).