Đề (Toán chuyên) 2005-2006 thi vào trường chuyên Quang Trung

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
NĂM HỌC 2005 – 2006
Môn thi: Toán (Bài thi cho lớp chuyên toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------
Bài 1. Tìm bộ ba số nguyên dương có tổng các nghòch đảo của chúng bằng 2.
Bài 2. Tìm giá trò của
x
để biểu thức
2
2
2 2005x x
M
x
− +
=
đạt giá trò nhỏ nhất. Tìm giá trò đó.
Bài 3. Cho
, ,a b c
là ba số dương thỏa mãn hệ thức
1 1 1
2
1 1 1a b c
+ + ≥
+ + +
. Chứng minh
1
8
abc ≤
Bài 4. Cho phương trình

2
0,( 0; 0)+ + = ≠ ≠ax bx c a c
có nghiệm
1
0x >
. Chứng minh rằng
phương trình:
2
0cx bx a+ + =
có nghiệm
2
0x >
và
1 2 1 2
3x x x x+ + ≥
.
Bài 5. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh
( )
2
1
8
ABCD
S AC BD≤ +
. Dấu “=” xảy ra khi nào?
Bài 6. Cho đường tròn (O) và đường thẳng
d
cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Từ một điểm
M bất kỳ trên
d
và nằm ở miền ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MP và MN (P và N là

các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng khi M di động trên
d
thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi
qua hai điểm cố đònh.
b) Tìm tập hợp các tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
H Ế T