Đáp án (Toán chung) 2005-2006 đề thi vào trường chuyên Quang Trung

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
NĂM HỌC 2005 – 2006
Môn thi: Toán (Bài thi chung cho các môn)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------
Bài 1
a) Cho hàm số
y ax b= +
. Tính
,a b
biết đồ thò của hàm số đi qua điểm
(3; 1)−
và cắt trục
hoành tại điểm có hoành độ bằng
5
2
−
.
Gi ả i
+) Đồ thò hàm số đi qua điểm
(3; 1)− ⇒

1 3 3 1a b a b− = + ⇔ + = −
+) Đồ thò hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
5
2
−
nghóa là đồ thò hàm số đia qua
điểm
5 5

;0 0 5 2 0
2 2
a
b a b
 
− ⇒ = − + ⇔ − =
 ÷
 
Vậy ta có hệ phương trình
2
3 1
11
5 2 0 5
11
a
a b
a b
b

= −

+ = −


⇔
 
− =


= −



+) Kết luận: Hàm số cần tìm có phương trình là
2 5
11 11
y x= − −
b) Viết công thức một hàm số, biết đồ thò của nó song song với đồ thò của hàm số vừa tìm
được ở câu
( )a
và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5.
Gi ả i
+) Hàm số cần tìm song song với hàm số
2 5
11 11
y x= − −
nên nó có công thức
2
11
y x c= − +
+) Hàm số có đồ thò cắt trục Oy tại điểm (0; 5)
5 0 5c c⇒ = + ⇔ =
+) Vậy hàm số cần tìm có công thức là:
2
5
11
y x= − +
Bài 2 Rút gọn biểu thức
2
2
(1 ) 1 1

:
1 1 1
a a a a a a
Q a a
a a a
 
  
− − +
= + −
 
 ÷ ÷
− − +
 
  
 
Gi ả i
Ta có
2
2
(1 ) 1 1
:
1 1 1
a a a a a a a a a a
Q
a a a
 
  
− − + − + − −
=
 

 ÷ ÷
− − +
 
  
 
2
2
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
:
1 1 1
a a a a a a a a
a a a
 
   
− − + − − − −
=
 ÷
   
 ÷
− − +
   
 
( ) ( )
2 2
2
2 2 2
(1 ) 1 (1 ) 1
(1 ) (1 )
: : (1 )
1 1 11 1

a a a a
a a a a a
a
a a aa a
 
   
− + − −
− −
 ÷
   
= = − =
 ÷
   
− − −− +
   
 
Bài 3 Giải phương trình
2
2
18 3
13
2 2
x x
x
x
 
+ = −
 ÷
 
Gi ả i

+)ĐK:
0x ≠
+) PT
2
2
9 13 3
4 2 2
x x
x
x
 
⇔ + = −
 ÷
 
Đặt
3
,
2
x
t t R
x
= − ∈
, ta có
2 2
2 2
2 2
9 9
3 3
4 4
x x

t t
x x
= + − ⇒ + = +
Phương trình trở thành:
2 2
6
13
3 2 13 6 0
1
2
2
t
t t t t
t
=


+ = ⇔ − + = ⇔

=

+) Với t = 6, ta có
2
3 15
3
6 6 6 0
2
3 15
x
x

x x
x
x

= +
− = ⇔ − − = ⇔

= −


+) Với
1
2
t =
, ta có
2
3
3 1
6 0
2
2 2
x
x
x x
x
x
=

− = ⇔ − − = ⇔


= −

+) KL: PT đã cho có tập nghiệm là
{ }
2; 3 15; 3; 3 15T = − − +
Bài 4 Hai người làm chung một công việc thì trong 20 ngày sẽ hoàn thành. Sau khi làm
chung được 12 ngày thì một người đi làm việc khác, trong khi người kia vẫn tiếp tục làm.
Đi được 12 ngày thì người thứ nhất trở lại làm việc tiếp trong 6 ngày nữa (trong 6 ngày đó
thì người thứ 2 không làm) và công việc hoàn thành. Hỏi nếu làm riêng từng người thì mỗi
người phải làm mất bao nhiêu ngày mới xong việc?
Gi ả i
+) Gọi x là số ngày mà người thứ nhất làm một mình để xong công việc, x là số nguyên
dương và x > 20. Do đó một này người thứ nhất sẽ làm được
1
x
công việc.
+) Gọi y là số ngày mà người thứ hai làm một mình để xong công việc, y là số nguyên dương
và y > 20. Do đó một này người thứ hai sẽ làm được
1
y
công việc.
+) Hai người làm chung trong 20 ngày thì xong công việc nên ta có:
20 20
1
x y
+ =
+) Trong 12 ngày làm chung 2 người đã làm được
12 12
x y
+

phần công việc.
+) Số phần công việc mà người thứ nhất làm một mình trong 12 ngày là:
12
x
.
+) Số phần công việc mà người thứ hai làm một mình trong 6 ngày là:
6
y
.
Theo giả thiết ta có phương trình:
12 12 12 6 24 18
1 1
x y x y x y
+ + + = ⇔ + =
Vậy ta có hệ phương trình:
20 20
1
24 18
1
x y
x y

+ =




+ =



Đặt
1 1
,a b
x y
= =
ta có hệ
1
20 20 1
60
24 18 1 1
30
a
a b
a b
b

=

+ =


⇔
 
+ =


=


Do đó ta có

60, 30x y= =
.
+) KL: Nếu người thứ nhất làm một mình thì trong 60 ngày sẽ xong công việc còn nếu người
thứ hai làm một mình thì trong 30 ngày sẽ xong công việc.
Bài 5 Một hình vành khăn có diện tích là
2
25 ( )cm
π
. Tính độ dài dây cung của đường tròn
lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ.
Gi ả i
+) Gọi R là bán kính đường tròn lớn và r là bán
kính đường tròn nhỏ.
+) Theo giả thiết diện tích hình vành khăn là
2
25 ( )cm
π
nên ta có:
2 2 2 2
25 25R r R r
π π π
− = ⇔ − =
+) Gọi M là trung điểm của AB ta có:
2 2
25 5MA R r= − = =
Do đó AB = 2MA = 10 (cm).
Bài 6 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm o. AA’, BB’, CC’ là các đường cao
của tam giác và H là trực tâm. Đường thẳng B’C’ cắt đường tròn (O) ở M và N(B’ nằm
giữa M và C’). Chứng minh rằng;
a) AM = AN.

b) Tam giác ABM đồng dạng với tam giác AMC’.
c)
2
' . 'AM AC AB AH AA= =
.
Hết
C
2
( )
C
1
( )
O
M
B
A