Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng hall trong siêu mạng pha tạp ( cơ chế tán xạ điện tử phonon âm)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.26 MB, 61 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------
BÙI THỊ THANH LAN
ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN
HIỆU ỨNG HALL TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP
(CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM)
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
HÀ NỘI, 2018
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------
BÙI THỊ THANH LAN
ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN
HIỆU ỨNG HALL TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP
(CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM)
Chuyên ngành : Vật lí lí thuyết và vật lí toán
Mã số:
60440103
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ THÁI HƢNG
GS. TS. NGUYỄN QUANG BÁU
HÀ NỘI, 2018
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến TS. Lê Thái
Hưng và GS.TS. Nguyễn Quang Báu– những ngưòi thày đã tận tình hướng dẫn,
đóng góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận
văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Vật lý và phòng Sau đại
học của Trưòng Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo
điều kiện tốt nhất cho tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng bày tỏ lòng
biết ơn chân thành tới các thày, cô và các bạn thuộc Bộ môn Vật lý lý thuyết, khoa
Vật lý của Trưòng Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội đã đóng
góp ý kiến quý báu cho luận văn.
Cuối cùng, tác giả xin cám ơn sự giúp đõ tận tình của bạn bè và những ngưòi
thân trong gia đình đã động viên cho tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến mọi người.
Luận văn được hoàn thành với sự tài trợ của đề tài QG.17.38.
Hà Nội, tháng 03 năm 2018
Tác giả luận văn
Bùi Thị Thanh Lan
Luận văn thạc sĩ
Bùi Thị Thanh Lan
DANH MỤC BẢNG SỐ LIỆU VÀ HÌNH VẼ
SỐ HIỆU
TÊN
TRANG
Bảng 3.1
Tham số vật liệu được s d ng trong quá trình t nh toán
34
Hình 3.1
34
Sự ph thuộc của hệ số Hall RH vào từ trường B trong
siêu mạng pha tạp trường hợp phonon giam cầm (đường
màu đỏ và màu xanh l c) và trường hợp phonon khối
(đường
màu
xanh
lá
)trong
đó:
E=105V/m,
T=100K,d=20nm ,nD=1023m-3
Hình 3.2
Sự ph thuộc của hệ số Hall
vào tần số sóng điện từ
35
trong siêu mạng pha tạp trường hợp phonon giam
cầm(đường màu đỏ )và phonon không giam cầm (đường
màu xanh nét đứt )trong đó: E=105V/m, T=100K,
d=20nm, nD=1023m-3
Hình 3.3
Sự ph thuộc của hệ số Hall vào cường độ trường laser
36
Eo trong siêu mạng pha tạp trường hợp phonon giam
cầm (đường màu xanh l c và xanh lá )và phonon khối
(đường màu đỏ) trong đó : T=100K, d=20nm, nD=1023m3
Hình 3.4
Sự ph thuộc của hệ số Hall vào nhiệt độ T trong siêu
mạng pha tạp trường hợp phonon giam cầm(đường màu
xanh l c và xanh lá )và phonon khối (đường màu đỏ)
trong đó : E=105V/m,d=20nm,nD=1023m-3
37
Luận văn thạc sĩ
Bùi Thị Thanh Lan
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
DANH MỤC BẢNG SỐ LIỆU VÀ HÌNH VẼ
MỞ ĐẦU.............................................................................................................1
Chƣơng 1. Hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử giam cầm và phonon
giam cầm trong siêu mạng pha tạp và lý thuyết về hiệu ứng Hall trong siêu
mạng pha tạp ( Trƣờng hợp phonon không giam cầm) .................................3
1.1. Tổng quan về hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử và phonon giam
cầm trong siêu mạng pha tạp...........................................................................3
1.2. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong siêu mạng pha tạp trường hợp
phonon không giam cầm.................................................................................7
Chƣơng 2. Biểu thức giải tích của hệ số Hall trong siêu mạng pha
tạp với cơ chế tán xạ điện tử giam cầm...................................9
2.1. Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong siêu mạng pha
tạp ...............................................................................................................9
2.2. Biểu thức giải tích của hệ số Hall trong siêu mạng pha tạp với cơ chế tán
xạ điện tử - phonon âm giam cầm..............................................................25
Chƣơng 3. Tính toán số và vẽ đồ thị hệ số Hall trong siêu
mạng pha tạp GaAs:Be/GaAs:Si....................................... 34
3.1. Sự phụ thuộc của hệ số Hall RH vào từ trường B trong siêu mạng pha
tạp..............................................................................................................34
3.2. Sự phụ thuộc của hệ số Hall RH vào tần số trong siêu mạng pha
tạp..............................................................................................................35
Luận văn thạc sĩ
Bùi Thị Thanh Lan
3.3. Sự phụ thuộc của hệ số Hall RH vào cường độ Eo trong siêu mạng pha
tạp..............................................................................................................36
3.4. Sự phụ thuộc của hệ số Hall RH vào nhiệt độ T trong siêu mạng pha
tạp..............................................................................................................37
KẾT LUẬN.................................................................................................38
TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................39
PHỤ LỤC........................................................................................................42
Luận văn thạc sĩ
Bùi Thị Thanh Lan
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong thời đại ngày nay, khi mà các chất bán dẫn đang đóng một vai trò vô cùng
quan trọng trong ngành công nghiệp quang – điện tử học thì việc đòi hỏi sự ra đời
của các vật liệu mới có các tính chất ưu việt hơn đang trở thành nhu cầu cấp bách.
Ở thế kỉ trước, các nhà vật lý còn chưa tập trung nghiên cứu hệ bán dẫn thấp
chiều. Song thời gian gần đây, hệ bán dẫn thấp chiều đang trở thành xu hướng
nghiên cứu chủ yếu. Điều này là do sự khác biệt giữa hàm sóng và phổ năng lượng
của điện tử trong hệ thấp chiều so với hàm sóng và phổ năng lượng trong bán dẫn
khối.
Kết quả nghiên cứu cấu trúc cũng như các hiện tượng vật lý cho thấy cấu trúc
thấp chiều đã làm thay đổi đáng kể nhiều đặc tính của vật liệu, xuất hiện thêm nhiều
đặc tính mới mà các hệ điện tử 3D không có. Nhờ đó mang lại ý nghĩa lớn trong
việc tạo ra các linh kiện điện tử thế hệ mới có nhiều ứng dụng trong đời sống. [1-6].
Các bài toán đặt ra với hệ bán dẫn thấp chiều là xét cấu trúc điện tử; tính chất từ,
tính chất quang; tính chất tán xạ, hiệu ứng Hall, hiệu ứng Shubnikov - DeHaas...
Nhiều công trình nghiên cứu về tính chất và các hiệu ứng trên như các công trình [722].
Thời gian trước, các nhà vật lý mới chỉ xét đến hiệu ứng Hall trường hợp phonon
không giam cầm [14,23]. Thời gian trở lại đây, các nghiên cứu đã chỉ ra sự đóng
góp đáng kể của phonon giam cầm đối với các hiệu ứng động trong hệ bán dẫn thấp
chiều [4,6].
Từ tất cả các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài là: “Ảnh hưởng của phonon giam
cầm lên hiệu ứng Hall trong siêu mạng pha tạp (cơ chế tán xạ điện tử- phonon âm)”
2. Mục tiêu nghiên cứu:
Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu ảnh hưởng của phonon âm giam cầm lên
hiệu ứng Hall trong siêu mạng pha tạp. Tính toán và thu nhận sự phụ thuộc của hệ
số Hall vào từ trường, tần số và cường độ của bức xạ laser, nhiệt độ của hệ.
3. Phương pháp và nội dung nghiên cứu:
Khi nghiên cứu lý thuyết về hiệu ứng Hall ta có rất nhiều phương pháp khác
nhau như: phương pháp phương trình động lượng tử, phương pháp phương trình
1
Luận văn thạc sĩ
Bùi Thị Thanh Lan
động học Boltzmann, ... Trong đề tài này, chúng tôi lựa chọn phương pháp phương
trình động lượng tử. Phương pháp này cho các kết quả tường minh và có độ tin cậy
khoa học. Sau khi thu được biểu thức của hệ số Hall, chúng tôi thực hiện việc khảo
sát sự phụ thuộc của hệ số Hall vào các tham số siêu mạng pha tạp
GaAs:Be/GaAs:Si vào tần số, nhiệt độ, từ trường, điện trường với phần mềm tính
số Matlap.
4. Cấu trúc luận văn:
Cấu trúc luận văn gồm ba chương. Ngoài ra còn phần mở đầu, kết luận , tài liệu
tham khảo và phụ lục. Cụ thể:
Chương 1. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử giam cầm và phonon
giam cầm trong siêu mạng pha tạp và lý thuyết về hiệu ứng Hall trong siêu mạng pha
tạp (Trường hợp phonon không giam cầm )
Chương 2. Biểu thức giải tích của hệ số Hall trong siêu mạng pha tạp với cơ chế
tán xạ điện tử - phonon âm giam cầm.
Chương 3. Tính toán số và vẽ đồ thị hệ số Hall trong siêu mạng pha tạp
GaAs:Be/GaAs:Si.
5. Kết luận chung:
Các kết quả nghiên cứu trong luận văn cho thấy rằng ảnh hưởng của phonon âm
giam cầm lên hiệu ứng Hall của điện tử trong siêu mạng pha tạp là đáng kể và phụ
thuộc vào chỉ số lượng tử m. Các kết quả thu được sẽ tương tự như trong trường
hợp phonon khối thông thường khi cho chỉ số lượng tử m tiến đến 0.
Luận văn thạc sĩ
Bùi Thị Thanh Lan
CHƢƠNG I: HÀM SÓNG VÀ PHỔ NĂNG LƢỢNG CỦA ĐIỆN TỬ GIAM
CẦM VÀ PHONON GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ LÝ
THUYẾT VỀ HIỆU ỨNG HALL TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP.
1.1. Tổng quan về hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử và phonon
giam cầm trong siêu mạng pha tạp
Trong các hệ vật liệu thấp chiều, chuyển động của điện tử bị giới hạn theo 1 số
chiều xác định và bị định xứ mạnh. Các điện tử chuyển động tự do theo chiều còn
lại. Hàng loạt các hiện tượng vật lý mới sẽ xuất hiện khi các hạt tải bị giới hạn trong
các vùng kích thước cỡ bước sóng DeBroglie.
Năng lượng của điện tử bị lượng tử hóa theo các chiều bị giới hạn với các mức
năng lượng xác định EN (N = 1, 2 ...). Còn với các chiều tự do, các hạt tải chuyển
động mà không bị ảnh hưởng bởi hố thế năng, phổ năng lượng. Kết quả là năng
lượng tổng của hệ điện tử là gián đoạn theo hướng có sự lượng tử hóa và liên tục khi
xét chuyển động trong mặt phẳng của hố thế [1,2].
Xét đến hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử và phonon giam cầm trong
siêu mạng pha tạp, trước hết ta xét cấu trúc của siêu mạng pha tạp. Trong các hệ
thấp chiều, siêu mạng pha tạp được cấu tạo từ hai bán dẫn đồng chất, được pha tạp
một cách khác nhau và xếp chồng chập lên nhau. Thế siêu mạng được tạo nên nhờ
sự phân bố tuần hoàn trong không gian của các điện tích và đóng vai trò quyết định
đối với việc tạo nên bán dẫn pha tạp. Chẳng hạn, siêu mạng pha tạp n-GaAs/pGaAs là sự sắp xếp tuần hoàn của các lớp bán dẫn mỏng GaAs loại n (GaAs:Si) và
GaAs loại p (GaAs:Be), ngăn cách bởi các lớp GaAs không pha tạp (gọi là tinh thể
n-i-p-i). Ưu điểm của siêu mạng pha tạp là các tham số của siêu mạng có thể điều
chỉnh dễ dàng nhờ thay đổi nồng độ pha tạp [3-6].
Trong không gian mạng tinh thể của siêu mạng pha tạp, chuyển động của điện
tử bị giới hạn rất mạnh theo một phương và tự do theo hai phương còn lại. Vì thế,
chuyển động của điện tử bị lượng tử hóa với các mức năng lượng gián đoạn theo
Luận văn thạc sĩ
Bùi Thị Thanh Lan
phương bị giới hạn (thường chọn là theo phương z), chuyển động là tự do trong mặt
phẳng hai phương còn lại (x,y).
Dựa trên mô hình đơn giản cho siêu mạng pha tạp đặt trong một từ trường B ,
một điện trường không đổi E1 , bức xạ laser E E 0 sin t và sử dụng hệ đơn vị
lượng tử với
(r )
1 . Khi đó hàm sóng của điện tử có dạng:
1
ip y
N ( x x0 )e y n ( z ) ,
Ly
(1.1)
trong đó:
N ( x x0 ) : là hàm sóng điều hoà,
1
z2
z
n ( z ) n
exp( 2 ) H n ( ) : là hàm riêng của các mức năng lượng con,
2lz
lz
2 n ! lz
Ly : là độ dài chuẩn hóa theo phương y,
1
lz
me p
, H n ( z ) : đa thức Hermite thứ n,
p y (0, py ,0) : là vector sóng theo phương y,
và phổ năng lượng được viết theo công thức:
1
2
1
2
1
2
N ,n ( p y ) ( N )c (n ) p d p y med2 ,
trong đó:
(1.2)
Luận văn thạc sĩ
Bùi Thị Thanh Lan
N=0,1,2,...: là chỉ số mức phân vùng Landau,
n = 0,1,2,...: là chỉ số lượng tử hóa của các mức con,
c
eB
: là tần số cyclotron,
me
1
4 e 2 nD 2
p
: là tần số plasma gây ra bởi các tạp chất dornor với nồng độ
e0 me
pha tạp nD ,
d
E1
: là vận tốc kéo theo của điện tử.
B
Độ dày và nồng độ của lớp bán dẫn n và bán dẫn p trong siêu mạng pha tạp
được giả định bằng nhau : d n d p
d
và nn n p nD ,
2
với:
d: là chu kì của siêu mạng pha tạp,
nD : nồng độ của siêu mạng pha tạp.
Đối với phonon âm giam cầm trong siêu mạng pha tạp, tần số và véc tơ sóng q
của phonon bị lượng tử hóa và được biểu diễn dưới dạng:
q (q , qm ), qm
m
, m=1,2,3...,
d
(1.3)
Luận văn thạc sĩ
Bùi Thị Thanh Lan
2
m,q 2 v02 v 2 ( q qm2 )
,
(1.4)
trong đó:
q : véc tơ xung lượng của phonon trên mặt phẳng xy,
qm
m
: là các giá trị xung lượng của phonon theo phương z,
d
m: chỉ số lượng tử đặc trưng cho sự giam cầm phonon trong siêu mạng pha tạp,
: hằng số có thứ nguyên vận tốc.
Yếu tố ma trận tán xạ điện tử - phonon âm trong siêu mạng pha tạp:
DNm,n, N ',n ',q Cm,q I nm,n ' J N , N ' (u ) ,
trong đó:
2
C
m, q
2q
: là hệ số tương tác của điện tử giam cầm – phonon âm giam
2 BV
cầm trong siêu mạng pha tạp,
2
J N , N ' (u )
2 2
2
N ! u N ' N N ' N
1
L (u ) ; u l q , l
eu
: là bán kính quỹ đạo
N '!
c me
2
Landau của điện tử,
I
m
n,n '
N d 1
k 0
2
m z
m z *
(m 1)sin
(m)cos
n ' ( z kd )n ( z kd )dz : là biểu
d 0
d
d
d
thức thừa số dạng trong siêu mạng pha tạp.
Luận văn thạc sĩ
Bùi Thị Thanh Lan
Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng Hall trong siêu mạng pha tạp trƣờng
1.2.
hợp phonon không giam cầm
Trong siêu mạng pha tạp, biểu thức Hamintonian của hệ điện tử - phonon được
viết dạng tổng quát như sau:
H= H e + H ph + H e ph .
Xét khi đặt trong từ trường B và điện trường không đổi E1 , một trường laser
E E 0 sin t và sử dụng hệ đơn vị lượng tử với
1 thì biểu thức Hamintonian
của hệ trở thành :
H
e
(
p
b b
N ,n y c A(t ))a N ,n, py aN ,n, py
q q
q
N ,n , p
q
y
(q )a
N , n , q
N , n , p y q
a
N ,n, py
N , N ', n , n ', p y , q
C I nn,n ' J N , N ' (u )a
q
N ', n ', p y q y
a
N ,n, p y
(b b
q
q
)
(1.5)
trong đó: A(t )
c
E 0 cos t :là thế vector của trường điện từ,
c: là vận tốc ánh sáng trong chân không,
a
N ,n, py
,a
N ,n , p y
: là toán tử sinh, hủy điện tử,
b , b : là toán tử sinh hủy phonon,
q
q
Luận văn thạc sĩ
Bùi Thị Thanh Lan
p, q : là véc tơ sóng của điện tử và của phonon.
Từ biểu thức Hamintonnian (1.5) thay vào phương trình động lượng tử cho hàm
phân bố điện tử trong siêu mạng pha tạp f
f
i
(t )
N ,n, py
t
N ,n, py
(t ) a
N ,n , p y
a
N ,n , p y
t
ta được:
a a , H .
p p t
Lựa chọn phương truyền sóng thích hợp và thực hiện các phép biến đổi đại số ta
sẽ thu được biểu thức của tensor độ dẫn:
ip
c ijk h j c 2 2 hi hk a kp b( kp c klp hl c 2 2 hk hp ) .
2 2 ik
1 c
Từ đó, ta suy ra biểu thức giải tích của hệ số Hall trong siêu mạng pha tạp:
RH
yx
1
2 xx 2 yx
.
(1.6)
Nhận xét: Kết quả trên cho thấy sự phụ thuộc của hệ số Hall vào từ trường, tần
số và cường độ của bức xạ laser, nhiệt độ của hệ là phức tạp hơn nhiều so với lý
thuyết cổ điển.
Luận văn thạc sĩ
Bùi Thị Thanh Lan
CHƢƠNG II: BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA HỆ SỐ HALL TRONG SIÊU
MẠNG PHA TẠP VỚI CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM GIAM
CẦM.
Trong chương này tôi sẽ trình bày sự phụ thuộc của hệ số Hall vào từ trường
với cơ chế tán xạ điện tử- phonon âm giam cầm trong siêu mạng pha tạp. Đầu tiên,
tôi sẽ thiết lập phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử , sau đó thiết
lập biểu thức giải tích của hệ số Hall với cơ chế tán xạ điện tử - phonon âm giam
cầm trong siêu mạng pha tạp.
2.1. Phƣơng trình động lƣợng tử cho hàm phân bố điện tử trong siêu
mạng pha tạp
Trong siêu mạng pha tạp, biểu thức Hamintonian của hệ điện tử - phonon khi
đặt trong từ trường B và điện trường không đổi E1 vuông góc với nhau, một trường
laser mạnh E E0 sin t , trong đó E0 và tương ứng là biên độ và tần số của
sóng điện từ và sử dụng hệ đơn vị lượng tử với
H
e
(
p
A
(
t
))
a
a
b
b
(
q
a
N ,n y c
)a
N ,n, py N ,n, py
m, q m, q
m, q
N , n , p y q N , n , p y
N ,n, p
m, q
N ,n,q
C
N , N ', n , n ', p y , q
y
1:
n
n ,n ' N , N '
I J
m , q
(u )a
N ', n ', p y q y
a
N ,n, p y
(b
m , q
b
m , q
)
,
trong đó: A(t )
(2.1)
c
E 0 cos t :là thế vector của trường điện từ,
c : là vận tốc ánh sáng trong chân không,
N ,n ( p y ) : là năng lượng của electron ở trạng thái véc tơ sóng p y
m, q
:là năng lượng của phonon,
,
Luận văn thạc sĩ
Bùi Thị Thanh Lan
( q ) : thế vô hướng,
a
,a
N ,n, py
b , b
m, q
N ,n , p y
m, q
: là toán tử sinh và toán tử hủy điện tử,
: là toán tử sinh hủy phonon,
p, q : là véc tơ sóng của điện tử và của phonon,
C
m , q
I nn,n ' J N , N ' (u ) : là yếu tố ma trận tương tác electron – phonon.
Từ biểu thức Hamintonnian ta suy ra phương trình động lượng cho hàm
phân bố điện tử trong siêu mạng pha tạp có dạng:
f
(t )
N ,n, p
i
t
a a , H
N ,n, p N ,n, p
(2.2)
t
.
Biểu diễn các giao hoán tử trong vế phải của (2.2):
* Số hạng thứ nhất:
[a
N ,n, py
a
N ,n, py
,
N ', n ', p y
e
N ',n ' p y ' A(t ) a
a
]
N ', n ', p ' N ', n ', p '
c
'
y
y
e
N ',n ' p y ' A(t ) a
a
a
a
N ,n, p y N ,n, p y
N ', n ', p y ' N ', n ', p y '
c
N ', n ', p '
y
N ', n ', p y
e
N ',n ' p y ' A(t ) a
a
a
a
N ', n ', p ' N ', n ', p '
N ,n, p N ,n , p
c
'
y
y
y
y
Luận văn thạc sĩ
Bùi Thị Thanh Lan
e
N ',n ' py ' c A(t ) a N ,n, py ( N , N ' n,n ' py ,p y' a N ',n ', py ' .aN ,n, py )aN ',n ', py '
N ', n ', p '
y
a
N ', n ', p y '
( N , N ' n,n ' a
py , p y'
.a
N ,n, p y
)a
N ', n ', p y '
N ,n, p y
e
N ',n ' py ' c A(t ) a N ,n, py .aN ',n ', py ' N ,N ' n,n ' py ,p y' a N ,n, py .aN ,n, py a N ',n ', py '.aN ',n ', py '
N ', n ', p '
y
a
.a
N ', n ', p y '
N ,n , p y
. N , N ' n,n ' a
py , p y'
.a
N ', n ', p y '
.a
N ,n , p y
.a
N ', n ', p y '
N ,n , py
e
N ',n ' p y ' A(t ) a .a N , N ' n,n ' a a .a .a
py , p y'
N , n , p y N ',n ', p y ' N ,n , p y N ',n ', p y '
c
N ,n, py N ',n ', py '
N ', n ', p '
y
a
.a
N ', n ', p y '
N ,n , p y
. N , N ' n,n ' a
py , p y'
N ,n , p y
a
.a
N ', n ', p y '
.a
N ,n , p y
N ', n ', p y '
e
N ',n ' py ' c A(t ) a N ,n, py .aN ',n ', py ' N ,N ' n,n ' py ,p y' a N ',n ', py '.aN ,n, py . N ,N ' n,n ' py ,p y'
N ', n ', p '
y
N ', n ', p y
a
e
e
N ',n ' p y ' A(t ) a
.a
N , N ' n,n '
N ',n ' p y ' A(t )
p ,p '
c
c
N ,n, p N ',n ', p '
'
N ', n ', p '
y
y
y
y
y
.a
N ', n ', p y '
N ,n , p y
. N , N ' n,n '
py , p y'
e
e
N ',n ' p y ' A(t ) a .a N ',n ' p y ' A(t ) a .a 0.
c
c
N ,n, p y N ,n, p y
N ,n , p y N ,n , p y
(2.3)
*Số hạng thứ hai:
[a
N ,n, py
m, q
m, q
a
N ,n, py
m , q
m , q
a
m , q
,
a
N ,n, p y
a
N ,n, p y
b
b
m , q m , q
b
N ,n, p y
a
N ,n, p y
b
m , q m , q
b
]
m , q
b
m , q m , q
m, q
m, q
b
m , q
m , q
b
m , q m , q
a
N ,n, p y
a
a
a
N ,n, p y
N ,n, p y
b
N ,n, p y
b
0.
m , q m , q
(2.4)
*Số hạng thứ ba:
Luận văn thạc sĩ
Bùi Thị Thanh Lan
f (t )
py
.
a
i e E1 c p y , h , N ,n ,
a
, ( q )a
a
N , n , p y q N , n , p y
N ,n , p y N ,n , p y q
p
y
(2.5)
*Số hạng thứ tư :
Ta có:
a
a
,a
a
N ,n, py N ,n, py
N1' , n1' , p y ' q y N1 , n1 , p ' y
a a
N , N ' n , n '
a
1
1
N ,n, py
py , py ' q y
N1 , n1 , p ' y
N1' , n1' , p y ' q y
a
N ,n, py
N , N n ,n
1
1
,
py , py '
do đó:
n
a
a
,
C I n ,n ' J N1 , N1 ' (u )a N1' ,n1' , py'qy aN1 ,n1 , py qy (bm,q b m,q )
N , n , p y N , n , p y N , N ', n , n ', m , q 1 1
1 1 1 1
m , p y' , q
C I nn1 ,n1 ' J N1 , N1 ' (u )a a ' ' (b b ) N , N1 ' n ,n1 '
m , q
N1 , N1 ', n1 , n1 ',
N ,n, p y
N1 , n1 , p y
m , q
py , py q y
m , q
m , p y' , q
C
m , q
N1 , N1 ', n1 , n1 ',
I nn1 ,n1 ' J N1 , N1 ' (u )a
N1' , n1' , p y ' q y
a
N ,n , p y
(b
b
m , q
m , q
) N , N1 ' n ,n1 '
.
py , py '
m , p y' , q
Lấy tổng theo N,n, p y ' :
với N , N ' 1 khi N N1 ' ,
N , N 1 khi N N1 ,
1
1
n,n 1 khi n n1 ,
n,n ' 1 khi n n1 ' ,
1
1
p y , p y ' 1 khi p y p y ' ,
ta suy ra:
py , py 'qy
1 khi p y p y ' q y hay p y ' p y q y ,
Luận văn thạc sĩ
[a
a
N ,n , p y
C
N1 ', n1 , m , q
m , q
N1 ', n1 , m , q
C
N ', n ', p y ' q y
C
N1 ', n1 , m , q
F
m , q
I nn1 ,n1 ' J N1 , N1 ' (u )a
I nn1 ,n1 ' J N , N ' (u )a
I nn,n ' J N , N ' (u )(a
a
b
a
N , n , p y m , q
a
N1' , n1' , p y
I nn1 ,n1 ' J N1 , N1 ' (u )a
m , q
N1 ', n1 , m , q
a
C
C
N ', n , m , q
m , q
,
N ,n, p y
Bùi Thị Thanh Lan
a
N ', n ', p y
N ', n ', p y ' q y
N ,n , p y q y
N1' , n1' , p y ' q y
N1' , n1' , p y ' q y
a
(b
(b
m , q
b
b
N ,n , p y
m , q
m , q
)]
)
a
m , q
)
a
b
m , q
m , q
b
N , n , p y q y m , q
a
N1 , n1 , p y
b
(b
m , q
N ,n , p y
a
N ', n ', p y
N ,n , p y q y
b
m , q
)
I nn,n ' J N , N ' (u ) F
F
m , q
N , n ', p y q y , N ', n ', p y , m , q
N ,n , p y , N ',n ', p y q y ,m,q
N ', n ', p y q y ', N , n , p y , m , q
F
,
N , n , p y , N ', n ', p y q y , m , q
(2.6)
F
(t ) a
N1 , n1 , p1 , N 2 , n2 , p2 , m , q
với
F*
N1 , n1 , p1
N1 , n1 , p1 , N 2 , n2 , p2 , m , q
(t ) a
a
b
N 2 , n2 , p2
N 2 ,n2 , p2
a
m , q
b
t ,
N1 , n1 , p1 m , q
t .
Từ (2.3), (2.4), (2.5),(2.6) thay vào (2.2 ) và bỏ qua số hạng (2.5) trong gần
đúng ta thu được:
f
(t )
(t )
N ,n , py
e E 1 c p y , h ,
i C I nn,n ' J N , N ' (u )
m , q
t
p
N1 ', n1 , m , q
y
f
N ,n , p
(F
N , n , p y , N ', n ', m , p y q y , q
F*
N , n ', p y q y , N ', n ', p y , m , q
F
N ', n ', p y q y ', N , n , p y , m , q
F*
N ,n , p y , N ', n ', p y q y , m , q
) .
(2.7)
Luận văn thạc sĩ
Bùi Thị Thanh Lan
Thiết lập phương trình động lượng tử cho FN ,n , p , N ,n , p ,m ,q (t ) :
1 1 1
F
(t )
N1 , n1 , p1 , N 2 , n2 , p2 , m , q
i
t
a
a
N1 , n1 , p1
b
N2 , n2 , p2
m , q
2 2
2
, H t .
(2.8)
Sử dụng phép biến đổi đại số toán tử ta có :
[a
a
b
,
N1 , n1 , p1 N 2 , n2 , p2 m , q
N ', n , q
e
N ,n ( p y A(t ))a
a
]
N ,n , p N ,n , p
c
y
y
e
e
(
p
A
(
t
))
a
a
b
a
a
(
p
A(t ))a a a a b
N ,n y c
N ,n
y
N1 , n1 , p1 N2 , n2 , p2 m ,q N ,n , p y N ,n , p y
N ,n , p y N ,n , p y N1 ,n1 , p1 N 2 ,n2 , p2 m ,q
c
N ',n ,q
N ',n ,q
e
c
N ,n ( p y A(t ))a
N ', n , q
e
c
N ,n ( p y A(t ))a
N ', n , q
N1 , n1 , p1
N ,n, py
( N , N2 n ,n2
a
p2 , p y
( N , N1 n ,n1
a
N ,n , p y
a
p1 , p y
a
N1 , n1 , p1
)a
N ,n , p y
)a
N ,n , p y
b
N ,n , p y
m , q
b
N 2 , n2 , p2 m , q
e
N ,n ( p y A(t ))a ( N , N2 n,n2 a b a a a b )
N ,n , p y
p2 , p y N , n , p m , q
N , n , p y N , n , p y N ,n , p y m ,q
c
N ', n , q
e
N ,n ( p y A(t ))a ( N , N1 n,n1 a
b m , q a
a
a
b m , q )
N ,n , p y
p1 , p y N 2 , n2 , p2
N1 , n1 , p1 N , n , p y N 2 ,n2 , p2
c
N ', n , q
e
A(t ))a
a
b m , q N , N n , n
2
2
N1 , n1 , p1 N , n , p y
p2 , p y
c
N ,n ( p y
N ', n , q
N ,n ( p y
N ', n , q
e
A(t ))a
,
a
b m , q N , N n , n
1
1
N , n , p y N 2 , n2 , p2
p1 , p y
c
với: N , N 1 khi N N 2 ;
2
p2 , p y
1 khi p2 py
;
N , N 1 khi N N1 ;
1
p1 , p y
1 khi p1 p y ;
n,n 1 khi n n2 ;
2
n,n 1 khi n n1 ;
1
Luận văn thạc sĩ
Bùi Thị Thanh Lan
e
a
A(t ))a
a
b , N ,n ( p y
a
b
N
,
n
,
p
N
,
n
,
p
m
,
q
N
,
n
,
p
N
,
n
,
p
m
,
q
c
1 1 1 2 2 2 N ',n,q
y
y
e
e
N2 ,n2 ( p 2 A(t ))a a b N1 ,n1 ( p1 A(t ))a a b
N1 , n1 , p1 N2 , n2 , p2 m, q
N1 , n1 , p1 N2 , n2 , p2 m, q
c
c
e
e
N2 ,n2 ( p 2 A(t )) N1 ,n1 ( p1 A(t )) F
c
c
N1 ,n1 , p1 , N2 ,n2 , p2 ,m,q
.
(2.9)
* a
a
b ,
b
b
N
,
n
,
p
N
,
n
,
p
m
,
q
m
',
q
m
',
q
'
m
',
q
'
1 1 1 2 2 2 m ',q
a
m ', q
m ', q
m ', q
m ', q
m ', q
m ', q
m ', q
a
m ', q
m , q
m , q
b
N1 , n1 , p1
F
N2 , n2 , p2
b
m ', q '
a
m ', q '
a
N 2 , n2 , p2
b
N 2 , n2 , p2
a
N1 , n1 , p1
b
b
m , q
a
q , q ' N2 , n2 , p2
)b
b
a
N1 , n1 , p1 N2 , n2 , p2
b
m, q
m ', q '
)b
m , q
m ',q ' m ,q m ',q '
b
b
a
a
m ', q ' m ', q '
q ,q '
b
b
m ', q ' m , q
N 2 , n2 , p2
m,m ' a
m ', q '
b
a
m,m '
a
b
a
m ', q ' m ', q '
m ', q
b
m ', q
b
m ', q
q , q '
N1 , n1 , p1
b
( m,m '
a
q , q '
N1 , n1 , p1 N2 , n2 , p2
m ', q
a
( m,m '
N 2 , n2 , p2
b
m ', q ' m ', q '
m ', q '
m ', q
a
bm ',q ' b
m ', q
N1 , n1 , p1
m ', q
b b
a
m ', q
a
N1 , n1 , p1 N2 , n2 , p2 m, q
m ', q '
b
N1 , n1 , p1 m, q
N1 , n1 , p1
b
m , q
m , q
,
N1 , n1 , p1 , N2 , n2 , p2 , m, q
a
a
b
,
b
b
m,q FN1 ,n1 , p1 , N2 ,n2 , p2 ,m,q .
N1 ,n1 , p1 N2 ,n2 , p2 m,q m ',q m ',q m ',q ' m ',q '
Biến đổi tương tự ta có:
(2.10)
Luận văn thạc sĩ
*[a
a
N1 , n1 , p1
b
C
,
N 2 , n2 , p2 m , q
C
m ', q '
N , N ', n , n '
I nn,n ' J N , N ' (u )a
m ', q '
N ', N , n , n ',
Bùi Thị Thanh Lan
I nn, n ' J N , N ' (u )a
a
N1 , n1 , p1
a
N 2 , n2 , p2
a
N ', n ', p y q y
N ,n , p y
a
N ', n ', p y q y
(b
b
N , n , p y m , q
b
)]
)
m ', q '
m ', q '
(b
b
m ', q '
m ', q '
m , p y , q
C
m ', q '
N ', N , n , n ',
I nn,n ' J N , N ' (u )a
a
N ', n ', p y q y
a
N ,n , p y
a
N1 , n1 , p1
b
(b
N 2 , n2 , p2 m , q
b
m ', q '
m ', q '
)
m , p y , q
C
m ', q '
N , N ', n , n ',
I nn,n ' J N , N ' (u )a
a
N1 , n1 , p1
b
N ,n , p y
(b
m , q
b
m ', q '
) N2 , N ' n2 ,n '
m ', q '
q , q '
m , p y , q
C
N , N ', n , n ',
I nn,n ' J N , N ' (u )a
m ', q '
N ', n ', p y q y
a
(b
N 2 , n2 , p2
b
m ', q '
)b
m ', q '
m , q
N , N ' n ,n '
1
1
p y , p1
m , p y , q
C
m ', q '
N , N ', n , n ',
I nn,n ' J N , N ' (u )a
a
N1 , n1 , p1
a
N ', n ', p y q y
a
N 2 , n2 , p2
b
N ,n, p y
(b
m , q
b
m ', q '
m ', q '
)
m , p y , q
C
m ', q '
N , N ', n , n ',
I nn,n ' J N , N ' (u )a
N ', n ', p y q y
a
a
N1 , n1 , p1
a
N ,n, py
(b
N 2 , n2 , p2
b
m ', q '
m ', q '
)b
m , q
m , p y , q
C
m ', q '
N , n , m , q
C
m ', q '
N , n , m , q
I nn,n ' J N , N ' (u )a
I nn,n ' J N , N ' (u )a
a
N1 , n1 , p1
N ', n ', p y q y
N ', n ', p2 q y
a
a
b
(b
N 2 , n2 , p2 m , q
(b
N 2 , n2 , p2
b
m ', q '
b
m ', q '
m ', q '
)b
m ', q '
)
.
m , q
Lấy tổng:
+ Số hạng 1: Lấy N N1 , n n1 , m m ', p1 p 2 q' y q' y p 2 p1 q ,
+ Số hạng 2: Lấy N ' N2 , n ' n2 , m m ', p 2 p1 q' y q' y p 2 p1 q
,
với q ' q x q ' y ,
do vậy, ta có:
[a
N1 , N , p1
a
b
,
N 2 , m2 , p2 m , q N , N ', n , n ',
m ', p y , q
C
m ', q '
I nn,n ' J N , N ' (u )a
N ', n ', p y q ' y
a
N ,n , p y
(b
m ', q '
b
m ', q '
)]
Luận văn thạc sĩ
C
C
C
m , q
m , q
m , q
Bùi Thị Thanh Lan
I nm1 , n2 J N1 , N 2 (u )a
I nm1 , n2 J N1 , N 2 (u )a
I nm1 ,n2 J N1 , N2 (u )(a
a
N1 , n1 , p1
a
N1 , n1 , p1
b
N1 , n1 , p1 m , q
b
N1 , n1 , p1
a
N 2 , n2 , p2
b
(b
m , q
m , q
a
N 2 , n2 , p2
m ,q
m , q
N 2 , n2 , p2
(b
a
b
b
)b
m , q
N 2 , n2 , p2
b
)
m , q
b
m , q m , q
m , q
)
(2.11)
.
Từ (2.9),(2.10),(2.11) thay vào (2.8) ta được:
F
N1 , n1 , p1 , N 2 , n2 , p2 , m , q ( t )
t
e
e
p
A
(
t
)
p
A
(
t
)
q
F
N2 ,n2 2
N1 ,n1 1
m N ,n , p , N ,n , p ,m ,q (t )
c
c
1 1 1 2 2 2
.
C
Im J
(u ) a
a
b b
a
a
b
b )
m, q n1 ,n2 N1 , N2 N1 ,n1 , p1 N1 ,n1 , p1 m,q m,q t
N 2 , n2 , p2 N 2 , n2 , p2
m , q m , q
t
(2.12)
Phương trình (2.12) là phương trình vi phân cấp 1 không thuần nhất có dạng:
F(t )
t
M t F(t ) N t .
Để giải phương trình này trước hết ta cần giải phương trình vi phân thuần nhất
F 0(t )
tương ứng:
t
t
Biến đổi
M t F 0(t ) .
F 0 (t )
F 0(t )
t
t
M t1 dt1 lnF 0(t ) ln F 0
t
M
t1
dt1 Với ln F 0 t =0,
t
suy ra : F(t ) exp M t1 dt1.
0
Ta giải phương trình vi phân không thuần nhất (2.12) bằng phương pháp biến
Luận văn thạc sĩ
Bùi Thị Thanh Lan
thiên hằng số:
F(t ) C(t ) F 0(t )
F(t )
t
mà
C(t )
t
F(t )
t
suy ra:
C(t )
t
F
0
(t )
C(t )
F 0(t )
t
C(t )
t
F 0(t ) C(t ) M t F 0(t )
C(t )
t
F 0(t ) M t F(t ) ,
M t F(t ) Nt ,
C(t )
t
F 0(t ) M t F(t ) M t F(t ) Nt ,
Nt F
1
0
(t )
C(t )
t
vậy F(t )
t
t'
dt 'N 'exp( M
t
t'
t1
dt1 ),
t
dt 'N 'exp( M dt )exp( M dt )
t
t1
1
t'
Đưa tích phân
M
1
.
t'
t1
dt1 vào trong tích phân
dt ' do không phụ thuộc t’.
t
Suy ra F(t )
t1
t
dt 'N 'exp( M
t
Khi đó (2.12) có nghiệm:
t'
t1
dt1 M t1 dt1 )
t
t
dt 'N 'exp( M
t
t'
t1
dt1 ) .
Luận văn thạc sĩ
Bùi Thị Thanh Lan
t
F
N1 , n1 , p1 , N 2 , n2 , p2 , m , q
dt '(i)C
(t )
m , q
a
a
b b
N1 , n1 , p1 N1 , n1 , p1 m , q
m , q
I nm1 ,n2 J N1 , N2 (u )
a
a
N 2 , n2 , p2
t'
b
N 2 , n2 , p2
b
t'
)
m , q m , q
e
e
exp (i ) N2 ,n2 ( p 2 A(t )) N1 ,n1 ( p1 A(t )) m q dt1 ,
c
c
t'
t
vậy ta có:
t
F
N1 , n1 , p1 , N 2 , n2 , p2 , m , q
(t )
dt ' iC
m , q
a
)
a
b
b
N
,
n
,
p
N
,
n
,
p
m
,
q
m
,
q
2
2
2
2
2
2
I nm1 , n2 J N1 , N 2 (u )
a
a
N1 , n1 , p1
t'
b
N1 , n1 , p1
b
m , q
m , q
t'
1
2
1
e
2
2
exp i ( N 2 )c
n
m
v
v
p
A(t1 )
2
e d
d
2
2
2
2mx L
2
c
1
2
1
e
( N1 )c
n12 me vd 2 vd p1 A(t1 )
2
m
,
q
2
2mx L
2
c
,
hay
t
F
N1 , n1 , p1 , N 2 , n2 , p2 , m , q
(t )
dt ' iC
m , q
a
a
b
b )
N
,
n
,
p
N
,
n
,
p
m , q m , q
2 2
2
2 2
2
exp i (
a
N1 , n1 , p1
t'
N 2 , n2 , p 2
a
b
b
N1 , n1 , p1 m , q
m , q
t'
(2.13)
t
N1 , n1 , p1
I nm1 ,n2 J N1 , N 2 (u )
ie
( p 2 p1 ) A(t1 )dt1 ,
m
c
e
t'
m q )(t t ') exp
và:
t
F*
N1 , n1 , p1 , N 2 , n2 , p2 , m , q
(t )
dt ' iC
exp i (
N 2 , n2 , p 2
m , q
a
a
b b
N1 ,n1 , p1 N1 ,n1 , p1 m,q m,q
I nm1 ,n2 J N1 , N 2 (u )
a
t'
N1 , n1 , p1
N 2 , n2 , p2
a
N 2 , n2 , p2
b
m , q
)
m , q
t'
b
t
ie
( p1 p 2 ) A(t1 )dt1 .
m
c
e
t'
m q )(t t ') exp
(2.14)
Từ đó thu được các biểu thức:
