Chuyen de phan tich da thuc thanh nhan tu DAY DU dai so 8

Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.
Trước hết cần nhắc lại một số kiến thức cơ bản phục vụ cho việc giải
bài toán “Phân tích đa thức thành nhân tử ”.
a- Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó
thành một tích của những đa thức khác.
b- Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
a. (A+B) 2 = A2+2AB+B2
b. (A-B) 2 = A2-2AB+B2
c. A2-B2 = ( A-B)(A+B)
d. (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3
e. (A-B)3 = A3-3A2B +3AB2-B3
f. A3+B3 =(A+B)(A2 +AB +B2)
g. A3+B3 =(A+B)(A2 +AB +B2)
c- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường
a. Đặt nhân tử chung
b. Dùng hằng đẳng thức
c. Nhóm các hạng tử
d. Phối hợp các phương pháp trên
d. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp khác
a. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
b. Thêm, bớt cùng một hạng tử
c. Đặt ẩn phụ
d. Dùng phương pháp hệ số bất định
e. Nhẩm nghiệm
Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605


Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.
e. Đổi dấu một hạng tử A=-(-A)
f. Cho đa thức f(x), đa thức này có nghiệm x=a khi và chỉ khi f(a)=0
h. Cho đa thức f(x) = anxn + an -1xn-1 + ..... + a2x + a

Đa thức này nếu có nghiệm là số nguyên thì nghiệm đó phải là ước của a.
CÁC BÀI TẬP MẪU CỤ THỂ
1. Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
đặt nhân tử chung.
Đây là phương pháp được dùng cho các bài toán phân tích ở mức
độ đơn giản. Tuy nhiên có những đa thức cần phải biến đổi một số bước
mới xuất hiện nhân tử chung.
Bài tập mẫu 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x2- 3x
c.

2 2
x + 5x3 + x2y
5

b. 12x3- 6x2+3x
d. 14x2y-21xy2+28x2y2
Hướng dẫn giải

a. x2- 3x =x(x-3)
b. 12x3- 6x2+3x =3x(4x2 -2x +3)
c.

2 2
2
x + 5x3 + x2y = x2( + 5x + y)
5
5

d. 14x2y-21xy2+28x2y2 = 7xy(2x -3y +4xy)

Bài tập mẫu 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 5x2 (x -2y) -15xy(x -2y)

b. x(x+ y) +4x+4y
Hướng dẫn giải

a. 5x2 (x -2y) -15xy(x -2y) = (x -2y)(5x2-15xy)
Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605


Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.
= (x -2y)5x(x-3y)
b. x(x+ y) +4x+4y = x(x+ y)+(4x+4y)
= x(x + y)+(x + y)4
= (x+ y)(x + 4)
Ở hai Bài tập mẫu trên việc phân tích thức đa thành nhân tử ở mức
độ đơn giản. Học sinh nhận thấy ngay được nhân tử chung. Nhiều khi để
xuất hiện nhân tử chung phải đổi dấu các hạng tử có trong đa thức như
Bài tập mẫu sau:
Bài tập mẫu 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 10x(x-y)-8y(y-x)

b. 5x(x-2000) - x + 2000
Hướng dẫn giải

a.10x(x-y)-8y(y-x)
= 10x(x-y)+8y(x-y)
= (x-y)(10x+8y)
=2(x-y)(5x+4y)
b. 5x(x-2000) -x+2000

=5x(x-2000) -(x-2000)
=(x-2000)(5x -1)
Việc phân tích đa thức thành nhân tử được ứng dụng trong các bài
tập khác như tìm x chứng minh, tính giá trị của biểu thức.
Bài tập mẫu 4
Tính giá trị của biểu thức x(x-1)-y(1-x) tại x=2000, y=1999.
Hướng dẫn giải

Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605


Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.
Nếu theo cách làm thông thường ta sẽ thay ngay giá trị của biến vào biểu
thức để tính giá trị. Cách làm đó phải tính rất phức tạp mới cho kết quả.
Vì vậy giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích biểu thức thành nhân tử rồi
mới thay số tính giá trị biểu thức.
Ta có x(x-1)-y(1-x) =x(x-1)+y(x-1)
=(x-1)(x+y)
Thay x=2001, y=1999 ta được
(2001-1) (2001+1999)
= 2000.4000
= 8000000.
Bài tập mẫu 5: Chứng minh rằng 55n+1- 55n
Ta sẽ biến đổi vế trái thành một tích trong đó có một thừa số chia hết
cho 54
Ta có 55n+1-55n=55n.55 – 55n
=55n(55 -1)
=55n.54

Bài tập mẫu 6: Tìm x biết

5x(x-1) = x-1
5x(x-1) -(x-1) = 0
(x-1)(5x-1)

=0

x-1= 0 hoặc 5x-1= 0

Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605


Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.
x=1 hoặc x=

1
5

2. Phương pháp 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
dùng hằng đẳng thức
Vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử
đây là cách làm thông dụng nhất được áp dụng nhiều nhất. Để áp dụng
phương pháp này yêu cầu học sinh phải nắm chắc bảy hằng đẳng thức
đắng nhớ
Bài tập mẫu 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. x2-6x +9
d. x3+

1
x3

b. x2-6

c. 1- 27x3

e. -x3+9x2-27x +27
Hướng dẫn giải

a. x2-6x +9 =(x-3)2
b. x2-6 =(x- 6 ) (x+ 6 )
c. 1- 27x3 = (1-3x)(1+3x+9x2)
d. x3+

1
1
1
= (x+ )(x2-1+ 2 )
3
x
x
x

e. -x3+9x2-27x +27 =-(x3-9x2+27x -27) =-(x-3)3
Ở Bài tập mẫu trên là các hằng đẳng thức đã được khai triển. Việc
phân tích chỉ là cách viết theo chiều ngược lại của các hằng đẳng thức.

Bài tập mẫu 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. 8x3+12x2y +6xy2+y3

b. (xy+1)2-(x-y)2

Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605


Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.
Hướng dẫn giải

a. 8x3+12x2y +6xy2+y3
=(2x)3 +3.(2x)2y +3.2x.y2 +y3
=(2x+y)3
b.(xy+1)2-(x-y)2
=[(xy+1)-(x-y)].[(xy+1) +(x-y)]
=(xy-x-y+1)(xy+x-y+1)
3- Phương pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
nhóm các hạng tử.
Đối với phương pháp này cần lưy ý cho học sinh khi nhóm các hạng
tử phải chú đến dấu trước ngoặc đặc biệt là dấu trừ ở ngoài ngoặc.
Bài tập mẫu 1:Phân tích đa thức thành nhân tử.
a. x2 - x - y2 - y

b. x2 - 2xy + y2 - z2

c. x2 -3x + xy - 3y

d. 2xy +3z + 6y + xz
Hướng dẫn giải

a, x2 - x - y2 - y

b, x2 - 2xy + y2 - z2

=( x2 - y2 ) - (x +y)

=(x2 - 2xy + y2)- z2

= (x + y) (x - y)- (x +y)

=(x-y)2-z2

=(x + y) (x- y -1)

=(x-y-z)(x-y+z)

c, x2 -3x + xy - 3y

d, 2xy +3z + 6y + xz

=(x2+xy) -(3x+3y)

=(2xy+6y)+(3z+xz)

=x(x+y)-3(x+y)

=2y(x+3)+z(3+x)

=(x+y)(x-3)

=(x+3)(2y+z)

Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605

Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.
Ở Bài tập mẫu 1 khi phân tích đa thức thành nhân tử ta đã phối hợp
các phương pháp như : Nhóm các hạng tử đặt nhân tử chung và dùng
hằng đẳng thức.
Bài tập mẫu 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a. bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

b. a3(b2 -c 2)+b(c2-a2)+c(a2-b2)

Hướng dẫn giải

Phương pháp chung để làm loại toán này là khai triển hai trong số ba
hạng tử còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để từ đó làm xuất hiện nhân tử
chung chứa trong số hạng thử ba. Bài tập mẫu a ta khai triển hai hạng tử
đầu còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để làm xuất hiện nhân tử chung là a+
a. bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=b2c+bc2+c2a-ca2-ab(a+b)
=(b2c -ca2) +(bc2+c2a) -ab(a+b)
=c(b2-a2) +c2(b+a)- ab(a+b)
=c(b-a)(b+a)+c2(b+a) - ab(a+b)
=(b+a)(cb-ca +c2)- ab(a+b)
=(a+b)(cb-ca +c2- ab)
=(a+b)[(cb+c2)-(ca+ba)
=(a+b)[c(b+c)-a(c+b)]
=(a+b)(b+c)(c-a)

b.a3(b2 -c 2)+b3(c2-a2)+ c3(a2-b2)
=a3b2- a3c2 + b3c2 - b3a2+c3(a2-b2)
Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605

Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.
=(a3b2 -b3a2 ) –(a3c2 -b3c2 ) +c3(a2-b2)
=a2b2 (a-b) – c2(a3-b3)+c3(a2-b2)
=a2b2 (a-b) –c2(a-b)(a2+ab+b2)+c3(a-b)(a+b)
= (a-b)(a2b2-c2a2-c2ab- c2b2 + c3a + c3b)
= (a-b)[( a2b2-c2b2)+ (c3b-c2ab) + (c3a -c2a2)]
=(a-b)[b2(a-c)(a+c) + c2b(c-a) + c2a(c-a)]
=(a-b)(a-c)(b2a+b2c -c2b –c2a)
=(a-b)(a-c)[(b2a -c2a) + (b2c -c2b )]
=(a-b)(a-c)[ a(b-c)(b+c) +bc(b-c)]
=(a-b)(a-c) (b-c)(ab+ac +bc)
Các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
nhóm như thế nào cuối cùng cũng phải đạt được mục đích là có nhân tử
chung hoặc vận dụng được hằng đẳng thức đáng nhớ
4- Phương pháp 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Phương pháp này cho các đa thức chưa phân tích được ngay thành
nhân tử. Ta tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để vận dụng các
phương pháp đã biết.
Bài tập mẫu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a. x2-7x+12
b. 4x2-3x-1
Hướng dẫn giải

a. x2-7x+12
Cách 1: Tách số hạng -7x thành - 4x-3x
Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605

Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.
Ta có x2-7x+12 =x2-4x-3x +12
=(x2-4x)-(3x -12)
= x(x-4)-3(x-4)
=(x-4)(x-3)
Cách 2: Tách số hạng 12 thành 21- 9
x2-7x+12 =x2-7x +21-9
=(x2-9) –(7x-21)
=(x-3) (x+3) -7(x-3)
=(x-3) (x+3 -7)
=(x-3) (x -4)
b. 4x2-3x-1
Cách 1: Tách số hạng 4x2 thành x2+3x2
Ta có 4x2-3x-1
=x2+3x2-3x-1
=(x2-1) + (3x2-3x)
=(x-1)(x+1) +3x(x-1)
=(x-1)(x+1+3x)
=(x-1)( 4x +1)
Cách 2: Tách số hạng -3x thành - 4x +x
4x2-3x-1
= 4x2-4x +x -1
= 4x(x-1)+ (x -1)
= (x -1)(4x+1)
Cách 3: Tách số hạng -1 thành - 4 +3
Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605


Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.

4x2-3x-1
=4x2-3x -4 +3
=4(x-1)(x+1) -3 (x-1)
=(x-1)(4x+4-3)
=(x-1)(4x+1)
Với bài toán này khi phân tích đa thức trên thành nhan tử có ba lời
giải tương ứng với ba cách tách học sinh có thể chọn một trong ba cách.
Bài tập mẫu 2: Phân tích đa thức trên thành nhân tử
a. x3-2x -4

b. x3+8x2+17x +10
Hướng dẫn giải

a. x3-2x -4
=.x3-2x -8+4
=(x3-8)-(2x-4)
=(x-2)(x2+2x +4)-2(x-2)
b. x3+8x2+17x +10
=x3+x2+7x2 + 10x +7x + 10
=x2(x+1) +7x(x+1) +10(x+1)
=(x+1)(x2 +7x +10)
=(x+1)(x2 + 2x +5x+10)
=(x+1) [x(x+2) +5(x+2)]
=(x+1)(x+2)(x+5)
Bài tập mẫu 3: Phân tích đa thức trên thành nhân tử
a. x3+3x2 +6x +4

b. x3-11x2+30x
Hướng dẫn giải

Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605


Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.
a. x3+3x2 +6x +4
=x3+x2 +2x2 +2x +4x +4
=x2(x+1) +2x(x+1) +4(x+1)
=x(x+1)(x2 +2x +4)
b. x3-11x2+30x
=x(x2-11x +30)
=x(x2 -5x-6x +30)
=x [x(x-5) -6(x-5)]
= x(x-5)(x-6)
Trong phần a ta thấy vẫn còn đa thức bậc hai mà không thể phân
tích được nữa. Vậy làm thế nào để biết được một đa thức có phân tích
được hay không ta dựa vào định lí sau:
Một đa thức: axn + nn - 1xx - 1 + ....... + a1x + a
Đa thức này có nghiệm là số nguyên thì nghiệm đó phải là ước của
hệ số tự do a.
Bài tập mẫu: Đa thức: x2 + 2x + 4 không phân tích được bởi vì: Nếu phân
tích được thì đa thức này phải có nghiệm nguyên là ước của 4. Ta thấy
Ư(4) = {±1; ±2; ±4} thử các gía trị đó đều không phải là nghiệm của đa thức
x2 + 2x + 4 nên đa thức này không phân tích được nữa.

Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605


Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.

TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 8

MỚI NHẤT-2019

Bộ phận bán hàng: 0918.972.605
Đặt mua tại: />FB: facebook.com/xuctu.book/
Email:
Đặt online tại biểu mẫu:

/>
Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605


Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.
5- Phương pháp 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
thêm, bớt hạng tử:
Với các đa thức đã cho không có chứa thừa số chung, không có
dạng của một hằng đẳng thức cũng không thể nhóm số hạng. Do vậy ta
phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một số hạng tử để có thể
vận dụng được phương pháp phân tích đã biết.
Bài tập mẫu 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a3 + b3 + c3 - 3abc
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 - 3a2b - 3ab2 - 3abc
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) + c3 - (3a2b + 3ab2 + 3abc)
= (a + b)3 + c3 - 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [(a+b)2 - (a + b)c + c2 - 3ab]
= (a + b + c) (a2 +2ab + b2 - ac - bc + c2 - 3ab)
= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc)
Trong bài toán trên ta đã thêm và bớt các hạng tử 3a2b, 3ab2 để có
thể nhóm vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết.
Bài tập mẫu 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x5 + x4 + 1

b) x5 + x + 1

c) x8 + x7 + 1

Hướng dẫn giải

a) x5 + x4 + 1
Ta sẽ thêm bớt các hạng tử x3, x2, x vào đa thức được:
x5 + x4 + x3 - x3 + x2 - x2 + x - x + 1
= (x5 + x4 + x3) - (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)
= x3(x2 + x + 1) - x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605


Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.
= (x2 + x + 1)( x3 - x + 1)
b) x5 + x + 1
Cách 1: Ta sẽ thêm bớt x4, x3, x2 vào đa thức giống cách làm như phần a để
xuất hiện nhân tử chung x2 + x + 1
Có: x5 + x + 1
= x5 + x4 - x4 + x3 - x3 + x2 - x2 + x + 1
= (x5 + x4 + x3) - (x4 + x3 + x2) + x2 + x + 1
= x3(x2 + x + 1) - x2 (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1) (x3 - x2 + 1)
Cách 2: Ta thêm bớt x2 để làm xuất hiện nhân tử chung x2 + x + 1
Ta có:
x5 + x + 1

= x5 + x2 - x2 + x + 1

= (x5 - x2) + (x2 + x + 1)
= x2(x3 - 1) + (x2 + x + 1)
= x2(x - 1) (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x3 - x2 + 1)

c) x8 + x7 + x

= x8 + x7 + 1 + x2 - x2 + x - x
= (x8 - x2) + (x7 - x) + (x2 + x + 1)
= x2 (x6 - 1) + x(x6 - 1) + (x2 + x + 1)
= (x3 - 1)(x3 + 1)(x2 + x) + (x2 + x + 1)
= (x - 1)(x2 + x + 1)(x3 + 1)(x2 + x)+ (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x6 - x4 + x3 - x + 1)

Chú ý: Các đa thức trên đều có dạng: x3k + 1 + x3k+2 + 1

Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605


Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.
Những đa thức này khi phân tích thành nhân tử đều có chứa thừa số (x2 +
x + 1)
6- Phương pháp 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
đặt ẩn phụ.
Phương pháp này thường áp dụng với những đa thức có dạng A(x).
B(x) + C Trong đó A(x) và B(x) có thể biểu diễn được qua nhau. Bài tập
mẫu A(x) có thể viết dưới dạng của B(x) hoặc ngược lại. Ta xét một số Bài
tập mẫu sau:
Bài tập mẫu 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12

b) 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y2z2
Hướng dẫn giải

a) (x2 + x + 1)( (x2 + x + 2) - 12
Đặt x2 + x + 1 = y => x2 + x + 2 = y + 1
Ta có y(y+1) - 12 = y2 + y - 12
= y2 - 9 + y - 3
= (y - 3)(y + 3) + (y - 3)
= (y - 3)(y + 3 + 1)
= (y - 3)(y + 4)
Thay y = x2 + x + 1 ta được:
(y - 3)(y + 4) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4)
= (x2 + x - 2) (x2 + x + 5)
= (x2 - 1 + x - 1)(x2 + x + 5)
= [(x - 1)(x + 1) + x - 1](x2 + x + 5)
Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605


Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.
= (x - 1)(x + 1 + 1)(x2 + x + 5)
= (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5)
Ở trong Bài tập mẫu này ta đã đổi biến x thành biến y sau đó đi
phân tích đa thức chứa biến y thành nhân tử rồi quay trở lại đa thức với
biến ban đầu là x. Cuối cùng ta lại phân tích đa thức chứa biến x thành
nhân tử.
b) 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2
Nếu để nguyên đa thức trên thì rất khó đặt ẩn phụ nên ta phải biến đổi thêm:

4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2
= 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2

= 4(x2 + xy + xz) (x2 + xy + xz + yz) + y2z2
Đặt: x2 + xy + xz = m
Ta có: 4m(m + xz) + y2z2
= 4m2 + 4mxz + y2z2
= (2m + yz)2
Thay m = x2 + xy + xz ta được:
(2m + yz)2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2
Bài tập mẫu 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x2 + x)2 - 2(x2+ x) - 15
b) (x + 2)(x+3)(x+4)(x + 5) - 24
c) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15
Hướng dẫn giải

a) (x2 + x)2 - 2(x2+ x) - 15
Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605


Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.
Đặt: x2 + x = y
Ta có: y2 - 2y - 15 = y2 - 5y + 3y - 15
= y(y - 5) + 3(y - 5)
= (y - 5)(y + 3)
Thay y = x2 + x ta được:
(y - 5)(y + 3) = (x2 + x - 5)(x2 + x + 3)
Hai đa thức x2 + x - 5 và x2 + x + 3 không phân tích được nữa.
b) (x + 2)(x+3)(x+4)(x + 5) - 24
= (x + 2)(x+5)(x+3)(x + 4) - 24
= (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) - 24
Đặt x2 + 7x + 10 = y ta được x2 + 7x + 12 = y + 2
y(y + 2) = 24

= y2 + 2y - 24
= y2 - 16 + 2y - 8
= (y - 4)(y + 4) + 2(y - 4)
= (y - 4)(y + 4 + 2)
= (y - 4)(y + 6)

Thay y = x2 + 7x + 10 ta được:
(y - 4)(y + 6)

= (x2 + 7x + 10 - 4)(x2 + 7x + 10 + 6)
= (x2 + 7x + 6) (x2 + 7x + 16)
= (x2 + x + 6x + 6) (x2 + 7x + 16)
= [x(x+1) + 6(x+1)] (x2 + 7x + 16)
= (x+1)(x + 6) (x2 + 7x + 16)

c) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15
Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605


Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.
Đặt x2 + 8x + 7 = y => x2 + 8x + 15 = y + 8
Ta có: y(y + 8) + 15

= y2 + 8y + 15
= y2 + 5y + 3y + 15
= y(y + 5) + 3(y + 5)
= (y + 5)(y + 3)

Thay y = x2 + 8x + 7 ta được:

(y + 5)(y + 3)

= (x2 + 8x + 7 + 5)( x2 + 8x + 7 + 3)

= (x2 + 8x + 12)( x2 + 8x + 10)
= (x2 + 2x + 6x +12)( x2 + 8x + 10)
= [x(x + 2) + 6(x + 2)] (x2 + 8x + 10)
= (x + 2)(x + 6)( x2 + 8x + 10)
Ở hai Bài tập mẫu trên ta thấy cách làm giống nhau khi phân tích
các đa thức đó thành nhân tử. Ta còn có cách đặt ẩn phụ khác trong Bài
tập mẫu dưới đây.
Bài tập mẫu 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
3x6 - 4x5 + 2x4 - 8x3 - 4x + 3 + 2x2
Nếu theo cách làm

như các Bài tập mẫu trước thì với Bài tập

mẫu này ta không thể phân tích được. Dễ thấy đa thức không thể có
nghiệm x = 0.
Vậy ta có thể biến đổi đa thức như sau:
x3 (3x2 - 4x2 + 2x - 8 -

4
3 2
+ 3+ )
2
x
x
x

Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605


Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.
= x3[3(x3 +
Đặt x +

1
1
1
) - 4(x2 + 2 ) + 2(x + 3 ) - 8]
3
x
x
x

1
1
1
= t => t2 = (x + )2 = x2 + 2 + 2
x
x
x

=> x2 +
t3 = (x +

=> x3 +

= t2 - 2

1 3
)
x

= x3 + 3x +
= x3 +

1
x2

3
1
+ 3
x
x

1
1
+ 3(x +
)
3
x
x
1
= t3 - 3t
x3

Thay x +

1
1
1
= t; x2 + 2 = t2 - 2; x3 + 3 = t3 - 3t
x
x
x

Ta có:
x3[3(t3 - 3t) - 4(t2 - 2) + 2t - 8]
= x3(3t3 - 9t - 4t2 + 8 + 2t - 8)
= x3(3t3 - 4t2 - 7t)
= x3t (3t2 - 4t - 7)
= x3t[(3t2 - 3) - (4t + 4)]
= x3t[3(t - 1)(t + 1) - 4(t + 1)]
= x3t(t + 1)(3t - 3 - 4)
= x3t(t + 1)(3t - 7)
Thay t = x +
x3(x +

1
ta được
x

1
3
1
) (3x +
- 7)(x +
+ 1)

x
x
x

Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605


Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.
= x(x2 + 1)(3x2 + 3 - 7x)(x +

1
+ 1)
x

= (x2 + 1)(3x2 - 7x + 3) (x2 + x + 1)
Nói chung đây là một bài toán tương đối phức tạp đòi hỏi phải biến
đổi đa thức mới đặt được ẩn phụ. Bài toán này cho ta một cách đặt ẩn phụ
khác hẳn với cách đặt ẩn phụ của các Bài tập mẫu trước.
7- Phương pháp 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
dùng hệ số bất định:
Bài tập mẫu 1: Phân tích đa thức sau thành tích của 2 đa thức một đa thức
bậc nhất, một đa thức bậc 2.
x3 - 19x - 30
Hướng dẫn giải

Cách 1: Với các phương pháp phân tích đã biết ta có thể phân tích được
đa thức trên thành 2 đa thức theo đúng yêu cầu của đề bài.
Ta có: x3 - 19x - 30
= x3 + 8 - 19x - 38
= (x3 + 8) - 19(x + 2)

= (x+ 2)(x2 - 2x + 4) - 19(x + 2)
= (x + 2)( x2 - 2x + 4 - 19)
= (x + 2) x2 - 2x - 15)
Ta thấy x2 - 2x - 15 còn phân tích được nữa nhưng do đề bài yêu cầu
là đa thức x3 - 19x - 20 viết dưới dạng một tích của 2 đa thức: một đa thức
bậc nhất và một đa thức bậc 2. Vậy tích (x + 2)( x2 - 2x - 15) đã thoả mãn
yêu cầu của bài toán.

Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605


Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.
Cách 2: Kết quả phải có dạng:
x3 - 19x - 20 = (x + a)( x2 + bx + c)
= x3 + bx2 + cx + ax2 + abx + ac
= x3 + (b + a)x2 + (c + ab)x + ac
Ta phải tìm hệ số a, b, c thoả mãn:
a+b=0
c + ab = -19
ac = -30
Vì a, c ∈ Z và tích ac = -30 do đó a, c ∈ { ± 1; ± 2; ± 3; ± 5; ± 6; ± 10; ± 15;
± 30}

Với a = 2; c = -15 khi đó b = -2 thoả mãn hệ thức trên đo là bộ số phải
tìm tức là: x3 - 19x - 30 = (x + 2)(x2 - 2x - 15).
Bài tập mẫu 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1
Hướng dẫn giải

Nhận xét: Đa thức trên nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ± 1.

Dễ dàng kiểm tra được ± 1 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa
thức không có nghiệm nguyên mà chỉ có nghiệm hữu tỉ. Như vậy, nếu đa
thức trên phân tích được thành thừa số thì phải có dạng:
x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1

= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

= x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605


Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.
a + c = 6
 ac + b + d = 7

Vậy ta phải tìm hệ số a, b, c thoả mãn: 
 ad + bc = 6
 bd = 1

Từ hệ này ta tìm được: a = b = d = 1; c = 5
Vậy: x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = (x2 + x + 1)(x2 + 5x + 1)
Bài tập mẫu 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x3 + 4x2 + 5x + 2
Hướng dẫn giải

Cách 1: Đặt x3 + 4x2 + 5x + 2 = (x + a)(x2 + bx + c)
= x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac
Ta phải có: a + b = 4
ab + c = 5

ac = 2
Từ hệ này ta tìm được: a = 1; b = 2; c = 2
Vậy: x3 + 4x2 + 5x + 2

= (x + 1)(x3 + 3x + 2)
= (x+ 1)[(x2 + x) + (2x + 2)]
=(x+ 1) (x+ 1)(x+ 2)
= (x+ 1)2(x + 2)

Cách 2: Dùng phương pháp nhẩm nghiệm ta thấy trong các ước của hệ số
tự do 2 có 1 là nghiệm. Vậy đa thức viết được dưới dạng:
x3 + 4x2 + 5x + 2 = (x+ 1)(x2 + ax + b)
=> x2 + ax + b = (x3 + 4x2 + 5x + 2) : (x+ 1)
Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605


Xuctu.com- Tải tài liệu miễn phí- Có cung cấp bản Word.
Bằng cách chia hai đa thức ta tìm được:
(x3 + 4x2 + 5x + 2) : (x+ 1) = x2 + 3x + 2
Vậy x3 + 4x2 + 5x + 2

= (x + 1)( x2 + 3x + 2)
= (x+ 1)2(x + 2)

Cách 3: Dùng phương pháp phân tích đã biết là tích hạng tử
Ta có: x2 + 4x2 + 5x + 2 = x3 + x2 + 3x2 + 3x + 2x + 2
= x2(x + 1) + 3x(x + 1) + 2(x + 1)
= (x +1)(x2 + 3x + 2)
= (x + 1)(x + 1)(x + 2)
= (x + 1)2(x + 2)

Trên đây là Bẩy phương pháp phân tích thường dùng để phân tích
đa thức thành nhân tử. Vậy khi làm dạng toán này không phải lúc nào
cũng áp dụng một khuôn mẫu theo một phương pháp giải cố định nào
đó. Khi học song các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thì
tuỳ từng bài tập mà học sinh lựa chọn cho mình một phương pháp giải
thích hợp để có một cách phân tích nhanh nhất và có hiệu quả nhất.

Quý thầy cô nhận bạn file WORD tại Zalo

0918.972.605
Mua sách tham khảo Toán 8 mới nhất: Zalo: 0918.972.605