Chuyên đề 1 hằng đẳng thức

Ngày soạn: 03/09/2018
Ngày dạy: 06/09/2018
CHUYÊN ĐỀ : HẲNG ĐẲNG THỨC
I. MỤC TIÊU
1.Kiến thức : Củng cố 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản và một số hằng đẳng thức nâng cao cho
học sinh
2.Kỹ năng :
- Học sinh vận dụng thành thạo 7 hằng đẳng thức vào giải toán
- Học sinh biết nhận dạng hằng đẳng thức và áp dụng hằng đẳng thức vào giải toán.
3. Thái độ : Vận dụng hằng đẳng thức để tính nhẩm giá trị của một biểu thức hoặc tìm giá trị chưa
biết trong một đẳng thức.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1.Chuẩn bị của giáo viên: Bảng phụ, phiếu học tập, giáo án, SGK, SBT.
2.Chuẩn bị của học sinh: Học thuộc và ghi nhớ các hằng đẳng thức, làm bài tập về nhà.
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC
A. Ôn lại các kiến thức cần nhớ
2
2
2
2
2
2
1. (a  b)  a  2ab  b  a  2ab  b  4ab  (a  b)  4ab
2
2
2
2
2
2
2. (a  b)  a  2ab  b  a  2ab  b  4ab  (a  b)  4ab
2

2
3. a  b  (a  b)(a  b)
3
3
2
2
3
3
3
3
3
3
4. (a  b)  a  3a b  3ab  b  a  b  3ab(a  b) � a  b  (a  b )  3ab(a  b)
3
3
2
2
3
3
3
3
3
3
5. (a  b)  a  3a b  3ab  b  a  b  3ab(a  b) � a  b  (a  b)  3ab(a  b)
3
3
2
2
6. a  b  (a  b)(a  ab  b )
3

3
2
2
7. a  b  (a  b)( a  ab  b )
n
n
n 1
n2
n2
n 1
8. a  b  (a  b)( a  a b  ...  a.b  b )

B. Bài tập áp dụng và các dạng toán
2
2
2
2
2
2
Bài 1: Tính A  100  99  98  97  ...  2  1

Lời giải:


A  1002  992  982  97 2  ...  22  12  (100  99)(100  99)  ...  (2  1)(2  1)  100  ...  1 

101.100
 5050
2

2
Bài 2: So sánh A  19999.39999 và B  29999

Lời giải:
2
2
2
Ta có: 19999.39999  (29999  10000)(29999  10000)  29999  10000  29999 � A  B

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau
2
64
a. A  (2  1)(2  1)...(2  1)  1

2
64
b. B  (3  1)(3  1)...(3  1)  1

2
2
2
c. C  (a  b  c)  (a  b  c) 2(a  b)

Lời giải:
2
64
2
64
128
128

a. A  (2  1)(2  1)...(2  1)  1  (2  1)(2  1)(2  1)...(2  1)  1  2  1  1  2

1
1
3128  1
B  (3  1)(32  1)...(364  1)  1  (3  1)(3  1)(32  1)...(364  1)  1  (3128  1)  1 
2
2
2
b.
C  ( a  b  c) 2  ( a  b  c) 2 2(a  b) 2  (a  b  c) 2  2(a  b  c)( a  b  c)  ( a  b  c) 2  2(a  b  c)(a  b  c )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c. 2(a  b)  (a  b  c  a  b  c)  2[(a  b)  c ]-2(a+b)  4(a  b)  2(a  b)  2c  2(a  b)  2c

Bài 4: Chứng minh rằng
2
2
2
2
2
2

a. (a  b )( x  y )  (bx  ay )  (ax+by)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b. (a  b  c )( x  y  z )  (ax+by+cz)  (bx  ay )  (cy  bz )  (az  cx )

Lời giải:
(a 2  b 2 )( x 2  y 2 )  a 2 x 2  a 2 y 2  b 2 x 2  b 2 y 2  (bx)2  (ay ) 2  (ax) 2  (by ) 2
2
2
2
2
2
2
a. VT =  (bx)  2bx.ay  (ay)  2bx.ay  (ax)  (by )  (bx  ay )  (ax+by) (dpcm)

(a 2  b 2 )( x 2  y 2 )  (a 2  b 2 ) z 2  c 2 ( x 2  y 2  z 2 )  [(ax+by)2  2(ax+by).cz+(cz) 2 ]
=(ax+by) 2  (bx  ay ) 2  ( az ) 2  (bz ) 2  (cx) 2  (cy) 2  (cz ) 2  (ax+by) 2  (cz ) 2  2ax.cz  2by.cz
2
2
2
2
2

2
2
2
b. VT =  (bx  ay )  [(cy)  2by.cz  (bz ) ]+(az)  (cx)  2az.cx  (bx  ay )  (cy  bz )  (az  cx)

*) Nhận xét: Đây là bất đẳng thức Bunhicopski.
2
2
2
2
Bài 5: Cho x  y  z .CMR : (5 x  3 y  4 z )(5 x  3 y  4 z )  (3 x  5 y )

Lời giải:
2
2
2
2
2
VT = (5 x  3 y )  16 z  25 x  30 xy  9 y  16 z


2
2
2
2
2
2
2
2
2

2
Mà: z  x  y � VT  25 x  30 xy  9 y  16( x  y )  9 x  30 xy  25 y  (3x  5 y ) (dpcm)

Bài 6: CMR, nếu (a  b  c  d )(a  b  c  d )  (a  b  c  d )(a  b  c  d ) thì ad = bc
Lời giải:
2
2
2
2
2
2
VT = [(a+d)+(b+c)][(a+d)-(b+c)]=(a+d)  (b  c)  a  d  2ad  b  c  2bc
2
2
2
2
2
2
2
2
VP = [(a-d)+(c-b)][(a-d)-(c-b)]=(a-d)  (c  b)  ( a  d )  (c  b)  a  d  2ad  c  b  2bc

VT = VP � 2ad  2bc  2ad  2bc � 4ad  4bc � ad  bc (dpcm)
Bài 7: CMR, nếu
3
2
2
3
a. a + b + c = 0 thì a  a c  abc  b c  b  0

2
2
2
2
2
2
b. ( y  z )  ( z  x)  ( x  y)  ( y  z  2 x)  ( z  x  2 y )  ( y  x  2 z ) thì x = y = z

Lời giải:
a. Ta có :
�
a 3  b3  ( a  b)(a 2  ab  b 2 )
� a 3  b3  c(a 2  ab  b 2 )   a 2c  abc  b 2c � a 3  b3  a 2c  abc  b 2c  0
�
a  b  c � a  b  c
�
�y  z  2 x  ( y  x)  ( z  x)  b  c
�
�z  x  2 y  c  a
�
b. Đặt : y  z  a; z  x  b; x  y  c � a  b  c  0 và �x  y  2 z  a  b
Từ giả thiết ta có :

a 2  b 2  c 2  (b  c) 2  (c  a) 2  (a  b) 2 � a 2  b 2  c 2  b 2  2bc  c 2  c 2  2ac  a 2  a 2  2ab  b 2
� a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca  0 � 2( a 2  b 2  c 2 )  ( a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca)  0 � 2( a 2  b 2  c 2 )  (a  b  c) 2
�x  y
�
� a  b  c  0 � a  b  c � �y  z � x  y  z
�z  x
�

2

2

2

Bài 8: Chứng minh rằng không tồn tại các số thực x, y, z thỏa mãn:
2
2
a. 5 x  10 y  6 xy  4 x  2 y  3  0
2
2
2
b. x  4 y  z  2 x  6 z  8 y  15  0

Lời giải:
2
2
2
a. VT  ( x  3 y)  (2 x  1)  ( y  1) �1(dpcm)
2
2
2
b. VT  ( x  1)  4( y  1)  ( z  3)  1 �1(dpcm)

Bài 9: Tìm x, y thỏa mãn


2
2

a. x  8 y  9  4 y( x  3)

2
2
b. 9 x  8 xy  8 y  28 x  28  0

2
2
2
c. x  2 y  5 z  1  2( xy  2 yz  z )

Lời giải:
x3
�
�
x  8 y  9  4 y ( x  3) � ( x  2 y )  (2 y  3)  0 �
3
�
x
� 2
a. Ta có:
2

2

2

2

�x  2

9 x 2  8 xy  8 y 2  28 x  28  0 � (7 x 2  28 x  28)  (2 x 2  8 xy  8 y 2 )  0 � 7( x  2) 2  2( x  2 y ) 2  0 � �
�y  1
b.
�x  2
�
x  2 y  5 z  1  2( xy  2 yz  z ) � ( x  y )  ( y  2 z )  ( z  1)  0 � �y  2
�z  1
�
c.
2

2

2

2

2

2

2
6
5
4
3
2
Bài 10: Cho x  x  10 . Tính A  x  3x  4 x  3 x  2 x  x  1

Lời giải:

A  x 6  3x 5  4 x 4  3 x 3  2 x 2  x  1  ( x 6  3 x5  3 x 4  x 3 )  ( x 4  2 x 3  x 2 )  ( x 2  x  1)
 ( x 2  x)3  ( x 2  x) 2  ( x 2  x)  1  1111
(23  1)(33  1)...(1003  1)
A 3
(2  1)(33  1)....(1003  1)
Bài 11: Tính

Lời giải:
(k  1)3  1 ( k  2)[(k+1) 2 -(k+1)+1] k  2


3
2
k

1
(k-1)(k

k

1)
k 1
Ta có:

Cho k chạy từ 2 đến 100, ta thu được:
A  (23  1).

33  1 43  1 1003  1
1
4 5 101

1
99.100.101 9.99.100.101 30300
. 3 ..... 3
.
 9. . ....
.
 9.


3
3
2
2  1 3 1
99  1 100  1
1 2 98 99(100  100  1)
1.2.3...10101 6.99.10101 20202

C. HẰNG ĐẲNG THỨC BẬC BA
3
3
2
2
3
3
3
3
3
3
1. (a  b)  a  3a b  3ab  b  a  b  3ab(a  b) � a  b  (a  b )  3ab(a  b)

2.

(a  b)3  a 3  3a 2b  3ab 2  b3  a 3  b3  3ab(a  b) � a 3  b 3  (a  b)3  3ab(a  b)

3
3
3
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A  a  b  c  3abc

Lời giải:


A  a 3  b3  c 3  3abc  (a  b) 3  3ab( a  b)  c 3  3abc
 [(a+b)3  c3 ]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)3  3(a  b )c.(a  b  c)  3ab(a  b  c )  (a  b  c )[(a+b+c)2  3(a  b )c  3ab ]
 (a  b  c)(a 2  b 2  c2  ab  bc  ca )
3
3
3
Bài 2: Cho a + b + c = 0, CMR: a  b  c  3abc

Áp dụng tính

B

(a 2  b 2 )3  (b 2  c 2 )3  (c 2  a 2 )3
(a  b)3  (b  c)3  (c  a )3

Lời giải:
3
3

3
3
3
3
Từ giả thiết � c  (a  b) � a  b  c  a  b  (a  b)  3ab(a  b)  3abc

�a 2  b 2  b2  c 2  c 2  a 2  0
3( a 2  b 2 )(b 2  c 2 )(c 2  a 2 )
�
B

 (a  b)(b  c )(c  a )
�
3(
a

b
)(
b

c
)(
c

a
)
a

b


b

c

c

a

0
+) �

Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn:

(a  b  c) 2  a 2  b 2  c 2 .CMR :

1 1 1
3
 3 3
3
a b c
abc

Lời giải:
Ta có:

(a  b  c )2  a 2  b 2  c 2 � ab  bc  ca  0 �

1 1 1
1 1 1
1 1 1

3
   0 � 3  3  3  3. . . 
a b c
a b c
a b c abc

1 1 1
bc ca ab
  0
A 2  2  2
a
b
c
Bài 4: Cho a, b, c thỏa mãn: a b c
. Tính

Lời giải:
1
1
1
1 1 1
3
x  ; y  ; z  � x  y  z  0 � x 3  y 3  z 3  3xyz � 3  3  3 
a
b
c
a b c
abc
abc abc abc
1 1 1

3
A  3  3  3  abc( 3  3  3 )  abc.
3
a
b
c
a b c
abc
Đặt

( a  b  c)3
HẰNG
ĐẲNG
THỨC:
D.

Ta có:
(a  b  c )3  [(a+b)+c]3  (a  b)3  3(a  b)2 c  3(a  b)c 2  c 3  3(a 2b  ab 2  a 2 c  ac 2  b 2 c  bc 2  abc  abc )
 3[(a 2b  ab2 )  (a 2 c  ac 2 )  (ac 2  bc 2 )  (b 2 c  abc)]=3(a+b)(b+c)(c+a)+a 3  b3  c3
� (a  b  c )3  a 3  b3  c3  3(a  b)(b  c )(c  a )

Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn: abc =1 . Tính
A  (a  b  c)3  (b  c  a )3  (c  a  b)3  (a  b  c)3

Lời giải:


�x  b  c  a �x  y  2c
�
�

�y  c  a  b � �y  z  2a ; x  y  z  a  b  c
�z  a  b  c
�z  x  2c
�
�
3
3
3
3
Đặt � A  ( x  y  z )  x  y  z  3( x  y )( y  z )( z  x)  3.2c.2b.2a  24abc  24

Bài 2: Phân tích thành nhân tử
3
3
3
3
a. A  8(a  b  c)  (2a  b  c)  (2b  c  a)  (2c  a  b)
3
3
3
3
b. B  27(a  b  c)  (2a  3b  2c)  (2b  3c  2a)  (2c  3a  2b)

Lời giải:
a. Đặt

2a  b  c  x; 2b  c  a  y; 2c  a  b  z � x  y  a  3b; y  z  b  3c; z  x  c  3a; x  y  z  2(a  b  c )

� A  ( x  y  z )3  x 3  y 3  z 3  3( x  y )( y  z )( z  x)  3(a  3b)(b  3c)(c  3a)
3

3
3
3
b. B  27(a  b  c)  (2a  3b  2c )  (2b  3c  2a)  (2c  3a  2b)  3(5a  b)(5b  c)(5c  a)

Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn : a + b + c = a3 + b3 + c3 = 1
n
n
n
Tính A  a  b  c ( n là số tự nhiên lẻ )

Lời giải:
ab  0
�
�
(a  b  c)  1  a  b  c � 3( a  b)(b  c)(c  a )  0 � �
bc 0
�
ca 0
�
3

Ta có:

3

3

3

n
n
n
+) TH1: a  b  0 � a  b � c  1 � a  b  c  1

+) Tương tự ta có: A = 1.
Bài 4: Giải các phương trình sau
3
3
3
a. 27 x  ( x  5)  64  (4 x  1)

c. ( x  2 x  2)  x  ( x  1)( x  2)
2

3

3

3

2
3
3
2
3
2
3
b. (2 x  2 x  1)  (2 x  1)  ( x  x  1)  ( x  x  3)

3

d.

( x 2  3 x  3) 3  ( x 2  x  1) 3  ( 2 x 2  2 x  1) 3  1
1 44 2 4 43 1 4 2 4 3 1 4 4 2 4 43
a

b

c

Lời giải:
27 x 3  ( x  5)3  64  (4 x  1)3 � (3x)3  ( x  5)3  64  [3x+(x-5)+4]3 � 3(3 x  x  5)( x  5  4)(4  3x )  0
�5 4 �
� x �� ;1; �
3
�4
a.
2
3
3
2
3
2
3
b. � (2 x  2 x  1)  (2 x  1)  ( x  x  1)  ( x  x  3)


�a  b  2 x 2  2

�
b  c  3x  x 2  2
�
2
2
2 x  2 x  1  a; 2 x  1  b; x  x  1  c � �
� a 3  b3  c 3  (a  b  c)3
2
ca  x x2
�
�a  b  c  x 2  x  3
�

Đặt

ab  0
�
�
� 3(a  b)(b  c )(c  a )  0 � �
bc  0 �
�
ca 0
�

�
2x2  2  0
a b  0
�
�
�

bc  0 � �
3x  x 2  2  0 � x � 1;1; 2
�
�
�
ca 0
x2  x  0
�
�

� ( x 2  2 x  2) 3  x 3  x3 ( x  2)3  (2  x )3 � 3( x  x 2  2 x)( x 2  2 x  2  x)(2  x  x 2 )  0
2
2
c. � 6( x  x )( x  3 x  2)  0 � x � 0;1; 2

Bài 5: Cho x  y  z  0; xyz �0 . Tính

A

x2 y2 z 2
 
yz xz xy

Lời giải
x 2 y 2 z 2 x3  y3  z 3
A  

yz xz xy
xyz
3

3
3
Cách 1: Nếu x  y  z  0 � x  y  z  3xyz � A  3

Cách 2:
( x  y  z )3  x3  y3  z 3  3( x  y )( y  z )( z  x ) � x3  y 3  z 3  ( x  y  z )3  3( x  y )( y  z )( z  x) � A  3
1 4 2 43
0

BÀI TẬP VỀ NHÀ:
Bài 1: [ HSG yên Phong năm 2011 ]
Cho a, b, c thỏa mãn:
Tính giá trị của A =

a 2010  b 2010  c 2010  a1005b1005  b1005c1005  c1005 a1005 (1)

(a  b) 20  (b  c)11  (c  a ) 2010

Lời giải:
(1) � 2a 2010  2b 2010  2c 2010  2a1005b1005  2b1005c1005  2c1005 a1005 � (a1005  b1005 ) 2  (b1005  c1005 ) 2  (c1005  a1005 )  0
�
a1005  b1005  0
�1005 1005
��
b c  0 �a  b  c � A  0
�
c1005  a1005  0
�

Bài 2: [ HSG - 2008 ]

Cho a, b, c, d thuộc Z thỏa mãn: a + b = c + d . Chứng minh rằng:


a2 + b2 + c2 + d2 luôn là tổng của 3 số chính phương
Lời giải:
Từ giả thiết: a + b = c + d � a = c + d – b thay vào biểu thức ta được:
a 2  b 2  c 2  d 2  (c  d  b) 2  b 2  c 2  d 2  [(c+d)-b]2  b 2  c 2  d 2  (c  d ) 2  2(c  d ).b  b 2  b 2  c 2  d 2
 (c  d ) 2  2bc  2bd  b 2  b 2  c 2  d 2  (c  d )2  (b  c )2  (b  d )2 (dpcm)

Bài 3: [ HSG – YP năm 2015 ]
2
2
2
2
2
2
Cho a, b, c thỏa mãn: a  b  c  2; a  b  c  2.CMR : M  (a  1)(b  1)(c  1) viết được dưới dạng
bình phương của một biểu thức

Lời giải: Cách 1:
M  (a 2  1)(b 2  1)(c 2  1)  a 2b 2 c 2  a 2b 2  a 2 c 2  b 2 c 2  a 2  b 2  c 2  1(*)
2
2
2
2
2
2 2
2
Có: a  b  c  2  a  b  c � (a  b  c )  (a  b  c)

Có:
(a  b  c) 2  a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca )  4 � ab  bc  ca  1 � a 2b 2  a 2c 2  b 2c 2  2(acb 2  a 2bc  c 2 ab )  1
� a 2b 2  a 2 c 2  b 2 c 2  1  2(acb 2  a 2bc  abc 2 ) � M  (abc)2  2abc(a  b  c)  1  a 2  b 2  c 2  1
M  (abc)2  2abc( a  b  c)  (a  b  c) 2  [abc-(a+b+c)]2 ( dpcm)

Cách 2: Ta có:
a 2  1  a 2  ab  bc  ca  (a  b)(a  c); b 2  1  (a  b)(b  c); c 2  1  (a  c)(c  b ) � M  [(a+b)(b+c)(c+a)]2

Bài 4: Giải các phương trình sau:

( x 2  3 x  3)3  ( x 2  x  1)3  (2 x 2  2 x  1)3  1
1 44 2 4 43 1 4 2 4 3 1 4 4 2 4 43
a

b

c

Lời giải:
�
a  b  2x2  2x  2
�
b  c   x 2  3x  2
�
��
� 3(a  b)(b  c)(c  a)  0 � x � 2; 2; 1
2
c

a



x

x

2
�
�
a b c 1
�
3
3
3
3
Bài 5: Rút gọn A  ( x  y  z )  ( x  y  z )  ( x  y  z )  ( x  y  z )

Lời giải

Đặt

�x  y  z  a
�
�x  y  z  b � a  b  c  x  y  z � A  24 xyz
�x  y  z  c
�

3
3
3

2
2
2
E. HẰNG ĐẲNG THỨC: a  b  c  3abc  (a  b  c)(a  b  c  ab  bc  ca )


+) Nhận xét:
abc  0
�
a 3  b3  c 3  3abc  0 � �
abc
�
- Nếu
abc  0
�
� a 3  b3  c 3  3abc  0
�
abc
- Nếu �
3
3
3
Bài 1: Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn: a  b  c  3abc . Tính giá trị của biểu thức

a
b
c
M  (1  )(1  )(1  )
b
c

a

Lời giải
abc  0
�
a 3  b3  c 3  3abc  0 � �
abc
�
Vì:

+) Nếu

abc  0� M 

a  b b  c c  a c  a b
.
.

. .
 1
b
c
a
b c a

+) Nếu a  b  c � M  (1  1)(1  1)(1  1)  8
�x 3  y 3  6 xy  8
�
Bài 2: Giải hệ phương trình sau: �2 x  y  1

Lời giải
x y20
�
x3  y 3  6 xy  8 � x3  y 3  23  3.x. y.2  0 � �
x y2
�
Ta có:
�x  y  2  0
�x  3
x y20��
��
2x  y  1
�
�y  5
+) Nếu

+) Nếu x  y  2 ( khôn thỏa mãn )
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; -5)
3
3
3
Bài 3: Giải phương trình sau: 27( x  3)  8( x  2)  ( x  5)

Lời giải
27( x  3) 3  8( x  2)3  ( x  5)3 � (3 x  9)3  (4  2 x)3  (5  x)3  0(1)

Ta có: (3x  9)  (4  2 x)  (5  x)  0(2)


Từ (1)(2)

x3
�
�
� 3(3 x  9)(4  2 x)(5  x)  0 � �
x  2 � S   2;3;5
�
x5
�

Bài 4: Cho các số thực phân biệt a, b, c khác 0 và thỏa mãn: a  b  c  0 . Tính giá trị của biểu thức
P(

bc ca ab
a
b
c


)(


)
a
b
c
b c c a a b

Lời giải
Ta đặt

b c c a a b
a
a c a a b
a c 2  ca  ba  b 2
2a 2
2a 3
M


� M.
 1
(

)  1
.
 1
 1
a
b
c
bc
bc b
c
bc
bc
bc
bc

Tương tự ta có:
� P  3

M.

b
2b3
c
2c3
 1
;M.
 1
ca
abc
a b
abc

2(a 3  b3  c 3 )
2.abc
 3
( do : a  b  c  0)  9 � P  9
abc
abc

x2 y 2 z 2
a
b
c
 
3
;
;

Bài 5*: Giả sử bộ ba số b  c a  c a  b là nghiệm của phương trình yz zx xy
. Chứng minh
a
b
c
;
;
2
2
2
rằng bộ ba số (b  c) (c  a ) (a  b) cũng là nghiệm của phương trình đó

Lời giải
x yz
�
x2 y 2 z 2
 
 3 � x3  y 3  z 3  3xyz  0 � �
x yz 0
�
Ta có: yz xz xy

Vì nghiệm của phương trình là bộ ba số khác 0 nên các số a, b, c là ba số khác nhau và khác 0
a
b
c


 k �0 � a  k (b  c); b  k (c  a ); c  k (a  b) � a  b  c  0 � a  b  c
+) Nếu: b  c c  a a  b

a
b
a
b

�

� (a  b) 2  a 2  b 2  0 � a  b  0 � a  b  c  0 � loai
Từ: b  c c  a b  a  b a  b  a

a
b
c
a
b
c
b(b  a )  c(a  c)
a
b 2  ba  ca  c 2


0�



�

(1)
2

b

c
c

a
a

b
b

c
a

c
b

a
(
c

a
)(
a

b
)
(
b


c
)
(
a

b
)(
b

c
)(
c

a
)
+) Nếu:
b
c 2  cb  ab  a 2
c
a 2  ac  bc  b 2

(2);

(3)
2
2
(
c

a

)
(
a

b
)(
b

c
)(
c

a
)
(
a

b
)
(
a

b
)(
b

c
)(
c


a
)
Tương tự ta có:

Từ (1)(2)(3)

�

a
b
c


0
2
2
(b  c ) (c  a )
( a  b) 2


Đặt

m

a
b
c
m2 n 2 p 2
3
3

3
;
n

;
p

�
m

n

p

0
�
m

n

p

3
mnp
�


3
(b  c ) 2
(c  a ) 2

( a  b) 2
np mp mn

a
b
c
;
;
2
2
2
Vậy bộ ba số (b  c) (c  a ) (a  b) cũng là nghiệm của phương trình đã cho.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN BUỔI 2
CHUYÊN ĐỀ HẰNG ĐẲNG THỨC
Bài 1: [ HSG yên Phong năm 2011 ]
Cho a, b, c thỏa mãn:
Tính giá trị của A =

a 2010  b 2010  c 2010  a1005b1005  b1005c1005  c1005 a1005 (1)

(a  b) 20  (b  c)11  (c  a ) 2010

Bài 2: [ HSG - 2008 ]
Cho a, b, c, d thuộc Z thỏa mãn: a + b = c + d . Chứng minh rằng:
a2 + b2 + c2 + d2 luôn là tổng của 3 số chính phương
Bài 3: [ HSG – YP năm 2015 ]
2
2
2

2
2
2
Cho a, b, c thỏa mãn: a  b  c  2; a  b  c  2.CMR : M  (a  1)(b  1)(c  1) viết được dưới dạng
bình phương của một biểu thức


A. Các hằng đẳng thức mở rộng hay sử dụng.
2
2
2
2
1. (a  b  c)  a  b  c  2ab  2bc  2ca
2
2
2
2
2. (a  b  c)  a  b  c  2ab  2bc  2ca
2
2
2
2
3. (a1  a 2 a3  ....  a n )  a1  a2  ...  an  2(a1a2  a2 a3  ....  an 1an )

B. Bài tập vận dụng và các dạng toán
2
2
2
2
2

2
Bài 1: Chứng minh rằng: (2a  2b  c)  (2b  2c  a)  (2c  2a  b)  9(a  b  c )

Bài 2: Cho a, b, c, d thỏa mãn: a2 + b2 + c2 + d2 = 1 . Tính giá trị của biểu thức
A  ( a  b  c  d ) 2  (a  b  c  d ) 2  ( a  b  c  d ) 2  (a  b  c  d ) 2

Lời giải:
Cách 1: Áp dụng hằng đẳng thức
2
2
2
2
Cách 2: Ta có ( x  y )  ( x  y)  2( x  y )
2
2
2
2
Áp dụng ta được: A  [(a+b)  (c  d )] +[(a+b)  (c  d )] +[(a-b)+(c-d)] +[(a-b)-(c-d)]

A  2[(a+b) 2  (c  d )2 ]+2[(a-b) 2  (c  d ) 2 ]=2[(a+b) 2  ( a  b) 2 ]+[(c+d) 2  (c  d ) 2 ]=4(a 2  b 2 )  4(c 2  d 2 )  4

Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
2
2
2
a. a  4b  5c  4ab  12bc  6ac

4
4
4

2 2
2 2
2 2
b. a  b  c  a b  b c  c a  2abc(a  b  c)

2
2
2
c. a  3b  4c  4ab  8bc  4ac

Lời giải:
2
2
2
2
2
a. a  4b  5c  4ab  12bc  6ac  (a  2b  3c)  (2c)  (a  2b  c)(a  2b  5c)
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
b.  (a  b  c )  (ab  bc  ca)  (a  b  c  ab  bc  ca )(a  b  c  ab  bc  ac )
2
2

2
2
2
c. a  3b  4c  4ab  8bc  4ac  (a  2b  2c)  b  (a  b  2c)(a  3b  2c)

Bài 4: Tìm x, y, z thỏa mãn
2
2
2
a. 5 x  5 y  z  8 xy  4 yz  4 zx  2 x  2 y  2  0

2
2
2
b. x  y  2 z  xy  2 yz  2 zx  x  y  1  0


2
2
2
c. 2 x  5 y  8 z  6 xy  8 yz  4 zx  4 z  1  0

2
2
2
d. 5 x  11y  28 z  14 xy  16 yz  8zx  20 z  5  0

2
2
2

e. 3x  8 y  23z  6 xy  22 yz  12 zx  12 z  6  0

Lời giải:
2
2
2
a. � ( x  1)  ( y  1) (2 x  2 y  z )  0 � ( x; y; z )  (1;1;0)
2
2
2
2
2
2
b. � 2 x  2 y  4 z  2 xy  4 yz  4 zx  2 x  2 y  2  0 � ( x  1)  ( y  1)  ( x  y  2 z )  0 � ( 1; 1;1)
2
2
2
2
2
2
2
c. � (4 z  4 z  1)  2 x  5 y  4 z  6 xy  8 yz  4 zx  0 � (2 z  1)  ( x  y)  ( x  2 y  2 z )  0
2
2
2
2
2
2
2
d. 5(4 z  4 z  1)  5 x  11y  8 z  14 xy  16 yz  8 zx  0 � 5(2 z  1)  3( x  y )  2( x  2 y  2 z )  0 � (1;1;1)

2
2
2
e. � 3( x  y  2 z )  5( y  z )  6( z  1)  0 � ( x; y; z )  (1;1;1)

Bài 5: Chứng minh rằng không tồn tại số thực x, y, z thỏa mãn:
2
2
a. x  26 y  10 xy  14 x  76 y  59  0

2
2
b. x  5 y  2 x  4 xy  10 y  14  0

Lời giải:
VT  ( x 2  10 xy  25 y 2 )  y 2  14 x  76 y  59  ( x  5 y ) 2  2.7.( x  5 y )  6 y  y 2  7 2  10  ( x  5 y) 2
2
2
2
2
a. 2.7.( x  5 y )  7  ( y  3)  1  ( x  5 y  7)  ( y  3)  1 �1(dpcm)
2
2
b. VT  ( x  2 y  1)  ( y  3)  4 �4(dpcm)

Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2. Tính a4 + b4 + c4
Lời giải:
2
2
2

2
Ta có: (a  b  c)  0 � a  b  c  2(ab  bc  ca)  0 � 2  2(ab  bc  ca)  0 � ab  bc  ca  1(1)
2
2
2 2
4
4
4
2 2
2 2
2 2
Có: (a  b  c )  2 � a  b  c  2(a b  b c  c a )  4(2)
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
Từ (1) � a b  b c  c a  2a bc  2ab c  2abc  1 � a b  b c  c a  1
4
4
4
Thay vào (2) � a  b  c  4  2  2

Bài 7: Chứng minh rằng, nếu:

�1 1 1

�    2(1)
�a b c
�
a  b  c  abc(2)
�

1 1 1
 2  2 2
2
thì a b c

Lời giải:
1 1 1
1 1 1
1
1
1
1 1 1
abc
� (   ) 2  4 � 2  2  2  2(   )  4 � 2  2  2  2(
)4
a b c
a b c
ab bc ca
a b c
abc
Từ (1)


�

1 1 1
1 1 1
 2  2  2  4 � 2  2  2  2.
2
a b c
a b c

C. HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG ( tiếp )
3
3
2
2
1. a  b  (a  b)(a  ab  b )
5
5
4
3
2 2
3
4
2. a  b  (a  b)(a  a b  a b  ab  b )
n
n
n 1
n2
n 3 2
n2
n 1
3. a  b  (a  b)(a  a b  a b  ....  ab  b )

5
5
4
3
2 2
3
4
4. a  b  (a  b)(a  a b  a b  ab  b )
n
n
n 1
n2
n 3 2
n2
n 1
5. a  b  (a  b)(a  a b  a b  ....  ab  b ) ( với n lẻ )

Bài 1: Giải hệ phương trình sau
�x  y ( y 4  1)
�4
4
2
2
a. �x  y  xy ( x  xy  y )  31

�x  y  2
�4
2 2
4
4

2
3
b. �x  x y  y  x( x  x y  y )

5
�
�x  y  2 x
�4
2 2
4
2
2
c. �x  x y  y  xy ( x  y )  1

Lời giải:
a. Ta có:
x  y 5  y � x  y  y 5 � ( x  y )( x 4  y 4  x 3 y  x 2 y 2  xy 3 )  31y 5 � x 5  y 5  31y 5 � x 5  32 y 5  (2 y )5
x  0(loai )
�y  0
�
�y  1
�
� x  2 y � 2 y  y  y5 � �
x2
��
�y  1 � �
�y  1
�
x  2
�y  1 �

�

b. Ta có:
x 4  x 2 y 2  y 4  x 5  x3 y  xy 3 � x 4  x3 y  x 2 y 2  xy 3  y 4  x 5 � ( x  y )( x 4  x 3 y  x 2 y 2  xy 3  y 4 )  2x 5
� x5  y 5  2 x 5 � x5  y 5 � x  y � x  y  1
4
3
2 2
3
4
5
5
5
c. Ta có: x  x y  x y  xy  y  1 � 2 x  x  y � x  y  1
9
99
Bài 2: Chứng minh rằng : 2  2 M100  4.25

Lời giải:
Ta có:

29  299  29 (1  290 )  29 [(210 )9  1]  29 (10249  1)  2{ 9 .(1024  1) (10248  1024 7  10246  ....  1) � AM
100
14 2 43
M
4
M
25

n

n
n
*
Bài 3: Chứng minh rằng: Ta có: A  20  16  3  1M323n �N , n chẵn

Lời giải:


Vì n chẵn, đặt n = 2k ( k thuộc N* ), ta có: 323 = 17.19
A  (20 2 k  32 k )  (162 k  1)  (20  3)(20 2 k 1  20 2 k 2.3  ...  32 k )  (16 2  1)[(16 2 ) k 1  ...  1] � AM
17(1)
1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 43 14 2 43
M
17

M
17

A  (20 2 k  1)  (162 k  32 k )  (20  1).(202 k 1  ...  1)  (162  32 )[(16 2 ) k 1  ...  (32 ) k 1 ] � A M
19(2)
123
14 2 43
M
19

M
19

Từ (1) và (2) � AM323
100

2
Bài 4: Tìm n thuộc N* để A  n  n  1 là số nguyên tố

100
2
99
2
3 33
2
Lời giải: Ta có A  (n  n)  (n  n  1)  n(n  1)  (n  n  1)  n[(n )  1]  (n  n  1)

 n(n3  1)[(n 3 )32  ( n3 )31  ...  1]  ( n 2  n  1)  ( n 2  n  1)  n( n  1).[...]+1 Mn 2  n  1

+) Nếu n > 1 thì A > n2 + n + 1 suy ra A là hợp số
+) Nếu n = 1 thì A = 3 ( thỏa mãn ). Vậy n = 1
Bài 5: Chứng minh rằng số
a.

A  1000.09
14 2 43
100

b. B  10000000099 là hợp số

là hợp số

Lời giải:
a. Ta có:

101

101
2
2
2
3 33
2
A  1000......09
1 4 2 43  10  10  1  (10  10 )  (10  10  1)  10 [(10 )  1]  (10  10  1)
100

 102 (103  1)[(103 )32  (103 )31  ...  1]  (102  10  1)  10 2 (10  1)(10 2  10  1).[...]-(102  10  1)
� AM
102  10  1  91  7.13 � AM7, AM
13 �

Là hợp sô

10
5
5
2
3
2
b. B  10000000099  10  99  100  99  100  100  1  100 (100  1)  (100  100  1)

� BM
1002  100  1 và B > � B M
1002  100  1 nên B là hợp số.
n2
2 n 1

*
Bài 6: Chứng minh rằng A  10  11 M111n �N

Lời giải: Ta có 111 = 37 . 3 = 102 + 10 + 1
A  (112 n 1  1002 n 1 )  (104 n  2  10n  2 )  (112 n 1  1002 n 1 )  10n  2 (103n  1)  (....)  10n  2.(103  1)[(103 )n 1  (103 ) n 2  ...  1]
A  (11  100)[112n  112 n 1.100  ...  1002 n ]-10n+2 (103  1).[...]=111 [...]-10n+2 ...[...] M
111
n
n
n
n
*
Bài 7: Chứng minh rằng A  2903  803  464  261 M1897n �N

Lời giải: Ta có
�
(2903n  803n ) M(2903  803)  2100  7.300
2903n  464 n M2439  271.9
�
� AM7; � n
� AM271
� n
(464  261n ) : (464  261)  203  7.29
803  261n M
542  2.271
�
�


Vậy A chia hết cho 7. 271 = 1897.

n2
2 n 1
*
Bài 8: Chứng minh rằng A  (11  12 )M133n �N

Lời giải: Ta có 133 = 112 + 11 +1
A  (122 n 1  1212 n 1 )  11n  2 (113n  1)  (12  121)(122 n  122 n 1.121  ...  1212 n )  11n 2 (113  1)[11n-1  11n 2  ...  1]
14 2 43
M
133

Vậy AM133(dpcm)
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tính giá trị của biểu thức
A  ( a  b  c) 2  (  a  b  c ) 2  ( a  b  c ) 2  ( a  b  c )2

Lới giải:
2
2
2
Khai triển và rút gọn ta được : A  4(a  b  c )  4

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành tích của 2 đa thức
A  a 2  3b 2  4c 2  4 ab  8bc  4ca  ( a  2b  2c) 2  b 2  ( a  b  2c)( a  3b  2c)

Bài 3: Tìm x, y, z thỏa mãn
2
2
2
2

2
2
a. 5 x  2 y  z  4 xy  2 yz  4 zx  2 x  2 y  2  0 � (2 x  y  z )  ( x  1)  ( y  1)  0
2
2
2
2
2
2
b. 3x  8 y  23z  6 xy  22 yz  12 xz  12 z  6  0 � 3( x  y  2 z )  5( y  z )  6( z  1)  0

BÀI TẬP TỰ LUYỆN BUỔI 3
CHUYÊN ĐỀ: HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG
Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 1. Tính giá trị của biểu thức
A  ( a  b  c) 2  (  a  b  c ) 2  ( a  b  c ) 2  ( a  b  c )2


2
2
2
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành tích của 2 đa thức: A  a  3b  4c  4ab  8bc  4ca

Bài 3: Tìm x, y, z thỏa mãn
2
2
2
a. 5 x  2 y  z  4 xy  2 yz  4 zx  2 x  2 y  2  0
2
2
2

b. 3 x  8 y  23z  6 xy  22 yz  12 xz  12 z  6  0

Ngày soạn:
Ngày dạy:
CHUYÊN ĐỀ 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. MỤC TIÊU:


1.Kiến thức : Học sinh biết vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử đã học vào việc giải loại toán phân tích đa thức thành nhân tử
2.Kỹ năng :
- Luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử
- Biết vận dụng để tính nhanh giá trị của biểu thức
3.Thái độ : Giáo dục ý thức biết vận dụng một cách linh hoạt các công việc trong đời sống
II. CHUẨN BỊ:
1.Chuẩn bị của giáo viên :Bảng phụ
2. Chuẩn bị của học sinh: Làm bài tập về nhà
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
A. Ôn tập các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
A1 : Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
1. Đối với đa thức bậc hai : ax2 + bx + c
Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất bx
- Tính a.c rồi phân tích a.c ra tích của hai thừa số ac = a1c1 = a2c2 = .....
- Chọn ra hai thừa số có tổng bằng b , chẳng hạn : ac = a1c1 với a1 + c1 = b
- Tách bx = a1x + c1x
- Dùng phương pháp nhóm số hạng để phân tích tiếp
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 3x2 + 8x + 4

b. 3x2 – 8x + 4c. x2 -11x + 28

d. x2 + 5x – 24

e. x2 – 5x + 4

Lời giải:
a. Ta có: 3.4 = 12 = 2.6 , mà 2 + 6 = 8 nên ta được:
3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x+2)(x+2)
b. 3x2 – 8x + 4 = (3x-2)(x-2)

c. x2 -11x + 28 = (x-4)(x-7)

d. x2 + 5x – 24 = ( x+8)(x+3)

e. x2 – 5x + 4 = (x-1)(x-4)

Cách 2: Tách hạng tử bậc ax2
- Ta làm xuất hiện hằng đẳng thức: a2 – b2 = (a+b)(a-b)


VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x2 + 8x + 4
Lời giải:
3x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x+2)2 – x2 = (x+2)(3x+2)
- Tách thành 4 hạng tử rồi nhóm
VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x2 + 8x + 4
3x2 + 8x + 4 = 4x2 – x2 + 8x + 4 = ( 4x2 + 8x ) – ( x2 – 4) = (x+2)(3x+2)
Cách 3: Tách hạng tử tự do c
Ta tách c thành c1 và c2 hoặc tạo ra hằng đẳng thức
c1 nhóm với ax2 còn c2 nhóm với bx
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a. 3x2 + 8x + 4

b. 4x2 - 4x – 3

c. 9x2 + 12x – 5

Lời giải:
a. 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 8x 16 – 12 = (3x2 – 12 ) + ( 8x + 16 ) = (x+2)(3x+2)
b. 4x2 - 4x – 3 = (4x2 - 4x + 1) – 4 = (2x-3)(2x+1)
c. 9x2 + 12x – 5 = 9x2 - 3x + 15x – 5
= (9x2 + 12x + 4) – 9
2. Đối với đa thức bậc ba trở lên ( dùng phương pháp nhẩm nghiệm )
n
n 1
Cơ sở để phân tích: Xét đa thức Pn ( x)  a n x  an 1 x  ...  a1 x  a0 (an ...a0  Z , n 1)

+) Nếu x = a là nghiệm của P(x) thì P(a) = 0
Hệ Quả : Nếu Pn(x) = 0 có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của a0
+) Định lý Bezut: Nếu Pn(x) = 0 có nghiệm x = a thì Pn(x) = (x-a).H(x)bậc(n-1)
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x3 + x2 + 4

b. x3 – 5x2 + 8x -4

Lời giải:
a. Ta có các ước của 4 là: �1; �2; �4
Nhận thấy x = -2 là nghiệm của đa thức vậy đa thức có 1 nhân tử là : x – (-2) = x + 2
� x 3  2 x 2  x 2  4  ( x  2) ( x 2  x  2)
1 4 2 43
0

3
2
2
Hoặc:  ( x  8)  ( x  4)  ( x  2)( x  x  2)

b. Nhận thấy x = -1 là nghiệm của đa thức nên có 1 nhân tử là: x + 1
 ( x3  x 2 )  (4 x 2  4 x)  (4 x  4)  ( x  1)( x  2) 2

*) Chú ý:
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ
thì f(x) có một nhân tử là x + 1
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
2
a. 2 x  7 x  5

4
3
b. x  x  x  1

3
c. x  19 x  30

3
2
d. x  4 x  7 x  10

4

3
2
e. 2 x  5 x  5 x  5 x  3

Lời giải:
2
a. Ta có: 2 + 5 = 7 nên đa thức có 1 nhân tử là x + 1. 2 x  7 x  5  ( x  1)(6 x  5)

b. Ta có tổng các hệ số bằng 0 và tổng chẵn cũng bằng tổng lẻ nên có nhân tử x2 -1
x 4  x3  x  1  ( x 4  1)  ( x 3  x)  ( x  1)( x  1)( x 2  x  1)
x 4  x3  x  1  ( x 4  x 3 )  ( x  1)  ( x  1)( x  1)( x 2  x  1)

c. Ta có x = - 3 là nghiệm nên có nhân tử là x +3
x 3  19 x  30  x 3  3x 2  3x 2  9 x  10 x  30  ( x  3)( x 2  3 x  10)  ( x  3)( x  2)( x  5)

d. Ta có: x = -1 là nghiệm của đa thức nên có nhân tử là x +1
x 3  4 x 2  7 x  10  x 3  x 2  3 x 2  3x  10 x  10  ( x  1)( x  2)( x  5)

e. Ta có tổng chẵn bằng tổng lẻ nên có nhân tử x + 1, sau đó lại tổng chẵn bằng tổng lẻ.
2 x 4  5 x3  5 x 2  5 x  3  ( x  1)( x  1)( x  3)(2 x  1)

*) Trường hợp đặc biệt: Đa thức không có nghiệm nguyên.
n
n 1
Xét đa thức Pn ( x)  a n x  an 1 x  ...  a1 x  a0 (an ...a0  Z , n 1)

x

+) Nếu Pn(x) = 0 có nghiệm

a n Mq
�
p
[(p;q)=1] � �
q
�a0 Mp

Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
3
2
a. 3x  7 x  17 x  5

4
3
2
b. 9 x  15 x  43x  22 x  40


4
3
2
c. 6 x  x  19 x  31x  30

Lời giải:
a. Các ước của 5 là : �1; �5 . Nhận thấy đa thức không có nghiệm nguyên, ta đi tìm nghiệm hữu tỷ
của đa thức
x

�p �U (5)
p

��
q �U (3)
q
�

ta thấy nghiệm của đa thức là

x

1
1
x
3 nên có nhân tử
3 hay 3x -1

3
2
3
2
2
2
Vậy: 3 x  7 x  17 x  5  3x  x  6 x  2 x  15 x  5  (3 x  1)( x  2 x  5)

b. Ta thấy đa thức có 1 nhân tử là:

x

2
� 3x  2
3

9 x 4  15 x3  43 x 2  22 x  40  (3 x  2)(3x 3  7 x 2  19 x  20)
3
2
2
Lại có nhân tử là: 3x + 4 � (3x  2)(3 x  7 x  19 x  20)  (3 x  2)(3x  4)( x  x  5)
4
3
2
2
c. 6 x  x  19 x  31x  30  (2 x  3)(3x  2)( x  x  5)

3. Đối với đa thức nhiều biến
Tương tự như phân tích ax2 + bx + c
Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
2
2
2
2
a. 2 x  5 xy  2 y  (2 x  4 xy)  ( xy  2 y )  ( x  2 y)(2 x  y)
2
2
b. 2 x  5 xy  3 y  ( x  3 y )(2 x  y )
2
2
2
2
c. a  2ab  b  2a  2b  1  (a  b)  2(a  b)  1  (a  b  1)

x 2 ( y  z )  y 2 ( z  x)  z 2 ( x  y )  z 2 ( x  y )  x 2 y  x 2 z  y 2 z  y 2 x  z 2 ( x  y )  xy ( x  y )  z ( x 2  y 2 )

d.  ( x  y )( y  z )( z  x)

A2: Phương pháp nhóm hạng tử
– Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.
– Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.
2
2
2
2
2
2
Bài 1: Phân tích thành nhân tử A  a (b  c )  b(c  a )  c (a  b )  2abc

Lời giải:
A  a (b 2  c 2 )  b(c 2  a 2 )  c(a 2  b2 )  2abc  a (a 2  2ab  b 2 )  (ab 2  a 2b)  (ac 2  bc 2 )


 c(a  b) 2  ab(a  b)  c 2 (a  b)  (a  b)(b  c)(c  a )
2
2
2
2
2
2
Bài 2: Phân tích thành nhân tử: A  a(b  c )  b(c  a )  c (a  b )  3abc

Lời giải:
A  (ab 2  a 2 b  abc )  (ac 2  a 2 c  abc)  (bc 2  b 2c  abc )  (a  b  c)(ab  bc  ca )

Bài 3: Phân tích thành nhân tử: A  abc  (ab  bc  ca)  a  b  c  1
Lời giải:
A  (abc  bc)  ( ab  b)  ( ac  c)  ( a  1)  (a  1)(b  1)(c  1)

Bài 4: Phân tích thành nhân tử: A  a8b  4(ab  bc  ca )  2(a  b  c)  1
Lời giải:
A  (8ab  4bc)  (4ab  2b)  (4ac  2c)  (2 a  1)  (2 a  1)(2b  1)(2c  1)
3
3
3
3
3
3
Bài 5: Phân tích thành nhân tử: A  a(b  c )  b(c  a )  c(a  b )  abc(a  b  c)

Lời giải:
A  (a 2  b2  c 2 )(ab  bc  ca)

A 3: Phương pháp dùng hằng đẳng thức
2
2
2
2
1. (a  b  c)  a  b  c  2ab  2bc  2ca
2
2
2
2
2. a  b  (a  b)  2ab  (a  b)  2ab
3

3
3
3. a  b  (a  b)  3ab(a  b)
3
3
3
4. a  b  (a  b)  3ab(a  b)

Bài 1: Phân tích thành nhân tử


3 6
a. 8  27a b
3
3
3
c. a  b  c  3abc

2
2
b. x  y  10 x  6 y  16
3
3
3
3
d. (a  b  c)  a  b  c

Lời giải:
3 6
3

2 3
2
2
2 4
a. 8  27a b  2  (3ab )  (2  3ab )(4  6ab  9a b )
2
2
2
2
b. x  y  10 x  6 y  16  ( x  5)  ( y  3)  ( x  y  8)( x  y  2)

 a 3  3a 2b  3ab 2  b3  3a 2b  3ab 2  c3  3abc  (a  b)3  c 3  3ab(a  b  c )  (a  b  c )[(a+b)2  (a  b )c  c 2 ]
2
2
2
2
2
c. -3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)  ( a  b)c  c  3ab]  (a  b  c)(a  b  c  ab  bc  ca )
3
3
3
3
3
2
2
3
3
3
3
d.  [(a+b)+c]  a  b  c  (a  b)  3(a  b) c  3(a  b)c  c  (a  b )  c

 (a  b)[a 2  2ab  b 2  3ac  3bc  3c 2  a 2  ab  b2 ]=3(a+b)(ab+ac+bc+c 2 )=3(a+b)(b+c)(c+a)

Bài 2: Phân tích thành nhân tử
3
3
a. x  y  3 xy  1

2
2
b. 4 x  9 y  12 xy  4 x  6 y  3

2 2
2 2
2 2
4
4
4
c. 2(a b  b c  c a )  (a  b  c )

Lời giải:
3
3
3
2
2
a.  x  y  3xy ( x  y)  3 xy ( x  y)  3xy  1  ( x  y)  1  3 xy( x  y  1)  ( x  y  1)( x  xy  y  x  y  1)
2
2
2

2
b.  (2 x)  (3 y)  2.2 x.3 y  2(2 x  3 y )  1  4  (2 x  3 y)  2  (2 x  3 y  1)(2 x  3 y  3)

c.
 4b 2 c 2  (a 4  b 4  c 4  2b 2c 2  2a 2b 2  2c 2 a 2 )  (2bc )2  (b 2  c 2  a 2 ) 2  (b  c  a )(b  c  a )(a  b  c )(a  b  c )

BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử ( Sử dụng tách hạng tử )
3
a. x  7 x  6  ( x  1)( x  2)( x  3)

3
2
2
b. x  5 x  8 x  4  ( x  1)( x  2)

3
2
c. x  9 x  6 x  16  ( x  1)( x  2)( x  8)

4
2
2
d. x  30 x  31x  30  ( x  5)( x  6)( x  x  1)

4
2
4
2
2

2
e. x  2010 x  2009 x  2010  ( x  x)  2010 x  2010 x  2010  ( x  x  1)( x  x  2010)

Bài 2: Phân tích thành nhân tử: A  abc  2(ab  bc  ca)  4(a  b  c)  8  (a  2)(b  2)(c  2)


3
2
2
2
Bài 3: Phân tích thành nhân tử: A  x  2 x y  x  x  2 xy  2 y  ( x  2 y )( x  x  1)
3
3
3
3
3
3
Bài 4: Phân tích thành nhân tử: A  ab  bc  ca  a b  b c  c a  (a  b)(b  c )(c  a)(a  b  c )

Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử ( dùng hằng đẳng thức )
2
2
a. x  4 y  4 xy  6 x  12 y  5  ( x  2 y  1)( x  2 y  5)
8
4
4
2
4
2
b. x  3x  4  ( x  x  2)( x  x  2)

Ngày soạn:
Ngày dạy:
CHUYÊN ĐỀ 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ( tiếp )
I. MỤC TIÊU
1.Kiến thức : Học sinh củng cố các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
2.Kỹ năng :
- Luyện kỹ năng giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử


- Biết vận dụng để tính giá trị của biểu thức, tìm x
3.Thái độ : Giáo dục ý thức biết vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp phân tích
II. CHUẨN BỊ
1. Chuẩn bị của giáo viên:Bảng phụ, bài tập
2. Chuẩn bị của học sinh:L àm bài tập về nhà
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC
A. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ( tiếp )
1. Phương pháp thêm , bớt cùng một hạng tử
a. Thêm, bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức: a2 – b2
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
4
a. a  4

4
4
b. 4 x  81y

8
4
c. x  98 x  1

3
d. 216  125x

6
6
e. x  64 y

4
2
f. a  3a  4

Lời giải:
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
a. a  4  a  2  2.a .2  2.2.a  (a  2)  (2a)  (a  2a  2)(a  2a  2)
2
2
2
2
2
2

b.  (2 x  9 y)  (6 xy)  (2 x  9 y  6 xy )(2 x  9 y  6 xy )

x8  98 x 4  1  ( x8  2 x 4  1)  96 x 4  ( x 4  1) 2  16 x 2 ( x 4  1)  64 x 4  16 x 2 ( x 4 1)  32 x 4
4
2 2
2
4
2
4
2
2
3
2
c.  ( x  1  8 x )  16 x ( x  1  2 x )  ( x  8 x  1)  (4 x  4 x)  ...
6
6
3 2
3 2
e. x  64 y  ( x )  (8 y )
4
2
2
2
2
2
2
f. a  3a  4  (a  2)  a  (a  a  2)(a  a  2)

b. Thêm, bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

5
4
5
4
3
3
3
2
2
2
3
a. x  x  1  x  x  x  1  x  x ( x  x  1)  ( x  1)( x  x  1)  ( x  x  1)( x  x  1)
8
7
8
7
6
6
2
6
3
2
6
4
3
b. x  x  1  x  x  x  x  1  ( x  x  1)[x  ( x  1( x  1)]=(x  x  1)( x  x  x  x  1)
8
4
4
2

2 2
4
2
2
2
c. x  x  1  ( x  1)  ( x )  ( x  x  1)( x  x  1)( x  x  1)
8
8
2
2
2
6
2
2
2
3
2
d. x  x  1  x  x  x  x  1  x ( x  1)  ( x  x  1)  ( x  x  1)[x ( x  1)( x  1)  ( x  x  1)]

e.
x 5  x  1  x 5  x 4  x 3  x 4  x 3  x 2  x 2  x  1  x 3 ( x 2  x  1)  x 2 ( x 2  x  1)  ( x 2  x  1)  ( x 2  x  1)( x 3  x 2  1)