CHUYÊN đề 1 rút gọn và LIÊN QUAN

Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo
Chun đề 1.1Rút Gọn Và Tính Giá Trị Của Biểu Thức
Rút gọn biểu thức đại số
Để Rút Gọn Biểu Thức Ta Thường Thực Hiện Như Sau:
B1.Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa. Lưu ý:
a
a
b

có nghĩa
có nghĩa

 ⇔ a ≥ 0

;

⇔ b ≠ 0;

1
a− b

 ⇔ a ≥ 0, b ≥ 0 và  a  ≠ b
có nghĩa
B2.Vận dụng các phép toán đối với đa thức, phân thức, thứ tự thực hiện các phép
tính, các hằng đẳng thức đáng nhớ,....
I - Rút Gọn Phân Thức Hữu Tỉ
Phương Pháp. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử, rồi rút gọn nhân tử
chung (lưu ý phải đặt điểu kiện cho mẫu thức khác 0).
Thí dụ 1: rút gọn biểu thức:
x 4 − x3 − 2 x − 4

A= 4
2 x − 3x3 + 2 x 2 − 6 x − 4

Lời Giải.
Ta có
Tử

x 4 − x3 − 2 x − 4 = ( x 4 − 4 ) − ( x 3 + 2 x ) = ( x 2 + 2 ) ( x 2 − 2 ) − x ( x 2 + 2 )
= ( x 2 + 2 ) ( x 2 − x − 2 ) = ( x 2 + 2 ) ( x + 1) ( x − 2 ) .

2x 4 − 3x 3 + 2x 2 − 6x − 4
= (2x 4 − 8) − (3x 3 + 6x) + (2x 2 − 4)

Mẫu
= 2(x 4 − 4) − 3x(x 2 + 2) + 2(x 2 + 2)
= (x 2 + 2)(2x 2 − 3x − 2)
= (x 2 + 2)(x − 2)(2x + 1).

A
x≠2
Điều kiện xác định là
và
2
(x + 2)(x + 1)(x − 2)
x +1
A= 2
=
.
(x + 2)(x − 2)(2x + 1) 2x + 1

1
x≠− .
2

ta có:

ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />

Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo
1
x +1
x≠−
A=
.
2
2x + 1
x≠2
Vậy với
và
thì
Thí dụ 2: rút gọn biểu thức
2xy − x 2 + z 2 − y 2
B= 2 2
.
x + z − y 2 + 2xz
Lời giải.
z 2 − (x 2 − 2xy + y 2 ) z 2 − (x − y) 2 (z + x − y)(z − x + y)
B= 2

=
=
.
(x + 2xz + z 2 ) − y 2 (x + z) 2 − y 2 (x + z + y)(x + z − y)
B=

z−x+y
.
x+z+y

x + y + z ≠ 0, x − y + z ≠ 0
Với
thì
II- Rút Gọn Biểu Thức Có Chứa Căn Thức.
Ta Thường Dùng Các Hằng Đẳng Thức
a − b = ( a − b)( a + b)

, với

a ≥ 0, b ≥ 0;

a a + b b = ( a + b)(a − ab + b)
a a − b b = ( a − b)(a + ab + b)

, với
, với

a ≥ 0, b ≥ 0;
a ≥ 0, b ≥ 0;

ua ≥ b
a − b neá
(a − b) 2 = a − b = 
ua < b.
b − a nế
Thí dụ 3: rút gọn biểu thức
C = x + 2y − x 2 − 4xy + 4y 2 .

Lời giải.

C = x + 2y − (x − 2y) 2 = x + 2y − x − 2y .
Ta có:
x ≥ 2y

x − 2y = x − 2y.

C = x + 2y − x + 2y = 4y.
do đó
x − 2y = −x + 2y
Nếu x < 2y thì
. Do đó c = x + 2y + x – 2y = 2x.
4y neá
ux ≥ y
C=
u x 2x nế
Vậy
Thí dụ 4: rút gọn biểu thc :

Nu

thỡ

(

)

2

a+ b
a b
a a b b
D=

ữì
a b
a b ÷

 a a+ b b

ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />

Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo
a ≥ 0,b ≥ 0,a ≠ b
Lời giải: điều kiện xác định
. Khi đó:

D=





=

=

(

a+ b

)(

a− b

a− b

) −(

(

)(
)(

)

(

)

2

a − b a + ab + b
a+ b
ữì
ữ
a b
a + b ữ a + b a− ab + b


) (

)(

)


a+ ab + b 
a+ b
 a+ b
ữì

a+ b ữ

a ab + b

(

) (

)

2

a + b a + ab + b ữ
a+ b
ab
=
ữì
a+ b
ữ a − ab + b a − ab + b


ab
a ≥ 0,b ≥ 0,a ≠ b
a− ab + b
Vậy với
thì d =
Bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp, ta có thể đưa bài tốn rút gọn biểu thức có chứa
căn về bài tốn rút gọn biểu thức hữu tỉ (khơng chứa căn) dễ biến đổi hơn
Thí dụ 5: rút gọn biểu thức:
2

 4 4 − 4 2 1+ 2 
E=
+
÷ −
4
 1− 4 2
÷
2


4

Lời giải: đặt

2=a

4

thì a = 2,
4

2

E=

 a2 − a 1+ a2 
+

÷ −
1

−
a
a



4 = a2 = 2

1+

2

1
2 2
+

1+ 2

. Ta có:

2 1
+
a2 a4
1+ a2

1+

2



1+ a2 
1+ a2
1 1
= 2− 2 =0
 −a +
÷ − 2
2
a  a (1+ a ) a a


=
Thí dụ 6: rút gọn biểu thức

F=

Lời giải: đặt

a= 45

thì

. Vậy e = 0

2
4 − 34 5 + 24 25 − 4 125

a 4 = 5; a 2 = 4 25; a 3 = 4 125

. Ta có:

ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />

Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo
− ( a 3 + 3a + 2a 2 + 4 )
1
−1
=
=
2
2
4 − 3 4 5 + 2 4 25 − 4 135 ( a 3 + 3a ) − ( 2a 2 + 4 ) ( a 3 + 3a ) − ( 2a 2 + 4 )
− ( a 3 + 3a + 2 a 2 + 4 )

=

=

a 3 + 3a + 2a 2 + 4
2a 2 + 6

a 6 + 6a 4 + 9a 2 − 4a 4 − 16a 2 − 16
a 3 + 3a + 2a 2 + 4 ) ( a 2 − 3) a 5 + 2a 4 − 2a 2 − 9a − 12  a + 1 2
(
=
=
=
÷
−8

2 ( a4 − 9)
 2 
2

 a +1 
4
F =2 
÷ = a +1 = 5 +1
 2 

Suy ra
Đối với biểu thức có dạng tổng hay hiệu của hai biểu thức liên hợp bậc
hai

M = a +b c ,M ' = a −b c

( M + M ')

2

, ta có:

= 2a + 2 a 2 − b 2 c , ( M − M ' ) = 2a − 2 a 2 − b 2 c
2

Vì vậy có thể dùng phép lũy thừa bậc hai để khử bớt căn

 Thí dụ 7: rút gọn biểu thức:
G = a + b + c + 2 ac + bc + a + b + c − 2 ac + bc

trong đó a,b,c là các số khơng âm

Lời giải : bình phương biểu thức g ta có :
G2 = 2 ( a + b + c) + 2
= 2( a + b + c) + 2

Nếu
Nếu

a+b ≥ c
a+b < c

( a + b + c)

( a + b − c)

thì
thì

2

2

− 4 ( ac + bc )

= 2( a + b + c) + 2 a + b − c

G 2 = 2 ( a + b + c ) + 2 ( a + b − c ) = 4(a + b) ⇒ G = 2 a + b
G 2 = 2 ( a + b + c ) − 2 ( a + b − c ) = 4c ⇒ G = 2 c

 2 a + b khi a + b ≥ c
G=
khi a + b < c
 2 c

Vậy
-Đối với biểu thức có dạng tổng hay hiệu của hai biểu thức liên hợp bậc
ba

M = 3 a +b c ,M ' = 3 a −b c

( M + M ')

3

, ta có :

= M 3 + M ' 3 + 3M .M '( M + M ') = 2a + 3 3 a 2 − b 2 c ( M + M ' )

Nên m+ m’ là một nghiệm của phương trình :

x 3 − 3 3 a 2 − b 2 c x − 2a = 0

ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />

Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo
′
M −M

Tương tự
là một nghiệm của phương trình

x 3 + 3 3 a 2 − b 2 c − 2a = 0

.Vì vậy dùng lũy thừa bậc ba để khử bớt căn.

Thí dụ 8: Rút Gọn Biểu Thức
H = 3 10 + 6 3 + 3 10 − 6 3

.

Lời giải. Lập phương biểu thức

H

ta có:

H 3 = 20 − 3 3 102 − 62.3 .H ⇔ H 3 + 6 H − 20 = 0 ⇔ ( H − 2 ) ( H 2 − 2 H + 10 ) = 0
H 2 − 2 H + 10 = ( H − 1) + 9 > 0
2

Do

nên suy ra

H −2 =0 ⇔ H = 2

.

.

A2 = A
Khi gặp biểu thức chứa căn bậc hai, nếu biến đổi được thành
hiện phép tính sẽ đơn giản hơn nhiều.

thì việc thực

Xuất phát từ đẳng thức
1 1 1
2
2
2
1 1 1 2( a + b + c)
1 1 1
+ +
= 2+ 2+ 2+
 + + ÷ = 2+ 2+ 2+
a b c
ab ac bc a b c
abc
a b c
2

.

2

Nếu

a +b +c = 0

Suy ra : với

thì

1 1 1
1 1 1
 + + ÷ = 2+ 2+ 2
a b c
a b c

.

abc ≠ 0 a + b + c = 0
,
thì

1 1 1
1 1 1
+ 2+ 2 = + +
2
a b c
a b c

Vận dụng đẳng thức
Thí dụ 9: cho

a, b, c

( *)
( *)

vào rút gọn biểu thức chứa căn rất hiệu quả.

là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng

ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />

Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo
1
1
1
S=
+
+
2
2
2
( a − b) ( b − c) ( c − a )
là số hữu tỉ.

( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) = 0

Lời giải. Nhận thấy
Áp dụng
S=

Mà

( *)

cho ba số

và

a −b ≠ 0 b−c ≠ 0 c −a ≠ 0
,
,
.

a −b b−c c−a
,
,
ta có

1
1
1
+
+
a −b b−c c −a
a, b, c

là các số hữu tỉ đôi một khác nhau nên

S

phải là số hữu tỉ.

Thí dụ 10: rút gọn biểu thức
P=

1
1
1
1
1
+
+ 4+ 4+
2
2
x + y ( x + y)
x
y ( x2 + y 2 ) 2
2

Lời giải. Điều kiện
cho ba số

x ≠ 0, y ≠ 0, x ≠ − y

x2 , y 2 , − ( x2 + y 2 )

.

. Nhận thấy

x2 + y 2 + ( − x2 − y 2 ) = 0

ta được

1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ 4+
= 2+ 2+
= 2+ 2− 2
2
4
2
2
x
y ( x2 + y 2 )
x
y −( x + y ) x
y ( x + y2 )

P=

Do đó:
Lại áp dụng

P=

. Áp dụng

.

1
1
1
+ 2+
2
x
y ( x + y) 2

( *)

với ba số

x, y , − ( x + y )

1 1
1
1 1
1
+ +
= + −
x y −( x + y)
x y x+ y

ta có:

.

Thí dụ 11: tính tổng gồm 2010 số hạng
ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />
( *)


Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo
1 1
1 1
1
1
S = 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +
+
2
2 3
3 4
2011 20122
.
Lời giải. Mỗi số hạng của tổng có dạng
1+

1

( n − 1)

2

+

1
1
1
1
1
1
= 2+
+
= 1+
− ( n = 3,..., 2012 )
2
2
2
n
1 ( n − 1)
n −1 n
( −n )

.

Từ đó, ta có:
1
1 
1
1
 1 1  1 1


S =  1 + − ÷+  1 + − ÷+ ... +  1 +
−
÷ = 2010 + −
2 2012
 2 3  3 4
 2011 2012 
= 2010

1005
2012

.

III – Vận Dụng Tính Chất Nghiệm Của Đa Thức Để Rút Gọn
1. Cơ sở lí thuyết
Mệnh đề

f ( x ) = ax + b

a.Nếu nhị thức dạng

a =b=0

, tức là

f ( x)

đồng nhất bằng

b.Nếu tam thức dạng

một khác nhau thì

(

a, b

là các tham số ) có hai nghiệm phân biệt thì

0

f ( x ) = ax 2 + bx + c

a=b=c=0

, tức là

.
(

a , b, c

f ( x)

là các tham số ) có ba nghiệm đơi

đồng nhất bằng

0

.

Chứng minh
a.Giả sử với
. Vì

x1 − x2 ≠ 0

x1 ≠ x2

nên

mà

a=0

f ( x1 ) = f ( x2 ) = 0

suy ra

b=0

thì

ax1 + b = 0

và

ax2 + b = 0

. Từ đó

.

ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />
a ( x1 − x2 ) = 0


Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo
f ( x1 ) = f ( x2 ) = f ( x3 ) = 0
x1 , x2 , x3
ax12 + bx1 + c = 0
b.Giả sử
đơi một khác nhau mà
thì
;
ax22 + bx2 + c = 0

;

ax32 + bx3 + c = 0

.

a ( x12 − x22 ) + b ( x1 − x2 ) = 0 a ( x12 − x32 ) + b ( x1 − x3 ) = 0
x1 ≠ x2 x1 ≠ x3
Từ đó suy ra
;
. Do

,
, nên

a ( x1 + x2 ) + b = 0 a ( x1 + x3 ) + b = 0
;
.
Suy ra

a ( x2 − x3 ) = 0

. Vì

x2 ≠ x3

a=0

nên

. Từ đó suy ra

b=0 c=0
,
.

Khi rút gọn các phân thức hữu tỉ, nếu khai triển các phép tính gặp phải những
biến đổi phức tạp thì ta nên coi nó như một đa thức theo một biến rồi áp dụng
mệnh đề trên. Lúc đó cơng việc trở nên dễ dàng hơn.
2. Một số thí dụ áp dụng
Thí dụ 12. Rút gọn biểu thức

( d − b) ( d − c) + ( d − c) ( d − a) + ( d − a ) ( d − b)
( a − b) ( a − c ) ( b − c) ( b − a ) ( c − a ) ( c − b)
Lời giải. Điều kiện xác định
f ( x) =

Xét đa thức

a ≠ b, b ≠ c, c ≠ a

Nhận thấy
Tương tự có
Như vậy
nghiệm.

f ( d)

.

.

( a − b) ( a − c) + ( a − c) ( a − a) + ( a − a) ( a − b)
( a − b) ( a − c) ( b − c) ( b − a) ( c − a) ( c − b)

f ( b) = f ( c) = 1

f ( x ) −1

.

( x − b) ( x − c) + ( x − c) ( x − a ) + ( x − a) ( x − b)

( a − b) ( a − c) ( b − c) ( b − a) ( c − a ) ( c − b)

Khi đó biểu thức đã cho chính là
f ( a) =

.

=1

.

.

là tam thức dạng

Ax 2 + Bx + C

nhận ba số khác nhau

a, b, c

ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />
làm


Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo
f ( x ) −1
f ( x) = 1

f ( d) =1
0
Vậy
đồng nhất bằng , hay
với mọi x. Suy ra
.
Thí dụ 13. Đơn giản biểu thức
a − b b − c c − a ( a − b) ( b − c) ( c − a )
+
+
+
a + b b + c c + a ( a + b) ( b + c) ( c + a)

Lời giải. Điều kiện xác định

.

a ≠ −b, b ≠ −c, c ≠ −a

Sau khi quy đồng mẫu số chung

.

( a + b) ( b + c ) ( c + a )

, ta có tử thức là

P = ( a − b) ( b + c) ( c + a ) + ( a + b) ( b − c) ( c + a ) + ( a + b) ( b + c ) ( c − a ) + ( a − b ) ( b − c ) ( c − a )

xét

f ( x) = ( x − b) ( b + c) ( c + x) + ( x + b) ( b − c) ( c + x ) + ( x + b) ( b + c ) ( c − x ) + ( x − b) ( b − c ) ( c − x )

P = f ( a)

thì

.

Ta thấy

f ( b) = ( b + b) ( b − c ) ( c + b) + ( b + b) ( b + c ) ( c − b) = 0
f ( c) = ( c − b) ( b + c) ( c + c) + ( c + b) ( b − c) ( c + c) = 0
f ( 0 ) = −bc ( b + c ) + bc ( b − c ) + bc ( b + c ) − bc ( b − c )

-Nếu

b≠c

và đều khác

nhau làm nghiệm nên
-Nếu

b=0

hoặc

b=c

0

f ( x)

thì

f ( x)

hoặc

;

.
Ax 2 + Bx + C

đồng nhất bằng

c=0

Vậy biểu thức đã cho bằng

có dạng

;

0

thì suy ra

0

P=0

và

P=0

nhận

b , c, 0

đôi một khác

.

.

.
Bài Tập.

Bài 1.
rút gọn các biểu thức sau
ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />

Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo
2
2
 x+2

 2 − 4 x 3x − x + 1
M =
+
− 3 ÷:
−
x +1  x +1
3x
 3x
1)
.

2)

 x2 − 1
1   4 1 − x4 
N = 4
−
÷.  x −
÷
2
2
1 + x2 
 x − x +1 x +1  

N=

3)

a 2 − bc
b 2 − ac

c 2 − ab
+
+
( a + b) ( a + c ) ( b + c) ( b + a) ( c + a ) ( c + b)

Chứng minh rằng với

Bài 2.

.

a , b, c

.

là các số đơi một khác nhau thì

a 2 ( x − b ) ( x − c ) b2 ( x − c ) ( x − a ) c 2 ( x − a ) ( x − b )
+
+
= x2
( a − b) ( a − c)
( b − c) ( b − a)
( c − a ) ( c − b)
Rút gọn các biểu thức chứa căn thức

Bài 3.
A=
1)

2)

.

a 2 + 4a + 4
a −2

.

B = 3x − 4 − 2 3 x − 5

C=
3)

.

2 a −9
a + 3 2 a +1
−
−
a −5 a +6
a − 2 3− a

.

 1+ a a

a ( −a )  1 − a a
D=
:

+
a
−
a

÷
÷
÷ 1 + a
÷
1 − a 2  1 − a


3

4)

Rút gọn các biểu thức

Bài 4.
E=

1)

.

2
7 + 5 4 5 + 3 4 25 + 4 125
2

.

ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />

Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo

F = 3 6+
2)

847 3
847
+ 6−
.
27
27

1
2
6
7 +
G= 3 −37−

7
1
3
7−
73 7 +
7


7−

3)

(

)

2

1 
÷
7

+

3

7
.
343

Sn = 1 + 99...9 + ( 0,99...9 ) .
2

Sn
hãy viết
dưới dạng số thập phân.
Tính Giá Trị Của Biểu Thức Đại Số Một Biến
Tính giá trị của biểu thức đại số một biến mà giá trị của biến là một biểu thức tạp

hoặc thỏa mãn điều kiện nào đó là dạng tốn gặp nhiều trong các kì thi vào thpt,
thi học sinh giỏi với những bài tập hay và khó, địi hỏi sự vận dụng linh hoạt và
sáng tạo các phép biến đổi. Ta thường sử dụng phương pháp phân tích từ điều
kiện đã cho của biến để biến đổi.
Cho

Bài 5.

Bài toán 1: tính giá trị của biểu thức

(

)

A = x5 + x 4 − x3 + 1

x=
Lời Giải.

2012

+

(x

2

+ x −3

)

2012

x +x −x −2
5

4

3

x=

2012

khi

5 −1
.
2

5 −1
⇒ 2 x + 1 = 5 ⇒ 4 x 2 + 4 x + 1 = 5 ⇒ x 2 + x − 1 = 0.
2

x5 + x 4 − x 3 + 1 = x 3 ( x 2 + x − 1) + 1 = x 3 .0 + 1 = 1.

Ta có:

x 2 + x − 3 = x 2 + x − 1 − 2 = 0 − 2 = −2;
x5 + x 4 − x3 − 22012 = x3 ( x 2 + x − 1) − 22012 = x3 .0 − 22012 = −22012.

A =1

2012

Khi đó

( −2 )
+

2012

−22012

= 1+

22012
= 0.
−22012

(

)

2

B = 4 x5 + 4 x 4 − 5 x3 + 5 x − 2 + 2011.
Bài toán 2: cho biểu thức

x=

Tính giá trị của biểu thức b khi

1
2

2 −1
.
2 +1

ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />

Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo

2 −1 1
=
2 +1 2

1
x=
2

(

Lời Giải. Ta có

(

)

2 −1

)(

2 +1

2

=

)

2 −1

2 −1
⇒ 2x +1 = 2
2

⇒ ( 2 x + 1) = 2 ⇔ 4 x 2 + 4 x − 1 = 0.
2

Suy ra

4 x 5 + 4 x 4 − 5 x 3 + 5 x − 2 = x 3 ( 4 x 2 + 4 x − 1) − x ( 4 x 2 + 4 x − 1) + 4 x 2 + 4 x − 2

B = ( −1) + 2011 = 2012

=

x 3 .0 − x.0 + 0 − 1 = −1.

2

Vậy

.

2 x 2 + x − 1 = 0.

Bài toán 3: gọi a là nghiệm dương của phương trình

C=
phương trình. Hãy tính giá trị của biểu thức

2a − 3

2 ( 2a − 2 a + 3 ) + 2a
4

2 x 2 + x − 1 = 0.

Lời giải. Do a là nghiệm dương của phuong trình
ra

0 < a <1

C=

=

và

2a − 3

(

1
2

(

(

)

=

từ đó , ta có:

( 2a − 3 )

(

(

)

2 2a 4 − 2a + 3 − 2 a 2

4 a − 4 a + 6 − 4a

2 ( 2a 4 − 2 a + 3 ) − 2a 2
−2 ( 2a − 3 )

)

)=

2 ( 2 a 4 − 2a + 3 ) − 2 a 2 = −

2

nên

2a 2 = 1 − a

suy

4

)

2 ( 2a 4 − 2a + 3 ) − 2 a 2
−2

2−a
a − 2 1− a
1
+ a2 =

+
=−
.
2
2
2
2

Bài toán 4: chứng minh rằng phương trình

x1

.

2

2 2a 4 − 2a + 3 + 2 a 2

( 2a − 3 )

=−

2 a = 1 − 2a + a .
4

2

không giải

x2 + x −1 = 0

có hai nghiệm trái dấu. Gọi

là nghiệm âm của phương trình. Tính giá trị của biểu thức

D = x18 + 10 x1 + 13 + x1.

ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />

Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo
Lời giải. Do

ac = −1 < 0

nên phương trình

nghiệm của phương trình nên

x2 + x −1 = 0

có hai nghiệm trái dấu. Vì

x + x1 − 1 = 0 ⇒ x = 1 − x1.
2
1

2
1

do đó:

x = ( 1 − x1 ) = 1 − 2 x1 + x = 1 − 2 x1 + 1 − x1 = 2 − 3 x1 ;
4
1

2

2
1

x18 = ( 2 − 3 x1 ) = 4 − 12 x1 + 9 x12 = 4 − 12 x1 + 8 x12 + x12 = 4 − 12 x1 + 8 ( 1 − x1 ) + x12 = 12 − 20 x1 + x12 ;
2

x18 + 10 x1 + 13 = 12 − 20 x1 + x12 + 10 x1 + 13 = 25 − 10 x1 + x12 = ( 5 − x1 ) .
2

x18 + 10 x1 + 13 = 5 − x1 .

Suy ra
5 − x1 > 0 ⇒ 5 − x1 = 5 − x1 .
x1 < 0
Vì
nên

D = x18 + 10 x1 + 13 + x1 = 5 − x1 + x1 = 5.

Do đó
Bài tốn 5: tính giá trị của biểu thức

x 5 − 3 x 3 − 10 x + 12
F=
x 4 + 7 x 2 + 15

x
1
= .
x + x +1 4
2

với

x
1
= ⇔ 4 x = x 2 + x + 1 ⇔ x 2 = 3 x − 1.
x + x +1 4
2

Lời giải. Ta có
x3 = x.x 2 = x ( 3x − 1) = 3 x 2 − x = 3 ( 3 x − 1) − x = 8 x − 3;
Do đó
x 4 = x 3 .x = ( 8 x − 3) x = 8 x 2 − 3 x = 8 ( 3x − 1) − 3 x = 21x − 8;

x 5 = x 4 .x = ( 21x − 8 ) x = 21x 2 − 8 x = 21( 3x − 1) − 8 x = 55 x − 21.
từ đó, ta có

x − 3x3 − 10 x + 12 = 55 x − 21 − 3 ( 8 x − 3 ) − 10 x + 12 = 21x ;
5

x 4 + 7 x 2 + 15 = 21x − 8 + 7 ( 3 x − 1) + 15 = 42 x .

Vậy

x5 − 3x 3 − 10 x + 12 21x 1
F=
=
=
x 4 + 7 x 2 + 15
42 x 2

(vì

x≠0

).
Bài tập.

A = x + x + x +1
2

Bài 1.

Tính giá trị của biểu thức

x=

4

với

1
2

1
2
2+ −
.
8 8

ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />
x1

là


Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo
a +1
B=
a4 + a + 1 − a2
Bài 2.
Tính giá trị của biểu thức
, trong đó a là nghiệm dương của
phương trình

4 x 2 + 2 x − 2 = 0.
x5 − 4 x3 − 3 x + 9
C=
x 4 + 3x 3 + 11

x
1
= .
x + x +1 4
2

Tính giá trị của biểu thức
với
Tính giá trị của biểu thức nhiều biến có điều kiện
Để tính giá trị của biểu thức có nhiều hơn một biến số với điều kiện cho trước ta
có thể sử dụng phương pháp phân tích từ điều kiện đã cho, phương pháp hệ số
bất định hay phương pháp hình học. Sau đây là một số ví dụ minh họa.
I – Phương Pháp Phân Tích

Bài 3.

7 x 2 − 13 xy − 2 y 2 = 0

Thí dụ 1: cho các số thực dương x, y thỏa mãn
2x − 6 y
A=
.
7x + 4 y
Tính giá trị của biểu thức
Lời Giải. Ta có
( 1) ⇔ ( 7 x + y ) ( x − 2 y ) = 0 ⇔ x = 2 y
x > 0, y > 0
(do
).

2.2 y − 6 y −2 y
1
1
A=
=
=− .
A− .
7.2 y + 4 y 18 y
9
9
A
Thay vào biểu thức , thu được
vậy
Thí dụ 2: cho các số thực dương x, y thỏa mãn
2012
 2012
 x + 1 = y

 x + 2 y = 7042

3

B=

x
.
y

Tính giá trị của biểu thức
2012

2012
a=
, b=
a, b > 0
x
y
Lời Giải. Đặt
với
thì hệ điều kiện đã cho trở thành
a + 1 = b

1 2 7
 a + b = 6 .

Suy ra

1
2
7
+
= ⇔ 7a 2 − 11a − 6 = 0 ⇔ a = 2
a a +1 6

(do

a>0

B=
).Vậy

x a 3
= = .
y b 2

ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />

Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo
Thí dụ 3: cho các số thực dương x, y, z, t, s thỏa mãn

 5
( 2)
t.x = ( t − 2 ) y =  t − 2 ÷z



s − 7 = s
( 3)
 x 2 z

C=
Tính giá trị của biểu thức

s s
− .
x y

Lời Giải. Từ điều kiện của bài toán suy ra
tx

2tx
y=
, z =
t −2
2t − 5
từ (2) suy ra
;
s
s
7
s 7
−
= ⇔ =
x 2tx 2
tx 5
Thay vào (3) ta được
.
s s s s s  t − 2  2s 14
C = − = − = 1 −
=
÷=
x y x tx x 
t  tx
5
Do đó
.
II-Phương Pháp Hệ Số Bất Định.
x, y , z
Thí dụ 4:cho các số thực
thỏa mãn

2
( x − y ) ( x + y ) = z

2
2
 4 y = 5 + 7z

t≠2

D = 2 x + 10 y − 23z
Hãy tính giá trị của biểu thức
 x2 − y 2 − z 2 = 0
.
( 4) ⇔  2
2
 4 y − 7z = 5
Lời giải. Ta có
a, b
Gọi
là các số thực thỏa mãn
a ( x 2 − y 2 − z 2 ) + b ( 4 y 2 − 7 z 2 ) = 2 x 2 + 10 y 2 − 23 z 2
2

(

) (

)

2

và

5
t≠ .
2

(4)
2

D = 2 x 2 − y 2 − z 2 + 3 4 y 2 − 7 z 2 = 2.0 + 3.5 = 15

Vậy

Thí dụ 5: cho các số thực dương

.

x, y , z , t

thỏa mãn

ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />

Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo
t

 x + 2 y + 2 z = 1


t
1

=
 z − 3 x 2
(5)
t
E=
x + 8 y + 9z
Tính giá trị của biểu thức
.
z
 x 2y
 t + t + 2. t = 1
( 5) ⇔ 
1 x
y
z
 −3. x + z = 1
  = + 8. + 9.

t t 2
E t
t
t
Lời giải. Ta có
và
.
y

z 
x
x
a  + 2. + 2. ÷+ b  −3. +
a, b
t
t 
t
t
Gọi
là các số thực thảo mãn
⇒

1
= 4.1 + 1.2 = 6
E

E=

z x
y
z
÷ = + 8. + 9.
t t
t
t

1
6

. Vậy
.
II-Phương Pháp Hình Học.
Thí dụ 6: cho các số thực dương
 x2 + y 2 = 9
 2
2
 y + z = 16
 y 2 = xz


x, y , z

thỏa mãn

(6)

G = xy + yz

Tính giá trị của biểu thức
.
Lời giải.
B, BC = 4, BA = 3
ABC
Xét tam giác
vuông tại
và
BD = y , DA = x  và  DC = z
BD
đường cao

. Đặt
. Ta ta
x, y , z
thấy
hoàn toàn thỏa mãn hệ điều kiện (6).
Khi đó

G = x. y + y.z = ( x + z ) y = 2.S ABC = 3.4 = 12.
Vậy

G = 12.

Thí dụ 7: cho các số thực

x, y , z

với

y>0

thỏa mãn

ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />

Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo
29

2

 x+ y = 4

y2 − z = 2

 2
 y = x − 1. 2 − z

(7)
H = y x −1 + 2 − z
Tính giá trị biểu thức
.
Lời giải.(h1.2)
x > 1, z < 2
Từ (7) suy ra
.
2
25

2
 x −1 + y = 4

2
 2
 y + 2− x = 4
 2
 y = x − 1. 2 − z

Ta viết hệ (7) dưới dạng
.

(

)

(

)

(

)

5
AB = ; BC = 2
2

B
BD
Xét tam giác vuông tại , đường cao
với
.
BD = y, AD = x − 1, CD = 2 − x
x, y , z
Đặt
. Rõ ràng
thỏa mãn hệ trên. Từ đó

1 5
H = y ( x − 1 + 2 − z = 2 S ABC = 2. . . 2 = 5
2 2

Thí dụ 8.cho các số dương

 y 2 + z 2 = 50

y2
 2
x
+
xy
+
= 169

2

 2
z2
x
+
xz
+
= 144

2

Tính giá trị biểu thức
Lời giải.(h.1.3)

x, y , z

. Vậy

H =5

.

thỏa mãn.

K = xy + yz + zx

(8)
.

ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />

Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo
Ta viết lại hệ (8) dưới dạng
 y2 z2
+ = 52

2
 2
y2
 2
x
+
xy
+

= 132

2

 2
z2
2
 x + xz + = 12
2

.
Xét tam giác vuông

trong tam giác

ABC

vuông tại

C

với

AB = 13, AC = 5, BC = 12.

·AOC = 900 ; BOC
·
= 1350

ABC

gọi

O

OB = x, OA =

thỏa mãn
. Đặt
x, y , z
dễ dàng kiểm tra được
thỏa mãn hệ điều kiện trên. Ta có
S AOB =

1
1
1
xy; S AOC = yz; S BOC = zx
4
4
4

Từ đó, suy ra

Bài 1.

y
z
; OC =
 .

2
2

.

1
K = xy + yz + zx = 4 ( S AOB + S AOC + S BOC ) = 4S ABC = 4. . 5.1 23 = 120.
2

K = 120.
Vậy
Bài Tập
Cho 3 số thực x,y,z dương và x>y thỏa mãn
z z
x + y = 6


 z =4
 x + y 3
M=

là điểm nằm

z
x− y

hãy tính giá trị biểu thức
.
Bài 2. Cho các số thực dương x,y,z,t,s thỏa mãn


x
1
 x+ y+ z = 4


2x
1
= .

 x + 2y − t 3

s
=1

 2x − y − z + t

ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />
ta


Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo
7 x − 4z + t
N=
s
Hãy tính giá trị biểu thức
.
Bài 3. Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn
 2

y3
x
+
xy
+

3

2
 y
+ z2 = 9

 2 3
 z + xz + x 2 = 16


.
P = xy + 2 yz + 3xz
Hãy tính giá trị biểu thức
.

ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />

Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo
Chun Đề 1.2
Tìm Điều Kiện Để Biểu Thức Đại Số
Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước.

•
•
•
•

Sau khi rút gọn biểu thức, đề thi có thể yêu cầu thêm:
Tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị là số nguyên.
Chứng minh giá trị của biểu thức khơng là số ngun.
Tìm điều kiện để biểu thức khơng âm (hoặc không dương) hoặc thỏa mãn một bất
đẳng thức, một đẳng thức nào đó.
Tìm điều kiện để biểu thức có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Dạng 1: tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị là số nguyên
Phương Pháp: biến đổi biểu thức về dạng phân thức hoặc tổng của một đa thức

với hệ số nguyên và một phân thức dạng
nguyên.

a
( a∈Z)
A

với

A

là đa thức với hệ số

a
để tìm giá trị là một số nguyên thì a nhận giá trị là ước số của
Trong trường hợp cần tìm giá trị của biến số thực để biểu thức nhận giá trị nguyên

thì nên tìm trước các giá trị nguyên có thể có của biểu thức, từ đó suy ra giá trị
của các biến số.
A=

a 4 − 16
a 4 − 4a 3 + 8a 2 − 16a + 16

Thí dụ 1. Cho biểu thức
a có giá trị nguyên.
Lời giải. Trước hết ta rút gọn biểu thức a. Ta có:

(a
A=

2

+ 4) ( a + 2) ( a − 2)

(a

2

+ 4) ( a − 2)

2

=

a+2
4

= 1+
a−2
a−2

A nhận giá trị nguyên khi
Suy ra

. Tìm các giá trị nguyên của

( với điều kiện
a−2

a≠2

là ước số của 4, tức là

a

để

)

a − 2 ∈ { −4; −2; −1;1; 2; 4}

a ∈ { −2; 0;1;3; 4; 6}

B=
Thí dụ 2. Cho biểu thức
m
để a có giá trị nguyên.

m+4 m−4 + m−4 m−4
8 16
1− + 2
m m

. Tìm các giá trị nguyên của

ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />

Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo
Lời giải. Trước hết ta rút gọn biểu thức b. Ta có:

B=

(

m−4 +2

)

2

+

(

m−4 −2

)

2

2

4

1 − ÷
 m

=

m−4 + 2+
1−

m−4 −2
4
m

 m − 4 − 2 khi m > 8
m−4 −2 = 
− m − 4 + 2 khi 4 ≤ m ≤ 8

Nhận thấy

 4
1−
khi m ≥ 4 hoac m < 0

4  m
1− = 
m 4
− 1 khi 0 < m < 4
 m

-Nếu

B=

4≤ m≤8

thì

4m
16
= 4+
m−4
m−4

Với m nguyên, để b nguyên thì

m−4

là các ước của 16, nhưng

4≤ m≤8

nên

m ∈ { 5;6;8}

-Nếu

m>8

B=

thì

2m
m−4

Với m nguyên, để b nhận giá trị ngun thì

B=
Do đó

2 ( k 2 + 4)
k

= 2k +

suy ra

m = k2 + 4

8
k

B nguyên thì k là ước số của 8, mà
Suy ra

m − 4 = k ( k ∈ N* )

k >2

( vì

m >8

) nên

k ∈ { 4;8}

m ∈ { 20; 68}

Vậy với

m ∈ { 5;6;8; 20; 68}

thì b nhận giá trị nguyên.

ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />
.


Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo

2
x 
 1
 
C =
−
:
1
−

÷
÷
 x − 1 x x − x + x − 1   x + 1 ÷

m
Thí dụ 3. Cho
. Tìm các giá trị ngun của
để c có giá trị nguyên.
x≥0

Lời giải. Điều kiện

Ta có:

C=

x ≠1


1

2
C =
−
 x − 1 ( x + 1) x − 1


(

=

x −1

( x + 1) (

a +1
a − a +1

)


÷. x + 1
÷ x − x +1


x +1
x +1
=
x −1 x − x + 1 x − x +1

)

.

x = a ( a ≥ 0, a ≠ 1)

Đặt

và

2

( ẩn

a

. Nếu tồn tại

x

để p có giá trị ngun thì phương trình

, tham số c ) có nghiệm. Tức là:

Ca 2 − ( C + 1) a + ( C − 1) = 0

có nghiệm

⇔ ∆ = −3C 2 + 6C + 1 ≥ 0 ⇔ 3 ( C − 1) ≤ 4 ⇔ 1 −
2

Dễ thấy

Với

Với
Vậy

C =1

C=2

C >0

thì

thì

và c nguyên nên

2 3
2 3
≤ C ≤ 1+
3
3

C ∈ { 1; 2}

x = 0
x +1
=1⇔ x − 2 x = 0 ⇔ 

x − x +1
x = 4

( thỏa điều kiện )

x +1
= 2 ⇔ 2 x − 3 x + 1 = 0 ⇔ x = 0, 25
x − x +1

x ∈ { 0; 0, 25; 4}

thì

C

( do

x ≠1

).

nhận giá trị nguyên.

Dạng 2. Chứng Minh Giá Trị Của Biểu Thức Không Là Số Nguyên.
Phương pháp. Ta thường sử dụng một trong các cách sau:
-Chỉ ra giá trị của biểu thức nằm giữa hai số nguyên liên tiếp.
ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />

Bộ chun đề ơn thi tốn 9:

FB:ToanhocSodo
-Hoặc biến đổi biểu thức về dạng phân thức hoặc tổng của một đa thức với hệ số
nguyên và một phân thức, rồi chứng minh rằng tử thức không chia hết cho mẫu
thức.
-Hoặc chỉ ra giá trị của một biểu thức là một số vơ tỉ.
a
b
c
C=
+
+
a , b, c
b+c b+c c+a
Thí dụ 4. Cho
là các số dương và
. Chứng minh rằng giá
trị của c khơng là số ngun.
Lời giải. Ta có:

C>

a
b
c
a+b+c
+
+
=
=1
a +b+c a +b +c a +b +c a +b +c

Ta lại có:
b  
c  
a 

C = 1 −
÷+  1 −
÷+  1 −
÷
 a +b   b+c   a+c 
b
c
a


< 3−
+
+
÷
 a+b+ c a+b+c a+b+c 
< 3 −1 = 2

Do đó:

1< C < 2

. Vậy giá trị của c khơng phải là số ngun.

Thí dụ 5. Chứng minh rằng giá trị của

nhiên ) không là số nguyên.
Lời giải. Do

( 4 x + 1)

2

x∈N

D=

x 2 + 4 x 2 + 36 x 2 + 10 x + 3

( với

x

là số tự

nên

< 36 x 2 + 10 x + 3 < ( 6 x + 2 )

2

⇒ 4 x + 1 < 36 x 2 + 10 x + 3 < 6 x + 2
⇒ ( 2 x + 1) < 4 x 2 + 36 x 2 + 10 x + 3 < 4 x 2 + 6 x + 2 < ( 2 x + 2 )
2

2

⇒ 2 x + 1 < 4 x 2 + 36 x 2 + 10 x + 3 < 2 x + 2
⇒ ( x + 1) < x 2 + 4 x 2 + 36 x 2 + 10 x + 3 < x 2 + 2 x + 2 < ( x + 2 )
2

2

⇒ x +1 < D < x + 2

Giá trị của d nằm giữa hai số tự nhiên liên tiếp nên không là số nguyên.
E=

3n 2
1
+
2
2n + n − 1 n + 1

n ≠ ±1, n ≠ 0
n
Thí dụ 6. Cho biểu thức
( với
nguyên và
). Chứng
minh rằng giá trị của biểu thức e không phải là số nguyên.
ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />

Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo

Lời giải. Rút gọn biểu thức

E=

Gọi

( 3n − 1) ( n + 1) = 3n − 1 = 1 + n
3n 2
1
+
=
2n − 1
( 2n − 1) ( n + 1) n + 1 ( 2n − 1) ( n + 1) 2n − 1
d=

Lại có
Vì vậy

ưcln

( n; 2n − 1)

n ≠ ±1, n ≠ 0
nM( 2n − 1)

n ≠ ±1, n ≠ 0

n Md ,

thì

nên

( 2n − 1) Md

suy ra

1Md

hay

d = 1.

2n − 1 ≠ 1

. Do đó e khơng phải là số nguyên với mọi số

n

nguyên và

.

Thí dụ 7. Cho

p

là tích của

n

số nguyên tố đầu tiên

( n > 1)

. Chứng minh rằng

p +1

không là số nguyên.
p +1 = k ( k ∈ N )
p = k 2 − 1 = ( k − 1) ( k + 1)
Lời giải. Giả sử
thì
k − 1, k + 1
pM2
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên
suy ra
đều là số chẵn
nên

pM4

( điều này vơ lý vì

pM2

và

p M4

).

p +1

Vì vậy
phải là số hữu tỉ . Suy ra điều phải chứng minh.
Dạng 3. Tìm Điều Kiện Để Biểu Thức Thỏa Mãn Một Bất Đẳng Thức Hoặc
Một Đẳng Thức.
Phương pháp. Trước hết rút gọn biểu thức, rồi từ điều kiện đã cho dẫn đến phương
trình hoặc bất phương trình ( ẩn là biến số đã cho )
3
3
x x+x
F=
+
+
x−3 − x
x −3 + x
x +1
Thí dụ 8. Cho biểu thức
x
F =6
a) Tìm sao cho
.
x
F >2
b) Tìm sao cho
.
c) So sánh f với 1,5.

x − 3 ≥ 0
⇔ x≥3

x ≥ 0
Lời giải. F có nghĩa khi

ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />

Bộ chun đề ơn thi tốn 9:
FB:ToanhocSodo

F=

3

(

) (

x−3 + x +3

x −3− x

Khi đó

F = 6 ⇔ x− 2 x−3 = 6 ⇔

a)
b)

x −3 − x

(

)

) +x=6

x −3
+ x = x−2 x−3
−3

2

x − 3 − 1 = 4 ⇔ −3 = 3 ⇔ x = 12

F > 2 ⇔ x − 2 x − 3 > 2 ⇔ ( x − 3) − 2 x − 3 + 1 > 0 ⇔

(

)

2

−3 − 1 > 0

 x − 3 ≥ 0
x ≥ 3
⇔

⇔
 x − 3 ≠ 1  x ≠ 4
F − 1,5 = x − 2 x − 3 − 1,5 =

C) xét hiệu
Vậy

(

)

2

x − 3 − 1 + 0,5 > 0

.

F > 1,5.

Thí dụ 9. Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện
1
x + y −1 + z − 2 = ( x + y + z )
2

.

Lời giải. Biến đổi đẳng thức đã cho thành dạng

(

) (
2

x −1 +

) (
2

y −1 −1 +

 x −1 = 0
x = 3


z − 2 −1 = 0 ⇔  y −1 −1 = 0 ⇔  y = 2

 z = 3.

 z − 2 − 1 = 0

)

2

Dạng 4. Tìm Điều Kiện Để Biểu Thức Có Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất
Thí dụ 10. Tìm x để biểu thức
G=

( x − 2010 )

2

+

( x − 2011)

2

+

( x − 2012 )

2

có giá trị nhỏ nhất.

A2 = A

Lời giải. Áp dụng cơng thức

, ta có

G = x − 2010 + x − 2011 + x − 2012

Nhận thấy
x − 2010 + x − 2012 = x − 2010 + − x + 2012 ≥ x − 2010 − x + 2012 = 2

ĐT:0945943199 Nhóm tài
liệu />