ĐÁP án CHI TIẾT đề MINI TEST 04

Khóa luyện đề nâng cao 2020
Sưu tầm và biên soạn

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Phạm Minh Tuấn

ĐỀ MINI TEST 04
ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 45 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm có 5 trang, 15 câu

Họ và tên:…………………………………………………Số báo danh:………………………..
Câu 1.

Hàm số y  x 3  3x  1 nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
B. 1, 

A.   ,1
Câu 2.

C.  1,1

Cho hàm của hàm số f  x  đồng biến trên tập số thực
đúng ?
A. Với mọi x1 , x2 
B. Với mọi x1  x2 
C. Với mọi x1 , x2 
D. Với mọi x1  x2 

D.  2,2 
, mệnh đề nào sau đây là

 f  x1   f  x2  .

 f  x1   f x2  .
 f  x1   f  x2  .
 f  x1   f x2  .

Lời giải
Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên
Câu 3.

.

Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  3; 1
Câu 4.

Cho hàm số y 

B.  0;   

C.  ;  2 

D.  2; 0 

mx  2

, m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên
2x  m

của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng  0;1 . Tìm số phần tử của S .
Facebook: />
1


Khóa luyện đề nâng cao 2020
A. 1 .

B. 5 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải
 m

 2

Tập xác định D  \ 
y 

m2  4

 2x  m

2

.

2  m  2

2  m  2
m  4  0
  m  0


0m2.
  2
 m  0
Yêu cầu bài toán   m


0;1



 m

 m  2
 2


1
  2
2

Câu 5.

Cho hàm số f  x   ax3  bx2  cx Hide
 dLuoicó đồ thị như hình bên dưới:
vuong

y

3

2
1
O

1

2

x

Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;0  . B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1 .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;1 .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;    .

Lời giải
Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trên khoảng  ;0  và 1;    , hàm số nghịch
biến trên khoảng  0;1 .
Câu 6.

Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . Xét các mệnh đề sau:
(I). Nếu f   x   0 , x  I (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I ) thì hàm
số đồng biến trên I .
(II). Nếu f   x   0 , x  I (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I ) thì hàm
số nghịch biến trên I .
(III). Nếu f   x   0 , x  I thì hàm số nghịch biến trên khoảng I .

Facebook: />
2


Khóa luyện đề nâng cao 2020
(IV). Nếu f   x   0 , x  I và f   x   0 tại vô số điểm trên I thì hàm số f không thể
nghịch biến trên khoảng I .
Trong các mệnh đề trên. Mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?
A. I và II đúng, còn III và IV sai

B. I, II và III đúng, còn IV sai

C. I, II và IV đúng, còn III sai

D. I, II, III và IV đúng
Lời giải

Các mệnh đề I, II đúng còn các mệnh đề III, IV sai.
Mệnh đề III sai vì thiếu điều kiện dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I .
Mệnh đề IV sai vì ta xét hàm số f  x   cos2x  2x  3 có f   x   2 1  sin2x   0 , x 

và f   x   2 1  sin 2 x   0  x    k  k 

4



tức là f   x   0 tại vô số điểm trên

.

 


 k ;    k  1   và f   x   0 ,
4
4



Mặt khác hàm số f  x   cos2x  2x  3 liên tục trên  

 


x     k ;    k  1   do đó hàm số f  x  nghịch biến trên mỗi đoạn
4
4


 



  4  k ;  4   k  1   ,  k 



Câu 7.

 . Vậy hàm số nghịch biến trên

.

Cho hàm số y  f  x  . Biết hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ bên.

Hàm số y  f  2 x  3x 2  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
1 1

A.  ;  .
3 2

1



B.  ;    .
2




1





C.   ;  .
3



1





D.  2 ;  .
2

Lời giải
Xét hàm số y  f  2 x  3x 2  ta có: y   2  6 x  . f   2 x  3x 2  .
2  6 x  0

TH1: 
2
 f   2 x  3x 



1
x  3

1

 
x .
2 x  3x2  1
0
3

2
  2 x  3x  2

Facebook: />
3


Khóa luyện đề nâng cao 2020

1
2  6 x  0
x 
TH2: 

 x 
3
2
 f  2 x  3x  0
1  2 x  3x 2  2






1
3

Hợp TH1 và TH2 lại ta được x 


1





Vậy hàm số đồng biến trên   ;  .
3
Câu 8.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  2020; 2020  để hàm số
y  2x3  3  m  1 x2  6  m  2  x  2017 nghịch biến trên khoảng  a; b  sao cho b  a  3 .

A. 2020 .

B. 2019 .

C. 2013 .

D. 4032 .

Lời giải
Ta có y  6x2  6  m  1 x  6  m  2 
Hàm số nghịch biến trên  a; b  x2   m  1 x   m  2   0 x   a; b
  m2  6m  9

TH1:   0  x2   m  1 x   m  2   0 x   Vô lí
TH2:   0  m  3  y có hai nghiệm x1 , x2  x2  x1 
 Hàm số luôn nghịch biến trên  x1 ; x2  .

Yêu cầu đề bài:
m  6
2
2
 x2  x1  3   x2  x1   9  S2  4 P  9   m  1  4  m  2   9  m2  6m  0  
m  0

Câu 9.

. Bảng biến thiên của hàm số y  f ( x)

Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục trên


x





được cho như hình vẽ bên. Hàm số y  f  1    x nghịch biến trên khoảng

2

A.  2; 4  .

B.  0; 2  .

C.  2;0  .

D.  4; 2  .

Lời giải
Facebook: />
4


Khóa luyện đề nâng cao 2020


x







x





Đặt g  x   f  1    x thì g  x    f   1    1 .
2
2
2
1



x





Ta có g  x   0  f   1    2
2


x







x





x

TH1: f   1    2  1   2  x  2 nên loại B, C.
2
2
TH2: f   1    2  1  1   a  a  0   2  2a  x  4 . Do 2  2 a  2 nên loại A.
2
2
x



x





Vậy hàm số y  f  1    x nghịch biến trên  4; 2  .
2
Câu 10.

Cho hàm số y  x3   m  1 x2  4mx . Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m là
1
3


p
p
nửa khoảng  ;  , ( là phân số tối giản, p, q 
q
q

trên đoạn 1; 4  . Tính p  q  ?
A. 3
B. 5



) để hàm số đã cho đồng biến

C. 4

D. 1

Lời giải
Ta có: y  x  2  m  1 x  4m .
2

YCBT  y  0 , x  1; 4  2m x  2  x2  2x , x  1; 4
1
x
 2m  x  2   x  x  2  , x  1; 4  m  , x  1; 4  m  .
2
2

Câu 11. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

và có bảng biến thiên như sau

ó bao nhiêu mệnh đề đúng trong số các mệnh đề sau đối với hàm số
g  x  f  2  x  2 ?

I.

àm số g  x  đồng biến trên hoảng  4; 2  .

II.

àm số g  x  nghịch biến trên hoảng  0; 2  .

III.

àm số g  x  đạt cực tiểu tại điểm 2 .

IV.

àm số g  x  có giá trị cực đại bằng 3 .

A. 3 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 4 .

Lời giải
Facebook: />
5


Khóa luyện đề nâng cao 2020
Từ bảng biến thiên ta có hàm số y  f  x  có
x  0
x  1
, f  x  0  
, f   x  0  0  x  2 và f  0   1 , f  2   2 .
f  x  0  
x  2
x  2

Xét hàm số g  x   f  2  x   2 ta có g  x    f   2  x  .
2  x  0

Giải phương trình g  x   0  

2  x  2

.

Ta có
g  x   0   f   2  x   0  f   2  x   0  0  2  x  2  0  x  2 .
2  x  0
g  x   0   f   2  x   0  f   2  x   0  
2  x  2

x  2
.

x  0

g  0   f  2  0   2  f  2   2  4 .
g  2   f  2  2   2  f  0   2  3 .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có
Hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  0; 2  nên I sai.
Hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  ;0  và  2;   nên II sai.
Hàm số g  x  đạt cực tiểu tại x  2 nên III sai.
Hàm số g  x  đạt cực đại tại x  2 và gCĐ  g  0  nên IV đúng.
Câu 12. Hàm số y 

x 2   m  1 x  1
2x



( m là tham số) . Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

p
q

m là nửa khoảng  ;   , (



p
là phân số tối giản, p, q 
q



) để hàm số đã cho

nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó. Tính p  q  ?
A. 6 .

B. 5 .

C. 7 .

D. 4 .

Lời giải
Tập xác định D  \2 . Đạo hàm: y 

 x 2  4 x  2m  1

 2  x

2



g  x

 2  x

2

.

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi y  0, x  D
( Dấu '  ' chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên D )
Facebook: />
6


Khóa luyện đề nâng cao 2020
 g  x   x2  4x  2m  1  0 , x 

Điều kiện:   0 (vì a  1  0 )  4   1 . 2m  1  0  2m  5  0  m   .
5
2

1
3

1
2

Câu 13. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y  x3  mx2  2mx  3m  4
nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3 . Tính tổng tất cả phần tử của S.
B. 1 .

A. 9 .

C. 8 .

D. 8 .

Lời giải
TXĐ: D 

.

Ta có: y  x 2  mx  2m , y  0  x2  mx  2 m  0  1 .
Để hàm số đã cho nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3 thì  1 phải có hai
nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  3 . Điều này tương đương với
2


 m  1
 0
m  8 m  0
.



 2
x

x


3
m

9
m

8
m

9

0


1
2




Do đó, S  1;9 .
Vậy tổng tất cả các phần tử của S là 8 .
Câu 14. Cho hàm số f  x   mx4  2x2  1 với m là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá trị
nguyên của m thuộc khoảng  2018; 2018  sao cho hàm số đã cho đồng biến trên


1





khoảng  0;  ?
2
A. 2022 .

B. 4032 .





C. 4 .

D. 2014 .

Lời giải

y  4 mx  4 x  4 x mx  1 .
3

2

m  0 : y  0  x  0  Hàm số đồng biến trên  0;    m  0 thỏa mãn.
x  0
x  0


m0: y 0 2
 

1 .
x   1
x 


m
m


BBT :

Facebook: />
7


Khóa luyện đề nâng cao 2020



1





Dựa vào BBT, hàm số đồng biến trên khoảng  0;  
2



1 1
1 1
     m  4 .
m 2
m 4

So với điều kiện  m   4 .

m   2018; 2018
suy ra có 2014 giá trị nguyên của m thỏa

m 

Mặt khác, theo giả thiết 
mãn yêu cầu bài toán.

Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số y  x  5 
5;    ?

A. 10 .

B. 8 .

1 m
đồng biến trên
x2

C. 9 .

D. 11 .

Lời giải
Tập xác định: D  \2 . Đạo hàm: y  1 

m1

 x  2

2



x2  4x  m  3

 x  2

2

.

Xét hàm số f  x   x2  4x  3 trên 5;    .
Đạo hàm: f   x   2x  4 . Xét f   x   0  x  2  y  1 . Ta có: f  5  8 .
Bảng biến thiên:

0

0

Do  x  2   0 với mọi x  5;   nên y  0 , x  5;    khi và chỉ khi f  x   m ,
2

x  5;    . Dựa vào bảng biến thiên ta có: m  8  m  8 .

Mà m nguyên âm nên ta có: m8;  7 ;  6;  5;  4;  3;  2;  1 .
Vậy có 8 giá trị nguyên âm của m để hàm số y  x  5 

1 m
đồng biến trên 5;    .
x2

Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y   2m  3 x   3m  1 cos x
nghịch biến trên
A. 1

.
B. 5

C. 0

Facebook: />
D. 4

8


Khóa luyện đề nâng cao 2020
Lời giải
y   2m  3 x   3m  1 cos x  y  2m  3   3m  1 sin x .

Hàm số y   2m  3 x   3m  1 cos x nghịch biến trên

 y  0 với x 

.

  3m  1 sin x  3  2m  1 với x  .

+ Với m  

1
1
2
ta có 1  0.sin x  3  (vô lý). Do đó m   không thỏa mãn.
3
3
3

+ Với m  

3  2m
1
ta có 1  sin x 
luôn đúng với x 
1  3m
3



3  2m
4m

 1 
0.
1  3m
1  3m



3  2m
1.
1  3m

4m
1
 0  4  m   .
1  3m
3

+ Với m  




3  2m
1
ta có 1  sin x 
luôn đúng với x 
1  3m
3

2  5m

1
2
0  m .
1  3m
3
5

Mặt khác m   m 0; 1;  2;  3;  4
Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn bài ra.
Câu 17. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  2018; 2018 để hàm số y  x2  1  mx  1
đồng biến trên  ;    .
A. 2017 .

B. 2019 .

C. 2020 .

D. 2018 .

Lời giải
TXĐ : D 
y 

x
x2  1

.
m.

 y  0 , x 

Hàm số đồng biến trên
Xét f  x  

x
x 1
2

trên

m

x
x2  1

 1 .

, x 

.

lim f  x   1 ; lim f  x   1 .

x 

f  x 

x 



1



x 1
2

x2  1

 0 , x 

nên hàm số đồng biến trên

Facebook: />
.

9


Khóa luyện đề nâng cao 2020
Ta có: m 

x
x2  1

, x 

 m  1 .

Mặt khác m  2018; 2018  m  2018;  1 .
Vậy có 2018 số nguyên m thoả điều kiện.
Câu 18. Cho

hàm

y  f  x

số

y  g  x  f  x 

có

f '  x    x  3  x  4  x  2   x  1 , x  .
2

Hàm

số

x 4 5x 3

 4 x 2  4 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
4
3

A.  ;1

B. 1; 2  .

C.  3; 5  .



3





D.  0;  .
2

Lời giải
Ta có g '  x   f '  x   x3  5x2  8x  4  f '  x    x  1 x  2    x  1 x  2   x2  7 x  13 .
2

2

x  1
.
x  2

Khi đó g '  x   0  

Bảng xét dấu của hàm số g '( x ) như sau

Vậy hàm số y  g  x  nghịch biến trên  ;1 .
Câu 19. Cho

hàm

số

y  f  x

liên

tục

trên

thỏa

mãn

f 1  0

và

 f  x   x  f  x   x 6  3x 4  2 x 2 , x  . Hàm số g  x   f  x   2x2 đồng biến trên khoảng



A. 1; 3  .



1





1

B.  0;  .
3



D. 1;   .

C.  ;1  .
3 
ời giải

Ta có  f  x   x  f  x   x6  3x4  2x2   f  x    x. f  x   x6  3x4  2x2  0
2

Đặt t  f  x  ta được phương trình t 2  x.t  x6  3x 4  2 x 2  0
Ta có   x2  4  x6  3x4  2x2   4x6  12x4  9x2   2x3  3x 
 x  2 x 3  3x
 x3  2x
t 
2
Vậy 
. Suy ra
 x  2 x 3  3x

3
 x  x
t 
2

2

 f  x   x3  2x

3
 f  x    x  x

Do f 1  0 nên f  x   x3  x .
Ta có
Facebook: />
10


Khóa luyện đề nâng cao 2020
g  x    x3  2 x2  x  g '  x   3x2  4 x  1  0 

1
 x  1.
3

Câu 20. Cho hàm số y  f  x  , hàm số f   x   x3  ax2  bx  c  a, b, c 

 có đồ thị như hình vẽ

Hàm số g  x   f  f   x   nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. 1;   .

B.  ; 2  .



C.  1;0  .

D.  



3 3
;
.
3 3 

Lời giải
Vì các điểm  1;0  ,  0;0  , 1;0  thuộc đồ thị hàm số y  f   x  nên ta có hệ:
1  a  b  c  0 a  0


 b  1  f   x   x3  x  f ''  x   3x 2  1
c  0
1  a  b  c  0
c  0



Ta có: g  x   f  f   x    g  x   f   f   x   . f ''  x 

 x3  x  0
 3
x x 1
3
2
Xét g  x   0  g  x   f  f '  x  . f   x   0  f  x  x 3x  1  0   3
x  x  1

 3x 2  1  0












 x  1

x  0
  x  1,325
 x  1,325

3

 x   3

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên  g  x  nghịch biến trên  ; 2 
Facebook: />
11


Khóa luyện đề nâng cao 2020
Câu 21. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên

. Biết đồ thị hàm số y  f '  x  như hình vẽ.

Biết S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thoả mãn m  2019; 2019  sao cho
hàm số g  x   f  x  m đồng biến trên khoảng  2;0  . Số phần tử của tập S là
A. 2017 .

B. 2019 .

C. 2015 .
ời giải

D. 2021 .

Ta có g '  x   f '  x  m .
 x  m  1

x  m  1
.


x  m  2
x  m  2

Suy ra g '  x   0  

Do đó từ đồ thị hàm số y  f '  x  suy ra g '  x   0  f '  x  m  0  x  m  2  x  m  2 .
Hàm số g  x   f  x  m đồng biến trên khoảng  2;0  khi và chỉ khi g '  x   0, x   2;0 
 m  2  2  m  4 .

Mà tham số m  2019; 2019  và là gía trị nguyên thoả mãn m  4 nên
m2018; 2017;...; 5; 4 . Vậy tập S có 2015 phần tử.

Câu 22. Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu đạo hàm như sau

3 f 2  x 1
f 2x
Hàm số y  e    3   đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. 1;    .

B.  1; 3 .

D.  2;1 .

C.   ;  2  .
ời giải





Ta có : y  3 f   2  x  .e 3 f 2 x 1  f   2  x .3 f 2  x .ln 3   f  2  x . 3 e 3 f 2 x 1  3 f 2 x .ln 3 .

Facebook: />
12


Khóa luyện đề nâng cao 2020
 2  x  1
x  3
.

y  0   f   2  x   0  f   2  x   0  
1  2  x  4
 2  x  1

Câu 23. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên



và có đồ thị y  f '  x  như hình vẽ sau



Hỏi đồ thị hàm số g  x   f e 3 f  x 1  2 f  x  nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A.  ; 5 .



7 

C.  1;   .

B.  3;  .
4 


D.  3; 1 .

Lời giải
Ta có:


 f '  x  .  3.e

 

3 f x 1
f x
3 f x 1
f x
g '  x   3 f '  x  .e    2  . f '  x  .ln 2 . f ' e    2  
3 f  x  1

2

f  x

 

.ln 2 . f ' e

3 f  x  1

2

f  x





ycbt  g '  x   0. Mà ta thấy rằng:
3 f x 1
f x
3.e 3 f  x 1  2 f  x .ln 2  0 3.e    2  .ln 2  0


3 f  x  1
f x
3 f  x  1
f x
2   0
2   0
 e
 f ' e






x  5

Suy ra g '  x   0  f '  x   0  


7  
x  x  1 x0   3;  
 0
4 




Vậy hàm số g  x  nghịch biến trên  ; 5 .
Câu 24. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên

Facebook: />
13


Khóa luyện đề nâng cao 2020

Và hàm số y  g  x  có bảng biến thiên

Hàm số y  f  x  g  x   2x  3 

1
chắc chắn đồng biến trên khoảng nào?

x2

B.  1;1 .

A.  2;1 .

 3







C.   ;1  .
2

D. 1; 4  .

Lời giải
Xét y  f  x  .g  x   2 x  3 

1
.
x2

 3 

Tập xác định: D    ;1 . Từ tập xác định loại được phương án A, D
 2 

Ta có: y '  f '  x  .g  x   f  x  .g '  x  

2
2x  3
 3



1

 x  2

2

 0, x   1;1 .



Với phương án , có g '  x   0 trên   ; 1  nên chưa ết luận được về dấu của hàm số
 2

cần xét.
Câu 25. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x    x  1 x  1 x  4  ; x  .Có bao nhiêu số nguyên
2x

 m  đồng biến trên  2;    .
m  2019 để hàm số g  x   f 
 1 x


A. 2018 .

Ta có: g  x   

B. 2019 .

3

 x  1

2

C. 2020 .
Lời giải

D. 2021

2x

f 
 m .
 1 x


Hàm số g  x  đồng biến trên  2;   
Facebook: />
14


Khóa luyện đề nâng cao 2020

 g  x   0; x   2;   


3

 x  1

2

2x

f 
 m   0; x   2;   
 1 x


2x

 m   0; x   2;   
 f 
 1 x


 x  1

Ta có: f   x   0   x  1 x  1 x  4   0  

1  x  4

2  x

 m  1; x   2;   

2x

 m   0; x   2;      1  x
Do đó: f  
 1 x

1  2  x  m  4; x  2;  


 1  x

Hàm số h  x  

 1
2

2x
 m ; x  2;    có bảng biến thiên:
1 x

ăn cứ bảng biến thiên suy ra: Điều kiện  2  không có nghiệm m thỏa mãn.
Điều kiện  1  m  1  m  1 ,kết hợp điều kiện m  2019 suy ra có 2018 giá trị m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nhận xét: Có thể mở rộng bài toán đã nêu như sau:
Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x    x  1 x  1 x  4  ; x  .Có bao nhiêu số nguyên
2x

 h  m   đồng biến trên  2;    .

m  2019 để hàm số g  x   f 
 1 x


Facebook: />
15