TUYỂN tập HÌNH học ôn THI học kì 2

Gv: Phạm Chí Trung

0906.489.009

TUYỂN TẬP HÌNH HỌC ÔN THI HỌC KÌ 2 – TOÁN LỚP 7
Bài 1: Cho ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho BD  CE. Chứng minh
a) DE // BC
b) ABE  ACD
c) BID  CIE (I là giao điểm của BE và CD)

�
d) AI là phân giác của BAC
e) AI  BC
f) Tìm vị trí của D, E để BD = DE = EC

1
DB  EC  DE.
2
Bài 2: Cho ADE cân tại A. Trên cạnh DE lấy các điểm B và C sao cho
a) ABC là tam giác gì? Chứng minh
b) Kẻ BM  AD,CN  AE. Chứng minh BM = CN
c) Gọi I là giao điểm của MB và NC. IBC là tam giác gì? Chứng minh

�
d) Chứng minh AI là phân giác của BAC
�
Bài 3: Cho ABC (AB < AC) và AM là tia phân giác của A. Trên AC ấy điểm D sao cho AD  AB
a) Chứng minh BM  MD
b) Gọi K là giáo điểm của AB và DM. Chứng minh DAK  BAC
c) Chứng minh AKC cân
d) So sánh KM và CM

Bài 4: Cho ABC cân tại C. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC. Các đường thẳng AE, BD
cắt nhau tại M. Các đường thẳng AM, AB cắt nhau tại I
a) Chứng minh AE = BD
b) Chứng minh DE // AB
c) Chứng minh IM  AB. Từ đó tính IM trong trường hợp BC = 15cm, AB = 24cm
d) Chứng minh AB  2BC  CI  2AE


Gv: Phạm Chí Trung

0906.489.009

Bài 5: Cho ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi G là trọng tâm của ABC . Trên tia đối của tia HG lấy điểm
E sao cho HG = EH
a) Chứng minh BG = CG = BE = CE
b) Chứng minh ABE  ACE
c) Chứng minh AG = GE
d) Biết AH = 9cm, BC = 8cm. Tính BE, AB
e) ABC thỏa mãn điều kiện gì để GBE là tam giác đều.

o
�
�
K �AB  , kẻ
Bài 6: Cho ABC vuông ở C, A  60 , tia phân giác của BAC cắt BC ở E, kẻ EK  AB 

BD  AE  D �AE 

a) Chứng minh AK = KB
b) Chứng minh AD = BC

�
c) Gọi I là giao điểm của BD và AC. Chứng minh IE là phân giác BIA
d) Chứng minh BD, EK, AC đồng quy
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ 1 điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC, vẽ KH  AC. Trên tia đối của tia HK
lấy điểm I sao cho HI = HK. Chứng minh:
a) AB// HK.
b) Tam giác AKI cân.

�
�
c) BAK = AIK .
d)  AIC =  AKC.
Bài 8: Cho tam giác ABC cấn tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh  ABM =  ACM.
b) Từ M vẽ MH  AB và MK  AC. Chứng minh BH = CK.
c) Từ B vẽ BP  AC, BP cắt MH tại I. Chứng minh tam giác IBM cân.

�
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A ( A <900), vẽ BD  AC và CE  AB. Gọi H là giao điểm của BD và CE.
a) Chứng minh:  ABD =  ACE.


Gv: Phạm Chí Trung

0906.489.009

b) Chứng minh  AED cân.
c) Chứng minh AH là đường trung trực của ED.

�
�
d) Trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho DK = DB. Chứng minh ECB = DKC
Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao
cho BD = CE. Vẽ DH và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. Chứng minh.
a) HB = CK.
�
�
b) AHB = AKC .
c) HK //DE
d)  AHE =  AKD.
e) AI  DE, I là giao điểm của DK và EH.
Bài 11: Cho góc x Oy và tia phân giác Ot. Trên tia Ot lấy điểm M bất kỳ; trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các
điểm A và B sao cho OA = OB; gọi H là giao điểm của AB và Ot. Chứng minh:
a) MA = MB.

b) OM là đường trung trực của AB.

c) Cho biết AB = 6cm, OA = 5cm. Tính OH
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại B, AM là trung tuyến. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME =
AM. Chứng minh:
a)  ABM =  ECM

b) AC > CE

d) BE // AC

�
�
c) BAM = MEC

e) EC  BC

Bài 13: Cho tam giác ABC cân ở A, AB = AC = 5cm. Kẻ AH  BC (H  BC).
�
�
a) Chứng minh BH = HC và BAH = CAH .
b) Tính độ dài BH biết AH = 4cm.
c) Kẻ HD  AB (D  AB); kẻ HE  AC (E  AC); tam giác ADE là tam giác gì, vì sao?
Bài 14: Cho tam giác ABC, AB = AC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao
cho BD = CE. Chứng minh:
a) Tam giác ADE cân

b)  ABD =  ACE.

Bài 15: Cho tam giác ABC, AB = AC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi
M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh:


Gv: Phạm Chí Trung
a) BE = CD

b)  BMD =  CME.

0906.489.009

c) AM là tia phân giác của góc BAC.
Bài 16: Cho tam giác ABC, AB < AC, AD là tia phân giác của góc A. Tên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB.
a) Chứng minh BD = DE
b) Gọi K là giao điểm của các đường thẳng AB và ED. Chứng minh  DBK =  DEC.

c) Tam giác AKC là tam giác gì? Chứng minh:
d) Chứng minh: AD KC.
Bài 17: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường trung trực của AB cắt AB tại E và BC tại F.
a) Chứng minh FA = FB
b) Từ F vẽ FH  AC (H  AC). Chứng minh FH  EF.
c) Chứng minh FH = AE.
BC
d) Chứng minh EH = 2 và EH //BC.

Bài 18: Cho tam giác ABC, AB < AC và AM là tia phân giác của góc A. Trân AC lấy điểm D sao cho AD = AB.
a) Chứng minh BM = MD
b) Gọi K là giao điểm của AB và DM. Chứng minh  DAK =  BAC.
c) Chứng minh tam giac AKC cân.
d) So sánh KM và CM.
Bài 19: Cho tam giác ABC có và đường phân giác BH ( HAC). Kẻ HM vuông góc với BC ( MBC). Gọi N là giao
điểm của AB và MH. Chứng minh:
a) Tam giác ABH bằng tam giác MBH.
b) BH là đường trung trực của đoạn thẳng AM .
c) AM // CN.
d) BH CN
Bài 20: Cho tam giác ABC vuông tại C có và đường phân giác của góc BAC cắt BC tại E. Kẻ EK AB tại
K(KAB). Kẻ BD vuông góc với AE ta D ( DAE). Chứng minh:
a) Tam giác ACE bằng tam giác AKE.


Gv: Phạm Chí Trung

0906.489.009

b) AE là đường trung trực của đoạn thẳng CK.

c) KA = KB.
d) EB > EC.
Bài 21: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác của góc ABC cắt AC tại E.
Kẻ EH BC tại H (HBC). Chứng minh:
a) Tam giác ABE bằng tam giác HBE.
b) BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.
c) EC > AE.
Bài 22: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.
1) Biết AH = 4 cm; HB = 2cm HC = 8cm:
a) Tính độ dài các cạnh AB, AC.

ˆ
b) Chứng minh. Bˆ > C
2) Gỉa sử khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng chứa cạnh BC là không đổi. Tam giác ABC cần thêm điều
kiện gì để khoảng cách BC là nhỏ nhất.
Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho
BD = BA.
a) Chứng minh .
b) Chứng minh .Từ đó suy ra AD là tia phân giác của HÂC
c) Vẽ DKAC.Chứng minh AK = AH.
d) Chứng minh AB + AC < BC + AH
Bài 24: Cho vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm; đường phân giác BI. Kẻ IHBC (HBC). Gọi K là giao điểm
của AB và IH.
a) Tính BC?
b) Chứng minh:
c) Chứng minh: BI là đường trung trực của đoạn thẳng AH.
d) Chứng minh: IA < IC
e) Chứng minh I là trực tâm
Bài 25: Cho ABC vuông tại A, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BA = BD. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc
với BC, cắt AC tại E.

a) Cho AB = 5 cm, AC = 7 cm, tính BC?


Gv: Phạm Chí Trung

b) Chứng minh ABE = DBE.

0906.489.009

c) Gọi F là giao điểm của DE và BA, chứng minh EF = EC.
d) Chứng minh: BE là trung trực của đoạn thẳng AD.
Bài 26:  ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Kẻ AE vuông góc BD, AE cắt BC ở K.
a) Chứng minh  ABK cân tại B.
b) Chứng minh DK vuông góc BC.
c) Kẻ AH vuông góc BC. Chứng minh AK là tia phân giác của góc HAC.
d) Gọi I là giao điểm của AH và BD. Chứng minh IK // AC.
Bài 27: Cho V ABC có Â = 600 , AB a) So sánh: ABC và ACB . Tính góc ABH .
b) Vẽ AD là p.g của góc A (D thuộc BC), Vẽ BI  AD tại I. Chứng minh:  AIB =  BHA .
c) Tia BI cắt AC ở E . Chứng minh V ABE đều .
d) Chứng minh DC > DB
Bài 28:  ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Kẻ AE  BD, AE cắt BC ở K.
a) Biết AC = 8 cm, AB = 6cm. Tính BC?
b)  ABK là  gì?
c) Chứng minh DK  BC.
d) Kẻ AH  BC. Chứng minh AK là tia phân giác của góc HAC.
Bài 29: Cho  ABC có AB=3cm, AC=4cm, BC=5cm.
a)  ABC là  gì?
b) Vẽ BD là phân giác góc B. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho AB=AE. Chứng minh: AD=DE.
c) Chứng minh:

d) Kéo dài BA cắt ED tại F. Chứng minh AE // FC.
Bài 30: Cho ABC cân tại A. Kẻ AH  BC tại H.
a) Chứng minh: ABH = ACH.


Gv: Phạm Chí Trung

0906.489.009

b) Vẽ trung tuyến BM. Gọi G là giao điểm của AH và BM. Chứng G là trọng tâm của ABC.
c) Cho AB = 30cm, BH = 18cm. Tính AH, AG.
d) Từ H kẻ HD song song với AC (D thuộc AB). Chứng minh ba điểm C, G, D thẳng hàng.

Bài 31: Cho  ABC vuông tại A . Biết AB = 3cm, AC = 4cm.
a) Tính BC.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ BH  AM tại H, CK  AM tại K. Cm:  BHM =  CKM
c) Kẻ HI  BC tại I. So sánh HI và MK
d) So sánh BH + BK với BC
Bài 32 :
Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA , trên tia BA lấy điểm F sao cho BF
= BC . Kẻ BD là phân giác của góc ABC ( D �AC ) . Chứng minh rằng :
a) EF  BC ; AE  BD
b) AD < AC
c) VADF VEDC
d) E , D , F thẳng hàng
Bài 33 :
Cho tam giác ABC có AB < AC , tia phân giác AM . Trên tia AC lấy điểm N sao cho AN = AB . Gọi K là giao
điểm của các đường thẳng AB và MN .
Chứng minh rằng :
a) MB = MN

b) VMBK VMNC
c) AM  KC và BN P KC
d) AC - AB > MC - MB
Bài 34 :
Tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho : BD = BA
�
a) Chứng minh rằng : Tia AD là tia phân giác của HAC


Gv: Phạm Chí Trung

0906.489.009

b) Vẽ DK vuông góc AC (K thuộc AC ) . CMR : AK = AH
c) CMR : AB + AC < BC + AH
Bài 35 :
CHo tam giác ABC cân tại A , phân giác AD. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AD. Trên tia phân
giác cuả góc CAE lấy điểm F sao cho AF = BD.
Chứng minh rằng :
a) AD  BC
b) AF // BC
c) EF = AD
d) Ba điểm E , F , C thẳng hàng

Bài 36:
Cho tam giác ABC . Gọi E , F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB , AC . Trên tia đối của tia FB lấy điểm P
sao cho PF = BF . Trên tia đối của EC lấy điểm Q sao cho QE = CE
a) Chứng minh : AP = AQ
b) Chứng minh : 3 điểm P , A, Q thẳng hàng
c) BQ // AC và CP // AB

d) Gọi R là giao của PC và QB. Chứng minh chu vi : VPQR  2VABC
e) Chứng minh : 3 đường thẳng AR ; BP ; CQ đồng quy.
Bài 37 :
Cho tam giác ABC cân tại A có BC < AB . Đường trung trực của AC cắt đương thẳng BC tại M. Trên tia đối của
tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM
�
�
a) Chứng minh : AMC  BAC
b) Chứng minh : CM = CN
c) Muốn cho CM  CN thì tam giác cân ABC cần thêm điều kiện gì ?
Bài 38 :


Gv: Phạm Chí Trung

0906.489.009

Cho tam giác ABC cân tại A có góc A nhọn , hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh : AE = AD
�
b) Chứng minh : AH là tia phân giác của góc BAC và AH là trung trực của ED
c) So sánh HE và HC
�
�
d) Qua E kẻ EF // BD ( F �AC ) , tia phân giác ACE cắt ED tại I . Tính EFI

� �120
A

 . Vẽ ra phía ngoài của ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi O


ABC
Bài 39: Cho
cân ở A
0

là giao điểm của BE và CD. Chứng minh
a) BE = CD
b) OBC cân

c) D và E cách đều đường thẳng BC

Bài 40: Cho ABC vuông tại A. Đường trung trực của AB cắt AB tại E và BC tại F.
a) Chứng minh: FA = FB
b) Từ F kẻ

FH  AC  H �BC  . Chứng minh: FH  EF

c) Chứng minh: FH = AE

1
EH  BC
2
d) Chứng minh: EH // BC và
Bài 41: Cho ABC có AB < BC, phân giác BD. Trên BC lấy điểm E sao cho BE = AB. Chứng minh
a) AD = DE
b) Gọi F là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng DE. Chứng minh: ADF  EDC
c) Chứng minh AD < DC
d) Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho CK = AF. Gọi I là giao điểm của AK và CF. Chứng minh là
trung điểm của AK.

Bài 42: Cho ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ
DE. Chứng minh rằng:
a) ABD  EBD

DE  BC  E �BC  . Gọi F là giao điểm của AB và

b) BD là đường trung trực của AE
c) BD  FC
d) AE  FC  2AC
Bài 43: Cho góc xOy nhọn. Kẻ tia phân giác OT của góc xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao
cho OA = OB. Kẻ đường thẳng vuông góc với Ox tại A cắt Ot tại C.


Gv: Phạm Chí Trung

a) Chứng minh OAC  OBC và CB  Oy

0906.489.009

b) Chứng minh OC là đường trung trực của đoạn thẳng AB

BI  Ox  I �Ox  , BI cắt OC tại H. Kẻ HK  Oy  K �Oy  . Chứng minh 3 điểm A, H, K thẳng

c) Kẻ
hàng.

d) Gỉa sử

�  60 0
xOy

và OH = 3cm. Tính khoảng cách từ điểm H tới 2 canh Ox và Oy.

0
�
Bài 44: Cho ABC vuông tại C có A  60 . Tia phân giác của góc A cắt BC ở E. Hạ EK  AB,BD  AE.

a) Chứng minh ACE  AKE và AE là trung trực của đoạn thắng CK
b) KA = KB
c) EB > AC
d) Ba đường AC, BD, KE đồng quy.
Bài 45: Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D. Trên cạnh AC lấy E sao
cho AE = AB.
a) Chứng minh rằng ABD  AED .
c) Chứng minh rằng: BE // FC.
b) Tia ED cắt AB tại F chứng minh BDF  EDC d) Chứng minh rằng: BD < DC
o
�
Bài 46: Cho tam giác ABC cân tại A, có A  90 , hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh:
a) BE = CF
b) Tam giác HEF cân
c) EF // BC
d) AH  EF
Bài 47: Cho tam giác ABC có AB = AC. M và N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và cạnh AC. Trên cạnh BC
lấy điểm D và E sao cho BD = DE = EC.
a) Chứng minh: ME = ND
b) Gọi I là giao điểm của ME và ND. Chứng minh: Tam giác IDE cân.
c) Chứng minh AI  BC
o
�
Bài 48: Cho tam giác ABC có A  90 và AC > AB. Kẻ AH  BC . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HB.

Kẻ CE vuông góc với AD kéo dài.
a) Chứng minh: AHB  AHD

�
�
b) Chứng minh: BAH  ACB
�
c) Chứng minh: CB là tia phân giác của ACE
d) Gọi giao điểm của AH và CE là K. Chứng minh: KD // AB
e) Chứng minh: AC > CD
Bài 49: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao
cho BD = CE. Kẻ DH vuông góc với AB, kẻ EK vuông góc với AC.
a) Tam giác DAE là tam giác gì? Chứng minh.
b) Chứng minh: DH = EK


Gv: Phạm Chí Trung

c) Chứng minh: ADH  AEK

0906.489.009

d) Gọi O là giao điểm của DH và EK, chứng minh DOE cân
�
e) Chứng minh AO là tia phân giác của DAE
g) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: ba điểm A, I, O thẳng hàng.
o
�
Bài 50: Cho tam giác ABC có A  90 , AB = 6cm, AC = 8cm.
a) Tính BC

�
�
b) Các tia phân giác của B và C cắt nhau tại I. Gọi D và E là chân đường vuông góc hạ từ I đến AB và AC.
Chứng minh: AD = AE
c) Tính AD.
Bài 51: Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Gọi N là trung điểm của AC.
a) Chứng minh ABH  ACH
b) Hai đoạn thẳng BN và AH cắt nhau tại G, trên tia đối của tia NB lấy K sao cho NK=NG. Cmr: AG//CK.
c) Chứng minh G là trung điểm của BK.
d) Gọi M là trung điểm AB. Chứng minh BC+AG>4GM
Bài 52: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và ABtại I. Từ I vẽ IM vuông góc với AB và IN vuông góc với AC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE=AB.
a) CMR: NC=BM
b) Chứng minh IN là đường trung trực của AE.
c) Gọi F là giao điểm của BC và AI. Chứng minh FC >FB.
Bài 53: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH. Trên đáy BC lấy M, vẽ MD  AB, ME  AC, MF  BH .
a) CMR: ME=HF
b) DBM  FMB
c) Khi M chạy trên đáy BC thì tổng MD+ME có giá trị không đổi.
d) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho KC=EH. CMR trung điểm của KD nằm trên cạnh BC.
Bài 54: Cho tam giác ABC cân tại A có góc A bằng 1080.
a) Tính số đo các góc B và góc C?
b) Gọi O là giao điểm của hai đường trung trực cạnh AB và AC. I là giao điểm của các đường phân giác
trong tam giác. CMR; A, O, I thẳng hàng.
c) CMR: BC là đường trung trực của đoạn thẳng OI.
Bài 55: Cho tam giác ABC vuông tại A có B< 600. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC, kẻ đường phân giác AK
của tam giác AHC.Kẻ KE//AC (E thuộc AB), KE cắt AH tại I. Kẻ đường thẳng vuông góc với AK tại K cắt AC
tại D. Chứng minh rằng:

�

�
a) BAK  BKA
b) AEK  KHA
�
c) BI là tia phân giác của ABK


Gv: Phạm Chí Trung

0906.489.009

d) KD >DC
Bài 56: Cho tam giác DEF cân tại D, đường phân giác DI.Gọi N là trung điểm của IF. Vẽ điểm M sao cho N là
trung điểm của DM. Chứng minh rằng:
a) DIN  MNF ; MF  EF
b) DF > MF
�
�
c) IDN  NDF
d) D, I, K thẳng hàng ( K là trung điểm của ME).
Bài 57: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABD và ACE lần lượt
vuông cân tại D và E. Gọi M là trung điểm BC, F là giao điểm của MD và AB, K là giao điểm của ME và AC.
a) CMR: ba điểm D, A, E thẳng hàng.
b) CMR: DM  AB; EM  AC
c) Tam giác DME là tam giác gì?
d) Tam giác vuông ABC cần thỏa mãn điều kiện gì để A là trung điểm của ED?

AH  BC  H �BC 
Bài 58: Cho tam giác ABC nhọn . Kẻ
. Vẽ điểm D sao cho AB là đường trung trực của DH.

Vẽ điểm E sao cho AC là đường trung trực của EH. Nối DE cắt AB, AC theo thứ tự tại I và K, DH cắt AB tại M.
Chứng minh rằng:
a) IMD  IMH
b) IA và KA là các tia phân giác góc ngoài tại đỉnh I và K của tam giác IHK
c) HA là tia phân giác của góc IHK.
d) HA; IC; KB đồng quy.
Bài 59: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên tia BC lấy điểm D sao cho BD=BA. Đường vuông
góc với BC tại D cắt AC tại E. Chứng minh rằng:
a)
b)
c)
d)

Điểm H nằm giữa B; D.
BE là đường trung trực của đoạn AD.
Tia AD là tia phân giác của góc HAC.
HD < DC

Bài 60: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB a) Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCD
b) Vẽ BE vuông góc với CD tại E, BE cắt CA tại I. Vẽ IF vuông góc với CB tại F. Chứng minh CEF cân
và EF song song với DB
c) So sánh IE và IB


Gv: Phạm Chí Trung

0906.489.009

d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác BEF cân tại F.

o
�
Bài 61: Cho ABC cân tại A có A  90 . Vẽ BE  AC tại E và CD  AB tại D.
a) Chứng minh ADE cân tại A
b) Gọi H là giao điểm của BE và CD. Chứng minh AH là tia phân giác của góc BAC.
c) Chứng minh: DE // BC
d) Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh ba điểm A, H, M thẳng hàng.
Bài 62: Cho ABC . Kẻ AH  BC ( H nằm giữa B và C). Cho biết AH = 36cm; AB = 45cm; AC =60cm.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng HB, HC
b) ABC có phải là tam giác vuông không? Vì sao?
Bài 63: Cho ABC vuông tại A ( AB < AC). Kẻ trung tuyến BM. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho
MD = MB.
a) Biết AC = 8cm; BC = 10cm. Tính AB.
b) Chứng minh AB = CD, AC  CD
c) Chứng minh AB + BC > 2BM
�
�
d) Chứng minh ABM  CBM
�
�
Bài 64: Cho ABC . Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác của ABC và ACB của ABC . Vẽ ID  AB
tại D, Chứng minh:

a) I IE  AC tại E. D = IE

�
�  90o  BAC
BIC
2
b)

2
2
2
2
2
c) IA  IB  2ID  AD  BD

d) DB  EC  BC

o
�
�
Bài 65: Cho ABC vuông tại C có A  60 . Tia phân giác của BAC cắt BC tại E. Kẻ EK  AB tại K,
BD  AE tại D. Chứng minh:

a) AC = AK và AE  CK
b) K là trung điểm của AB
c) EB > AC
d) Ba đường thẳng AC, BC, KE cùng đi qua một điểm


Gv: Phạm Chí Trung

0906.489.009

Bài 66: Cho ABC có AB < AC, hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H và có AD = BE.
�
�
a) So sánh BAD và CAD

b) ABC là tam giác gì? Chứng minh
c) Chứng minh đường thẳng CH là đường trung trực của AB.
d) Chứng minh DE // BA
e) Nếu O là trung điểm của CH, hãy chứng minh OD = OE.

Bài 67: Cho ABC nhọn, đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho các đường thẳng AB, AC lần lượt là trung
trực của các đoạn thẳng HD, HE.
a) Chứng minh: AD = AE
b) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng DE với AB, AC. Chứng minh rằng: HA là tia phân giác của
góc MHN.
�
�
c) Chứng minh rằng: DAE  2.MHB
d) Chứng minh rằng: Ba đường thẳng AH, BN, CM đồng quy
o �
o
�
�
Bài 68: Cho ABC có A  80 , B  60 . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Tia phân giác ABC cắt
AD tại H và AC tại E. Gọi F là trung điểm của DC, AF cắt CH tại K

a) So sánh các cạnh của tam giác ABC
b) Chứng minh ABE  DBE
c) Chứng minh BE > AD
b) Chứng minh KC = 2KH

�

Bài 69: Cho ABC vuông tại A. BE là tia phân giác của góc ABC
a) Chứng minh ABE  IBE

b) Tia IE và tia BA cắt nhau tại M. Chứng minh EMC cân
c) Chứng minh AI // MC.
Bài 70: Cho ABC vuông tại B
AH cắt BC tại E.

 E �AC  . Hạ EI  BC  I �BC  .

 AC  AB . D là điểm thuộc AC sao cho AB = AD. Kẻ AH  BD

a) Chứng minh ABH  ADH
b) Chứng minh EBD cân

tại H,

�
c) Gỉa sử BED  120 , AB  2cm. Tính cạnh BC?
o


Gv: Phạm Chí Trung

0906.489.009

�
�
Bài 71: Cho ABC vuông tại C có A  60 và đường phân giác của BAC cắt BC tại E. Kẻ EK  AB tại K
o

 K �AB . Kẻ BD  AE tại D  D �AE  . Chứng minh

a) ACE  AKE
b) AE là đường trung trục của đoạn thẳng CK
c) KA = KB
d) EB > EC.
Bài 72: Cho  ABC vuông tại A có AB = 3cm, AC = 6cm.
a/ Tính BC.

b/ Gọi E là trung điểm của AC, phân giác của góc A cắt BC tại D. Chứng minh rằng
c/ ED cắt AB tại M. Chứng minh

 ABD =  AED

 MAC vuông cân.

Bài 73: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Biết AB = 5cm, BC = 6cm.
a/ Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH?
b/ Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm A, G, H thẳng hàng.
c/ Chứng minh hai góc ABG và ACG bằng nhau.
Bài 74: Cho tam giác ABC cân tại A, có BM và CN là hai đường trung tuyến.
a/ Chứng minh

 ABM =  ACN

b/ Chứng minh MN//BC
c/ BM cắt CN tại K, D là trung điểm của BC. Chứng minh A, K, D thẳng hàng.
Bài 75: Cho

 ABC cân tại A và hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại K.

a/ Chứng minh

 BNC =  CMB.

b/ Chứng minh

 BKC cân tại K.

c/ Chứng minh BC< 4KM
Bài 76: Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ trung tuyến AM. Từ M kẻ ME vuông góc với AB tại E, kẻ MF vuông
góc với AC tại F.
a/ Chứng minh

 BEM =  CFM

b/ Chứng minh AM là trung trực của EF.
c/ Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B, từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, hai đường thẳng
này cắt nhau tại D. Chứng minh rằng ba điểm A, M, D thẳng hàng.


Gv: Phạm Chí Trung

0906.489.009

Bài 77: Cho  ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE  BC (E�BC). Gọi F là giao điểm của AB và DE.
Chứng minh rằng:
a/ BD là trung trực của AE

b/ DF = DC

c/ AD

d/ AE//FC

Bài 78: Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B có số đo bằng 600. Vẽ H là hình chiếu của A trên BC.
a/ So sánh AB và AC; BH và HC.
b/ Lấy điểm D thuộc tia đối của tia HA sao cho HD = HA. Chứng minh rằng hai tam giác AHC và DHC bằng
nhau.
c/ Tính số đo của góc BDC.
Bài 79: Cho tam giác nhọn ABC có AB>AC, vẽ đường cao AH
a/ Chứng minh HB>HC

b/ So sánh góc BAH và góc CAH

c, vẽ M, N sao cho AB, AC lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng HM, HN. Tam giác MAN là tam giác gì? Vì
sao?
Bài 80: Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác AD. Từ D vẽ DM // AC (M�AB).
a/ Chứng minh M là trung điểm của AB.

1
b/ Gọi G là giao điểm của AD và CM. Chứng minh rằng GD = 2 GA.
c/ Trên tia AC lấy điểm N sao cho DMB = DMN. Chứng minh rằng ND là tia phân giác của góc MNC.
Bài 81: Cho tam giác ABC có
cho BK = BE.

�
A

= 600. Phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Gọi K là điểm thuộc cạnh BC sao

a/ chứng minh rằng IK = IE.

b/ Chứng minh rằng BE + CD = BC
c/ Tính các góc của

 IDE

Bài 82: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH. Trên đáy BC lấy điểm M, vẽ MD

 BH
a/ Chứng minh rằng ME = HF.

b/ Chứng minh rằng

 DBM =  FMB.

c/ Chứng minh khi M chạy trên đáy BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi.

 AB, ME  AC, MF


Gv: Phạm Chí Trung

0906.489.009

d/ Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho KC = EH. Chứng minh rằng: Trung điểm của KD nằm trên cạnh
BC.
e/ Chứng minh rằng: KD

�BC.

Bài 83: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, biết AB = 10cm, BC = 12cm.

a/ Chứng minh tam giác ABH = tam giác ACH.
b/ Tính độ dài đoạn thẳng AH.
c/ Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABG = tam giác ACG.
d/ Chứng minh ba điểm A, G, H thẳng hàng.
Bài 84: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 9cm, AC = 12cm.
a/ Tính BC.
b/ tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D. Kẻ DM
chứng minh

 BC tại M

ABD  MBD

c/ Gọi giao điểm của DM và AB là E. Chứng minh

BEC cân

d/ Kẻ BD cắt EC tại K. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC và BE biết rằng BK cắt EP tại I
chứng minh C, I, Q thẳng hàng.
Bài 85: Cho tam giác ABC có trung tuyến AD. Đường thẳng qua D song song với AB cắt đường thẳng qua B
song song với AD. AE cắt BD tại I. Gọi K là trung điểm của đoạn EC.
a/ Chứng minh

ABD  EDB

b/ IA = IE
c/ Ba điểm A, D, K thẳng hàng

ABC cân tại A có M là trung điểm của BC
a/ chứng minh ABM  ACM

Bài 86: Cho

b/ Từ M kẻ ME
Chứng minh

 AB ; MF  AC (E�AB, F�AC).

 AEM = 

AFM

c/ chứng minh AM  EF
d/ trên tia FM lấy điểm I sao cho IM=FM. Chứng minh EI//AM.
Bài 87: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3cm, AC = 4cm.
a/ Tính độ dài cạnh BC.
b/ BD là phân giác góc B (D�AC). Từ D kẻ DE  BC.
Chứng minh

 ABD =  EBD.

c/ Tia ED cắt tia BA tại I. Chứng minh
d/ Chứng minh DA < DC

 IDC cân.


Gv: Phạm Chí Trung

0906.489.009

Bài 88: Cho  ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD
= CE. Vẽ DH và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. Chứng minh:
a/ HB = CK
b/

�
�
AHB
 AKC

c/ HK//DE
d/

 AHE =  AKD

e/ Gọi I là giao điểm của DK và EH. Chứng minh AI

 DE

Bài 89: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE.
a/ Chứng minh BE = CD

b/ chứng minh

�
�
ABE
 ACD

c/ Gọi K là giao điểm của BE và CD. Tam giác KBC là tam giác gì? Vì sao?

d/ Ba đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua một điểm
Bài 90: Cho

 ABC ( �
A = 900); BD là tia phân giác góc B (D�AC). Trên tia BC lấy điểm E sao cho BA = BE.

a/ Chứng minh DE



BE.

b/ Chứng minh: BD là đường trung trực của AE.
c/ Kẻ AH  BC. So sánh EH và EC.
Bài 91: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Kẻ DE  BC (E�BC). Trên tia đối của tia AB lấy
điểm F sao cho AF = CE. Chứng minh:
a/

 ABD =  EBD

b/ BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE
c/ ADd/

�
�
ADF
 EDC

Bài 92: Cho

H.

và E, D, F thẳng hàng.

A <900). Kẻ BD 
 ABC cân tại A( �

AC (D�AC), CE

 AB

(E�AB), BD và CE cắt nhau tại

a/ Chứng minh rằng: BD = CE
b/ Chứng minh:

 BHC cân

c/ Chứng minh AH là đường trung trực của BC
d/ Trên tia BD lấy điểm K sao cho D là trung điểm của BK. So sánh

� vàDKC
�
ECB

Bài 93: Cho  ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm; đường phân giác BI. Kẻ IH
giao điểm của AB và IH
a/ Tính BC
b/ Chứng minh

 ABI =  HBI

 BC (H�BC) Gọi K là


Gv: Phạm Chí Trung

0906.489.009

c/ chứng minh BI là đường trung trực của đoạn thẳng AH.
d/ chứng minh IAe/ Chứng minh I là trực tâm của  ABC.
Bài 94: Cho ABC , hai trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Nối dài BM một đoạn ME = GM và nối dài CN
một đoạn NF = NG. Chứng minh:
a) BF = CE = AG

b) BF // CE

c) EF // BC

Bài 95: Cho ABC vuông tại cân đỉnh A, M là trung điểm của BC. Trên cạnh BC, lấy điểm D tùy ý
Từ B, C hạ BE, CF vuông góc AD. Chứng minh:
a) AEB  AFC

b) AME  CMF

 D �M  .

c) MEF vuông cân

�
Bài 96: Cho ABC có A  120 , các tia phân giác của các góc A và C là AD, CE cắt nhau tại O. Đường phân
o

giác góc ngoài B của ABC cắt AC tại F. Chứng minh

�
a) FBO  90

o

b) DF là tia phân giác của góc D của ABD

c) D, E, F thẳng hàng

 , M là trung điểm của BC. Từ M hạ MH vuông góc với tia phân giác góc A.
Bài 97: Cho ABC 
Đường thẳng MH cắt AB; AC tại E; F và cắt đường thẳng song song với AB kẻ từ C tại N. Chứng minh:
AB  AC

a) MBE  MCN

b) BE = CF

 M là trung điểm của AC. Đường trung trực của AC cắt BC kéo dài tại
Bài 98: Cho ABC cân 
D. Trên tia đối của tia AD lấy đoạn AE = BD. Chứng minh:
AB  AC ,

a) DAC cân

b) ABD  ACE

c) CDE cân

Bài 99: Cho ABC vuông tại A có BC = 6cm; AB = 4cm
a) Tính AC
b) Kẻ trung tuyến AM của ABC , trên tia MA lấy điểm I sao cho MI = 1cm. Đường thẳng BI cắt AC tại
K. Chứng minh K là trung điểm của AC.
Bài 100: Cho ABC (AB < AC), đường trung trực của BC cắt AC tại I. Trên tia đối IB lấy điểm E sao cho IE =
IA
a) Chứng minh AIB  EIC
b) Chứng minh ABC  ECB
c) Gọi K là giao điểm của AB và CE. Chứng minh K thuộc trung trực của BC.


Gv: Phạm Chí Trung

0906.489.009

Bài 101: Cho MNP cân tại M. Kẻ MH  NP; HI và HK lần lượt vuông góc với MN và MP

�
a) Chứng minh MH là phân giác của IMK
b) Chứng minh MH là trung trực của IK
c) Trên tia đối của HI lấy điểm D sao cho HD = HI. Chứng minh IKD vuông
o
�
Bài 102: Cho ABC cân tại A; A  120 . Phân giác AD. Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia CA ở
E.

a) Chứng minh ABE đều

b) So sánh các cạnh của BEC

E �BC  . Trên tia đối của tia AB lấy điểm F
Bài 103: Cho ABC vuông tại A, phân giác BD. Kẻ DE  BC 
sao cho AF = CE. Chứng minh
a) BD là đường trung trực của AE
b) AD < CD
c) Ba điểm E, D, F thẳng hàng.
Bài 104: ABC vuông tại A. Phân giác BF. H là hình chiếu của C trên tia BF. E thuộc tia đối tia HB sao cho
HF = HE. K là hình chiếu của F trên BC. Chứng minh:
a) CEF cân

b) So sánh FA, FC

c) EBC vuông

d) Các đường thẳng AB, CH, FK đồng quy
Bài 105: ABC vuông cân tại A. Hai đường phân giác trong BI và CK cắt nhau tại O.
a) Chứng minh BI = CK
b) Kẻ IH  BC tại H. Chứng minh BI là đường trung trực của đoạn thẳng AH.
c) Chứng minh AO // IH. Chứng minh CI  AI  BC  AC
Bài 106: Cho ABC cân tại A, vẽ phía ngoài ABC các tam giác đều ABE, ACD. Kẻ đường cao AH của

ABC

a) Chứng minh BCD  CBE
b) Chứng minh EC, BD, AH cùng đi qua một điểm.

Bài 17: Cho ABC cân tại A, đường cao BH. Trên đáy BC lấy M, vẽ MD  AB,ME  AC,MF  BH
a) Chứng minh ME = HF
b) DBM  FMB


Gv: Phạm Chí Trung

0906.489.009

c) Khi M chạy trên đáy BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi
d) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho KC = EH. CMR trung điểm của KD nằm trên cạnh BC
e) CMR: KD �BC
Bài 108: Cho ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho
BM = CN. Chứng minh rằng
a) AMB  ANC
b) Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB cắt AB tại H, từ N kẻ đường thẳng vuông góc với
đường thẳng AC cắt AC tại I. Chứng minh rằng MH = NI
c) Gọi O là giao điểm của MH và NI. Chứng minh rằng MON là tam giác cân.
Bài 109: Cho ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi G là trọng tâm ABC . Trên tia đối của HG lấy điểm E
sao cho EH = HG
a) Chứng minh rằng BG = CG = BE = CE
b) Chứng minh rằng ABE  ACE
c) Chứng minh rằng AG = GE
d) Biết AH = 9cm, BC = 8cm. Tính BE, AB
e) ABC cần có điều kiện gì để GBE là tam giác đều.

1
AM  AC.
3
Bài 110: Cho ABC , lấy điểm E sao cho A là trung điểm của BE, điểm M �AC sao cho

Tia
BM cắt EC tại N.
a) Chứng minh N là trugn điểm của EC
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BM, CN. Chứng minh AN // IK
c) Gọi H là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm E, M, H thẳng hàng.
Bài 111. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao
cho BD = CE. Vẽ DH và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC.Chứng minh:
a) HB = KC
b)

AHK

cân

c) HK // DE
d) Gọi I là giao điểm của DK và EH. Chứng minh

AI  DE

Bài 112. Cho tam giác ABC cân tại A, đường thẳng AH. Biết
a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH

AB  97cm, BC  8cm


Gv: Phạm Chí Trung

0906.489.009

b) Gọi K là trung điểm của AC, tính độ dài BK

Bài 113. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm, đường phân giác BI. Kẻ IH vuông góc với BC
(H thuộc BC). Gọi K là giao điểm của AB và IH.
a) Chứng minh ABI

 HBI

b) Chứng minh BI là đường trung trực của đoạn thẳng AH
c) Chứng minh IA < IC
d) Chứng minh I là trực tâm của tam giác KBC
e) Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng BI và KC. Tính độ dài đoạn thẳng BC, BM.
0
�
Bài 114. Cho tam giác ABC cân tại A ( A  90 ), trên cạnh BC lấy 2 điểm D và E sao cho BD = DE = EC. Kẻ

BH  AD; CK  AE ( H �AD, K �AE ) , BH cắt CK tại G.
a) Chứng minh

ADE

cân

b) Chứng minh BH = CK
c) Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh A, M, G thẳng hàng
d) CHứng minh AC > AD

�
�
e) CHứng mình DAE  DAB
Bài 115. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD =
AE. Các đường vuông góc kẻ từ A và E tới CD cắt BC tại G và H. Đường thẳng EH và đường thẳng AB cắt nhau

tại M.
a) Chứng minh ACD  AME
b) Đường thẳng kẻ từ A và song song với BC cắt MH tại I. Chứng minh AGB  MIA
c) Chứng minh BG = GH.
Bài 116: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh AB và
AC
a) Chứng minh AE = DH; EH = AD
b) Trên tia đối của các tia DH và EH lần lượt lấy các điểm M và N sao cho DH = MD và EH = ME. Chứng
minh AM = AN
c) Chứng minh HA là đường trung tuyến của HMN
d) Chứng minh MB // CN

� �
Bài 117: Cho ABC có B  C . Kẻ AH  BC


Gv: Phạm Chí Trung

0906.489.009

a) So sánh BH và CH
b) Lấy điểm D thuộc tia đối của tia BC sao cho BD = BA. Lấy điểm E thuộc tia đối của tia CB sao cho CE =

�
�
CA. Chứng minh ADE  AED, từ đó so sánh AD và AE
c) Gọi G và K lần lượt là trung điểm của AD, AE. Đường BG là các đường gì đối với ABD

�
d) Gọi I là giao điểm của BG và CK. Chứng minh AI là phân giác của BAC

e) Chứng minh rằng đường trung trực của DE đi qua I.
Bài 118: Cho ABC vuông tại A. Đường trung trực của AB cắt AB tại E và BC tại F.
a) Chứng minh FA = FB

H �AC  . Chứng minh FH  EF
b) Từ F vẽ FH  AC 
c) Chứng minh FH = AE

d) Chứng minh

EH 

BC
2 và EH // BC

Bài 119: Cho ABC vuông tại A, BD là tia phân giác của ABC 
tại I, Cx cắt tia BA tại E. Lấy điểm K sao cho I là trung điểm của DK.

�

D �AC  . Kẻ tia Cx vuông góc với tia BD

a) Chứng minh BE = BC
b) Chứng minh EID  CIK
c) Chứng minh CK // DE

�
d) Tính BCK
e) Lấy điểm M sao cho A là trung điểm của MD, KM cắt tia BA tại F, cắt EC tại N. Chứng minh chu vi

DFN lớn hơn 2AD.





�  900
E

EMN
Bài 120: Cho
cân tại E
, các đường cao MA, NB cắt nhau tại I. Tia EI cắt MN tại H
a) Chứng minh AMN  BNM
b) Chứng minh EH là đường trung tuyến của EMN
c) Tính độ dài đoạn thẳng MA biết AE = 3cm, AN = 2cm
d) Chứng minh I cách đều ba cạnh của ABH

� �
Bài 121: Cho ABC vuông tại B, C  A . Đường trung trực của AB cắt AC; AB lần lượt tại M và K


Gv: Phạm Chí Trung

a) Chứng minh ABM cân

0906.489.009

�
�

b) Chứng minh MBC  MCB
c) Vẽ BH à đường cao của ABC ; BH cắt MK tại I. Chứng minh BM  AI
d) BM cắt AI tại E. Chứng minh HE // AB

�
e) Cho C  60 , AC = 12cm. Tính độ dài đoạn AH
0

Bài 122: Cho ABC vuông tại A, AC = 6cm, BC = 10c. Tia phân giác của góc C cắt AB tại M. Kẻ ME  BC
tại E; CM cắt AE tại O
a) Chứng minh ACM  ECM và CM là đường trung trực của AE
b) Biết AM = 3cm. Tính chu vi của MEB
c) Qua E kẻ đường thẳng song song với CM cắt MB tại F. Chứng minh ME = MF và AC = AF.

2
OK  EB
3
d) Trên tia EF lấy điểm K sao cho EK = 2EF. Chứng minh
Bài 123: Cho ABC vuông tại A và AB < AC. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia đối của tia HA lấy
điểm M sao cho HM = HA
a) Chứng minh CA = CM

�
b) Chứng minh ABC  MBC , từ đó suy ra CB là tia phân giác của ACM
�
�
c) Tia phân giác của HAC cắt HC tại O. Chứng minh MO là tia phân giác của AMC
d) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng đường thẳng BE đi qua
trọng tâm của ABO

Bài 124: Cho ABC cân tại A. Các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại I
a) Chứng minh ABD  ACE
b) Chứng minh BCI là tam giác cân
c) Chứng minh đường thẳng AI là đường trung trực của đoạn DE
d) Chứng minh BD > CD
e) Qua E kẻ đường thẳng song song với BC, đường thẳng này cắt đường thẳng BD tại G. Tam giác ABC
phải thỏa mãn điều kiện gì để AG = AC.
Bài 125: Cho ABC cân tại A. Kẻ đường cao AH, gọi I là trung điểm của đoạn BH. Lấy điểm M thuộc tia đối
của tia IA sao cho IA = IM


Gv: Phạm Chí Trung

0906.489.009

a) Chứng minh rằng BM = AH và AB + AH > AM
b) Chứng minh MH // AB
c) Tia MH cắt AC tại E. Chứng minh rằng EHC cân và E là trung điểm của AC. Gọi N là trung điểm của
MC. Cho biết AB = 10cm, BC = 12cm. Tính độ dài AN.
Bài 126: Cho ABC cân ở A. Trên canh BC lấy điểm M, N sao cho

NF  AC  E �AB,F �AC  , EM cắt FN tại H. Chứng minh

BM  CN 

BC
.
2 Kẻ ME  AB,

a) ABM  ACN

�
b) Gọi D là trung điểm của MN. Chứng minh AD là tia phân giác của góc BAC
c) EF // BC
d) Chứng minh A, D, H thẳng hàng
Bài 127: Cho ABC vuông tại A có AB = 3cm, AC = 6 cm. E là trung điểm của AC. AD là tia phân giác của

�
góc A.
a) Tính BC
b) Chứng minh rằng ABD  AED
c) Đường thẳng ED cắt đường thẳng AB tại M. Chứng minh rằng AMC vuông cân
d) Chứng minh rằng DC = 2BD

E �AC  . Trên BC lấy H sao cho BH = BA, giao của AB và
Bài 128: Cho ABC vuông tại A, phân giác BE 
EH là K.
a) So sánh AK và HC
b) Chứng minh BE  KC
c) Chứng minh AE  EC
d) ABC cần thêm điều kiện gì thì BKC đều
Bài 129: Cho ABC cân tại A. Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng

�
a) AH là phân giác của BAC
b) ED // BC
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh 3 đường thẳng HM, BE, CD đồng quy tại một điểm.