Toán tử đạo hàm trên không gian banach có trọng các hàm chỉnh hình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN PHI MINH

TOÁN TỬ ĐẠO HÀM TRÊN KHÔNG GIAN BANACH
CÓ TRỌNG CÁC HÀM CHỈNH HÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN PHI MINH

TOÁN TỬ ĐẠO HÀM TRÊN KHÔNG GIAN BANACH
CÓ TRỌNG CÁC HÀM CHỈNH HÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60460102
Người hướng dẫn khoa học: TS. PHẠM TRỌNG TIẾN

Hà Nội - 2017


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn và biết ơn sâu sắc đến thầy TS. Phạm
Trọng Tiến, người đã tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn này.
Thầy không chỉ giúp em về mặt kiến thức mà còn giúp em cách trình bày vấn
đề một cách rõ ràng và khoa học nhất có thể.
Tiếp theo, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể thầy cô trong Khoa
Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học Tự Nhiên đã dạy bảo em trong suốt hai
năm học vừa qua. Cuối cùng em xin lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, và tập thể
lớp cao học khóa 2015 -2017 đã giúp đỡ em trong quá trình học tập vừa qua.
Hà Nội, ngày 04 tháng 12 năm 2017
Học viên

Nguyễn Phi Minh

1


Mục lục
LỜI CẢM ƠN

1

LỜI MỞ ĐẦU

3

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Banach có trọng các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . .
1.2 Các tính chất động lực học cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

5
9

2 Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm
12
2.1 Tính bị chặn của toán tử đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Tính compact của toán tử đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Tính chất động lực học của toán tử đạo hàm
32
3.1 Tính chất có tập điểm tuần hoàn trù mật . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Tính siêu lặp và tính trộn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
KẾT LUẬN

40

Tài liệu tham khảo

41

2


LỜI MỞ ĐẦU
Không gian có trọng các hàm chỉnh hình và các toán tử xác định trên đó
đóng vai trò quan trọng lý thuyết xấp xỉ và lý thuyết phổ, trong giải tích phức và
giải tích Fourier, trong phương trình tích chập và phương trình đạo hàm riêng,
cũng như trong lý thuyết phân phối và siêu phân phối ([15]). Vì vậy chúng được
nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học và theo nhiều hướng khác nhau ([4], [5], [7],
[8], [10], [11], [15] - [20], [23], [29], [31] - [34]). Tuy nhiên, đến năm 2008 mới
có nghiên cứu và kết quả của Harutyunyan và Lusky trong [29] về tính bị chặn

của toán tử đạo hàm D trên không gian có trọng các hàm chỉnh hình trên hình
cầu đơn vị và trên toàn bộ mặt phẳng phức. Dựa trên kết quả của Harutyunyan
và Lusky, đã có nhiều bài báo nghiên cứu về các tính chất khác của toán tử
đạo hàm trên các không gian có trọng này (xem [1] về tính bị chặn; [6], [7], [8],
[16], [17] về tính hệ động lực và phổ). Dù tính compact của toán tử đạo hàm D
có nhiều ứng dụng, nhưng lại không có nhiều nghiên cứu về tính compact của
toán tử đạo hàm được thực hiện. Trên không gian có trọng các hàm nguyên,
Bogachev trong [12] chỉ đưa ra điều kiện đủ để toán tử đạo hàm là compact.
Động lực học tuyến tính được giới thiệu trong bài báo của Godefroy và
Shapiro trong [24] và của Grosse-Erdmann trong [25], [26]. MacLane trong [35]
đã chứng minh toán tử đạo hàm D là siêu lặp trên không gian các hàm chỉnh
hình H(C). Dáng điệu của toán tử đạo hàm trên đại số cầu H¨ormander các hàm
nguyên được nghiên cứu bởi Bonet trong [13].
Luận văn sẽ trình bày các nghiên cứu và kết quả về tính bị chặn, tính compact
và các tính chất động lực học của toán tử đạo hàm trên không gian có trọng các
hàm chỉnh hình. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận thì luận văn được chia làm ba
chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, các khái niệm và tính
chất cơ bản của không gian có trọng các hàm chỉnh hình sẽ được trình bày chi
tiết. Ngoài ra, khái niệm mở đầu về các tính chất động lực cơ bản cũng được
đưa ra.
Chương 2: Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm. Trong
chương này, tác giả sẽ trình bày những nghiên cứu về tính bị chặn và tính
compact của toán tử đạo hàm D trên không gian có trọng các hàm chỉnh hình,
đặc biệt là không gian trên hình cầu đơn vị D và trên toàn bộ mặt phẳng phức
C. Các điều kiện cần và đủ cho hai tính chất này sẽ được đưa ra.
Chương 3: Tính chất động lực của toán tử đạo hàm. Trong chương
này, tác giả đưa ra điều kiện cần và đủ cho các tính chất động lực học của toán
tử đạo hàm D trên không gian có trọng các hàm nguyên.
Nội dung chính của luận văn được tham khảo trong tài liệu [1], [2], [14].

3


MỤC LỤC

Do thời gian làm luận văn có hạn và hiểu biết còn hạn hẹp nên mặc dù có
nhiều cố gắng để hoàn thành luận văn này nhưng trong quá trình làm không
thể trách khỏi mắc phải những sai sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự đóng
góp quý báu từ các thầy, cô và người đọc để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

4


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Không gian Banach có trọng các hàm chỉnh
hình

Trong phần này chúng ta sẽ đưa ra khái niệm và các tính chất cơ bản của
không gian Banach có trọng các hàm chỉnh hình. Những kiến thức chuẩn bị ở
đây sẽ được sử dụng trong toàn bộ luận văn.
Cho G là một miền trong mặt phẳng phức C và H(G) là không gian gồm tất
cả hàm chỉnh hình trên G với tôpô hội tụ đều trên các tập compact. Một hàm
liên tục v : G → (0, ∞) được gọi là một hàm trọng trên G. Với một hàm trọng v ,
ta định nghĩa hai không gian có trọng các hàm chỉnh hình sau đây
Hv (G) :=
Hv0 (G) :=

|f (z)|
<∞ ,
z∈G v(z)

f ∈ H(G) ||f ||v := sup

f ∈ H(G)

f (z)
bị triệt tiêu khi z → ∂G ,
v(z)

ở đây không gian Hv0 (G) cũng được trang bị bởi chuẩn · v và một hàm g được
gọi là bị triệt tiêu khi z → ∂G, hay giới hạn lim g(z) = 0 có nghĩa là: với mọi
z→∂G

ε > 0, tồn tại một tập compact K trong G sao cho |g(z)| < ε với mọi z ∈ G \ K .

Các tính chất cơ bản của hai không gian trên được trình bày trong mệnh đề
sau đây.
Mệnh đề 1.1.1. Các khẳng định sau là đúng.
(1) Hv (G) là không gian Banach với chuẩn

·

v;

(2) Hv0 (G) là không gian con đóng của Hv (G).
Chứng minh. (1). Dễ thấy, Hv (G) là không gian định chuẩn với chuẩn · v . Ta

sẽ chỉ ra Hv (G) đầy đủ. Lấy (fn )n là một dãy Cauchy bất kỳ trong Hv (G), ta sẽ
chỉ ra (fn )n hội tụ tới một hàm f trong Hv (G). Theo định nghĩa của dãy Cauchy,
ta có với mọi ε dương, tồn tại n0 ∈ N sao cho
||fm − fn ||v < ε, ∀n, m ≥ n0 và ∀z ∈ G.
5


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Tức là,
|fm (z) − fn (z)| < εv(z), ∀n, m ≥ n0 và ∀z ∈ G.

(1.1)

Khi đó, với mọi K compact trong G, ta có
max |fm (z) − fn (z)| < ε max v(z), ∀n, m ≥ n0 .
z∈K

z∈K

Do đó, (fn )n là dãy Cauchy trong H(G), nên (fn )n hội tụ tới một hàm f trong
H(G).
Trong (1.1), cho m → ∞, ta được
|fn (z) − f (z)| ≤ εv(z), ∀n ≥ n0 và ∀z ∈ G.

Tức là, fn − f

v

≤ ε với mọi n ≥ n0 . Từ đây ta cũng thu được
f

v

≤ fn0 − f

v

+ fn0

v

< ∞.

Vậy ta có (fn )n hội tụ tới f trong Hv (G).
(2). Đầu tiên ta chỉ ra Hv0 (G) không gian con của Hv (G). Lấy f ∈ Hv0 (G), tức

là

|f (z)|
= 0.
z→∂G v(z)
lim

Khi đó, tồn tại K compact trong G sao cho
|f (z)|
< 1, ∀z ∈ G/K.
v(z)

Mặt khác, do K compact và |f (z)|/v(z) liên tục trên K nên tồn tại M > 1 sao
cho |f (z)|/v(z) < M, với mọi z thuộc K . Do đó, ta có

|f (z)|
≤ M,
z∈G v(z)
sup

nên f ∈ Hv (G). Vậy Hv0 (G) ⊂ Hv (G).
Bây giờ, ta sẽ chỉ ra Hv0 (G) đóng trong Hv (G). Thật vậy, lấy dãy (fn )n trong
0
Hv (G) và (fn )n hội tụ tới hàm f và ta phải chỉ ra f ∈ Hv0 (G). Vì (fn )n hội tụ tới
f nên với ε dương bất kỳ, tồn tại n0 ∈ N sao cho
ε
||fn − f ||v < , ∀n ≥ n0 .
2

tức là
Mặt khác, fn0

ε
|fn (z) − f (z)| < v(z), ∀z ∈ G và ∀n ≥ n0 .
2
0
∈ Hv (G), nên tồn tại tập compact K trong G sao cho
ε
|fn0 (z)| < v(z), ∀z ∈ G \ K.
2

Suy ra, với mọi z ∈ G \ K ta có
|f (z)|
|fn0 (z)| |fn0 (z) − f (z)|
<

+
< ε.
v(z)
v(z)
v(z)

Vậy f ∈ Hv0 (G).
6


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Khi nghiên cứu các vấn đề liên quan đến hai không gian Banach có trọng
Hv (G) và Hv0 (G) người ta thường sử dụng hàm trọng liên kết v của trọng v . Chúng
ta sẽ nhắc lại định nghĩa và một số tính chất của trọng liên kết. Bierstedt-BonetTaskinen trong [10] đưa ra định nghĩa về trọng liên kết như sau
v(z) := sup{|f (z)| : f ∈ Hv (G) : f

v

≤ 1}, z ∈ C.

Một số tính chất của trọng liên kết được đưa ra trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1.2. Các khẳng định sau đây đúng.
(i) Hàm v liên tục trên G và 0 ≤ v ≤ v trên G.
(ii) Không gian Hv (G) = Hv (G) và f

v

= f

v

với mọi f ∈ Hv (G).

Chứng minh. Các chứng minh này có thể tham khảo trong [10].
Trong các không gian có trọng Hv (G) và Hv0 (G) người ta đặc biệt quan tâm
tới trường hợp G là toàn bộ mặt phẳng phức C hoặc G là hình cầu đơn vị D và
hàm trọng v là trọng cầu, tức là v(z) = v(|z|), z ∈ G, trong đó v : [0; a) → (0, ∞)
là một hàm tăng và liên tục trên [0; a) sao cho
log r = o(log v(r)) với r → ∞ nếu G = C và lim v(r) = ∞ nếu G = D,
r→1−

trong đó a = +∞ với G = C hoặc a = 1 với G = D. Với giả thiết của hàm trọng
cầu v chúng ta thấy không gian Hv (C) và Hv0 (C) sẽ chứa tất cả các đa thức, do
đó chúng là không gian vô hạn chiều. Còn không gian Hv (D) và Hv0 (D) sẽ chứa
tất cả các hàm chình hình bị chặn trên D.
Trong trường hợp đặc biệt này, chúng ta còn có tính chất quan trọng sau
đây.
Mệnh đề 1.1.3. Giả sử v là trọng cầu trên G = C hoặc G = D. Khi đó, tập tất
cả các đa thức trù mật trong không gian Hv0 (G), do đó, Hv0 (G) là không gian khả
ly.
Chứng minh. Chúng ta chứng minh cho trường hợp G = C. Trường hợp còn lại
hoàn toàn tương tự.
Lấy một hàm f ∈ Hv0 (C) bất kỳ. Đặt
M (f, r) := max{|f (z)| : |z| = r}, r > 0.

Với mỗi t ∈ (0, 1) đặt ft (z) := f (tz), z ∈ C. Theo nguyên lý cực đại, dễ thấy
M (ft , r) = M (f, tr) ≤ M (f, r) với mọi t ∈ (0, 1) và r > 0.
Ta sẽ chứng minh ft hội tụ tới f trong Hv0 (C) khi t → 1. Thật vậy, lấy ε > 0
tùy ý. Tồn tại R > 0 sao cho
M (f, r)

ε
< , ∀r > R.
v(r)
2

Do đó

M (ft , r)
ε
< , ∀r > R và t ∈ (0, 1).
v(r)
2

7


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Mặt khác, dễ thấy
max |ft (z) − f (z)| = max |f (tz) − f (z)| → 0, khi t → 1.

|z|≤R

|z|≤R

Do đó, tồn tại t0 ∈ (0, 1) sao cho
|ft (z) − f (z)|
< ε, ∀t ≥ t0 .
v(z)
|z|≤R
max

Suy ra, với mọi t ≥ t0 ta có
ft − f

v

|ft (z) − f (z)|
|ft (z) − f (z)|
, max
v(z)
v(z)
|z|≤R
|z|>R

= max

max

|f (z)|
|ft (z)|
+ max
|z|>R v(z)
|z|>R v(z)

< max ε, max

< ε.

Vậy ft hội tụ tới f trong Hv0 (C) khi t → 1.
Tiếp theo, với mỗi t ∈ (0, 1) ta sẽ xấp xỉ hàm ft bởi một dãy đa thức. Từ đó,

ta kết luận được hàm f cũng được xấp xỉ bởi một dãy đa thức, tức là, tập tất
cả các đa thức phức trù mật trong không gian Hv0 (C). Thật vậy, giả sử hàm f
có biểu diễn
∞
an z n , a n ∈ C .

f (z) =
n=0

Theo công thức tích phân Cauchy ta có
|an | =

1
|f (n) (0)|
=
n!
2iπ

Suy ra, |an |. z n

v

≤ f

v

|z|=r

f (z)
M (f, r)

dz
≤ f
≤
z n+1
rn

v

v(r)
, ∀r > 0.
rn

với mọi n ∈ N. Sử dụng bất đẳng thức này ta có

n

ak tk z k

ft (z) −
k=0

ak tk z k

=
v

k>n

Do đó, với mỗi t ∈ (0, 1) cố định, ft (z) −
ta có điều phải chứng minh.

≤ f
v

tk = f

v
k>n

n
k k
k=0 ak t z v

tn+1
.
v
1−t

→ 0 khi n → ∞. Từ đây

Ngoài ra, hàm trọng liên kết v với trọng cầu v còn có thêm các tính chất sau
đây.
Mệnh đề 1.1.4. Giả sử v là trọng cầu trên G = C hoặc G = D. Khi đó
(i) Hàm v cũng là trọng cầu trên G, tức là, v(z) = v(|z|) với mọi z ∈ G.
(ii) Hàm log(v(z)) là hàm điều hòa dưới trên G, điều này tương đương với v
là hàm lồi logarit trên (−∞, log a), tức là, hàm ϕv (x) := log v(ex ) lồi trên
(−∞, log a).
(d) Không gian Hv0 (G) = Hv0 (G).
Chứng minh. Các chứng minh này cũng có thể được tham khảo trong [10].
8

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.2

Các tính chất động lực học cơ bản

Tiếp theo chúng ta đưa ra một số khái niệm động lực học như tính siêu lặp,
tính trộn, tính hỗn loạn. Đặc biệt chúng ta sẽ chỉ ra toán tử đạo hàm trên không
gian H(C) có đầy đủ tính chất động lực học này.
Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một không gian véctơ trên trường K (K = R hoặc
K = C). Một hàm p : X → [0, ∞) được gọi là một nửa chuẩn nếu nó thoả mãn
hai điều kiện sau:
1. p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ X;
2. p(λx) = |λ|p(x), ∀x ∈ X, λ ∈ K.
Khái niệm không gian Fréchet tổng quát hơn không gian Banach với tôpô
xác định thông qua dãy nửa chuẩn (pn )n , mà ta luôn có thể giả sử dãy (pn )n là
tăng (nếu cần thiết ta có thể xét dãy (max pk )n . Hơn nữa, dãy nửa chuẩn (pn )
k≤n

được giả sử là tách được, có nghĩa là, nếu pn (x) = 0 với mọi n ≥ 1 thì x = 0. Khi
đó,
∞

d(x, y) :=
n=1

1
min(1, pn (x − y)), x, y ∈ X

2n

(1.2)

là một metric trên X .
Định nghĩa 1.2.2. Không gian véctơ X với dãy nửa chuẩn (pn ) đầy đủ theo
metric được cho bởi (1.2) được gọi là một không gian Fréchet.
Ví dụ 1.2.3. Xét không gian H(C) = f : C → C : f là hàm chỉnh hình trên C ,
với mỗi n ∈ N, nửa chuẩn pn được xác định trên H(C) như sau
pn (f ) = sup |f (z)|.
|z|≤n

Khi đó không gian H(C) cùng với dãy tăng nửa chuẩn (pn )n tạo thành một không
gian Fréchet.
Hơn nữa, toán tử đạo hàm
D : H(C) → H(C), D(f ) = f

là liên tục trên không gian H(C). Thật vậy, theo công thức tích phân Cauchy
dễ dàng chứng minh được, với mọi f ∈ H(C), với mọi n ≥ 1,
sup |f (z)| ≤ sup |f (z)|
|z|≤n

|z|≤n+1

tức là
pn (f ) ≤ pn+1 (f ), ∀f ∈ H(C), ∀n ≥ 1.

9

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.2.4. Cho T : X → X là toán tử tuyến tính. Khi đó, với x ∈ X ,
tập hợp
orb(x, T ) = {x, T x, T 2 x, · · · }

được gọi là quỹ đạo của vectơ của x theo T .
Định nghĩa 1.2.5. Cho toán tử tuyến tính liên tục T : X → X được gọi siêu
lặp nếu tồn tại x ∈ X sao cho quỹ đạo orb(x, T ) của x trù mật trong X . Khi đó,
x được gọi là vectơ siêu lặp của T .
Dễ thấy, nếu trên không gian X có một toán tử siêu lặp thì X là không gian
tách được. Vì vậy trong luận văn này, khi nghiên cứu tính chất động lực học
chúng ta chỉ quan tâm đến các không gian tách được.
Định nghĩa 1.2.6. Cho toán tử tuyến tính liên tục T : X → X được gọi là
truyền ứng tôpô nếu với mọi tập mở khác rỗng U, V của X sao cho tồn tại n ≥ 0
ta có T n (U ) ∩ V = 0.
Trong [27], Grosse-Erdmann đã chỉ ra rằng toán tử T trên X là siêu lặp khi
và chỉ khi T là truyền ứng tôpô. Do đó, ta dùng kết quả này để chỉ ra toán tử
đạo hàm D trên H(C). Thật vậy, lấy U, V là hai tập mở khác rỗng trong H(C).
Vì tập các đa thức trù mật trong không gian H(C) nên ta có thể lấy
N

N
k

bk z k ∈ V, N ∈ N.

ak z ∈ U, g(z) =

f (z) =
k=0

k=0

Do đó, ta có Dn (f (z)) = 0. Với mỗi n ≥ N + 1, ta xét đa thức sau
N

r(z) = f (z) +
k=0

k!bk k+n
z
.
(k + n)!

Từ đó ta có
(n)

N
n

n

D (r(z)) = D (f (z)) +
k=0
N

=
k=0

k!bk k+n

z
(k + n)!

k!(k + 1)(k + 1) · · · (k + n)bk k
z =
(k + n)!

N

bk z k = g(z).
k=0

hay là Dn (r) = g ∈ V . Mặt khác, với mọi R dương ta có
N

sup |r(z) − f (z)| ≤
|z|≤R

k=0

k!|bk | k+n
R
→ 0, n → ∞.
(k + n)!

do vậy r(z) ∈ U , với n đủ lớn. Khi đó ta được Dn (U ) ∩ V = ∅.
Vậy nên D siêu lặp trên H(C).
10

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.2.7. Cho T : X → X là một toán tử. Một điểm x ∈ X được gọi
điểm tuần hoàn của T nếu tồn tại n ≥ 1 sao cho T n x = x.
Định nghĩa 1.2.8. Một toán tử tuyến tính liên tục T : X → X được gọi là hỗn
loạn nếu nó thỏa mãn hai điều kiện dưới đây:
(1) T có tính siêu lặp;
(2) T có tập điểm tuần hoàn trù mật.
Mệnh đề sau chỉ ra đặc trưng của tập các điểm tuần hoàn.
Mệnh đề 1.2.9. Cho T là toán tử tuyến tính trên không gian vectơ phức X .
Khi đó, tập các điểm tuần hoàn của T là
Per(T ) = span{x ∈ X|T x = eαπi x, α ∈ Q}.

Bổ đề 1.2.10. Cho Λ là tập con của C và nó chứa ít nhất một điểm tụ trong
C. Khi đó, span{eλz , λ ∈ Λ} trù mật trong H(C).
Tiếp theo, ta sử dụng Mệnh đề 1.2.9 và Bổ đề 1.2.10 để chỉ ra toán tử đạo
hàm D là hỗn loạn trên H(C). Thật vậy, từ D(eλz ) = λeλz nên theo Mệnh đề
1.2.9 ta được
span{eλz |λ = eαπi , α ∈ Q} ⊂ Per(D).
Mặt khác,
Λ = {λ|λ = eλαi , α ∈ Q}
có điểm tụ trong C, do đó theo Bổ đề 1.2.10 ta được
span{eλz |λ = eαπi , α ∈ Q}

trù mật trong H(C). Suy ra Per(D) = H(C).
Hơn nữa, ta đã chứng minh được toán tử đạo hàm D siêu lặp trên H(C). Vậy
nên D hỗn loạn trên H(C).
Định nghĩa 1.2.11. Toán tử tuyến tính liên tục T : X → X được gọi là có tính
trộn nếu mọi tập mở, khác rỗng U, V của X , tồn tại N ≥ 0 sao cho
T n (U ) ∩ V = ∅, ∀n ≥ N.

Dễ thấy, nếu T là trộn trên X thì T cũng là siêu lặp trên X . Trong chứng
minh tính siêu lặp của toán tử đạo hàm D trên H(C), với n đủ lớn ta được
Dn (U ) ∩ V = ∅. Vậy D là trộn trên H(C).
Việc kiểm tra tính siêu lặp bằng định nghĩa là rất khó khăn, chúng ta thường
dùng tiêu chuẩn sau đây để chứng mình một toán tử là siêu lặp.
Định lý 1.2.12. (Tiêu chuẩn Siêu lặp). Cho T là một toán tử tuyến tính liên
tục trên X . Nếu tồn tại X0 , Y0 là các tập trù mật của X , một dãy nguyên dương
tăng (nk )k , và một ánh xạ Snk : Y0 → X, k ≥ 1, sao cho với mọi x ∈ X0 , y ∈ Y0
thoả mãn
1. T nk x → 0,
2. Snk y → 0,
3. T nk Snk y → y .
thì T là siêu lặp.
11


Chương 2
Tính bị chặn và compact của toán
tử đạo hàm
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày những nghiên cứu về tính bị chặn và
compact của toán tử đạo hàm D trên không gian có trọng các hàm chỉnh hình.

2.1

Tính bị chặn của toán tử đạo hàm

Trong [29], Harutyunyan và Lusky đã nghiên cứu tính bị chặn của toán tử
đạo hàm trên không gian Hv (G) với G = C hoặc G = D và v là trọng cầu. Nhưng
các kết quả chính trong [29] nhận được dưới giả thiết sau đây:
(HL): với mọi r ∈ [0, a) tồn tại n ∈ (0, ∞) sao cho r là điểm cực đại toàn cục

của hàm số γn (t) :=

tn
.
v(t)

Hơn nữa, kỹ thuật trong [29] rất phức tạp. Trong phần này, chúng ta sẽ đưa ra
cách tiếp cận mới cho vấn đề này bằng cách thay điều kiện (HL) bởi tính lồi
logarit cho hàm trọng. Trên thực tế, hai điều kiện này tương đương với nhau.
Bổ đề 2.1.1. Một trọng cầu v trên C hoặc D thỏa mãn điều kiện (HL) khi và
chỉ khi nó là lồi logarit.
Chứng minh. Giả sử v là một trong cầu trên C hoặc D. Ta đặt ϕv (x) = log v(ex ),
x ∈ (−∞, b) trong đó b = +∞ khi trọng v xác định trên C hoặc b = 0 khi trọng v
xác định trên D.
Điều kiện cần. Giả sử v thỏa mãn điều kiện (HL). Với x < y < b, áp dụng
(HL) cho r := exp((x+y)/2), ta có tồn tại số dương n sao cho, với mọi t ∈ (−∞, b),
rn
ent
≥
⇐⇒ n log r − log v(r) ≥ nt − log v(et ),
t
v(r)
v(e )

tức là
n

x+y
x+y
− log v(e 2 ) ≥ nt − log v(et ),

2

hay
n

x+y
x+y
− ϕv
2
2
12

≥ nt − ϕv (t).


Chương 2. Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm
Lấy t = x, ta có
x+y
x+y
n
− ϕv
2
2

≥ nx − ϕv (x), tức là, n ≥

ϕv ( x+y
2 ) − ϕv (x)
x+y
2

−x

.

Lấy t = y , ta được
n

x+y
x+y
− ϕv
2
2

≥ ny − ϕv (y), tức là, n ≤

ϕv (y) − ϕv ( x+y
2 )
y−

x+y
2

.

Suy ra,
ϕv

x+y
2

≤

ϕv (x) + ϕv (y)
.
2

Từ đó, ϕv lồi trên (−∞, b), hay là v là hàm lồi logarit trên (0, a).
Điều kiện đủ. Giả sử v là hàm lồi logarit trên (0, a). Khi đó, ϕv (x) là hàm
lồi trên (−∞, b). Nên các đạo hàm trái và đạo hàm phải của ϕv tồn tại trên toàn
bộ (−∞, b), và (ϕv )− (x) ≤ (ϕv )+ (x) với mọi x ∈ (−∞, b).
Với r ∈ (0, a), ta lấy n ∈ [(ϕv )− (x), (ϕ( v))+ (x)]. Áp dụng tính lồi của hàm ϕv ,
với 0 < τ1 < r < τ2 < a, ta có
ϕv (log r) − ϕv (log τ1 )
ϕv (log τ2 ) − ϕv (log r)
.
≤ (ϕv )− (log r) ≤ n ≤ (ϕv )+ (log r) ≤
log r − log τ1
log τ2 − log r

Do đó,
n log r − ϕv (log r) ≥ n log τ1 − ϕv (log τ1 )

và
n log r − ϕv (log r) ≥ n log τ2 − ϕv (log τ2 )

Suy ra r là điểm cực đại của hàm
γn (t) = tn /v(t) = exp(n log t − ϕv (log t)).

Trước tiên, chúng ta sẽ chỉ ra điều kiện cần và đủ để D bị chặn trên không

gian chỉnh hình có trọng tổng quát và trọng cầu. Chúng ta bắt đầu với điền kiện
cần cho tính bị chặn của toán tử đạo hàm D trên không gian Banach có trọng
tổng quát.
Mệnh đề 2.1.2. Cho v và w là hai hàm trọng trên G. Nếu toán tử đạo hàm
D : Hv (G) → Hw (G) là bị chặn, thì tồn tại một hằng số dương C sao cho
lim sup
∆z→0

v˜(z + ∆z) − v˜(z)
≤ Cw(z), ∀z ∈ G.
∆z

13


Chương 2. Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm
Chứng minh. Giả sử toán tử D : Hv (G) → Hw (G) liên tục. Khi đó, tồn tại hằng
số dương C sao cho f w ≤ C , với mọi hàm f ∈ Bv (G), ở đây Bv (G) hình cầu
đơn vị trong Hv (G).
Cố định z ∈ G bất kỳ và ∆z ∈ C sao cho đoạn [z, z + ∆z] nằm trong G. Không
mất tính tổng quát, ta có thể giả sử v˜(z + ∆z) ≥ v˜(z). Theo Bierstedt-BonetTaskinen trong [10], tồn tại hàm f trong Bv (G) sao cho f (z + ∆z) = v˜(z + ∆z).
Do đó, ta có
|˜
v (z + ∆z) − v˜(z)| = v˜(z + ∆z) − v˜(z) ≤ f (z + ∆z) − |f (z)|
≤ |f (z + ∆z) − f (z)| ≤ |f (ξ)||∆z|,

với ξ ∈ [z, z + ∆z]. Do vậy, |˜v (z + ∆z) − v˜(z)| ≤ Cw(ξ)|∆z|. Từ đây ta có
lim sup
∆z→0

v˜(z + ∆z) − v˜(z)
≤ Cw(z), ∀z ∈ G.
∆z

Ta xét hai trường hợp đặc biệt với G = D hoặc G = C và v là trọng cầu. Với
trọng cầu v(z) thì trọng liên kết v˜(z) tăng và lồi logarit. Vì vậy, hàm v˜ khả vi
trên (0, a) ngoại trừ một tập không quá đếm được các điểm và đạo hàm phải
của nó tồn tại trên toàn (0, a). Ta kí hiệu v˜ là đạo hàm phải của hàm v˜. Hệ quả
sau đây được suy ra từ Mệnh đề 2.1.2.
Hệ quả 2.1.3. Cho v và w là hai trọng cầu trên G = D (hoặc G = C). Nếu toán
tử đạo hàm D : Hv (G) → Hw (G) liên tục, thì
lim sup
r→1−

v˜ (r)
v˜ (r)
< ∞ ( tương ứng, lim sup
< ∞).
w(r)
r→∞ w(r)

Bây giờ chúng ta đưa ra điều kiện đủ cho tính bị chặn của toán tử đạo hàm
D. Một hàm liên tục ρ : G → (0, ∞) được gọi hàm khoảng cách trên G nếu
ρ(z) < dist(z, ∂G) với mỗi z trong G. Với hàm trọng v và hàm khoảng cách ρ trên
G ta định nghĩa hàm trọng mới
vρ (z) :=

1
max v(z + ζ), z ∈ G.
ρ(z) |ζ|≤ρ(z)

Dễ thấy, v(z) ≤ vρ (z) với mọi z ∈ G.
Mệnh đề 2.1.4. Với mỗi hàm trọng v và hàm khoảng cách ρ trên G thì toán tử
đạo hàm D : Hv (G) → Hvρ (G) liên tục.
Chứng minh. Theo công thức Cauchy, với mọi hàm chỉnh hình f trên G, ta có
f (z) =

f (z + ζ)
dζ, z ∈ G.
ζ2

1
2πi
|ζ|=ρ(z)

14


Chương 2. Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm
Do vậy, với mọi hàm f ∈ Hv (G) và z ∈ G, ta có
|f (z)| =

1
2πi

f (z + ζ)
dζ
ζ2
|ζ|=ρ(z)

=

f (z + ζ) v(z + ζ)
dζ
v(z + ζ)
ζ2

1
2π
|ζ|=ρ(z)

≤

1
2π

f (z + ζ)
v(z + ζ)

v(z + ζ)
|dζ|
ζ2

|ζ|=ρ(z)

1
v(z + ζ)
||f ||v 2πρ(z) max
2π
|ζ|≤ρ(z) ρ2 (z)

1
=
||f ||v max v(z + ζ) = ||f ||v vρ (z),
ρ(z)
|ζ|≤ρ(z)

≤

tức là, ||f ||vρ ≤ ||f ||v . Hay, toán tử đạo hàm D : Hv (G) → Hvρ (G) liên tục.
Hệ quả 2.1.5. Cho v và w là hai hàm trọng và ρ là hàm khoảng cách trên G.
Nếu tồn tại hằng số dương C sao cho vρ (z) ≤ Cw(z) với mọi z ∈ G, thì toán tử
đạo hàm D : Hv (G) → Hw (G) liên tục.
Áp dụng Hệ quả 2.1.5 cho trọng cầu trên D (hoặc C) với hàm khoảng cách
ρ(z) = (1 − |z|)/2 (tương ứng ρ(z) = 1), ta thu được hệ quả dưới đây.

Hệ quả 2.1.6. Các khẳng định sau đây là đúng.
(1) Cho v và w là hai trọng cầu trên D sao cho
1+r
1
v
1−r
2

≤ Cw(r), ∀r ∈ [0, 1),

với C là một hằng số dương nào đó.
Khi đó, toán tử đạo hàm D : Hv (D) → Hw (D) liên tục.
(2) Cho v và w là hai trọng cầu trên C sao cho
v(1 + r) ≤ Cw(r), ∀r ∈ [0, ∞),

với C là một hằng số dương nào đó.
Khi đó, toán tử đạo hàm D : Hv (C) → Hw (C) liên tục.
Chứng minh. (1) Với ρ(z) =
vρ (z) =
=

1 − |z|
2
thì vρ (z) =
max v(z + ζ). Khi đó
2
1 − |z| ζ≤ρ(z)

2
2
max v(z + ζ) =
max v(|z + ζ|)
1 − |z| |ζ|≤ρ(z)
1 − |z| |ζ|≤ 1−|z|
2
2
1 − |z|
v |z| +
1 − |z|
2

15

=

2
v
1 − |z|

1 + |z|
2

.


Chương 2. Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm
Do đó, theo giả thiết và Hệ quả 2.1.5 ta được điều phải chứng minh.
(2). Với ρ(z) = 1, khi đó vρ (z) = max v(ζ + z). Ta có
|ζ|≤1

vρ (z) = max v(ζ + z) = max v(|ζ + z|) = v(|z| + 1).
|ζ|≤1

|ζ|≤1

Tương tự như phần trên, kết hợp với Hệ quả 2.1.5 ta được điều phải chứng minh.
Tiếp theo chúng ta sẽ xem xét hai trường hợp đặc biệt khi w(r) = v(r)/(1 − r)
trên D và w = v trên C. Để làm điều đó, chúng ta cần bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.1.7. Với mỗi trọng cầu v trên D, chúng ta xét các điều kiện sau đây:
(1) lim sup
r→1−

(1 − r)v (r)
< ∞;
v(r)

(2) (1 − r)α v(r) giảm trên [r0 , 1) với số α dương và r0 ∈ [0, 1) nào đó;
(3) (1 − r)α v(r) hầu giảm trên [0, 1) với số α dương nào đó. Tức là, tồn tại hằng
số dương C sao cho với mọi r1 < r2 ta được (1 − r2 )α v(r2 ) ≤ C(1 − r1 )α v(r1 );
(4) sup
n

v(1 − 2−n−1 )
< ∞;
v(1 − 2−n )

(5) Tồn tại δ0 ∈ (0, 1) sao cho
v

r + δ0
1 + δ0 r

= O(v(r)) khi r → 1− ;

(6) v(r) = O(v(r2 )) khi r → 1− .
Khi đó, (1) ⇐⇒ (2) =⇒ (3) ⇐⇒ (4) ⇐⇒ (5) ⇐⇒ (6). Hơn nữa, nếu v là trọng lồi
logarit thì tất cả các điều kiện trên tương đương.
Chứng minh. (1) ⇐⇒ (2). Với một số dương α, đặt
f (r) = log(v(r)(1 − r)α ), r ∈ [0, 1).

Khi đó
f (r) =

1
1−r

(1 − r)v (r)
−α .
v(r)

Từ đây, ta có hàm (1 − r)α v(r) giảm trên [r0 , 1) khi và chỉ khi
(1 − r)v (r)
(1 − r)v (r)
≤ α, ∀r ∈ [r0 , 1), tức là, lim sup
< ∞.
v(r)
v(r)
r→1−
(2) =⇒ (3). Hiển nhiên.

16


Chương 2. Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm
(3) ⇐⇒ (4). Đầu tiên ta chỉ ra (3) =⇒ (4). Sử dụng tính hầu giảm của hàm
(1 − r)α v(r) cho r1 = 1 − 2−n , r2 = 1 − 2−n−1 , ta có
2−(n+1)α v(1 − 2−n−1 ) ≤ C2−nα v(1 − 2−n ),

từ đây suy ra (4) được thỏa mãn. Ngược lại, tức là tồn tại hằng số C > 1 sao cho
v(1 − 2−n−1 )
< C.
v(1 − 2−n )

Đặt α := log2 C > 0. Với mọi λ, t ∈ (0, 1], tồn tại m, n ∈ N sao cho
1

2m+1

≤λ≤

1
1
1
và n+1 ≤ t ≤ n .
m
2
2
2

Khi đó,
1−

1
2m+n

và
1−

≤ 1 − λt ≤ 1 −

1
2m+n+2

,

1

1
≤ 1 − t ≤ 1 − n+1 .
n
2
2

Sử dụng (4) ta có
v(1 − 2−m−n−2 )
C m+2
v(1 − λt)λα
≤
≤
= C 2.
v(1 − t)
v(1 − 2−n )2mα
Cm

Với 0 ≤ r < s < 1, sử dụng bất đẳng thức trên cho
λ=

1−s
và t = 1 − r,
1−r

ta thu được
(1 − s)α v(s) ≤ C 2 (1 − r)α v(r),

tức là, (3) được thỏa mãn.
(4) ⇐⇒ (5). Đã được chứng minh trong [23, Bổ đề 1].
(5) ⇐⇒ (6). Với δ0 ∈ (0, 1) cho trước, chọn γ ∈ (0, 1) sao cho

1−γ
< δ0 .
1+γ

Theo quy tắc L’Hospital ta có
rγ

1 − r1−γ
1−γ
→
khi r → 1− .
1+γ
1+r
1+γ

Do đó, tồn tại r0 ∈ (0, 1) sao cho, với mọi r ∈ (r0 , 1), ta được
rγ

1 − r1−γ
r + δ0
γ
≤
δ
hay
r
≤
.
0
1 − r1+γ
1 + δ0 r

17


Chương 2. Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm
Suy ra, nếu (5) đúng thì v(rγ ) = O(v(r)) khi r → 1− , từ đây kéo theo (6) đúng.
Ngược lại, ta giả sử v(r) = O(v(r2 )) khi r → 1− . Lấy γ = 1/2 và δ0 = 1/4, ta
thấy
δ0 <

1−γ
.
1+γ

Mặt khác, ta có
rγ

hay là

1 − r1−γ
1−γ
khi r → 1− ,
→
1+γ
1+r
1+γ

√
√ 1− r
1−γ

r
→
khi r → 1− .
1+γ
1 − r3/2

Do đó ta được

√
√ 1− r
r
> δ0 khi r → 1− ,
3/2
1−r

hay là

√

r≥

4r + 1
khi r → 1− .
4+r

Suy ra

√
4r + 1
v( r) ≥ v

khi r → 1− .
4+r
1
Vậy nên (5) được thỏa mãn với δ0 = .
4
Bây giờ, ta giả sử v là lồi logarit.
(6) =⇒ (1). Lấy r ∈ [1/2, 1), chọn n ∈ N sao cho 1 − 2−n ≤ r < 1 − 2−n−1 . Ta
có, v là hàm lồi logarit nên ϕv (x) = log v(ex ) trên (−∞, 0) lồi và
(ϕv (x)) = (log v(ex )) =

ex v (ex )
, ∀x ∈ (−∞, 0).
v(ex )

Do đó, ta có
(ϕv (r)) = (log v(r)) =

trong đó, A = sup
Vì r ≥

n
−n
1−2

rv (r)
≤ (1 − 2−n−1 )(log v) (1 − 2−n−1 )
v(r)
log(v(1 − 2−n−2 )/v(1 − 2−n−1 ))
≤
log((1 − 2−n−2 )/(1 − 2−n−1 ))

log A
≤
log((1 − 2−n−2 )/(1 − 2−n−1 ))
log A
=
,
2−n−2
log 1 +
1 − 2−n−1

v(1 − 2−n−1 )
.
v(1 − 2−n )
nên 2−n ≥ 1 − r và 1 + r ≥ 2 − 2−n , do đó
2−n−2
1−r
≥
.
1 − 2−n−1
2(1 + r)

18


Chương 2. Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm
Suy ra,
(1 − r)

v (r)
≤

v(r)

(1 − r) log A
1−r
r log 1 +
2(1 + r)

→ 4 log A khi r → 1− .

Vậy, (1) được thỏa mãn.
Định lý 2.1.8. Với trọng lồi logarit v trên D và w(r) := v(r)/(1 − r), các khẳng
định (1) − (6) trong Bổ đề 2.1.7 tương đương với
(7) Toán tử đạo hàm D : Hv (D) → Hw (D) liên tục.
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.1.7 ta chỉ cần chứng minh (7) suy ra một trong
những khẳng định (1) − (6) và ngược lại.
(7) =⇒ (4). Theo Hệ quả 2.1.3, khẳng định (7) tương đương với
lim sup
r→1−

(1 − r)˜
v (r)
< ∞.
v(r)

(2.1)

Theo [18, Bổ đề 5], trọng v và v˜ tương đương, tức là, tồn tại hằng số C ≥ 1 sao
cho v˜(r) ≤ v(r) ≤ C v˜(z) với mọi r ∈ [0, 1). Do vậy, (2.1) tương đương
lim sup
r→1−

(1 − r)˜
v (r)
< ∞.
v˜(r)

Do vậy, theo Bổ đề 2.1.7, ta được
sup
n

v˜(1 − 2−n−1 )
< ∞.
v˜(1 − 2−n )

Sử dụng v tương đương với v˜ một lần nữa ta được
sup
n

v(1 − 2−n−1 )
< ∞.
v(1 − 2−n )

(1) =⇒ (7). Giả sử (1) được thỏa mãn, tức là tồn tại hằng số dương C sao cho
(1 − r)v (r)
< C, r → 1− ,
v(r)

hay là
(log v(r)) ≤

C
, ∀r ∈ [0, 1).
1−r

Vì v là hàm lồi logarit, nên với r ∈ [ 21 , 1), ta có
1+r
ϕv log
− ϕv (log r)
1+r
1+r
2
log v
− log v(r) =
. log
− log r
1+r
2
2
log
− log r
2
1+r 1+r
1+r
≤ (log v)
log
2
2
2r
1+r
1−r

1+r
3
≤C
log 1 +
≤C
≤ C.
1−r
2r
2r
2

19


Chương 2. Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm
Đặt M := max{e3C/2 , v(3/4)/v(0)}, ta được
v

1+r
2

≤ M v(r), ∀r ∈ [0, 1),

do đó,
1
1+r
v
1−r
2

≤ M w(r), r ∈ [0, 1).

Áp dụng Hệ quả 2.1.6 ta được điều phải chứng minh.
Chú ý rằng trong Định lý 2.1.8, giả thiết trọng v là lồi lôgarit là cần thiết.
Khi v là trọng cầu tổng quát thì Định lý 2.1.8 có thể không còn đúng nữa. Ví
dụ sau đây sẽ chỉ ra điều này.
Ví dụ 2.1.9. Cho (an ) và (bn ) là hai dãy số dương có các tính chất sau:
∞

(an + bn ) =: M < ∞;

(i1 )

n=1

(i2 ) an < bn , ∀n ≥ 2;
(i3 ) (an + bn ) ↓ 0 khi n → ∞;
an
= 0;
n→∞ bn

(i4 ) lim

(ak + bk )
(i5 ) lim

n→∞

k>n

an + b n

= L ∈ (0, +∞).

Chẳng hạn với an = 3−n , bn = 2−n − 3−n , n ∈ N các điều kiện trên được thỏa
mãn.
Ta kí hiệu Sn := −

(ak +bk ), n ≥ 0 và định nghĩa hàm ϕ : (−∞, 0) → [0, +∞)
k>n

như sau:
* ϕ(t) := 1 với t ∈ (−∞, S0 +a1 ) và ϕ(t) :=

1
(t−S0 −a1 )+1 với t ∈ (S0 +a1 , S1 ];
b1

* với n ≥ 2,
ϕ(t) :=

và
ϕ(t) :=

1
(t − Sn−1 ) + 2n − 2, t ∈ (Sn−1 , Sn−1 + an ),
an

1
(t − Sn−1 − an ) + 2n − 1, t ∈ (Sn−1 + an , Sn ].

bn

Dễ thấy ϕ(t) tăng và liên tục trên (−∞, 0). Mặt khác, với mỗi n ∈ N,
ϕ (t) =

1
1
trên (Sn−1 , Sn−1 + an ] và ϕ (t) =
trên (Sn−1 + an , Sn ].
an
bn

20


Chương 2. Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm
Từ đây và tính chất (i2 ), ta có ϕ (t) không tăng nên hàm ϕv không lồi trên
(−∞, 0).
Ký hiệu ϕ là hàm lồi dưới lớn nhất của hàm ϕ. Sử dụng (i3 ), ta có thể chứng
minh được
ϕ(t) =

2
(t − Sn−1 ) + 2n − 2, với t ∈ [Sn−1 , Sn ], n ∈ N.
an + b n

Đặt v(r) := exp(ϕ(log r)) và v¯(r) := exp(ϕ(log r)), r ∈ [0, 1). Khi đó, v và v là
các trọng cầu trên D. Hơn nữa, với mọi r ∈ (eSn−1 ,Sn ),
1
2

v (r) = (eϕ(log r) ) = v(r)(ϕ) (log r) = v(r)
.
r
(an + bn )r

Nên
V (r) :=

2
1−r
2(r−1 − 1)
(1 − r)v (r)
=
=
, r ∈ (eSn−1 , eSn ).
v¯(r)
an + b n r
an + b n

Do đó
max

(eSn−1 ,eSn )

V (r) =

2(e−Sn−1 − 1)
, ∀n ∈ N.
an + b n

Từ đó ta được
lim

n→∞ (e

max

Sn−1

V (r) = 2(L + 1), tức là, lim sup

,eSn )

r→1−

(1 − r)¯
v (r)
< ∞.
v(r)

Đặt w(r) = v(r)/(1 − r) và áp dụng Định lý 2.1.8 cho hàm lồi logarit v¯(r), ta
được toán tử D : Hv (D) → Hw (D) liên tục.
Lại có, do v˜(r) ≤ v(r) ≤ v(r) trên [0, 1) và Hv˜(D) đẳng cự với Hv (D) (xem
trong [10], 1.12), Hw (D) nhúng liên tục trong Hw (D) và Hv (D) = Hv (D) đẳng cự.
Do vậy, toán tử D : Hv (D) → Hw (D) cũng liên tục.
Mặt khác, với mỗi n ∈ N,
V (r) :=

r−1 − 1
(1 − r)v (r)

=
, r ∈ (eSn−1 , eSn−1 +an ).
v(r)
an

Nên với mỗi n ∈ N,
V (eSn−1 +an /2 ) =

e−Sn−1 −an /2 − 1
ebn − 1
bn
≥
≥ .
an
an
an

Kết hợp điều bất đẳng thức trên với tính chất (i4 ), ta thu được
lim sup
r→1−

(1 − r)v (r)
= ∞.
v(r)

Bây giờ ta xét toán tử đạo hàm trên không gian có trọng các hàm nguyên.
21


Chương 2. Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm

Định lý 2.1.10. Cho v là trọng lồi logarit trên C. Các khẳng định sau là tương
đương.
(1). Toán tử đạo hàm D : Hv (C) → Hv (C) liên tục;
(2). lim sup
r→∞

v (r)
< ∞;
v(r)

(3). log v(r) = O(r) khi r → ∞.
Chứng minh. (1) =⇒ (3). Áp dụng Hệ quả 2.1.3 cho toán tử D : Hv˜(C) → Hv˜(C),
ta có
lim sup
r→∞

v˜ (r)
< ∞.
v˜(r)

Áp dụng quy tắc L’Hospital cho f (r) = log v˜(r) và g(r) = r, ta được
lim sup
r→∞

log v˜(r)
< ∞.
r

Tức là, tồn tại hằng số dương C sao cho log v˜(r) ≤ C(r + 1) với mọi r ≥ 0. Theo
[10], lại có v(r) ≤ r˜v với mọi r ≥ 1. Do vậy, log v(r) ≤ C(r + 1) + log r với mọi

r ≥ 1. Từ đây ta nhận được (3).
(3) =⇒ (2). Vì v tăng và lồi logarit, nên với mọi r > 0, ta có
log v(er) − log v(r)
log v(er) − log v(0)
v (r)
≤
≤e
.
v(r)
r
er

Suy ra,
lim sup
r→∞

v (r)
log v(r)
≤ e lim sup
.
v(r)
r
r→∞

(2) =⇒ (1). Giả sử (2) được thỏa mãn, tức là, tồn tại hằng số dương C sao
cho (log v(r)) ≤ C với mọi r dương, hay là
ϕv (log r) = r(log v) (r) < Cr.

Áp dụng v là lồi logarit, ta được
log

ϕv (log(r + 1)) − ϕv (log r)
v(r + 1)
=
(log(r + 1) − log r)
v(r)
log(r + 1) − log r
r+1
r+1
≤ ϕv (log(r + 1)) log
≤ C(r + 1) log
≤ 2C, ∀r ≥ 1.
r
r

Từ đây và Hệ quả 2.1.6, ta có toán tử D liên tục trên Hv (C).
Tương tự như trường hợp trên không gian Hv (D), ví dụ sau đây cũng chỉ ra
rằng giả thiết v là lồi logarit trong Định lý 2.1.10 là cần thiết.
Ví dụ 2.1.11. Cho (an )n và (bn )n là hai dãy số dương thỏa mãn:
22


Chương 2. Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm
∞

(an + bn ) = +∞;

(i1 )

n=1

(i2 ) an < bn với mọi n ≥ 2;
(i3 ) (an + bn ) ↓ 0 khi n → ∞;
n−1

(ak + bk ) = 0;

(i4 ) lim an exp
n→∞

k=1
n−1

(ak + bk ) = L ∈ (0, +∞).

(i5 ) lim (an + bn ) exp
n→∞

k=1

Chẳng hạn, với an = 3−n , bn = log 1 + 13 − 3−n các điều kiện trên được thỏa
mãn.
Kí hiệu
n

(ak + bk ), n ∈ N,

Sn :=
k=1

và đặt
* ϕ(t) := 1 với t ∈ (−∞, a1 ) và ϕ(t) :=

1
(t − a1 ) + 1 với t ∈ (a1 , S1 ];
b1

* với n ≥ 2,
ϕ(t) :=

và
ϕ(t) :=

1
(t − Sn−1 ) + 2n − 2, t ∈ (Sn−1 , Sn−1 + an ],
an

1
(t − Sn−1 − an ) + 2n − 1, t ∈ (Sn−1 + an , Sn ].
bn

Dễ thấy, hàm ϕ không lồi trên R và hàm lồi dưới lớn nhất ϕ được xác định như
sau
2
ϕ(t) :=
(t − Sn−1 ) + 2n − 2, t ∈ [Sn−1 , Sn ], n ∈ N.
an + bn

2
trên (Sn−1 , Sn ) với mọi n ∈ N, và ϕ (t) → +∞ khi t → +∞.

Do ϕ (t) = an +b
n
Theo quy tắc L’Hospital, t = o(ϕ(t)) khi t → ∞. Do vậy, t = o(ϕ(t)) khi t → ∞.
Nên các hàm v(r) := exp(ϕ(log r)) và v(r) = exp(ϕ(log r)) là trọng cầu trên C.
Hơn nữa,

v (r)
exp(ϕ(log r))ϕ (log r)
2
=
=
, r ∈ (eSn−1 , eSn ).
v(r)
rv(r)
r(an + bn )

Do đó, sử dụng tính chất (i5 ) ta được
lim

n→∞

max

(eSn−1 ,eSn )

2
2
2
= lim Sn−1
=

r(an + bn ) n→∞ e
L
(an + bn )

23