Biến dạng Chaotic của toán tử hợp thành trên không gian Hardy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ THU HÀ
BIẾN DẠNG CHAOTIC CỦA TOÁN TỬ HỢP THÀNH
TRÊN KHÔNG GIAN HARDY
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số: 60.46.01
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TSKH. Nguyễn Quang Diệu
Thái Nguyên - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mục lục
Chương 1. HÀMCHỈNH HÌNH, CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY VÀ KHÔNG
GIAN HARDY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.Khái niệm về hàm chỉnh hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Điều kiện Cauchy - Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.Công thức tích phân Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3. Định lý về giá trị tr ung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4. Nguyên lý môđun cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.Công thức khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1. Chuỗi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2. Công thức khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.Không gian Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1. Không gian L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2. Không gian Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.3. Tính đối ngẫu của không gian H
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.4. Biến dạng biên của tích phân Poisson-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Chương 2. BIẾN DẠNGCHAOTIC CỦA TOÁN TỬ HỢP THÀNH TRÊN KHÔNG
GIAN HARDY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2. Tiêu chuẩn hypercyclic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.Toán tử hợp thành Chaotic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1. Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2. Chứng minh định lý 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.Áp dụng kết quả của định lý 2.2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
MỞ ĐẦU
Cho đĩa đơn vị mở D :=
{
z ∈ C :
|
z
|
< 1
}
, ký hiệu H
2
(D) là không gian

Hardy của các hàm f chỉnh hình trên D với chuẩn

f

= lim
r→1−


1
2π
2π

0



f

re
iθ




2
dθ


1
/

2
.
Giả sử ψ là tự đồng cấu chỉnh hình của D. Khi đó toán tử hợp thành C
ψ
:
H
2
(D) → H
2
(D) được định nghĩa C
ψ
f = f ◦ψ, là một toán tử tuyến tính bị
chặn trên H
2
(D). Nếu ψ không có điểm cố định trong D thì ψ có một hoặc hai
điểm cố định trên ∂D. Ta gọi ψ là parabolic nếu nó chỉ có một điểm biên cố
định và là hyperbolic nếu nó có hai điểm biên cố định, với γ là một số phức.
Luận văn trình bày kết quả sau:
1. Nếu ψ là tự đẳng cấu hyperbolic của D và λ > 1 là đạo hàm tại điểm đẩy
cố định của ψ. Khi đó bội vô hướng của toán tử hợp thành γC
ψ
là chaotic
trên H
2
(D) khi và chỉ khi λ
−
1
/
2
<

|
γ
|
< λ
1
/
2
2. Nếu ψ là tự đẳng cấu parabolic của D. Khi đó γC
ψ
là chaotic trên H
2
(D)
khi và chỉ khi
|
γ
|
= 1.
3. Nếu ψ là tự đẳng cấu của D, nó có một điểm cố định trong D. Khi đó γC
ψ
không là chaotic trên H
2
(D) với mọi γ ∈ C.
Đó là kết quả trong bài báo "Chaotic behavior of composition operators on the
Hardy space" của Takuya Hosokawa về việc nghiên cứu biến dạng chaotic của
toán tử hợp thành trên không gian Hardy H
2
(D) thông qua việc phân loại điểm
dính trên biên của dãy trọng lặp. Luận văn gồm 2 chương:
• Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở, đặc biệt là các kiến thức sử
dụng cho việc chứng minh chương sau, như khái niệm hàm chỉnh hình,

1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
điều kiện Cauchy-Riemann, công thức tích phân Cauchy, nguyên lý cực
đại, định lý khai triển Taylor, không gian Hardy và tính chất của nó.
• Chương 2: Trình bày và làm rõ công trình nghiên cứu của Takuya Hosokawa
về biến dạng chaotic của toán tử hợp thành trên không gian Hardy H
2
(D),
như các tính chất cơ bản của toán tử hợp thành trên không gian Hardy, đặc
biệt là tính hypercyclic của toán tử này, áp dụng định lý Denjoy-Wolf về
phân loại các điểm dính hyperbolic, elliptic nằm trên đường tròn đơn vị để
nghiên cứu chaotic của toán tử hợp thành.
Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn
PGS - TSKH Nguyễn Quang Diệu, người thầy đã tận tình giúp đỡ trong suốt
quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm
thuộc Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội
và các thầy cô giáo Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy, giúp đỡ tác giả hoàn
thành khóa học.
Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Trường trung học phổ thông Dương
Tự Minh, thành phố Thái Nguyên, gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và
tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình tác giả học tập.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1
HÀM CHỈNH HÌNH, CÔNG THỨC
TÍCH PHÂN CAUCHY VÀ KHÔNG
GIAN HARDY
Trong chương trình bày một số kiến thức cơ sở, đặc biệt là các kiến thức

sử dụng cho việc chứng minh chương sau, như khái niệm hàm chỉnh hình, điều
kiện Cauchy-Riemann, công thức tích phân Cauchy, nguyên lý cực đại, định lý
khai triển Taylor, không gian Hardy H
2
(D) và tính chất.
1.1. Khái niệm về hàm chỉnh hình
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm số f xác định trên miền Ω ∈ C. Xét giới hạn
lim
∆z→0
f (z + ∆z) − f (z)
∆z
, với z, z + ∆z ∈ Ω.
Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của f tại z,
ký hiệu f

(z) hay
d f
dz
(z). Như vậy
f

(z) = lim
∆z→0
f (z + ∆z) − f (z)
∆z
.
Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay C- khả vi tại z.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Định nghĩa 1.1.2. Hàm f xác định trong miền Ω ∈C với giá trị trong C gọi là
hàm chỉnh hình tại z
0
∈Ω nếu tồn tại r > 0 để f C-khả vi tại mọi z ∈D(z
0
, r) ⊂
Ω. Nếu f chỉnh hình tại mọi z ∈Ω ta nói f chỉnh hình trên Ω.
Định lý 1.1.3. Giả sử Ω ⊂ C là một miền và H(Ω) là tập các hàm chỉnh hình
trên Ω. Khi đó
1. H(Ω) là một không gian véc tơ trên C.
2. H(Ω) là một vành.
3. Nếu f ∈ H(Ω) và f (z) = 0, ∀z ∈ Ω thì
1
f
∈ H(Ω).
4. Nếu f ∈ H(Ω) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi.
Chứng minh. Chứng minh 4.
Do f chỉ nhận giá trị thực
∂ f
∂ x
,
∂ f
∂ y
cũng chỉ nhận giá trị thực. Nhưng mặt
khác
∂ f
∂ x
= i
∂ f
∂ y

, ta suy ra
∂ f
∂ x
=
∂ f
∂ y
= 0. Vậy f = const.
1.1.2. Điều kiện Cauchy - Riemann
Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định trên miền Ω ∈C. Hàm
f được gọi là R
2
- khả vi tại z = x + iy nếu hàm u(x, y) và v(x, y) khả vi tại (x , y)
(theo định nghĩa đã biết trong giải tích thực).
Định lý 1.1.4. Để hàm f C- khả vi tại z = x + iy ∈ Ω điều kiện cần và đủ là f
R
2
- khả vi tại z và điều kiện Cauchy - Riemann sau được thỏa mãn tại z.







∂ u
∂ x
(x, y) =
∂ v
∂ y
(x, y)

∂ u
∂ y
(x, y) = −
∂ v
∂ x
(x, y).
(1.1.1)
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chứng minh. Điều kiện cần:
Giả sử f C - khả vi tại z = x +iy ∈Ω. Khi đó tồn tại giới hạn
f

(z) = lim
∆z→0
f (z + ∆z) − f (z)
∆z
với ∆z = ∆x + i∆y.
Vì nếu giới hạn này tồn tại không phụ thuộc vào cách tiến đến điểm 0 của ∆z
nên nếu chọn ∆z = ∆x, ta có :
f

(z) = lim
∆z→0
u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y) −u(x, y) −iv(x, y)
∆x
=
= lim
∆z→0
u(x + ∆x, y) −u(x, y)

∆x
+ i lim
∆z→0
v(x + ∆x, y) −v(x, y)
∆x
tức là u và v có đạo hàm riêng theo x tại (x, y) và
f

(z) =
∂ u
∂ x
(x, y) + i
∂ v
∂ x
(x, y). (1.1.2)
Tương tự bằng cách chọn ∆z = i∆y ta có
f

(z) = −i
∂ u
∂ y
(x, y) +
∂ v
∂ y
(x, y). (1.1.3)
So sánh (1.1.2) và (1.1.3) ta được








∂ u
∂ x
(x, y) =
∂ v
∂ y
(x, y)
∂ u
∂ y
(x, y) = −
∂ v
∂ x
(x, y).
Ta còn phải chứng tỏ u(x, y) và v(x, y) khả vi tại (x, y).
Vì f C- khả vi tại z nên
∆ f = f (z + ∆z) − f (z) = f

(z)∆z + o(∆z)
với o(∆z) là vô cùng bé bậc cao hơn ∆z, tức là
lim
∆z→0
o(∆z)
∆z
= 0.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Rõ ràng
∆ f = ∆u + i∆v, ∆z = ∆x + i∆y.

theo (1.1.2) ta có
∆u + i∆v = (
∂ u
∂ x
+ i
∂ v
∂ x
)(∆x + i∆y) + o(∆z) + io(∆z).
Từ đó
∆u =
∂ u
∂ x
∆x −
∂ v
∂ x
∆y + o(∆z) =
∂ u
∂ x
∆x +
∂ u
∂ y
∆y + o(|∆z|),
∆v =
∂ v
∂ x
∆x +
∂ u
∂ x
∆y + o(∆z) =
∂ v

∂ x
∆x +
∂ v
∂ y
∆y + o(|∆z|).
điều kiện đó nghĩa là u và v khả vi tại (x, y).
Điều kiện đủ:
Vì u và v khả vi tại (x, y) nên
∆u =
∂ u
∂ x
∆x +
∂ u
∂ y
∆y + o(

∆x
2
+ ∆y
2
)
và
∆v =
∂ v
∂ x
∆x +
∂ v
∂ y
∆y + o(


∆x
2
+ ∆y
2
).
Theo điều kiện (1.1.1) hai đẳng thức này có thể viết thành
∆u =
∂ u
∂ x
∆x −
∂ v
∂ x
∆y + o(|∆z|), (1.1.4)
∆v =
∂ v
∂ x
∆x +
∂ u
∂ x
∆y + o(|∆z|). (1.1.5)
Từ (1.1.4) và (1.1.5) ta có
∆ f
∆z
=
∆u
∆z
+ i
∆v
∆z
=

∂ u
∂ x
∆x −
∂ v
∂ x
∆y + o(∆z)
∆z
+ i
∂ u
∂ x
∆x +
∂ v
∂ x
∆y + o(∆z)
∆z
=
∂ u
∂ x
∆x + i
∂ u
∂ x
∆y
∆z
+
−
∂ v
∂ x
∆y + i
∂ v
∂ x

∆x
∆z
+
o(∆z)
∆z
=
∂ u
∂ x
+ i
∂ v
∂ x
+
o(∆z)
∆z
.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Vì vậy
lim
∆z→0
∆ f
∆z
=
∂ u
∂ x
+ i
∂ v
∂ x
tức là f C- khả vi tại z = x +iy.
Nhận xét 1.1.5. (1.) Giả sử f là R

2
-khả vi tại z ∈ Ω ⊂ C
Xét vi phân
d f =
∂ f
∂ x
dx +
∂ f
∂ y
dy. (1.1.6)
Vì dz = dx + idy và d ¯z = dx −idy nên
dx =
1
2
(dz + d ¯z), dy =
1
2i
(dz −d ¯z).
Thế các đẳng thức này vào (1.1.6) ta có
d f =
1
2
(
∂ f
∂ x
−i
∂ f
∂ y
)dz +
1

2
(
∂ f
∂ x
+ i
∂ f
∂ y
)d ¯z.
Nếu đặt
∂ f
∂ z
=
1
2
(
∂ f
∂ x
−i
∂ f
∂ y
),
∂ f
∂ ¯z
=
1
2
(
∂ f
∂ x
+ i

∂ f
∂ y
) (1.1.7)
thì
d f =
∂ f
∂ z
dz +
∂ f
∂ ¯z
d ¯z. (1.1.8)
Bởi vì
∂ f
∂ ¯z
=
1
2
(
∂ f
∂ x
+ i
∂ f
∂ y
) =
1
2
[(
∂ u
∂ x
−

∂ v
∂ y
) + i(
∂ v
∂ x
+
∂ u
∂ y
)]
nên f thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann tại z nếu và chỉ nếu
∂ f
∂ ¯z
(z) = 0.
Nói cách khác hàm R
2
-khả vi f tại z là C-khả vi nếu và chỉ nếu
∂ f
∂ ¯z
(z) = 0.
(2.) Từ (1.1.1) và (1.1.2) và nhận xét trên, nếu f C-khả vi tại z thì ta có
∂ f
∂ z
(z) =
1
2

∂ u
∂ x
(z) + i
∂ v

∂ x
(z) −i
∂ u
∂ y
(z) +
∂ v
∂ y
(z)

=
1
2

2
∂ u
∂ x
(z) + 2i
∂ v
∂ x
(z)

=
∂ u
∂ x
(z) + i
∂ v
∂ x
(z) = f

(z).

7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.2. Công thức tích phân Cauchy
1.2.1. Công thức tích phân Cauchy
Định lý 1.2.1. Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền Ω và z
0
∈ Ω. Khi đó với
mọi chu tuyến γ ⊂Ω
γ
⊂ Ω ta có công thức tích phân Cauchy
f (z
0
) =
1
2πi

γ
f (η)
η −z
0
dη.
Nếu thêm f liên tục trên
¯
Ω và ∂Ω là một chu tuyến, thì với mọi z ∈ Ω ta có
f (z) =
1
2πi

∂ Ω
f (η)

η −z
dη.
Chứng minh. Giả sử γ là chu tuyến tùy ý vây quanh z
0
sao cho Ω
γ
⊂ Ω. Chọn
ρ > 0 đủ bé để hình tròn D(z
0
, ρ) ⊂ Ω
γ
. Ký hiệu C
ρ
là biên của D(z
0
, ρ) và đặt
Ω
γ,ρ
= Ω
γ
\D(z
0
, ρ)
Ω
γ,ρ
là miền 2- liên, ta có

γ∪C
−
ρ

f (η)
η −z
0
dη = 0.
Từ đó ta có công thức

γ
f (η)
η −z
0
dη =

C
ρ
f (η)
η −z
0
dη.
Thực hiện phép biến đổi η = z
0
+ ρe
iϕ
, dη = iρe
iϕ
dϕ ta được

C
ρ
f (η)
η −z

0
dη =

2π
0
f (z
0
+ ρe
iϕ
)
ρe
iϕ
iρe
iϕ
dϕ
= i

2π
0
f (z
0
+ ρe
iϕ
)dϕ
= i

2π
0
[ f (z
0

+ ρe
iϕ
) − f (z
0
)]dϕ + 2πi f (z
0
).
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chú ý rằng khi ρ → 0 thì do tính liên tục của f ta có
lim
ρ→0
i

2π
0
[ f (z
0
+ ρe
iϕ
) − f (z
0
)]dϕ = 0
vì thế
lim
ρ→0

γ
f (η)
η −z

0
dη = 2πi f (z
0
).
Vậy
f (z
0
) =
1
2πi

γ
f (η)
η −z
0
dη.
Trong trường hợp f liên tục trên
¯
Ω và chỉnh hình trên Ω có thể lấy ∂Ω thay cho
γ trong chứng minh trên. Khi đó với mọi z ∈ Ω các điều kiện của trường hợp
nói trên đều được thỏa mãn, vì vậy ta có :
f (z) =
1
2πi

∂ Ω
f (η)
η −z
dη.
1.2.2. Bất đẳng thức Cauchy

Định lý 1.2.2. Nếu f là hàm chỉnh hình trên Ω, điểm a ∈ Ω, 0 < r < d(a, ∂Ω)
và
M(a, r) = sup
|z−a|=r
|f (z)|.
Khi đó ta có bất đẳng thức sau
|f
(n)
(a)| ≤
n!M(a, r)
r
n
. (1.2.1)
Chứng minh. Ta có
f
(n)
(z) =
n!
2πi

γ
f (η)
(η −z)
n+1
dη, n = 0, 1, 2, ···
với γ = ∂D(a, r) ta có
|f
(
n)(a)| = |
n!

2πi

γ
f (η)
(η −a
n+1
dη|
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
≤
n!
2π
M(a, r)
r
n+1
|γ| =
n!M(a, r)
r
n
, n = 0, 1, ···
1.2.3. Định lý về giá trị trung bình
Định lý 1.2.3. Nếu f là hàm chỉnh hình trên miền Ω và hình tròn
¯
D(z
0
, r) ⊂ Ω,
thì
f (z
0
) =

1
2π

2π
0
f (z
0
+ re
iϕ
)dϕ.
Chứng minh. Theo công thức tích phân Cauchy ta có
f (z
0
) =
1
2πi

∂ D(z
0
,r)
f (z)
(z −z
0
)
dz.
Viết z = z
0
+ re
iϕ
, z ∈∂D(z

0
, r) ta có
f (z
0
) =
1
2π

2π
0
f (z
0
+ re
iϕ
)dϕ.
1.2.4. Nguyên lý môđun cực đại
Định lý 1.2.4. Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền bị chặn trên miền Ω và
liên tục trên Ω. Khi đó hoặc f = const hoặc
|
f (z)
|
chỉ đạt cực đại trên biên ∂Ω
của Ω.
Chứng minh. Vì f liên tục trên tập compact
Ω nên tồn tại z
0
∈ Ω sao cho
max
z∈Ω
|

f (z)
|
=
|
f (z
0
)
|
.
Giả sử z
0
∈Ω, ta sẽ chứng minh rằng f (z) = const. Lấy r > 0 sao cho D(z
0
, r) ⊂
Ω. Theo định lý giá trị trung bình ta có
|
f (z
0
)
|
=
1
2π
2π

0
|
f (z
0
)

|
dϕ =
1
2π






2π

0
f

z
0
+ re
iϕ

dϕ








1

2π
2π

0


f

z
0
+ re
iϕ



dϕ,
(1.2.2)
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
suy ra
1
2π
2π

0



f


z
0
+ re
iϕ



−
|
f (z
0
)
|

dϕ  0. (1.2.3)
Trên đường tròn ∂ D(z
0
, r) ta có


f

z
0
+ re
iϕ





|
f (z
0
)
|
= M
và do đó
1
2π
2π

0



f

z
0
+ re
iϕ



−
|
f (z
0
)
|


dϕ = 0,
bởi tính liên tục suy ra


f

z
0
+ re
iϕ



=
|
f (z
0
)
|
= M, với mọi 0  ϕ  2π.
Tương tự có đẳng thức trên với mọi r

 r, do đó
|
f (z)
|
= M với mọi z ∈
D(z
0

, r).
Lấy z
∗
tùy ý trong Ω. Gọi L là đường cong nối z
0
với z
∗
. Do L compact tồn
tại các điểm z
0
, z
1
, . . . , z
n
= z
∗
trên L và r > 0 sao cho
L ⊂
n

j =0
D(z
j
, r) và z
j +1
∈ D (z
j
, r) ⊂ Ω, j = 0, 1, . . . , n −1.
Do
|

f (z)
|
= M trên D (z
0
, r) nên
|
f (z
1
)
|
= M. Vì vậy theo lập luận trên
|
f (z)
|
=
M với mọi z ∈D(z
1
, r), . . . ,
|
f (z)
|
= M với mọi z ∈D (z
n−1
, r). Đặc biệt
|
f (z
∗
)
|
=

M .
Như vậy ta chứng minh được
|
f (z)
|
= M với mọi z ∈Ω. Viết
f (z) =
|
f (z)
|
e
iarg f (z)
= Me
iϕ(x,y)
= M cosϕ (x, y) + iM sin ϕ (x, y).
Theo điều kiện Cauchy - Riemann
−M sin ϕ
∂ ϕ
∂ x
= M cosϕ
∂ ϕ
∂ y
−M cos ϕ
∂ ϕ
∂ x
= −M sinϕ
∂ ϕ
∂ y
.
(1.2.4)

11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Nhân đẳng thức thứ nhất của (1.2.4) với sinϕ và nhân đẳng thức thứ 2 với cos ϕ
rồi so sánh ta có
Msin
2
ϕ
∂ ϕ
∂ x
= −Mcos
2
ϕ
∂ ϕ
∂ x
hay M
∂ ϕ
∂ x
= 0.
Nếu M = 0 thì hiển nhiên f = const. Nếu M = 0 thì
∂ ϕ
∂ x
= 0. Thay vào một
trong hai vế của (1.2.4) ta có
∂ ϕ
∂ y
= 0. Từ đó suy ra ϕ = const trong miền Ω, vậy
f = const
1.3. Công thức khai triển Taylor
1.3.1. Chuỗi Taylor
Định nghĩa 1.3.1. Chuỗi hàm có dạng

∞
∑
n=0
C
n
(z −z
0
)
n
gọi là chuỗi Taylor tại z
0
hay chuỗi lũy thừa của z −z
0
.
1.3.2. Công thức khai triển Taylor
Định lý 1.3.2. Nếu hàm f chỉnh hình trên hình tròn |z −z
0
| < R, thì trong hình
tròn này f (z) là tổng của chuỗi Taylor của nó tại z
0
. Cụ thể là
f (z) =
∞
∑
n=0
C
n
(z −z
0
)

n
với |z −z
0
| < R
ở đây các hệ số C
n
được xác định một cách duy nhất theo công thức
C
n
=
f
(n)
(z
0
)
n!
=
1
2πi

|η−z
0
|=r
f (η)
(η −z
0
)
n+1
dη
với 0 < r < R.

Chứng minh. Lấy tùy ý z với |z −z
0
| < R.
Chọn r > 0 sao cho |z −z
0
|< r < R. Theo công thức tích phân Cauchy ta có
f (z) =
1
2πi

γ
r
f (η)
η −z
dη
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ở đây γ
r
là đường tròn |z −z
0
| = r.
Ta viết
1
η −z
=
1
(η −z
0
) −(z −z

0
)
=
1
(η −z
0
)(1 −
z −z
0
η −z
0
)
vì thế nếu η ∈ γ
r
thì |
z −z
0
η −z
0
| < 1.
Ta có
1
η −z
=
1
η −z
0
∞
∑
k=0

(
z −z
0
η −z
1
)
k
=
∞
∑
k=0
(z −z
0
)
k
(η −z
0
)
k+1
và chuỗi này hội tụ đều trên γ
r
. Theo định lý về tích phân đường (Định lý 1, §1,
ch 4, [1]) ta có
1
2πi

γ
r
f (η)
(η −z)

dη =
1
2πi

γ
r
f (η)[
∞
∑
k=0
(z −z
0
)
k
(η −z
0
)
k+1
]dη
=
∞
∑
k=0
(z −z
0
)
k
1
2πi


γ
r
f (η)
(η −z
0
)
k+1
dη.
Chú ý rằng
C
k
=
1
2πi

γ
r
f (η)
(η −z
0
)
k+1
dη =
f
(k)
(z
0
)
k!
, k = 0, 1, 2, ···

không phụ thuộc vào r, 0 < rR. Vậy ta có
f (z) =
1
2πi

γ
r
f (η)
η −z
dη =
∞
∑
n=0
C
n
(z −z
0
)
n
.
Hệ quả 1.3.3. Hàm f (z) xác định trên miền Ω là chỉnh hình khi và chỉ khi với
mọi z
0
∈ Ω hàm f có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa theo z −z
0
mà nó hội
tụ tới f (z) với bán kính hội tụ R ≥ d(z
0
, ∂ D).
13

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Nhận xét: Định lý Taylor không đúng trong tường hợp khả vi thực. Chẳng
hạn hàm ϕ xác định trên đoạn thẳng thực bởi
ϕ (x) =



e
−
1

x
2
nếu x = 0
0 nếu x = 0
khả vi vô hạn với ϕ
(n)
(0) = 0 với n = 0,1,2, .
Điều đó có nghĩa chuỗi Taylor của ϕ tại 0 bằng 0, song ϕ không đồng nhất
bằng không trong bất cứ lân cận nào của 0.
1.4. Không gian Hardy
1.4.1. Không gian L
p
Ta ký hiệu T là đường tròn đơn vị phức và L
1
(p = 1) là không gian
tuyến tính các hàm khả tích Lebesgue trên T với phép cộng điểm và nhân vô
hướng, đặt
N =




f ∈ L
1
:
1
2π
2π

0
|
f
|
dθ = 0



.
Ký hiệu L
1
là không gian thương L

N với chuẩn

[ f ]

1
=
1
2π

2π

0
|
f
|
dθ. Dễ
thấy đây là một chuẩn trên L
1
, ta kiểm tra tính đầy đủ của nó.
Thật vậy, lấy
{
[ f
n
]
}
∞
n=1
là một dãy trong L
1
thỏa mãn
∞
∑
n=1

[ f
n
]

1

 M < ∞.
Chọn đại diện f
n
của mỗi [ f
n
], thì dãy
N
∑
n=1
|
f
|
∞
N=1
là một dãy tăng, các hàm đo
được không âm có tính chất sau
1
2π
2π

0

N
∑
n=1
|
f
n
|


dθ =
N
∑
n=1

[ f
n
]

1
 M
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
theo bổ đề Fatou hàm h =
∞
∑
n=1
|
f
n
|
là khả tích. Do đó dãy

∞
∑
n=1
f
n

∞

n=1
hội tụ
hầu khắp nơi tới một hàm khả tích k trong L
1
.
Cuối cùng ta đánh giá





[k] −
N
∑
n=1
[ f
n
]





1
=
1
2π
2π

0






∞
∑
n=1
f
n
−
N
∑
n=1
f
n





dθ 

∞
∑
n=N+1
1
2π
2π


0
|
f
n
|
dθ 
∞
∑
n=N+1

[ f
n
]

1
.
Do đó
∞
∑
n=1
[ f
n
] = [k]. Vậy L
1
là không gian Banach.
Với 1 < p < ∞ ký hiệu
L
p
=




f ∈ L
1
:
1
2π
2π

0
|
f
|
p
dθ < ∞



và N
p
= N ∩L
p
.
Khi đó không gian thương L
p
= L
p

N
p

là một không gian Banach với chuẩn

[ f ]

p
=


1
2π
2π

0
|
f
|
p
dθ


1
p
.
Trường hợp p = ∞ ta ký hiệu L
∞
là không gian con của L
1
là tập hợp các
hàm bị chặn cốt yếu f thỏa mãn tập hợp
{

x ∈ T :
|
f (x)
|
> M
}
có độ đo 0 với
M đủ lớn và ký hiệu

f

∞
là số M nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên. Tương tư
như trên, đặt N
∞
= N ∩L
∞
, khi đó L
∞
= L
∞

N
∞
. Ta thấy với f ∈ L
∞
ta
có

f


∞
= 0 nếu và chỉ nếu f ∈ N
∞
. Do đó

f

∞
là một chuẩn trên L
∞
, ta sẽ
kiểm tra L
∞
là không gian Banach.
Thật vậy, chọn
{
[ f
n
]
}
∞
n=1
là dãy trong L
∞
thỏa mãn
∞
∑
n=1


[ f
n
]

∞
 M < ∞, ta
chứng minh
∞
∑
n=1
[ f
n
] hội tụ.
Chọn f
n
đại diện cho mỗi [ f
n
] thỏa mãn
|
f
n
|
bị chặn hầu khắp nơi bởi

[ f
n
]

∞
.

15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Khi đó
∞
∑
n=1
|
f
n
|
 M < ∞
hầu khắp nơi trên T. Khi đó hàm h(x) =
∞
∑
n=1
f
n
(x) đo được và bị chặn hầu khắp
nơi bởi M. Do đó h ∈L
∞
và dễ thấy lim
N→∞




[h] −
N
∑
n=1

[ f
n
]




∞
= 0. Vậy L
∞
là không
gian Banach.
Ký hiệu C là tập hợp các hàm liên tục trên T, dễ thấy C ⊂ L
∞
⊂ L
r
⊂ L
s
⊂
L
1
với 1 < s  r < ∞
1.4.2. Không gian Hardy
Định nghĩa 1.4.1. Với 1  p  ∞. Khi đó H
p
=
{
f ∈ L
p
: f

n
= 0, ∀n < 0
}
được
gọi là không gian Hardy.
Nhận xét:
• H
p
là không gian con đóng của L
p
và H
∞
⊂ H
r
⊂ H
s
⊂ H
1
với 1  s 
r  ∞.
• Khi nói f ∈H
p
ta hiểu là f xác định trên cả đĩa đơn vị D =
{
z ∈ C :
|
z
|
< 1
}

.
• H
∞
là đại số Banach.
• H
2
là không gian Hilbert và f ∈ H
2
nếu và chỉ nếu
∑
n∈Z
+
|
f
n
|
2
< ∞. Tập
hợp các đơn thức
{
z
n
, n ∈Z
+
}
là cơ sở trực giao của H
2
.
1.4.3. Tính đối ngẫu của không gian H
p

Với 1  p  ∞ ký hiệu
H
p
(0) =



f ∈ H
p
:
π

−π
f

e
iθ

dθ = 0



= zH
p
.
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Định lý 1.4.2. Nếu 1 < p < ∞ và
1
p

+
1
q
= 1 thì L
q

H
q
có đối ngẫu là H
p
(0)
và H
p
có đối ngẫu là L
q

H
q
(0)
Chứng minh. (1) Gọi Λ là hàm tuyến tính bị chặn trên L
q

H
q
. Khi đó ta xây
dựng được hàm tuyến tính trên L
q
như sau

Λ ( f ) := Λ ( f + H

p
).
Do đối ngẫu của L
q
là L
p
nên tồn tại L ∈ L
p
, với

L

p
=




Λ



sao cho

Λ ( f ) =
π

−π
f


e
iθ

L

e
iθ

dθ.
Theo tính chất

Λ (g) = 0 nếu f ∈ H
q
, ta có
π

−π
f

e
iθ

L

e
iθ

dθ = 0 , n = 0, 1, 2, ···
Khi đó L có thể khai triển Fourier có dạng
∞

∑
n=1
A
n
e
inθ
,
do đó L ∈ H
p
(0).
Ngược lại, với L ∈H
p
(0) ta xây dựng được hàm tuyến tính trên L
q

H
q
tương
tự như trên. Vậy H
p
(0) là đối ngẫu của L
q

H
q
.
(2) Với [L] ∈L
q

H

q
(0), g ∈H
p
ta xây dựng hàm tuyến tính trên H
p
như sau
Λ (g) =
π

−π

L

e
iθ

+ f

e
iθ

g

e
iθ

dθ. (1.4.1)
Biểu thức (1.4.1) hoàn toàn xác định, vì với mọi f
1
∈ H

p
, f
2
∈ H
p
thì
π

−π

f
1

e
iθ

− f
2

e
iθ

g

e
iθ

dθ = 0.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Như vậy [L] ∈ L
q

H
q
(0) là một hàm tuyến tính bị chặn trên H
p
.
Ngược lại, lấy Λ là hàm tuyến tính bất kỳ trên H
p
, theo định lý Hahn -
Banach ta có thể khai triển Λ lên toàn bộ L
p
. Khi đó tồn tại L ∈ L
q
thỏa mãn
Λ (g) =
π

−π
L

e
iθ

g

e
iθ


dθ , g ∈L
p
và

L

q
=

Λ

. Thu hẹp trên H
p
ta thu được Λ từ lớp [L] ∈ L
q

H
q
(0).
Vậy [L] ∈ L
q

H
q
(0) là không gian đối ngẫu của H
p
Bằng lập luận tương tự như trên ta có:
Định lý 1.4.3. Đối ngẫu của L
1


H
1
là H
∞
(0) . Đối ngẫu của H
1
là L
∞

H
∞
(0)
1.4.4. Biến dạng biên của tích phân Poisson-Stieltjes
Xét hàm giải tích f trong đĩa đơn vị, đặt
M
p
(r, f ) =



1
2π
2π

0



f


re
iθ




p
dθ



1
/
p
, 0 < p < ∞
M
∞
(r, f ) = max
0θ<2π



f

re
iθ





.
Hàm giá trị thực u(z) điều hòa trên
|
z
|
< 1 được gọi là thuộc lớp h
p
(0 < p  ∞)
nếu M
p
(r, u) là bị chặn.
Mọi hàm giá trị thực u(z) điều hòa trên
|
z
|
< 1 là liên tục trên
|
z
|
 1 có thể
thu được từ hàm giá trị biên của nó bởi tích phân Poisson
u(z) = u

re
iθ

=
1
2π
2π


0
P(r, θ −t)u

e
it

dt (1.4.2)
với
P(r, θ ) =
1 −r
2
1 −2r cosθ + r
2
.
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Thay u(e
it
) trong tích phân (1.4.2) bởi một hàm liên tục ϕ (t) với ϕ (0) =
ϕ (2π) . Khi đó hàm u(z) vẫn chỉnh hình trên
|
z
|
< 1, liên tục trên
|
z
|
 1 và có
giá trị biên u


e
it

= ϕt. Tổng quát hơn ta đưa ra khái niệm tích phân Poisson-
Stieltjes, là hàm có dạng
u(z) = u

re
iθ

=
1
2π
2π

0
P(r, θ −t)dµ (t) (1.4.3)
trong đó µ (t) là biến phân bị chặn trên [0, 2π] . Khi đó mọi hàm là điều hòa
trên
|
z
|
< 1.
Định lý 1.4.4. Ba lớp hàm sau đây trên
|
z
|
< 1 là đồng nhất với nhau:
(i) Tích phân Poisson-Stieltjes.

(ii) Hiệu của hai hàm điều hòa dương
(iii) h
1
Chứng minh định lý sử dụng bổ đề sau
Bổ đề 1.4.5. (Định lý lựa chọn Helly)
Cho
{
µ
n
(t)
}
là dãy các hàm biến phân bị chặn đều trên khoảng hữa hạn
[a, b]. Khi đó các dãy con

µ
n
k
(t)

hội tụ trên [a, b] tới hàm biến phân bị chặn
µ (t) và với mọi hàm liên tục ϕ (t),
lim
k→∞
b

a
ϕ (t)dµ
n
k
(t) =

b

a
ϕ (t)dµ (t).
Chứng minh. (Định lý (1.4.4))
(i) ⇒ (ii) Biểu thức µ (t) là hiệu của hai hàm không tăng, bị chặn, ta thấy tích
phân Poisson-Stieltjes là hiệu của hai hàm điều hòa dương.
(ii) ⇒(iii) Giả sử u(z) = u
1
(z)−u
2
(z) với u
1
và u
2
là các hàm điều hòa dương.
Khi đó
2π

0



u

re
iθ





dθ 
2π

0
u
1

re
iθ

dθ +
2π

0
u
2

re
iθ

dθ = 2π [u
1
(0) + u
2
(0)]
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
do đó u ∈ h
1

.
(iii) ⇒ (i) Với u ∈ h
1
đặt
µ
r
(t) =
t

0
u

re
iθ

dθ,
khi đó µ
r
(0) = 0 và với 0 = t
0
< t
1
< ···< t
n
= 2π
n
∑
k=1
|
µ

r
(t
k
) −µ
r
(t
k−1
)
|

2π

0



u

re
iθ




dθ  C,
do vậy hàm µ
r
(t) là biến phân bị chặn đều. Theo định lý lựa chọn của Helly,
có dãy
{

r
n
}
hội tụ tới 1, với µ
r
n
(t) → µ (t) một hàm biến phân bị chặn trong
0  t  2π. Vậy
1
2π
2π

0
P(r, θ −t)dµ (t) = lim
n→∞
1
2π
2π

0
P(r, θ −t)dµ
r
n
(t) =
= lim
n→∞
1
2π
2π


0
P(r, θ −t)u

r
n
e
it

dt = lim
n→∞
u(r
n
z) = u(z),
trong đó z = re
iθ
.
Nếu u(z) là tích phân Poisson của hàm khả tích ϕ (t) thì với mọi t = θ
0
với ϕ liên tục, u (z) → ϕ (θ
0
) khi z → e
iθ
0
. Điều này có thể tổng quát lên cho
tích phân Poisson-Stieltjes: u(z) → µ

(θ
0
) khi µ khả vi liên tục. Do vậy, µ khả
vi là đủ, tổng quát hơn là vi phân đối xứng

Dµ (θ
0
) = lim
t→0
µ (θ
0
+t) −µ (θ
0
−t)
2t
.
Sự tồn tại được chỉ ra trong định lý sau:
Định lý 1.4.6. Cho u(z) là một tích phân Poisson-Stieltjes ở dạng (1.4.3), với µ
là biến phân bị chặn. Nếu vi phân đối xứng Dµ (θ
0
) tồn tại tại một điểm θ
0
thì
giới hạn bán kính lim
r→1
u

re
iθ
0

tồn tại và có giá trị là Dµ (θ
0
)
20

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chứng minh. Giả sử θ
0
= 0. Đặt A = Dµ (θ
0
) và
u(r) −A =
1
2π
π

−π
P(r,t)[dµ (t) −Adt] =
=
1
2π
[P(r,t)[µ (t) −At]]
|
π
−π
−
1
2π
π

−π
[µ (t) −At]

∂
∂t

P(r,t)

dt.
Số hạng tích phân dần tới 0 khi r →1 . Với 0 < δ 
|
t
|
 π




∂ P
∂t





2r

1 −r
2

[1 −2r cosδ + r
2
]
→ 0 khi r →1.
Do đó với mỗi δ > 0 cố định, u(r) −A −I
δ

→ 0, trong đó
I
δ
= −
1
2π
δ

−δ
[µ (t) −At]

∂
∂t
P(r,t)

dt =
=
1
π
δ

0

µ (t) −µ (−t)
2t
−A

t

−

∂
∂t
P(r,t)

dt.
Cho ε > 0, chọn δ > 0 đủ nhỏ sao cho




µ (t) −µ (−t)
2t
−A




 ε với 0 < t  δ,
khi đó
|
I
δ
|

ε
2π
π

−π
t


∂ P
∂t

dt < 2ε.
Vậy u(r) → A kh i r →1.
Do một hàm biến phân bị chặn là khả vi hầu khắp nơi và một hàm f ∈H
p
nếu và chỉ nếu phần thực và phần ảo của nó thuộc h
p
. Ta có các hệ quả sau:
Hệ quả 1.4.7. Mỗi hàm u ∈ h
1
có giới hạn bán kính hầu khắp nơi.
Hệ quả 1.4.8. Nếu u là tích phân Poisson của hàm ϕ ∈L
1
thì u

re
iθ

→ ϕ (θ)
hầu khắp nơi.
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Nhận xét 1.4.9. Ta có thể chứng minh tốt định lý trên bằng việc chứng minh
u(z) → Dµ (θ
0
) theo bất kỳ đường nào không tiếp xúc với đường tròn đơn vị.
Tuy nhiên ta sẽ đi đến kết quả này theo cách khác, đó là chứng minh một hàm

giải tích bị chặn có giới hạn không tiếp xúc hầu khắp nơi.
Với 0 < α <
π
2
ta ký hiệu hình quạt với đỉnh e
iθ
, góc 2α đối xứng qua
bán kính từ tâm tới e
iθ
là S
α
(θ).
Định lý 1.4.10. Nếu f ∈ H
∞
, giới hạn bán kính lim
r→1
f

re
iθ
0

tồn tại hầu khắp
nơi. Hơn nữa, nếu θ
0
là giá trị mà ở đó giới hạn bán kính tồn tại thì f (z) dần
tới giới hạn tương tự khi z → e
iθ
0
bên trong bất kỳ miền S

α
(θ
0
), α < π.
Để chứng minh định lý ta sử dụng định nghĩa và định lý sau:
Định nghĩa 1.4.11. Một họ A các hàm trên miền Ω được gọi là chuẩn tắc nếu
mọi dãy trong họ có dãy con hội tụ đều trên mọi tập con compact của Ω.
Định lý 1.4.12. (Định lý Azela)
Một họ A các hàm trên miền Ω của mặt phẳng phức là chuẩn tắc nếu và chỉ
nếu:
A là đồng liên tục trên mỗi tập hợp con compact E ⊂ Ω
Với mỗi z ∈ Ω tập
{
f (z) : f ∈ A
}
nằm trong một tập compact của C
Chứng minh. (Định lý (1.4.10))
Sự tồn tại hầu khắp nơi của giới hạn bán kính, được suy ra từ hệ quả (1.4.7),
định lý (1.4.6), do h
∞
⊂ h
1
Để thuận tiện ta sẽ chuyển đường tròn đơn vị về miền
|
z −1
|
< 1, khi đó hàm
giải tích bị chặn f (z) có giới hạn L khi z → 0 dọc theo trục thực (là giới hạn
theo phương bán kính).
Đặt f

n
(z) = f (z
/
n), n = 1, 2, . . . Khi đó
{
f
n
(z)
}
là dãy hàm liên tục trên D
thỏa mãn
{
f (z)
}
là đồng liên tục, mặt khác
{
f (z)
}
bị chặn đều nên theo điều
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên