Đề thi TS vào lớp chọn

ĐÈ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP CHỌN
Năm học 2009 – 2010
Đề bài
Bài 1. Cho biểu thức
1 2
1 : 1
1
1 1
x x
P
x
x x x x x
   
= + − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
− + − −
   
.
1. Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P.
2. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức
Q P x= −
nhận giá trị nguyên.
Bài 2.
1. Giải phương trình: (x
2
+ 3x + 2)(x
2
+ 7x + 12) = 24.
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

2
1
2 3
A
x
=
− −
.
Bài 3. Chứng minh rằng:
1 ( 1)x x x x> − + −
với mọi x ≥ 1.
Bài 4. Trong mặt phẳng toạ độ xét đường thẳng (d
m
) có phương trình:
2mx + (m – 1)y = 2 với m là tham số.
1. Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đường thẳng (d
m
) luôn đi qua điểm có toạ độ không đổi.
Tìm toạ độ của điểm đó.
2. Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đển đường thẳng (d
m
).
Bài 5. Cho tam giác AEF vuông tại E. Đường tròn (O; R) bàng tiếp trong góc A của tam giác AEF
tiếp xúc với AE, EF và AF lần lượt tại B, M, C.
1. Biết AE = a. Tính chu vi tam giác AEF theo a và R.
2. Đường thẳng BC cắt OE, OF lần lượt tại P và Q. Tính số đo góc
·
OQP
.
Hướng dẫn giải:

Bài 1.
1. ĐK:
1 0
0
0
1 0 1
1 0
x
x
x
x x
x x x x
+ ≠


≥
≥


⇔
 
− ≠ ≠



+ − − ≠

.
1 2 1 1 2
1 : 1 : 1

1 1
1 1 1 ( 1) ( 1)
1 1 2 1 1 1 2
: 1 : 1 1
1 1 1
( 1)( 1) 1 1
x x x x x
P
x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x
x x x x
       
+ +
= + − − = − −
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
+ +
− + − − − + − +
       
       
+ + + − + + − + + +
= − = − = − =
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
+ + +
+ − − −
       
2. Có

2 2 1 3 3
1
1 1 1 1
x x x
Q P x x
x x x x
+ + − +
= − = − = = = +
− − − −
.
Q nguyên ⇔
3
1x −
nguyên ⇔
1x −
là ước của 3. Ta có các trường hợp:
+
1x −
= 3 ⇔ x = 16.
+
1x −
= -3 (vô nghiệm).
+
1x −
= 1 ⇔ x = 4.
+
1x −
= -1 ⇔ x = 0.
Bài 2.
1. (x

2
+ 3x + 2)(x
2
+ 7x + 12) = 24 ⇔ (x +1)(x +2)(x + 3)(x + 4) = 24
⇔ (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) = 24 ⇔ (x
2
+ 5x + 4)(x
2
+ 5x + 6) = 24.
Đặt x
2
+ 5x + 4 = t ⇒ t(t + 2) = 24 ⇔ t
2
+ 2t – 24 = 0 ⇔
4
6
t
t
=


= −

.
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
2
1
2 3
A
x

=
− −
.
ĐK:
2
2
2
2
3 0
3 3
3 3
3 3
3 4
2 3 0
3 2
x
x
x
x
x
x
x


− ≥ 
− ≤ ≤
− ≤ ≤
  
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤
  

− ≠
− − ≠

− ≠





.
Có với
3 3x− ≤ ≤
thì
2
2 3 x− −
> 0, do đó
2
1
2 3 x− −
đạt GTNN khi
2
2 3 x− −
đạt
GTLN và
2
1
2 3 x− −
đạt GTLN khi
2
2 3 x− −

đạt GTNN.
Có
2
2 3 x− −
đạt GTLN khi
2
3 x−
là nhỏ nhất ⇔ x =
3±
.
Có
2
2 3 x− −
đạt GTNN khi
2
3 x−
là lớn nhất ⇔ x = 0.
Bài 3.
1 ( 1)x x x x> − + −
.
Ta sẽ chứng minh:
1
2
x
x≥ −
và
( 1)
2
x
x x≥ −

.
2
2 2
1 1 4 4 0 ( 2) 0
2 4
x x
x x x x x≥ − ⇔ ≥ − ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥
(luôn đúng), dấu "=" xảy ra ⇔ x = 2.
2
2
( 1) ( 1) 1 4 4 0 ( 2) 0
2 4 4
x x x
x x x x x x x x≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ≥ − ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥
(luôn
đúng), dấu "=" xảy ra ⇔ x = 4.
Vì dấu "=" không xảy ra đồng thời nên
1 ( 1)x x x x> − + −
.
Bài 4. Trong mặt phẳng toạ độ xét đường thẳng (d
m
) có phương trình:
2mx + (m – 1)y = 2 với m là tham số.
1. Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đường thẳng (d
m
) luôn đi qua điểm có toạ độ không đổi.
Tìm toạ độ của điểm đó.
2. Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đển đường thẳng (d
m
).

Gọi điểm cố định mà đường thẳng đi qua là (x
0
; y
0
). Khi đó phương trình 2mx
0
+ (m - 1)y
0
= 2 có
nghiệm với mọi m ⇔ (2x
0
+ y
0
)m – y
0
– 2 = 0 có nghiệm với mọi m ⇔
0 0 0
0 0
2 0 1
2 0 2
x y x
y y
+ = =
 
⇔
 
− − = = −
 
.
Vậy đường thẳng (d

m
) luôn đi qua điểm cố định là M(1; -2).
2. Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng (d
m
) với các trục Ox và Oy. Có A(
1
m
; 0), B(0;
2
1m −
),
gọi H là chân đường cao hạ từ O xuống d
m
. Ta có tam giác OAB vuông tại O nên:
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 ( 1) 4 ( 1) 4
4 4 4 ( 1)
m m m
m OH
OH OA OB m m
− + −
= + = + = ⇒ =
+ −
.
Bài 5.
1. Chu vi tam giác AEF = AE + EF + AF.
= AE + EM + MF + AF = AE + EB + FC + AF
= AB + AC = 2 AB = 2(AE + EB) = 2(a + R).

2. Có
·
·
OQP CQF=
.
Có:
·
·
0 0
1 1
(90 ) 45
2 2 2
A
QFC MFC A= = + = +
.
·
·
·
·
0 0
1
(180 ) 90
2 2
A
QCF ACB ABC QCF A= = ⇒ = − = −
.
·
·
·
0

0 0 0 0
180 ( )
180 (45 90 ) 45
2 2
FQC QFC QCF
A A
= − +
= − + + − =
Q
P
C
B
M
O
A
E
F