SKKN một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10

Trần Phương Mai- Một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10
PHẦN NỘI DUNG

I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT:
Khi giải các bài tập Vật lý, để tính giá trị cực đại hoặc cực tiểu của các đại lượng
Vật lý, ta thường dùng một số công thức, kiến thức của toán học. Do đó, để giải
được các bài tập đó cần nắm vững một số kiến thức sau đây:
1. Bất đẳng thức Cô si:
a + b ≥ 2 ab ( a, b dương).
a + b + c ≥ 3 3 abc ( a, b, c dương).

- Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau.
- Khi tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.
- Khi tổng hai số không đổi, tích hai số lớn nhất khi hai số bằng nhau.
2. Bất đẳng thức Bunhiacôpski:
(a1b1 + a2b2 ) 2 ≤ (a1 + a2 ) 2 (b1 + b2 ) 2
a

b

1
1
Dấu bằng xảy ra khi a = b
2
2

3. Tam thức bậc hai:
y = f ( x) = ax 2 + bx + c

+ Nếu a > 0 thì ymin tại đỉnh pa rabol.
+ Nếu a < 0 thì ymax tại đỉnh parabol.

Trần Phương Mai- Một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10
Tọa độ đỉnh: x = −

b
∆
; y=−
( ∆ = b 2 − 4ac ).
2a
4a

+ Nếu ∆ = 0 thì phương trình : y = f ( x) = ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm kép.
+Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
4. Giá trị cực đại hàm số sin hoặc cosin:
(cos α ) max = 1 ⇔ α = 0
(sin α ) max = 1 ⇔ α = 900 .

5. Khảo sát hàm số:
- Dùng đạo hàm.
- Lập bảng xét dấu để tìm giá trị cực đại, cực tiểu.

Ngoài ra một số bài toán không cần sử dụng các công thức toán trên mà từ lập
luận ta có thể giải quyết được.
Ví dụ ta có thể vận dụng công thức cộng vận tốc và suy luận để giải bài toán cực
trị
Vì vậy khi đọc và phân tích đề ta phải lựa chọn cách giải nào ngắn gọn và hay hơn
để thực hiện

Trần Phương Mai- Một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10
II. BÀI TẬP VÍ DỤ VẬN DỤNG:

1: Áp dụng bất đẳng thức Côsi:

r

Bài toán 1: Vật m1 chuyển động với vận tốc v1 tại A và đồng thời va chạm với

v1'
r'
v
vật m2 đang nằm yên tại đó. Sau va chạm, m1 có vận tốc 1 . Hãy xác định tỉ số
v1
r
r
của m1 để góc lệch α giữa v1 và v1' là lớn nhất α max . Cho m1 > m2, va chạm là đàn

hồi và hệ được xem là hệ kín.

BÀI GIẢI
r
p1

* Động lượng của hệ trước va chạm:
r
r
r
PT = P1 = m1v1

* Động lượng của hệ sau va chạm

:

r
r r
r
r
PS = P1' + P '2 = m1v1' + m2 v 2'

Vì hệ là kín nên động lượng được bảo toàn :
r
r
r
PS = PT = P1
r r

r r

Gọi α = (v1 , v1' ) = ( P1 , PS ).

r
ps
r
p2


Trần Phương Mai- Một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10
Ta có: P2 '2 = P1'2 + P12 − 2 P1P2 cos α (1).
Mặt khác, vì va chạm là đàn hồi nên động năng bảo toàn:

m 2 v 2 m 2 v 2 m 2 v '2
m1v12 m1v1'2 m2 v2 '2
⇔ 1 1 = 1 1 + 2 2
=
+
2m1
2m1
2m2
2
2
2

⇒

P12 − P1'2 P2 '2
m
=
. ⇒ P12 − P1'2 = 1 .P2 '2 .
2m1
2m2
m2
m2 ( P12 − P1'2
⇔ P2 =
(2).
m1
'2

Từ(1)và(2) ta suy ra
(1 −

m2 P1
m P'
m v'
m v
) ' + (1 + 2 ) 1 = 2 cos α ⇔ (1 + 2 ). 1 + (1 − 2 ). 1' = 2 cos α
m1 P1
m1 P1
m1 v1
m1 v1

Đặt x =

m
m 1
v1'
> 0 ⇒ (1 + 2 ).x + (1 − 2 ). = 2 cos α
m1
m1 x
v1

Để α max thì (cos α ) min


m

m

1

Theo bất đẳng thức Côsi (cos α ) min ⇔ (1 + 2 ).x + (1 − 2 ). 

m
m x


1

1

 min

Tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau
 m 
 m  1
⇒ 1 + 2 ÷.x =  1 − 2 ÷.
 m1 
 m1  x

Vậy khi

⇔x=

m1 − m2
m1 + m2

r
v1'
m1 − m2
r
=
thì góc lệch giữa v1 và v1' cực đại.

v1
m1 + m2

P12
P '2 P '2
= 1 + 2 ⇔
2m1 2m1 2m2


Trần Phương Mai- Một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10
m12 − m2 2
.
m1

Khi đó, cos α max =

Bài toán 2. Trên đoạn đường thẳng AB dài s=200m, một chiếc xe khởi hành từ
A chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a 1 =1m/s2 sau đó chuyển động chậm
dần đều với gia tốc có độ lớn a 2 =2m/s2 và dừng lại ở B .Tính thời gian ngắn
nhất để xe đi từ A đến B.
Giải.
Gọi s1 ,s2 là quãng đường xe đi trong hai giai đoạn ứng với gia tốc a1, a2
t1,, t2 là thời gian xe đi trong hai giai đoạn ứng với gia tốc s1, s2
ta có

t1 =

2s1
a1

;

2s2
a2

t2 =

tổng giời gian xe đi
t= t1 + t2 =

2 s1
2 s2
+
a1
a2

.

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
2 s1
2 s2
2 s1s2
+
≥2
a1
a2
a1a2

Để thời gian xe đi là ngắn nhất thì
s1 s2

s
a
1
= ⇒ 1 = 2 = (1)
a1 a2
s2 a1 2

Mặt khác s1 + s2 =200(2) suy ra s1= 66,67m, s2 = 33,33m


Trần Phương Mai- Một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10
Vậy t = 15,63 s

Bài toán 3: Một vật nhỏ có thể trượt không ma sát từ đỉnh một cái nêm và văng
ra theo phương ngang rồi rơi xuống mặt bàn. Hỏi h bằng bao nhiêu thì vật rơi
xuống mặt bàn ở xa nêm nhất. Biết rằng khối lượng nêm rất lớn so với khối
lượng của vật.
Giải:
Do khối lượng của nêm rất lớn so với khối lượng của vật nên ta có thể coi nêm
đứng yên. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta tính được vận tốc của vật khi
rời nêm là: v = 2 g ( H − h)
Vật văng ra xa theo phương nằm ngang, khoảng cách từ vật đến chân nêm khi

vật chạm sàn là l = v

2h
=
g

4h( H − h )

Vật rơi xuống mặt bàn ở xa nêm nhất khi l = l max. Áp dụng bất đẳng thức cosi ta
có l = lmaxkhi và chỉ khi:
h = H - h hay
h=

H
từ đó ta có lmax = H
2


Trần Phương Mai- Một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10

H
h

2. Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski:

Bài toán 1:
Hai chuyển động trên AO và BO cùng hướng về O với v2 =

v1
; α = 300 . Khi
3

khoảng cách giữa hai vật cực tiểu là dmin thì khoảng cách từ vật một đến O là
d1' = 30 3(cm) . Hãy tính khoảng cách từ vật hai đến O.


Trần Phương Mai- Một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10

BÀI GIẢI
Gọi d1, d2 là khoảng cách từ vật một và vật hai đến O lúc đầu ta xét ( t = 0 ).
Áp dụng định lý hàm sin ta có:

A

d
d
d
d
d −v t d −v t
=
= 2 ⇔
= 1 1 = 2 2 .
sin α sin γ sin β
sin α
sin γ
sin β
'
1

'

d

v1
Vì v2 =
nên ta có:
3

γ

α

d2 ’

B

d
d −vt
3d 2 − v1t
= 1 1 =
.
0
sin 30
sin γ
3 sin β

β

d1’

Áp dụng tính chất của phân thức ta có:
d1 − v1t
3d 2 − v1t ( 3d 2 − v1t ) − (d1 − v1t )
3d 2 − d1
=
=
=

sin γ
3 sin β
3 sin β − sin γ
3 sin β − sin γ
⇒

d
3d 2 − d1
=
0
sin 30
3 sin β − sin γ

Mặt khác, tacó:
sin β = sin(1800 − β ) = sin(α + γ ) = sin(300 + γ )

⇒ 3 sin β = 3 sin(300 + γ ) = 3(sin 300 cos γ + cos 300 sin γ ) =

⇒

d
=
sin 300

3d 2 − d1
3
1
1
cos γ + sin γ − sin γ
2

2
2

⇒d =

3
3
cos γ + sin γ
2
2

( 3d 2 − d1 ) sin 300
3d 2 − d1
=
3
1
3 cos γ + sin γ
cos γ + sin γ
2
2

O


Trần Phương Mai- Một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10
Vậy d =

3d 2 − d1
3d 2 − d1
=

.
y
3 cos γ + sin γ

Khoảng cách giữa hai vật dmin ⇔ ymax với y = ( 3 cos γ + sin γ ) 2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski:

( 3 cos γ + sin γ ) 2 ≤ (( 3) 2 + 12 ).(cos 2 γ + sin 2 γ ) = 2

 ymax= 2 ⇔

Lúc đó:

3 cos γ
=
⇒ cot gγ = 3 ⇒ γ = 300 và β = 1200
1
sin γ

d1'
d 2'
sin1200 '
'
=
⇒
d
=
.d1 = 3d1' = 90(m)
2
0

0
0
sin 30
sin120
sin 30

Vậy, khoảng cách từ vật hai đến O lúc này là: d2’ = 90(m)
*Bài tập này ta có thể sử dụng công thức cộng vận tốc để giải

Bài toán 2: Cho cơ hệ như hình vẽ:
Cho biết: Hệ số ma sát giữa M và sàn là k2.
Hệ số ma sát giữa M và m là k1.

m
M

r
F

α


Trần Phương Mai- Một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10
r
Tác dụng một lực F lên M theo phương hợp với phương ngang một góc α . Hãy

tìm Fmin để m thoát khỏi M.Tính góc α tương ứng?

BÀI GIẢI
r

Fms12

r r
r
r
+ Xét vật m: P1 + N1 + Fms 21 = ma (1).

Chiếu lên Ox: Fms21= ma ⇒ a1 =

y
r
N1

r
N2

α

r
P1

Fmn 21
m

r
Fms

r
F

r
Fms 21

O

r
P2

Chiếu lên Oy: N1 – P1 = 0 ⇒ N1 = P1
⇒ Fms21= k1.N1 = k1.mg

⇒ a1 =

k1mg
= k1 g . Khi vật bắt đầu trượt thì thì a1 = k1g.
m
r

r

r

r

r

r

r

+ Xét vật M: F + P2 + P1 + N 2 + Fms12 + Fms = ( M + m)a2 .
Chiếu lên trục Ox: F cos α − Fms12 − Fms = ( M + m)a2 ⇒ a2 =

F cos α − Fms12 − Fms
M +m

Chiếu lên Oy: F sin α − ( P1 + P2 ) + N 2 = 0 ⇒ N 2 = P1 + P2 − F sin α
Ta có: Fms12 = k1mg
Fms = k2 N 2 = k2 ( P1 + P2 − F sin α )
⇒ a2 =

F cos α − k1mg − k2 ( P1 + P2 − F sin α )
M +m

x


Trần Phương Mai- Một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10
Khi vật trượt a1 ≤ a2 ⇒ k1 g ≤

F cos α − k1mg − k2 ( P1 + P2 − F sin α )
M

⇔ k1 gM ≤ F (cos α + k2 sin α ) − k1mg − k2 ( P1 + P2 )

⇒F≥

(k1 + k2 ) Mg + (k1 + k2 )mg (k1 + k 2 ) Mg + (k1 + k2 )mg
=
cos α + k2 sin α

y

Nhận xét: Fmin ⇔ ymax . Theo bất đẳng thức Bunhia Côpski:
y = (cos α + k2 sin α ) 2 ≤ (12 + k2 2 )(cos 2 α + sin 2 α ) = 1 + k2 2
⇒ ymax = 1 + k2 2 .
( k1 + k2 ) Mg + (2k1 + k2 ) mg

Vậy

⇒ Fmin =

Lúc đó:

sin α k2
= ⇒ tgα = k2
cos α 1

1 + k2 2

3.Áp dụng tam thức bậc hai:

Bài toán 1: Một con kiến bám vào đầu B của một

A

thanh cứng mảnh AB có chiều dài L đang dựng đứng
cạnh một bức tường thẳng đứng. Vào thời điểm mà đầu
B của thanh bắt đầu chuyển động sang phải với vận tốc
không đổi v theo sàn ngang thì con kiến bắt đầu bò dọc

B


Trần Phương Mai- Một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10
theo thanh với vận tốc không đổi u đối với thanh. Trong
quá trình bò trên thanh , con kiến đạt được độ cao cực đại là bao nhiêu đối với
sàn? Cho đầu A của thanh luôn tì lên sàn thẳng đứng.

r
u

BÀI GIẢI
Khi B di chuyển một đoạn s = v.t thì con kiến đi

h

được một đoạn l = u.t.

B

Độ cao mà con kiến đạt được:
h = l sin α = ut sin α với sin α =

⇒h=

L2 − v 2t 2
L

u 22 2 4 u
L t − v .t =

y
L
L

Vói y = L2t 2 − v 2 .t 4 Đặt X = t2 ⇒ y = −v 2 X 2 + L. X
Nhận xét: hmax ⇔ ymax .

y là tam thức bậc hai có a = - v 2 < 0 ⇒ ymax tại đỉnh

Parabol
⇒ ymax

∆2
L4
L4
=−
⇒ ymax = −
=
4a
4(−v 2 ) 4v 2

⇒ ymax =

L4
b
L2
X
=
−
=

tại
4v 2
2 a 2v 2

Vây độ cao mà con kiến đạt được là : hmax =

u
u.L
ymax =
L
2v


Trần Phương Mai- Một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10

Bài toán 2. Hai chiếc tàu biển chuyển động với cùng vận tốc hướng tới điểm O
trên hai đường thẳng hợp với nhau một góc α = 60 0 .Hãy xác định khoảng cách
nhỏ nhất giữa hai con tàu .Cho biết ban đầu chúng cách O những khoảng cách là
d1 = 60km và d2 = 40km
Giải
Chọn hệ trục tọa độ không vuông góc như hình vẽ
Giả sử tàu A chuyển động trên Oy về O ,tàu B chuyển động trên Ox về O
Phương trình chuyển động của chúng lần lược là
y = 60 − vt (1)
x = 40 − vt (2)

Tại thời điểm t khoảng cách giữa hai tàu là
d 2 = OA2 + OB 2 − 2OA.OBCOS 600

A

d 2 = x 2 + y 2 − 2 xy.cos 600
d 2 = x 2 + y 2 − xy (3)

Thay (1),(2)vào(3) ta được
d 2 = v 2t 2 − 100vt + 2800(4)

y

y
O

600

B
x

X

Vế phải là một tam thức bậc hai có giá trị nhỏ nhất là
−

∆
= 300 ⇒ d min = 17,32km
4a

*Bài tập này có thể giải bằng cách áp dụng giá trị cực đại của hàm số sin và cosin


Trần Phương Mai- Một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10

Bài toán 3: Hai vật nhỏ chuyển động trên hai trục tọa độ vuông góc Ox, Oy và qua
O cùng một lúc. Vật thứ nhất chuyển động trên trục Ox theo chiều dương với gia
tốc 1m/s2 và vận tốc khi qua O là 6m/s. Vật thứ hai chuyển động chậm dần đều theo
chiều âm trên trục Oy với gia tốc 2m/s2 và vận tốc khi qua O là 8m/s. Xác định vận
tốc nhỏ nhất của vật thứ nhất đối với vật thứ hai trong khoảng thời gian từ lúc qua
O cho đến khi vật thứ hai dừng lại.

Giải:

y

Chọn mốc thời gian lúc 2 vật qua O
- Phương trình vận tốc của vật thứ nhất trên trục Ox:

O

v1 = v01 + a1t = 6 + t
- Phường trình vận tốc của vật thứ hai trên trục Oy:
v2 = v02 + a2t = - 8 + 2t
- Khoảng thời gian vật thứ hai dừng lại: v2 = 0 => t = 4s
- Vận tốc của vật thứ nhất đối với vật thứ hai là:
v12 = v1 − v2 . Do v1 vuông góc với v2 .

=> v12 = v12 + v 22 = (6 + t ) 2 + (−8 + 2t ) 2
=> v12 = 5t 2 − 20t + 100 .
Vế phải là một tam thức bậc hai có giá trị nhỏ nhất là

v1
v12

v2

x


Trần Phương Mai- Một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10
t =−

∆
− (−20)
=
= 2 (s) < 4 (s).
4a
2.5

Vậy v12 có giá trị nhỏ nhất khi t = 2s.
=> (v12)min = 5.2 2 − 20.2 + 100 ≈ 8,94 (m/s)
Khi đó v1 = 8m/s, (v1 , v12 ) = α . với Cos α = v1/v12 = 8/8,94 ≈ 0,895
=> α = 26,50
- Vậy v12 đạt giá trị nhỏ nhất là 8,94m/s tại thời điểm t = 2s và hợp với Ox góc 26,50

4. Áp dụng giá trị cực đại của hàm số sin và hàm số cosin:

Bài toán 1: Hai vật chuyển động từ A và B cùng hướng về điểm O với cùng vận
tốc . Biết
AO = 20km; BO = 30km; Góc α = 600 . Hãy xác định khoảng cách ngắn nhất giữa
chúng trong quá chuyển động?

BÀI GIẢI

Xét tại thời điểm t : Vật A ở A’
Vật B ở B’

γ

Khoảng cách d = A’B’
d

AO − vt

O

A’

A

β
BO − vt

Ta có: sin α = sin β = sin γ

B’
B

α


Trần Phương Mai- Một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10
⇒

⇔

d
BO − AO
10
=
=
sin α sin γ − sin β sin γ − sin β
d
10
=
0
sin α 2 cos β + γ .sin β − γ với β + γ = 120
2
2

10sin 600
5 3
⇒d =
⇒d =
γ
−
β
γ −β
2 cos 600.sin
sin
2
2

Nhận xét: dmin ⇔ (sin

γ −β
) =1
2

⇒ d min = 5 3(cm)

Bài toán 2. Một ô tô chuyển động thẳng đều với vận tốc v1 = 54km/h. Một hành
khách cách ô tô đoạn a = 400m và cách đường đoạn d = 80m, muốn đón ô tô. Hỏi
người ấy phải chạy theo hướng nào, với vận tốc nhỏ nhất là bao nhiêu để đón được
ô tô?

Giải
Gọi C là vị trí gặp nhau
AC = v2 .∆t; BC = v1.∆t

(2)
A
β

Áp dụng định lí hàm số

d
(1)
B

α

(3)
C

Trần Phương Mai- Một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10
Sin cho tam giác ABC
Ta có
v2 .∆t v1.∆t
sin α
=
⇒ v2 =
.v1
sin α sin β
sin β

Suy ra : v2 có giá trị min khi ( sin β )max=1 vậy β = 900
d
a

Do đó (v2)min = sin α .v1 = v1 = 10,8km

5.Bài toán dùng suy luận
Bài toán 1:Từ một khí cầu cách mặt đất một khoảng 15m đang hạ thấp với tốc
độ đều v1=2m/s, từ trong khí cầu người ta phóng một vật nhỏ theo phương thẳng
đứng hướng lên với vận tốc đầu vo2= 18m/s đối với mặt đất. Tìm khoảng cách lớn
nhất giữa khí cầu và vật.Bỏ qua ảnh hưởng không khí lấy g=10m/s2

Giải
Chọn trục toạ độ thẳng đứng chiều dương trên xuống
Phương trình chuyển đông của khí cầu và vật
x1= 2t
Phương trình chuyển động của vật

x2= -18t +5t2
Phương trình vận tốc của khí cầu 1: v1= 2m/s (đ/k t ≤ 7,5s)
Phương trình vận tốc của vật 2: v2=-18+10t (đ/k t ≤ 3s)


Trần Phương Mai- Một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10
Khi vật đang đi lên thì khoảng cách giữa vật và khí cầu ngày càng tăng, khi vật lên
đên điểm cao nhất nó đổi chiều chuyển đông nhanh dần đều đi xuống, khoảng cách
giũa vật và khí cầu vẩn tiếp tục tăng cho đến khi vận tốc của vật đạt giá trị bằng
vận tốc khí cầu 2m/s. Ta có
v2=-18+10t = 2 ⇒ t=2s
Khoảng cách: dmax=x1-x2=2t-(-18t + 5t2) = 20m
*Nếu bài toán này ta dùng hàm bậc hai để xét về mặt toán học thì khá đơn giản
hơn, tuy nhiên ý nghĩa vật lí chưa được tường minh so với cách lí luận ở trên.

Bài toán 2. Hai xe chuyển động trên hai đường vuông góc với nhau, xe A đi về
hướng tây với tốc độ 50km/h, xe B đi về hướng Nam với tốc độ 30km/h. Vào một
thời điểm nào đó xe A và B còn cách giao điểm của hai đường lần lượt 4,4km và
4km và đang tiến về phía giao điểm. Tìm khoảng cách ngắn nhất giũa hai xe.

Giải
Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có



 
v12 = v1 + ( −v 2 ) = v1 − v 2


Đoạn BH vuông góc với đường thẳng chứa véc tơ vận tốc v12 chính là khoảng cách

ngắn nhất giữa hai xe. → dmin= BH


Trần Phương Mai- Một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10
v

3

2
tan α = v = 5 → α = 59 0 , β = 310
1

dmin=BH= BI sin β = (B0-0I) sin β =(B0-0A.tan α ).sin β = 1,166km