Đề thi HSG lớp 10 TpHCM

Sở GD & ĐT TPHCM Đề thi học sinh giỏi lớp 10
Năm học 2008 - 2009
--------***--------
Môn thi : Toán
Ngày thi: 04 / 05/ 2009
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
-------------------------***-----------------------------
Câu 1: (2 điểm) Cho
3)1(2)(
22
++=
mxmxxf
. Tìm m để f(x) có hai nghiệm phân
biệt
21
, xx
thỏa mãn
2
2
12
3
21
2
21
3
1
44 xxxxxxxx
+=+
.
Câu 2: (2 điểm) Giải hệ phơng trình

=++
=+
42
3)2(
2
yxx
xxy
Câu 3: (2điểm) Cho
3cottan
=+
aa
, Tính giá trị của biểu thức
a
a
aa
a
a
A
2
3
2
3
cos
cot
cos.sin
1
sin
tan

+=
Câu 4: (2điểm) Giải bất phơng trình sau:
xxxx 25442
22
+++
Câu 5: (2điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC lần lợt ứng với các
góc A, B, C. Chứng minh rằng nếu





=
=
+
+
Cba
a
acb
acb
cos2
2
333
thì tam giác ABC đều.
Câu 6: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề các vuông góc Oxy, cho elip
225259:)(
22
=+
yxE
, gọi F

1
, F
2
là hai tiêu điểm của (E). Tìm toạ độ điểm M thuộc (E)
sao cho
MFMF
21

.
Câu 7: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề các vuông góc Oxy cho hai đờng
tròn
01686:)( và 054:)(
22
2
22
1
=++=+ yxyxCyyxC
. Viết phơng trình tiếp
tuyến chung của hai đờng tròn.
Câu 8: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề các vuông góc Oxy cho hai điểm
A(1 ; 1) và B(4 ; -3). Tìm điểm C thuộc đờng thẳng x 2y 1= 0 sao cho
khoảng cách từ C đến đờng thẳng AB bằng 6.
Câu 9: (2điểm) Cho n + 2 số dơng
221
,...,,
+
n
aaa
thoả mãn
2211

,
++
==
nn
aaaa
,
na
n
k
k


=
1
. Chứng minh rằng:

=
++

+
n
k
kk
k
n
aa
a
1
21
2

2
.
Câu 10: (2 điểm) Tìm m để hệ bất phơng trình sau có nghiệm





+++
=+
myx
yx
35
3
----------------Hết----------------
Họ và tên thí sinh :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh :. . . . . . .
S GIO DC V O TO TPHCM kì thi học sinh giỏi lớp 10
Năm học 2008 - 2009
Hớng dẫn chấm môn toán
Câu Nội dung Điểm
1
Điều kiện để f(x) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
20)3()1('
22
>>+=
mmm

2
2
12
3
21
2
21
3
1
44 xxxxxxxx
+=+
0,5
Biến đổi
2
2
12
3
21
2
21
3
1
44 xxxxxxxx
+=+
0]42))[((
21
2
2121
=+
xxxxxx

0,75
Do
21
xx




=
=
=+=+
(loại) 3
1
04)3(2)]1(2[042)(
22
21
2
21
m
m
mmxxxx
0,5
Đáp số m = - 1
0,25
2



=++
=+

=++
=+
42
3)2(
42
3)2(
2
2
2
yxx
yxx
yxx
xxy
0,5
Suy ra
yxx ,2
2
+
là nghiệm của phơng trình



=
=
=+
3

1
034
2
X
X
XX
0,5
Suy ra



=
=+
3
12
2
y
xx
hoặc



=
=+
1
32
2
y
xx
0,5

Hệ phơng trình có 4 nghiệm



=
=
3
21
y
x
;



=
=
1
3
y
x
;



=
=
1
1
y
x

0,5
3
Do
3cottan
=+
aa
>2 nên a tồn tại
Biến đổi
)tan1(cot
cossin
cossin
)cot1(tan
23
22
22
aa
aa
aa
aaA
++
+
+=
1,0
aaaaaa cotcot)cot(tantantan
33
++++=
0,5
183.33)cot(tancottan3)cot(tan
33
==++=

aaaaaa
0,5
4
Điều kiện
Rxxx
++
0442
2
0,25
Đặt
0,442
2
++=
txxt
ta có bất phơng trình
05
2
4
2
+

t
t
0,5




+

+
151
(loại) 151
0142
2
t
t
tt
0,5
2
+ Với




+

++++
1571
1571
151442151
2
x
x
xxt
0,5
Vậy bất phơng trình có tập nghiệm
);1571[]1571;(
++=
S

0,25
5
Ta có
2222332
333
)( acbcbcbacba
acb
acb
=++=+=
+
+
0,5
0
222
60
2
1
cos
2
1
2
===
+
AA
bc
acb
(1) 0,5
cbcb
ab
cba

baCba
==
+
==
0
2
2cos2
22
222
(2) 0,75
Từ (1) và (2) ta suy ra tam giác ABC đều
0,25
6
Ta có
1
925
:)(
22
=+
yx
E
suy ra
16925
222
===
bac
0,25
Do tam giác
21
MFF

vuông tại M nên
ccFFOM
===
2
2
1
2
1
21
0,5
Gọi
);(
00
yxM
. Ta có





=+
=+





=
225259
16

)(
2
0
2
0
2
0
2
0
22
yx
yx
EM
cOM
0,5







=
=

=
=

4
9
4
75
16
81
16
175
0
0
2
0
2
0
y
x
y
x
0,5
Vậy có 4 điểm cần tìm

=
4
9
;
4
75
M
0,25
7
(C
1
) có tâm I
1
(0; 2), bán kính R
1
= 3; (C
2
) có tâm I
2
(3; 4), bán kính R
2
= 3;
0,25
Ta có
21212121
13 RRIIRRII
+<<=

(C
1
) và (C
2
) là hai đờng tròn cắt nhau và có bán kính bằng nhau nên chúng có
đúng hai tiếp tuyến chung, hai tiếp tuyến này song song với đờng thẳng đi qua I
1
và I
2
.
0,5
)2;3(
21
=
II
, tiếp tuyến

cần tìm có phơng trình dạng:
032
=+
cyx
0,5
Ta có
1363
94
60
);(
11
==
+

+
=
c
c
RId
0,5
Vậy phơng trình tiếp tuyến chung (C
1
) và (C
2
) là
013632
=++
xx
0,25
3
8
Đờng thẳng AB có phơng trình
0734
13
1
14
1
=+


=


yx

yx
0,25
Do C thuộc đờng thẳng x 2y 1= 0 nên C = (2c + 1; c)
0,25
Ta có



=
=
==
+
++
=
11/27
3
303116
34
73)12(4
6);(
22
c
c
c
cc
ABCd
0,75
+ Với
)3;7(3
==

Cc
+ Với






==
11
27
;
11
43
11/27 Cc
0,5
Vậy có hai điểm
)3;7(
=
C
;






=
11
27

;
11
43
C
0,25
9
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
k
kk
kk
kkk
kk
k
a
aa
aa
aaa
aa
a
=
+
+

+
+
+
++
++
++
++

4
2
4
21
21
2
21
21
2
với k = 1 ;2 ; ... ; n
0,5
Suy ra

==
++
=
++

+
+
+
n
k
k
n
k
kk
n
k
kk

k
a
aa
aa
a
11
21
1
21
2
4
0,5

=
++
=
++

++++
+
+

n
k
k
nn
n
k
kk
k

a
aaaa
aa
a
1
2132
1
21
2
4
2...2
0,5
22
1
11
21
2
n
a
aa
a
n
k
k
n
k
kk
k
=
+

==
++
0,25
Dấu = xảy ra khi
1...
21
====
n
aaa
0,25
10
Đặt
yvxu
==
,
, điều kiện 0 u, v 3. Ta có hệ





+++
=+
mvu
vu
35
3
22

0,25
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta chọn hai vectơ
)3;(),5;( vbua
==
0,5
áp dụng bất đẳng thức
baba
++
ta đợc
15217)35()(35
2222
+=++++++
vuvu
0,5
Đẳng thức xảy xa khi
ba,
cùng hớng,
tức là







+
=
+
=

=
=+
53
33
53
53
35
3
v
u
vu
vu
Khi đó







+
=
+
=
1528

9
1528
45
y
x
.
0,25
Hệ bất phơng trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m lớn hơn hoặc bằng giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
35
22
+++
vu
với điều kiện




=+
3,0
3
vu
vu
0,25
4
Vậy các giá trị m cần tìm là
15217
+
m
0,25

Chú ý :
- Hớng dẫn chấm có 03 trang
- Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5
- Thí sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa

5