Đề TSĐH 2002-2009 PT-HPT-BPT mũ,log + lờigiải (.doc)

PT-BPT MŨ LÔGARIT
***
1. ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
log ( ) 1 log ( )
3 81
x y xy
x y xy
+ −

+ = +


 =

HD: HPT tương đương
2 2
2 2
0
2
4
xy
x y xy
x y xy
>


+ =



+ − =

2 2
0
4
xy
x y
x y xy

>

⇔ =


+ − =

2 2
2 2
x x
y y
= = −
 
⇔ ∨
 
= = −
 
2. *CĐ-2009. Cho 0<a<b<1. Chứng minh BĐT:
2 2
ln ln ln lna b b a a b− > −

HD: Đưa BĐT về dạng tương đương
2 2
(1 )ln ln (1 )a b a b+ > +
2 2
ln ln
1 1
a b
a b
⇔ <
+ +
Xét hàm số
2
ln
( )
1
x
f x
x
=
+
với 0<x<1
( )
2
2
2
1 (1 2ln )
( ) 0
1
x x
f x

x x
+ −
′
= >
+
vì lnx<0 và 0<x<1
Suy ra f(x) đồng biến trên (0;1)
Mà 0<a<b<1 nên f(a)<f(b). Bài toán được chứng minh.
3. ĐH-A-2008. Giải phương trình:
2 2
2 1 1
log (2 1) log (2 1) 4
x x
x x x
− +
+ − + − =
HD: Với điều kiện
1
2
x >
, PT tương đương:
2 1 1
log (2 1)( 1) 2log (2 1) 4
x x
x x x
− +
− + + − =
2 1 1
log ( 1) 2log (2 1) 3
x x

x x
− +
⇔ + + − =
Đặt
2 1
log ( 1)
x
t x
−
= +
ta được:
2
3t
t
+ =
1
2
t
t
=

⇔

=

 Với t=1 ta có:
2 1
log ( 1) 1 1 2 1 2
x
x x x x

−
+ = ⇔ + = − ⇔ =
thỏa ĐK
1
2
x >
 Với t=2 ta có:
2
2 1
log ( 1) 2 1 (2 1)
x
x x x
−
+ = ⇔ + = −
2
4 5 0x x
⇔ − =
0
5
4
x
x
=


⇔

=

Do ĐK ta chỉ nhận

5
4
x
=
. ĐS: x=2,
5
4
x
=
4. ĐH-B- 08 Giải bất phương trình:
2
0,7 6
log log 0
4
x x
x
 
+
<
 ÷
+
 
HD:
2
2
6
0,7 6
2
6
log 0

4
log log 0
4
log 1
4
x x
x x
x
x
x x
x

+
>

 
+

+
< ⇔

 ÷
+
+
 

>

+


2
2
6
2
0
4
log 1
4
6
4
x x
x x
x
x
x x
x

+
>

+

+
⇔ > ⇔

+
+

>


+

2
6
4
x x
x
+
⇔ >
+
4 3 8x x
⇔ − < < − ∨ >
5. ĐH-B-08 Giải bất phương trình:
2
1
2
3 2
0
x x
x
− +
≥log
HD:
2
1
2
3 2
0
x x
x

− +
≥log
2
2
3 2
0
3 2
1
x x
x
x x
x

− +
>


⇔

− +

≤


2
0 1 2
4 2
0
x x
x x

x
< < ∨ >


⇔

− +
≤


2
0 1 2
4 2
0
x x
x x
x
< < ∨ >


⇔

− +
≤


( )
( )
0 1 2
0 2 2 2 2

x x
x x
< < ∨ >


⇔

< ∨ − ≤ ≤ +


( ) ( )
2 2 1 2 2 2x x⇔ − ≤ < ∨ < ≤ +
6. ĐH-A-07 Giải bất phương trình:
3 1
3
2log (4 3) log (2 3) 2x x
− + + ≤
HD: BPT tương đương

2
3 3
3
4
log (4 3) log (2 3) 2
x
x x

>




− − + ≤

2
3
3
4
(4 3)
log 2
2 3
x
x
x

>


⇔

−

≤

+

2
3
4
(4 3)
9

2 3
x
x
x

>


⇔

−

≤

+

2
3
4
8 21 9 0
x
x x

>

⇔


− − ≤


3
4
3
3
8
x
x

>


⇔


− ≤ ≤


3
3
4
x
⇔ < ≤
7. *ĐH-B-07 Giải phương trình:
( ) ( )
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
HD: Đặt
( )
2 1

x
t = +
ta được PT:
1
2 2t
t
+ =
2
2 2 1 0t t⇔ − + =
2 1 2 1t t⇔ = − ∨ = +
1 1x x
⇔ = − ∨ =
8. *ĐH-D-07 Giải phương trình:
2 2
1
log (4 15.2 27) log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
−
HD: Đặt t=2
x
, t>0 ta được:
2
2 2
1
log ( 15 27) log 0
4 3
t t

t
+ + + =
−
2
4
3
15 27 4 3
t
t t t

>

⇔


+ + = −

2
4
3
11 30 0
t
t t

>

⇔


+ + =


Phương trình vô nghiệm t nên phương trình đã cho vô
nghiệm x
9. *Tham khảo 2007. Giải BPT:
( )
2
4 2
log 8 log log 2 0
x
x x+ ≥
HD: ĐK: x>0, x≠1
Đưa về
2 2
1 1
3log 2 log log
2 2
x
x x+ = +
2
6
2 1 ( log )t t t x
t
⇔ + = + =
2
6 0t t⇔ − + =
3 2t t
⇔ = ∨ = −
1
8
4

x t⇔ = ∨ =
10. *Tham khảo 2007. Giải PT:
4 2
2 1
1 1
log ( 1) log 2
log 4 2
x
x x
+
− + = + +
.
HD: ĐK: x>1
Đưa về
2 2
2 1
1 1 1 1
log ( 1) log ( 2)
2 2log 2 2 2
x
x x
+
− + = + +
2 2 2
log ( 1) log (2 1) 1 log ( 2)x x x⇔ − + + = + +
2 2
log ( 1)(2 1) log 2( 2)x x x⇔ − + = +
2
2 3 5 0x x⇔ − − =
5

1
2
x x⇔ = − ∨ =
Do ĐK, chỉ nhận nghiệm
5
2
x =
11. Tham khảo 2007. Giải PT:
2
3
3
log ( 1) log (2 1) 2x x
− + − =
HD: ĐK x>1
Đưa về
3 3
2log ( 1) 2log (2 1) 2x x
− + − =
3
log ( 1)(2 1) 1x x
⇔ − − =
( 1)(2 1) 3x x⇔ − − =
2
2 3 2 0x x
⇔ − − =
1
2
2
x x
⇔ = ∨ = −

Do ĐK chỉ nhận x=2
12. *Tham khảo 2007. Giải PT:
3 9
3
4
(2 log )log 3 1
1 log
x
x
x
− − =
−
HD: ĐK x>0, x≠
1
9
Đưa về
3
3 3
1 4
(2 log ) 1
log 9 1 log
x
x x
− − =
−
3
3 3
2 log 4
1
2 log 1 log

x
x x
−
⇔ − =
+ −
3
2 4
1 ( log )
2 1
t
t x
t t
−
⇔ − = =
+ −
(2 )(1 ) 4(2 ) (2 )(1 )t t t t t⇔ − − − − = + −
2
4 0t t
⇔ + − =
1 17 1 17
2 2
t t
− − − +
⇔ = ∨ =
Do ĐK chỉ nhận
1 17
2
t
− +
=

13. Tham khảo 2007. Giải BPT:
( )
2
1
1log
2
1
132log
2
2
2
2
1
≥−++−
xxx
HD: ĐK
1
1
2
x x< ∨ >
Đưa về
( )
2
2 2
1 1 1
log ( 1)(2 1) log 1
2 2 2
x x x− − − + − ≥
( )
2

2
1
log 1
( 1)(2 1)
x
x x
−
⇔ ≥
− −
( )
2
1
2
( 1)(2 1)
x
x x
−
⇔ ≥
− −
2
3 4 1
0
( 1)(2 1)
x x
x x
− + −
⇔ ≥
− −
( 1)( 3 1)
0

( 1)(2 1)
x x
x x
− − +
⇔ ≥
− −
3 1
0
2 1
x
x
− +
⇔ ≥
−
1 1
3 2
x⇔ ≤ <
Kết hợp ĐK:
1
1
2
1 1
3 2
x x
x

< ∨ >





≤ <


1 1
3 2
x⇔ ≤ <
14. Tham khảo 2007. Giải BPT:
3x 1 2x x
2 7.2 7.2 2 0
+
− + − =
HD:
3 2
2 7 7 2 0 ( 2 , 0)
x
t t t t t− + − = = >
2
( 1)(2 5 2) 0t t t⇔ − − + =
1
1 2
2
t t t⇔ = ∨ = ∨ =
0 1 1x x x⇔ = ∨ = ∨ = −
15. *ĐH-A-2006 Giải phương trình
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
HD:
3 2 2 3

3.2 4.3 2 3 2 2.3 0
x x x x x x
+ − − =
Chia 2 vế của PT cho 3
3x
ta đươc:
3 2
2 2 2
3. 4 2 0
3 3 3
x x x
     
+ − − =
 ÷  ÷  ÷
     
Đặt
2
3
x
t
 
=
 ÷
 
, t>0 ta có:
3 2
3 4 2 0t t t+ − − =
2
1
3

t t⇔ = − ∨ =
Do ĐK ta chỉ nhận
2
3
t =
⇔ x=1
16. Tham khảo 2006 Giải PT
2
2
log 2 2log 4 log 8
x x
x
+ =
HD: ĐK x>0, x≠1, x≠
1
2
. PT tương đương với:
2 4
8
1 2 1
log log 2
log 2
x x
x
+ =
2 2 2
1 4 6
log 1 log 1 logx x x
⇔ + =
+ +

2 2
1 2
log 1 logx x
⇔ =
+
2 2
1 log 2logx x
⇔ + =
2
2x x
⇔ =
2x
⇔ =
17. ĐH-B-2006 Giải BPT
( ) ( )
x x 2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
−
+ − < + +
HD: Biến đổi BPT
( )
x
x 2
5 5
4 144
log log 5.2 5
16
−
 

+
< +
 ÷
 
x
x 2
4 144
5.2 5
16
−
+
⇔ < +
x x
4 -20.2 64 0⇔ + <
2
t -20.t 64 0(t=2 0)
x
⇔ + < >
( 4)( 16) 0t t⇔ − − <
4 16t
⇔ < <
2 4x
⇔ < <
18. Tham khảo 2006
3
1 8
2
2
log 1 log (3 ) log ( 1) 0x x x+ − − − − =
HD: ĐK 1<x<3. Biến đổi PT

2 2 2
log ( 1) log (3 ) log ( 1) 0x x x+ + − − − =
2
( 1)(3 )
log 0
1
x x
x
+ −
⇔ =
−
( 1)(3 )
1
1
x x
x
+ −
⇔ =
−
2
4 0x x⇔ − − =
1 17 1 17
2 2
x x
− +
⇔ = ∨ =
Do ĐK chỉ nhận
1 17
2
x

+
=
19. *Tham khảo 2006
1 2
2 2
9 10.3 1 0
x x x x+ − + −
− + =
HD:
2 2
1 10
9 .3 1 0
9 9
x x x x+ +
− + =
. Đặt
2
3 , 0
x x
t t
+
= >
Ta được
2
10 9 0t t− + =
1 9t t
⇔ = ∨ =
2 2
0 2 0x x x x⇔ + = ∨ + − =
2 1 0 1x x x x⇔ = − ∨ = − ∨ = ∨ =

20. ***ĐH-D-2006 CM với mỗi a>0 hệ sau có
nghiệm duy nhất
ln(1 ) ln(1 )
x y
e e x y
y x a

− = + − +

− =

HD: Biến đổi
ln(1 ) ln(1 ) 0
x a x
e e x a x
y x a
+

− − + + + + =

= +

Xét hàm số
( ) ln(1 ) ln(1 ), 1
x a x
f x e e x a x x
+
= − − + + + + > −
( ) ( 1) 0
(1 )(1 )

x a
a
f x e e
x x a
′
= − + >
+ + +
(vì a>0 và
x>−1)

1
lim ( ) , lim ( )
x
t
f x f x
→+∞
→−
+
= +∞ = −∞
, f(x) liên tục
trên
( 1; )− +∞
. Từ hai kết quả trên, f(x)=0 có
nghiệm x
0
trên
( 1; )− +∞
 Do
( ) 0, 1f x x
′

> ∀ > −
nên f(x)=0 có không
quá 1 nghiệm
 Kết luận f(x)=0 có nghiệm duy nhất x
0
và HPT
có nghiệm duy nhất.(x=x
0
;y=x
0
+a)
21. ĐH-D-2006 Giải PT
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x
+ −
− − + =
HD: Đặt
2
2
2
2
x x
x x
u
v
+
−


=



=

Suy ra
2
. 2
x
u v =
(u>0,v>0)
Phương trình thành:
u 4v uv 4 0
− − + =
u(1-v)+4(1-v)=0⇔
(u+4)(1-v)=0⇔
v=1
⇔
2
x 0x⇔ − =
x 0 1x
⇔ = ∨ =
22. Tham khảo 2006 Giải PT
( ) ( )
x x 1
3 3
log 3 1 log 3 3 6
+
− − =

HD: Đưa về:
( ) ( )
x x
3 3
log 3 1 log 3(3 1) 6− − =
( ) ( )
x x
3 3
log 3 1 1+log 3 1 6
 
⇔ − − =
 
( )
( )
x
3
(1 ) 6 log 3 1t t t⇔ + = = −
2
6 0t t⇔ + − =
2 3t t
⇔ = ∨ = −
( ) ( )
3 3
log 3 1 2 log 3 1 3
x x
⇔ − = ∨ − = −
1
3 1 9 3 1
27
x x

⇔ − = ∨ − =
28
3 10 3
27
x x
⇔ = ∨ =
3 3
28
log 10 log
27
x x⇔ = ∨ =
23. ***Tham khảo 2006 Giải HPT
2 2
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0.
x y x y
x xy y
+ − + = −


− + =

HD:
 Xét PT thứ nhất ln(1+x)-x=ln(1+y)−y
Đặt f(t)=ln(1+t)−t (t>−1)
1
( ) 1
1 1
t
f t

t t
−
′
= − =
+ +
Nếu −1<t<0 thì f’(t)>0, Nếu t>0 thì f’(t)<0
PT thành f(x)=f(y)
 Xét x
2
−12xy+20y
2
=0 ⇔ x=10y V x=2y
Nếu y=0 thì x=0 thỏa hệ PT
Nếu y>0 thì x=10y hay x=2y đều cho x>0, y>0
Nếu −1<y<0 thì x=10y hay x=2y đều cho x<0, y<0
Vậy y>−1 (y≠0) thì x,y cùng dấu và tính chất đơn điệu
của hàm số trên các khoảng
( )
1;0 ,(0; )− +∞
làm cho
PT đầu thành f(x)=f(y) ⇔ x=y
Hệ đã cho thành
1, 0
10 2
y y
x y x y
x y
> − ≠



= ∨ =


=

vô nghiệm
 Kết luận: hệ có nghiệm (x=0;y=0)
24. Tham khảo 2006 Giải
( )
2 4 2
1
2 log x 1 log x log 0
4
+ + =
HD: Đưa về
( )
2 2
log x 1 log x 2 0+ − =
.
Đặt t=log
2
x
2
t +t 2 0− = t=1 t= 2⇔ ∨ −
1
x=2 x=
4
⇔ ∨
25. *ĐH-B-2005 Giải hệ
x y

log ( x ) log y .
2 3
9 3
1 2 1
3 9 3

− + − =


− =


HD: Với điều kiện x≥1, 0<y≤2 ta có hệ tương đương
x y
log ( x) log y

− + − =


− =

 3 3
1 2 1
3 1
x y
x
log
y

− + − =


⇔

 
=

 ÷
 

3
1 2 1
3
1
x y
x y

− + − =

⇔

=


1 2 1
y x
x x
=


⇔


− + − =


1 2 1
Xét
x x− + − =1 2 1
(1≤1≤2) ta có
x x x x− + − + − − =1 2 2 1 2 1
x x⇔ − − =1 2 0
x x⇔ = ∨ =1 2
Nghiệm của hệ là
1 2
1 2
x x
y y
= =
 
∨
 
= =
 
26. ***ĐH-D-2005 CMR
12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x
     
+ + ≥ + +

 ÷  ÷  ÷
     
HD: Dùng BĐT Côsi ta có:
12 15 12 15
2 2.3
5 4 5 4
x x x x
x
       
+ ≥ =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
12 20 12 20
2 2.4
5 3 5 3
x x x x
x
       
+ ≥ =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
15 20 15 20
2 2.5
4 3 4 3
x x x x
x
       
+ ≥ =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       

Suy ra
12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
27. Tham khảo-2005 Giải
x x
x x
−
−
 
− ≤
 ÷
 
2
2
2
2
1
9 2 3
3
HD: Đặt
2
2
3 , 0

x x
t t
−
= >
ta có t
2
−2t−3≤0 ⇔ −1≤t≤3
BPT thành
2
2 2
3 3 2 0
x x
x x
−
≤ ⇔ − ≤
0 2x
⇔ ≤ ≤
28. ***Tham khảo-2005 Cho x +y +z = 0. CMR
x y z
.2 4 2 4 2 4 3 3
+ + + + + ≥
HD: Môt bài toán hay. Dự đoán x=y=z=0 thì “=” xảy
ra. Ta dùng BĐT Côsi với chú ý x=0 thì 4
x
=1.
3
2 4 1 1 4 3 4
x x x
+ = + + ≥
3

2 4 32
x
x
⇒ + ≥
Tương tự với y,z ta có:
x y z
x y z
 
+ + + + + ≥ + +
 ÷
 ÷
 
3 3 3
2 4 2 4 2 4 3 2 2 2
x y z
+ +
≥ =
3
3
3 3 2 3 3
(vì x+y+z=0)
29. ĐH-A-2004 Giải HPT:
log (y x) log
y
x y
1 4
4
2 2
1
1

25

− − =



+ =

HD:
log (y x) log
y
x y
1 4
4
2 2
1
1
25

− − =



+ =

log (y x) log y
x y
− − + =

⇔


+ =

4 4
2 2
1
25
y , y x
y
log
y x
x y

> >


⇔ =

−


+ =

4
2 2
0
1
25
y , y x
y

y x
x y

> >


⇔ =

−


+ =

2 2
0
4
25
y , y x
x
y
x y
> >



⇔ =



+ =


2 2
0
4
3
25
y , y x
x
y
x
> >



⇔ =



=

2
0
4
3
9
y , y x y , y x
y y
x x
> > > >
 

 
⇔ = ∨ = −
 
 
= = −
 
0 0
4 4
3 3
x
y
=

⇔

=

3
4
30. Tham khảo-2004 Giải BPT
(
)
log log x x x .
2
2
4
2 0
π
 
+ − <

 
 
HD:
(
)
log log x x x .
2
2
4
2 0
π
 
+ − <
 
 
(
)
(
)
log x x x
log x x x

+ − >

⇔


+ − >

2

2
2
2
2 0
2 1
(
)
log x x x⇔ + − >
2
2
2 1
x x x
x x x

+ − >

⇔


+ − >

2
2
2 0
2 2
x x x⇔ + − >
2
2 2
x x x⇔ − > −
2

2 2
x x
x x x x x x
− < − ≥
 
⇔ ∨
 
− ≥ − > − +
 
2 2 2
2 0 2 0
2 0 2 4 4
x
x
x x
x x
≤
> 

⇔ ∨
 
≤ ∨ ≥
+ − >


2
2
2
0 2
3 4 0

x
x
x x
≤

⇔ > ∨

< − ∨ >

2
2
4 1
( ) ( )
x x⇔ < − ∨ <4 1
31. Tham khảo-2004 Giải BPT
2 2
1 3
log log
2 2
2. 2
x x
x
≥
HD:
2 2
1 3
log log
2 2
2. 2
x x

x
≥
2 2
1 3
log log
2 2
2 2
log 2. log 2
x x
x
 
⇔ ≥
 ÷
 
2 2
1 3
1 log log
2 2
x x
⇔ + ≥
2
1 log x
⇔ ≥
0 2x
⇔ < ≤
32. ***Tham khảo-2004 CMR phương trình sau
có nghiệm duy nhất
( )
1
1 ( 0)

x
x
x x x
+
= + >
HD:
( )
1
1
x
x
x x
+
= +
( )
1
ln ln 1
x
x
x x
+
⇔ = +
( )
( 1)ln ln 1x x x x⇔ + = +
( 1)ln ln( 1) 0x x x x⇔ + − + =
Đặt
( ) ( 1) ln ln( 1)f x x x x x= + − +
1 1
( ) ln ln( 1)
1

f x x x
x x
′
= − + + +
+
2
2 2
1
( ) 0
( 1)
x x
f x
x x
− − −
′′
= <
+
Suy ra f’(x) nghịch biến trên
R
+
Mà:
1 1
lim ( ) lim ln 0
1 1
x x
x
f x
x x x
→+∞ →+∞
 

′
= + + =
 ÷
+ +
 
⇒ f’(x)>0 với mọi x>0 ⇒ f(x) đồng biến trên R
+
0
lim ( )
x
f x
+
→
= −∞
f(e)=e+1−eln(e+1)>0
Vậy có x
0
thuộc (0;e) để f(x
0
)=0 và x
0
là nghiệm duy
nhất.