Chuyên đề phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

MỤC LỤC
Nội dung

Trang

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

2

1. Lí do chọn chuyên đề.

2

2. Mục đích nghiên cứu.

2

3. Đối tượng nghiên cứu.

3

4. Phạm vi nghiên cứu.

3

5. Phương pháp nghiên cứu.

3

6. Tài liệu tham khảo

3

PHẦN II: NỘI DUNG

4

1. Cơ sở khoa học của chuyên đề.

4

1.1. Cơ sở lý luận.

4

1.2. Cơ sở thực tiễn.

4

2. Biện pháp thực hiện.

5

3. Nội dung chuyên đề.
PHẦN III: KẾT LUẬN

6

Trường THCS Tề Lỗ

1

40

Năm học: 2014 - 2015


Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

CHUYÊN ĐỀ
“ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ”
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1- Lí do chọn chuyên đề
Đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi là công tác mũi nhọn của ngành giáo dục
và đào tạo. Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi
là một nhu cầu cấp thiết của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc đào tạo, bồi
dưỡng nhân tài cho đất nước. Chính vì vậy, trong những năm gần đây, việc đào tạo,
bồi dưỡng học sinh giỏi được ngành giáo dục hết sức chú trọng.
Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Là
một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm
lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chương
trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học, để từ đó tìm
ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáo
viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán thường xuyên phải làm.
Trong công tác giảng dạy bộ môn toán, việc đào tạo bồi dưỡng những học
sinh có năng khiếu về bộ môn toán giúp cho các em trở thành những học sinh giỏi
thực sự về bộ môn toán là một công tác mũi nhọn trong công tác chuyên môn được
ngành giáo dục hết sức chú trọng. Các cuộc thi học sinh giỏi các cấp được tổ chức
thường xuyên mỗi năm một lần đã thể hiện rõ điều đó.

Chương trình toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh
giỏi, trong đó chuyên đề : “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” là
một trong những chuyên đề giữ một vai trò quan trọng, nó giúp cho học sinh hình
thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại số. Chẳng hạn, để thực
hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa thức thành
nhân tử, hay việc giải một phương trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu học
sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong
nhiều đề thi học sinh giỏi cấp huyện, Tỉnh, … nhiều năm cũng có những bài toán
về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. Chính vì vậy, việc bồi dưỡng cho
học sinh chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề mà
bản thân nhóm toán chúng tôi hết sức quan tâm.
Vì vậy nhóm toán chúng tôi quyết định chọn chuyên đề : “ Phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử ”
2- Mục đích nghiên cứu.
Thông qua chuyên đề chúng tôi muốn trao đổi thêm với các bạn đồng nghiệp
trong cụm 1 về một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giáo viên
nâng cao kiến thức cho học sinh. Từ đó:
- Trang bị cho học sinh một cách có hệ thống các phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt các dạng
toán này.
- Giúp cho học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức thành
nhân tử.
- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh.
Trường THCS Tề Lỗ

2

Năm học: 2014 - 2015

Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

- Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán
từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh.
3- Đối tượng nghiên cứu
Các Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phục vụ cho dạy học sinh
đại trà và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9.
4 - Phạm vi nghiên cứu
“ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”
5- Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện chuyên đề này, chúng tôi sử dụng những phương pháp sau đây
a) Phương pháp nghiên cứu lý luận
b) Phương pháp khảo sát thực tiễn
c) Phương pháp quan sát
d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hoá
e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
6- Tài liệu tham khảo
Để thực hiện chuyên đề này chúng tôi đã sử dụng một số tài liệu sau:
- Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 8, Toán 9
- Chuyên đề bồi dưỡng đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn)
- “23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp” của nhóm tác giả: Nguyễn
Văn Vĩnh - Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồng nghiệp

Trường THCS Tề Lỗ

3

Năm học: 2014 - 2015

Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

PHẦN II: NỘI DUNG

1.Cơ sở khoa học của chuyên đề.
1.1. Cơ sở lí luận.
Môn Toán là một môn khoa học quan trọng, nó là cầu nối các ngành khoa
học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội và với
mỗi cá nhân, rèn luyện cho người học tư duy lôgic sáng tạo khoa học.
Đối với học sinh bậc THCS, các em là những đối tượng người học nhạy
cảm việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi mới là cần thiết và thiết thực.
Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu tư duy, khả năng tư duy tích cực, chủ
động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại niềm vui, hứng
thú học tập cho học sinh? Trước vấn đề đó người giáo viên cần phải không ngừng
tìm tòi khám phá, khai thác, dạy học phân hóa, dạy sát đối tượng học sinh, quan
tâm bồi dưỡng học sinh giỏi.
1.2. Cơ sở thực tiễn.
Trong thực tế giảng dạy toán ở trường THCS việc giúp cho học sinh có kỹ
năng giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán liên quan
là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được. Để làm được điều này thì
người thầy phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản về các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Để phân tích đa thức thành nhân tử có bốn phương pháp cơ bản đó là: Đặt
nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử và phối hợp nhiều phương
pháp (sgk - Toán 8 Tập 1) nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên thì học sinh sẽ
gặp khó khăn trong quá trình giải toán ( có những bài chưa thể giải được hoặc
không có phương pháp tổng quát để giải ). Vì vậy khi dạy các phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng cho học sinh các phương pháp
khác ngoài sgk như: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt một hạng tử,
đặt ẩn phụ (đổi biến) hệ số bất định, xét giá trị riêng, … Để giúp các em biết lựa

chọn các phương pháp thích hợp khi gặp các dạng toán khó.
Trong quá trình giảng dạy chúng tôi gặp những thuận lợi và khó khăn như
sau:
a) Thuận lợi:
- Đội ngũ giáo viên của nhà trường được đào tạo cơ bản trình độ đã đạt
chuẩn và trên chuẩn.
- Tập thể có tinh thần đoàn kết cao, hoà nhã trong quan hệ, tương trợ giúp đỡ
lẫn nhau trong khó khăn và trong công việc.
- Hầu hết các giáo viên rất ham học hỏi, nghiên cứu soạn bài, thường xuyên
sử dụng đồ dùng trong giảng dạy và dạy đúng phương pháp bộ môn.
- Luôn được sự quan tâm và chỉ đạo sát sao của BGH, chi bộ Đảng đã giúp
đỡ tổ để tổ hoàn thành tốt nhiệm vụ.
- Cơ sở vật chất của nhà trường tương đối đầy đủ, các phòng học bộ môn
đều có đủ và hoạt động tốt thuận tiện cho giảng dạy của giáo viên.
- Học sinh có nề nếp, đa số có ý thức học tập và rèn luyện đạo đức.

Trường THCS Tề Lỗ

4

Năm học: 2014 - 2015


Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

- Nhận thức của phụ huynh ngày càng nâng cao là điều kiện tốt để phối hợp
giáo dục giữa Gia đình - Nhà trường - Xã hội.
b) Khó khăn:
- Trong tổ có nhiều môn khác nhau nên khó trong việc bồi dưỡng và giúp đỡ
lẫn nhau về chuyên môn.

- Một số giáo viên năng lực tổ chức lớp còn hạn chế.
- Số giáo viên có chuyên môn nghiệp vụ giỏi còn ít, một số giáo viên còn
chưa linh hoạt trong việc áp dụng các phương pháp mới vào trong dạy học.
- Một số giáo viên áp dụng CNTT vào dạy học còn chưa thành thạo, phòng
học có máy chiếu còn ít nên sử dụng giáo án điện tử trong mỗi tiết chưa nhiều.
- Số học sinh giỏi ở tiểu học đạt giải huyện, tỉnh, quốc gia đều chuyển đi học
trường chuyên nên không có nguồn để bồi dưỡng.
- Vẫn còn một bộ phận học sinh còn chưa cố gắng trong học tập, ý thức đạo
đức chưa tốt.
- Thiết bị dạy học của một số môn còn thiếu, những thiết bị hỏng còn chưa
được thay thế.
2. Biện pháp thực hiện:
- Cần soạn giảng hệ thống câu hỏi ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu
- Nên tạo ra tình huống có vấn đề trong giảng dạy để kích thích tư duy và kĩ
năng thực hành của học sinh.
- Giáo viên nên thường xuyên động viên khen ngợi các em, hướng dẫn các
em cách ghi chép, cách học và làm bài tập ở nhà, ra các bài tập có cùng dạng như
các bài đã được học.
- Khi ra bài tập cho học sinh, giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện một số
nội dung sau:
+ Đọc kỹ nội dung bài ra.
+ Nhận dạng bài toán thuộc dạng toán nào, thực hiện phép " Quy lạ về quen ".
+ Xác định rõ yêu cầu của bài toán.
+ Xác định đúng bài cho biết gì? Viết điều cho biết dưới dạng khác được không?
+ Kiểm tra xem đã vận dụng hết điều đề bài cho biết chưa, sử dụng những
kiến thức nào ở trong bài? Vận dụng như thế nào ?
+ Tự mình tiến hành trình bày lời giải.
+ Đối chiếu với cách giải của bạn, của thầy.
+ Tìm thêm các lời giải khác cho bài toán ( nếu được ).
+ Rút ra kinh nghiệm cho bản thân.

- Giáo viên cần đưa ra các dạng bài tập với mức độ từ thấp đến cao, nâng
mức độ khó dần ( kể cả kiến thức lẫn kĩ năng).

Trường THCS Tề Lỗ

5

Năm học: 2014 - 2015


Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

3. Nội dung chuyên đề.
A - Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
1- Định nghĩa:
Phân tích đa thức thành nhân tử ( hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành
một tích của những đa thức.
2 - Các phương pháp cơ bản
2.1: Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung
a) Phương pháp:
- Tìm nhân tử chung là các đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử
- Phân tích mỗi hạng tử thành các nhân tử chung và một nhân tử khác
- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi
hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng) nhằm đưa về dạng:
A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)
b) Ví dụ
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = 14x2y - 21xy2 + 28x2y2
Giải: Ta có:
A = 14 x 2 y  21xy 2  28 x 2 y 2  7 xy.2 x  7 xy.3 y  7 xy.4 xy
=7xy.(2x-3y+4xy)

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = 15x2y2 - 9x3y + 3x2y3
Giải: Ta có:
B = 15 x 2 y 2  9 x3 y  3x 2 y 3 = 3x 2 y.5 y  3x 2 y.3 x  3x 2 y. y 2
= 3x 2 y(5 y  3x  y 2 )
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax by)
Giải: Ta có:
A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by)
= 2x2 (ax + 2by + ax – by)
=2x2(2ax + by)
Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)
Giải: Ta có:
A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)
= (y – 2z)(16x2 – 10y)
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)
Giải: Ta có:
P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)
= (5y+2b)[(2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax)]
= (5y + 2b)(- 4a2 + ax)
= (5y + 2b)(x – 4a)a
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2
Giải: Ta có:
B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2
Trường THCS Tề Lỗ

6

Năm học: 2014 - 2015

Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

= 3x(y – 2z)[(x – 5(y – 2z)]
=3x(y – 2z)(x – 5y + 10z)
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d)
Giải: Ta có:
C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d)
= (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax)
= (5c + 2d)(ax – 4a2)
= a(5c + 2d)(x – 4a)
2.2: Phương pháp 2: Dùng hằng đẳng thức
a) Phương pháp:
Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dưới dạng “ tổng hoặc hiệu ” đưa về
dạng “ tích ”
1) A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2) A2 - 2AB + B2 = (A -B)2
3) A2 - B2 = (A - B)(A + B)
4) A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3
5) A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 = (A - B)3
6) A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
b) Ví dụ:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = 9x2 + 6xy + y2
Giải: Ta có:
A = 9x2 + 6xy + y2
= (3x)2 + 2.3x.y + y2
= (3x + y)2
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : B = 4x2 - 12x + 9

Giải: Ta có:
B = 4x2 - 12x + 9
= (2x)2 - 2.2x.3 + 32
=(2x - 3)2
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) (x + y )2 - (x - y)2 = [(x + y) - (x - y)].[(x + y) + (x - y)]
= (x + y - x + y)(x + y + x - y)
= 2y.2x = 4xy
2
2
2
b) 9x - 4 = (3x) - 2 = (3x - 2)(3x + 2)
c) 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2
= (x - 3y)(7x + y)
Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3
Giải: Ta có:
P = 8x 3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y
+3.2x.y2 + y3
= (2x + y)3
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Trường THCS Tề Lỗ

7

Năm học: 2014 - 2015


Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

Q = 27 - 27x + 9x2 - x3

Giải: Ta có:
Q = 27 - 27x + 9x2 - x3 = 33 - 3. 32.x + 3.3.x2 - x3
= (3 - x)3
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = 8x3 + y3
Giải: Ta có:
A = 8x3 + y3 = (2x)3 + y3
= (2x + y)(4x2 - 2xy + y2)
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : B = 1 - 27x3y6
Giải: Ta có:
B = 1 - 27x3y6 = 13 - (3xy2)3 = (1 - 3xy2)[12 +
1.3xy2 + (3xy2)2]
= (1 - 3xy2)(1 +
3xy2 + 9xy4)
*) Chú ý: Đôi khi cần phải đổi dấu các hạng tử mới áp dụng được hằng
đẳng thức
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = -x4y2 - 8x2y - 16
Giải: Ta có:
A = -x4y2 - 8x2y - 16 = -(x4y2 + 8x2y + 16)
= -[(x2y)2 + 2.x2y.4 + 42]
= -(x2y + 4)2
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = 16x2 + 40x + 25
Giải: Ta có:
A = 16x2 + 40x + 25
= (4x)2 + 2.4.5.x + 52
= (4x + 5)2
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x –
3)
Giải: Ta có:
Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)

= (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1)
= (x – 1)( x2 + x + 1 + 5x + 5 + 3)
= (x – 1)( x2 + 6x + 9)
= (x – 1)(x + 3)2
Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = (x + y)3 +(x - y)3
Giải: Ta có:
Cách 1: A = (x + y)3 +(x - y)3
= [(x + y) +(x - y)]3 – 3[(x + y) +(x - y)] (x + y)(x - y)
= 8x3 – 3.2x(x2 – y2)
= 2x[4x2 – 3(x2 – y2)]
= 2x(x2 + 3y2)
Cách 2: A = (x + y)3 +(x - y)3
Trường THCS Tề Lỗ

8

Năm học: 2014 - 2015


Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

= [(x + y) +(x - y)][(x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2 ]
= 2x[2(x2 + y2) - (x2 – y2)]
= 2x(x2 + 3y2)
Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3
Giải: Dễ thấy : x – y =(x – z) + (z – y)
Từ đó ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) +
(z – y))
= - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y)
= 3(z – x)(y – z)(x – y)

Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (a + b+ c)3 – (a3 + b3+ c3)
Giải: Ta có:
A = (a + b+ c)3 –(a3 + b3+ c3)
= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+
c3)
= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3
+ b3+ c3)
= 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c)
= 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc)
= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)
= 3(b + c)(a + b)(a + c)
Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = x8 – 28
Giải: Ta có:
P = x 8 – 28
= (x4 + 24) (x4 - 24)
= (x4 + 24)[(x2)2 – (22)2 ]
= (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22)
= (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2)
2.3 - Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử
a) Phương pháp
Lựa chọn các hạng tử “ thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện
một trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung hoặc là dùng hằng đẳng thức và
bước tiếp theo phải thực hiện được.
b) Ví dụ:
*) Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp nhân tử chung
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) x2 - xy + x - y
b) xy - 5y + 2x - 10
c) 2xy

+ z + 2x + yz
Giải: Ta có:
a) Cách 1: x2 - xy + x - y = (x2 - xy)+ (x - y)
= x(x - y ) + 1.(x - y)
= (x - y)(x + 1)
Trường THCS Tề Lỗ

9

Năm học: 2014 - 2015


Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

Cách 2: x2 - xy + x - y = (x2 + x) - (xy + y)
= x(x + 1) - y(x + 1)
=(x + 1)(x - y)
b) xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x - 10)
= y(x - 5) + 2(x - 5)
= ( x - 5)(y +2)
c) 2xy +z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1)
= (y + 1)(2x + z)
*) Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp hằng đẳng thức
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) x2 - 2x + 1 - 4y2
b) x2 + 4x - y2 + 4
Giải: Ta có:
a) x2 - 2x + 1 - 4y2 = (x2 - 2x + 1 ) - (2y)2
= (x - 1)2 - (2y)2

= (x - 1 - 2y)(x - 1 + 2y)
2
2
b) x + 4x - y + 4 = (x2 + 4x + 4) - y2
= (x + 2)2 - y2
= (x + 2 - y)(x + y + 2)
*) Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) x2 - 2 - 4y2 - 4y
b) x 3 - x + 3x2y +
3xy2 + y3 - y
Giải: Ta có:
a) x2 - 2x -4y2 - 4y = (x2 - 4y2) - ( 2x + 4y)
= (x - 2y)(x + 2y) - 2(x + 2y)
= (x + 2y)(x - 2y -2)
3
2
b) x - x + 3x y + 3xy2 + y3 - y = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) ( x + y)
= (x + y)3 - ( x + y)
= (x + y) [(x + y)2 - 1]
= (x + y)[ (x + y - 1)(x +
y + 1)]
*) Chú ý: Trong quá trình nhóm các hạng tử phải chú ý dấu của các hạng tử
sau khi nhóm
Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B = x3 + 3x2 + 2x + 6
Giải: Ta có:
B = x3 + 3x2 + 2x + 6
= x2(x + 3) + 2( x + 3)
= (x2 + 2)(x + 3)
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = 6z3 + 3z2 + 2z +1

Giải: Ta có:
A = 6z3 + 3z2 + 2z +1
= 3z2(2z + 1) + (2z + 1)
Trường THCS Tề Lỗ

10

Năm học: 2014 - 2015


Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

= (2z + 1)(3z2 + 1)
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A= 4x5 +6x3 +6x2 +9
Giải: Ta có:
A = 4x5 +6x3 +6x2 +9
= 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3)
= (2x3 + 3)(2x2 + 3)
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B = x6 + x4 + x2 + 1
Giải: Ta có:
B = x6 + x4 + x2 + 1
= x4(x2 + 1) + ( x2 + 1)
= (x2 + 1)(x4 + 1)
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B = x2 + 2x + 1 – y2
Giải: Ta có:
B = x2 + 2x + 1 – y2
= (x2 + 2x + 1) – y2
= (x + 1)2 – y2 = (x +1 – y)(x + 1 + y )
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = 2xy + z + 2x + yz
Giải: Ta có: P = 2xy + z + 2x + yz

= (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1)
= (y + 1)(2x + z)
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz
Giải: Ta có:
A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz
= (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz)
= (x + y)2 – z(x + y)
= (x + y)(x + y – z)
Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2
– zy2
Giải: Ta có:
B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2
= (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2)
= x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y)
= x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z)
= (y – z)((x(y + z) – yz – x2))
= (y – z)((xy – x2) + (xz – yz)
= (y – z)(x(y – x) + z(x – y))
= (y – z)(x – y)(z – x)
Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy
Giải: Ta có:
Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy
= 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1)
= 3xy[(x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2)]
Trường THCS Tề Lỗ

11

Năm học: 2014 - 2015


Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

= 3xy[(x – 1)2 – (y + z)2 ]
= 3xy[(x – 1) –(y + z)][(x – 1) + ( y+ z)]
= 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)
Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = xm + 4 + xm + 3 – x - 1
Giải: Ta có:
A = xm + 4 + xm + 3 – x – 1
= xm + 3(x + 1) – ( x + 1)
= (x + 1)(xm + 3 – 1)
Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x
– y)
Giải: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số
chung y - z
Ta có: P = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2
= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2)
= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z)
= (y – z)((x2 + yz – x(y + z))
= (y – z)(x2 + yz – xy – xz)
= (y – z)(x(x – y) – z(x – y))
= (y – z)(x – y)(x – z)
Nhận xét: Dễ thấy z – x = -[(y – z) + (x – y)]
Nên :
P = x2(y – z) - y2[(y – z) + (x – y)] + z2(x – y)
=(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2)
= (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y)
= (y – z) (x – y)[x + y – (z + y)]

= (y – z) (x – y)(x – z)
Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = ( a + b + c)(bc + ca + ab)
- abc
Giải: Ta có:
A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b)
= ( a + b)(bc + ca + ab + c2)
= ( a + b)( c(b + c) + a(b + c))
= ( a + b)(b + c)(c + a)
Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc
Giải: Ta có:
Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc
= (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 +
abc)
= ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c)
= ( a + b + c)(ab + bc + ca)
Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Trường THCS Tề Lỗ

12

Năm học: 2014 - 2015


Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc

Giải: Ta có:
A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc
= (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+
2abc)
= 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b)
= (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc)
= (a + 2b)[a(2b – c) – c(2b –c)]
= (a + 2b)(2b – c)(a – c)
Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)
Giải: Ta có:
P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)
= 4x2y2(2x + y) + z2[y2(z – y) – 4x2(2x + z)]
= 4x2y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z)
= 4x2y2(2x + y) + z2[z(y2 – 4x2) – (y3 + 8x3)]
= 4x2y2(2x + y) + z2[z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y 2 –
2xy + 4x2)]
= (2x + y)( 4x2y2 + z3 – 2xz3 – z2y2 + 2xyz2 – 4x2z2)
= (2x + y)[4x2(y2 – z2) – z2y (y – z) +2xz2( y – z)]
= (2x + y)(y – z)(4x2y + 4x2z – z2y + 2xz2)
= (2x + y)( y – z)[y(4x2 – z2) + 2xz(2x + z)]
= (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz)
Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4
Giải: Ta có:
B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4
= (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 )
= (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 )
= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2
+ b4) – a2b2

= (a + b)( a 2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2–
a2b2
= (a + b)( a 2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab +
b2 )(a2 - ab + b2 )
= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1))
= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1)
2.4 - Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp
a) Phương pháp
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt
nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toán một
cách cụ thể mối quan hệ giữa các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp
Khi phân tích đa thức thành nhân tử nên thực hiện theo các bước sau:
+ Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung
Trường THCS Tề Lỗ

13

Năm học: 2014 - 2015


Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

+ Dùng hằng đẳng thức nếu có
+ Nhóm nhiều hạng tử ( thường mỗi nhóm có nhân tử chung hoặc là
hằng đẳng thức) nếu cần thiết phải đặt dấu “ - ” trước dấu ngoặc và đổi dấu các
hạng tử
b) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Bài 1: 3xy2 - 12xy + 12x = 3x(y2 - 4y +4)
(Đặt nhân tử
chung)

= 3x(y - 2)2
(Dùng hằng đẳng
thức)
Bài 2: 2x2 + 4x + 2 -2y2 = 2(x2 + 2x + 1 - y2)
(Đặt nhân tử
chung)
= 2[( x2 + 2x + 1) - y2] ( Nhóm các hạng
tử)
= 2[( x+ 1)2 - y2]
(Dùng hằng đẳng
thức)
= 2(x + 1 - y)(x + 1 + y)
2
2
Bài 3: 2x - 2y - x + 2xy - y = ( 2x - 2y) - (x 2 - 2xy + y2 ) ( Nhóm các
hạng tử)
= 2(x - y) - (x - y)2
(Dùng
hằng đẳng thức)
= (x - y)[2 - (x - y)]
(Đặt nhân
tử chung)
= (x - y)(2 - x + y)
2 2
4 2
3 4
Bài 4: 5x y - 10x y - 5x y - 10x3y2z2 + 5x3y2
= 5x3y2(x2 - 2x - y2 -2yz - z2 + 1)
(Đặt nhân tử
chung)

= 5x3y2[( x2 - 2x + 1) - (y2 + 2yz + z2)
( Nhóm các hạng
tử)
= 5x2y2[(x - 1)2 - (y - z)2]
(Dùng hằng đẳng thức)
2 2
= 5x y ( x - 1 - y - z)( x - 1 + y + z)
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3
Gợi ý: Áp dụng hằng đẳng thức : (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)
Suy ra hệ quả sau: A3 + B3 + (A + B)3 - 3AB(A + B)
Giải: Ta có:
A = (x + y + z) 3 - x3 - y3 - z3 = [(x + y )+ z]3 - x3 - y3 z3
= (x + y)3 + z3 + 3z( x + y)(x + y
+ z)- x3 - y3 - z3
= [(x + y)3 -x3 - y3] + 3z(x + y)( x
+ y + z)
= 3xy(x + y)(xy + xz + yz + z2)
= 3(x + y)(y + z)(x + z)
Từ bài 5: Ta có thể mở rộng cho các bài tập sau:
Bài 5.1: Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên
Trường THCS Tề Lỗ

14

Năm học: 2014 - 2015


Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

Bài 5.2: Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 = 3xyz
Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y) và x + y + z = 0;
Suy ra x = y = z
3. Các phương pháp khác (nâng cao)
3.1: Phương pháp 5: Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
a) Phương pháp:
- Tách một trong các hạng tử của đa thức thành hai hạng tử để đa thức xuất
hiện dạng nhân tử chung hoặc có dạng hằng đẳng thức
b) Ví dụ:
Bài 1: Phân tích đa thức x2 - 6x + 8 thành nhân tử
Quan sát đa thức trên ta thấy các hạng tử không có nhân tử chung, cũng
không có dạng hằng đẳng thức nào và cũng không thể nhóm các hạng tử. Như vậy
để phân tích đa thức trên thành nhân tử ta cần phải có cách biến đổi khác. Ta biến
đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn bằng cách tách một trong các
hạng tử của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử.
Giải:
Cách 1: (Tách hạng tử x2)
x2 - 6x + 8
= 3x2 - 6x -2x2 + 8
= 3x(x - 2) - 2(x2 - 4)
= (x - 2)[3x - 2(x + 2)]
= (x - 2)(x - 4)
Cách 2 : (Tách hạng tử -6x)
x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8
= x(x - 2) - 4(x - 2)
= (x - 2)(x - 4)
Cách 3: (Tách đồng thời hạng tử bậc nhất và hạng tử tự do)
x2 - 6x + 8
= x2 - 4x + 4 - 2x + 4
= (x - 2)2 - 2(x - 2)

= (x - 2)(x - 4)
Cách 4: (Tách hạng tử tự do)
x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1
= (x - 3)2 - 1 =(x - 2)(x - 4)
x2 - 6x + 8 = x2 - 4 - 6x + 12
= (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2)
= (x - 2)(x - 4)
2
x - 6x + 8 = x2 - 16 - 6x + 24
= (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4)
= (x - 4)(x - 2)
Bài 2: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 - 8x + 4 thành nhân tử
Giải: Cách 1: (Tách hạng tử bậc hai: 3x2 )
3x2 - 8x + 4 = 4x2 - 8x + 4 - x2
= (2x - 2)2 - x2
= (2x - 2 - x)(2x - 2 + x)
Trường THCS Tề Lỗ

15

Năm học: 2014 - 2015


Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

= (x - 2)(3x - 2)
Cách 2: (Tách hạng tử bậc nhất: -8x)
3x2 - 8x + 4 = 3x2 - 6x - 2x + 4
= 3x( x - 2) - 2(x - 2)
= (x - 2)(3x - 2)

Cách 3: (Tách hạng tử tự do: 4)
3x2 - 8x + 4 = 3x2 - 12 - 8x + 16
= 3(x2 - 22) - 8(x - 2)
= 3(x - 2)(x + 2) - 8(x - 2)
= (x - 2)(3x + 6 - 8)
= (x - 2)(3x - 2)
*) Khai thác cách giải tách hạng tử bậc nhất:
Nhận xét: Trong các cách giải trên, ở cả hai bài tập ta thấy cách 2 là đơn giản
nhất và dễ làm nhất.Ở đây ta đã tách hạng tử bậc nhất -8x (bài 2) thành hai hạng tử
-6x và -2x
Phân tích: Trong đa thức 3x2 - 8x + 4 có a = 3, b = -8, c = 4
Tính tích a.c và phân tích a.c = b1.b2 sao cho b1+ b2 = b
(a.c = b1.b2 = 3.4 = (-6).(-2)= 12; b1 + b2 = b = (-6) + (-2) = -8)
Tổng quát:
Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử ta đưa về dạng
ax2 + b1x + b2x + c bằng cách tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho =
hay b1.b2 = a.c
Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Lập tích a.c
Bước 2: Phân tích ac thành tích thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách
Bước 3: Chọn hai thừa số có tổng bằng b
Áp dụng: Phân tích đa thức: -6x2 + 7x - 2 thành nhân tử
Ta có: a = -6 ; b = 7; c = -2
Bước 1: ac = (-6).(-2) = 12
Bước 2: ac = (-6).(-2) = (-3).(-4) = (-12).(-1) = 12.1 = 3.4 = 6.2
Bước 3: b = 7 = 4 + 3
Vậy ta tách hạng tử: 7x = 4x + 3x
Khi đó ta có lời giải: - 6x2 + 7x - 2 = -6x2 + 4x + 3x - 2
= (-6x2 + 4x ) + (3x 2)
= 2x(3x - 2) + (3x + 2)

= (3x - 2)(-2x +1)
Chú ý: Đối với đa thức có từ bậc 3 trở lên, để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ
tuỳ theo đặc điểm của các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp nhằm để vận
dụng phương pháp nhóm hoặc hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung.
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: n3 - 7n + 6
Giải: Ta có: n3 - 7n + 6 = n3 -n -6n + 6
= n(n2 - 1) - 6(n - 1)
Trường THCS Tề Lỗ

16

Năm học: 2014 - 2015


Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

=
=
=
=
=
=

n(n - 1)(n + 1 - 6(n - 1)
(n - 1)[n(n + 1) - 6]
(n - 1)(n2 + n - 6)
(n - 1)(n2 - 2n + 3n - 6)
(n - 1)(n (n -2) + 3 (n - 2))
(n - 1) (n - 2)(n + 3)

Bài 4: Phân tích đa thức x4 - 30x2 + 31x - 30 thành nhân tử
Giải: Ta có: x4 - 30x2 + 31x - 30 = x4 + x - 30x2 + 30x - 30
= x(x3 + 1) - 30(x2 - x +
1)
= x(x + 1)(x2 - x + 1) 30(x2 - x + 1)
= (x2 - x + 1)(x2 + x - 30)
= (x2 - x + 1)(x - 5)(x + 6)
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 – 6x + 5
Giải: Ta có:
Cách 1:
A = x2 – 6x + 5
= x2 – x – 5x + 5
= x(x – 1) – 5(x – 1)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 2 : A = x2 – 6x + 5
= (x2 - 2x + 1) – 4x + 4
= (x – 1)2 – 4(x – 1)
= (x – 1)(x – 1 - 4)
= (x – 1)(x – 5)
2
Cách 3 : A = x – 6x + 5
= (x2 – 6x + 9) – 4
= (x – 3)2 – 4
= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 4 : A = x2 – 6x + 5
= (x2 – 1) – 6x + 6
= (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1)
= (x – 1)( x + 1 – 6)
= (x – 1)(x – 5)

Cách 5 : A = x2 – 6x + 5
= (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + 2
= 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1)
= 3(x – 1)(3(x – 1) – 2 ( x + 1))
= (x – 1)(x – 5)
Cách 6 : A = x2 – 6x + 5
= (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + 4
= (x – 1)2 – 4x(x – 1)
Trường THCS Tề Lỗ

17

Năm học: 2014 - 2015


Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

= (x – 1)( (5(x – 1) – 4x))
= (x – 1)(x – 5)
Cách 7 : A = x2 – 6x + 5
= (6x2 – 6x) – 5x2 + 5
= 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1)
= (x – 1)(6x – 5(x + 1))
= (x – 1)(x – 5)
Cách 8 : A = x2 – 6x + 5
Đặt: f(x) = x2 – 6x + 5
Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho(x- 1).
Thực hiện phép chia f(x) cho (x - 1) được thương là (x – 5).
Vậy: A = (x – 1)(x – 5)
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : B = x4 + 2x2 - 3

Giải: Ta có:
Cách 1: B = x4 + 2x2 - 3
= x4 – x2+ 3x2 – 3
= x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1)
= (x2 – 1) (x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 2: B = x4 + 2x2 - 3
= x4 + 3x2 – x2– 3
= x2(x2 + 3) - (x2 + 3)
= (x2 + 3)(x2 – 1)
= (x2 + 3)(x – 1)(x + 1)
Cách 3 : B = x4 + 2x2 - 3
= (x4 ) + 2x2 – 1 – 2
= (x4 – 1) + 2x2– 2
= (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1)
= (x2 – 1)(x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 4 : B = x4 + 2x2 - 3
= (x4 + 2x2 + 1) - 4
= (x2 + 1)2 – 4
= (x2 + 1)2 – 22
= (x2 + 1 – 2)(x2 + 1 + 2)
= (x2 – 1) (x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 5 : B = x4 + 2x2 - 3
= (x4 – 9) + 2x2 + 6
= (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3)
= (x2 + 3)( x2 - 3 + 2)
= (x2 + 3)(x2 – 1)
= (x2 + 3)(x – 1)(x + 1)

Cách 6 : B = x4 + 2x2 - 3
= (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2
Trường THCS Tề Lỗ

18

Năm học: 2014 - 2015


Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

= 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1)
= 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1)
= (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2)
= (x2 – 1) (x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x4 + x2 + 1
Giải: Ta có:
Cách 1 : A = x4 + x2 + 1
= (x4 + 2x2 + 1) - x2
= (x2 + 1)2 - x2
= (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)
Cách 2 : A = x4 + x2 + 1
= (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)
= (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)
Cách 3 : A = x4 + x2 + 1
= (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1)
= x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1)
= (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

F = 5x2 + 6xy + y2
Giải: Ta có:
Cách 1 : F = 5x2 + 6xy + y2
= (5x2 + 5xy) + (xy + y2)
= 5x(x + y) + y(x + y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 2 : F = 5x2 + 6xy + y2
= (6x2 + 6xy) – (x2 - y2)
= 6x(x + y) – (x – y)(x + y)
= (x + y)(6x – x + y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 3 : F = 5x2 + 6xy + y2
= (4x2 + 4xy) +(x2 + 2xy + y2 )
= 4x(x + y) + (x + y)2
= (x + y)(4x + x + y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 4 : F = 5x2 + 6xy + y2
= (3x2 + 6xy + 3y2) + (2x2 – 2y2 )
= 3(x + y)2 + 2(x2 – y2 )
= (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 5 : F = 5x2 + 6xy + y2
= (5x2 + 10xy + y2) – (4xy + 4y2)
= 5(x + y)2 – 4y(x + y)
= (x + y)(5(x + y) – 4y))
Trường THCS Tề Lỗ

19

Năm học: 2014 - 2015

Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

= (x + y)(5x + y)
Cách 6 : F = 5x2 + 6xy + y2
= (5x2 - 5y2) + (6xy + y2)
= 5(x2 – y2) + 6y(x + y)
= 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y)
= (x + y)(5x – 5y + 6y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 7 : F = 5x2 + 6xy + y2
= (9x2 + 6xy + y2) – 4x2
=(3x + y)2 – 4x2
= (3x + y – 2x)(3x + y + 2x)
= (x + y)(5x + y)

Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5
Giải: Ta có:
Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5
= 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – 5
= x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1)
= (3x – 1)(x2 – 2x + 5)
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x3 – x2 – x - 2
Giải: Ta có:
A = x3 – x2 – x - 2
= x3 – 1 – (x2 + x + 1)
= (x – 1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x – 1 – 1)
= (x2 + x + 1)(x – 2)

Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : B = x3 + x2 – x + 2
Giải: Ta có:
B = x3 + x2 – x + 2
= (x3 + 1) + (x2 - x + 1)
= (x + 1)(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1)
= (x2 - x + 1)(x + 1+ 1)
= (x2 - x + 1)(x + 2)
Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: C = x3 – 6x2 – x + 30
Giải: Ta có:
C = x3 – 6x2 – x + 30
= x3 + 2x2 – 8x2 – 16x + 15x + 30
= x2(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2)
= (x + 2)(x2 – 8x + 16 – 1)
= (x + 2)((x – 4)2 – 1))
= (x + 2)(x – 4 – 1)(x – 4 + 1)
= (x + 2)(x – 5)(x – 3)
Trường THCS Tề Lỗ

20

Năm học: 2014 - 2015


Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x4 + x2y2 + y4
Giải: Ta có: P = x4 + x2y2 + y4
= (x4 + 2x2y2 + y4) – x2y2
= (x2 + y2)2 – (xy)2
= (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy)

3.2- Phương pháp 6: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
a) Phương pháp
Thêm bớt cùng một hạng tử để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức hoặc
nhóm nhiều hạng tử, thông thường hay đưa về dạng a2 - b2 sau khi thêm bớt
b) Ví dụ:
*) Thêm và bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện hằng đẳng thức
Bài 1: Phân tích đa thức x4 + x+2 thành nhân tử
Giải:
Cách 1: Thêm bớt hang tử x2 (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
Ta có: x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) - x2
= (x2 + 1)2 - x2
= (x2 - x + 1)(x2 - x + 1)
Cách 2: Thêm bớt hạng tử x 3 ( làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử
chung)
x4 + x 2 + 1 = (x4 - x3 + x2 ) + (x3 + 1)
= x2(x2 - x + 1) + (x + 1)(x2 - x + 1)
= (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)
Cách 3: Thêm x và bớt x ( làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung)
Ta có: x4 + x + 1 = x4 - x + x2 + x + 1 = (x4 - x) + (x 2 + x + 1)
= x (x- 1) (x2 + x + 1) +
(x2 + x + 1)
= (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)
Bài 2: Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử
Giải: Thêm x3 và bớt x3 ( làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử
chung)
Ta có: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 - x3 + 1
= (x5 + x4 + x3 ) - (x3 - 1)
= x3(x2 + x + 1) - (x - 1)(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x3 - x + 1)
Bài 3: Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử

Giải: Ta có:
x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2
= (x2 + 2)2 - (2x)2
= (x2+2 - 2x)(x2 + 2x + 2)
*) Thêm và bớt cùng một hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung
Bài 4: Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử
Giải: Ta có:
x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 -x3 + x2 -x2 + x - x + 1
= (x5 + x4 + x3) + (-x3 - x2 - x) + (x2 + x + 1)
Trường THCS Tề Lỗ

21

Năm học: 2014 - 2015


Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

= x3( x2 + x + 1) - x(x2 + x + 1) + (x2 + x +
1)

= (x2 + x + 1)(x3 - x + 1)
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
Giải: Ta có:
A = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
= x4 + (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 + x
= (x2 – x + 1)(x2 – x + 2) + x(x + 1)(x2 – x + 1)
= (x2 – x + 1)((x2 – x + 2) + x(x + 1))
= (x2 – x + 1)(2x2 + 2)

Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = 4x4 + 81
Giải: Ta có:
P = 4x4 + 81
= 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2
= (2x2 + 9)2 – (6x)2
=(2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x)
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x4 + x2y2 + y4
Giải: Ta có:
A = x4 + x2y2 + y4
= (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2
= (x2 + y2)2 - x2y2
= (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy)
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
Giải: Ta có:
M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
= (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2
= (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2
= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2
= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1 + x2 – x + 1)
= 2(x2 – x + 1)(x2 + 1)
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z22y2z2
Giải: Ta có:
A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2
= (x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2z2) – 4y2z2
= (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2
= (x2 – y2 – z2 – 2yz) (x2 – y2 – z2 + 2yz)
= (x2 – (y + z)2 )( x2 – (y - z)2 )
= (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z)
3.3- Phương pháp 7: Phương pháp nhẩm nghiệm
a) Phương pháp:

Trường THCS Tề Lỗ

22

Năm học: 2014 - 2015


Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x - a).g(x),
g(x) là một đa thức. Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x - a). Sau đó lại phân tích tiếp
g(x).
b) Ví dụ:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8
Giải:
Dễ thấy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + 8 = 0
Nên chia f(x) cho (x + 2), ta được:
f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x)
Dễ thấy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cã g(-2) = 0
Nên chia g(x) cho (x + 2), ta được:
g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2)
Đặt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + 2. Ta có: h(-2) = 0
Nên chia h(x) cho (x + 2), Ta được: h(x) = (x + 2)(x2 + 1)
Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1)
= (x + 2)3(x2 + 1)
Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ
đồ Hoocne để thực hiện phép chia được nhanh hơn.
Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) như sau:

-2

1
1

6
4

13
5

14
4

12
4

8
0

Vậy: f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4)
Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cho (x + 2) như sau:
-2

1
1

4
2

5
2

4
2

4
0

Vậy: x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2)
Chia x3 + 2x2 + 2x + 2 cho (x + 2) như sau:
-2

1
1

2
0

2
1

2
0

Vậy: x3 + 2x2 + 2x + 2 = (x + 2)(x2 + 1)
Vậy: h(x) = (x + 2)3(x2 + 1)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36
Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) trong các ước của36 : 1;
2; 3; 4; 6 ; 9; 12; 18; 36.

Ta thấy: x = -2
P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = 0
Ta có: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36
Trường THCS Tề Lỗ

23

Năm học: 2014 - 2015


Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

= x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2)
= (x + 2)(x3 – 4x2 – 3x + 18)
Lại phân tích Q = x3 – 4x2 – 3x + 18 thành nhân tử
Ta thấy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = 0
Nên chia Q cho (x + 2), ta được:
Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9)
= (x + 2)(x – 3)2
Vậy: P = (x + 2)2(x – 3)2
3.4 - Phương pháp 8: Phương pháp đặt ẩn phụ
a) Phương pháp:
Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa một
đa thức với ẩn số cồng kềnh, phức tạp về một đa thức có biến mới mà đa thức này
sẽ dễ dàng phân tích được thành nhân tử
b) Ví dụ:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12
Giải: Đặt: y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành:
A = y2 + 4y – 12
= y2 – 2y + 6y – 12

= y(y – 2) + 6(y – 2)
= (y – 2)(y + 6)
2
Thay: y = x + x vào A ta được :
A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6)
= (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) 12
Giải: Đặt: y = (x2 + x + 1), đa thức đã cho trở thành:
A = y(y + 1) – 12
= y2 + y – 12
= y2 – 3y + 4y – 12
= y(y – 3) + 4(y – 3)
= (y – 3)(y + 4)
Thay: y = (x2 + x + 1) vào A ta được:
A = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4)
= (x2 + x – 2) (x2 + x + 6)
= (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6)
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B = x12 – 3x6 + 1
Giải: Đặt: y = x6 (y 0 ), đa thức đã cho trở thành:
B = y2 – 3y + 1
= y2 – 2y + 1 – y
= (y – 1)2 – y
= (y – 1 - y )(y + 1 + y )
Thay : y = x6 vào B ta được :
B = (x6 – 1 - x 6 )( y  1  x 6 )
= (x6 – 1 – x3)(x6 + 1 + x3)
Trường THCS Tề Lỗ

24

Năm học: 2014 - 2015


Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = x3 - 3 2 x2 + 3x + 2 - 2
Giải: Đặt: y = x - 2 , ta cã x = y + 2 , đa thức đã cho trở thành:
A = (y + 2 )3 - 3 2 (y + 2 )2 + 3(y + 2 ) + 2 - 2
= y3 + 3y2 2 + 3y.2 + 2 2 - 3 2 (y2 + 2 2 y + 2) + 3(y + 2 )
+ 2 -2
= y3 - 3y – 2
= y3 - y – 2y – 2
= y(y2 – 1) – 2(y + 1)
= y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1)
= (y + 1)[y(y – 1) – 2]
= (y + 1)(y2 – y – 2)
= (y + 1)(y + 1)(y – 2)
= (y + 1)2(y – 2)
(*)
Thay: y = x - 2 vào A ta được:
A = (x - 2 + 1)2(x - 2 - 2)
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x +
7) + 15
Giải: Ta có:
M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
= [(x + 1)( x + 7)][(x + 3)(x + 5)] + 15
= (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15
Đặt: y = (x2 + 8x + 7), đa thức đã cho trở thành:
M = y(y + 8) + 15
= y2 + 8y + 15

= y2 + 3y + 5y + 15
= y(y + 3) + 5(y + 3)
= ( y + 3)(y + 5)
Thay: y = (x2 + 8x + 7) vào M ta được:
M = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12)
= (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12)
= (x2 + 8x + 10)[(x(x + 2) + 6(x + 2)]
= (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau: Phân tích
đa thức sau thành nhân tử:
A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m
Nếu a + d = b + c . Ta biến đổi A thành:
A = [(x + a)(x + d)][(x + b)(x + c)] + m (1)
Bằng cách biến đổi tương tự như bài 5, ta đưa đa thức (1) về đa thức bậc hai
và từ đó phân tích được đa thức A thành tích các nhân tử.
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1
Giải: Giả sử x 0 , ta viết đa thức dưới dạng:
A = x2 [(x2 +

Trường THCS Tề Lỗ

1
1
) + 7]
2 ) + 6( x x
x

25

Năm học: 2014 - 2015