skkn các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng vào giải nột số bài tập toán 8

phòng giáo dục Thái Thụy
Tr-ờng THCS Thụy THANH

SáNG KIếN KINH NGHIệM

CáC PHƯƠNG PHáP PHÂN TíCH
ĐA THứC THàNH NHÂN Tử Và
ứng dụng vào giảI một số dạng
bài tập toán 8
Họ và tên:

Trần Ngọc đại

Tổ:

Tổ khoa học tự nhiên

Tr-ờng :

Trung học cơ sở Thụy THANH

Năm học:

2013 - 2014

Thụy Thanh, ngày 14 tháng 02 năm 2014


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ

P Ầ 1. ĐẶT VẤ ĐỀ
1. Lý do ch

đề tài

Đất nước ta đang trong thời kì phát triển, hội nhập với các nước trên thế giới và
trong khu vực, đòi hỏi ph i có những con người độc lập, tự chủ, sáng tạo, biết tiếp thu
những tri thức khoa học hiện đại, biết vận dụng và tìm ra những gi i pháp hợp lí cho b n
thân và xã hội. Nhiệm vụ đó không chỉ của ngành giáo dục mà là nhiệm vụ của mọi cấp,
mọi ngành, mọi người, tất c đều ph i tham gia vào hoạt động giáo dục. Nhưng trước tiên
ngành giáo dục đóng vai trò quyết định đến thành công của sự nghiệp giáo dục. Chính vì
vậy mà Đ ng ta đã xác định: “Giáo dục là quốc sách hàng đầu”. Hơn nữa, trong mục tiêu
chung của giáo dục đã xác định: “ Mục tiêu chung của giáo dục phổ thông là giúp học sinh
phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ b n nhằm hình
thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm
công dân, chuẩn bị cho học sinh học tiếp lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây
dựng và b o vệ tổ quốc”.
Để thực hiện mục tiêu đó ngành giáo dục đã định hướng đổi mới phương pháp dạy
và học theo chương trình sách giáo khoa mới. Trong đó, môn Toán cũng như mọi môn học,
xuất phát từ đặc điểm và vai trò, vị trí, ý nghĩa của nó, phối hợp cùng các môn khác và các
hoạt động khác nhau trong nhà trường góp phần thực hiện mục tiêu trên.
Là giáo viên trực tiếp gi ng dạy môn Toán theo chương trình SGK mới, tôi nghĩ
mình cần xác định rõ vai trò và nhiệm vụ của người giáo viên đứng lớp một cách linh hoạt,
sáng tạo mà hơn hết ph i rèn luyện được phương pháp dạy học có hiệu qu nhằm phát huy
sự tích cực chủ động, sáng tạo của học sinh của học sinh trong quá trình học tập, giúp học
sinh chiếm lĩnh kiến thức đạt hiệu qu cao nhất.
Từ năm học 2008 - 2009 đến nay, tôi được nhà trường phân công gi ng dạy bộ môn
toán 8. Qua thực tế gi ng dạy kết hợp với dự giờ các giáo viên trong trường, đồng thời qua
các đợt kiểm tra, các kì thi chất lượng b n thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ
năng thành thạo khi làm các dạng bài tập toán lớp như: h

h
h
h h h
hi
h
i
i
ị h
i
h
gọn phân th
q y ồng
mẫu th c các phân th c, c ng trừ các phân th c không cùng mẫu, giải hươ g
h tính
ầ

Đ

ƣ

2


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, biế ổi ồng nhất bi u th c hữu tỉ...vì để gi i được các dạng
toán đó thì cần ph i có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
Trong thực tế gi ng dạy Toán trường THCS việc làm cho học sinh có kỹ năng gi i
các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán liên quan là công việc rất
quan trọng và không thể thiếu được. Để làm được điều này thì người thầy ph i cung cấp

cho học sinh một số kiến thức cơ b n về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Để phân tích đa thức thành nhân tử SGK Toán 8 - tập 1 có đưa ra 4 phương pháp
cơ b n đó là:
+ Đặt nhân tủ chung.
+ Nhóm các hạng tử.
+ Dùng hằng đẳng thức.
+ Phối hợp nhiều phương pháp.
Nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên thì học sinh có thể sẽ gặp khó khăn trong
quá trình gi i toán (có những bài chưa thể gi i được hoặc không có phương pháp tổng quát
để gi i). Vì vậy khi dạy các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần
bồi dưỡng thêm cho học sinh các phương pháp khác ngoài sách giáo khoa như: Tách một
hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một hạng tử, đặt ẩn phụ (đổi biến), hệ số bất
định, xét giá trị riêng ... Đặc biệt là đối với học sinh khá giỏi, giúp các em biết lựa chọn các
phương pháp thích hợp khi gặp các dạng toán khó.
Hiểu được điều này, bằng những kinh nghiệm dạy và học toán, tôi mạnh dạn lựa
chọn đề tài “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
ứ
”. Trong đề tài này tôi xin đưa ra các phương pháp phân tích cơ
b n và nâng cao ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào gi i một một số dạng bài
tập toán lớp . Đặc biệt, tôi sẽ chỉ ra một vài sai lầm cơ b n của học sinh khi phân tích đa
thức thành nhân tử. Hy vọng nó sẽ giúp các em học sinh không c n bỡ ngỡ khi gặp các
dạng toán này và biết ứng dụng trong việc gi i các bài toán có liên quan đến phân tích đa
thức.
2. M c đích nghiên cứu:
 Góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán

bậc THCS.

 Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có kh năng vận dụng tốt dạng toán này.

 Học sinh vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử trong việc áp dụng vào gi i
một số dạng toán lớp và các lớp trên.
ầ

Đ

ƣ

3


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
 Phát huy kh năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh.
 Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong gi i toán từ đó
giáo dục ý thức học tập của học sinh.
 Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng được tri thức vào thực
tiễn cuộc sống.
3. Nhiệm v nghiên cứu:
 Tìm hiểu nội dung (lý thuyết và bà tập về phân tích đa thức thành nhân tử trong
SGK và các sách tham kh o toán 8.
 Tìm hiểu ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong việc gi i các
bài toán có liên quan.
 Điều tra về thực trạng:
 Thường xuyên nghiên cứu các dạng bài tập có liên quan đến phân tích đa thức
thành nhân tử trong SGK, SBT và sách nâng cao của HS.
 Thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết qu học tập của HS để nhận được sự
ph n hồi từ HS. Qua đó nhận ra những tồn tại, những sai lầm HS thường mắc ph i đối với
các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử. Từ đó tìm ra những phương pháp
phù hợp nhằm nâng cao chất lượng gi ng dạy.

4. Ph m vi và đối tƣợng nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu là: Học sinh lớp 8 - Trường THCS Thụy Thanh, Thái
Thụy, Thái ình.
- Phạm vi nghiên cứu : Học sinh lớp 8A.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu:
a)

ƣơ

p áp

ê

ứu lý luận:

 Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình về phương pháp dạy học Toán, các tài liệu có
liên quan đến đề tài.
 Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ b n và nâng cao về phân tích đa thức
thành nhân tử.
 Nghiên cứu ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử trong việc gi i một số
dạng bài tập Toán lớp .
 Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh phổ thông cơ s như:
ầ

Đ

ƣ

4

CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
 Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9
 Sách giáo viên 7, 8, 9.
 Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham kh o cho GV và học sinh.
b)

ƣơ

p áp đ ều tra, phỏng vấn

ố

ê:

- Phương pháp điều tra:
Điều tra việc học bài và làm bài tập của học sinh. ụ thể: học sinh có đọc kĩ lý
thuyết hay không Học sinh hay mắc ph i những sai lầm nào Học sinh có r t ra kinh
nghiệm sau khi mắc ph i sai lầm hay không
 Phương pháp phỏng vấn:
ỏi họ

i h

hỏi hư

? m hãy nêu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
m thấy phân tích đa thức thành nhân tử có khó hay không
Những dạng bài tập nào có ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử

m thấy phân tích đa thức thành nhân tử có quan trọng không
ồng nghi p có kinh nghi m trong quá trình xây dựng, hoàn thi

Xin ý kiế
tài.

- Phương pháp thống kê:
Thu thập bài kiểm tra (bài kiểm tra
ph t, tiết, kiểm tra chất lượng giữa kì, cuối
kì của học sinh rồi thống kê tỉ lệ về điểm số, về tỉ lệ làm được từng bài, về kĩ năng trình
bày và một số sai lầm học sinh hay mắc ph i,
c)

ƣơ

p áp

ực nghiệm sƣ ph m:

Tổ chức thực nghiệm 2 tiết ( tiết cơ b n dạy lý thuyết trên lớp,
vào buổi nhằm đánh giá hiệu qu của đề tài.

ầ

Đ

ƣ

tiết nâng cao dạy

5


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ

Ầ 2-

ĐỀ

CHƢƠNG I. CƠ Ở Ý

Ự

Ễ .

1. Cơ sở lí luậ :
Toán học là bộ môn khoa được coi là chủ lực b i trước hết Toán học hình thành cho
các em tính chính xác, khoa học, hệ thống, sáng tạo và tư duy lôgíc vì thế nếu chất lượng
dạy và học Toán được nâng cao thì có nghĩa ch ng ta đã tiếp cận với nền kinh tế tri thức
hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại.
ùng với sự đổi mới nội dung dạy học, chương trình sách giáo khoa, phương pháp
dạy học đang được đổi mới theo hướng tích cực hoá, phát huy đựơc sự tự giác, tích cực,
sáng tạo của học sinh nhằm nâng cao năng lực phát hiện và gi i quyết vấn đề, hình thành
và rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
Trong chương trình đại số , nội dung “Phân tích đa thức thành nhân tử” là nội dung
hết sức quan trọng vì dạng toán này được vận dụng rất nhiều trong các dạng toán: R t gọn
phân thức, qui đồng mẫu các phân thức, cộng, trừ, nhân, chia phân thức, ... hính vì vậy,
việc dạy phân tích đa thức thành nhân tử có ý nghĩa hết quan trọng.
Cơ s lí luận khi nghiên cứu nội dung “ Phân tích đa thức thành nhân tử” là:

+ Kế thừa kiến thức

chương 4 lớp 7 phần: iểu thức đại số.

+ Kiến thức cơ b n

chương: Phép nhân và phép chia các đa thức.

+ Kiến thức nâng cao

một số sách tham kh o.

+ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

một số dạng toán cơ b n và nâng

cao.
+ Phương pháp gi i một số dạng toán có liên quan đến phân tích đa thức thành nhân
tử.
+ Phân tích tìm tòi phương pháp mới và lựa chọn phương pháp phù hợp với trình độ
nhận thức của học sinh.
+ Phương pháp dạy học Toán

trường TH S theo định hướng đổi mới.

+ Dạy học và rèn luyện kĩ năng cho HS theo chuẩn kiến thức và kĩ năng.
+ Gi p học sinh khám phá những tri thức mới.
ầ

Đ

ƣ

6


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
2. Cơ sở

ự

ễ :

Từ năm học 008 – 200 đến nay tôi được nhà trường phân công gi ng dạy bộ môn
toán và qua thực tế gi ng dạy kết hợp với dự giờ các giáo viên trong trường, đồng thời
qua các đợt kiểm tra, các kì thi chất lượng b n thân, tôi thấy việc dạy học môn Toán
trường TH S Thụy Thanh hiện nay có một số thuận lợi và khó khăn:
- Th ậ lợi
+ Được sự quan tâm của GH và đồng nghiệp đóng góp ý kiến, xây dựng qua từng
tiết dạy.
+ Giáo viên luôn tâm huyết với nghề, luôn tự học và trau dồi kiến thức để nâng cao
tay nghề.
+ Đa số học sinh có tinh thần học tập tốt, tích cực tham gia phát biểu xây dựng bài,
và có tính tự giác, ham học hỏi.
- Khó khăn:
+ Một số phụ huynh các em học sinh đi làm kinh tế nơi xa (bán quần áo, làm rẫy,
xây dựng,
nên không quan tâm sát sao đến việc học của con em mình, phó thác cho các
thầy cô giáo.

+ n số em ỷ lại, lười học và chưa có sự say mê, tự giác trong học tập. Một số
em mất căn b n từ các lớp dưới về qui tắc đổi dấu, nhân chia các đơn thức.
+ ác dạng toán về phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng toán cơ b n nhưng
rất phong ph nên các em dễ bị nhầm, chưa linh hoạt trong gi i toán.

ầ

Đ

ƣ

7


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ

CHƢƠNG II

N I DUNG
ƢƠ

A.

Ơ

ƢƠ

I.

ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG

ƣơ

1.

p áp

ƣ
: Tìm nhân tử chung. Nhân tử chung là những đơn thức hoặc đa thức có mặt
trong tất c các hạng tử. Nhân tử chung này là tích của hệ số với phần biến:
+ Hệ số là

N của các hệ số của các hạng tử (nếu các hệ số là số nguyên .

+ Phần biến gồm có các biến chung của các hạng tử với số mũ nhỏ nhất.
ƣ

2: Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.

ƣ 3: Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc rồi viết các nhân tử c n lại của mỗi
hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể c dấu của ch ng .
2.

í
ử

2.1.
í

đơ

ứ

. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) 4x3 – 12x2 + 6x ;
b) 28x2y2  21xy2 + 14x2y ;
h

h

a) Ta thấy:

giải
N (4

, biến chung là x với số mũ nhỏ nhất là 1.

 nhân tử chung là x. Vì vậy:
4x3 – 12x2 + 18x = 2x.2x2 – 2x.6x + 2x.9 = 2x(2x2 – 6x + 9).
b) Ta thấy: CLN (28; 21; 14) = 7, biến chung là x với số mũ nhỏ nhất là
y với số mũ nhỏ nhất là .

và biến

 nhân tử chung là 7xy2. Vì vậy:
28x2y4  21xy5 + 14x2y2 = 7xy2.4xy2 – 7xy2.3y3 + 7xy2.2x
= 7xy2(4xy2 – 3y3 + 2x).

ầ

Đ

ƣ

8


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
ử

2.2.
í

đa

ứ

. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) 3x2(x + 1) – 2x(x + 1) ;
b) (x - y + z)2 - z(x - y + z) + x - y + z
h

h

giải

a) Dễ dàng nhận ra nhân tử chung là x(x + 1). Vì vậy:
3x2(x + 1) – 2x(x + 1) = x(x + 1)(3x – 2) ;
b) Dễ dàng nhận ra nhân tử chung là x – y + z. Vì vậy:
(x - y + z)2 - z(x - y + z) + x - y + z =
= (x - y + z)2 - z(x - y + z) + (x - y + z)
= (x – y + z)(x – y + z – z + 1) = (x – y + z)(x – y + 1)
đ

2.3.
Ch

ử

a

đ

ử

: A = -(-A):

í

. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) 4x(x – 2y) – 12(2y – x) ;
b) 3x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x - z).
h

h

giải

a) Hạng tử thứ nhất có nhân tử là x – y, c n hạng tử thứ hai có nhân tử là y – x.
Ta thấy: y – x -(x – y . Từ đó, xuất hiện nhân tử chung là (x – y . Vì vậy:
4x(x – 2y) – 12(2y – x) = 4x(x – 2y) + 12(x – 2y) = 4(x – 2y)(x + 3).
b) Hạng tử thứ nhất có nhân tử là x – y + z, c n hạng tử thứ hai có nhân tử là
y – x - z. Ta thấy: x – y + z = -(y – x - z). Từ đó, xuất hiện nhân tử chung là
(x – y + z . Vì vậy:
3x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x - z) = 3x2y2(x – y + z) - 2xy(x – y + z)
= 3xy(x – y + z)(3xy – 2)
số s

3.

lầ

s
đ

3.1.

p
ử

đ

đ

đ

ầ

Đ

ƣ

9


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
h gh

Một học sinh phân tích như sau:
x2(x - 1) + 2x(x - 1) = (x - 1)(x2 + 2x) !

Đến đây, học sinh đó dừng lại
R ràng, học sinh này phân tích chưa triệt để vì
Nhân tử chung đ ng ph i là x(x - 1).

ị h h

h g h g

g.

ách làm đ ng: x2(x - 1) + 2x(x - 1) = x(x - 1)(x + 2) ;
đ

3.2.
v

ử

đ

đư ,

h gh

ử a
đ ,

đ
a

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x(x – y) – 2(y – x) ;
b) 3x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x - z)
h

h

il

họ

i h

a) Nhiều em không phân tích được vì không biết đổi dấu số hạng để xác định nhân
tử chung hoặc phân tích được nhưng lại sai do đổi dấu không đ ng:
x(x – y) – 2(y – x) = x(x – y) – 2(x – y) = (x – y)(x – 2)!
R ràng, việc đổi dấu sai (x – y = y – x dẫn tới việc phân tích sai.
ách làm đ ng: x(x – y) – 2(y – x) = x(x – y) + 2(x – y) = (x + 2)(x – y)
b) x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x - z) = xy[xy(x – y + z) + 2(y – x – z)]
Đến đây, học sinh không biết đổi dấu số hạng để làm xuất hiện nhân tử chung dẫn
tới việc phân tích không triệt để.
ách làm đ ng:
x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x - z)

= xy[xy(x – y + z) + 2(y – x – z)]
= xy[xy(x – y + z) - 2(x – y + z)]
= xy(xy – 2)(x – y + z).

a

3.3.

p

khi

hẳng hạn, khi phân tích đa thức: y( x – 4y + x( x – y thành nhân tử, một số
học sinh vì quan sát không kĩ nên gặp bế tắc vì tư ng rằng các số hạng không có
nhân tử chung. Nhưng nếu ch ng ta quan sát kĩ từng số hạng thì thấy từng số hạng
có thể phân tích tiếp, và khi đó nhân tử chung mới xuất hiện:
ầ

Đ

ƣ

10


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
3y(6x – 4y) + 2x(9x – 6y)

= 3y.2(3x – 2y) + 2x.3(3x – 2y)
= (3x – 2y)(6y + 6x) = 6(x + y)(3x – 2y).

ƢƠ

II.

ƣơ

1.

ĐẲNG THỨC

P DÙNG HẰ
p áp

Vận dụng một trong các hằng đẳng thức sau đây để phân tích:
1.

h hươ g

ổ g (a  b)2  a2  2ab  b2

2.

h hươ g

hi

(a – b)2  a2 – 2ab  b2

h hươ g: a2 – b2 = (a – b)(a  b)

3.

i

h i

4.

ậ

hươ g

ổ g a3  3a2b  3ab2  b3 = (a  b)3

5.

ậ

hươ g

hi : a3 – 3a2b  3ab2 – b3 = (a – b)3
hươ g: a3  b3 = (a  b)(a2 – ab  b2 )

6. Tổ g h i lậ
i

7.

h i lậ

g i

hươ g: a3 – b3 = (a - b)(a2 + ab  b2 ).
h

g

h hươ g

8.

h g

ổ g

i

g h
h

a2  b2  c2  2ab  2ac  2bc = a2  b2  c2  2(ab  ac  bc) = (a  b  c)2
i

9.

h il

hừ

g

an – bn  (a – b)(an – 1  an – 2b 

 abn – 2  bn – 1)

q ả : an – 1 = (a – 1)(an – 1 + an – 2 +
10. Tổ g h i l

hừ

+a+

g ậ l

a2k  1  b2k  1  (a  b )(a2k – a2k – 1b  a2k – 2b2 –
2.

 b2k)

í
đa

2.1.
đ

ứ

ứ
a
, 9, 10:

a

ư

đ

a2 – b2 = (a – b)(a  b)
a3  b3 = (a  b)(a2 – ab  b2 )
a3 – b3 = (a - b)(a2 + ab  b2 )
ầ

Đ

ƣ

11


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
an – bn  (a – b)(an – 1  an – 2b 

 abn – 2  bn – 1)

a2k  1  b2k  1  (a  b)(a2k – a2k – 1b  a2k – 2b2 –
í

 b2k)

. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) 4x2 – 9y2 ;
h

h

b) x3 – 8y3 ;

c) 27 + 64y6.

giải

a) Ta viết: 4x2 = (2x)2, 9y2 = (3y)2, đa thức có dạng hiệu hai bình phương:
4x2 – 9y2 = (2x)2 – (3y)2 = (2x – 3y)(2x + 3y).
b) Ta viết: y3 = (2y)3, đa thức có dạng hiệu hai lập phương:

x3 – 8y3 = x3 - (2y)3 = (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2).
3

c) Ta viết: 7

, 64y6 = (4y2)3, đa thức có dạng tổng hai lập phương:

27 + 64y6 = 33 + (4y2)3 = (3 + 4y2)(9 – 12y2 + 16y4).
í

. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) x7 - 1;
b) 1 + x10.
h

h

giải

a) Ta thấy x7 - 1 = x7 - 17. Đa thức có dạng hằng đẳng thức số . Vì vậy:
x7 – 1 = (x – 1)(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)
b) Ta thấy

+ x10 = 15 + (x2)5. Đa thức có dạng hằng đẳng thức số 0. Vì vậy:

1 + x10 = x10 + 1 = (x2 + 1)(x8 – x6 + x4 - x2 + 1)
đa ứ
ứ 1, 2:

2.2.
đ

a

a

ư

đ

a2  2ab  b2 = (a  b)2.
a2 - 2ab  b2 = (a - b)2.
í

. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) 4x2 - 4x + 1;
1
b) x 2  x  .
4

ầ

Đ

ƣ

12

CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
h

h

giải

a) 4x2 - 4x + 1 = (2x)2 – 2.2x.1 + 12 = (2x – 1)2 ;
2

2

1
1 1 
1
b) x  x   x 2  2.x.      x   .
4
2 2 
2
2

hi

Nhi

hải ổi ấ

h

ới hậ

h g

g h

. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: -16 + 24x - 9x2.

í

h
h giải Đa thức đã cho không có dạng hằng đẳng thức nào. Nhưng nếu ta
đối dấu đa thức thì sẽ nhận ra hằng đẳng thức trong dấu ngoặc.
-16 + 24x - 9x2 = -(9x2 – 24x + 16) = -[(3x)2 – 2.3x.4 + 42] = -(3x – 4)2 ;
đa

2.3.
đ

ứ

ứ

a

ư

đ

:

a3  3a2b  3ab2  b3 = (a  b)3.
a3 – 3a2b  3ab2 – b3 = (a – b)3.
í

. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) x3 + 15x2 + 75x + 125 ;
b) 27x3 – 18x2y2 + 36x4 - 8y6;.
h

h

giải

a) Để kiểm tra xem đa thức có dạng hằng đẳng thức hay không, ta phân tích:
x3 + 15x2 + 75x + 125 = x3 + 3.x2.5 + 3.x.52 + 53
Đến đây, ta thấy đa thức có dạng hằng đẳng thức thứ 4. Vì vậy:
x3 + 15x2 + 75x + 125 = (x + 5)3
b) Ta phân tích:
27x3 – 18x2y2 + 36x4 - 8y6 = (3x)3 – 3.(3x)2.2y2 + 3.3x.(2y2)2 – (2y2)3
Đến đây, ta thấy, đa thức có dạng hằng đẳng thức thứ . Vì vậy:
27x3 – 18x2y2 + 36x4 - 8y6 = (3x – 2y2)3
số s

3.

s
đ

3.1.
ầ

lầ

Đ

ƣ

p
đ

ứ

a

13


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
hẳng hạn, khi phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – 2xy + 4y2;
b) 125x3 – 25x3 + 15x – 1.
Một học sinh phân tích:
a) x2 – 2xy + 4y2 = (x – 2y)2 !
b) 125x3 – 25x3 + 15x – 1 = (5x – 1)3!
Sai lầm đây là học sinh đã nhận dạng sai hằng đẳng thức, nên đã vội vàng phân
tích mà không kiểm tra xem đa thức có đ ng dạng các hằng đẳng thức đã biết hay

chưa:
a) Ta thấy đa thức chỉ là bình phương thiếu của một hiệu:
x2 – 2xy + 4y2 = x2 – x.2y + (2y)2
Đa thức này có dạng a2 – ab + b2 chứ không ph i là a2 – 2ab + b2!
b) Phân tích đa thức:

x3 – 25x3 + 15x – 1 = (5x)3 – (5x)2.1 + 3.5x.12 – 13.

Đa thức này có dạng a3 – a2b + 3ab2 – b3 chứ không ph i là a3 – 3a2b + 3ab2 – b3!
đa

3.2.
đ

ứ đư

ứ

ư

ứ

hẳng hạn, khi phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) -x2 + 4y2;
b) -4x + x2 + 4.
Nhiều học sinh sẽ l ng t ng dẫn tới việc không phân tích được.
Dễ dàng nhận ra hằng đẳng thức nếu ta đỗi chỗ các số hạng.
a) -x2 + 4y2 = 4y2 – x2 = (2y – x)(2y + x).
b) -4x + x2 + 4 = x2 - 4x + 4 = (x - 2)2.
đ

3.3.
đ

a

đ

đ
ứ

a

đ

ứ

hẳng hạn, khi phân tích đa thức -16 + 24x - 9x2 thành nhân tử, nhiều học sinh
l ng t ng không biết áp dụng hằng đẳng thức nào hoặc áp dụng sai hằng đẳng thức.
-16 + 24x - 9x2 = (-4 – 3x)2!
ầ

Đ

ƣ

14


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Ứ
ách làm đ ng: -16 + 24x - 9x2 = -(9x2 – 24x + 16) = -(3x – 4)2.
Một ví dụ nữa là khi phân tích đa thức –x2 – 4y2 thành nhân tử, có học sinh phân tích
như sau: –x2 – 4y2 = -(x2 – 4y2) = -(x – 2y)(x + 2y) = (2y – x)(2y + x).
Sai lầm đây là học sinh đổi dấu số hạng sai dẫn tới nhận nhầm hằng đẳng thức
hiệu hai bình phương. Thực ra, đa thức không phân tích được vì nó không có dạng
hằng đẳng thức nào.
đ

3.4.

hẳng hạn, khi phân tích các đa thức sau thành nhân tử: x4 – 9, một học sinh phân
tích như sau: x4 – 9 = (x2)2 – 32 = (x2 – 3)(x2 +
đây, học sinh chỉ áp dụng một
lần hằng đẳng thức hiệu hai bình phương và hài l ng khi phân tích được như vậy.
ách làm đ ng: Ta thấy x2 – 3 = x2 – ( 3)2 = (x  3)(x  3). Vì vậy:
x4 – 9 = (x2)2 – 32 = (x2 – 3)(x2 + 3) = (x  3)(x  3)(x 2  3).
ưa

3.5.

khi

đ

ứ

hẳng hạn, khi phân tích các đa thức sau thành nhân tử: x6 – , một học sinh phân
tích như sau:
x6 – 1 = (x2)3 – 13 = (x2 – 1)(x4 + x2 + 1) = (x – 1)(x + 1)(x4 + x2 + 1).

Nhìn qua, ta thấy có v hợp lý, nhưng đa thức đã được phân tích chưa triệt để. Nếu
ta thay đổi cách áp dụng hằng đẳng thức, thì đa thức sẽ được phân tích triệt để:
x6 – 1 = (x3)2 – 12 = (x3 – 1)(x3 + 1) = (x – 1)(x2 + x + 1)(x + 1)(x2 - x + 1)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 - x + 1).
Thực ra,

cách thứ nhất, ta có thể phân tích:

x4 + x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Nhưng r ràng cách này không ph i học sinh nào cũng nhìn ra và do đó không thể
làm được

III.
1.

ƢƠ
ƣơ

Ó

NG TỬ

p áp

– Kết hợp các h ng t thích hợp thành từng nhóm.
– Áp d ng liên tiế
ầ

Đ

ƣ

ặt nhân t chung hoặc dùng h g

ng th c.
15


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
2.

í
ư

2.1.
í

a a
đ

a
ứ (

ử
đư

đ
a

ử

:

. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x2 – 2xy – x + 2y ;
b) 2xy - 4y2 + 3x + 9;
c) 125x3 – 10x2 + 2x – 1
h

h

giải

a) Ta thấy, có thể nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối hoặc nhóm hạng tử thứ
nhất với hạng tử thứ ba và hạng tử thứ hai với hạng tử thứ tư. n nếu nhóm hạng tử
thứ nhất với hạng tử thứ tư và nhóm hai hạng tử c n lại thì đa thức không thể phân
tích được. Vì vậy, ta chỉ có hai cách làm như sau:
x2 – 2xy – x + 2y = (x2 – 2xy) – (x - 2y) = x(x – 2y) – (x – 2y)

h

= (x – 2y)(x – 1);
x2 – 2xy – x + 2y = (x2 – x) – (2xy - 2y) = x(x – 1) – 2y(x – 1)

h

= (x – 2y)(x – 1);
b) Nếu nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối hoặc hạng tử thứ nhất với hạng tử

thứ tư, hạng tử thứ hai với thứ ba thì đa thức không phân tích được. Do đó, ta nhóm
hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ ba và nhóm hạng tử thứ hai với thứ bốn:
2xy - 4y2 + 3x + 9

= (2xy + 3x) – (4y2 - 9)
= x(2y + 3) – (2y – 3)(2y + 3)
= (2y + 3)(x – 2y + 3).

c) Nếu nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối hoặc hạng tử thứ nhất với hạng tử
thứ ba, hạng tử thứ hai với thứ tư thì đa thức không phân tích được. Do đó, ta nhóm
hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ tư và nhóm hạng tử thứ hai với thứ ba:
125x3 – 10x2 + 2x – 1 = (125x3 – 1) – (10x2 – 2x)
= (5x – 1)(25x2 + 5x + 1) – 2x(5x – 1)
= (5x – 1)(25x2 + 3x + 1)

ầ

Đ

ƣ

16


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
3.1.

a

N
a

ươ
ươ

ử

đa ứ không phân
đ
ươ
a

ử
a

đư
đ
a đ

a
ứ

ư
a

:

í

. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x2 – 9y2 + 9 - 6x;
b) x2 + 3xy – 4x – 6y + 4;
c) x3 – 3x2 - 3xy + 3x + 3y – 1.
h

h

giải

a) Ta thấy nếu nhóm hai hạng tử thì đa thức không phân tích thành nhân tử được.
Từ đó, ta nghĩ đến việc nhóm ba hạng tử. Hạng tử thứ nhất và hai hạng tử cuối lập
thành một hằng đẳng thức. Do đó, ta có thể làm như sau:
x2 – 9y2 + 9 - 6x = (x2 – 6x + 9) – 9y2 = (x – 3)2 – (3y)2
= (x – 3 – 3y)(x – 3 + 3y)
= (x – 3y – 3)(x + 3y – 3)
b) Đa thức có năm số hạng, nếu nhóm hai số hạng với nhau thì sẽ l một số hạng, đa
thức sẽ không phân tích được. Như vậy sẽ có một nhóm chứa ba số hạng. Khi đó, ta
nghĩ nhóm này ph i có dạng hằng đẳng thức hoặc . Ta thấy, nếu nhóm số hạng
thứ nhất, thứ ba và số hạng cuối thì nhóm này có dạng hằng đẳng thức bình phương
một hiệu. Vậy ta làm như sau:
x2 + 3xy – 4x – 6y + 4

= (x2 – 4x + 4) + (3xy – 6y)
= (x – 2)2 + 3y(x – 2)
= (x – 2)(x + 3y – 2).

c) Đa thức có sáu số hạng, nếu nhóm hai số hạng hoặc ba số hạng bất kì với nhau
thì đa thức sẽ không phân tích được. Ta thử nhóm bốn số hạng. Khi đó, ta nghĩ

nhóm này ph i có dạng hằng đẳng thức 4 hoặc . Ta thấy, nếu nhóm hai hạng tử đầu
với hạng tử thứ tư và thứ thì có dạng hằng đẳng thức lập phương một hiệu. Vậy ta
làm như sau:
x3 – 3x2 - 3xy + 3x + 3y – 1

= (x3 – 3x2 + 3x – 1) – (3xy + 3y)
= (x – 1)3 – 3y(x – 1);
= (x – 1)(x2 – 2x – 3y + 1).

ầ

Đ

ƣ

17


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
a

d)

a

đa

ứ

:

í

. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = (x + y)(y + z)(z + x) + xyz

h

h

giải

Đây là một đa thức khó phân tích vì không thể áp dụng các phương pháp trên ngay
được. Nhưng nếu ta khai triển đa thức thì đa thức có thể phân tích được.
h

Khai triển

ta được :

A = xyz + xy2 + xz2 + x2z + x2y + y2z + yz2 + xyz + xyz
= (x2y + xy2 + xyz) + (xyz + y2z + yz2) + (x2z + xyz + xz2)
= xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + xz(x + y + z).
h

Đặt t

x+y+zx+y

t – z, y + z

t – x, z + x

t – y. Từ đó :

A = (t – z)(t – x)(t – y) + xyz = t3 – t2y – t2x + xzt – t2z + yzt + xyt – xyz + xyz
= t3 – (x + y + z)t2 + (xy + yz + zx)t = t3 – t3 + (xy + yz + zx)t
= (xy + yz + zx)(x + y + z).
số s

3.

lầ

s

p
ửđ

3.1.

ử

a:

hẳng hạn, khi phân tích x2 – xy + x - y thành nhân tử, có em làm như sau
x2 – xy + x – y = (x2 – xy)(x – y) = x(x – y)(x – y) = x(x – y)2!
đây, học sinh nhóm số hạng đồng thời không viết dấu “+” vào giữa các số hạng
dẫn tới sai lầm kể trên.
ách làm đ ng:

x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) = (x + 1)(x – y).
ử

3.2.

:

hẳng hạn, khi phân tích đa thức xy - y2 + 3x + 9 thành nhân tử, có em làm như
sau:
xy - y2 + 3x + 9 = (xy - y2) + (3x + 9) = y(x – y) + 3(x + 3)
Đến đây học sinh đó dừng lại và kết qu là bế tắc khi phân tích.
ách làm đ ng: xy - y2 + 3x + 9

ầ

Đ

ƣ

= (xy + 3x) – (y2 - 9)
= x(y + 3) – (y – 3)(y + 3)
= (y + 3)(x – y + 3).
18


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
Một ví dụ khác nữa, khi phân tích x2 – 4x – y2 + 4 thành nhân tử, đa số các em chỉ
nhóm hai hạng tử như:
x2 – 4x – y2 + 4 = (x2 – 4x) – (y2 – 4) = x(x – 4) – (y – 2)(y + 2)

x2 – 4x – y2 + 4 = (x2 – y2) – (4x – 4) = (x – y)(x + y) – 4(x – 1)
và cho rằng đa thức không thể phân tích thành nhân tử được Rất ít em chuyển sang
nhóm ba hạng tử
ách làm đ ng:
x2 – 4x – y2 + 4 = (x2 – 4x + 4) – y2 = (x – 2)2 – y2 = (x – y – 2)(x + y – 2).
3.3.
đư :

ử a

hi

đ

hẳng hạn, khi phân tích x2 – xy – x + y thành nhân tử, có em làm như sau
x2 – 2xy – x + 2y = (x2 – 2xy) – (x + 2y) = x(x – 2y) – (x + 2y).
R ràng việc không đổi dấu số hạng khi đưa hạng tử vào trong dấu ngoặc mà đằng
trước có dấu trừ dẫn tới bế tắc trong phân tích.
ách làm đ ng:
x – 2xy – x + 2y = (x2 – 2xy) – (x - 2y) = x(x – 2y) – (x - 2y) = (x – 2y)(x – 1)
2

đ

3.4.

a

đa

ứ

:

hẳng hạn, khi phân tích đa thức (xy – 1)2 + (x + y)2, nhiều học sinh cho rằng đa
thức này không phân tích được vì không có dạng hằng đẳng thức nào
Thực ra, nếu khai triển đa thức, ta thấy:
(xy – 1)2 + (x + y)2

= x2y2 – 2xy + 1 + x2 + 2xy + y2
= x2y2 + 1 + x2 + y2 = (x2y2 + x2) + (y2 + 1)
= x2(y2 + 1) + (y2 + 1) = (x2 + 1)(y2 + 1).

Một ví dụ khác, khi phân tích đa thức: x(x +
– (y – (y + , có học sinh cho
rằng đa thức này không phân tích được vì nhìn các số hạng không có nhân tử chung
Sai lầm này xuất phát từ việc khi đa thức không phân tích được, học sinh không nghĩ
đến khai triển đa thức. Ta phân tích đa thức như sau:
x(x + 2) – (y – 1)(y + 1)

ầ

Đ

ƣ

= x2 + 2x – y2 + 1 = (x2 + 2x + 1) – y2
= (x + 1)2 – y2 = (x + 1 – y)(x + 1 + y)
= (x – y + 1)(x + y + 1).
19

CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
ƢƠ

IV.
ƣơ

1.

p áp

Chọ
hươ g h
he
 Đặt nhân t chung.
 Dùng h g ng th c.
 Nhóm nhi u h ng t .

h tự ư

iê

í

2.

í
. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

2
a) 2x + 4x + 2 - 2y2;
b) x3  2x2  4xy2  4xy;
c) x3 – 2x2 - 4x + 8.
h

h

giải

a) ác hạng tử đều có nhân tử chung là . Vì vậy ta dùng phương pháp đặt nhân tử
chung trước:
2x2 + 4x + 2 - 2y2 = 2(x2 + 2x + 1 – y2) = 2[(x + 1)2 – y2]
= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y) = 2(x – y + 1)(x + y + 1)
b) ác hạng tử đều có nhân tử chung là x. Vì vậy ta dùng phương pháp đặt nhân tử
chung trước:
x3  2x2  4xy2  4xy

= x(x2 - 2x – 4y2 – 4y)
= x[(x2 – 4y2) – (2x + 4y)]
= x[(x – 2y)(x + 2y) – 2(x + 2y)]
= x(x + 2y)(x – 2y – 2)

c) ác hạng tử không có nhân tử chung nào, vì vậy ta nghĩ đến việc nhóm các hạng
tử:
x3 – 2x2 - 4x + 8

= (x3 – 2x2) – (4x – 8) = x2(x – 2) – 4(x – 2)
= (x – 2)(x2 – 4) = (x – 2)2(x + 2).

số s

3.

lầ

s
đ

đ
ầ

p
ử

a

a

đ

ử

:
Đ

ƣ

20

CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
hẳng hạn, khi phân tích đa thức: x2 + 4x + 2 - 2y2 có học sinh làm như sau:
2x2 + 4x + 2 - 2y2

= (2x2 + 4x) – (2y2 – 2) = 2x(x + 2) – 2(y – 1)(y + 1)
= 2[x(x + 2) – (y – 1)(y + 1)].

Đến đây học sinh không phân tích nữa và dừng lại.
ách làm đ ng: em í

ƢƠ

B.

.

NÂNG CAO

ƢƠ

I.
1.

T H NG TỬ THÀNH NHIỀU H NG TỬ

ƣơ

p áp

Ởđ

đ

ứ

ậ

.

ức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c,

đ

ƣ

á

:

ử ax2

1
2 (P ươ

ử

ước 1: Tìm tích ac, rồi phân tích ac ra tích c a hai thừa s nguyên b ng mọi cách.
a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = i.ci = …

ước 2: Chọn hai thừa s có tổng b ng b, ch ng h n chọn tích a.c = ai.ci với
b = ai + ci
ước 3: Tách bx = aix + cix. Từ

h i

h ng thích hợ

phân tích tiếp.

ử c.

3
4:

h

đa

ứ
 2
c
b
b2 c b2 
 2 b
 a  x  x    a  x  2.x.  2   2 
a
a
2a 4a
a 4a 




f(x)

2

b  b 2  4ac 
 a  x   

2a 
4a 2 


Đến đây, nếu đa thức trong ngoặc có dạng hiệu hai bình phương thì ta tiếp tục phân
tích.
Trong bốn cách này, cách thứ hai thường dùng hơn c .
ầ

Đ

ƣ

21


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
2.

í
í

. Phân tích các đa thức f(x) = 3x2 + 8x + 4 thành nhân tử.

h

h
h

giải
hh g

ậ

hấ

 Phân tích: ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)
 Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci).
 Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix).
Ta phân tích như sau :
3x2 + 8x + 4

= 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)
= x(3x + 2) + 2(3x + 2)
= (x + 2)(3x +2).

Ngoài cách tách hạng tử bx, ta c n một số cách tách như sau:
Cách 2. (tách h ng t bậc hai ax2)
 Làm xuất hi n hi

h i

h hươ g

f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x)
= (x + 2)(3x + 2)
 Tách thành 4 s h ng rồi nhóm h h hợ :
f(x) = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x) – (x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
= (x + 2)(3x + 2)
f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4

(x +

( x+

Cách 3. (tách h ng t tự do c)
 Tách thành 4 s h ng rồi nhóm thành h h hợ :
f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 –

+( x+

(x +

( x+

Cách 4. (tách 2 s h ng, 3 s h ng)
f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)
f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x
(x + ( x +

Cách 5.
ầ

Đ

8
4
4 16 4 16 


 3 x 2  x    3 x 2  2.x.    
3
3
3 9 3 9



f(x)
ƣ

22


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
2

4  4
4 2 
4 2


 3  x      3 x    x   
3  9 
3 3 
3 3


2

 3 x    x  2  (3x  2)(x  2)
3


Chú ý : N u f(x) = ax2 + bx + c có d ng A2 ± 2AB + c
tác
ư a

a

2

± 2BC + C2 thì ta

f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)
h ặ f(x) = ax2 – B2 + B2 ± 2BC + C2 = (ax2 – B2) + (B – C)2.
í

. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) f(x) = 4x2  4x  3 ;

h

h

b) g(x) = 7x2 + 12x - 4

giải

a) Ta có thể dùng cách tách như đã trình bày

các ví dụ trên. Để ý kĩ hơn, ta thấy:

4x2  4x = (2x)2 – 2.2x.1
Để 4x2  4x thành bình phương một hiệu, ta cần thêm b2

. Từ đó ta có cách tách:

f(x) = (4x2 – 4x + 1) – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1)
b) Nhận x t: 12x - 4 = -(2.3x.2 + 22). Ta cần thêm 9x2 vào trong dấu ngoặc để
được hằng đẳng thức bình phương một hiệu (9x2 - 2.3x.2 + 22 = (3x – 2)2). Từ đó,
ta có cách tách:
f(x) = 16x2 - 9x2 + 12x - 4 = 16x2 – (9x2 - 12x + 4) = (4x)2 – (3x – 2)2
= (x + 2)(7x – 2)
3.
a

3.1.
í

ứ

(

a

2

+ bxy + cy2

ư đa

ứ

:

. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
A = 4x2 – 4xy – 3y2
h giải

h

A = 4x2 – 4xy – 3y2 = 4x2 – 6xy + 2xy – 3y2 = 2x(2x – 3y) + y(2x – 3y)

h

= (2x – 3y)(2x + y).
A = 4x2 – 4xy – 3y2 = 4x2 – 4xy + y2 – 4y2 = (2x – y)2 – (2y)2

h

= (2x – 3y)(2x + y).
ầ

Đ

ƣ

23


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
đa

3.2.
đư :

ứ

đa

ứ f(x) = ax2 +

hẳng hạn, khi phân tích đa thức f(x
x2 + x + , nhiều học sinh cố gắng phân tích
theo các cách đã nêu nhưng không thể tìm ra cách tách thích hợp nào
Thực ra, đa thức trên không phân tích được. Tại sao Vì đa thức này không có
nghiệm. Những đa thức bậc hai không có nghiệm thì không thể phân tích được.
Vậy, ta gi i quyết vấn đề như sau:
Ta có: f(x

1 3
1
3
(x 2  x  )   (x  )2   0 x.
4 4
2
4

Suy ra đa thức không có nghiệm và do đó đa thức không thể phân tích được.
ƢƠ

II.

Ẩ

ƣơ

1.

Ệ

p áp

- Ta ch ý đến một định lí quan trọng sau :
Định lí : Nếu f(x) có nghi
= h f
= 0 Khi
và f(x) có th viế ưới d ng f(x) = (x – a).q(x).

f

t nhân t là x – a

- c đó tách các số hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa nhân tử là
x – a. ũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên của đa thức, nếu có, ph i là một ước của
hệ số tự do.
h c an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a1 x  a0 víi an , an1,..., a1, a0

Thật vậy, giả s

nguyên, có nghi m nguyên x = a. Thế thì :
an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a1 x  a0  ( x  a)(bn1 x n1  bn2 x n2  ...  b1 x  b0 ) ,

g

bn1, bn2 ,..., b1, b0 là các s nguyên. H ng t bậc thấp nhất ở vế phải là

– ab0, h ng t bậc thấp nhất ở vế trái là a0 D
2.

– ab0 = a0

y

l ước c a a0.

í
í

. Phân tích các đa thức sau f(x) = x3 + x2 + 4 thành nhân tử

h

h

giải

Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + 4 0. Đa thức
f(x) có một nghiệm x = – , do đó nó chứa một nhân tử là x + 2. Từ đó, ta tách như
sau
ầ

Đ

ƣ

24


CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ứ
Cách 1: f(x) = x3 + 2x2 – x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
= (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 2: f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2)
= (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 3: f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)
= x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 4: f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2)
= (x + 2)(x2 – x + 2).

3.

số ệ u

đ

lí

ê

Từ định lí trên, ta có các hệ qu sau :
H quả 1. Nếu f(x) có tổng các h s b ng 0 thì f(x) có m t nghi m là x = 1. Từ
f(x) có m t nhân t là x – 1.
Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 có 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nên x = 1 là một
nghiệm của đa thức. Đa thức có một nhân tử là x – . Ta phân tích như sau :
f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4)
= x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1)
= (x – 1)( x – 2)2.
H quả 2. Nếu f(x) có tổng các h s c a các lu thừa bậc chẵn b ng tổng các h s
c a các lu thừa bậc l thì f(x) có m t nghi m x = –1. Từ
f
t nhân t là
x + 1.
Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 3x + 9 có 1 + 3 = –5 + 9 nên x = –1 là một nghiệm
của đa thức. Đa thức có một nhân tử là x + . Ta phân tích như sau :
f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9)
= x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1)
= (x + 1)(x – 3)2
H quả 3. Nếu f(x) có nghi m nguyên x = a và f(1) và f(–1) khác 0 thì
f (1)

a 1

f (1)
và
a 1

u là s nguyên.
Chứng minh

Đa thức f(x) có nghiệm x = a nên f(x) có một nhân tử là x – a. Do đó f(x có dạng :
ầ

Đ

ƣ

25