SKKN Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN THANH XUÂN
TRƯỜNG THCS KHƯƠNG MAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
( Sáng kiến đạt giải C cấp Thành phố năm học 2012-2013)

Lĩnh vực: Toán
Họ và tên: Đỗ Kim Hương
Chức vụ: Giáo viên

Hà Nội, tháng 4 năm 2013

1


PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
a. Cơ sở pháp chế
Đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi là một công tác mũi nhọn của ngành giáo
dục & đào tạo. Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học
sinh giỏi là một nhu cầu cấp thiết của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc
đào tạo, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước. Chính vì vậy, trong những năm gần
đây, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi được ngành giáo dục hết sức chú
trọng.
b. Cơ sở lý luận
Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông.
Là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để
chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của
chương trình, nội dung của SGK, nắm vững phương pháp dạy học, để từ đó
tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi

giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán thường xuyên phải làm.
Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc đào tạo, bồi dưỡng những học
sinh có năng khiếu về bộ môn Toán. Giúp cho các em trở thành những học
sinh giỏi thực sự về bộ môn toán là một công tác mũi nhọn trong công tác
chuyên môn được ngành giáo dục hết sức chú trọng. Các cuộc thi học sinh giỏi
các cấp được tổ chức thường xuyên mỗi năm một lần đã thể hiện rõ điều đó.
Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh
giỏi, trong đó chuyên đề “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”
là một trong những chuyên đề giữ một vai trò quan trọng, nó giúp cho học sinh
hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại số. Chẳng hạn, để
thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa
thức thành nhân tử, hay việc giải một phương trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều
khó khăn nếu học sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân
tử, thậm chí trong nhiều đề thi học sinh giỏi cấp Quận, Thành phố, ... nhiều
năm cũng có những bài toán về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử.
Chính vì vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh chuyên đề về phân tích đa thức
thành nhân tử là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm.
c. Cơ sở thực tiễn
2


Năm học này, bản thân tôi được Nhà trường giao cho nhiệm vụ đào tạo bồi
dưỡng học sinh. Đây là cơ hội để tôi đưa đề tài này áp dụng vào công tác đào
tạo bồi dưỡng học sinh giỏi.
Với tất cả những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài “Các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử” .
2. Nhiệm vụ của đề tài
- Nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử.
- Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các
phương pháp giải bài tập thích hợp cho từng bài .

- Thực nghiệm việc sử dụng các phương pháp giải bài tập phân tích đa thức
thành nhân tử trong giảng dạy.
- Một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu.
3. Giới hạn của đề tài
Đề tài này tôi áp dụng tại Trường THCS Khương Mai và dành cho đối
tượng là học sinh giỏi bộ môn Toán lớp 8
4. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh giỏi lớp 8 của Trường THCS Khương Mai – Quận Thanh Xuân.
5. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phương pháp sau đây:
a) Phương pháp nghiên cứu lý luận.
b) Phương pháp khảo sát thực tiễn.
c) Phương pháp quan sát.
d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa.
e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
6. Tài liệu tham khảo
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng một số tài liệu sau:
- Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 8
- Chuyên đề bồi dưỡng Đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn)
- “23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp” của Nhóm tác giả: Nguyễn Văn
Vĩnh – Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồng nghiệp (NKTH).
- Nâng cao & phát triển toán 8 (Tập I & II) (Vũ Hữu Bình)
- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8 (phần Đại số)
(Võ Đại Mau; Võ Đại Hoài Đức)
PHẦN II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
3


Nhiều định lý đã chứng tỏ được rằng mọi đa thức đều phân tích được thành

tích các đa thức trên trường số thực R. Song đó là mặt lí thuyết, còn trong thực
hành thì khó khăn hơn nhiều, và đòi hỏi những “kĩ thuật”, những thói quen và
kĩ năng “sơ cấp”. Dưới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phương pháp
thường dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử.
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối
với phép cộng (theo chiều ngược).
Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)
Giải: Ta có : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by)
= 2x2 (ax + 2by + ax – by)
=2x2(2ax + by)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)
Giải: Ta có:
B = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)
= (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax))
= (5y + 2b)(- 4a2 + ax)
= (5y + 2b)(x – 4a)a
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
C = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2
Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y – 2z
Do đó : C = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2
= 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z))
=3x(y – 2z)(x – 5y + 10z)
Bài 4 : phân tích đa thức sau thành nhân tử
D = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d)
Giải: Ta có: D = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d)
= (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax)
= (5c + 2d)(ax – 4a2)

= a(5c + 2d)(x – 4a)
Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử
E = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy
Giải: Ta có: E = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy
= 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1)
4


= 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2))
= 3xy((x – 1)2 – (y + z)2)
= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z))
= 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)
Bài 6 : Phân tích đa thức thành nhân tử:
F = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)
Giải: Ta có : F = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)
= (y – 2z)(16x2 – 10y)
Bài 7 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
G = x3 + 3x2 + 2x + 6
Giải: Ta có : G = x3 + 3x2 + 2x + 6
= x2(x + 3) + 2( x + 3)
= (x2 + 2)(x + 3)
Bài 8 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
H = 6z3 + 3z2 + 2z +1
Giải: Ta có : H = 6z3 + 3z2 + 2z +1
= 3z2(2z + 1) + (2z + 1)
= (2z + 1)(3z2 + 1)
2 . Phương pháp nhóm các hạng tử
Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính
chất kết hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân
tử chung, rồi sau đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép

cộng. Sau đây là một số ví dụ :
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2
Giải: Ta có : A = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2
= (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2)
= x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y)
= x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z)
= (y – z)((x(y + z) – yz – x2))
= (y – z)((xy – x2) + (xz – yz)
= (y – z)(x(y – x) + z(x – y))
= (y – z)(x – y)(z – x)
Bài 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
5


B= 4x5 +6x3 +6x2 +9
Giải: Ta có : B = 4x5 +6x3 +6x2 +9
= 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3)
= (2x3 + 3)(2x2 + 3)
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = x 6 + x4 + x2 + 1
Giải: Ta có : C = x6 + x4 + x2 + 1
= x4(x2 + 1) + ( x2 + 1)
= (x2 + 1)(x4 + 1)
Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
D = x2 + 2x + 1 – y2
Giải: Ta có: D = x2 + 2x + 1 – y2
= (x2 + 2x + 1) – y2
= (x + 1)2 – y2
=(x +1 – y)(x + 1 + y )

Bài 5 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
E = x2 + 2xy + y2 – xz - yz
Giải: Ta có : E = x2 + 2xy + y2 – xz - yz
= (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz)
= (x + y)2 – z(x + y)
= (x + y)(x + y – z)
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
F = 2xy + z + 2x + yz
Giải: Ta có : F = 2xy + z + 2x + yz
= (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1)
= (y + 1)(2x + z)
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
G = x m + 4 + xm + 3 – x - 1
Giải: Ta có : G = xm + 4 + xm + 3 – x – 1
= xm + 3(x + 1) – ( x + 1)
= (x + 1)(xm + 3 – 1)
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
H = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y)
6


Giải: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số
chung y - z
Ta có : H = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2
= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2)
= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z)
= (y – z)((x2 + yz – x(y + z))
= (y – z)(x2 + yz – xy – xz)
= (y – z)(x(x – y) – z(x – y))

= (y – z)(x – y)(x – z)
Nhận xét : dễ thấy z – x = -((y – z) + (x – y)
nên : H = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y)
=(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2)
= (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y)
= (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))
= (y – z) (x – y)(x – z)
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
I = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
Giải: Ta có : I = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b)
= ( a + b)(bc + ca + ab + c2)
= ( a + b)( c(b + c) + a(b + c))
= ( a + b)(b + c)(c + a)
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
K = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc
Giải: Ta có : K = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc
= (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc)
= ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c)
= ( a + b + c)(ab + bc + ca)
Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc
Giải: Ta có : Q = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc
= (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc)
7


= 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b)

= (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc)
= (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c))
= (a + 2b)(2b – c)(a – c)
Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)
Giải: Ta có : P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)
= 4x2y2(2x + y) + z2(y2(z – y) – 4x2(2x + z)
= 4x2y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z)
= 4x2y2(2x + y) + z2(z(y2 – 4x2) – (y3 + 8x3))
= 4x2y2(2x + y) + z2(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y2 – 2xy + 4x2))
= (2x + y)( 4x2y2 + z3 – 2xz3 – z2y2 + 2xyz2 – 4x2z2)
= (2x + y)(4x2(y2 – z2) – z2y (y – z) +2xz2( y – z))
= (2x + y)(y – z)(4x2y + 4x2z – z2y + 2xz2)
= (2x + y)( y – z)(y(4x2 – z2) + 2xz(2x + z))
= (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz)
3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Phương pháp này dùng hằng đẳng thức để đưa một đa thức về dạng tích,
hoặc luỹ thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác.
Các hằng đẳng thức thường dùng là :
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)2
A2 - B2 = (A + B) (A - B)
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2)
A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2)
Sau đây là một số bài tập cụ thể:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x4 + x2y2 + y4
Giải: Ta có : A = x4 + x2y2 + y4

= (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2
= (x2 + y2)2 - x2y2
= (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy)
8


Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4
Giải: Ta có : B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4
= (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 )
= (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 )
= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2
= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2
= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )
= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1))
= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1)
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
Giải: Ta có : C = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
= (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2
= (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2
= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2
= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1 + x2 – x + 1)
= 2(x2 – x + 1)(x2 + 1)
Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
D = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2
Giải: Ta có: D = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2
= (x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2z2) – 4y2z2
= (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2
= (x2 – y2 – z2 – 2yz) (x2 – y2 – z2 + 2yz)

= (x2 – (y + z)2 )( x2 – (y - z)2 )
= (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z)
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
E = (x + y)3 +(x - y)3
Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách
khác giải như sau :
Cách 1: E = (x + y)3 +(x - y)3
= ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)
= 8x3 – 3.2x(x2 – y2)
= 2x(4x2 – 3(x2 – y2))
9


= 2x(x2 + 3y2)
Cách 2: E = (x + y)3 +(x - y)3
= ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2
= 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2))
= 2x(x2 + 3y2)
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
F = 16x2 + 40x + 25
Giải: Ta có: F = 16x2 + 40x + 25
= (4x)2 + 2.4.5.x + 52
= (4x + 5)2
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
G = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3)
Giải: Ta có: G = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3)
= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3)
= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3)
= 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c)
= 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc)

= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)
= 3(b + c)(a + b)(a + c)
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
H = x8 – 28
Giải: Ta có : H = x8 – 28
= (x4 + 24) (x4 - 24)
= (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 )
= (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22)
= (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2)
* Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp cả ba phương pháp kể trên
để có thể phân tích đa thước thành nhân tử.
Bài 9 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : M = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2
Giải: M = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2
= (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm các hạng tử)
= 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC và dùng hằng đẳng thức)
= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : N = a2 - b2 - 2a + 2b
Giải: N = a2 - b2 - 2a + 2b
10


= (a2 - b2) - (2a - 2b) (Nhóm các hạng tử)
= (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a -b) (a + b - 2)
(Đặt NTC)
Để phối hợp nhiều phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử
cần chú ý các bước sau đây:
+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa
thức.
+ Xem xét đa thức có dạng bằng đẳng thức nào không ?

+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải
nhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử
chung, làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng
thức. Cụ thể các ví dụ sau:
Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2
Ta thấy P không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử
chung, vậy làm gì để phân tích được. Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a 2 - 5b2 có
nhân tử chung. Vì vậy ta dùng phương pháp nhóm các hạng tử đầu tiên.
P = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2. Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất
làm xuất hiện hằng đẳng thức P = 5(a 2 - b2) + 3 (a + b)2. Sử dụng hằng đẳng
thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai nhóm là (a+b)
Vậy P = 5(a + b) (a - b) +3 (a + b) 2 . Đã có nhân tử chung là: (a + b) Vậy ta
tiếp tục đặt nhân tử chung.
P = (a + b) (8a - 2b) =2 (a + b) (4a - b).
Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
Q = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy22 - 3xyz2 + 3xy.
Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ?
Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy.
+ Đặt nhân tử chung.
Q = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - Z2 + 1)
Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không?
+ Nhóm hạng tử: Q = 3 xy[(x2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2)]
+ Dùng hằng đẳng thức: Q = 3xy [( x - 1)2 - ( y + z)2] xem xét hai hạng tử
trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào.
+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có:
Q = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)
11


Vậy: Q đã được phân tích các đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát xem,

kiển tra, linh hoạt sử dụng các bước phối hợp giữa các phương pháp như đã hướng
dẫn trên từ đó sẽ phân tích theo các phương pháp thông thường.
4. Phương pháp sử dụng phép chia đa thức:
Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x –
a).g(x) ,g(x) là một đa thức. Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a). Sau đó lại
phân tích tiếp g(x).
Sau đây là một số ví dụ cụ thể:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8
Giải:
Dễ thấy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + 8 = 0
Nên chia f(x) cho (x + 2), ta được:
f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x)
Dễ thấy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 có g(-2) = 0
Nên chia g(x) cho (x + 2), ta được:
g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2)
Đặt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + 2. Ta có: h(-2) = 0
Nên chia h(x) cho(x + 2), được: h(x) = (x + 2)(x2 + 1)
Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1)
= (x + 2)3(x2 + 1)
Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ
Hoocne để thực hiện phép chia được nhanh hơn.
Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) như sau :

-2

1
1

6

4

13
5

14
4

12
4

8
0

Vậy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4)
Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cho (x + 2) như sau :

-2

1
1

4
2

5
2

4
2

4
0

Vậy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2)
12


Chia x3 + 2x2 + 2x + 2 cho (x + 2) như sau :

-2

1
1

2
0

2
1

2
0

Vậy x3 + 2x2 + 2x + 2 = (x + 2)(x2 + 1)
Vậy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36
Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) trong các ước của 36 : ± 1; ± 2;
± 3; ± 4; ± 6 ; ± 9; ± 12; ± 18; ± 36.

Ta thấy : x = -2
P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = 0
Ta có: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36
= x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2)
= (x + 2)(x3 – 4x2 – 3x + 18)
Lại phân tích Q = x3 – 4x2 – 3x + 18 thành nhân tử
Ta thấy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = 0
Nên chia Q cho (x + 2), ta được :
Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9)
= (x + 2)(x – 3)2
Vậy: P = (x + 2)2(x – 3)2
5. Phương pháp đặt ẩn phụ
Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa
một đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa
thức này sẽ dễ dàng phân tích được thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán
dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12
Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành :
A = y2 + 4y – 12
= y2 – 2y + 6y – 12
= y(y – 2) + 6(y – 2)
= (y – 2)(y + 6) (1)
Thay : y = x2 + x vào (1) ta được :
13


A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6)
= (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12
Giải: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12
Đặt y = (x2 + x + 1). Đa thức đã cho trở thành :
A = y(y + 1) – 12
= y2 + y – 12
= y2 – 3y + 4y – 12
= y(y – 3) + 4(y – 3)
= (y – 3)(y + 4)
(*)
Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta được :
A = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4)
= (x2 + x – 2) (x2 + x + 6)
= (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6)
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x12 – 3x6 + 1
Giải: B = x12 – 3x6 + 1
Đặt y = x6 (y ≥ 0 )
Đa thức đã cho trở thành :
B = y2 – 3y + 1
= y2 – 2y + 1 – y
= (y – 1)2 – y
= (y – 1 -

y )(y + 1 + y )

(*)

Thay : y = x6 vào (*) được :
B = (x6 – 1 - x 6 )( y + 1 + x 6 )
= (x6 – 1 – x3)(x6 + 1 + x3)

Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = x3 - 3 2 x2 + 3x + 2 - 2
Giải: Đặt : y = x - 2 , ta có x = y + 2
C = (y + 2 )3 - 3 2 (y + 2 )2 + 3(y + 2 ) + 2 - 2
= y3 + 3y2 2 + 3y.2 + 2 2 - 3 2 (y2 + 2 2 y + 2) + 3(y + 2 ) + 2 - 2
= y3 - 3y – 2
= y3 - y – 2y – 2
14


= y(y2 – 1) – 2(y + 1)
= y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1)
= (y + 1)(y(y – 1) – 2)
= (y + 1)(y2 – y – 2)
= (y + 1)(y + 1)(y – 2)
= (y + 1)2(y – 2)
(*)
Thay : y = x - 2 vào (*), được :
C = (x - 2 + 1)2(x - 2 - 2)

Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
D = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Giải: Ta có:
D = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
= ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15
= (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15
Đặt : y = (x2 + 8x + 7). Đa thức đã cho trở thành :
D = y(y + 8) + 15
= y2 + 8y + 15
= y2 + 3y + 5y + 15

= y(y + 3) + 5(y + 3)
= ( y + 3)(y + 5)
Thay : y = (x2 + 8x + 7), ta được :
D = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12)
= (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12)
= (x2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2))
= (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau : phân
tích đa thức sau thành nhân tử :
A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m
Nếu a + d = b + c . Ta biến đổi A thành :
A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1)
Bằng cách biến đổi tương tự như bài 5, ta đưa đa thức (1) về đa thức bậc
hai và từ đó phân tích được đa thức A thành tích các nhân tử.
15


Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
E = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1
Giải: Giả sử x ≠ 0 , ta viết đa thức dưới dạng :
1
1
)+7)
2 ) + 6( x x
x
1
1
Đặt y = x - thì x2 + 2 = y2 + 2
x
x

E = x2((x2 +

Do đó : E = x2(y2 + 2 + 6y + 7)
= x2( y + 3)2
= (xy + 3x) 2
1
, ta được
x
2
1


E =  x( x − ) + 3x
x



Thay y = x -

= (x2 + 3x – 1)2
Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0
Nhận xét :
Từ lời giải bài tập này, ta có thể giải bài tập tổng quát sau : Phân tích đa
thức sau thành nhân tử :
A = a0x2n + a1xn – 1 +…….+ an – 1xn – 1 +anxn + an – 1xn – 1 + …..+ a1x + a0
Bằng cách đưa xn làm nhân tử của A, hay :
A = xn(a0xn + a1xn – 1 + …….+ an – 1x + an +
Sau đó đặt y = x +

1
x

a n −1
a
a
+…..+ n1−1 + 0n
x
x
x

ta sẽ phân tích được A thành nhân tử một cách dễ

dàng như bài tập trên.
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
F = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12
Giải: Ta có: F = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12
= (x + y)2 – (x + y) – 12
- Đặt X = x + y, đa thức trên trở thành :
F = X2 – X – 12
= X2 - 16 – X + 4
= (X + 4)(X - 4) - (X - 4)
= (X - 4)(X + 4 - 1)
= (X - 4)(X + 3) (1)
- Thay X = x + y vào (1) ta được :
F = (x + y – 4)( x + y + 3)
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
G = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2
Giải: G = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2
Đặt : x2 + y2 + z2 = a

xy + yz + zx = b
⇒ ( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b
16


Đa thức A trở thành :
G = a(a + 2b) + b2
= a2 + 2ab + b2
= (a + b)2 (*)
Thay : a = x2 + y2 + z2
b = xy + yz + zx vào (*) ta được :
G = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2
6. Phương pháp tách hạng tử; thêm bớt hạng tử
Phương pháp tách; thêm, bớt các hạng tử trong đa thức để làm xuất hiện
các đa thức có thể đưa về hằng đẳng thức đáng nhớ.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x2 – 6x + 5
Giải: Ta có thể giải bài toán trên đây bằng một số cách như sau:
Cách 1:
A = x2 – 6x + 5
= x2 – x – 5x + 5
= x(x – 1) – 5(x – 1)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 2 : A = x2 – 6x + 5
= (x2 - 2x + 1) – 4x + 4
= (x – 1)2 – 4(x – 1)
= (x – 1)(x – 1 - 4)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 3 : A = x2 – 6x + 5

= (x2 – 6x + 9) – 4
= (x – 3)2 – 4
= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 4 : A = x2 – 6x + 5
= (x2 – 1) – 6x + 6
= (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1)
= (x – 1)( x + 1 – 6)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 5 : A = x2 – 6x + 5
= (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + 2
17


= 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1)
= 3(x – 1)(3(x – 1) – 2 ( x + 1))
= (x – 1)(x – 5)
Cách 6 : A = x2 – 6x + 5
= (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + 4
= (x – 1)2 – 4x(x – 1)
= (x – 1)( (5(x – 1) – 4x))
= (x – 1)(x – 5)
Cách 7 : A = x2 – 6x + 5
= (6x2 – 6x) – 5x2 + 5
= 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1)
= (x – 1)(6x – 5(x + 1))
= (x – 1)(x – 5)
Cách 8 : A = x2 – 6x + 5
Đặt f(x) = x2 – 6x + 5
Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho

(x- 1). Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) được thương là (x – 5). Vậy
A = (x – 1)(x – 5)
Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c ≠ 0) bằng phương pháp tách số
hạng ta làm như sau :
Bước 1 : lấy tích a.c = t
Bước 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trường hợp) t = pi.qi
Bươc 3 : tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, qa sao cho : pa + qa = b
Bước 4 : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c
Bước 5 : từ đây nhóm các số hạng và đưa nhân tủ chung ra ngoài dấu
ngoặc.
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x4 + 2x2 - 3
Giải:
Cách 1: B = x4 + 2x2 - 3
= x4 – x2+ 3x2 – 3
= x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1)
= (x2 – 1) (x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 2: B = x4 + 2x2 - 3
18


= x4 + 3x2 – x2– 3
= x2(x2 + 3) - (x2 + 3)
= (x2 + 3)(x2 – 1)
= (x2 + 3)(x – 1)(x + 1)
Cách 3 : B = x4 + 2x2 - 3
= (x4 ) + 2x2 – 1 – 2
= (x4 – 1) + 2x2– 2
= (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1)

= (x2 – 1)(x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 4 : B = x4 + 2x2 - 3
= (x4 + 2x2 + 1) - 4
= (x2 + 1)2 – 4
= (x2 + 1)2 – 22
= (x2 + 1 – 2)(x2 + 1 + 2)
= (x2 – 1) (x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 5 : B = x4 + 2x2 - 3
= (x4 – 9) + 2x2 + 6
= (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3)
= (x2 + 3)( x2 - 3 + 2)
= (x2 + 3)(x2 – 1)
= (x2 + 3)(x – 1)(x + 1)
Cách 6 : B = x4 + 2x2 - 3
= (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2
= 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1)
= 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1)
= (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2)
= (x2 – 1) (x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = x4 + x2 + 1
Giải:
Cách 1 : C = x4 + x2 + 1
= (x4 + 2x2 + 1) - x2
19

= (x2 + 1)2 - x2
= (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)
Cách 2 : C = x4 + x2 + 1
= (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)
= (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)
Cách 3 : C = x4 + x2 + 1
= (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1)
= x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1)
= (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)
Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
D = 5x2 + 6xy + y2
Giải:
Cách 1 : D = 5x2 + 6xy + y2
= (5x2 + 5xy) + (xy + y2)
= 5x(x + y) + y(x + y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 2 : D = 5x2 + 6xy + y2
= (6x2 + 6xy) – (x2 - y2)
= 6x(x + y) – (x – y)(x + y)
= (x + y)(6x – x + y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 3 : D = 5x2 + 6xy + y2
= (4x2 + 4xy) +(x2 + 2xy + y2 )
= 4x(x + y) + (x + y)2
= (x + y)(4x + x + y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 4 : D = 5x2 + 6xy + y2
= (3x2 + 6xy + 3y2) + (2x2 – 2y2 )
= 3(x + y)2 + 2(x2 – y2 )
= (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y)

= (x + y)(5x + y)
Cách 5 : D = 5x2 + 6xy + y2
= (5x2 + 10xy + y2) – (4xy + 4y2)
= 5(x + y)2 – 4y(x + y)
= (x + y)(5(x + y) – 4y))
20


= (x + y)(5x + y)
Cách 6 : D = 5x2 + 6xy + y2
= (5x2 - 5y2) + (6xy + y2)
= 5(x2 – y2) + 6y(x + y)
= 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y)
= (x + y)(5x – 5y + 6y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 7 : D = 5x2 + 6xy + y2
= (9x2 + 6xy + y2) – 4x2
=(3x + y)2 – 4x2
= (3x + y – 2x)(3x + y + 2x)
= (x + y)(5x + y)
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
E = x4 + x2y2 + y4
Giải:
Ta có : E = x4 + x2y2 + y4
= (x4 + 2x2y2 + y4) – x2y2
= (x2 + y2)2 – (xy)2
= (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy)
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
F = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
Giải: Ta có : F = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2

= x4 + (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 + x
= (x2 – x + 1)(x2 – x + 2) + x(x + 1)(x2 – x + 1)
= (x2 – x + 1)((x2 – x + 2) + x(x + 1))
= (x2 – x + 1)(2x2 + 2)
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 4x4 + 81
Giải: Ta có : P = 4x4 + 81
= 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2
= (2x2 + 9)2 – (6x)2
=(2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x)
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5
21


Giải: Ta có : Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5
= 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – 5
= x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1)
= (3x – 1)(x2 – 2x + 5)
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x3 – x2 – x - 2
Giải: Ta có : M = x3 – x2 – x - 2
= x3 – 1 – (x2 + x + 1)
= (x – 1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x – 1 – 1)
= (x2 + x + 1)(x – 2)
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
N = x 3 + x2 – x + 2
Giải: Ta có : N = x3 + x2 – x + 2
= (x3 + 1) + (x2 - x + 1)

= (x + 1)(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1)
= (x2 - x + 1)(x + 1+ 1)
= (x2 - x + 1)(x + 2)
Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
H = x3 – 6x2 – x + 30
Giải: Ta có : H = x3 – 6x2 – x + 30
= x3 + 2x2 – 8x2 – 16x + 15x + 30
= x2(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2)
= (x + 2)(x2 – 8x + 16 – 1)
= (x + 2)((x – 4)2 – 1))
= (x + 2)(x – 4 – 1)(x – 4 + 1)
= (x + 2)(x – 5)(x – 3)
7. Phương pháp hệ số bất định
Phương pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính
được các hệ số của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ phương trình sơ
cấp.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
22


Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện :
a + c = −16
ac + b + d = 12



ad + bc = −14
bd = 3

Xét bd = 3 với b, d ∈ Z , b ∈ {1;3 } với b = 3; d = 1
Hệ điều kiện trở thành :
 a + c = −6

ac = 8
a + 3c = −14


Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, do đó c = - 4 , a = -2
Vậy A = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
= (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :
B = ( ax + by + c )( dx + ey + g )
= adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg
= adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg
= 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện :
ad = 3
ae +bd = 22

ag +cd =11


be = 7
bg +ce = 37



cg =10

⇒

a =3


b =1


c =5


d =1


e =7


g =2

Vậy C = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
= ( 3x + y + 5 )( x + 7y + 2 )
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = x4 – 8x + 63

23

Giải: Ta có thể biểu diễn B dưới dạng :
C = x4 – 8x + 63
= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
= x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
a + c = 0
ac + b + d = 0

Đồng nhất hai đa thức ta được hệ điều kiện: 
ad + bc = −8

bd = 63

⇔

a


b


c


d


=−
4
=7

=4
=9

Vậy : C = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9)
8. Phương pháp xét giá trị riêng
Đây là một phương pháp khó, nhưng nếu áp dụng nó một cách “linh hoạt”
thì có thể phân tích một đa thức thành nhân tử rất nhanh. Trong phương pháp
này ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến
các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)
Giải: Thử thay x bởi y thì A = y2(y – z) + y2(z – y) = 0
Như vậy A chứa thừa số x – y
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì A không đổi
( ta nói đa thức A có thể hoán vị vòng quanh x → y → z → x . Do đó nếu A chứa
thừa số x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x . Vậy A có dạng :
k(x – y)(y – z)(z – x)
Ta thấy k phải là hằng số, vì A có bậc đối với tập hợp các biến x, y, z,
còn các tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y,
z.
Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x)
đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn
x = 2; y = 1; z = 0 (*), ta được:
4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)
2 = -2k
24


k = -1

Vậy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)
= (x – y)(y – z)(x – z)
Chú ý: (*) các giá trị của x, y, z có thể chọn tuỳ ý chỉ cần chúng đôi một khác
nhau để (x – y)(y – z)(z – x) ≠ 0.
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) + z2x2(y – z)
Giải: Thay x = y thì B = y2z2(z – y) + z2x2(y – z) = 0
Như vậy B chứa thừa số x – y.
Ta thấy đa thức B có thể hoán vị vòng quanh x → y → z → x. Do đó nếu B
chứa thừa số x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x . Vậy B có dạng :
k(x – y)(y – z)(z – x)
Mặt khác B là đa thức bậc ba đối với x, y, z, nên trong phép chia B cho
(x – y)(y – z)(z – x) thương là hằng số k, nghĩa là :
B = k(x – y)(y – z)(z – x) , k là hằng số.
Cho : x = 1; y = -1; z = 0 ta được :
12.(-1)2.(-2) + (-1)2.0.(0 + 1) + 02.12.(1 – 0) = k. 2.(-1).(-1)
-2 = 2k
k = -1
Vậy B = -1(x – y)(y – z)(z – x)
= (x – y)(y – z)(x – z)
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
Giải:
Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì C không thay đổi. Thay a=b vào
C ta có:
C = 0 + bc(b – c) + cb(c – b) = 0
Do đó C chia hết cho (a – b)
Suy ra C chia hết cho (b – c) và C chia hết cho (c – a). Từ đó :
C chia hết cho (a – b)(b – c)(c – a)
Mặt khác C là đa thức bậc ba đối với a, b, c, nên trong phép chia C cho

(a – b)(b – c)(c – a) thương là hằng số k, nghĩa là :
C = k(a – b)(b – c)(c – a)
Cho a = 1; b = 0; c = 1 ta được 2 = -2k hay k = - 1
C = -1(a – b)(b – c)(c – a)
25