chuyen de hinh hoc tron bo ( lop 10-11-12)- rat hay

H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
I.TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
( ) ( ) ( )
( )
( )








=∧
=++⇔=⇔⊥
==⇔=∧⇔=⇔
++=





=
=
=
⇔=
++=
=
±±±=±

−+−+−==
−−−=
21
21
13
13
32
32
332211
3
3
2
2
1
1
332211
33
22
11
2
3
2
2
2
1
321
332211
222
,,a .10
0...0.a .9

0.//a .8
....a .7
a .6
a .5
,,ak. .4
,, .3
.2
),,( .1
bb
aa
bb
aa
bb
aa
b
babababab
b
a
b
a
b
a
babkab
bababab
ba
ba
ba
b
aaa
kakaka

babababa
zzyyxxABAB
zzyyxxAB
ABABAB
ABABAB
cb,,a .11
đồng phẳng
( )
0.
=∧⇔
cba
cb,,a .12
khơng đồng phẳng
( )
0.
≠∧⇔
cba
13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1







−
−
−
−
−

−
k
kzz
k
kyy
k
kxx
M
BABABA
1
,
1
,
1
14. M là trung điểm AB







+++
2
,
2
,
2
BABABA
zzyyxx

M
15. G là trọng tâm tam giác ABC







++++++
,
3
,
3
,
3
CBACBACBA
zzzyyyxxx
G
16. Véctơ đơn vị cđa 3 trơc:
)1,0,0();0,1,0();0,0,1(
321
===
eee
17.
OzzKOyyNOxxM
∈∈∈
),0,0(;)0,,0(;)0,0,(
18.
OxzzxKOyzzyNOxyyxM

∈∈∈
),0,(;),,0(;)0,,(
19.
2
3
2
2
2
1
2
1
2
1
aaaACABS
ABC
++=∧=
∆
20.
ADACABV
ABCD
).(
6
1
∧=
21.
/
.
).(
////
AAADABV

DCBAABCD
∧=
2.CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác
• A,B,C là ba đỉnh tam giác ⇔

[
→→
AC,AB
] ≠
0


• S
∆
ABC
=
2
1
→→
AC],[AB
• Đường cao AH =
BC
S
ABC
∆
.2
• S
hbh
=

→→
AC],[AB
Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
• Chứng minh A,B,C không thẳng hàng
• ABCD là hbh
⇔

DCAB
=
Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:
• [
→→
AC,AB
].
→
AD
≠ 0
• V
td
=
6
1
→→→
AD.AC],[AB
Đường cao AH của tứ diện ABCD
AHSV
BCD
.
3
1

=

⇒

BCD
S
V
AH
3
=
• Thể tích hình hộp :
[ ]
/
.
.;
////
AAADABV
DCBAABCD
=
Dạng4: Hình chiếu của điểm M
1. H là hình chiếu của M trên mp α
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và
vuông góc mpα : ta có
α
na
d
=
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung

1
1
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng
(d)
 Viết phương trình mpα qua M và vuông
góc với (d): ta có
d
an
=
α
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
Dạng 5 : Điểm đối xứng
1.Điểm M
/
đối xứng với M qua mp α
 Tìm hình chiếu H của M trên mpα (dạng
4.1)
 H là trung điểm của MM
/
2.Điểm M
/
đối xứng với M qua đường thẳng
d:
 Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng
4.2)
H là trung điểm của MM
/

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
1: ViÕt täa ®é cđa c¸c vect¬ say ®©y:
2a i j
→ → →
= − +
;
7 8b i k
→ → →
= −
;
9c k
→ →
= −
;
3 4 5d i j k
→ → → →
= − +

2: Cho ba vect¬
→
a
= ( 2;1 ; 0 ),
→
b
= ( 1; -1; 2) ,
→
c
= (2 ; 2; -1 ).
a) T×m täa ®é cđa vect¬ :
→

u
= 4
→
a
- 2
→
b
+ 3
→
c
b) Chøng minh r»ng 3 vect¬
→
a
,
→
b
,
→
c
kh«ng ®ång ph¼ng .
c) H·y biĨu diĨn vect¬
→
w
= (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vect¬
→
a
,
→
b
,

→
c
.
3: Cho 3 vect¬
→
a
= (1; m; 2),
→
b
= (m+1; 2;1 ) ,
→
c
= (0 ; m-2 ; 2 ) .§Þnh m ®Ĩ 3 vect¬ ®ã ®ång ph¼ng .
4: Cho:
( ) ( ) ( )
2; 5;3 , 0;2; 1 , 1;7;2a b c
→ → →
= − = − =
. T×m täa ®é cđa vect¬: a)
1
4 3
2
d a b c
→ → → →
= − +
b)
4 2e a b c
→ → → →
= − −
5: T×m täa ®é cđa vect¬

x
→
, biÕt r»ng:
a)
0a x
→ → →
+ =
vµ
( )
1; 2;1a
→
= −
b)
4a x a
→ → →
+ =
vµ
( )
0; 2;1a
→
= −

c)
2a x b
→ → →
+ =
vµ
( )
5;4; 1a
→

= −
,
( )
2; 5;3 .b
→
= −
6: Cho ba ®iĨm kh«ng th¼ng hµng:
(1;3;7), ( 5;2;0), (0; 1; 1).A B C
− − −
H·y t×m träng t©m G cđa tam gi¸c
ABC.
7: Cho bèn diĨm kh«ng ®ång ph¼ng :
(2;5; 3), (1;0;0), (3;0; 2), ( 3; 1;2).A B C D
− − − −
H·y t×m täa ®é träng t©m G
cđa tø diƯn ABCD.
8: Cho ®iĨm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®iĨm M:
a) Trªn c¸c mỈt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trªn c¸c trơc täa ®é: Ox, Oy, Oz
9: Cho ®iĨm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cđa ®iĨm ®èi xøng víi ®iĨm M:
a) Qua gèc täa ®é O b) Qua mỈt ph¼ng Oxy c) Qua Trơc Oy.
10: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). T×m täa ®é cđa c¸c ®Ønh cßn
l¹i.
11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). §êng th¼ng AB c¾t mỈt ph¼ng Oyz t¹i ®iĨm M.
a) §iĨm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè nµo ? b) T×m täa ®é ®iĨm M.
13 . Cho ba vect¬
( ) ( )
1; 1;1 , 4;0; 1 ,a b
→ →
= − = −

( )
3;2; 1 .c
→
= −
T×m:

2 2 2 2
) . ; ) . ; ) ;a a b c b a b c c a b b c c a
→ → → → → → → → → → → →
   
+ +
 ÷  ÷
   

2 2 2
) 3 2 . ; ) 4 . 5d a a b b c b e a c b c
→ → → → → → → → → →
 
− + + −
 ÷
 
.
14. TÝnh gãc gi÷a hai vect¬
a
→
vµ
b
→
:
( ) ( )

) 4;3;1 , 1;2;3a a b
→ →
= = −

( ) ( )
) 2;5;4 , 6;0; 3 .b a b
→ →
= = −
15. a) Trªn trơc Oy t×m ®iĨm c¸ch ®Ịu hai ®iĨm: A(3; 1; 0) vµ B(-2; 4; 1).
b) Trªn mỈt ph¼ng Oxz t×m ®iĨm c¸ch ®Ịu ba ®iĨm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1).
16. XÐt sù ®ång ph¼ng cđa ba vect¬
, ,a b c
→ → →
trong mçi trêng hỵp sau ®©y:

( ) ( ) ( )
) 1; 1;1 , 0;1;2 , 4;2;3a a b c
→ → →
= − = =

( ) ( ) ( )
) 4;3;4 , 2; 1;2 , 1;2;1b a b c
→ → →
= = − =

( ) ( ) ( )
) 4;2;5 , 3;1;3 , 2;0;1c a b c
→ → →
= = =

( ) ( ) ( )
) 3;1; 2 , 1;1;1 , 2;2;1 .d a b c
→ → →
= − − = = −
17. Cho ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
2
2
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba ®Ønh cđa mét tam gi¸c. b) TÝnh chu vi vµ diƯn tÝch ∆ABC.
c) T×m täa ®é ®Ønh D ®Ĩ tø gi¸c ABDC lµ h×nh b×nh hµnh. d) TÝnh ®é dµi ®êng cao cđa ∆ABC h¹ tõ ®Ønh A.
e) TÝnh c¸c gãc cđa ∆ABC.
18. Cho bèn ®iĨm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cđa mét tø diƯn.
b) T×m gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®èi diƯn cđa tø diƯn ABCD.
c) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD vµ tÝnh ®é dµi ®êng cao cđa tø diƯn h¹ tõ ®Ønh A.
19. Cho ∆ ABC biÕt A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). H·y t×m ®é dµi ®êng ph©n gi¸c trong cđa gãc B.
20. Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho bèn ®iĨm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C, D t¹o thµnh tø diƯn. TÝnh thĨ tÝch cđa khèi tø diƯn ABCD.
b) TÝnh ®é dµi ®êng cao h¹ tõ ®Ønh C cđa tø diƯn ®ã.
c) TÝnh ®é dµi ®êng cao cđa tam gi¸c ABD h¹ tõ ®Ønh B.
d) TÝnh gãc ABC vµ gãc gi÷a hai ®êng th¼ng AB, CD.
21. Cho 3 ®iĨm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a) X¸c ®Þnh ®iĨm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh .
b) T×m täa ®é giao ®iĨm cđa hai ®êng chÐo.
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC, ®é dµi BC tõ ®ã ®êng cao tam gi¸c ABC vÏ tõ A.
T×m täa ®é träng t©m cđa tam gi¸c ABC .
22. Cho 4 ®iĨm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).

a) Chøng minh 4 ®iĨm A, B , C , D kh«ng ®ång ph¼ng.TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD
b) T×m täa ®é träng t©m cđa tø diƯn ABCD .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC , tõ ®ã suy ra chiỊu cao cđa tø diƯn vÏ tõ D.
d) T×m täa ®é ch©n ®êng cao cđa tø diƯn vÏ tõ D .
23. Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho ba ®iĨm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) T×m ®é dµi c¸c c¹nh cđa tm gi¸c ABC. b) TÝnh cosin c¸c gãc A,B,C .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ pháp tuyến của mp
α
:
n

≠
0

là véctơ pháp tuyến của α
⇔

n

⊥ α
2. Cặp véctơ chỉ phương của mp
α
:

a


b

là cặp vtcp của α
⇔
a

,
b

cùng // α
3 Quan hệ giữa vtpt
n

và cặp vtcp
a

,
b

:
n

= [
a

,
b

]
4. Pt mp

α
qua M(x
o
; y
o
; z
o
) có vtpt
n

= (A;B;C)
A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0
(α) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có
n

= (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0)
B(0,b,0) ; C(0,0,c) :

1
c
z
b
y

a
x
=++
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần:
1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ
(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7. Chùm mặt phẳng : giả sử α
1
∩ α
2
= d trong đó
(α
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
(α
2
): A
2
x + B
2
y + C

2
z + D
2
= 0
Pt mp chứa (d) có dạng sau với m
2
+ n
2
≠ 0 :
m(A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
) + n(A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
) =
0
8. Vò trí tương đối của hai mp (α
1
) và (α

2
) :
°
222111
C:B:AC:B:Acắt
≠⇔βα
°
2
1
2
1
2
1
2
1
//
D
D
C
C
B
B
A
A
≠==⇔
βα
°
2
1
2

1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
===⇔≡
βα
ª
0
212121
=++⇔⊥
CCBBAA
βα
9.KC từ M(x
0
,y
0
,z
0
) đến (
α
) : Ax + By + Cz + D =

0
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
3
3
//
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010

222
ooo
CBA
D Cz By Ax
++
+++
=
)d(M,
α
10.Góc gi ữa hai mặt phẳng :
21
21
.
.
nn
nn


=
),cos(
βα

2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
° Cặp vtcp:
→
AB
,
→
AC
°
]
)(
→→
=
AC , AB[nvtpt
qua

ChayBhayA
α
Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
°
→
=
AB vtpt
AB điểm trungMqua
n

α
Dạng 3: Mặt phẳng
α
qua M và

⊥
d (hoặc AB)
°
)....( AB
n
→
⊥
=
d
a vtpt nên (d) Vì
Mqua

α
α
Dạng 4: Mp
α
qua M và //
β
: Ax + By + Cz + D =
0
°
βα
βα
α
n n vtpt nên // Vì
M qua

=
Dạng 5: Mp
α

chứa (d) và song song (d
/
)
 Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
 Mpα chứa (d) nên
α
aa
d
=
Mpα song song (d
/
) nên
α
ba
d
=
/
■ Vtpt
[ ]
/
,
d
d
aan
=
Dạng 6 Mp
α
qua M,N và
⊥

β
:
■ Mpα qua M,N nên
α
aMN
=
■ Mpα ⊥ mpβ nên
αβ
bn
=
°
],[
β
α
n nvtpt
N) (hayM qua

→
=
MN
Dạng 7 Mp
α
chứa (d) và đi qua
■ Mp
α
chứa d nên
α
aa
d
=

■ Mp
α
đi qua
)(dM
∈
và A nên
α
bAM
=
°
],[ AM nvtpt
A qua
→
=
d
a

α

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi to¸n 1 . Ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng
Bµi 1: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M vµ cã vtpt
n
r
biÕt
a,
( ) ( )
M 3;1;1 , n 1;1;2= −
r
b,

( ) ( )
M 2;7;0 , n 3;0;1− =
r
c,
( ) ( )
M 4; 1; 2 , n 0;1;3− − =
r
d,
( ) ( )
M 2;1; 2 , n 1;0;0− =
r
Bµi 2: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng trung trùc cđa AB biÕt:
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) c,
1 1
A ; 1;0 , B 1; ;5
2 2
   
− −
 ÷  ÷
   
d,
2 1 1
A 1; ; , B 3; ;1
3 2 3
   
−
 ÷  ÷
   
Bµi 3: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng
( )

α
®i qua ®iĨm M vµ song song víi mỈt ph¼ng
( )
β
biÕt:
a,
( ) ( ) ( )
M 2;1;5 , Oxyβ =
b,
( ) ( )
M 1;1;0 , :x 2y z 10 0− β − + − =
c,
( ) ( )
M 1; 2;1 , : 2x y 3 0− β − + =
Bµi 4 LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M(2;3;2) vµ cỈp VTCP lµ
(2;1;2); (3;2; 1)a b −
r r

Bµi 5 : LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ
a) Song song víi c¸c trơc 0x vµ 0y. b) Song song víi c¸c trơc 0x,0z.
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
4
4
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
c) Song song víi c¸c trơc 0y, 0z.
Bµi 6 : LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng ®i qua 2 ®iĨm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ :
a) Cïng ph¬ng víi trơc 0x. b) Cïng ph¬ng víi trơc 0y. c) Cïng ph¬ng víi trơc 0z.
Bµi 7 : X¸c ®Þnh to¹ ®é cđa vÐc t¬

n
vu«ng gãc víi hai vÐc t¬
(6; 1;3); (3;2;1)a b−
r r
.
Bµi 8 : T×m mét VTPT cđa mỈt ph¼ng (P) ,biÕt (P) cã cỈp VTCP lµ
)4,2,3( );2,7,2( ba
Bµi 9 : LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) biÕt :
a) (P) ®i qua ®iĨm A(-1;3;-2) vµ nhËn
);4,3,2(n
lµm VTPT.
b) (P) ®i qua ®iĨm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0.
Bµi 10 : LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c mỈt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3) vµ song song víi c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é.
B µi 11 : (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iĨm A(-1;2;3) vµ hai mỈt ph¼ng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) ®i qua ®iĨm A vµ vu«ng gãc víi hai mỈt ph¼ng (P),(Q).
Bµi 12 : LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) trong c¸c trêng hỵp sau:
a) §i qua hai ®iĨm A(0;-1;4) vµ cã cỈp VTCP lµ
( )
3;2;1a
r
vµ
( )
3;0;1b −
r
b) §i qua hai ®iĨm B(4;-1;1) vµ C(3;1;-1) vµ cïng ph¬ng víi trơc víi 0x.
Bµi 13: Cho tø diƯn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a) ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t c¸c mỈt ph¼ng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b) ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua c¹nh AB vµ song song vãi c¹nh CD.
Bµi 14: ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa (P)
a) §i qua ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .

b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chøa 0x vµ ®i qua A(4;-1;2) , d) Chøa 0y vµ ®i qua B(1;4;-3)
Bµi 15: Cho hai ®iĨm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz
a) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) lµ trung trùc cđa AB.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng y0z
c) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mỈt ph¼ng (P).
III.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua
M(x
o
;y
o
;z
o
) có vtcp
a

= (a
1
;a
2
;a
3
)
Rt;
tazz
tayy
taxx
(d)

3o
2o
1o
∈





+=
+=
+=
:
2.Phương trình chính tắc của (d)

32
a
z-z
a
yy
a
xx
(d)
o
1
o 0
:
=
−
=

−
3.PT tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp α
1
và
α
2





=+++
=+++
0 DzBxA
0 DzBxA
(d)
2222
1111
Cy
Cy
:

Véctơ chỉ phương









=
22
11
22
11
22
11
,,
BA
BA
AC
AC
CB
CB
a
4.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng :
(d) qua M có vtcp
d
a

; (d’) qua N có vtcp
/
d
a

 d chéo d’
⇔
[
d

a

,
/
d
a
].
→
MN
≠
0
(không đồng
phẳng)
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
5
5
Qui ước:
Mẫu = 0 thì Tư û= 0
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
 d,d’ đồng phẳng
⇔
[
d
a

,
/
d

a
].
→
MN
=
0

 d,d’ cắt nhau
⇔
[
d
a

,
/
d
a
]
0
≠
và [
d
a

,
/
d
a
].
→

MN
=0
 d,d’ song song nhau
⇔
{
d
a

//
/
d
a
và
)(
/
dM
∉
}
 d,d’ trùng nhau
⇔
{
d
a

//
/
d
a
và
)(

/
dM
∈
}
5.Khoảng cách :
Cho (d) qua M có vtcp
d
a

; (d’) qua N có vtcp
/
d
a
Kc t ừ đ iểm đến đ ường thẳng :
d
d
a
AMa
dAd
];[
),(
=
Kc giữa 2 đ ường thẳng :
];[
].;[
);(
/
/
/
d

d
d
d
aa
MNaa
ddd
=
6.Góc : (d) có vtcp
d
a

; ∆ ’ có vtcp
/
d
a
; ( α ) có
vtpt
n


Góc gi ữa 2 đường thẳng :
/
/
.
.
'
d
d
d
d

aa
aa


=
)dcos(d,
Góc gi ữa đ ường và m ặt :
na
na
d
d


.
.
=
)sin(d,
α
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B




=
ABaVtcp
hayBquaA
d
d
)(

)(
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (
∆
)
∆
=∆
a
d
a vtcp nên )( // (d) Vì
qua

A
d )(
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc
mp
α

α
α
n
d
a vtcp nên )( (d) Vì
qua

=⊥
A
d)(
Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên
α
: d

/
=
α

∩

β

 Viết pt mpβ chứa (d) và vuông góc mpα

( )
( ) ( )







=⇒
=⇒⊥
=⇒⊃
∈
];[
)()(
)(
αβ
βα
β
αβ

β
β
nan
bn
aad
dquaM
d
d
ª



)(
)(
)(
/
β
α
d
Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc
(d
1
),(d
2
)
]
d
a ,
d
a [ avtcp

qua
1 2
)(

=
A
d
Dạng 6: PT d vuông góc chung của d
1
và d
2

:
+ Tìm
d
a
= [
a

d1
,
a

d2
]
+ Mpα chứa d
1
, (d)
; mp
β

chứa d
2
, (d)

⇒
d = α ∩ β
Dạng 7: PT qua A và d cắt d
1
,d
2
: d =
α

∩

β

với mpα = (A,d
1
) ; mpβ = (A,d
2
)
Dạng 8: PT d //
∆
và cắt d
1
,d
2
: d =
α

1

∩

α

2
với mpα
1
chứa d
1
// ∆ ; mpα
2
chứa d
2
// ∆
Dạng 9: PT d qua A và
⊥
d
1
, cắt d
2
: d = AB
với mpα qua A, ⊥ d
1
; B = d
2
∩ α
Dạng 10: PT d

⊥
(P) cắt d
1
, d
2
: d =
α

∩

β

với mpα chứa d
1
,⊥(P) ; mpβ chứa d
2
, ⊥ (P)
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1:LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) trong c¸c trêng hỵp sau :
a) (d) ®i qua ®iĨm M(1;0;1) vµ nhËn
(3;2;3)a
r
lµm VTCP
b) (d) ®i qua 2 ®iĨm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3)
Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c giao tun cđa mỈt ph¼ng
( ) : -3 2 - 6 0 P x y z+ =
vµ c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
6

6
Hình Học giải tích trong không gian LTĐH năm 2009-2010
Hình Học giải tích trong không gian LTĐH năm 2009-2010
Bài 3: Viết phơng trình của đờng thẳng đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đờng thẳng (d) có phơng
trình:
( )
R t,
21
22:






+=
+=
=
tz
ty
tx
d
Bài 4: Cho đờng thẳng (D) và mặt phẳng (P) có phơng trình là :
( )
R t,
21
22:

+=
+=
=
tz
ty
tx
d
và (P): x+y+z+1=0
Tìm phơng trình của đờng thẳng (t) đi qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đờng thẳng
(D)
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). Viết phơng trình tham số của đờng thẳng
(d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó
Bài6: Lập phơng trình tham số, chính tắc của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2;1;3) và vuông góc với mặt
phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
a)
( ) : 2 3 - 4 0P x y z+ + =
b)
( )
: 2 3 1 0P x y z+ + =
.

Bài 7: Lập phơng trình tham số, chính tắc của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;3) và song song với đờng
thẳng (

) cho bởi :
( )
2 2

: 3 t
3
x t
y t R
z t
= +


=


= +

.
Bài8: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:
a)
( )
R t,
2
3
1
:






+=
=

+=
tz
ty
tx
d
(P): x-y+z+3=0 b)
( )
R t,
1
9
412
:






+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
(P): y+4z+17=0
Bài 9: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình (P): 2x+y+z=0 và
( )
3
2

12
1
:

+
==

zyx
d
.
a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) .
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d
1
) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P) .
Bài 10: Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
1
1
2
1
1
2
:
1

=

=

zyx
d

( ) ( )
t
31
2
21
:
2
R
tz
ty
tx
d






+=
+=
+=

a) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d

1
),(d
2
).
Bài 11: (ĐHNN-96): cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
GV: Phạm Xuân Trung
GV: Phạm Xuân Trung
7
7
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
( )

34
24
37
:
1





+=
−=
+−=

tz
ty
tx
d

( ) ( )
R
tz
ty
tx
d
∈





−−=
+−=
+=
1
1
1
1
2
tt,
12
29
1
:

a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
) chÐo nhau.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa (d
1
),(d
2
) .
III.MẶT CẦU
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Ph ương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính
R

( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:R)S(I,
222
=−+−+−
(1)

0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222
=+−−−++
(2)
(
0dcbavới
222
>−++

)
• Tâm I(a ; b ; c) và
dcbaR
−++=
222
2.Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho
( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:(S)
222
=−+−+−
và α : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,α) : khỏang cách từ tâm mc(S)
đến mpα :
 d > R : (S) ∩ α = φ
 d = R : α tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm,
α: tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hchiếu của tâm I trên
mp
α
)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua
I và vuông góc mpα : ta có
α
na
d
=
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và
(α)

 d < R : α cắt (S) theo đường tròn có pt
( ) ( ) ( )



=+++α
=−+−+−

2
0DCzByAx :
Rczbyax:(S)
222
*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:
+ bán kính
),(
22
α
IdRr
−=
+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mpα)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua
I và vuông góc mpα : ta có
α
na
d
=
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và
(α)
3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu






+=
+=
+=
tazz
tayy
taxx
d
3o
2o
1o
:
(1) và

( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:(S)
222
=−+−+−
(2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª
( ) ( ) ( )

2
Rczbyax:R)S(I,
222
=−+−+−
(1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
 Tâm I là trung điểm AB
 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp α
222
..
)(
CBA
D
I
zC
I
yB
S
++
+++
==
I
A.x
)d(I, R
I tâmcầu mặt Pt

α
Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
8
8
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
Dùng (2)
0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222
=+−−−++

A,B,C,D ∈ mc(S)
⇒
hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 5:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I
€ (α)
0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222
=+−−−++
(2)
A,B,C ∈ mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2)
I(a,b,c)∈ (α): thế a,b,c vào pt (α)
Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d
Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A
Tiếp diện
α
của mc(S) tại A :
α

qua A,
→
=
IA n vtpt

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1: Trong c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y ,ph¬ng tr×nh nµo lµ ph¬ng tr×nh cđa mỈt cÇu ,khi ®ã chØ râ to¹ ®é t©m vµ
b¸n kÝnh cđa nã ,biÕt:
a)
( )
02642:
222
=++−−++
zyxzyxS
b)
( )
09242:
222
=+−+−++
zyxzyxS
c)
( )
03936333:
222
=+−+−++
zyxzyxS
d)
( )
07524:
222

=−−++−−−
zyxzyxS
Bµi 2: Cho hä mỈt cong (S
m
) cã ph¬ng tr×nh:
( )
04624:
2222
=++−−−++
mmzmymxzyxS
m

a) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (S
m
) lµ mét hä mỈt cÇu .
b) CMR t©m cđa (S
m
) lu«n n»m trªn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh.
Bµi 3: Cho hä mỈt cong (S
m
) cã ph¬ng tr×nh:
( )
05824:
22222
=−+−−++
mymmxzyxS
m

a) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (S
m

) lµ mét hä mỈt cÇu .
b) T×m q tÝch t©m cđa hä (S
m
) khi m thay ®ỉi. c) T×m ®iĨm cè ®Þnh M mµ (S
m
) lu«n ®i qua.
Bµi 4: Cho hä mỈt cong (S
m
) cã ph¬ng tr×nh:
( )
03cos2sin2:
222
=−−−++
mymxzyxS
m

a) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (S
m
) lµ mét hä mỈt cÇu .
b) CMR t©m cđa (S
m
) lu«n ch¹y trªn mét ®êng trßn (C) cè ®Þnh trong mỈt ph¼ng 0xy khi m thay ®ỉi.
c) Trong mỈt ph¼ng 0xy, (C) c¾t 0y t¹i A vµ B. §êng th¼ng y=m(-1<m<1 ,m
≠
0) ,c¾t (C) t¹i T, S , ®êng
th¼ng qua A , T c¾t ®êng th¼ng qua B ,S t¹i P .T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm P khi m thay ®ỉi .
Bµi 5: LËp ph¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) ,biÕt :
a) T©m I(2;1;-1), b¸n kÝnh R=4. b) §i qua ®iĨm A(2;1;-3) vµ t©m
I(3;-2;-1).
c) §i qua ®iĨm A(1;3;0) ,B(1;1;0) vµ t©m I thc 0x. d) Hai ®Çu ®êng kÝnh lµ A(-1;2;3), B(3;2;-

7)
Bµi 6: Cho 3 ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
), (d
3
) cã ph¬ng tr×nh :
( )
1
1
4
2
3
2
:
1
−
=
+
=
−
zyx
d
,
( )
1
9
2
3

1
7
:
2
−
−
=
−
=
−
zyx
d
,
( )
1
2
2
3
3
1
:
3
−
−
=
−
+
=
+
zyx

d
a) LËp pt®t (d) c¾t c¶ (d
1
),(d
2
) vµ song song víi (d
3
).
b) Gi¶ sư
( ) ( ) { }
Add
=∩
1
,
( ) ( ) { }
Bdd
=∩
2
.LËp ph¬ng tr×nh mỈt cÇu ®êng kÝnh AB.
Bµi 7: Cho 2 ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
) cã ph¬ng tr×nh :
( )
R
tz
ty
tx
d

∈





=
−=
+=
t
2
1
2
:
1
,
( )
1
9
2
3
1
7
:
2
−
−
=
−
=

−
zyx
d
a) CMR (d
1
) vµ (d
2
) chÐo nhau. b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng vu«ng gãc chung cđa (d
1
) vµ (d
2
).
c) LËp mËt cÇu (S) cã ®êng kÝnh lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cđa (d
1
) vµ (d
2
). d) ViÕt pttq mp c¸ch ®Ịu(d
1
) (d
2
).
Bµi 8: ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) biÕt :
a) T©m I(1;2;-2) vµ tiÕp xóc víi mỈt ph¼ng (P):6x-3y+2z-11=0.
b) (C§GTVT-2000): T©m I(1;4;-7) vµ tiÕp xóc víi mỈt ph¼ng (P) :6x+6y-7z+42=0.
c) B¸n kÝnh R = 9 vµ tiÕp xóc víi (P): x+2y+2z+3=0 t¹i ®iĨm M(1;1;-3).
Bµi 9: (§H H-96): Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ 0xyz ,cho bèn ®iĨm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).
a) ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè cđa ®êng th¼ng ®i qua D vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (ABC).
b) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD.
Bµi10: Cho bèn ®iĨm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8)
a) (§HKT-99): CMR SB vu«ng gãc SA.

GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
9
9
Hình Học giải tích trong không gian LTĐH năm 2009-2010
Hình Học giải tích trong không gian LTĐH năm 2009-2010
b) (ĐHKT-99): CMR hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (0AB) vuông góc với cạnh 0A. Gọi K là giao
điểm của hình chiếu đó với 0A. Hãy xác định toạ dộ của K.
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) (ĐHKT-99): Gọi P,Q lần lợt là điểm giữa của các cạnh S0,AB . Tìm toạ độ của điểm M trên SB sao cho
PQ và KM cắt nhau.
Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz ,cho bốn điểm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
a) (HVKTQS-98): Tìm hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD.
b) (HVKTQS-98): Viết phơng trình tham số đờng thẳng vuông góc chung của AC và BD.
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 12: Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).
a) (HVNHTPHCM-99):Viết phơng trình tham số của đờng thẳng BC .Hạ AH vuông góc BC .Tìm toạ độ
của điểm H.
b) (HVNHTPHCM-99):Viết pttq của (BCD) .Tìm kc từ A đến (BCD). c) Viết ptmc ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 13: Trong không gian 0xyz, cho hình chóp .biết toạ độ bốn đỉnh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4),
D(3;1;0).
a) Lập pt các mặt của hình chóp. b) Lập pt mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp . c) Tính V
SABCD

Bài 14: (HVKTMM-97) Cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).
a) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện bằng nhau . b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ diện.
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp ,nội tiếp tứ diện ABCD.
Hình học mặt phẳng tạo độ
Cách giải các bài toán về tam giác: viết pt các cạnh của tam giác, tìm các đỉnh

chú ý : - 2 đg thẳng // thì có cùng véc tơ pháp tuyên và véc tơ chỉ phơng
- 2 đg thẳng vuông góc thì pháp tuyến đờng này là chỉ phơng của đg kia,
chỉ phơng đờng này là pháp tuyến của đg kia
Loại 1: cho 1 đỉnh và 2 đờng cao không qua đỉnh đó: A(x;y)
cách giải: - viết phơng trình cạnh AB qua A và vuông góc với CK
- viết phơng trình cạnh AB qua A và vuông góc với BH K H
B C
Loại 2: cho 1 đỉnh và 2 đờng trung tuyến không qua đỉnh đó
cách giải: C
- Lấy điểm M thuộc BM theo tham số, theo công thức trung điểm tìm
toạ độ C , thay toạ độ C vào PT đờng CN tìm tham số t điểm C
- Lấy điểm N thuộc CN theo tham số, từ CT trung điểm tìm toạ độ B M
thay voà PT đờng BM tìm tham số t điểm B
B N A(x;y)
A
loại 3: cho 1 đỉnh và 2 đờng phân giác trong không qua đỉnh đó C
cách giải: - gọi A và A là diểm đối xứng của A qua đờng phân giác
BB và CC A và A thuộc cạnh BC
- viết PT cạnh BC, tìm giao của nó với đờng CC, BBta có điểm B H
B và C
GV: Phạm Xuân Trung
GV: Phạm Xuân Trung
10
10