Bồi dưỡng học sinh giỏi ( Đại số 8.1)

Chuyên đề BDHS giỏi đại số 8
Những hằng đẳng thức Đáng nhớ
A. Kiến thức cơ bản
1) (A+B)
2
=A
2
+2AB+B
2
.
2) (A-B)
2
=A
2
-2AB+B
2
.
3)(A-B)(A+B).= A
2
-B
2
* Nâng cao:
a)
( ) ( )
2
2 2 2
2 . . .a b c a b c a b a c b c
+ + = + + + + +
b)
( ) ( )
2

2 2 2
2 . . .a b c a b c a b a c b c
= + + +
d)
( ) ( )
2
2 2 2 2
2 . . .a b c d a b c d a b a c a d bc bd cd
+ + + = + + + + + + + + +
B. Ví dụ:
Ví dụ 1: Tính nhanh a)
2 2
2 2
263 74.263 37
136 92.136 46
A
B
= + +
= +
b)
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
50 48 46 .... 2 49 47 45 .... 1C
= + + + + + + + +
= 50+ 49 + 48 + 47 + +1 =
( )
50 1 50
1275
2
+

=
Ví dụ 2: So sánh
a) A= 2009.2011 và B =
2
2010
b) A=
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 8 64
4 3 1 3 1 3 1 .... 3 1+ + + +
và B =
128
3 1
Giải: a) Cách 1 A= 2009. 2011= ( 2010- 1). ( 2010+ 1) =
2
2010
- 1 <
2
2010
Vậy A < B
Cách 2: B=
2
2010
=
2
2010
- 1 + 1 = 2009. 2011 + 1 > 2009. 2011
b) Cách 1: Ta có 4 =
( ) ( )
3 1 3 1
2

+
thay vào A ta có B = 2A
* Cách 2: Ta có B =
128
3 1
=
( )
2
64 2
3 1
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A=
2
6 10x x +
b) B=
( )
2
3 5 6 26x y xy+ +
Giải: a) Ta có A=
2
6 10x x +
=
( )
2
3 1x +
1
Ta có
( )
2
3 0x

Dấu = xảy ra khi x= 3. Do đó giá trị nhỏ nhất của A= 1
khi x= 3
Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung
1
Chuyên đề BDHS giỏi đại số 8
b) B=
( )
2
3 5 6 26x y xy+ +
=
( ) ( )
2 2
5 3 5 1x y + +
1
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) Q=
( )
( ) ( ) ( )
2 4 2
10 1 . 10 1 . 10 1 ..... 10 1
n
+ + + +
b) P=
2
1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1
2 4 16 2
n

+ + + +
ữ ữ ữ ữ

Giải: a) Nhân hai vế của Q với ( 10-1 )
(10-1)Q = (10-1)
( )
( ) ( ) ( )
2 4 2
10 1 . 10 1 . 10 1 ..... 10 1
n
+ + + +
= ..=
( )
4
10 1
n

. Vậy Q =
( )
4
10 1
9
n

b) Nhân hai vế của P với (1-
1
2
)
Ta có (1-
1

2
) P =(1-
1
2
)
2
1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1
2 4 16 2
n

+ + + +
ữ ữ ữ ữ

=
2 2 4
1 1 1
1 . 1 1
2 2 2
n n n

+ =
ữ ữ ữ

. Vậy P =
4
1
2 1
2
n

ữ

Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a)
2
1x x
+ +
b)
2
8x x
+
c) ( x + 1) .( x-2 ). (x-3) .(x-6)
= ( x+ 1).(x-6).(x-2)(x-3) =
( )
2
2
5 36 36x x +
d)
2 2
4 8 6x x y y
+ +

( ) ( )
2 2
2 2
)2 9 6 6 12 2022
... 3 2 5 1993 1993
e x y xy x y

x y x
+ +
= = + + +
( ) ( )
2 2
2 2
)2 2 6 12 2 45
... 6 5 5 4 4
g x xy y x y
x y y
+ + +
= = + +
( ) ( )
2 2
2 2
) 2 3 2 10 20
... 1 2 3 1 1
h x xy y x y
x y y
+ +
= = + +
i) ( x-4) (x-5)( x-6) (x-7)
k) y =
( )
2
2
2 2
2010
2 2010 2009 2009
....

2010 2010 2010
x
x x
x x
+
+
= = +
. Dấu = xảy ra khi x = -2010
Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung
2
Chuyên đề BDHS giỏi đại số 8
a)
2
4 1x x
+ +
b)
2
4 10x x

c)
2 2
3 2 10 14 18x y xy x y
+ +
=
( ) ( )
{ }
2 2
... 9 2 1 5 9y x y
= = + +

d)
2 2
2 4 2 10 3x xy y x y
+ + +
=
( ) ( )
{ }
2 2
... 10 3 2 1 10y x y
= = +
Bài tập 4 a) Cho biết
( )
( )
2
2 2
2 a b a b+ =
.
Chứng minh rằng a và b là hai số đối của nhau
c) Cho
2 2 2
a b c ab ac bc+ + = + +
thì a= b =c
Bài tập 5: Cho a+ b+ c =0 , Chứng minh rằng ta luôn có

( ) ( )
2
2 2 2 4 4 4
2a b c a b c+ + = + +
Giải: Ta có a = -(b +c) bình phơng hai vế ta có
2 2 2 2 2 2

2 2a b bc c bc a b c
= + + =
Bình phơng hai vế ta có
( )
4 4 4 2 2 2 2 2 2
2 2 2a b c a b a c b c+ + = + +
Cộng vào hai vế
( )
4 4 4
a b c+ +
ta có điều phải chứng minh
( ) ( )
2
2 2 2 4 4 4
2a b c a b c+ + = + +
Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung
3