Boi duong hoc sinh gioi ( Dai so 8)

Tài liệu ôn tập HSG lớp 8
Nhân đa thức với đa thức
* Kiến thức cơ bản:
1. Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng
hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
2. Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa
thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
Bổ sung:
1. Quy tắc nhân một đơn thức với một đa thức còn đợc vận dụng theo
chiều ngợc lại:
A. B + A. C = A.( B+ C)
2. Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) luôn có giá trị bằng nhau với mọi giá trị
của biến thì hai đa thức đó gọi là hai đa thức đồng nhất, kí hiệu
P(x)= Q(x).
Hai đa thức P(x) và Q(x) ( viết dới dạng thu gọn ) là đồng nhất khi
và chỉ khi hệ số của các lũy thừa cùng bậc bằng nhau.
Đặc biệt, nếu P(x) =
1 2
0 1 2 1
. ....
n n n
n n
a x a x a x a x a


+ + + + +
luôn bằng 0 với mọi x
thì
0 1
..... 0
n

a a a= = =
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức:
a)
( ) ( )
1 . 4 1x x +
KQ
2
4 3 1x x
b)
( )
( )
2
2 4 1x x x+ + +
KQ:
3 2
3 6 4x x x
+ + +
c)
( ) ( )
2 5 4 2
1 1x x x x x x+ + + +
KQ
7 2
1x x
+ +
d)
( ) ( )
2 3 2
1 1x x x x+ + +
KQ

5
1x x+ +
Ví dụ 2: Cho P =
( )
( )
2
5 . 25x a x bx+ + +
và Q =
3
125x +
a) Viết P dới dạng một đa thức thu gọn theo lũy thừa giảm dần của
biến x.
b) Với giá trị nào của a và b thì P = Q với mọi x.
Giải:
a) P =
( )
( )
2
5 . 25x a x bx+ + +

=
( ) ( )
3 2
. 5 5 25 125a x a b x b x+ + + + +
b) Với mọi x thì P = Q

( ) ( )
3 2
. 5 5 25 125a x a b x b x+ + + + +
=

3
125x +
với mọi x
Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung
1
Tài liệu ôn tập HSG lớp 8
1
1
5 0
5
5 25 0
a
a
a b
b
b
=

=


+ =

=


+ =

Bài tập vận dụng:
Bài tập 1. Tính giá trị của biểu thức sau bằng cách hợp lí:

a) A =
7 6 5 4 3 2
80 80 80 80 80 80 15x x x x x x x + + + +
với x = 79
b) B=
14 13 12 11 2
10 10 10 .... 10 10 10x x x x x x + + + +
với x = 9
c) C =
5 4 3 2
100 100 100 100 9x x x x x + +
với x= 99
d) D=
6 5 4 3 2
20 20 20 20 20 3x x x x x x +
với x = 21
e) E=
7 6 5 4 3 2
26 27 47 77 50 24x x x x x x x + + +
với x = 25
Giải: a) Cách 1: với x= 79 ta có x + 1 =80
7 6 5 4 3 2
80 80 80 80 80 80 15x x x x x x x + + + +
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
7 6 5 4 3 2
1 1 1 1 1 1 15x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + + +
= x + 15
Với x = 79 vậy P = 79 + 15 = 94
Cách 2: Viết đa thức dới dạng

=
7 6 5 4 3 2
80 80 80 80 80 80 15x x x x x x x + + + +
=
7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2
79 79 79 79 79 79 15x x x x x x x x x x x x x + + + + + + +
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
6 5 4 3 2
6 5 4 3 2
79 79 79 79 79 79 15
79 15
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
+ + + +

= + + + +

b) Giải tơng tự câu a ) Đáp số 1
c) C= 90 d) D= 24
d) Thay 26 = x + 1; 27 = x + 2; 47 = 2x- 3; 77 = 3x + 2; 50 = 2x
Rồi thực hiện các phép tính, đợc E = 1
Bài tập 2: Xác định các hệ số a, b, c biết rằng:
a)
( ) ( )
2
2 5 3 .x x b a x x c + = + +
b)
( )

( )
2 3 2
. 1 . . 1a x b x x a x c x+ = +
Giải: a)
( ) ( )
2
2 5 3 .x x b a x x c + = + +

( )
2 2
6 2 15 5 .x b x b a x x c+ = + +

6 6
2 15 1 8
5 40
a a
b b
b c c
= =


= =


= =

b)
( )
( )
2 3 2

. 1 . . 1a x b x x a x c x+ = +
( ) ( )
3 2 3 2
. . 1a x b a x a b x b a x cx+ + = +

1
0 1
1 2
b a c a
a b b
b c
= =


+ = =


= =

Bài tập 3: Cho x, y

Z, chứng minh rằng:
Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung
2
Tài liệu ôn tập HSG lớp 8
a) Nếu A= 5x + y
M
19 thì B = 4x - 3y
M
19

b) Nếu C = 4x + 3y
M
13 thì D = 7x + 2y
M
13
Giải: a) Ta có 5x + y
M
19 => 3.(5x+ y )
M
19
19x
M
19 19x- 3(5x+ y )
M
19
Vậy 4x -3y
M
19
b) Xét 3D -2C = 3(7x+ 2y) 2(4x+ 3y) = 13x
M
13
mà 2C = 2 (4x+ 3y)
M
13 nên 3D
M
13 . Vì (3; 13 ) = 1 nên D
M
13
Bài tập 4 Cho m là số nguyên dơng nhỏ hơn 30. Có bao nhiêu giá trị của
m để đa thức

2
72x mx+ +
là tích của hai đa thức bậc nhất với hệ số nguyên?
Giải: Gọi a, b là hai số nguyên. Ta có
(x+ a)( x+ b) =
2
72x mx+ +

2 2
( ) . 72x a b x a b x mx + + + = + +

72
a b m
ab
+ =



=

Ta thấy a, b cùng dấu mà m> 0 nên a, b là các số nguyên dơng. Giả sử a
b ta có bảng sau:
a 1 2 3 4 6 8
b 72 36 24 18 12 9
M 73 38 27 22 18 17
Vì m < 30 vậy ta tìm đợc 4 giá trị của m; m
{ }
27;22;18;17
Bài tập 5: Cho bốn số lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng hiệu của tích hai số
cuối với tích hai số đầu chia hết cho 16.

Giải: Gọi 4 số lẻ liên tiếp là ( 2a- 3) ; (2a -1); (2a+ 1); ( 2a- 3 ) ; a

Z
Ta có ( 2a +1)( 2a+3) (2a- 1) ( 2a- 3) = 16a
M
16
Bài tập 6: Cho bốn số nguyên liên tiếp.
a) Hỏi tích của số đầu với số cuối nhỏ hơn tích của hai số giữa bao
nhiêu đơn vị ?
b) Giả sử tích của số đầu với số thứ ba nhỏ hơn tích của số thứ hai và
số thứ t là 99, hãy tìm bốn số nguyên đó ?
Giải:a) Gọi 4 số nguyên liên tiếp a; a+1, a+ 2, a + 3 ; a

Z
Ta có ( a+ 1) (a+2) a.(a+3) = 2
b) (a+1)(a+3) a(a+2)=99

a= 48
Vậy 4 số nguyên liên tiếp là 48, 49, 50, 51
Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung
3