Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 35

kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
----------------- ----------------------------------------------
Môn thi Toán bảng A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
-------------------------
Bài 1 (4 điểm)
1. Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ đến đồ thị hàm số
1
2

=
x
x
y
hai tiếp
tuyến tạo với nhau một góc 45
0
.
2. Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình giới hạn
bởi:
xy
2
log
=
; x + y = 3; y = 0.
Bài 2 (4 điểm)
1. Tìm m để hệ
( )
( )

<+++
<++
077
022
2
2
mxmx
mxmx
có nghiệm.
2. Giải phơng trình
332
2
+=
xxx
.
Bài 3 (4 điểm)
1. Giải phơng trình cos6x cos4x + 4cos3x + 4 = 0.
2. Trong tam giác ABC, chứng minh rằng:
6
13
coscoscos
1
coscoscos

++
+++
CBA

CBA
.
Bài 4 (4 điểm)
1. Giải phơng trình
( ) ( ) ( )
[ ]
23log5log3
53
+=+
xxxx
.
2. Tính
x
xx
x
13121
lim
3
0
++

.
Bài 5 (4 điểm)
1. Lập phơng trình mặt cầu tâm I(1; -1; 1), biết rằng qua đờng thẳng



=
=+
0122

0322
zyx
zyx
có hai mặt phẳng vuông góc với nhau tiếp xúc với mặt cầu.
2. Với a, b, c dơng và 1 R, chứng minh rằng:
11
1
11
1
11
1






+
+
+
+
+

+
+
+
+
+

ba
c
ac
b
cb
a
ba
c
ac
b
cb
a
...........Hết...........
1
Hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
Môn: toán - bảng A
(đáp án này có 3 trang)
Bà
i
ý

Nội dung Điể
m
I
1
TXĐ D = R\{1}
M Ox M(x
0
; 0), đờng thẳng qua M với hệ số góc k có phơng
trình: y = k(x x
0
) ()
() là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ:
( )
( )







=


=

k
x
xx
xxk

x
x
2
2
0
2
1
2
1
có nghiệm

( )
( )
0
2
22
1
2
1
xx
x
xx
x
x



=

( )
[ ]
021
00
=+
xxxx







+
=
=
1
1
2
0
0
0
0
xVoi
x
x
x
x
Với x
0

= 0 k = 0,
Với x
0
=
1
2
0
0
+
x
x
k =
( )
2
0
0
1
4
+

x
x
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì:
21
21
0
1
45
kk
kk

tg
+

=
...
( )
2
0
0
1
4
+
x
x
=
1
...
223
0
=
x
M
1
(
223
+
; 0), M
2
(
223

; 0).
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2
Giao điểm của đồ thị hàm số
xy
2
log
=
, và đờng thẳng x +y = - 3 là
A(2; 1) V =
( )








+

dxxdxx
3
2
2
2

1
2
3log
=V
1
+ V
2
V
1
=
dxx

2
1
2
log
=
dxxe

2
1
2
ln.log
=...
=
( )
12ln2.log
2

e

.
V
2
=
( )
dxx


3
2
2
3
= ...=
3
1
V=[
3
1
+
( )
12ln2.log
2

e
] (đvtt)
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
II

1
( )
( )





<+++
<++
)2(077
)1(022
2
2
mxmx
mxmx
0.5đ
2
y
O 1 2 3 x
1
Bµ
i
ý
Néi dung §iÓ
m
• ∆
1
= (m – 2)
2

≥ 0 vµ ∆
2
= (m – 7)
2
≥ 0 ⇒ m = 2 hoÆc m = 7 th× hÖ
ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
• Víi



≠
≠
7
2
m
m
vµ
0
≥
m
th× tËp nghiÖm cña (1) lµ D
1
⊂ R
+
vµ tËp nghiÖm
cña (2) lµ D
2
⊂ R
-
nªn hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.

• Víi m < 0 tËp nghiÖm D
1
= (m; 2) vµ tËp nghiÖm D
2
= (-7; -m)
⇒ hÖ ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm.
• HÖ ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi m < 0.
0.5®
0.5®
0.5®
2
• ⇔
( )
( ) ( )( )
0133033
2
=−+−++⇔=++−+−
xxxxxxxx
•
2
131
03
0
3
2
−
=⇔




=−−
≤
⇔−=+
x
xx
x
xx
•
2
173
023
1
13
2
+
=⇔



=−−
≥
⇔−=+
x
xx
x
xx
KÕt luËn:
2
131
−

=
x
vµ
2
173
+
=
x
lµ nghiÖm.
0.5®
0.5®
0.5®
0.5®
III
1
⇔
04cos33cos43cos2
2
=−++
xsxx
⇔
( )
02sin213cos2
2
=++
xx

⇔




=
−=
02sin
13cos
x
x

⇔







=
+=
2
3
2
3
π
ππ
lx
k
x
KL: NghiÖm x = π + 2kπ
0.5®
0.5®

0.5®
0.5®
2
• ®Æt
CBA coscoscos
++
= 1+
2
sin
2
sin
2
sin4
CBA
= t ⇒ 1< t ≤
2
3
• XÐt f(t) =
t
t
1
+
trªn (1;
2
3
], cã f’(t) =
2
1
1
t

−
> 0 ⇒ hµm sè ®ång
biÕn trªn (1;
2
3
]
• ∀t ∈ (1;
2
3
] th× f(1) < f(t) ≤ f(
2
3
) =
6
13
0.5®
0.5®
0.5®
3
Bà
i
ý
Nội dung Điể
m
Vậy
6
13
coscoscos
1
coscoscos

++
+++
CBA
CBA
Dấu bằng xảy ra khi:
CBA coscoscos
++
=
2
3
hay tam giác đều.
0.5đ
IV
1
Pt
( ) ( )
3log5log
53
+
xx
=
3
2

+
x
x
với x > 5
Hàm số y =

( ) ( )
3log5log
53
+
xx
đồng biến trên (5; + )
Hàm số y =
3
2

+
x
x
có y=
( )
2
3
5


x
< 0 nghịch biến trên (5; + )
phơng trình có nghiệm duy nhất x = 8
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2
L =
x

xxxx
x
131313121
lim
333
0
+++++

=
x
x
x
x
121
31lim
3
0
+
+

+
x
x
x
131
lim
3
0
+

= L
1
+ L
2
L
1
=
x
x
x
x
121
31lim
3
0
+
+

=
( )
121
2
31lim
3
0
++
+

xx
x

x
x
= 1
L
2
=
x
x
x
131
lim
3
0
+

=






++++

13131
3
lim
3
2
3

0
xxx
x
x
= 1
Vậy L = 2
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
V
1




=
=+
)(0122
)(
0322
Qzyx
P
zyx
ta nhận thấy

)(
)(
QI
PI
và (P) (Q)
hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu nhận (Q) làm mặt phẳng phân
giác 2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu cũng là hai
mặt phẳng phân giác của góc sinh bởi (P) và (Q). Nên phơng trình 2
mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu là:
|2x + 4y z -3| = |x 2y -2z -1|



=
=++
04- 3z-x 3
0 2 - z 4y x

Bán kính mặt cầu cần lập: R = d(I/) =
3
2141
+
=
3
4
Phơng trình mặt cầu cần lập là:
( ) ( ) ( )
9
16
111

222
=+++
zyx
0.5đ
0. 5đ
0.5đ
0.5đ
2
Giả sử a b c > 0
0
11
1
11
1
11
1









+

+
+

+

+
+








+

+

ba
c
ba
c
ac
b
ac
b
cb
a
cb
a
0
1
11
11
1
11
1

11
1







+

+
+
+






+

+
+

+

+













baba
c
c
acac
b
b
cbcb
a
a
0.5đ
0.5đ
4
Bµ
i

ý
Néi dung §iÓ
m
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
0
11
11
1
11
11
1
11
11
1
≥
++
−+−
+
+
++
−+−
+
++
−+−
⇔

−−
−−
−
−−
−−
−
−−
−−
−
αααα
αα
α
αααα
αα
α
αααα
αα
α
bcac
acbaca
c
acac
abacbc
b
cbcb
cacbab
a
...
( )
( )( ) ( )( )

( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )( )
0
11
11
11
1111
11
1111
11
1111
11
≥








++
−
++
−+
+









++
−
++
−+
+








++
−
++
−⇔
−−−−
−−
−−−−
−−
−−−−
−−
αααααααα

αα
αααααααα
αα
αααααααα
αα
abcbbaba
acac
babaacac
cbcb
acaccbcb
baba
§iÒu nµy lu«n ®óng víi mäi a ≥ b ≥ c > 0 vµ α > 1, α ∈ R
dÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c > 0.
0.5®
0.5®
5