SKKN ứng dụng của đạo hàm trong việc phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình toán ở trường TPTH, ý nghĩa hình học của đạo
hàm là một phần của chương trình Đại số và giải tích 11. Ứng dụng của đạo
hàm để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm là một
phần không thể thiếu trong việc giải các bài toán liên quan đến vấn để khảo
sát hàm số ở chương trình lớp 12, ôn thi đại học.
Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy, việc viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thị hàm số tại một điểm trên đồ thị đã có công thức cụ thể, học sinh
chỉ việc thuộc công thức là vận dụng được. Nhưng bên cạnh đó còn một số
bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị nhưng chưa biết tiếp điểm, ta
phải đi tìm tiếp điểm thì học sinh còn gặp một số rắc rối. Để đáp ứng tình
hình đó tôi nghiên cứu đề tài: “Ứng dụng của đạo hàm trong việc viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực
tiếp cho quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham
khảo cho các bạn đồng nghiệp. Trong đề tài này tôi đưa ra phương pháp
“Ứng dụng của đạo hàm trong việc viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số” Để đưa ra phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị cho
những bài toán cụ thể. Qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và linh
hoạt trong giải toán. Từ đó đem đến cho học sinh sự say mê và yêu thích hơn
trong học toán, do vậy sẽ đem lại kết quả cao hơn trong học tập
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Về chương trình gồm các bài toán viết phương trình tiếp tuyến
Bài toán1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một
điểm thuộc đồ thị.
Bài toán2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ
số góc.
Bài toán3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Bài toán 4: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y  f (x) , biết 

tạo với đường thẳng d: y  ax  b một góc .
Bài toán 5: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y  f (x) , biết 
cắt hai trục toạ độ tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện
tích S cho trước.
Bài toán 6: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ
được 1, 2, 3, ... tiếp tuyến với đồ thị (C): y  f(x).


Bài toán 7: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với
đồ thị (C): y  f(x) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
- Chỉ ra cách giải của từng bài toán cụ thể.
- Đưa một số ví dụ minh họa cụ thể cho từng bài toán.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
1.4.1. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ thực trạng những sai
lầm mà học sinh thường hay mắc phải, tìm giải pháp rút ra kinh nghiệm.
1.4.2. Phương pháp phân tích tổng hợp: Phân tích nguyên nhân, rút ra
hướng khắc phục.

2


2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu.
2.1.1. Tiếp tuyến của đường cong phẳng:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C): y = f(x) và M 0(x0;y0)
thuộc (C), M(x;y) là điểm di chuyển trên (C). Đường thẳng M 0M là một cát
tuyến của (C).
Nhận xét: Khi xx0 thì M di chuyển trên (C) tới M0 và ngược lại. Giả
sử M0M có vị trí giới hạn, kí hiệu là M 0T thì M0T gọi là tiếp tuyến của (C)
tại M0. Điểm M0 được gọi là tiếp

y
(C)
điểm.
T
M

y

y0

M0

x

O

x0

x

Sau đây ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng
với Oy.
2.1.2. Định lí:
Định lí 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến
tại M(x0;y0) thuộc (C) có dạng y = f’(x0).(x - x0) + y0
Trong đó: f’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến và y0 = f(x0)
Định lí 2: Cho đồ thị (C)có phương trình: y = f(x) và đường thẳng (d)
có phương trình: y = kx +b.
Đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình
f (x)  kx  b

�
�
f '(x)  k
�
có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Sở GD ĐT Thanh Hoá hàng năm có mở nhiều lớp tập huấn chuyên
môn, bồi dưỡng và hướng dẫn phương pháp dạy học. Nhờ đó mà giáo viên

3


chúng tôi có điều kiện vận dụng vào thực tiễn giảng dạy. Sự chỉ đạo sát sao
của Sở giáo dục, sự đôn đốc và tạo điều kiện của ban giám đốc nhà trường tổ
bộ môn cùng với sự nhiệt tình của các thầy cô giáo là động lực để đổi mới
phương pháp dạy học có hiệu quả. Phong trào thao giảng dự giờ rút kinh
nghiệm diễn ra sôi nổi, đặc biệt là phong trào thi giáo viên giỏi cấp trường
hàng năm cũng như thi giáo viên giỏi cấp tỉnh theo định kỳ. Qua đó tôi cũng
như các đồng nghiệp rút ra được nhiều điều bổ ích về chuyên môn. Đời sống
giáo viên ngày một được nâng cao, được Đảng, nhà nước quan tâm đãi ngộ,
chế độ lương đảm bảo cho cuộc sống.
Bên cạnh những thuận lợi nói trên thì công tác giảng dạy và học tập
môn toán của học sinh trong trường còn vấp phải những khó khăn đáng kể.
Đầu vào kiến thức của các em học sinh quá yếu, tư tưởng xác định mục tiêu
học tập của nhiều em học sinh và phụ huynh còn nhiều lệch lạc. Tình hình
đạo đức của học sinh có biểu hiện xuống cấp (ở một số học sinh) nhất là ở
những học sinh học yếu.
Với thực trạng như trên thì các em thường có tâm lý “sợ” phải học
môn toán. Khi chưa thực hiện theo các giải pháp mới, học sinh chưa có kỹ
năng tốt để phân biệt và làm các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đường

cong, dẫn tới các giờ học uể oải, chất lượng không cao. Vì thế kết quả kiểm
tra đánh giá chưa được như mong muốn, tỉ lệ học sinh yếu kém còn cao, cụ
thể là: Qua khảo sát chất lượng lớp 12E-Trung tâm GDTX-DN Hà Trung
(năm học 2012-2013) như sau:
 Kết quả bài kiểm tra:
Lớp

Sĩ số

12E

35

Yếu
SL
%
12
34

TB
SL
18

Khá
%
51,4

SL
3

%
8,6

Giỏi
SL
%
2
6

Qua thực tế và kết quả khảo sát tôi nhận thấy rằng: Kết quả bài kiểm
tra thì còn ở mức độ yếu kém cao, số lượng học sinh đạt điểm khá giỏi còn
khá hạn chế.
4


2.3. Nội dung của các vấn đề nghiên cứu.
2.3.1. Bài toán 1: Cho đồ thị hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M 0  x 0 ; y 0  thuộc đồ thị (C).
Cách giải:
+) Tính y’ = f’(x) và tính f’(x0).
+) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M 0  x 0 ; y 0  :
y  f / (x 0 )(x  x 0 )  y 0
Nhận xét: Bài toán có một phương trình tiếp tuyến.
Chú ý: Nếu bài toán cho biết một thành phần tọa độ của tiếp điểm thì
ta tìm một thành phần tọa độ nữa của tiếp điểm. Từ đó suy ra tọa độ tiếp
điểm.
+) Biết x 0 � y0  f (x 0 )  Bài toán có một phương trình tiếp tuyến.
+) Biết y0 � y0  f (x 0 ) � x 0  ?  Số nghiệm của phương trình y 0=
f(x0) là số phương trình tiếp tuyến của bài toán.
Ví dụ 1: Cho hàm số y 

đồ thị (C) tại M(3;2).

x 1
(C), viết phương trình tiếp tuyến với
x2

Lời giải:
Ta có y’=

1
(x  2) 2

Nên y’(3) = -1
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M(3;2) là y = -1(x-3)+2 hay
y=-x+5.
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):y= 2x+ 1 2x2
tại điểm có hoành độ x=2.
Lời giải:
Vì x = 2 nên y = 7. Tọa độ tiếp điểm M(2;7)
Ta có y’= 2 +
y’(2) =

2x
1  2x 2
10
3

Phương trình tiếp tuyến tại M(2;7): y = y’(2)(x- 2) +7

5

10
(x  2)  7
3
10
1
� y x
3
3
� y

Vậy tiếp tuyến cần tìm là: y 

10
1
x
3
3

Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):y = x 4  2x 2  1
tại điểm có tung độ y0 = 2.
4
2
Lời giải: Vì y0 = 2 nên x 0  2x 0  1 =2

x02  1
�
��2
� x 0  �1

x


3
(VN)
�0
Có hai tiếp điểm M1(1;2) và M2(-1;2).
Ta có y’ = 4x 3  4x
y’(1) = 8,

y’(-1) = -8

Phương trình tiếp tuyến tại M1(1;2): y = y’(1)(x- 1) +2 hay
y = 8(x-1) + 2 � y = 8x - 6
Phương trình tiếp tuyến tại M2(-1;2): y = y’(-1)(x+ 1) +2 hay
y = -8(x+1) + 2 � y = -8x - 6
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: (1): y = 8x – 6 và (2): y = -8x – 6
2.3.2. Bài toán 2: Cho đồ thị (C): y = f(x). Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến là k.
Cách giải:
+) Tính y’ = f’(x)
+) Gọi tọa độ tiếp điểm là M 0  x 0 ; y 0  . Khi đó f’(x0) = k (*)
+) Giải phương trình (*), tìm x0. Từ đó suy ra tọa độ tiếp điểm y0 = f(x0)
+) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k: y  k(x  x 0 )  y 0
Nhận xét: Số nghiệm của phương trình (*) là số tiếp tuyến có hệ số góc k.
Chú ý: +) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b có hệ số góc
f’(x0) = a.
+) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b có hệ số góc
1
f’(x0) = 

a

6


+) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox một góc  có hệ số góc
f’(x0) = tan.
1 3
2
Ví dụ 4: Viết PTTT của đường cong (C) y  x  x , biết hệ số góc
3
của tiếp tuyến là k = 3.
Lời giải:
Ta có y’ = x 2  2x
Gọi M 0  x 0 ; y 0  là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Khi đó
y’(x0) =3
x 0  1
�
� x 0 2  2x 0 = 3 � x 0 2  2x 0 -3 = 0 � �
x0  3
�
4
4
+) Với x0 = -1, ta có y0 =  . Tọa độ tiếp điểm M(-1;  ). Phương
3
3
4
4
5
trình tiếp tuyến tại M(-1;  ) là: y = 3(x+1)  hay y = 3x +

3
3
3
+) Với x0 = 3, ta có y0 = 0. Tọa độ tiếp điểm N(3;0). Phương trình tiếp
tuyến tại N(3;0) là y = 3(x-3) + 0 hay y = 3x - 9
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y = 3x +

5
và y =
3

3x – 9.
Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y =
tuyến song song với (d):y= –2x.

x 1
,biết tiếp
x 1

Lời giải:
Ta có y’ =

2
 x  1 2

Gọi M 0  x 0 ; y 0  là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm.
Vì tiếp tuyến song song với (d):y= –2x nên y’(x0) = -2
�

x0  0

2
�
2


2
�
x

1

1
�


0
�
x0  2
 x 0  1 2
�

+) Với x 0  0 , ta có y0 = -1. Tọa độ tiếp điểm M(0;-1). Phương trình
tiếp tuyến tại M(0;-1) là: y = -2(x - 0) - 1 hay y = -2x - 1.

7


+) Với x 0  2 , ta có y0 = 3. Tọa độ tiếp điểm N(2;3). Phương trình
tiếp tuyến tại N(2;3) là: y = -2(x - 2) + 3 hay y = -2x + 7.
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y = -2x - 1 và

y = -2x + 7.
1 3
2
Ví dụ 6: Cho hàm số y  x  2x  x  4 có đồ thị (C). Viết phương
3
trình tiếp tuyến với (C) tạo với chiều dương Ox góc 450.
Lời giải:
Ta có y’ = x2 -4x+1
Gọi M 0  x 0 ; y 0  là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm.
Vì tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc 450 nên y’(x0) = tan450
x0  0
�
� x 0 2  4x 0  1  1 � �
x0  4
�
+) Với x0=0, ta có y0 = -4. Tọa độ tiếp điểm M(0;-4). Phương trình
tiếp tuyến tại M(0;-4) là: y = tan450(x-0)-4 hay y = x – 4
32
32
. Tọa độ tiếp điểm N(4;  ). Phương
3
3
32
32
20
trình tiếp tuyến tại N(4;  ) là: y = tan450(x-4)-(  ) hay y = x +
.
3
3
3

+) Với x0=4, ta có y0 = 

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y = x – 4 và y = x +

20
.
3

2.3.3. Bài toán 3: Cho đồ thị (C): y = f(x). Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A  x A ; y A  .
Cách giải:
+) Tính y’=f’(x)
+) Gọi đường thẳng (d) đi qua A  x A ; y A  có hệ số góc k, phương trình có
dạng:
y = k(x-xA) + yA
+) Đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình:
f (x)  k(x  x A )  y A (1)
�
�
k  f '(x)
(2)
�

có nghiệm

+) Thay (2) và (1) tìm x =? Thay vào (2) tìm k =?
+) Kết luận.
8

2x  1
có đồ thị (C), viết phương trình tiếp
x 1
tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua A(-1;3).
Ví dụ 7: Cho hàm số y 
Lời giải:
1

Ta có y' 

 x  1

2

Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(-1;3) có hệ số góc k, (d) có phương trình:
y= k(x+1) +3
Đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình :
�2x  1
 k(x+1) +3 (1)
�
�x  1
� 1
�
k
(2)
�(x+1)2
Thay (2) vào (1) ta được:

có nghiệm

2x  1
1

(x+1) +3
x 1
(x+1) 2

� (x  1)(2x  1)  (x+1) +3(x+1)2 ,

(v�
i x �-1)

� x2  4x  3  0
x  1 (lo�
i)
�
��
x  3
�
Với x = -3, thay vào (2) ta được k=

1
4

Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua A(-1;3)
1
1
13
y   x  1  3 hay y= x  .
4

4
4

:

2.3.4. Bài toán 4: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C):
y  f (x) , biết  tạo với đường thẳng d: y  ax  b một góc .
Cách giải:
(x0) .
 Gọi M(x0;y0) là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc k  f �
  tạo với d một góc  

k a
 tan . Giải phương trình tìm được
1 ka

x0 .
(x0).(x �x0)
 Phương trình tiếp tuyến  tại M: y �y0  f �
9


Ví dụ 8: Cho hàm số y  x3  (1 2m)x2  (2  m)x  m 2 (1)
(m là tham số). Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với
1
đường thẳng d: x  y  7  0 góc  , biết cos 
26
Lời giải:

r

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến � tiếp tuyến có VTPT n1  (k;1)
r
Đường thẳng d có VTPT n2  (1;1) .
Ta có

r r
n1.n2
1
k1
3
2
cos  r r �

� 12k2  26k  12  0 � k  � k 
2
3
n1 . n2
26
2 k2  1
YCBT thoả mãn  ít nhất một trong hai phương trình sau có
nghiệm:
�� 3
� 2
3
y

3
x

2(1


2
m
)
x

2

m

�
� 2
�
 /1 �0
2
 �/

� 2  �
2
2

�
0
�
�
�
�
�2
y
3x  2(1 2m)x  2  m

3
� 3
�
�
8m2  2m 1�0
� 2
4m  m 3 �0
�
�
1
1
m
�

;
m
�
�
4
2  m� 1 hoặc m�1
�
3
4
2
�
m� ;m�1
�
4
1
Ví dụ 9: Cho hàm số y  f (x)  mx3  (m 1)x2  (4  3m)x  1 , (Cm).

3
Tìm các giá trị m sao cho trên đồ thị (C m) tồn tại một điểm duy nhất có
hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (d):
x  2y  3  0.
Lời giải: (d) có hệ số góc
là hoành độ tiếp điểm thì:



1
2

 tiếp tuyến có hệ số góc k=2. Gọi x

f '(x)  2 � mx2  2(m 1)x  (4  3m)  2
(1)
� mx2  2(m 1)x  2  3m 0

YCBT  (1) có đúng một nghiệm âm.

10


+ Nếu m=0 thì (1) � 2x  2 � x  1 (loại)
+ Nếu m�0thì dễ thấy phương trình (1) có 2 nghiệm là
2  3m
x  1 hay x=
m
Do đó để (1) có một nghiệm âm thì
Vậy m 0 hay m

2  3m
2
 0 � m 0 hoa�
c m
m
3

2
.
3

2.3.5. Bài toán 5: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C):
y  f (x) , biết  cắt hai trục toạ độ tại A và B sao cho tam giác OAB
vuông cân hoặc có diện tích S cho trước.
Cách giải:
(x0) .
 Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc k  f �
 OAB vuông cân   tạo với Ox một góc 450 và O  . (a)
.  2S .
 SOAB  S � OAOB
 Giải (a) hoặc (b) tìm được

(b)
x0 .

Từ đó viết phương trình tiếp tuyến .

x 2
. (1) . Viết phương trình tiếp tuyến

2x  3
của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại
hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
Ví dụ 10: Cho hàm số y 

Lời giải:
�
Gọi (x0; y0) là toạ độ của tiếp điểm  y (x0) 

1
(2x0  3)2

0

OAB cân tại O nên tiếp tuyến  song song với đường thẳng y   x (vì
1
�
 1 
tiếp tuyến có hệ số góc âm). Nghĩa là: y (x0) 
(2x0  3)2
�
x0  1� y0  1
�
x0  2 � y0  0
�
�
+ Với x0  1; y0  1  : y  1 (x  1) � y   x (loại)
+ Với x0  2; y0  0  : y  0  (x  2) � y   x  2 (nhận)
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   x  2.

11


Ví dụ 11: Cho hàm số y 

2x
.
x 2

Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến này cắt các trục
Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho AB  OA 2 .
Lời giải:
M (x0; y0)  (C ), x0 2 .
2x0
4
y
(x  x0) 
x0  2
(x  2)2
Gọi

PTTT

tại

M:

0

Tam giác vuông OAB có AB  OA 2 nên OAB vuông cân tại O.

Do đó d vuông góc với một trong hai đường phân giác d1 : y  x; d2 : y   x
và không đi qua O.
+ Nếu d  d1 thì
+ Nếu d  d2 thì

4
2

(x0  2)
4

(x0  2)2

 1� x0  4  d : y   x  8.
 1  vô nghiệm.

Vậy PTTT cần tìm là: y   x  8.
2.3.6. Bài toán 6: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó
có thể vẽ được 1, 2, 3, ... tiếp tuyến với đồ thị (C): y  f(x).
Cách giải:
Giả sử d : ax  by  c  0 . M (xM ; yM ) �d .
 Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k:
y  k(x �xM )  yM
  tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
�f (x)  k(x  xM )  yM
(1)
�
(2)
�f '(x)  k
(xM )  yM

 Thế k từ (2) vào (1) ta được: f (x)  (x �xM ). f �

(3)

 Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)
x 3
(C). Tìm trên đường thẳng
x1
d : y  2x  1 các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C).
Ví dụ 12: Cho hàm số y 

12


Lời giải:
Gọi M (m;2m 1) �d . PT đường thẳng  qua M có dạng:
y  k(x  m)  2m 1
PT hoành độ giao điểm của  và (C): k(x  m)  2m 1
 kx2   (m 1)k  2m x   mk  (2m 4)  0

x 3
x1

(*)

 tiếp xuc với (C)  (*) có nghiệm kép
�
k �0
�
�

2
   (m 1)k  2m  4k mk  (2m 4)  0
�
�
k �0
�
2 2
2
2
�g(k)  (m 1) k  4(m  m 4)k  4m  0
Qua M (m;2m 1) �d kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)


g(k)  0

có

�
�
 32(m2  m 2)  0; g(0)  4m2  0
�
�
 32(m2  m 2)  0; g(0)  4m2  0
�
1
�
m 1 0 � 16k  4  0 � k  
�
�
4

đúng

1

nghiệm

k �0



�
m 0 � M (0;1)
�
m 1� M (1; 1)
�
m 2 � M (2;5)
�
m 1 � M (1;3)
�

Ví dụ 13: Cho hàm số y   x3  3x2  2

(C).

Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến
phân biệt với đồ thị (C).
Lời giải: Gọi M (m;2) �(d) .
PT đường thẳng  đi qua điểm M có dạng :

y  k(x  m)  2

 là tiếp tuyến của (C)  hệ PT sau có nghiệm
�
�
 x3  3x2  2  k(x  m)  2
� 2
3x  6x  k
(2)
�

(1)

(*).

Thay (2) và (1) ta được:
2x3  3(m 1)x2  6mx  4  0 � (x  2) �
2x2  (3m 1)x  2�
�
� 0

�
x 2
�
2
�f (x)  2x  (3m 1)x  2  0 (3)

13

Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) � hệ (*) có 3 nghiệm x phân
biệt
� (3)

có
hai
nghiệm
�
5
�
�
0
m


1
�
m

��
��
3.
�f (2) �0 �
m�2
�

phân

biệt

khác

2

�
5
�
m 1 � m
Vậy từ các điểm M(m; 2)  (d) với �
3 có thể kẻ được 3
�
m�2
�
tiếp tuyến với (C).
2.3.7. Bài toán 7: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp
tuyến với đồ thị (C): y  f(x) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Cách giải:
Gọi M (xM ; yM ) .
 Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k:
y  k(x �xM )  yM
  tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
�f (x)  k(x  xM )  yM
�
�f '(x)  k
 Thế k từ (2) vào (1) ta được:

(1)
(2)

f (x)  (x �xM ). f �

(xM )  yM (3)

 Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)  (3) có 2 nghiệm phân biệt
x1, x2 .

(x1). f �
(x2)  �1
 Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau  f �
Từ đó tìm được M.
Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai
�
(3) co�nghie�
2
m pha�
n bie�
t
phía với trục hoành thì �
�f (x1). f (x2)  0
Ví dụ 14: Cho hàm số: y 

x 2
(C).
x1

Cho điểm A(0;a) . Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C)
sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành.
Lời giải:

14

Phương trình đường thẳng d đi qua A(0; a) và có hệ số góc k:
y  kx  a
�x  2
 kx  a
�
�x  1
d là tiếp tuyến của (C)  Hệ PT �
có nghiệm
3
k
�
� (x  1)2
 PT: (1 a)x2  2(a  2)x  (a  2)  0 (1) có nghiệm x �1.
Để qua A có 2 tiếp tuyến thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
�
a �1
�
a �1
��
 ��
(*)
  3a  6  0 �a  2
�
Khi
y1  1

đó

ta

có:

x1  x2 

2(a  2)
a 2
; x1x2 
a1
a1

và

3
3
; y2  1
x1  1
x2  1

Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thì

y1.y2  0

x1.x2  2(x1  x2)  4
�
3 ��
3 �
1
.
1



0
0
�

��
�
x

1
x

1
x
.
x

(
x

x
)

1
� 1 �� 2 �
1 2
1
2
 3a  2  0  a  

2
3

�
2
�
a 
Kết hợp với điều kiện (*) ta được: �
3.
�
a �1
�
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Qua quá trình rèn luyện cho học sinh khắc sâu và nhuần nhuyễn các
dạng toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tôi nhận thấy các
tiết bài tập về phần này thay đổi một cách rõ rệt:
- Giờ học sinh động lôi cuốn , kích thích tính khám phá học tập của học sinh.
- Học sinh không còn ngủ gật uể oải trong các giờ toán như thường gặp mà
thấy thời gian trôi thật nhanh.

15


- Cách làm bài của học sinh đã có sự lôgic giữa các bước theo đúng trình tự
rõ ràng.
- Trong quá trình dự giờ thăm lớp và công tác giảng dạy mẫu được các thầy
cô trong nhà trường đánh giá cao về độ tiếp cận kiến thức linh hoạt của học
sinh.

- Bản thân cũng thấy hăng say hơn trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu và
giảng dạy.
- Chất lượng môn học: Tại Trung tâm GDTX-DN Hà Trung:
+ Qua khảo sát tại lớp 12B ( năm học 2015 -2016 ), tổng số 23 HS , kết quả
như sau :

Lớp

Sĩ số

12B

23

Yếu
SL
04

TB
%
17,4

SL
7

Khá
%
30,4

SL

7

Giỏi

%
30,4

SL
5

%
21,8

+ Qua khảo sát tại lớp 12C ( năm học 2015 -2016 ), tổng số 25 HS kết quả
như sau :

Lớp

Sĩ số

12C

25

Yếu
SL
04

TB
%

16

SL
9

Khá
%
36

SL
9

%
36

Giỏi
SL
%
04
16



3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
Xã hội ngày càng phát triển thì giáo viên càng phải đóng vai trò quan
trọng. Việc đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng luôn là việc
làm thường xuyên liên tục của người giáo viên nói chung và giáo viên môn

16

toán nói riêng. Sử dụng nhuần nhuyễn và sáng tạo phương pháp dạy học
giúp học sinh tiếp thu kiến thức tốt.
Sự tiếp thu không chỉ là ghi nhớ máy móc các kiến thức toán học mà
phải được nâng cao khả năng tư duy và suy nghĩ của học sinh. Tạo cho các
em có thái độ, động cơ học tập đúng đắn có những vốn kiến thức, kĩ năng
thiết yếu trong quá trình học môn toán. Phương pháp dạy học kiến thức về
cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số chỉ là một phần trong
chương trình toán THPT, tuy nhiên nó cũng giữ một vai trò tương đối quan
trọng.
Để khắc sâu và tạo hứng thú cho học sinh khám phá những kiến thức
liên quan đến bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và cách
vận dụng chúng đòi hỏi người giáo viên phải chuẩn bị chu đáo và có sự sáng
tạo cho phù hợp với đối tượng học sinh. Đó là then chốt để kích thích và
nâng cao tinh thần học tập của học sinh để nâng cao chất lượng dạy và
hướng tới giáo dục toàn diện cho học sinh.
3.2. Ý kiến đề xuất
-Nhà trường cần tham mưu với các cấp các ngành, mua sắm thêm đồ dùng
trang thiết bị mô hình thực tiễn của môn toán .
-Tổ chức nhiều hơn nữa các giờ dạy mẫu theo từng chuyên đề để nâng cao
phương pháp dạy học cho giáo viên mà mục đích cuối cùng là nâng cao chất
lượng học tập của học sinh .
Trên đây là những kinh nghiệm nhỏ mang tính chủ quan của cá nhân
tôi. Mong nhận được sự động viên góp ý của các cấp lãnh đạo và đồng
nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.

17


Phạm Thị Quế

18


Mục lục:
Trang
1-PHẦN MỞ ĐẦU……… ............................................................................1
1.1. Lý do chọn đề tài.....................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu: ………….............................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu……......................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu.........................................................................2
2. NỘI DUNG ……........................................................................................3
2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu.......................................................3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.................3
2.3. Nội dung của các vấn đề nghiên cứu.......................................................5
2.3.1. Bài toán 1……......................................................................................5
2.3.2. Bài toán 2..............................................................................................6
2.3.3. Bài toán 3……………………………………………………………..8
2.3.4. Bài toán 4……………………………………………………………..9
2.3.5. Bài toán 5............................................................................................11
2.3.6. Bài toán 6……………………………..……………………………..12

2.3.7. Bài toán 7……………………………………………………………14
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường..................................................................15
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…………...............……………………..17
3.1. Kết luận……………………………….............................……………17
3.2. Ý kiến đề xuất.......................................................................................17
* TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................

19


*Tài liệu tham khảo.
1, Sách giáo khoa giải tích cơ bản và nâng cao lớp 11 và 12.
2, Các bài giảng luyện thi – NXBGD năm 2005.
3, Hướng dẫn ôn tập kỳ thi THPT quốc gia- NXBGD năm 2015, 2016.

20


21


22