SKKN giúp học sinh giải một số bài toán nâng cao của dạng toán điển hình tìm 2 số khi biết tổng và tỉ số của 2 số đó

1. MỞ ĐẦU.
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Chúng ta đang sống trong thế kỉ XXI - thế kỉ của Khoa học công nghệ - và
Khoa học kĩ thuật đã thu hút tất cả mọi người vào vòng quay của nó. Nhiệm vụ
trồng người của giáo viên chúng ta cũng vì thế mà nặng nề hơn rất nhiều. Giờ
đây nhiệm vụ đó không chỉ dừng lại ở đào tạo những em học sinh ngoan, chăm
học, có lòng yêu nước mà cần phải hình thành và phát triển ở các em những
phẩm chất và năng lực của một công dân Việt Nam trong thời kì mới: năng
động, sáng tạo, tự chủ và có ý chí vươn lên, có năng lực tự học và có thói quen
học tập suốt đời, ham hiểu biết và có niềm tự hào dân tộc. Ngoài mục tiêu chủ
yếu là bồi dưỡng kĩ năng tính toán thì giờ đây môn toán tiểu học còn phải chú ý
phát triển tư duy, bồi dưỡng phương pháp suy luận cho các em, tạo cho các em
niềm say mê hứng thú trong học tập, tích lũy kiến thức để tương lai có thể tiếp
nhận được những thành tựu khoa học kĩ thuật mới nhất đang được sáng tạo hàng
ngày, hàng giờ của thế kỉ XXI, thế kỉ mở đầu cho thiên niên kỉ thứ ba.
Toán là một môn học khó, tưởng chừng như khô khan nặng nề, khó tiếp
nhận nhưng cũng khá lí thú và không kém phần hấp dẫn đối với những ai đã say
mê nó. Sự say mê học môn Toán của học sinh thường được tạo ra bởi nhiều cách
khác nhau và có một lí do không thể phủ nhận đó chính là từ người thầy trực
tiếp giảng dạy các em. Chính những bài giảng hấp dẫn của thầy, cách hướng dẫn
của cô làm cho các em thích thú và tạo dần cho các em niềm say mê môn học.
Từ sự say mê , hứng thú trong môn học, các em sẽ cố gắng tập trung vào việc
học nhiều hơn, như vậy việc học trở nên tự nhiên và cũng nhờ đó mà chất lượng
học tập của các em ngày một nâng cao.
Qua nhiều năm giảng dạy, khi bồi dưỡng năng lực cho học sinh có khả
năng học tốt môn toán, tôi thấy học sinh lớp 5 vẫn là lứa tuổi nhỏ, tuy đã khả
năng nhận thức của các em đã được hình thành và phát triển hơn các lớp trước,
tư duy đã bắt đầu có chiều hướng bền vững và đang ở giai đoạn phát triển. Vốn
sống thực tế đã bước đầu có những hiểu biết nhất định song vẫn còn nặng về tư
duy cụ thể. Con đường để các em lĩnh hội kiến thức nhanh nhất vẫn là trực
quan sinh động. Chính vì thế việc hướng các em tới những bài toán khó hơn

những bài toán trong sách giáo khoa để các em làm quen là hết sức quan trọng,
vừa giúp học sinh có thêm kiến thức vừa làm cho khả năng tư duy của các em
tiến bộ thêm một bậc, đồng thời tạo hứng thú học tập cho các em trong môn
toán - một môn học được coi là khô khan và hóc búa. Khi làm toán, các dạng
bài thuộc về kĩ năng các em làm rất nhanh và chính xác nhưng lại không biết
khai thác bài toán mới thành một chuỗi bài toán có liên quan đến dạng bài cơ
bản đã học. Vì thế với một bài toán mới, nhiều học sinh không biết phải bắt
đầu từ đâu? Vận dụng những kiến thức nào? Bài toán có liên quan đến những
kiến thức nào đã học?...
Với những lí do trên, tôi đã chọn đề tài “Giúp học sinh giải một số bài
toán nâng cao của một dạng toán điển hình: Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số
của hai số đó”
1


1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Đưa ra một số giải pháp giúp học sinh có khả năng học tốt môn toán nhận
ra dạng toán và giải được một số bài toán nâng cao dạng Tìm hai số khi biết tổng
và tỉ số của hai số đó nhằm nâng cao chất lượng dạy – học môn Toán.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
Tìm hiểu thực trạng việc học sinh giỏi trong lớp giải một số bài toán nâng
cao dạng Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó và nguyên nhân của
thực trạng đó.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết;
- Phương pháp điều ra khảo sát thực tế;
- Phương pháp thống kê xử lí số liệu.

2

2. NỘI DUNG
2.1.CƠ SỞ LÍ LUẬN
Hiện nay, giáo dục Tiểu học đang thực hiện yêu cầu đổi mới theo thông tư
30 của Bộ Giáo dục : dạy học theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh,
làm cho hoạt động dạy học trên lớp “nhẹ nhàng, tự nhiên, hiệu quả”. Để đạt
được yêu cầu đó, giáo viên phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp và
hình thức dạy học để vừa phù hợp với đặc điểm tâm sinh lý của lứa tuổi tiểu học
và trình độ nhận thức của học sinh vừa nâng cao hiệu quả cho học sinh, đáp ứng
với công cuộc đổi mới của đất nước nói chung và của ngành giáo dục tiểu học
nói riêng.
Những bài toán nâng cao thường là những bài toán rút ra từ thực tế cuộc
sống. Nội dung bài toán được thông qua những câu văn nói về những mối quan
hệ, sự tương quan và phụ thuộc, có liên quan đến những vấn đề thường xảy ra
hàng ngày xung quanh các em. Cái khó đối với học sinh là phải biết lược bỏ
những yếu tố về lời văn đã che đậy bản chất toán học của bài toán, phát hiện ra
các mối quan hệ giữa các yếu tố toán học chứa đựng trong bài toán và nêu ra
phép tính thích hợp để từ đó tìm được đáp số bài toán. Giải được các bài toán
nâng cao vừa giúp các em tư duy nhanh hơn vừa cung cấp cho các em một số
hiểu biết nhất định trong thực tế cuộc sống, từ đó giúp các em có khả năng thích
ứng tốt hơn trong những vấn đề xã hội.
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VIỆC BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC CHO
HỌC SINH CÓ KHẢ NĂNG HỌC TỐT MÔN TOÁN.
Khi bồi dưỡng năng lực cho học sinh có khả năng học tốt môn toán trong
lớp, tôi nhận thấy:
- Khả năng nhận dạng toán của học sinh còn nhiều hạn chế: các em còn
khá lúng túng trong việc nhận ra dạng toán khi gặp một bài toán lạ.
- Một số em chỉ làm được những bài toán giống mẫu.
Cụ thể khảo sát trên 16 em học sinh có khả năng học tốt môn toán của lớp
5E do tôi phụ trách vào đầu năm học, học sinh tuy làm được bài nhưng vẫn còn

lúng túng, cần sự giúp đỡ của giáo viên khi giải bài toán sau:
Bài toán : Hai bạn Bình và An quyên góp được 64 quyển vở để ủng hộ
các bạn học sinh vùng cao. Tính số vở của mỗi bạn đã quyên góp được, biết rằng
1
1
số vở Bình quyên góp bằng số vở An quyên góp.
3
5

Theo tôi, nguyên nhân dẫn đến tình trạng trên là do:
- Học sinh còn thụ động trong việc tiếp thu kiến thức, còn thiếu tự tin
trong học toán, các em chưa có hứng thú đối với môn học.
- Khi hướng dẫn học sinh giải toán, giáo viên chưa tìm ra phương pháp
thích hợp, thường chỉ dạy theo những gì có trong sách giáo khoa chứ chưa có sự
đầu tư cho bài giảng nếu đó không phải là tiết dự giờ, chưa tạo được không khí
cũng như hứng thú học tập cho học sinh.…
2.3. CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN.
Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy khi dạy học sinh làm toán giải, giáo viên
phải giúp học sinh nắm được những vấn đề cơ bản sau:
3


- Các em phải biết cách phân tích đề toán, tóm tắt bài toán ở dạng ngắn
gọn và khoa học nhất.
- Phải có kĩ năng nhận dạng bài toán từ đó mới định hướng được
cách giải.
- Thực hiện được kĩ năng tính toán một cách thành thạo và phải biết cách
thử lại bài toán.
Trong quá trình giảng dạy bồi dưỡng năng lực cho học sinh có khả năng
học tốt môn toán, tôi nhận thấy nếu như giáo viên hướng dẫn các em biết cách

thực hiện một cách linh hoạt, sáng tạo những kiến thức đã học thì việc giải toán
trở nên đơn giản và nhẹ nhàng hơn rất nhiều.
Để giúp học sinh vận dụng kiến thức đã học vào giải toán, bản thân tôi đã
nghiên cứu và tìm ra được một số kinh nghiệm và bước đầu đem lại kết quả.
2.3.1. Các bước thực hiện trong giải toán có lời văn
Khi giảng dạy tôi hướng dẫn các em cụ thể qua các bước sau:
Bước 1: Đọc kĩ đề toán:
Ở bước đầu tiên này tôi hướng dẫn các em phải xác định cho đúng những
cái đã cho, những cái phải tìm và các mối quan hệ chính trong đề toán. Trong
bước này các em phải huy động toàn bộ vốn hiểu biết của mình về những gì có
liên quan đến các nội dung đã nêu trong đề toán, sẵn sàng đưa chúng ra để phục
vụ cho việc giải toán.
Bước 2: Tóm tắt bài toán
Sau khi đã hướng dẫn các em thực hiện thành thạo bước phân tích đề, tôi
tiếp tục triển khai thực hiện bước 2: tóm tắt bài toán.
Thông thường, sau khi đã xác định được cái đã cho, cái phải tìm thì giáo
viên cần hướng dẫn học sinh biểu thị lại bài toán một cách trực quan và ngắn
gọn những điều đã biết, chưa biết trong bài toán để dựa vào đó tìm ra cách giải
bài toán hợp lí nhất, ngắn gọn và cụ thể nhất.
Trước khi cho các em tóm tắt bài toán, tôi nhắc nhở các em hướng sự tập
trung chú ý vào những chính yếu nhất của đề toán, tìm cách thể hiện chúng bằng
hình vẽ, sơ đồ. Trong trường hợp khó vẽ bằng sơ đồ đoạn thẳng thì cần dùng
ngôn ngữ ngắn gọn để ghi lại nội dung đề toán.
Bước 3: Xác định dạng toán và giải toán
Từ phần tóm tắt vừa thực hiện, học sinh sẽ suy nghĩ để nhận ra mối liên
quan giữa bài toán với những kiến thức đã học, nhận dạng toán và tìm ra
hướng giải.
Trong giải toán, theo tôi thì hiểu đề và tóm tắt được bài toán coi như đã
thành công được 50%.
Trong toán có lời văn thì việc nắm vững cách giải những dạng toán điển

hình là vô cùng quan trọng. Nhưng bước quan trọng không kém là phải nhận
ra được dạng toán, đặc biệt là những bài toán nâng cao được sáng tạo từ
những dạng toán cơ bản mà các em đã được học trong sách giáo khoa. Để
giúp các em dễ dàng hơn trong việc nhận ra dạng toán thì sau khi khắc sâu
các bước làm một bài toán mẫu thuộc loại toán điển hình, tôi đã hướng dẫn
các em ghi nhớ bảng sau:
4


Nếu đã biết
Tổng

Hãy tìm thêm
Hiệu
Tỉ
Tổng
Tỉ
Tổng
Hiệu

Hiệu
Tỉ

Sẽ có dạng toán
Tổng - hiệu
Tổng - tỉ
Tổng - hiệu
Hiệu- tỉ
Tổng - tỉ
Hiệu - tỉ

Bước 4: thử lại
Đây là bước không thể thiếu trong giải toán, nhất là những bài toán nâng
cao. Công việc này giúp các em có thể kiểm tra lại chắc chắn bài làm của mình
cũng như đánh giá được việc nhận dạng đề toán của bản thân.
Dạng toán điển hình tổng - tỉ đã được các em học từ lớp 4 song để giúp
các em làm tốt những bài toán nâng cao, tôi đã giúp học sinh củng cố lại cách
làm bài toán cơ bản.
2.3.2. Củng cố cách làm bài toán cơ bản: Tìm hai số khi biết tổng và tỉ
số của hai số đó.
Đầu tiên tôi giúp các em hiểu rõ:
- Toán điển hình là gì? (Là những bài toán cùng dạng, đơn giản có dữ
kiện rõ ràng, có thể giải dựa vào công thức hoặc các bước tính đã được cụ
thể hóa).
- Bài toán cơ bản là gì? (Là những bài toán được coi là bài mẫu trong
sách giáo khoa)
- Những bài toán nâng cao được sáng tạo từ bài toán cơ bản là gì? (Là
những bài toán không hiển thị cụ thể dữ kiện bài toán mà được ngụy trang bằng
cách này hay cách khác để phát triển tư duy và kích thích khả năng nhận biết
của học sinh).
Tôi đưa ra bài toán gốc (SGK toán 5 trang 17):
Đề bài:
Tổng của hai số là 96. Tỉ số của hai số đó là 3/5. Tìm hai số đó.
Học sinh tự làm bài toán như sau:
Tóm tắt
?
Số bé:
?
Số lớn:

96

Bài giải
Tổng số phần bằng nhau là:
3 + 5 = 8 (phần)
Số bé là: 96 : 8 x 3 = 36
Số lớn là: 96 – 36 = 60
Đáp số: Số bé: 36; Số lớn: 60
5


Sau khi các em làm xong, tôi hỏi để củng cố cách làm:
- Bài toán gồm mấy đại lượng? ( 2 đại lượng)
- Muốn tìm đươc 2 đại lượng đó chúng ta cần biết những gì?( tổng và tỉ số
của chúng)
- Nêu các bước thực hiện của bài toán.
+ Bước 1: Tìm tổng số phần
+ Bước 2: Tìm số bé = (tổng 2 số : tổng số phần) x số phần của số bé
+ Bước 3: Tìm số lớn.
(Có thể tìm số lớn trước rồi tìm số bé)
* Khắc sâu: muốn làm tốt dạng toán này các em phải đọc kĩ đề, xác định
dữ kiện của bài toán xem hai đại lượng chính trong bài toán là gì? Đã biết dữ
kiện nào? Từ đó tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng rồi giải theo các bước 1, 2, 3, 4
như đã được hướng dẫn.
Từ đó tôi giới thiệu: Có những bài toán khác cũng thuộc dạng này nhưng
dữ kiện được ngụy trang bằng cách này hay cách khác. Để làm được bài toán
như thế chúng ta phải tìm ra được dữ kiện ẩn của bài toán (có thể ẩn tổng số, tỉ
số hoặc cả tổng và tỉ số ), từ đó đưa về dạng toán điển hình.
2.3.3. Hướng dẫn giải những bài toán nâng cao của dạng toán điển
hình : « Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó. »

a. Dạng thứ nhất: Những bài toán ẩn tỉ số:
Bài toán 1:
Hai bạn Bình và An quyên góp được 64 quyển vở để ủng hộ các bạn học
sinh vùng cao. Tính số vở của mỗi bạn đã quyên góp được, biết rằng
Bình quyên góp bằng

1
số vở
3

1
số vở An quyên góp.
5

Sau khi các em đọc kĩ đề trong 2 phút. Cả lớp đã xác định được như sau:
Cái đã cho: Bình và An: 64 quyển vở.
1
1
số vở Bình quyên góp = số vở An quyên góp.
3
5

Cái phải tìm: Mỗi bạn quyên góp … quyển vở?
Tôi cho học sinh trao đổi nhóm đôi để tìm ra tỉ số ẩn của 2 số.
Vì chưa gặp những bài toán dạng này nên đầu tiên các em khá lúng túng.
Giáo viên gợi ý:
Em hiểu thế nào về dữ kiện:

1
1

số vở Bình quyên góp = số vở An
3
5

quyên góp ?
1
3

( số vở Bình quyên góp =

1
số vở An quyên góp tức là : nếu chia số vở
5

Bình quyên góp thành 3 phần bằng nhau thì số vở An quyên góp gồm 5 phần
như thế).
Từ đó xác định được tỉ số của hai đại lượng cần tìm là 3/5. Vậy bài toán
trở thành bài toán cơ bản : Tìm hai số khi biết tổng (64 quyển vở) và tỉ số của
hai số đó (3/5). Lúc này việc giải bài toán trở nên đơn giản.
6


Các em tự tóm tắt bài toán và giải như sau :
?
Số vở Bình góp:
?
64 quyển
Số vở An góp:
Bài giải
Tổng số phần bằng nhau là:

3 + 5 = 8 ( phần)
Số vở Bình quyên góp là
64 : 8 x 3 =24 (quyển)
Số vở An quyên góp là
64 – 24 = 40 (quyển)
Đáp số:
Bình: 24 quyển
An : 40 quyển
Thử lại (hs nháp):
24 + 40 = 64 (quyển);
24 : 3 = 8 (quyển) ; 40 : 5 = 8 (quyển)
Như vậy bài toán được giải đúng.
Bài toán 2:
Sau Tết, tổng số tiền mừng tuổi của hai anh em là 3 300 000 đồng. Biết
rằng

1
2
số tiền mừng tuổi của em bằng số tiền mừng tuổi của anh. Hỏi mỗi
3
5

người có bao nhiêu tiền mừng tuổi?
Tôi cho các em thảo luận cách tóm tắt bài toán 2.
Một số nhóm cũng vẽ đươc tỉ số thể hiện trong bài toán bằng cách suy luận:
1
2
số tiền mừng tuổi của em bằng số tiền mừng tuổi của anh nghĩa là: nếu
3
5

số tiền mừng tuổi của em gồm 3 phần bằng nhau thì 1 phần số tiền đó bằng 2
phần số tiền của anh nếu số tiền mừng tuổi của anh gồm 5 phần như thế.
Tôi hướng dẫn các em cách làm đơn giản hơn: nếu các dữ kiện thể hiện tỉ số
của hai số chưa cùng tử số thì ta quy đồng để đưa về cùng tử số.
Các em đã làm được như sau:
Ta có:
1
2
2
2
= như vậy số tiền của em = số tiền của anh .
3
6
6
5

Tức là: nếu số tiền của em gồm 6 phần bằng nhau thì số tiền của anh gồm
5 phần như thế. Tỉ số giữa số tiền của em và số tiền của anh là 6/5
Ta có sơ đồ:
?
Số tiền của em:
?

3 300 000 đồng

Số tiền của anh:
7

Bài giải
Tổng số phần bằng nhau là:
5 + 6 = 11 (phần)
Số tiền mừng tuổi của em là:
3 300 000 : 11 x 6 = 1 800 000 (đồng )
Số tiền mừng tuổi của anh là:
3 300 000 – 1 800 000 = 1 500 000( đồng)
Đáp số: Em: 1 800 000 đồng.
Anh: 1 500 000 đồng.
Thử lại :

1
số tiền của em là : 1 800 000 x
3
2
số tiền của anh là : 1 500 000 x
5

1
= 600 000 (đồng)
3
2
= 600 000 (đồng)
5

Như vậy bài toán được giải đúng.
Tôi tiếp tục nâng dần mức độ khó của bài tập qua bài toán 3.
Bài toán 3:
Cô giáo phát thưởng 135 quyển vở cho một số học sinh giỏi lớp 1 và lớp 2.
Mỗi em lớp 1 được 2 quyển , mỗi em lớp 2 được 1 quyển. Số học sinh giỏi lớp 1

gấp đôi số học sinh giỏi lớp 2. Hỏi có bao nhiêu em học sinh giỏi lớp 1 được
nhận vở?
Trước khi cho các em làm bài, tôi gợi ý bằng hệ thống câu hỏi:
- Bài cho biết gì? Dữ kiện nào bị ẩn? Dựa vào tỉ số học sinh giỏi lớp1 và
lớp 2 ta tìm được gì?
- Các em đã chỉ ra được : Bài cho biết tổng số vở của lớp1 và lớp 2 được
nhận. Tỉ số vở của hai lớp còn ẩn. Từ tỉ số học sinh hai lớp sẽ tìm được tỉ số vở
của hai lớp.
Như vậy các em đã đồng thời xác định được dạng toán và lập luận đưa về
bài toán gốc như sau:
Nếu coi số học sinh giỏi lớp hai là 1 phần thì số học sinh giỏi lớp 1 sẽ là 2
phần như thế . Vậy số vở của lớp 1 sẽ là 4 phần bằng nhau và số vở của lớp 2 sẽ
gồm 1 phần.
Tỉ số vở của hai lớp là

1
. Ta có sơ đồ sau:
4

?
Số vở lớp 2:
?
Số vở lớp 1:

135 quyển vở

Tổng số phần bằng nhau là:
1 + 4 = 5( phần)
Số vở lớp 1 là:
135 : 5 x 4 = 108 ( quyển)

8


Số học sinh giỏi lớp 1 được nhận vở là :
108 : 2 = 54 (em)
Đáp số: 54 em
Tôi yêu cầu học sinh thử lại để khẳng định bài giải đúng.
Nhận thấy các em đã nhận dạng khá tốt, tôi đưa ra bài toán 4.
Bài toán 4:
Trước đây, vào lúc anh bằng tuổi em hiện nay thì anh gấp dôi tuổi em.
Hiện nay, tổng số tuổi của 2 anh em là 60 tuổi. Tính tuổi mỗi người hiện nay.
Học sinh phát hiện ra ngay đây là dạng toán tổng tỉ. Tổng số tuổi đã biết
nhưng lại không biết tìm tỉ số tuổi của hai anh em hiện nay bằng cách nào.
Tôi gợi ý:
Đọc kĩ dữ kiện thứ nhất của bài toán và tìm cách vẽ sơ đồ biểu thị tuổi hiện nay
dựa vào tuổi trước đây của hai anh em. Chú ý hiệu số tuổi của hai anh em không
thay đổi theo thời gian.
Sau ít phút suy nghĩ, các em đã tìm ra được tỉ số như sau:
Nếu coi số tuổi của em trước đây là 1 phần thì tuổi anh trước đây sẽ là 2
phần( vì lúc đó anh gấp đôi tuổi em). Như vậy tuổi em hiện nay là 2 phần. Vì
hiệu số tuổi không thay đổi theo thời gian nên hiện nay anh vẫn hơn em 1 phần.
Suy ra tuổi của anh hiện nay sẽ là 3 phần. tỉ số tuổi của hai anh em hiện nay
là

2
.
3

Ta có sơ đồ:
Tuổi em trước đây:

Tuổi anh trước đây
?
Tuổi em hiện nay:
?

60 tuổi

Tuổi anh hiện nay:
Đến lúc này thì cả lớp đều ồ lên thích thú khi tìm ra hướng giải của một
bài toán lạ.
Phần còn lại các em làm rất nhanh và đều đưa ra đáp án đúng
( anh: 36 tuổi; em: 24 tuổi)
Tôi yêu cầu cả lớp thử lại kết quả. Các em đã làm được như sau:
Tổng số tuổi: 36 + 24 = 60 (đúng)
Khi anh bằng tuổi em hiện là 24 thì tuổi em lúc đó là : 24 – 12 = 12 bằng
1
tuổi anh. (đúng).
2

Như vậy các em đã phần nào tìm ra được cách chuyển đổi dữ kiện bài toán .
Tôi yêu cầu các em tự làm bài toán 5 và thu chấm.
9


Bài toán 5:
Hiện nay, tổng số tuổi của ba cha con là 85 tuổi, trong đó: tuổi con gái
bằng

2
3

tuổi cha, tuổi con trai bằng tuổi con gái. Tính số tuổi từng người.
5
4

Bài giải
Ta có

2
4
=
5
10

Nếu coi số tuổi của con trai là 3 phần thì số tuổi của con gái sẽ là 4 phần và
số tuổi của cha sẽ là 10 phần như thế.
Ta có sơ đồ:
?
Tuổi con trai:
?
85 tuổi
Tuổi con gái:
?
Tuổi cha:
Tổng số phần bằng nhau là:
3 + 4 + 10 = 17( phần)
Một phần gồm số tuổi là:
85 : 17 = 5 (tuổi)
Tuổi của con trai là:
5 x 3 = 15( tuổi)
Tuổi của con gái là:

5 x 4 = 20(tuổi)
Tuổi cha là:
5 x 10 = 50 (tuổi)
Đáp số: Con trai:15 tuổi
Con gái: 20 tuổi
Cha:
50 tuổi
Kết quả như sau:

Số học sinh Không làm được Biết cách làm Làm đúng bài Làm bài tốt
16 em
0
16
14
10
Như vậy sau khi hướng dẫn cụ thể từng bước nhỏ, cả 16 em học sinh tham
gia khảo sát lớp tôi đã biết cách làm bài toán. Trong đó có 14 em (87,5 % ) làm
đúng và rõ ràng chứng tỏ các em đã biết kết hợp kĩ năng thực hiện giải toán và
thực hiện phép tính chính xác.
b. Dạng thứ hai: những bài toán ẩn tổng số
Để khắc sâu, tôi đưa ra bài toán 6

10


Bài toán 6: Cho phân số

51
. Khi lấy mẫu số của phân số đó trừ đi 1 số tự
101

nhiên và lấy tử của phân số đó cộng với chính số tự nhiên đó thì được phân số
mới bằng phân số

3
. Tìm số tự nhiên đó.
5

Ban đầu các em thắc mắc : Đây là toán về phân số?
Tôi gợi ý :
- Tổng hai số không đổi nếu ta thêm vào ở số này và bớt đi ở số kia 1
lượng như nhau.
- Muốn tìm số tự nhiên đó thì ta phải biết được điều gì? ( phải biết tử số
hoặc mẫu số của phân số mới để so sánh với phân số ban đầu.)
Lúc này các em lại ồ lên vì nhận thấy đây chính là dạng toán tổng tỉ.
Dựa vào gợi ý của tôi về tổng hai số, các em làm bài toán như sau:
Bài giải
Tổng tử số và mẫu số của phân số ban đầu là:
51 + 101 = 152
Khi ta bớt đi ở tử và thêm vào ở mẫu cùng một số tự nhiên thì tổng giữa tử
số và mẫu số không thay đổi. Ta có sơ đồ biểu thị tử số và mẫu số của phân số
mới như sau:
Tử số mới:
152
?
Mẫu số mới:
?
Tử của phân số mới là:
152 : ( 3 + 5) x 3 = 57
Số tự nhiên đó là:

57 –51= 6
Đáp số: 6
Bài toán 7: Tìm hai số biết số thứ nhất cộng với số thứ hai rồi cộng với
tổng của chúng bằng 224; số thứ nhất gấp 3 lần số thứ hai.
Lần này không khí học tập của lớp tôi sôi nổi hẳn lên. Các em thi đua tìm
nhanh tổng ẩn và nhanh chóng chỉ ra được như sau:
Theo bài ra : số thứ nhất + số thứ hai + tổng = 224
Tổng + tổng
= 224
Tổng của hai số cần tìm là:
224 : 2 = 112
Ta có sơ đồ:
Số thứ nhất:
?

112

Số thứ hai:
?
Số thứ nhất là:
11


112 : ( 1 + 3) = 28
Số thứ hai là:
28 x 3 = 84
Sau bài toán này, không khí học tập của lớp tôi khác hẳn. Các em chủ
động trong việc đi tìm dữ kiện ẩn của bài toán mà không cần sự trợ giúp của tôi
như trước.
c. Dạng thứ ba: bài toán ẩn cả tổng và tỉ số

Để củng cố hai dạng trên, tôi đưa ra bài toán 8
Bài toán 8:
Khi thực hiện phép chia 2 số tự nhiên thì được thương là 6 dư 51. Tổng
của số bị chia, số chia , thương và số dư là 969. Hãy tìm số bị chia và số chia
trong phép chia này.
Các em đã thảo luận và tìm ra cách giải như sau
Nếu coi số chia là 1 phần thì số bị chia sẽ gồm 6 phần như thế và 51 đơn vị
Tổng của hai số sẽ là: 969 – ( 6 + 51 ) = 912
Theo bài ra, ta có sơ đồ:
Số chia:
?
51

Số bị chia:

912

?
Số chia là: (912 – 51) : ( 1 + 6) = 123
Số bị chia là: 123 x 6 + 51 = 789
Đáp số: 123 và 789
Để tạo không khí học tập, tôi yêu cầu các em làm bài kiểm tra nhanh.
Đề bài:
Bài 1: Hiện nay tuổi bố gấp 4 lần tuổi con. Ba năm về trước tổng số tuổi của hai
bố con là 39 tuổi. Hỏi hiện nay bố bao nhiêu tuổi, con bao nhiêu tuổi?
11
. Hỏi phải chuyển từ mẫu số lên tử số bao nhiêu đơn vị
149
3
nữa để được phân số có giá trị bằng phân số .

5

Bài 2: Cho phân số

Đáp án bài kiểm tra nhanh.
Bài 1: Mỗi năm mỗi người đều tăng lên một tuổi.
Vậy sau ba năm hai người sẽ tăng số tuổi là: 3 x 2 = 6( tuổi)
Tổng số tuổi của hai bố con hiện nay là: 39 + 6 = 45 (tuổi)
12


?
Tuổi bố:

45 tuổi

?
Tuổi con:
Tuổi của con hiện nay là:
45 : (1 + 4) = 9 (tuổi)
Tuổi của bố hiện nay là:
45 – 9 = 36 ( tuổi)
Đáp số: Con: 9 tuổi
Bố: 36 tuổi

Bài 2:
Tổng của tử số và mẫu số phân số cũ là:
11 + 149 = 160
Khi chuyển từ mẫu số lên tử số một số đơn vị thì tổng của chúng không thay
đổi. Ta có sơ đồ biểu thị tứ số và mẫu số của phân số mới như sau:

?
Tử số mới:
?
160
Mẫu số mới:
Tử của phân số mới là:
160 : ( 3 + 5) x 3 = 60
Số đơn vị phải chuyển lên là:
60 – 11 = 49( đơn vị)
Đáp số: 49 đơn vị
Sau 30 phút, tôi thu bài chấm, kết quả như sau:
Số bài
16

Làm sai cả 2 bài
SL
0

%
0

Làm sai 1 bài.

Làm đúng cả 2 bài

SL
1

SL
15

%
6,25

%
93,75

Nhận xét: Nếu như chúng ta đầu tư đổi mới phương pháp dạy học cũng
như tìm thêm những bài toán hay để giới thiệu thêm cho các em thì tỉ lệ học sinh
có khả năng học tốt môn Toán sẽ tăng lên rõ rệt. Từ chỗ rất ngại những bài toán
mới phải tư duy, các em đã có hứng thú với những bài toán có thể coi là hóc búa
khi đọc đề mà không còn tâm lí e ngại hoặc tự ti như trước.
Tạo hứng thú học tập cho các em, đó cũng là một thành công quan trọng
trong nghề dạy học của chúng ta và tôi tin rằng nếu giáo viên chúng ta làm được
điều đó thì kết quả học tập của các em sẽ không ngừng được nâng lên.

13


2.4. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC.
Bằng kinh nghiệm của mình, tôi đã áp dụng và không ngừng tìm tòi học
hỏi, từng bước đưa chất lượng mũi nhọn cũng như chất lượng đại trà của lớp đi
lên. Cụ thể là:
- Năm học 2017- 2018; 2018-2019, sau khi khảo sát số học sinh có khả
năng học tốt môn Toán trong lớp về nhận dạng và giải một số bài toán nâng cao
vào các thời điểm: đầu năm học, giữa kì và cuối kì, tôi nhận thấy học sinh ngày
càng thích học Toán và làm bài cũng tiến bộ hơn.
Điều đó chứng tỏ kinh nghiệm của tôi đưa ra khi áp dụng vào thực tế
giảng dạy đã có hiệu quả.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1. Kết luận:
Từ năm học 2015 - 2016 cho đến nay tôi đã nghiên cứu đề tài “Giúp học
sinh giải một số bài toán nâng cao của một dạng toán cụ thể: Tìm hai số khi
biết tổng và tỉ số của hai số đó” và áp dụng đề tài này trong công tác bồi dưỡng
học sinh theo năng lực. Cùng với sự cố gắng, niềm say mê học toán của học
sinh, tôi đã đạt được kết quả như trên.
Qua thời gian nghiên cứu thực hiện đề tài này, tôi đã rút ra được một số kinh
nghiệm trong dạy học nhất là công tác bồi dưỡng năng lực cho học sinh có khả
năng học tốt môn Toán:
Học sinh tiểu học tuổi còn nhỏ, khả năng tư duy khái quát còn hạn chế.
Do đó khi đứng trước những bài toán mới, việc xác định dạng toán là một điều
khó khăn đối với các em. Vì vậy người giáo viên cần có sự đầu tư tìm ra phương
pháp dạy học thích hợp để mỗi học sinh đều có thể tự tin trong học tập. Ở mỗi
dạng toán cần hướng dẫn học sinh nhận dạng đề bằng nhiều cách: đọc, nghiên
cứu đề, phân tích bằng nhiều phương pháp ( Mô hình, sơ đồ đoạn thẳng, suy
luận ....) để học sinh dễ hiểu, dễ nắm bài hơn.
Giáo viên phải luôn đổi mới phương pháp dạy bằng nhiều hình thức như:
trò chơi, đố vui.... phù hợp với đối tượng học sinh của mình: " Lấy học sinh để
hướng vào hoạt động học, thầy là người hướng dẫn, tổ chức, trò nhận thức chủ
động trong việc giải toán ''.
Trong giảng dạy giáo viên cần chú ý phát triển tư duy, khả năng phân tích,
tổng hợp, khả năng suy luận lôgic, giúp các em nắm chắc kiến thức cụ thể. Với
toán có lời văn, đó là cách giải và trình bày lời giải, sử dụng tốt tất cả các
phương pháp đã nêu ở trên.
Không nên dừng lại ở kết quả ban đầu ( giải đúng bài toán ) mà nên có
yêu cầu cao hơn đối với học sinh. Ví dụ: Như yêu cầu một học sinh ra một đề
toán tương tự hoặc tìm nhiều lời giải khác nhau.....
Trong khi giải phải yêu cầu học sinh đặt câu hỏi: '' Làm phép tính đó để
làm gì ?'' , từ đó có hướng giải đúng, chính xác.
Sau mỗi bài giải, học sinh phải biết xem xét lại kết quả mình làm để giúp các em

tự tin hơn khi giải quyết một vấn đề nào đó.
14


Trên đây là một sáng kiến kinh nghiệm của tôi, đã được tôi áp dụng vào
thực tế giảng dạy và đã có hiệu quả. Tuy nhiên tôi mới chỉ đề cập đến một dạng
toán điển hình trong rất nhiều dạng toán ở Tiểu học, rất mong nhận được sự
đóng góp ý kiến của đồng nghiệp.
`
3.2. Kiến nghị:
Trên đây là một sáng kiến kinh nghiệm của tôi, đã được tôi áp dụng vào
thực tế giảng dạy và đã có hiệu quả. Tuy nhiên tôi mới chỉ đề cập đến một dạng
toán điển hình trong rất nhiều dạng toán ở Tiểu học, rất mong nhận được sự
đóng góp ý kiến của đồng nghiệp để từ sáng kiến kinh nghiệm này có thể áp
dụng cho nhiều dạng toán cơ bản mà học sinh đã học trong chương trình môn
Toán ở bậc Tiểu học.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
XÁC NHẬN CỦA
HIỆU TRƯỞNG NHÀ TRƯỜNG

Thanh Hoá, ngày 10 tháng 4 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

Bùi Thị Ngọc Yến

15

TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1. Sách giáo khoa Toán 5.
2. Toán nâng cao lớp 5.
3. Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 5.

16


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU..........................................................................................................1
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI...................................................................................1
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU..........................................................................2
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU........................................................................2
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU..................................................................2
2. NỘI DUNG.......................................................................................................3
2.1.CƠ SỞ LÍ LUẬN............................................................................................3
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VIỆC BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC CHO HỌC SINH
CÓ KHẢ NĂNG HỌC TỐT MÔN TOÁN...........................................................3
2.3. CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN...........................................................3
2.4. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC............................................................................14
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.......................................................................14
3.1. Kết luận:.......................................................................................................14
3.2. Kiến nghị:.....................................................................................................14

17


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIÚP HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO
CỦA MỘT DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH: "TÌM HAI SỐ KHI
BIẾT TỔNG VÀ TỈ SỐ CỦA HAI SỐ ĐÓ"

Người thực hiện: Bùi Thị Ngọc Yến
Chức vụ : Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường TH Nguyễn Văn Trỗi
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA, NĂM 2019
18


19