SKKN chỉ đạo giáo viên lớp 5 dạy học sinh giải toán bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng

1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọ đề tài: Cùng với Tiếng Việt – Toán học là môn học có vị trí và vai trò vô
cùng quan trọng ở bậc Tiểu học. Toán học giúp bồi dưỡng tư duy lôgíc, bồi dưỡng và
phát triển phương pháp suy luận, phát triển trí thông minh, tư duy lôgíc sáng tạo, tính
chính xác, kiên trì, trung thực. Việc giải toán điển hình bằng phương pháp dùng sơ đồ
đoạn thẳng là rất quan trọng vì “Sơ đồ đoạn thẳng” là một phương tiện trực quan được
sử dụng trong việc dạy giải toán ngay từ lớp một bởi nó đáp ứng được nhu cầu tăng
dần mức độ trừu tượng trong việc cung cấp các kiến thức toán học cho học sinh. Phương tiện trực quan thì có nhiều nhưng qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy sơ đồ đoạn
thẳng là phương tiện cần thiết, quan trọng và hết sức hữu hiệu trong việc dạy giải toán
(một kỹ năng cần thiết nhất) ở bậc Tiểu học nói chung và ở các lớp cuối cấp nói riêng.
Trong phạm vi đề tài này tôi xin đề cập đến vấn đề “ứng dụng phương pháp giải toán
điển hình”, để giúp học sinh có kỹ năng giải toán nói chung và kỹ năng giải bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng nói riêng. Đối với học sinh tiểu học tư duy của các
em là tư duy cụ thể, đến lớp 4,5 thì tư duy trừu tượng đã phát triển song việc nhận biết
các dữ kiện để giải các bài toán vẫn còn gặp nhiều khó khăn. Dạy học sinh "Sử dụng
sơ đồ đoạn thẳng trong giải toán" là một viêc làm cần thiết, hết sức quan trọng , giúp
các em có khả năng sơ đồ hoá các dạng toán có lời văn. Để từ đó giúp các em giải các
bài toán một cách linh hoạt. Đối với học sinh các em đã tiếp xúc với sơ đồ đoạn thẳng
từ các lớp đầu cấp, nhưng các em chỉ được thực hiện và thông báo kết quả chứ không
được chứng minh. Vì vậy các em chưa có kỹ năng vận dụng một cách linh hoạt và
sáng tạo vào việc giải toán đòi hỏi tư duy nhanh nhạy. Trong dạy học toán, việc giải
toán khắc sâu những kiến thức kỹ năng về các đại lượng, số tự nhiên, phân số, số thập
phân… vừa đòi hỏi tính tích cực độc lập sáng tạo và tư duy, vừa đòi hỏi khả năng thực
hành. Trong thực tế có những học sinh khả năng tư duy (thao tác trí tuệ nhanh), nhưng
khi làm bài tập (khả năng diễn đạt) không đạt yêu cầu. Cho nên để giải được bài toán,
dưới sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh nắm và vận dụng những phương pháp để
giải toán là tạo ra môi trường khuyến khích từng em chủ động, tích cực để đạt kết quả
cao. Mặt khác hiện tại chưa có tài liệu nào nghiên cứu sâu vào vấn đề này, đồng
nghiệp, nhà trường chưa có kinh nghiệm để giải quyết, khắc phục...
Với lý do và ý thức được tầm quan trọng của việc dạy giải toán bằng sử dụng sơ đồ
đoạn thẳng ở Tiếu học nên tôi đã chọn đề tài: "Chỉ đạo giáo viên lớp 5 dạy học sinh
giải toán bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng".

1.2 Mục đích nghiên cứu: Góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy giải toán cho
học sinh trong nhà trường.
1.3 Đối tượng nghiên cứu: Giáo viên và học sinh khối 5 trường Tiểu học Trần Phú
Thành phố Thanh Hoá.
1.4 Phương pháp nghiên cứu: Xây dựng cơ sở lí thuyết. PP điều tra khảo sát thực tế,
thu thập thông tin, PP thống kê xử lí số liệu....
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN:
1


Giải toán bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng là một phương pháp giải toán,
trong đó mối quan hệ giữa các đại lượng đã cho và đại lượng phải tìm trong bài toán
được biểu diễn bởi các đoạn thẳng. Trong việc giải toán ở Tiểu học thì giải toán bằng
phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng có vai trò đặc biệt quan trọng. Nhờ dùng sơ đồ
đoạn thẳng một cách hợp lí, các khái niệm và quan hệ trìu tượng được biểu thị trực
quan hơn. Ngoài chức năng tóm tắt bài toán, sơ đồ đoạn thẳng còn giúp trực quan hóa
các suy luận, làm cơ sở tìm ra lời giải toán; định hướng cho học sinh đặt đề bài toán
theo sơ đồ tóm tắt. Đó là ưu thế khiến cho việc dùng sơ đồ đoạn thẳng trở thành một
phương pháp giải toán thường xuyên được sử dụng ở Tiểu học.
2.1.1 Một số vấn đề chung về việc dạy giải toán:
Dạy giải toán ở Tiểu học được xem như " Hòn đá thử vàng" của quá trình dạy học
toán. Trong giải toán học sinh phải tư duy một cách tích cực và linh hoạt, phải huy
động thích hợp các kiến thức và kỹ nâng đã có vào các tình huống khác nhau để giải
một bài toán. Vì vậy, giải toán là một trong những biểu hiện năng động trí tuệ của học
sinh. Đây chính là cơ hội của người giáo viên để có thể đạt được những mục tiêu của
quá trình dạy môn học này.
Dạy giải toán, bên cạnh đó còn nhằm mục đích chủ yếu là: Nhằm giúp học sinh
luyện tập, củng cố vận dụng kiến thức và các thao tác thực hành đã học, rèn luyện kỹ
năng tính toán, từng bước tập duyệt, vận dụng kiến thức luyện kĩ năng thực hành vào

giải toán. Qua những biểu hiện này giáo viên phát hiện rõ hơn những gì học sinh đã
thực hiện, nắm chắc, những gì học sinh chưa hiểu. Để từ đó có biện pháp giúp học sinh
phát huy hay khắc phục. Qua việc giải toán, giáo viên từng bước giúp học sinh phát
triển năng lực tư duy, rèn luyện phương pháp và kỹ năng suy luận lôgic khêu gợi và
tập duyệt, khả năng quan sát, phỏng đoán, tìm tòi. Qua giải toán, rèn luyện những đức
tính và phong cách làm việc như: ý chí khắc phục khó khăn có thói quen xét đoán có
căn cứ, tính cẩn thận, chu đáo, làm việc có kế hoạch, có kiểm tra. Từng bước hình
thành và rèn luyện thói quen, khả năng suy nghĩ độc lập, linh hoạt, xây dựng lòng ham
thích tìm tòi sáng tạo ở những mức độ khác nhau.
2.1.2 Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng trong giải toán.
Khi phân tích một bài toán cần thiết lập các mối quan hệ và phụ thuộc giữa các đại
lương đã cho trong các bài toán. Nhưng để làm được việc này, cần hướng dẫn học sinh
dùng các đoạn thẳng (sơ đồ hoá) thay cho các số (số đã cho, số phải tìm trong bài toán)
hay là các đại lượng để minh họa các quan hệ đó. Đây cũng chính là một hình thức
trực quan trong giải toán. Khi đó ta chọn độ dài các đoạn thẳng, song cần phải sắp xếp
các đoạn thẳng đó một cách thích hợp để có thể dễ thấy được mối quan hệ và phục
thuộc giữa các đại lượng, tạo ra hình ảnh cụ thể để giúp cho học sinh suy nghĩ, tìm tòi
để đi đến cách giải bài toán. Trong giải toán ở Tiểu học nói chung và giải toán ở lớp 5
nói riêng có rất nhiều dạng bài tập (toán có lời văn) được vận dụng phương pháp sơ đồ
đoạn thẳng của bài toán như: Bài toán về Trung bình cộng, tìm hai số khi biết tổng và
hiệu của hai số đó, tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó, tìm hai số khi biết hai
tỉ số, tính tuổi…
Hoặc là qua bước phân tích đề bài, từ đó lập sơ đồ giải toán trong những bước tiếp
theo. Tuy nhiên, việc hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ đoạn thẳng chỉ là một trong các
2


bước khi giải toán có lời văn. Song đó là cơ sở dẫn dắt để giúp học sinh đi tìm lời giải
của bài toán.
2.1.3 Yêu cầu càn đạt khi giải bài toán bằng sử dụng sơ đồ đoạn thẳng.

* Từ đề toán đã cho học sinh dùng sơ đồ đoạn thẳng (sơ đồ hoá) thay cho các số, các
đại lượng của giải toán.
* HS có óc phán đoán, suy luận nhanh có tư duy logíc và cách khái quát cao.
* Rút ra được những kinh nghiệm cho bản thân diễn đạt được cách tìm ra các đại
lượng.
2.1.4 Phương pháp giảng dạy về giải toán bằng sử dụng sơ đồ đoạn thẳng.
Phối hợp một cách hợp lý, hoạt động giữa thầy và trò trong việc hình thành kiến thức
như luyện tập theo tinh thần hướng dẫn tập trung vào học sinh, cần có những phương
pháp như:
- Phương pháp hoạt động cá nhân, sử dụng phiếu giao việc cho từng học sinh.
- Phương pháp đàm thoại để dẫn dắt học sinh tìm cách sử sụng sơ đồ đoạn thẳng vào
giải toán.
- Phương pháp giảng giải, giúp học sinh nhận thức được cách sử dụng sơ đồ đoạn
thẳng vào giải toán.
- Phương pháp luyện tập, giúp học sinh vận dụng kiến thức để thực hành.
Trong dạy giải toán ở Tiểu học, phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng được dùng để
giải các bài toán đơn, các bài toán hợp và các bài toán có văn điển hình. Để giải được
các bài toán bằng phương pháp này học sinh cần phải thực hiện theo bốn bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu đề bài. Sau khi phân tích đề toán, suy nghĩ về ý nghĩa bài toán, nội
dung bài toán đặc biệt chú ý đến câu hỏi của bài toán.
Bước 2: Lập luận để vẽ sơ đồ. Sau khi phân tích đề, thiết lập được mối quan hệ và
phụ thuộc giữa các đại lượng đã cho trong bài toán đó. Muốn làm việc này ta thường
dùng đoạn thẳng thay cho các số (số đã cho, số phải tìm trong bài toán) để minh họa
các quan hệ đó.
Khi vẽ sơ đồ phải chọn độ dài các đoạn thẳng và sắp xếp các đoạn thẳng đó một cách
thích hợp để có thể dễ dàng thấy được mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng, tạo
ra một hình ảnh cụ thể giúp ta suy nghĩ tìm tòi cách giải bài toán. Có thể nói đây là
một bước quan trọng vì đề toán được làm sáng tỏ, mối quan hệ giữa các đại lượng
trong bài toán được nêu bật, các yếu tố không cần thiết được lược bỏ. Để có thể thực
hiện giải những bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng thì việc nắm được cách biểu thị các

phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) các mối quan hệ (quan hệ về hiệu, quan hệ về tỷ số) là
hết sức quan trọng. Vì nó là một công cụ biểu đạt mối quan hệ và phụ thuộc giữa các
đại lượng. “Công cụ” này học sinh đã được trang bị từ những lớp đầu cấp nhưng cần
được tiếp tục củng cố, “mài giũa” ở các lớp cuối cấp.
Bước 3: Lập kế hoạch giải toán. Dựa vào sơ đồ suy nghĩ xem từ các số đã cho và
điều kiện của bài toán có thể biết gì? có thể làm gì? phép tính đó có thể giúp ta trả lời
câu hỏi của bài toán không? trên cơ sở đó suy nghĩ để thiết lập trình tự giải bài toán.

3


Bước 4: Giải và kiểm tra các bước giải. Thực hiện các phép tính theo trình tự đã
thiết lập để tìm ra đáp số. Mỗi khi thực hiện phép tính cần kiểm tra xem đã đúng ch ưa.
Giải xong bài toán phải thử xem đáp số đã tìm được có trả lời đúng câu hỏi của bài
toán, có phù hợp với các điều kiện của bài toán không.
Tóm lại, để học sinh có thể sử dụng thành thạo “phương pháp dùng sơ đồ đoạn
thẳng” trong việc giải toán thì việc giúp cho các em hiểu rõ ý nghĩa của từng dạng toán
sau đó có thể mô hình hoá nội dung từng dạng bằng sơ đồ đoạn thẳng từ đó tìm ra cách
giải bài toán là một việc làm hết sức quan trọng. Làm được việc này giáo viên đã đạt
được mục tiêu lớn nhất trong giảng dạy đó là việc không chỉ dừng lại ở việc “dạy
toán” mà còn hướng dẫn học sinh “học toán sao cho đạt hiệu quả cao nhất”.
2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
2.2.1 Thực trạng việc giảng dạy học sinh giải toán bằng sử dụng sơ đồ đoạn thẳng:
Phương pháp chung trong việc dạy học sinh giải toán là phương pháp vấn đáp, gợi mở
đưa học sinh nhận biết sự tương quan giữa các đại lượng để học sinh có thể vẽ được sơ
đồ. Qua sự giờ thăm lớp, trao đổi trực tiếp với đồng nghiệp thì một số giáo viên
thường đưa ra sơ đồ cho học sinh giải toán mà chưa chú trọng đến việc các em tự lập
sơ đồ đoạn thẳng. Giáo viên chưa thực sự linh hoạt trong việc vận dụng các phương
pháp dạy học, trong rèn luyện nâng cao việc giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng trong phụ

đạo cho học sinh yếu, làm thêm các bài tập nâng cao trong việc bồi dưỡng học sinh
giỏi.
2.2.2 Thực trạng về việc tiếp thu của học sinh về giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng: Sau
khi nhận thức được các vấn đề tôi đã tiến hành kiểm tra khảo sát để nhận biét chất
lượng chung của toàn bộ số học sinh khối 5 của nhà trường (nội dung kiểm tra chủ yếu
là các bài toán tập trung vào các dạng toán có lời văn). Và đã thu được kết quả sau:
Tổng số học sinh được khảo sát là: 166 em. Kết quả cụ thể như sau:
Hoàn thành tốt
Hoàn thành
Chưa hoàn thành
Lớp Số học sinh
SL
%
SL
%
SL
%
5A1

41

12

29

25

61

4

10

5A2

44

13

29

27

62

4

9

5A3

42

17

40

22

53

3

7

5A4

39

11

28

23

59

5

13

Tổng

166

53

32%

97

58,4%

16

9,6%

Căn cứ vào bài làm và bảng thống kê kết quả thấy rằng chất lượng học sinh không
đồng đều một mặt do ý thức học tập của học sinh, mặt khác do việc tiếp thu kiến thức
về giải toán có lời văn còn yếu, vì vậy khi giải toán có lời văn các em còn lúng túng
(ngay cả đối với học sinh khá) các em chưa vận dụng linh hoạt được các kiến thức đã
học để lập sơ đồ và giải toán.

4


Trong quá trình giảng dạy, giáo viên chỉ tập trung vào cách nhận dạng các bài toán
khác nhau, mà chưa chú trọng đến cách phân tích một bài toán để tìm ra mối tương
quan giữa các dữ kiện của bài toán ấy. Vì thế khi đứng trước một bài toán mới, học
sinh chỉ chú ý nhớ lại và áp dụng một cách máy móc, nếu như không áp dụng được thì
coi nhưng không giải được bài toán.
2.3 GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN:
Từ việc nghiên cứu cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn của việc dạy học giải toán bằng
sơ đồ đoạn thẳng, tôi nhận thấy trong thực tế đang còn nhiều học sinh rất lúng túng
trong việc phân tích bài toán để lựa chọn phương pháp giải phù hợp... bên cạnh đó một
số giáo viên thường đưa ra sơ đồ cho học sinh giải toán mà chưa chú trọng đến việc
giúp các em tự lập sơ đồ đoạn thẳng. Để khẳng định cụ thể hơn lợi ích của việc sử
dụng sơ đồ đoạn thẳng để dạy giải toán ở Tiểu học tôi đã chỉ đạo giáo viên thực hiện
giảng dạy một số dạng toán cơ bản mà khi giải có thể sử dụng sơ đồ đoạn thẳng như
sau

DẠNG 1: DẠNG TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN SỐ TRUNG BÌNH CỘNG

Đối với dạng toán này, học sinh nắm được khái niệm số trung bình cộng. Biết cách
tìm số trung bình cộng của nhiều số. Khi giải các bài toán dạng này, thông thường các
em thường sử dụng công thức.
Số trung bình cộng = Tổng : Số các số hạng
1. Tổng = Số trung bình cộng x

Số các số hạng

2. Số các số hạng = Tổng : Số trung bình cộng
Áp dụng kiến thức cơ bản đó học sinh được làm quen với rất nhiều dạng toán về
trung bình cộng mà có những bài toán nếu không tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng, học
sinh sẽ rất khó khăn trong việc suy luận tìm ra cách giải.
Ví dụ: An có 20 nhãn vở, Bình có số nhãn vở bằng An. Chi có số nhãn vở ít hơn trung
bình cộng số nhãn vở của 3 bạn là 6 nhãn vở. Hỏi Chi có bao nhiêu nhãn vở?
Sau khi đọc kỹ đề toán, phân tích mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài, học sinh
tóm tắt bài toán bằng sơ đồ:
Trước hết vẽ đoạn thẳng: Biểu Tổng số nhãn vở:
thị tổng số nhẵn vở của 3 bạn

Bình + An
+ Dựa vào đó học sinh nêu cách Trug bình cộng:
vẽ đoạn thẳng thể hiện mức
trung bình cộng số nhãn vở của Nhãn vở của chi:
3 bạn (1/3 tổng trên)
+ Từ đó vẽ đoạn thẳng biểu thị Nhãn vở của An
số nhẵn vở của Chi (ít hơn mức và Bình:
Bình + An
trung bình cộng là 6 chiếc).

Chi

5


Sau khi hướng dẫn tìm hiểu đề và tóm tắt bằng sơ đồ, nhiều học sinh đã biết từng bước
tìm cách giải. Những em chưa làm được bài, sau khi nghe bạn trình bày cách suy luận
của sơ đồ các em đều nắm được và biết tự giải quyết các bài toán dạng tương tự.
Số nhãn vở của An và Bình là:
20 + 20 = 40 (nhãn vở)
Nhìn vào sơ đồ ta thấy, trung bình cộng số nhãn vở của 3 bạn là:
(40 – 6) : 2 = 17 (nhãn vở)
Bạn Chi có số nhãn vở là:
17 – 6 = 11 (nhãn vở)
Đáp số: 11 nhãn vở
Ví dụ 2: Dùng sơ đồ có thể giúp học sinh hiểu hoặc các em có thể giải thích cách làm
dạng toán tìm hai số khi biết hiệu và trung bình cộng của hai số đó một cách ngắn gọn.
Ta thấy:
Hiệu
Số lớn:
Số bé:
TBC:
Qua sơ đồ ta có thể tìm ra:
Số lớn = Trung bình cộng + (hiệu : 2)
Số bé = Trung bình cộng – (Hiệu : 2)
Ví dụ một bài toán cụ thể dạng này:
Trung bình cộng của hai số tròn chục liên tiếp là 2005. Tìm hai số đó.
Vì hai số tròn chục liên tiếp hơn kém nhau 10 đơn vị nên ta có sơ đồ:
10

Số lớn:
Số bé:
TBC:
Bài giải:
6


Số lớn là:
2005 + (10 : 2) = 2010
Số bé là:
2005 – (10 : 2) = 2000
Hoặc 2010 – 10 = 2000
Đáp số: Số lớn: 2010

Số bé: 2000

Ví dụ 3: Một tổ công nhân sửa đường, ngày thứ nhất sửa được 25m đường, ngày thứ
hai sửa được nhiều hơn ngày thứ nhất 1m, ngày thứ ba sửa được nhiều hơn ngày thứ
nhất 2m. Hỏi trung bình mỗi ngày sửa được bao nhiêu mét đường?
Ta có sơ đồ:
25 m
Ngày thứ nhất:
1m
Ngày thứ hai:
2m
Ngày thứ ba:
Thông thường ta giải bài toán như sau:
Ngày thứ hai sửa được là:
25 + 1 = 26 (m)
Ngày thứ 3 sửa được :

25 + 2 = 27 (m)
Trung bình mỗi ngày sửa được:
(25 + 26 + 27) : 3 = 26 (m)
Đáp số: 26 (m)
Nhận xét: Quan sát kỹ sơ đồ ta thấy nếu chuyển một mét từ ngày thứ ba sang ngày thứ
nhất thì số mét đường sửa được trong các ngày đều bằng 26m.
25m
1m
Ngày thứ nhất:
1m
Ngày thứ hai:
1m

1m

Ngày thứ ba:
Ta thấy ngay trung bình mỗi ngày tổ đó sửa được 26m đường.
7


Như vậy, sơ đồ giúp ta hình dung rõ khái niệm, đôi khi sơ đồ còn giúp ta tính nhẩm
nhanh kết quả.
DẠNG 2: DẠNG TOÁN TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ HIỆU CỦA CHÚNG.

Bài toán: Tổng hai số là 48, hiệu hai số là 12. Tìm hai số đó?
Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ, căn cứ sơ đồ hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp
giải. Sử dụng sơ đồ biểu thị mối quan hệ về hiệu, các em sẽ tóm tắt bài toán bằng sơ đồ
dưới đây.
Số lớn:
12

48

Số bé:
Nhìn vào sơ đồ, yêu cầu học sinh nhận xét: Nếu lấy tổng trừ đi hiệu, kết quả đó có
quan hệ như thế nào với số bé? (GV thao tác che phần hiệu là 12 trên sơ đồ)... từ đó
học sinh sẽ dễ dàng nhận thấy phần còn lại là hai lần số bé.
Dựa vào suy luận trên, yêu cầu học sinh nêu cách tìm số bé.
Hầu hết các em nêu được tìm số bé là:
(42 – 12) : 2 = 18
Tìm được số bé suy ra số lớn là:
18 + 12 = 30
Hay: 48 – 18 = 30
Từ bài toán ta xây dựng được công thức tính:
Số bé = (tổng – hiệu) : 2
Số lớn = Số bé + hiệu
Hay số lớn = Tổng – số bé

Cách
Tuy
pháp sau đây:

giải vừa nêu trên là dễ nhất với học sinh.
nhiên cũng có thể giới thiệu thêm phương

Cũng biểu thị mối quan hệ hiệu nhưng sử dụng sơ đồ:
Số lớn:
12
48
Số bé:

Suy luận: nếu thêm một đoạn thẳng hiệu (12) vào số bé ta được hai đoạn thẳng bằng
nhau tức là hai lần số lớn. Từ đó suy ra:
Số lớn là:

8


(48 + 12) : 2 = 30
Vậy số bé là: 30 – 12 = 18
Hoặc: 48 – 30 = 18
Sau khi học sinh đã nắm được cách giải ta xây dựng công thức tổng quát:
Số lớn = (tổng + hiệu) :2
Số bé = số lớn – hiệu
Hay số bé = Tổng – số
Như vậy qua sơ đồ đoạn thẳng học sinh nắm được phương pháp giải dạng toán này
và có thể áp dụng để giải các bài tập về tìm hai số khi biết tổng và hiệu ở nhiều dạng
khác nhau.
Ví dụ 1: Ba lớp 5A, 5B, 5C mua tất cả 120 quyển vở. Tính số vở của mỗi lớp biết rằng
nếu lớp 5A chuyển cho lớp 5B 10 quyển và cho lớp 5C 5 quyển thì số vở của ba lớp sẽ
bằng nhau.
Phân tích nội dung bài toán sẽ vẽ đợc sơ đồ
5
Lớp 5A:
10
Lớp 5B:
Lớp 5C:
Dựa vào sơ đồ ta có:
Sau khi lớp 5A chuyển cho hai lớp thì mỗi lớp có số vở là:
120 : 3 = 40 (quyển)
Lúc đầu lớp 5C có là:

40 - 5 = 35 (quyển)
Lúc đầu lớp 5B có là:
40 - 10 = 30 (quyển)
Lúc đầu lớp 5A có là:
40 + 10 + 5 = 55 (quyển)
Đáp số: 5A: 55 quyển; 5B: 30 quyển;

5C: 35 quyển

DẠNG 3: TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TỈ CỦA CHÚNG

Bài toán: Một đội tuyển học sinh giỏi toán có 12 bạn, trong đó số bạn gái bằng 1/3 số
bạn trai. Hỏi có mấy bạn gái, mấy bạn trai trong đội tuyển đó?

9


Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ, cắn cứ vào sơ đồ hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp
giải. Sử dụng sơ đồ biểu thị mối quan hệ về tỷ số và các em sẽ tóm tắt bài toán bằng sơ
đồ dưới đây:
Số bạn trai:
12 bạn
Số bạn gái:
Vẽ sơ đồ đoạn thẳng thế này học sinh dễ dàng thấy được hai điều kiện của bài toán:
cả trai và gái có 12 bạn (biểu thị mối quan hệ về tổng) và có số bạn trai gấp 3 lần số
bạn gái (biểu thị mối quan hệ về tỷ). Sơ đồ trên gợi cho ta cách tìm số bạn gái bằng
cách lấy 12 chia cho 3 + 1 = 4 (vì số bạn gái ứng với 1/4 tổng số bạn). Cũng dựa vào
sơ đồ ta dễ dàng tìm được số bạn trai.
Bài giải
Tổng số phần bằng nhau là:

1 + 3 = 4 (phần)
Số bạn gái trong đội tuyển là:
12 : 4 = 3 (bạn)
Số bạn trai trong đội tuyển là:
3 x 3 = 9 (bạn)
Hoặc 12 – 3 = 9 (bạn)
Đáp số:

Bạn trai: 9 bạn

Bạn gái: 3 bạn

Từ bài toán cơ bản trên ta xây dụng quy tắc giải bài toán tìm hai số khi biết tổng và
tỷ số của hai số đó:
Bước 1: Vẽ sơ đồ
Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau
Bước 3: Tìm giá trị một phần
Giá trị một phần = Tổng : Tổng số phần bằng nhau
Bước 4: Tìm số bé
Số bé = giá trị 1 phần

x

số phần của số bé

Số lớn = giá trị 1 phần x

số phần của số lớn

Bước 5: Tìm số lớn

Hoặc = tổng – số bé

10


Nắm được quy tắc giải học sinh sẽ biết áp dụng để giải nhiều bài toán cùng dạng,
học sinh giỏi sẽ biết áp dụng quy tắc để giải các bài toán khó dạng này (đó là các bài
toán cùng dạng như tổng, tỷ được thể hiện dưới dạng ẩn).
Ví dụ 1: Hai đội xanh và đỏ có tất cả 45 quả bóng. Tính xem mỗi đội có bao nhiêu quả
bóng. Biết ba lần số bóng đội xanh bằng hai lần số bóng đội đỏ.
Đầu tiên: Ta vẽ sơ đồ biểu thị 3 lần số bóng đội xanh bằng 2 lần số bóng đội đỏ.
2 lần đội đỏ:
3 lần đội xanh:
Nhìn vào sơ đồ ta thấy nếu chia số bóng của đội xanh thành 2 phần và chia số bóng
của đội đỏ thành 3 phần thì các phần sẽ bằng nhau. Với tỉ số bóng 2 đội là 2/3. Ta có
sơ đồ biểu thị số bóng của 2 đội.
Đội xanh:
45 quả
Đội đỏ:
Bài giải:
Tổng số phần bằng nhau là:
2 + 3 = 5 (phần)
Số bóng ứng với một phần là:
45 : 5 = 9 (quả)
Số bóng đội xanh là:
9 x 2 = 18 (quả)
Số bóng đội đỏ là:
9 x 3 = 27 (quả)
Đáp số: Đội xanh: 18 quả

Đội đỏ: 27 quả

Ví dụ 2: Tổng số tuổi của hai anh em hiện nay là 25 tuổi. Trước đây khi anh bằng tuổi
em hiện nay thì tuổi anh gấp hai lần tuổi em. Tính tuổi của mỗi người hiện nay?
Đây thực sự là bài toán về tìm hai số khi biêt tổng và tỷ số nhưng không ở dạng cơ
bản mà đã được nâng cao lên bằng cách diễn đạt tỷ số dưới dạng ẩn. Vì vậy khi nhận
được đề bài này học sinh rất lúng túng khi xác định được cách giải đúng. Sau khi gợi
ý, phân tích và hướng dẫn từng bước sơ đồ hóa nội dung bài toán các em nhận ra ngay
dạng toán quen thuộc tìm hai số khi biết tổng và tỷ số.
Trước hết yêu cầu học sinh vẽ sơ đồ biểu thị số tuổi của hai anh em trước đây.

11


Tuổi em trước đây:
Tuổi anh trước đây:
Nhận xét: Hiệu số tuổi của hai anh em là một “phần”. Hiệu số phần bằng nhau giữa
tuổi anh và tuổi em không thay đổi theo thời gian (vì sau cùng một số năm thì hai anh
em cùng tăng một số tuổi như nhau). Như vậy tuổi anh hiện nay bằng ba lần tuổi em trước đây.
Ta có sơ đồ:
Tuổi em hiện nay:
25 tuổi
Tuổi anh hiện nay:
Dùng phương pháp giải bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó học sinh
đễ dàng tìm ra đáp số bài toán.
Qua các ví dụ trên ta có thể thấy sơ đồ đoạn thẳng không chỉ đơn thuần dùng để tóm
tắt bài toán mà còn là một công cụ giúp cho việc suy luận tìm ra cách giải toán. Sử
dụng sơ đồ ta có thể làm cho các bài toán khó, phức tạp trở thành các bài toán đơn giản
theo dạng cơ bản nên có thể dễ dàng giải được.
DẠNG 4: TÌM HAI SỐ KHI BIẾT HIỆU VÀ TỈ CỦA CHÚNG

Bài toán: Tim hai số tự nhiên biết hiệu của chúng là 27 và số này bằng 2/5 số kia.
Học sinh phân tích để vẽ sơ đồ vừa biểu thị mối quan hệ về hiệu, vừa biểu thị mối
quan hệ về tỷ số:
Số lớn:
Số bé:
27
Dựa vào sơ đồ tiến hành tương tự như khi dạy dạng toán “Tìm hai số khi biết tổng và
tỷ số của hai số đó”. Học sinh tìm ra cách giải bài toán. Tổng kết thành quy tắc giải
dạng toán tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số của hai số đó.
Bước 1: Vẽ sơ đồ
Bước 2: Tìm hiệu số phần bằng nhau
Bước 3: Tìm giá trị một phần
Giá trị một phần = Hiệu : Hiệu số phần bằng nhau
Bước 4: Tìm số bé
Số bé = giá trị 1 phần x số phần của số bé
Bước 5: Tìm số lớn
Số lớn = giá trị 1 phần x số phần của số lớn
Hoặc = Số bé + hiệu

12


Nắm vững quy tắc giải học sinh cũng sẽ biết áp dụng để giải các bài toán nâng cao.
Việc dùng sơ đồ đoạn thẳng một lần nữa lại thể hiện vai trò vô cùng quan trọng vì sơ
đồ chính là chỗ dựa giúp học sinh dễ dàng trong việc suy luận tìm ra cách giải. Ta có
thể lấy một số bài toán sau đây làm ví dụ.
Ví dụ 1: Hiệu hai số là 7, nếu gấp số thứ nhất lên 5 lần và giữ nguyên số thứ hai thì
hiệu mới là 29. Tìm hai số đó?
Hướng dẫn học sinh sơ đồ hóa nội dung bài toán như sau:

Trước hết vẽ hai đoạn thẳng biểu thị hai số mà hiệu của chúng là 7. Tiếp theo kéo dài
đoạn thẳng biểu thị số thứ nhất để hiển thị số đó được gấp lên 5 lần.
Yêu cầu học sinh xác định trên sơ đồ đoạn thẳng chỉ hiệu mới. Sơ đồ bài toán
Số thứ nhất:
7
5 lần số thứ nhất:
39
Số thứ hai:
Với sơ đồ trên học sinh có thể thấy ngay:
Bốn lần số thứ nhất là: 39 – 7 = 32
Số thứ nhất là: 32 : 4 = 8
Số thứ hai là: 8 – 7 = 1
Vậy hai số đó là 8 và 1
Ví dụ 3: Hiện nay cha gấp 4 lần tuổi con. Trước đây 6 năm tuổi cha gấp 13 lần tuổi
con. Tính tuổi cha và tuổi con hiện nay?
Đây là một bài toán khó, học sinh sẽ lúng túng vì cả hiệu và tỷ số đều dưới dạng ẩn.
Nhưng sử dụng sơ đồ đoạn thẳng các em sẽ có số dựa vào suy luận và đưa ra bài toán
về dạng điển hình. Sơ đồ bài toán:
*Trước đây 6 năm:
Tuổi con:
Tuổi cha:
*Hiện nay:
Tuổi con:
Tuổi cha:

12 lần tuổi con trước đây 6 năm

12 lần tuổi con trước đây 6 năm
13

Theo sơ đồ, hiệu số tuổi của cha và con bằng 12 lần tuổi con lúc đó. Còn hiệu số tuổi
của cha và con hiện nay bằng 3 lần tuổi con hiện nay. Vì hiện nay không thay đổi nên
3 lần tuổi con hiện nay bằng 12 lần tuổi con trước đây.
Ta vẽ sơ đồ biểu thị tuổi con trước đây và tuổi con hiện nay:
Tuổi con trước đây:
6 năm
Tuổi hiện nay:
Bài toán được đa ra dạng cơ bản học sinh dễ dàng giải được:
Giải:
Từ sơ đồ suy ra tuổi con trước đây là:
6 : (4 – 1) = 2(tuổi)
Tuổi con hiện nay là:
2 + 6 = 8 (tuổi)
Tuổi cha hiện nay là:
4 x8 = 32 (tuổi)
Đáp số:

Cha: 32 tuổi

Con: 8 tuổi

2.4 KIỂM NGHIỆM
Qua việc chỉ đạo cho 4 đồng chí giáo viên lớp 5 áp dụng phương pháp trên vào
việc hướng dẫn học sinh giải bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng tôi đã tiến
hành kiểm tra học sinh của bốn lớp, kết quả thu được như sau:
Hoàn thành tốt
Hoàn thành
Chưa hoàn thành
Lớp Số học sinh

SL
%
SL
%
SL
%
5A1

41

14

34

27

66

0

0

5A2

44

16

36

28

64

0

0

5A3

42

20

47

22

53

0

0

5A4

39

13

33

26

67

0

0

Tổng

166

63

38

103

62

0

0

Qua bảng số liệu ghi kết quả trên, ta thấy số lượng học sinh hoàn thành tốt, số lượng
hoạc sinh hoàn thành cao hơn so với số liệu khảo sát đầu năm và không còn học sinh
chưa hoàn thành nội dung khảo sát. Điều đó chứng tỏ khi áp dụng giải pháp đã nêu vào
giảng dạy giải toán bằng sử dụng sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh lớp 5 đã đạt kết quả

cao hơn.

14


Thực tế quản lí việc giảng dạy ở trường Tiểu học tôi nhận thấy việc sử dụng sơ đồ
đoạn thẳng trong dạy toán điển hình hết sức cần thiết và có hiệu quả cao. Sau quá trình
thực hiện đề tài kết quả bài kiểm tra về giải toán điển hình nói riêng và kết quả học tập
môn toán nói chung của học sinh cũng nâng cao rõ rệt.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận:
Để giúp học sinh có được kỹ năng sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán điển
hình tôi đã chú ý chỉ đạo giáo viên hướng dẫn học sinh các bước sau:
- Tìm hiểu đề bài
- Lập luận để vẽ sơ đồ: Khi phân tích một bài toán cần phải thiết lập được các mối
quan hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng cho trong bài toán. Muốn làm được việc này
ta thường dùng các đoạn thẳng thay cho các số (số đã cho, số phải tìm trong bài toán).
Để minh họa các mối quan hệ đó, ta phải chọn độ dài các đoạn thẳng và cần sắp xếp
các đoạn thẳng đó một cách thích hợp để có thể dễ dàng thấy được mối quan hệ và phụ
thuộc giữa các đại lượng, tạo một hình ảnh cụ thể giúp ta suy nghĩ để tìm ra các giải
đúng đắn, hiệu quả và nhanh nhất.
- Lập kế hoạch giải toán
- Giải và kiểm tra các bước giải
Để việc sử dụng sơ đồ có hiệu quả tôi nhận thấy giáo viên phải nắm được trình độ
học sinh của mình để lựa chọn phương pháp và hình thức tổ chức cho phù hợp tạo ra
không khí vui vẻ, sôi nổi. Học sinh, tìm tòi phát hiện kiến thức, giáo viên chỉ đạo. Khi
dạy mỗi bài, mỗi dạng cần giúp em nắm vững bản chất, xác lập mối quan hệ giữa các
dữ kiện, không bỏ sót dữ kiện để có kỹ năng giải thạo. Việc vận dụng một cách khéo
léo phương pháp trực quan bằng sơ đồ đoạn thẳng là việc dạy học toán không chỉ đem
lại cho học sinh những tri thức mới, những kỹ năng cơ bản cần thiết của việc giải toán

mà nó còn góp phần hình thành phương pháp học tập, phương pháp phát hiện và giải
quyết các vấn đề trong học tập và cuộc sống.
Bên cạnh đó trong quá trình tìm hiểu, nghiên cứu, chỉ đạo giáo viên dạy thực nghiệm
đề tài này đã giúp tôi có cơ hội nghiên cứu kỹ về nội dung chương trình sách giáo
khoa, hệ thống bài tập toán nhằm nâng cao trình độ chuyên môn, nghiêp vụ sư phạm
để tham gia chỉ đạo công tác chuyên môn được tốt hơn. Tuy nhiên để hoàn thành được
đề tài này tôi đã cố gắng rất nhiều nhưng do trình độ, kinh nghiệm của bản thân còn
hạn chế.Và sự tiếp cận chương trình chưa được nhiều nêu khi chỉ đạo giáo viên đưa ra
các thủ thuật giúp học sinh giải toán không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong được sự
góp ý chỉ đạo của chuyên môn và các bạn đồng nghiệp để sáng kiến được hoàn thiện
hơn ở những lần sau. Tôi xin chân thành cảm ơn!
3.2 Kiến nghị: Không

15


XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 4 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Lê Thị Hoa

16


MỤC LỤC

1. MỞ ĐẦU

1

1.1 Lí do chọn đề tài

1

1.2 Mục đích nghiên cứu

1

1.3 Đối tượng nghiên cứu

1

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1

2. NỘI DUNG

2

2.1 Cơ sở lí luận

2

2.1.1 Một số vấn đề chung về việc dạy giải toán

2

2.1.2 Phương pháp dùng cơ đồ đoạn thẳng trong giải toán

2

2.1.3 Yêu cầu cần đạt khi giải toán bằng việc sử dụng sơ đồ đoạn thẳng

3

2.1.4 Phương pháp giảng dạy về giải toán bằng sử dụng sơ đồ đoạn thẳng

3

2.2 Thực trạng

4

2.2.1 Thực trạng việc giảng dạy học sinh giải toán bằng sử dụng sơ đồ đoạn thẳng

4

2.2.2 Thực trạng về việc tiếp thu của học sinh về giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng

4

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện

5

2.4 Kiểm nghiệm

14

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

15

3.1 Kết luận

15

3.2 Kiến nghị

16

17