SKKN rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về số nguyên tố

I.MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài:
Toán học là một trong những môn khoa học ra đời từ rất sớm trong lịch sử
phát triển của xã hội loài người. Cùng với sự phát triển của Toán học các môn
khoa học khác cũng dần được phát triển. Trong chương trình phổ thông Toán
học giữ một vai trò hết sức quan trọng. Đây là môn học tương đối khó mang
tính tư duy cao đòi hỏi người học phải chịu khó tìm tòi, khám phá và say mê
nghiên cứu. Với đặc thù là môn khoa học tự nhiên, Toán học không chỉ giúp học
sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi và khám phá tri thức. Vận
dụng những hiểu biết của mình vào trong thực tế, cuộc sống mà toán học còn là
công cụ giúp các em học tốt các môn học khác và góp phần giúp các em phát
triển một cách toàn diện.Từ vai trò quan trọng đó mà mỗi giáo viên dạy Toán
cần biết phát huy tính tích cực của học sinh, kích thích được niềm yêu thích, say
mê Toán học của mỗi học sinh, giúp các em học sinh khá, giỏi có điều kiện mở
rộng, nâng cao kiến thức... Chính vì vậy mà việc bồi dưỡng, nâng cao kiến thức
cho học sinh trong giờ học và những giờ ngoại khoá là rất cần thiết và càng cần
thiết hơn đối với học sinh đầu cấp, đó là học sinh lớp 6.
Nhiều năm học tôi được nhà trường phân công giảng dạy môn toán ở
trường THCS Hà Dương. Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ các thầy cô
giáo trong trường và qua các bài kiểm tra, các bài thi của học sinh giỏi trong nhà
trường, bản thân tôi nhận thấy một số các em học sinh chưa có kỹ năng thành
thạo khi làm các dạng bài tập về số nguyên tố. Nhiều em còn rất mơ hồ về định
nghĩa và các tính chất của số nguyên tố. Sở dĩ như vậy vì phần toán về số
nguyên tố trong sách giáo khoa từ 6 lên 9 không đề cập nhiều về vấn đề này. Chỉ
trong sách Toán 6 có nêu định nghĩa về số nguyên tố một số dạng toán đơn giản.
Nếu như các em học sinh không nắm chắc định nghĩa và tính chất của số
nguyên tố thì việc vận dụng nó để giải các dạng toán có liên quan và hình thành
kiến thức mới trong quá trình học Toán là một vấn đề khó khăn.
Ngoài những bài toán ở dạng cơ bản có thể giải quyết bằng các phương
pháp thông thường cần phải nắm một số phương pháp khác và biết vận dụng các
phương pháp này khi gặp các dạng toán khó.

Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học
sinh tính tư duy độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi ra kiến thức
mới, ham thích bộ môn toán và giải được các dạng bài tập liên quan đến số
nguyên tố. Với mục đích nâng cao chất lượng học tập của học sinh do mình phụ
trách giảng dạy, giúp các em đạt kết quả tốt trong các kỳ thi vì thế tôi đã chọn và
đi sâu nghiên cứu đề tài " Nâng cao chất lượng môn Toán bằng cách rèn kỹ
năng giải các dạng toán về số nguyên tố cho học sinh lớp 6 trường THCS
Hà Dương" với mong muốn giúp cho học sinh của mình nắm vững định nghĩa
và tính chất của số nguyên tố, biết phát hiện và áp dụng các phương pháp giải
phù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau, qua đó dần dần hình thành
1


được các kỹ năng giải Toán cho các em, giúp các em giải quyết được các dạng
toán liên quan trong các lớp học sau đó.
2. Mục đích nghiên cứu:
Bộ môn toán lớp 6 có vị trí rất quan trọng trong chương trình Toán THCS.
Đây là tiền đề về các kiến thức toán để các em lĩnh hội tiếp các kiến thức của
các lớp trên. Chính vì vậy tôi muốn hướng dẫn các em làm thành thạo và nắm
chắc nội dung kiến thức về số nguyên tố.
Sáng kiến được nghiên cứu trên thực tế hướng dẫn học sinh khai thác các
bài tập trong chương trình toán 6. Khi dạy các tiết luyện tập giáo viên hay xem
nhẹ các bài toán dễ hoặc GV giao cho các em về nhà làm. Do đó, học sinh nắm
bắt một cách thụ động nên khi làm bài tập thường hay lúng túng, không có căn
cứ, thiếu cơ sở, lời lẽ lủng củng, dài dòng, trình bày thiếu logic.
Do vậy, việc cải tiến phương pháp dạy học là cần thiết nhằm tích cực hóa hoạt
động của học sinh, tạo động cơ, gây hứng thú cho học sinh khi học toán để nâng
cao chất lượng môn toán.
Để học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản khi học và vận dụng tốt vào
giải các bài tập thì người giáo viên cần phải nghiên cứu suy nghĩ, tìm tòi

phương pháp thích hợp: Đề ra các câu hỏi đào sâu những vấn đề lí thuyết, phát
triển năng lực suy luận và chứng minh. Giúp học sinh có thể tự mình giải quyết
được các bài tập khó trong SGK và các tài liệu khác.
3.Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài này tôi tập trung nghiên cứu về số nguyên tố và các dạng toán áp
dụng về số nguyên tố.
Để tiến hành đề tài này tôi đã nghiên cứu và áp dụng cho chủ yếu là HSG
ở tất cả các khối 6, 7, 8, 9 trong các năm học qua.
Đề tài này là tài liệu học tập tốt cho HSG cấp THCS và là tài liệu tham
khảo cho các thầy, cô giáo và phụ huynh HS nói chung.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu bản thân tôi đã vận dụng phương pháp nghiên
cứu đã học như: phương pháp đổi mới “ lấy học sinh làm trung tâm”, đó là
phương pháp phân tích, tổng hợp, đánh giá.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: nghiên cứu tài liệu để làm cơ sở lý luận.
-Phương pháp kiểm tra: kiểm tra chất lượng hoạt động, lập bảng thống kê so
sánh, đối chiếu kết quả hoạt động khi chưa áp dụng và đang áp dụng đề tài. Từ
đó kiểm nghiệm mức độ thành công của đề tài.
- Nghiên cứu hoàn cảnh, môi trường, điều kiện học tập của học sinh.
- Tiếp xúc trò chuyện với học sinh để nắm rõ thong tin phản hồi
- Phương pháp so sánh, đối chiếu, thống kê.
Hệ thống hóa tài liệu, đối chiếu, nghiên cứu thêm các tài liệu có liên quan
để chọn lọc những kiến thức cơ bản, trọng tâm, làm tư liệu mới, chính xác nhất,
học hỏi thêm kinh nghiệm của những đồng nghiệp có dày dặn kinh nghiệm để
làm kinh nghiệm bản thân.

2


II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Toán học có vai trò quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành khoa
học. Ngay từ thế kỷ 13, nhà tư tưởng Anh R. Bêcơn (R. Becon) đã nói rằng “ Ai
không hiểu biết toán học thì không hiểu biết bắt cứ một khoa học nào khác và
cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình”. Đến giữa thế kỷ 20,
nhà bác học vật lý nổi tiếng ( P. Dirac) khẳng định rằng khi xây dựng lý thuyết
vật lý “ không được tin vào mọi khái niệm vật lý”, mà phải “ tìm vào sơ đồ toán
học, ngay cả khi sơ đồ này thoạt đầu có thể không lien hệ gì với vật lý cả”. Sự
phát triển của các khoa học đã chứng minh lời tiên đoán của C.Mac (K. Marx): “
Một khoa học không chỉ thực sự phát triển nếu nó sử dụng được phương pháp
của toán học”.
Mục tiêu cơ bản của giáo dục nói chung, của nhà trường nói riêng là đào
tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn
diện , có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng các yêu cầu
thực tế hiện nay. Để thực hiện mục tiêu đó, trước hết chúng ta phải biết áp dụng
phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng
tạo, năng lực giải quyết vấn đề, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của
người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại
vào quy trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh.
Đồng thời bản thân mỗi giáo viên phải tự giác, tích cực tìm ra những
phương pháp dạy học mới, khắc phục lỗi truyền thụ một chiều, phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh trong các môn học, đặc biệt là
môn học có tính đặc thù cao là môn toán.
Trong thời đại hiện nay nền giáo dục của nước ta đã tiếp cận được với
khoa học hiện đại. Các môn học đều đòi hỏi tư duy sáng tạo và hiện đại của học
sinh. Đặc biệt là môn toán, nó đòi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh, đòi hỏi
học sinh tiếp thu kiến thức một cách chính xác, khoa học và hiện đại. Vì thế để
giúp các em học tập môn toán có kết quả tốt giáo viên không chỉ có kiến thức
vững vàng, một tâm hồn đầy nhiệt huyết, mà điều cần biết là phải biết vận dụng
các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, sáng tạo truyền thụ kiến thức

cho học sinh một cách dễ hiểu nhất.
2. Thùc tr¹ng cña vÊn ®Ò:
Trong chương trình môn Toán THCS nói chung và Toán 6 nói riêng có rất
nhiều dạng Toán liên quan đến phần số nguyên tố.Chính vì vậy trong quá trình
giảng dạy và nghiên cứu tôi rất chú trọng đến dạng toán “Số nguyên tố”. Vì qua
một số năm giảng dạy môn Toán bản thân tôi nhận thấy việc áp dụng các
phương pháp đã học trên lớp vào các bài tập đơn giản thì các em thực hiện được,
nhưng khi gặp các bài toán hơi khó một chút hoặc các bài toán có dạng khác một
chút thì nhiều em còn lúng túng, chưa biết cách giải quyết. Thậm chí nhiều em
học sinh do không nắm chắc định nghĩa và tính chất số nguyên tố nên không có
định hướng để làm bài tập.Từ tình hình thực tế là đa số các em học sinh chưa có
điều kiện nghiên cứu sâu và tìm hiểu kỹ về vấn đề. Khi áp dụng một kiến thức
nào đó vào giải bài tập chủ yếu là các em chỉ bắt chước mà không xem xét vấn
đề một cách căn bản vì vậy rất dễ mắc sai lầm. Xuất phát từ tình hình như vậy
3


nên tôi đã mạnh dạn đưa ra đề tài" Nâng cao chất lượng môn Toán bằng cách
rèn kỹ năng giải các dạng toán về số nguyên tố cho học sinh lớp 6 trường
THCS Hà Dương". Đề tài chỉ là một phần kiến thức cơ bản trong số rất nhiều
phần kiến thức của chương trình Toán THCS. Mong rằng nó sẽ giúp cho các bạn
đồng nghiệp có thêm một phần để tham khảo, giúp cho các em học sinh có cách
nhìn bao quát hơn về các dạng toán. Nhưng nói chung dù là phương pháp gì đi
nữa thì yếu tố tạo hứng thú cho học sinh,sự tâm huyết của người thầy, tính tích
cực, ham học của các em vẫn là yếu tố quyết định. Khi hội tụ đủ các yếu tố này
mà lại kết hợp vấn đề mấu chốt của bài toán được khai thác triệt để thì việc học
toán của các em sẽ không còn cảm thấy khó nữa.
Kết quả, hiệu quả của thực trạng
Phần "Số nguyên tố" là một nội dung rất quan trọng, bởi kiến thức này là
tiền đề cho học sinh học tốt các kiến thức về sau và đặc biệt là vận dụng nó để

giải quyết các dạng toán liên quan . Cụ thể kết quả kiểm tra 45 phút về toán này
là:
TT Năm học
Tổngsố học
Chưa có hướng làm Có hướng làm
sinh
1
2018-2019
10
8
2
Từ thực trạng trên khi dạy phần này giáo viên cần giúp học sinh nắm chắc các
phương pháp cơ bản và một vài phương pháp mở rộng để giải những bài toán
khó.
Để học sinh nắm chắc kiến thức và có hứng thú học tập, giáo viên phải chọn
lọc hệ thống kiến thức, hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần, từ dễ đến khó, từ đơn
giản đến phức tạp qua đó giúp học sinh rèn luyện các kỹ năng giải toán và phát huy
được tính độc lập sáng tạo của học sinh.
Áp dụng đề tài này vào giảng dạy tôi nhận thấy đại đa số các em học sinh
đã nắm được các phương pháp cơ bản hay sử dụng và áp dụng giải quyết được
phần lớn các bài tập tương tự mà giáo viên đã hướng dẫn, một số em khác đã
biết cách sử dụng các phương pháp mở rộng để làm một số các bài tập nâng cao
trong các sách bồi dưỡng. Các em cũng đã biết ứng dụng để giải một số dạng
toán có liên quan.
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ
A/ Định nghĩa
1) Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó.
Ví dụ: 2, 3, 5, 7 11, 13,17, 19....
2) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước.

Ví dụ: 4 có 3 ước số: 1 ; 2 và 4 nên 4 là hợp số.
3) Các số 0 và 1 không phải là só nguyên tố cũng không phải là hợp số
4) Bất kỳ số tự nhiên lớn hơn 1 nào cũng có ít nhất một ước số nguyên tố
B/ Một số định lý cơ bản
1) Định lý 1: Dãy số nguyên tố là dãy số vô hạn
2/ Định lý 2:
4


Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một
cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số).
C/ Cách nhận biết một số nguyên tố
Để kiểm tra số a có là số nguyên tố hay không, ta có thể chia a lần lượt cho các
số nguyên tố 2; 3; ...;p, với p là số nguyên tố lớn nhất thỏa mãn p 2 � a. Nếu
không có phép chia hết thì a là số nguyên tố, trai lại a là hợp số.
Đặc biệt: Với dãy 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 nên cho học sinh học
thuộc, tuy nhiên khi găp 1 số a nào đó (a < 100) muốn xét xem a là số nguyên tố
hay hợp số ta thử a có chia hết cho 2; 3; 5; 7 hay không.
+ Nếu a chia hết cho 1 trong 4 số đó thì a là hợp số.
+ Nếu a không chia hết cho số nào đó trong 4 số trên thì a là số nguyên tố.
Với quy tắc trên trong một khoản thời gian ngắn, với các dấu hiệu chia hết
thì học sinh nhanh chóng trả lời được một số có hai chữ số nào đó là nguyên tố
hay không.
D/ Số các ước số và tổng các ước số của 1 số:
Giả sử: a = p1X1 . p2X2 ......pnXn
Trong đó: pi �P ; xi � N ; i = 1, n
a) Số các ước số của a tính bằng công thức:
T(a) = (x1 + 1)(x2 + 1) .....(xn + 1)
Ví dụ: 30 = 2.3.5 thì T(a) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8
Thật vậy: Ư(30) = 1;2;3;5;6;10;15;30.

Ư(30) có 8 phân tử
Ứng dụng: Có thể không cần tìm Ư(a) vẫn biết a có bao nhiêu ước thông
qua việc phân tích ra thừa số nguyên tố.
3100 có (100 + 1) = 101 ước
1 000 000 000 = 109 = 29.59 có (9 + 1)(9+1) = 100 ước
Ý nghĩa: Khi thông báo cho học sinh cách tính số ước của một số các em
có thể tin tưởng khi viết một tập hợp ước của một số và khẳng định đã đủ hay
chưa.
b) Tổng các ước một số của a tính bằng công thức:
p1X1 + 1 - 1
p2X2 + 1 - 1
pnXn + 1 - 1
.
...
(a) =
p1 - 1
p2 - 1
pn - 1
E/ Hai số nguyên tố cùng nhau:
1- Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng
có ước chung lớn nhất (ƯCLN) bằng 1.
Hai số a, b nguyên tố cùng nhau <=> (a,b) = 1 a,b �N
2- Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau
3- Hai số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau
4- Các số a,b,c nguyên tố cùng nhau <=> (a,b,c) = 1
5


5- a,b,c nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau
a,b,c nguyên tố sánh đôi <=> (a,b) = (b,c) = (c,a) = 1

F/ Một số định lý đặc biệt
1) Định lý Đirichlet
Tồn tại vô số số nguyên tố p có dạng:
p = ax + b (x �N, a, b là 2 số nguyên tố cùng nhau).
Việc chứng minh định lý này khá phức tạp, trừ một số trường hợp đặc
biệt.
Ví dụ: Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố dạng: 2x – 1; 3x – 1; 4x +
3; 6x + 5.....
2) Định lý Tchebycheff
Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có ít nhất một số
nguyên tố (n > 2).
3) Định lý Vinogradow
Mọi số lẻ lớn hơn 33 là tổng của 3 số nguyên tố.
Các định lý 2 và 3 ta có thể giới thiệu cho học sinh tham khảo và sử dụng
để giải một số bài tập.
Mét sè bµi to¸n c¬ b¶n vÒ sè nguyªn tè
DẠNG 1: ƯỚC CỦA MỘT SỐ
a = x a .y a ...z a (x, y,…,z: các số nguyên tố)
1

2

n

Số ước của a là (a 1 + 1)(a 2 +1)...(a n +1)
Bài 1: 1.Tìm các ước nguyên tô của các số 30, 210, 2310
2.Chứng tỏ rằng các số 31, 211, 3201, 10031 là các số nguyên tố
Giải
1.Phân tích các số đó cho thành tích các thừa số nguyên tố
30 2

15 5
5 5
1

210 2
105 3
35

5

7
1

7

2310

2

1155

3

385
77

5
7

11

11

1

Ta có:
- Tập hợp K các ước nguyên tố của 30 là K = {1, 2, 3, 5}. Và 30 = 1.2.3.5
- Tập hợp H các ước nguyên tố của 210 là H= {1, 2, 3, 5,7}. Và 210 = 1.2.3.5.7
- Tập hợp P các ước nguyên tố của 2310 là P = {1, 2, 3, 5, 7, 11}.
6


Và 30 = 1.2.3.5.7.11
Chú ý: Khi phân tích số 210 ra thừa số nguyên tố ta có thể làm như sau :
210 = 21.10 . Ta đó biết 10 = 2.5 nên chỉ cần phân tích 21 = 3.7 và có
210 = 2.7.2.5
Cách này hoàn toàn có lợi khi phân tích các số là bội của 10
Chẳng hạn khi phân tích số 3200 ta viết
3200 = 32.100 cho ta 32 = 25 và 100 = 22.52
Vậy 3200 = 27.52
2. Dể thấy 31 = 30 + 1
= 1.2.3.5 + 1
Số 31 không chia hết các số nguyên tố 2, 3, 5 ma 5 2 = 25 < 35 là ước nguyên tố
lớn nhất mà 52 < 31
Suy ra 31 là số nguyên tố
Các số khác ta cũng chứng minh tương tự.
Bài 2 : 1. Phân tích số 360 ra thừa số nguyên tố.
2. Số 360 có bao nhiêu ước.
3. Tìm tất cả các ước của 360.
Giải

1. Ta có:
360
180
90
45

2
2
2
3

15
5
1

3
5

Vậy 360 = 2.2.2.3.3.5 = 23.32.5

2.Ta có 360 = 23.32.5
Vậy số các ước của 360 là : (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 ước
3. Dể thấy các số 1, 2, 22, 23,

(1) là ước của 360

Ta Tìm các ước còn lại theo cách sau
Bước 1: Nhân các số hạng dãy (1) theo thứ tự với 3 và 32 ta được các ước
7

3

2.3

2 2.3

23.3

32

2.32

22 .32

23.32

Bước 2: Nhân các số trong dãy (1) và (2) theo thứ tự với 5 ta đước các ước

5

2.5

22.5

23.5

3.5

2.3.5

2 2.3.5

23.3.5

32.5 2.32.5 22.32.5 23.32.5
Vậy ta có tất cả 24 ước của 360 là

1

2

4

8

3

6

12

24

9

18 36

72

5

10

20

40

15 30 60 120 45 90 180 360
Bài 3: Tìm số nhỏ nhất A có
1.

6 ước

2.9 ước
Giải

1.

Viết A dưới dạng phân tích ra thừa số nguyên tố
A = am.bn.ct…

Số các ước của A sẻ là (m + 1)(n + 1)(t + 1)…
Ta có 6 = 6.1 hoặc 6 = 2.3
-

Trường hợp A chỉ có một số nguyên tố dạng A = am thì
m  1  6 � m  5 � A  a5

Vì A là số nhỏ nhất hay a = 2. Suy ra

A  a 5  25 � A  32

-

Trương hợp A có hai thừa số nguyên tố A = am.bn

�m  1  3 �m  2
��
�n  1  2
�n  1

Ta có �

Và A = a2.b1

Để có số A nhỏ nhất ta chọn các số nguyên tố nhỏ nhất là a = 2, b = 3
Vậy A = 22.3 hay A = 12
Xét 2 trường hợp trên ta thấy số tự nhiên nhỏ nhất có 6 ước là 12
2. Đáp số : 36.
Bài 4: Chứng tỏ rằng các số sau đây là hợp số
8


1.

676767

2.108 + 107 + 7

3.175 + 244 + 1321

Giải
1. Số 676767 có tổng các chữ số là 39 chia hết cho 3 nên 676767M3
Vậy nó là hợp số
2. Tương tự số 108 + 107 + 7 = 110…07( có 6 chữ số 0) có tổng các chữ số là 9
nên số đó chia hết cho 9 nên 108 + 107 + 7 là hợp số
3.

Số 175 + 244 + 1321 có:
Số 175 có tận cùng là 7
Số 244 có tận cung là 6
Số 1321 có tận cùng là 3

Vậy 175 + 244 + 1321 có tận cùng là 6, chia hết cho 2 nên nó là hợp số.
Bài 5 : Các số sau là nguyên tố hay hợp số
1.

A = 11…1 (2001 chử số 1)

2.

B = 11…1 (2000 chử số 1)

3.

C = 1010101

4.

D = 1112111

5.

E = 1! + 2! + 3! +…+ 100!

6.

G = 3.5.7.9 – 28

7.

H = 311141111
Giải

1. AM3 . A là hợp số
2. BM11 . B là hợp số
3. CM101 . C là hợp số
4. D = 1112111 = 1111000 + 1111 � D M1111 . D là hợp số
5

E = 1! + 2! + 3! + … + 100!
1! 2!  3M
3
3!  1.2.3M
3
M
100!  1.2.3....100M
3

Suy ra EM3 . Vậy E là hợp số

9


6. G chia hết cho 7. Vậy G là hợp số
7. H = 311141111 = 31111000 + 31111 � H M31111 . Vậy H là hợp số.
Bài 6: Cho 3 số a = 720, b = 36, c = 54
1. Gọi A, B, C theo thứ tự là tập hợp các ước nguyên tố của a, b, c. Chứng
tỏ B, C là tập con của A
2.

a có chia hết cho b, có chia hết cho c không
Giải

1. Ta thấy a = 720 = 24.32.5
b = 36 = 22.32
c = 54 = 2.33
vậy A = {2, 3, 5},

B = {2, 3},

C = {2, 3}

Dễ thấy B, C là hai tập con của A
2. Vì a = 24.32.5 và

b = 22.32 nên a Mb

Vì a = 24.32.5 và c = 2.33 nên a không chia hết cho c
Bài 7: Đố vui: Ngày sinh nhật của bạn
Một ngày đầu năm 2002. Huy viết thư hỏi thăm sinh nhật Long và nhận

được thư trả lời.
Mình sinh ngày a tháng b, năm 1900 + c và đến nay d tuổi . Biết rằng
a.b.c.d = 59007
Huy đã kịp tính ra ngày sinh của Long và kịp viết thư chúc mừng sinh
nhật bạn. Hỏi Long sinh ngày, tháng, năm nào?
Giải
Ta có: a.b.c.d = 59007
c +d = 102

1 �a �31,

1 �b �12

Phân tích ra thừa số nguyên tố a.b.c.d = 3.13.17.89
Trong các ước của abcd chỉ có hai số 13 và 89 có tổng bằng 102. Tuổi của Long
không thể là 89 vậy d = 13, c = 89
Còn lại a.b = 3.17 do b �12 nên b = 3, a = 17
Vậy long sinh ngày 17 – 3 – 1989 .
Bài 8:Chứng minh rằng:
10


1.

Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n �1

2.

Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6n �1
Giải

1.Khi chia một số tự nhiên a lớn hơn 2 cho 4 thì ta được các số dư 0, 1, 2, 3.
Trường hợp số dư là 0 và 2 hai thì là hợp số vì a M2, ta không xét chỉ xét trường
hợp số dư là 1 hoặc 3
Với mọi trường hợp số dư là 1hoặc 3 ta có a = 4n �1
2.Khi chia số tự nhiên a cho 6 ta có các số dư 0, 1, 2, 3, 4, 5. Trường hợp số dư
0, 2, 3, 4. Ta có a chia hết cho 2 hoặc a chia hết cho 3 nên a là hợp số
Trường hợp dư 1 thì a = 6n + 1
Trường hợp dư 5 thì a = 6m + 5
= 6m + 6 – 1 = 6(m + 1 ) – 1
Đặt m + 1 = n

Ta có a = 6n – 1

DẠNG 2: SỐ NGUYÊN TỐ VÀ TÍNH CHIA HẾT
1.
Nếu tích của hai số a, b chia hết cho một số nguyên tố p thì một trong hai
số a, b chia hết cho p

a Mp
�
a.b Mp � �
b Mp
�
2.

Nếu an chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hếtt cho p

a n Mp � a Mp
Bài 1: Chứng tỏ rằng nếu 3 số a, a + n, a + 2n đều là số nguyên tố lớn hơn 3

thì n chia hết cho 6.
Giải
Chỳ ý rằng , các số nguyên tố (trừ số 2) đều là các số lẻ
- Nếu n lẻ thì n + a là số chẵn là một hợp số trái với giả thiết n + a là số nguyên
tố. vậy n là số chẵn
- Ta đặt n = 2k, k �N *
+ Nếu k chia hết cho 3 thì n chia hết cho 6
+ Nếu k = 3p + 1 , p �N * thì 3 số theo thứ tự bằng a, a + 6p + 2, a + 12p + 4
+ Do a là số lẽ nên nếu a chia cho 3 dư 1 thì a + 6p + 2 chia hết cho 3,
11


Nếu a chia 3 dư 2 thì a + 12p + 4 chia hết cho 3
+ Nếu k = 3p + 2 p �N * thì 3 số theo thứ tự bằng a, a + 6p +4, a + 12p +8
với a chia cho 3 dư 1 thì a + 12p +8 chia hết cho 3
với a chia cho 3 dư 2 thì a + 6p +4 chia hếtt cho 3
Vậy để 3 số a, a + n, a + 2n đều là số nguyên tố thì n phải chia hếtt cho 6.
Bài 2:Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p – 1)(p + 1)
chia hết cho 24
Giải
Ta có (p – 1)p(p + 1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên  p  1 p  p  1 M3

 p  1  p  1 M3

mà (p, 3) = 1 nên

(1)

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ, p – 1 và p + 1 là hai số chẵn liên
tiếp , có một số là bội của 4 nên tích của chúng chia hết cho 8 (2)

Từ (1) và (2) suy ra (p – 1)(p + 1) chia hết cho 2 nguyên tố cùng nhau là 3 và 8
Vậy (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24.
Bài 3: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau củng là số nguyên tố
1.

p + 10, p + 14

2.

p + 2, p + 6, p + 8 , p + 12, p + 14
Giải

1. Vì p là số nguyên tố và p + 10 và p + 14 cũng là số nguyên tố nên p > 2 .Mặt
khác p có thể rơi vào một trong 3 khả năng hoặc p = 3k , p = 3k + 1, p = 3k – 1
- Với p = 3k + 1 thì p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5 ) M3
- Với p = 3k – 1 thì p + 10 = 3k + 9 = 3 (k + 3) M
3
Vậy p = 3k . Do p là nguyên tố nên p = 3
2. Xét các trường hợp sau.
- Với p = 5 thì

p+2=7
p + 6 = 11
p + 8 = 13
p + 12 = 17
p + 14 = 19

- Với p > 5 thì p = 5k +1, p = 5k + 2, p = 5k + 3, p = 5k +4
12

+ Nếu p= 5k +1 thì p + 14 = 5k + 15 M
5
+ Nếu p = 5k + 2 thì p + 8 = 5k + 10 M
5
+ Nếu p = 5k + 3 thì p + 12 = 5k + 15 M
5
+ Nếu p = 5k +4 thì p + 6 = 5k + 10 M
5
Suy ra nguyên tố cần Tìm là p = 5.
Bài 4: Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai sô nguyên tố lẻ liên
tiếp. Chứng minh rằng một số tự nhiên nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi
thì chia hết cho 6.
Giải
Gọi hai số nguyên tố sinh đội là p và p + 2. Vậy số tự nhiên nằm giữa chúng là
p+1
-p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số nguyên tố lẻ vậy p + 1 là số chẳn
p+1M
2

(1)

- p, p + 1, p + 2 là 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3. Mà p và
p +2 là số nguyên tố nên không chia hếtt cho 3 ,vậy p + 1 M
3
(2)
Từ (1); (2) và (2, 3) = 1 suy ra p + 1 M
6 (đpcm)
Bài tóan có thể mở rộng thành :Chứng minh rằng và p + 2 là hai số nguyên
tố lớn hơn 3 thì tổng của chúng chia hết cho 12.

Bài 5: Một số nguyên tốp chia hêt cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm số dư r
Giải
Ta có p =42k + r = 2.3.7.k + r  k , r �N , 0  r  42 
Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2, 3, 7
Các hợp số nhỏ hơn 42 và không chia hết cho 2 là 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 29
Loại đi các sô chia hết cho 3, cho 7 chỉ con 25. Vậy r = 25.
Bài 6:
Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn
vị, chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó viết được dưới dạng
tích của ba số nguyên tố liên tiếp.
Giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là n, theo đề bài chử số hàng nghìn bằng chữ số hàng
đơn vị, chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục vậy n có dạng abba
13


Có abba = 1001a + 110b = 11(91a+10b) nên abbaM11 mà abba là tích của 3 số
nguyên tố liên tiếp nên một trong các số nguyên tố này phải là 11
Xét các tích
5.7.11
7.11.13

= 385 (loại)
= 1001 (đúng)

11.13.17 = 2431 (loại). Vậy số tự nhiên cần tìm là 1001.
Bài 7: Chứng minh rằng nếu 2n – 1 là số nguyên tố (n > 2) thì 2 n + 1 là
hợp số.
Giải
Xétt số A = (2n – 1)2n(2n + 1)

A là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên AM3
Mặt khác 2n – 1 là số nguyên tố ( theo giả thiết )
2n không chia hết cho 3
Vậy 2n + 1 phải chia hết cho 3 � 2n + 1 là hợp số.
Tóm lại.
Các bài toán thuộc dạng: Tìm số nguyên tố thoả mãn các điều kiện cho
trước là loại toán không khó trong các loại bài toán về số nguyên tố. Qua loại
toán này, giáo viên cần cố gắng trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản
nhất về số nguyên tố. Đặc biệt giúp học sinh nắm vững: Số 2 là số nguyên tố
chẵn duy nhất và nhỏ nhất của tập số nguyên tố.
Dựa vào cách viết số nguyên tố dạng a.x + b, (a,b) = 1. Rèn kỹ năng xét
các trường hợp có thể xảy ra, phương pháp loại trừ các trường hợp dẫn đến điều
vô lý.
Qua dạng toán này, giáo viên cần giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgic, tư
duy sáng tạo, tính tích cực chủ động khi làm bài.
Mục đích của những bài tập dạng này là: Rèn luyện cho học sinh khả
năng tư duy sâu, cách xem xét và kết luận về một vấn đề toán học bằng cách
xét hết các khả năng có thể xảy ra, dùng những vấn đề toán học đã được
chứng minh hoặc đã biết để loại bỏ các khả năng không thể xảy ra và làm
sáng tỏ vấn đề cần phải chứng minh.
Sau khi thành thạo dạng toán này học sinh lớp 6 hiểu được sâu sắc hơn, có
khái niệm rõ ràng hơn. Thế nào là chứng minh một vấn đề toán học và có được
những kỹ năng, kỹ xảo chứng minh cần thiết.
14


Tuy nhiên, với dạng toán này, ở trình độ lớp 6 các em chỉ giải quyết
được những bài tập ở dạng đơn giản. Việc chứng các bài tập ở dạng này
phức tạp hơn, các em sẽ gặp nhiều khó khăn chứ không thể dễ dàng chứng
minh được.

DẠNG 3:
CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỐ NGUYÊN TỐ
Bài 1:
Cho 2m – 1 là số nguyên tố. Chứng minh rằng m cũng là số nguyên tố.
Giải
Giả sử m là hợp số => m = p.q ( p, q � N; p, q > 1)
Khi đó: 2m – 1 = 2p,q - 1 = (2p)q – 1
= (2p – 1)(2p(q-1) + 2p(q-2) + .....+ 1)
vì p > 1 (giả thiết) của điều giả sử => 2p – 1 > 1
và (2p(q-1) + 2p(q-2) + .....+ 1) > 1
Dẫn đến 2m – 1 là hợp số (trái với giả thiết 2m –1 là số nguyên tố)
 Điều giả sử không thể xảy ra.
Vậy m phải là số nguyên tố (điều phải chứng minh)
Bài 2:
Chứng minh rằng: 1994! – 1 có mọi ước số nguyên tố lớn hơn 1994.
Giải
(Chứng minh bằng phương pháp phản chứng)
Gọi p là ước số nguyên tố của (1994! – 1)
Giả sử p 1994 => 1994. 1993 ..... 3. 2. 1 : p
<=> 1994! : p mà (1994! – 1) : p => 1 : p (vô lý)
Vậy p không thể nhỏ hơn hoặc bằng 1994 hay p > 1994 (điều phải chứng minh).
DẠNG 4

NHẬN BIẾT SỐ NGUYÊN TỐ
SỰ PHÂN BỐ SỐ NGUYÊN TỐ TRONG N
Bài 1:
Nếu p là số nguyên tố và 1 trong 2 số 8p + 1 và 8p – 1 là số nguyên tố thì
số còn lại là số nguyên tố hay hợp số?
Giải

+) Nếu p = 2 => 8p +1 = 17 �P , 8p – 1 = 15  P
+) Nếu p = 3 => 8p – 1 = 23 �P , 8p – 1 = 25  P

15


+) Nếu p khác 3, xét 3 số tự nhiên liên tiếp: 8p – 1; 8p và 8p + 1. Trong 3
số này ắt có 1 số chia hết cho 3. Nên một trong hai số 8p + 1 và 8p – 1 chia hết
cho 3.
Kết luận: Nếu p �P và 1 trong 2 số 8p + 1 và 8p – 1 �P thì số còn lại phải là
hợp số.
Bài 2:
Cho p và 2p + 1 là số nguyên tố ( p>3) thì 4p + 1 là nguyên tố hay hợp số?
Giải
Theo giả thiết p là số nguyên tố và p> 3 � p không chia hết cho 3.
Suy ra 4p không chia hết cho 3.
Do 2p + 1 là số nguyên tố lớn hơn 3 nên 2p + 1 không chia hết cho 3.
 2(2p + 1) không chia hết 3 hay 4p + 2 không chia hét cho 3.
Mặt khác, trong ba số tự nhiên lien tiếp 4p; 4p + 1; 4p + 2 luôn có một số chia
hết cho 3, do đó 4p + 1 M3. Mà 4p + 1 > 3, nên 4p + 1 là hợp số.
Tóm lại
Qua các bài toán dạng: Nhận biết số nguyên tố, sự phân biệt số nguyên tố
trong N, giáo viên cần giúp cho học sinh hướng suy nghĩ để chứng minh hoặc
xem xét 1 số có phải là số nguyên tố hay không? Thông qua việc phân tích và
xét hết khả năng có thể xảy ra, đối chiếu với giả thiết và các định lý, hệ quả đã
học để loại bỏ các trường hợp mâu thuẫn. Bài tập số 3 là bài tập tổng quát về sự
phân bố số nguyên tố trong N. Qua đó giáo viên cho học sinh thấy được sự phân
bố số nguyên tố “càng về sau càng rời rạc”. Từ bài toán này có thể phát triển
thành bài toán khác giúp học sinh rèn luyện kỹ xảo chứng minh.
DẠNG 5

CÁC BÀI TOÁN
LIÊN QUAN ĐẾN SỐ NGUYÊN TỐ
Bài 1:
Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng
Giải
Gọi 3 số nguyên tố phải tìm là; a, b, c ta có:
a.b.c = 5(a+b+c) => abc M5
Vì a, b, c có vai trò bình đẳng
Giả sử:
a M5, vì a �P => a = 5
Khi đó:
5bc = 5(5+b+c) <=> 5+b+c = bc <=> bc-b-c +1 = 6
<=> b(c-1) – (c-1) = 6
<=> (c-1)(b-1) = 6
Do vậy:
b-1 = 1
=> b = 2
16


Và

c-1 = 6
và
c=7
b-1 = 2
=> b = 3
(loại vì c = 4  P)
và
c-1 = 3

và
c = 4 Vai trò a, b, c, bình đẳng
Vậy bộ số (a ;b ;c) cần tìm là (2 ;5 ;7)
Bài 2: Tìm p, q �P sao cho p2 = 8q + 1
Giải
Ta có: p2 = 8q + 1 => 8q = p2 – 1 <=> 8q = (p+1)(p-1)
(1)
2
2
Do p = 8q + 1 lẻ => p lẻ => p lẻ
Đặt p = 2k + 1
(2)
Thay (2) vào (1) ta có: 8q = 2k(2k + 2)
2q = k(k + 1)
(3)
Nếu q = 2 => 4 = k(k+1) => không tìm được k
Vậy q  2, vì q �P , q  2 => (2,q) = 1
Từ (3) ta có:
k = 2 và
q = k + 1 => k = 2 và q = 3
Thay kết quả trên vào (2) ta có:
p = 2.2 + 1 = 5
Hoặc
q = k và 2 = k + 1
q=1

(không thoả mãn)
k=1
Vậy cặp số (q,p) là (5;3) là cặp số cần tìm.
Tóm lại:

Ngoài các dạng bài tập cơ bản về số nguyên tố. Phần số nguyên tố còn có
nhiều bài tập ở các dạng khác mà khi giải chúng học sinh cần phải vận dụng một
cách linh hoạt các kiến thức có liên quan: ước số, bội số, chia hết và vẫn phải lần
lượt xét các khả năng có thể xẩy ra. Khi giảng dạy giáo viên cần giúp học sinh
giải quyết theo từng dạng bài để củng cố và khắc sâu kỹ năng giải từng loại bài.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
a)p + 2 và p + 10. b) p + 10 và p + 20. c) p + 10 và p + 14.
d) p + 14 và p + 20. e) p + 2và p + 8. f) p + 2 và p + 14.
g) p + 4 và p + 10. h) p + 8 và p + 10.
Bài 2: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
a) p + 2, p + 8, p + 12, p + 14.
b) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14.
c) p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.
17


d) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.
e) p + 6, p + 12, p + 18, p + 24.
f) p + 18, p + 24, p + 26, p + 32.
g) p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16.
Bài 3:
a) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 8 là hợp số.
b) Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 4p + 1 là hợp
số.
c) Cho p và 10p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). C minh rằng: 5p + 1 là hợp số.
d) Cho p và p + 8 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 4 là hợp số.
e) Cho p và 4p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 2p + 1 là hợp
số.
f) Cho p và 5p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). C minh rằng: 10p + 1 là hợp số.

g) Cho p và 8p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p - 1 là hợp
số.
h) Cho p và 8p - 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p + 1 là hợp
số.
i) Cho p và 8p2 - 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p2 + 1 là hợp
số.
j) Cho p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p2 - 1 là hợp
số.
Bài 4: Chứng minh rằng:
a) Nếu p và q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 – q2 M24.
b) Nếu a, a + k, a + 2k (a, k �N*) là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k M6.
Bài 5: a.Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm số dư r.
b.Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư r. Tìm số dư r biết rằng r không là số
nguyên tố.
Bài 6: Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố lẻ liên
tiếp. Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 3 nằm giữa hai số nguyên tố sinh
đôi thì chia hết cho 6.
Bài 7: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trước là d đơn
vị. Chứng minh rằng d chia hết cho 6.
Bài 8: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược
lại thì ta được một số là lập phương của một số tự nhiên.
Bài 9: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị,
chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó viết được dưới dạng tích của 3
số nguyên tố liên tiếp.
18


Bài 10: Tìm 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp đều là các số nguyên tố.
Bài 11: Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho p 2 + q2 + r2 cũng là số
nguyên tố.

Bài 12: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho a.b.c < a.b + b.c + c.a.
Bài 13: Tìm 3 số nguyên tố p, q, r sao cho pq + qp = r.
Bài 14: Tìm các số nguyên tố x, y, z thoả mãn xy + 1 = z.
n t�v�b2  cd  b  c.
Bài 15: Tìm số nguyên tố abcd sao cho ab, ac l�c�c s�nguy�
Bài 16: Cho các số p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c �N*) là các số
nguyên tố. Chứng minh rằng 3 số p, q, r có ít nhất hai số bằng nhau.
Bài 17: Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho:
a) x2 – 12y2 = 1. b.3x2 + 1 = 19y2. c.5x2 – 11y2 = 1. d.7x2 – 3y2 = 1.
e.13x2
– y2 = 3.
f.x2 = 8y + 1.
Bài 18: Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng.
Bài 19: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để p và 8p 2 + 1 là các số nguyên
tố là p = 3.
Bài 20: Chứng minh rằng: Nếu a2 – b2 là một số nguyên tố thì a2 – b2 = a + b.
Bài 21: Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6n + 1 hoặc
6n – 1.
Bài 22: Chứng minh rằng tổng bình phương của 3 số nguyên tố lớn hơn 3 không
thể là một số nguyên tố.
Bài 23: Cho số tự nhiên n �2. Gọi p1, p2, ..., pn là những số nguyên tố sao cho
pn �n + 1. Đặt A = p1.p2 ...pn. Chứng minh rằng trong dãy số các số tự nhiên
liên tiếp: A + 2, A + 3, ..., A + (n + 1). Không chứa một số nguyên tố nào.
Bài 24: Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố thì 2.3.4...(p – 3)(p – 2) - 1 Mp.
Bài 25: Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố thì 2.3.4...(p – 2)(p – 1) + 1 Mp.

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết
quả hữu hiệu cho việc học tập và giải toán. Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi
và định hướng phương pháp làm bài khi chưa có sự gợi ý của giáo viên, mang

lại nhiều sáng tạo và kết quả tốt từ việc giải toán.
Kết quả kiểm tra sau khi triển khai đề tài cho học sinh
TT Năm học
Tổngsố
Loại giỏi Loại khá Loại TB
Loại yếu,
học sinh
kém
1
2018-2019
10
20%
30%
30%
20%
Vì lẽ đó mỗi giáo viên và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả năng tiếp
thu bài của các đối tượng học sinh để từ đó đưa ra những bài tập và phương
pháp giải toán cho phù hợp, giúp học sinh làm được các dạng bài tập. Qua đó
gây cho học sinh hứng thú trong học tập và yêu thích bộ môn toán học. Từ đó
19


mà kiến thức và kỹ năng giải toán của học sinh dần được nâng cao, có được như
vậy thì người thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phương pháp giải toán, có nhiều
bài toán hay để hướng dẫn học sinh làm, đưa ra cho học sinh cùng làm, cùng
phát hiện ra các cách giải khác nhau cũng như cách giải hay, tính tự giác trong
học toán, phương pháp giải toán nhanh. Có kỹ năng phát hiện và giải quyết
nhanh một vấn đề dựa trên nền tảng là vốn kiến thức đã được học. Áp dụng sáng
kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy ở trường THCS Hà Dương trong năm học
2018 - 2019 tôi đã thu được các kết quả khả quan.

Kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, các bài
kiểm tra và các kỳ thi, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn. 100% các em
học sinh trong lớp đã biết sử dụng các phương pháp thông thường một cách
thành thạo, 90% các em học sinh có kỹ năng nắm vững thủ thuật giải các dạng
toán về số chính phương đã được nêu trong sáng kiến kinh nghiệm. Bên cạnh đó
các phương pháp này các em dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó và các kiến
thức mới cũng như việc hình thành một số kỹ năng trong quá trình học tập và
giải toán khi học bộ môn toán.

IV. KẾT LUẬN
I) KẾT LUẬN
20


Với những giải pháp đã nêu trên tôi đã vận dụng vào trong quá trình
hướng dẫn cho học sinh giải các bài toán dạng này thì nhận thấy các em đã nắm
được các phương pháp giải các bài toán về số nguyên tố, phân loại được các
dạng toán, làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các bài toán có liên quan, từ đó gúp
học sinh có định hướng giải quyết các dạng bài tập tương tự của một cách chính
xác không gặp phải những khó khăn và sai lầm khi gặp dạng bài toán này, kích
thích học sinh lòng say mê tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được khả
năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán.
II. KIẾN NGHỊ
Để hoàn thành đề tài này ngoài việc nghiên cứu SGK và các tài liệu liên
quan, sự nỗ lực của bản thân còn có sự giúp đỡ nhiệt tình của các đồng nghiệp
trong tổ chuyên môn và ban giám hiệu nhà trường. Tôi hy vọng đề tài " Nâng
cao chất lượng môn Toán bằng cách rèn kỹ năng giải các dạng toán về số
nguyên tố cho học sinh lớp 6 trường THCS Hà Dương" sẽ là một tài liệu
tham khảo cho các bạn đồng nghiệp và các em học sinh .
Các phương pháp giải một số dạng toán về số nguyên tố mà tôi đã viết

trên đây có lẽ sẽ còn rất nhiều hạn chế. Rất mong tổ chuyên môn nhà trường,
quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp khi đọc sẽ có những góp ý, phê bình thiết
thực để đề tài được phong phú, đầy đủ hơn và cũng để tôi có nhiều sáng kiến
kinh nghiệm tốt hơn phục vụ tích cực cho việc giảng dạy nhằm thực hiện tốt
chương trình đổi mới phương pháp dạy học Toán ở THCS.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
( Tôi xin cam đoan đề tài này không copy, nếu copy tôi xin chịu hoàn toàn trách
nhiệm)
Hà Dương, ngày 20/3/2019.
Người thực hiện:

Phùng Duy
Hưng

IV. TRÍCH DẪN TÀI LIỆU SỬ DỤNG
21


Bài 4. (trang 9) -Toán bồi dưỡng học sinh giỏi phổ thong, tập 1- Số Học
( Nhà xuất bản đại học sư phạm).
Bài 5 (Trang 9). Chuyên đề bồi dưỡng HGS toán THCS- trang 100
( Nhà xuất bản giáo dục)
Bài 5 ( Trang 13) Tài liệu chuyên toán THCS Toán 6 – Tập 1 (Trang 32)
( Nhà Xuất bản GD Việt Nam).
Bài 6 ( Trang 14) – Các chuyên đề chọn lọc toán 6- Trang 40- Nhà xuất bản GD
Việt Nam.
Bài 11(Trang 16)- Toán bồi dưỡng HSG phổ thong, tập 1 số học – Trang 34
( Nhà Xuất bản đại học sư phạm)
Bài 13 ( Trang 17)- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh gỏi toán THCS- Trang 94
( Nhà xuất bản giáo dục)

Bài 14( Trang 17)- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS – Trang 94
( Nhà xuất bản giáo dục).
Bài 1( Trang 20) – Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS – Trang 91
( Nhà xuất bản giáo dục).

DANH MỤC
22


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Phùng Duy Hưng
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Hà Dương.
TT

Tên đề tài SKKN

1

Vẽ thêm yếu tố phụ trong
hình học 7
Khai thác bài toán thong qua
bài toán gốc trong hình học
7
Khai thác bài toán thong qua
bài toán gốc trong hình học
7

2

3

Cấp đánh giá
xếp loại(Ngành
GD cấp huyện/
tỉnh..)
Huyện

Kết quả
đánh giá
xếp loại

Năm học
đánh giá
xếp loại

B

2008-2009

Huyện

A

2013-2014

Tỉnh

C

2014-2015

23