SKKN rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỉ cho học sinh lớp 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CHO HỌC SINH LỚP 9

Người thực hiện : Bùi Thị Hiền
Chức vụ
: Giáo viên
Đơn vị công tác : Trường THCS Trần Mai Ninh
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2019


MỤC LỤC
Nội dung
Mục lục
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lí luận
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3 Các giải pháp
A) Hệ thống hoá các kiến thức cơ bản liên quan.
B) Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ.
PHƯƠNG PHÁP 1: Nâng lên luỹ thừa
PHƯƠNG PHÁP 2:
Đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
PHƯƠNG PHÁP 3: Đặt ẩn phụ

PHƯƠNG PHÁP 4: Đưa về dạng A2 + B2 = 0 hoặc A.B = 0
PHƯƠNG PHÁP 5: Dùng bất đẳng thức
PHƯƠNG PHÁP 6: Sử dụng biểu thức liên hợp.
C) Vận dụng trong việc giải bất phương trình vô tỷ
PHƯƠNG PHÁP 1: Nâng lên luỹ thừa
PHƯƠNG PHÁP 2:
Đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
PHƯƠNG PHÁP 3: Đặt ẩn phụ
PHƯƠNG PHÁP 4: Đưa về dạng bất phương trình tích.
PHƯƠNG PHÁP 5: Dùng bất đẳng thức
PHƯƠNG PHÁP 6: Sử dụng biểu thức liên hợp.
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Phần 3: KẾT LUẬN
Tài liệu tham khảo
Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh
giá xếp loại cấp Phòng GD&ĐT, cấp Sở GD&ĐT

Trang
1
2
4
4
4
5
5
5
6
6
7
12

13
15
16
16
17
17
18
18
18
19
20
21
22

2


Phần 1: MỞ ĐẦU
1.1Lí do chọn đề tài:
Giải phương trình là dạng toán cơ bản trong chương trình toán THCS. Trong
đó phương trình vô tỉ là dạng mới, khó, trừu tượng đối với học sinh lớp 9. Dạng
toán này thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào THPT, các đề thi học
sinh giỏi các cấp, là nền tảng cho các bài toán ở các lớp trên. Trong quá trình
giảng dạy ở lớp 9, tôi thấy khi gặp phương trình vô tỉ học sinh lúng túng không
tìm ra cách giải và hay mắc sai lầm. Phương trình vô tỉ là một trong những
phương trình không có cách giải chính tắc. Người làm toán phải định hướng
được nên giải theo cách nào cho phù hợp và nhanh gọn. Trong khi bồi dưỡng
học sinh giỏi cũng như ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi chuyển cấp, đòi hỏi
giáo viên phải tìm tòi, suy nghĩ, đọc nhiều sách tham khảo để tìm ra cách giải
phương trình vô tỉ đạt hiệu quả nhất.

Mặt khác đa số học sinh trường THCS Trần Mai Ninh tiếp thu bài nhanh, làm
hết được các bài tập sách giáo khoa, sách bài tập, có nguyện vọng thi vào các
trường chuyên. Muốn đạt điểm cao ở kì thi học sinh giỏi, vào lớp 10 PTTH, các
trường chuyên thì phải giải quyết được các bài toán khó (trong đó có các bài
toán giải phương trình vô tỉ).
Vì thế khi dạy phần này đòi hỏi giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa
chọn nhiều bài tập, nhiều dạng khác nhau, để học sinh tìm ra “chiếc chìa khoá”
giải từng dạng cụ thể của phương trình vô tỉ. Qua quá trình giảng dạy, tham khảo
đồng nghiệp và học hỏi kinh nghiệm, tôi mạnh dạn phân dạng phương trình vô tỉ
và cách giải từng dạng, giúp học sinh hiểu sâu sắc phương trình vô tỉ dưới nhiều
góc độ, làm đơn giản các phương trình vô tỉ phức tạp.
Đề tài này tôi đã nghiên cứu từ năm học 2011 - 2012 đến nay. Trong năm
học 2015 – 2016 tôi đã viết thành sáng kiến kinh nghiệm dự thi các cấp và đã
được xếp loại B cấp tỉnh. Năm học 2017-2018 tôi đã áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm của mình vào dạy lớp 9A và 9H trường THCS Trần Mai Ninh tôi quan
tâm hơn tới những hệ phương trình vô tỉ nên tôi bổ sung vào sáng kiến kinh
nghiệm, tôi thấy rất hiệu quả, các em có hứng thú học tập môn toán hơn, kết quả
giáo dục cũng tăng rõ rệt. Trong năm học đó tôi đã được giải A cấp thành phố và
giải C cấp tỉnh.
Tuy nhiên trong năm học này tôi quan tâm hơn tới những bất phương trình
vô tỉ nên tôi bổ sung vào sáng kiến kinh nghiệm năm trước để nó hoàn chỉnh
hơn.
Đề tài giúp tôi củng cố nghiệp vụ giảng dạy, bổ sung thêm vốn kiến thức
cho bản thân và giúp các em cũng yêu thích môn toán hơn. Qua đó tôi xin được
trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp về phương pháp dạy học, mong rằng đề
tài này sẽ được mở rộng và phát triển hơn.
1.2 Mục đích nghiên cứu:
Sáng kiến kinh nghiệm này ngoài việc củng cố các kiến thức cơ bản trong
sách giáo khoa còn cung cấp kiến thức nâng cao, mở rộng và rèn luyện kỹ năng
giải các dạng phương trình cho học sinh. Với mỗi phương trình học sinh phát

hiện ra dạng và tìm ra cách giải phù hợp nhất, nhanh nhất, biết tổng quát bài
3


toán và đặt đề toán tương tự. Từ đó học sinh phát triển tư duy logic, hiểu sâu
kiến thức, có hứng thú nghiên cứu khoa học và nâng cao hiệu quả giáo dục.
1.3 Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu là các học sinh lớp 9, các giờ đại số 9 các bài tập về
phương trình vô tỉ, các kiến thức về căn thức…
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp khảo sát thực tiễn, nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp,
khái quát hóa, so sánh, quan sát, kiểm tra, đánh giá.
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:
So với sáng kiến kinh nghiệm của năm học 2017 – 2018 tôi đã bổ sung
thêm phần: Vận dụng trong việc giải bất phương trình vô tỷ. Khi dạy phần này
học sinh đã giải được bất phương trình vô tỷ một cách linh hoạt và thuận tiện.

4


Phần 2: NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận.
Xuất phát từ đặc trưng của môn toán của môn Toán ở trường THCS một môn
“khoa học suy diễn” cung cấp cho học sinh những kiến thức phổ thông cơ bản,
vững chắc có hệ thống. Rèn luyện và phát triển các kĩ năng giải toán và ứng
dụng vào thực tế, khả năng tư duy logic, sử dụng ngôn ngữ chính xác. Bồi
dưỡng các phẩm chất độc lập, sáng tạo, kiên trì, tích cực cho học sinh.
Căn cứ vào thực tế dạy và học về phương trình vô tỉ của chương trình Đại
số 9 tôi thấy hệ thống bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập do Bộ giáo dục Đào tạo ấn hành mới đáp ứng cho học sinh đại trà. Đối với học sinh khá, giỏi
dạng bài tập này rất phong phú và đa dạng.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
a) Đối với học sinh.
Trường THCS Trần Mai Ninh đa số các em nắm được kiến thức cơ bản
khả năng suy luận tốt, chăm chỉ, làm hết bài tập cô giao. Song các em chỉ làm
một cách định lượng, chưa suy nghĩ tìm cách giải khác, chưa có khả năng phân
biệt các dạng toán, chưa tự giác tìm tòi các dạng về phương trình vô tỉ.
Khảo sát thực tiễn của đề tài:
*) Số liệu thống kê
Khi chưa áp dụng đề tài, tôi ra bài tập giải phương trình vô tỉ qua khảo sát 75
học sinh lớp 9A, 9H trường THCS Trần Mai Ninh tôi nhận được kết quả như
sau:
Số học sinh Tỷ lệ
Kết quả
20
26%
Giải đúng phương trình đã cho
27
36%
Chưa giải đúng phương trình đã cho
28
37%
Không biết cách giải phương trình
*) Nguyên nhân. Học sinh không giải được hoặc giải sai kết quả do:
+ Chưa biết cách áp dụng những kiến thức đã học vào giải phương trình như:
Bình phương hai vế, phân tích đa thức thành nhân tử, bất đẳng thức...
+ Chưa có phương pháp cụ thể để giải phương trình vô tỉ.
+ Chưa nắm chắc các kiến thức liên quan, thiếu cẩn thận dẫn đến phương trình
thiếu nghiệm hoặc thừa nghiệm.
b) Đối với giáo viên.
*) Thuận lợi:

- Hầu hết các thầy cô có trình độ, được đào tạo cơ bản, tâm huyết với nghề và
luôn cầu tiến bộ.
- Nhà trường có cơ sở vật chất tốt mỗi phòng học có máy chiếu, giáo viên soạn
giáo án điện tử thành thạo, vận dụng tốt các công nghệ thông tin trong giờ dạy.
- Các tổ, nhóm chuyên môm hoạt động tích cực, thường xuyên dự giờ, trao đổi,
góp ý rút kinh nghiệm để nâng cao nghiệp vụ.
*) Khó khăn:
- Các bài tập về phương trình vô tỉ vừa khó vừa không có phương pháp giải
chung cho tất cả các phương trình.
5


- Mức độ rèn luyện phát triển tư duy logic trong các phương trình vô tỉ là khác
nhau, chủ yếu còn dựa vào kinh nghiệm của người giáo viên. Đòi hỏi người giáo
viên phải có kiến thức, có sự tổng hợp, có sự liên hệ giữa các vấn đề, có thời
gian, có tâm huyết và có tinh thần học hỏi cao thì mới đáp ứng được chuyên
môn và công việc giảng dạy của mình.
2.3 Các giải pháp.
A) Hệ thống hoá các kiến thức cơ bản liên quan.
Khi giải phương trình vô tỉ học sinh cần nắm vững những kiến thức sau:
1) Khái niệm về phương trình, cách giải, tập xác định, nghiệm của phương trình.
2) Phương trình vô tỉ.
- Định nghĩa phương trình vô tỉ, các bước giải phương trình vô tỉ nói chung.
- Các kiến thức cơ bản về căn thức.
3) Các tính chất của luỹ thừa bậc 2, bậc 3, luỹ thừa bậc chẵn và luỹ thừa bậc lẻ.
4) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức.
5) Các kiến thức về bất đẳng thức...
B) Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ.
PHƯƠNG PHÁP 1: Nâng lên luỹ thừa
Trong chương trình đại số 9, khi giải phương trình vô tỉ học sinh thường

quen dùng phương pháp là nâng luỹ thừa hai vế để làm mất dấu căn (thường
dùng khi 2 vế có luỹ thừa cùng bậc). Trong quá trình giải học sinh thường mắc
phải một số sai lầm trong phép biến đổi tương đương vì vậy dẫn đến thừa hoặc
thiếu nghiệm. Có một số phương trình sau khi làm mất dấu căn sẽ dẫn đến
phương trình bậc cao, mà việc nhẩm nghiệm để đưa về phương trình bậc nhất,
bậc 2 để giải lại rất khó khăn. Vì vậy học sinh sẽ rất lúng túng và không tìm ra
lời giải.
g(x) ≥ 0; f (x) ≥ 0

Dạng 1: f (x) = g(x) ⇔ 

2
f (x) = [g(x)]

Ví dụ : Giải phương trình: x + 1 = x − 1

(1)

 x ≥ 1
x ≥ 1
⇔
⇔
 2
2
x
−
3
x
=
0

 x + 1 = ( x − 1) 2


Giải: (1) ⇔ 

(

)

x ≥ 1

x = 3

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 3
* Nhận xét Khi giải phương trình dạng trên học sinh thường mắc sai lầm là
không đặt điều kiện cho g(x) ≥ 0 . Chẳng hạn ở ví dụ trên nếu không đặt điều
kiện x - 1 ≥ 0 , dẫn đến phương trình x 2 - 3x = 0 có hai nghiệm x 1 = 0; x2 = 3
nhưng khi thay x1 = 0 vào phương trình ta thấy VT ≠ VP.
Sở dĩ có sai lầm trên vì học sinh chưa nắm chắc tính chất của lũy thừa bậc hai.
Dạng 2
f (x) + g(x) = h(x) hoặc f (x) + g(x) = h(x) hoặc f (x) + g(x) = h(x) + k(x)
- Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa:
f (x) ≥ 0; g(x) ≥ 0; h(x) ≥ 0; k(x) ≥ 0.

6


- Biến đổi để 2 vế của phương trình không âm (với phương trình chứa căn bậc
hai) ta bình phương hai vế được phương trình tương đương. Sau đó đưa phương
trình về dạng đã biết cách giải.

Ví dụ : Giải phương trình: x + 3 = 5 − x − 2
(1)
+ Ở phương trình trên hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm
bình phương hai vế để làm mất căn. Vì vậy giáo viên cần phân tích kỹ sai lầm
mà học sinh có thể mắc phải hai vế của phương trình không cùng dấu. Giáo
viên cần khắc sâu cho học sinh tính chất của luỹ thừa bậc hai:
a = b ⇔ a2 = b2 ( Khi a, b cùng dấu )
Giải: Với điều kiện x ≥ 2. Ta có:
2
(1) ⇔ x + 3 + x − 2 = 5 ⇔ ( x + 3 + x − 2 ) = 52 ⇔ 2x + 1 + 2 (x + 3)(x − 2) = 25
⇔ (x + 3)(x − 2) = 12 − x
2 ≤ x ≤ 12

2 ≤ x ≤ 12
⇔
⇔x=6

2
2
25x
=
150
x
+
x
−
6
=
144
+

x
−
24x



⇔

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 6.
Bài tập áp dụng: Giải phương trình
a) 4 x + 1 − 3x + 4 = x − 2
b) x − 2 − x + 1 = 2 x − 1 − x + 3
Dạng 3: Sử dụng lập phương hai vế
Ví dụ: Giải phương trình 3 x + 1 + 3 7 − x = 2
(1)
Đối với phương trình có chứa căn bậc lẻ ta không cần điều kiện để biểu thức
dưới dấu căn không âm vì 2 n+1 A có nghĩa với ∀A
Ở luỹ thừa bậc lẻ: a = b ⇔ a2n+1=b2n+1; (n∈ N) nên không cần xét đến dấu
của hai vế.
2
2
Giải: Lập phương hai vế x + 1 + 7 − x + 3( 3 x + 1) .3 7 − x + 3 x + 1.( 3 7 − x ) = 8 (1’)
Đến đây có thể học sinh rất lúng túng vì sau khi lập phương hai vế, vế trái nhìn
rất phức tạp, giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức:
( a+b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+b)
Khi đó (1’) có thể viết x + 1 + 7 − x + 33 ( x + 1)(7 − x) .( 3 x + 1 + 3 7 − x ) = 8
Đặc biệt 3 x + 1 + 3 7 − x = 2 nên thay vào phương trình ta được:
8 + 33 ( x + 1)(7 − x ) .2 = 8 ⇔ ( x + 1)(7 − x) = 0
Giải ra: x1 = −1; x 2 = 7 ; Thay vào (1) ta thấy nghiệm đúng.

Vậy phương trình có nghiệm x1= -1; x2 = 7.
Như thế ở phương trình (1) ngoài việc lập phương hai vế cần sử dụng hằng
đẳng thức một cách linh hoạt để đưa phương trình về dạng a.b = 0 rồi giải.
Bài tập áp dụng: Giải phương trình :
a) 3 − x + 1 + 3 x − 1 = 3 5 x ; b) 3 2 x + 1 + 3 3 − 2 x = 4 ;
c) 3 2 x − 1 + 3 2 x + 1 = 3 10 x
PHƯƠNG PHÁP 2: Đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt
đối.
Khi gặp phương trình mà biểu thức trong căn có thể viết được dưới dạng
bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức A 2 = A để làm
mất dấu căn đưa về phương trình đơn giản.
7


Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 x − 2 + 2 2 x − 3 + 2 x + 13 + 8 2 x − 3 = 5 (1)
Nhận xét: + Ở phương trình (1) học sinh có thể nhận xét vế trái có cùng căn
bậc hai nên có thể bình phương hai vế. Nhưng ở phương trình này sau khi bình
phương (lần 1) vẫn còn chứa căn rất phức tạp.
+Ta xét xem biểu thức trong căn có thể viết được dưới dạng bình phương của
một biểu thức không? Từ đó có có hướng giải sau:
Giải : ĐKXĐ 2 x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥

3
;
2

2 x − 2 + 2 2 x − 3 + 2 x + 13 + 8 2 x − 3 = 5 ⇔ (2 x−3)+ 2 2 x−3 +1 + (2 x−3)− 2 2 x−3.4+16 = 5
⇔

Nếu

(

2
2 x− 3 +1 +

)

(

2 x− 3 − 4

)

2

=5⇔

2 x− 3 +1 + 2 x− 3 − 4 = 5

2 x − 3 ≥ 16
19

2x − 3 − 4 ≥ 0 ⇔ 
⇔x≥
3
2
x≥

2



thì 2 x − 3 + 1 + 2 x − 3 − 4 = 5 ⇔ 2 2 x − 3 = 8 ⇔ 2 x − 3 = 4
9
(Không thỏa mãn ĐKXĐ)
2
3
19
+ Nếu 2 x − 3 < 4 ⇔ ≤ x ≤
thì 2 x − 3 + 1 − 2 x − 3 + 4 = 5 ⇔ 0 x = 0
2
2

Giải ra x =

Có vô số nghiệm x thoả mãn 1,5 ≤ x ≤ 9,5.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 4x 2 + 20x + 25 + x 2 + 6x + 9 = 10x − 20 (2)
( Đề thi khảo sát đầu năm trường Trần Mai Ninh 2009 - 2010)
Đối với bài tập này học sinh phát hiện được biểu thức trong căn là bình phương
của một tổng và biến đổi được về dạng:
4x 2 + 20x + 25 + x 2 + 6x + 9 = 10x − 20 ⇔ 2x + 5 + x + 3 =10 (x − 2) .
Đa số học sinh sẽ giải phương trình trên bằng cách xét các khoảng
x ≤ -3; -3 < x < - 2,5; x ≥ − 2, 5 .
Tuy nhiên nếu quan sát kỹ hai vế ta có vế trái không âm nên vế phải cũng không
âm, suy ra x ≥ 2 từ đó có cách giải ngắn gọn hơn.
Với x ≥ 2 thì 2x + 5 > 0 và x + 3 > 0 phương trình trở thành 2x + 5 + x +3 = 10x – 20
Từ đó ta tìm được nghiệm phương trình là x = 4.
Bài tập áp dụng: Giải phương trình
a) x + 2 − 4 x − 2 + x + 7 − 6 x − 2 = 1 ; b) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2
PHƯƠNG PHÁP 3: Đặt ẩn phụ

Việc giải phương trình vô tỉ thường gây ra nhiều khó khăn, phức tạp. Nếu
cứ nâng lên luỹ thừa để làm mất dấu căn thì dẫn đến phương trình bậc cao khó
tìm nghiệm. Tuy nhiên, nếu đặt ẩn phụ một cách thích hợp thì có thể chuyển
phương trình vô tỷ đã cho về một phương trình đơn giản, một hệ phương trình
đại số đã có cách giải quen thuộc. Cách đặt ẩn phụ còn tuỳ thuộc vào bài toán
cụ thể, vì vậy phải xem xét và vận dụng linh hoạt .
Ta có thể đặt một ẩn phụ, hai ẩn phụ, ... hoặc nhiều ẩn phụ.
3.1) Cách đặt 1 ẩn phụ:
8


Chọn ẩn phụ thích hợp để đưa phương trình về phương trình có một ẩn. Giải
phương trình tìm ẩn phụ, từ đó tìm ẩn chính.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 x 2 + 6x+ 12+ x 2 + 3x + 2 = 9
(1)
Nhận xét: Ở phương trình này nếu bình phương 2 vế sẽ đưa về một phương
trình bậc 4 mà việc tìm nghiệm là rất khó. Ta tìm mối liên của biểu thức trong
và ngoài dấu căn 2x2+ 6x+ 12 = 2(x2 + 3x + 2) + 8.
Giải: ĐKXĐ: x2+3x + 2 ≥ 0 ⇔ ( x+1) (x+2) ≥ 0 ⇔ x ≤ 2; x ≥ -1.
Đặt : x 2 + 3x + 2 = y ( y ≥ 0 ). Khi đó ta có một phương trình đơn giản hơn
(1) ⇔ 2y2 + y + 8 = 9 ⇔ 2y2 + y - 1= 0
Giải ra ta được y1= 0,5 ( Thỏa mãn ĐKXĐ); y2= - 1 ( Loại)
Với y1= 0,5 ta tìm được x =

−3+ 2
là nghiệm của phương trình (1)
2

Ví dụ 2: Giải phương trình: x + 1 + 3 − x − (x + 1)(3 − x) = 2
(2)

(Đề thi học sinh giỏi Thành Phố Thanh Hóa năm học 2014 - 2015)
Đối với ví dụ này nếu bình phương 2 vế sẽ rất phức tạp. Khi quan sát so sánh
kỹ các biểu thức dưới dấu căn học sinh nghĩ ngay đến phương pháp đặt ẩn phụ.
 x + 1≥ 0
Giải: ĐKXĐ  3 − x ≥ 0 <=> -1 ≤ x ≤ 3

Đặt y =

x +1 +

3−x

( Điều kiện y ≥ 0). Khi đó y2 = 4 + 2

( x + 1)(3− x )

<=> 2 ( x + 1)(3− x ) = y2 - 4
(2’)
(Điều kiện y2 ≥ 4 )
Phương trình trở thành 2y – (y2- 4) = 4 <=> y2 - 2y = 0 <=> y( y - 2) = 0
<=> y = 0 (không thỏa mãn y2 ≥ 4) (loại) ; y = 2 (thỏa mãn y2 ≥ 4)
Thay y = 2 vào (2’) ta được 2 ( x + 1)(3− x ) = 22 – 4 <=> ( x + 1) ( 3 – x) = 0
Ta thấy x = - 1; x = 3 ( Thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy nghiệm của phương trình là: x = -1; x = 3.
Ví dụ 3: Giải phương trình 8 12 + 16x − 16x 2 + 4x − 4x 2 = 33 (3)
(Đề thi HSG Thành Phố Thanh Hóa năm học 2012- 2013 vòng 2)
Trong ví dụ này nếu đặt biểu thức 12 + 16x − 16x 2 = y sẽ rất phức tạp vì thế ta
nên biến đổi thành biểu thức đơn giản hơn trước khi đặt ẩn phụ.
Giải: ĐKXĐ – 0,5 ≤ x ≤ 1,5
Biến đổi phương trình:

8 12 + 16x − 16x 2 + 4x − 4x 2 = 33 <=> 16 3 + 4x − 4x 2 + 4x − 4x 2 = 33
Đặt 3 + 4x − 4x 2 = y (y ≥ 0).
Ta có 3 + 4x – 4x2 = y2 <=> 4x - 4x2 = y2 – 3
(3’)
Phương trình đã cho trở thành: 16y + y2 - 3 = 33 <=> y2 + 16y – 36 = 0
<=> ( y – 2) ( y + 18) = 0
Do đó y = 2 và y = –18. Ta thấy y = – 18 (không thỏa mãn ĐKXĐ)
+ Thay y = 2 vào (3’) ta có: 4x – 4x2 = 22 – 3 <=> 4x2 – 4x + 1 = 0
<=> (2x – 1)2 = 0 <=> x = 0,5 (Thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy nghiệm phương trình là: x = 0,5
9


Ví dụ 4: Giải phương trình x +

3x
x2 − 9

=6 2

(Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm học 2011- 2012)
Với ví dụ này nếu ta đặt ẩn phụ ngay sẽ không hiệu quả nên phải kết hợp hai
phương pháp bình phương hai vế và đặt ẩn phụ.
Giải : ĐKXĐ x > 3; x < - 3.
+ Nếu x > 3 bình phương hai vế của phương trình ta được:
x2 +

Đặt t =
Khi đó:

9x2
6x2
x4
x2
+
=
72
⇔
+
6.
− 72 = 0
x2 − 9
x2 − 9
x2 − 9
x2 − 9

x2

(t > 0) , được phương trình: t 2 + 6t − 72 = 0 ⇔ t = 6 .

x2 − 9
x2
x2 − 9

= 6 ⇔ x4 – 36x2 + 324 = 0 ⇔ x2 = 18 ⇔ x = 3 2 hoặc x = − 3 2

x = 3 2 (Thoả mãn ĐKXĐ); x = − 3 2 (Không thoả mãn ĐKXĐ);

+ Nếu x < –3 thì x +

3x
x2 − 9

< 0 < 6 2 => phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x = 3 2 .
3.2) Đặt ẩn phụ đưa phương trình về 2 ẩn: Ẩn chính và ẩn phụ, tìm mối quan
hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ.
Ví dụ 1: Giải phương trình: x 2 + x + 2002 = 2002
( Đề thi vào lớp 10 PTTH năm 2002- 2003)
Nhận xét: Nếu bình phương hai vế đưa về phương trình bậc 4 khó nhẩm nghiệm
vô tỷ. Hãy tìm cách đưa về một hệ phương trình có 2 ẩn là ẩn chính và ẩn phụ.
Tìm mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ từ đó đưa về phương trình đơn
giản.
Giải: ĐKXĐ x ≥ - 2002
Cách 1: Đặt


2
x +2002 =y
x + 2002 = y ( y ≥ 0) ta có hệ phương trình 
2

x +y =2002

x = −y

 x + 2002 = − x

⇔

giải ra ta có: 
x
=
y
−
1

 x + 2002 = x + 1
Từ đó sử dụng phương pháp 1 để giải tiếp.
Cách 2:
1
1

x + = x + 2002 −

1
1
1 
1

2
2
x 2 + x + = x + 2002 − x + 2002 + ⇔  x + ÷ =  x + 2002 − ÷ ⇔ 
4
4
2 
2

 x + 1 = 1 − x + 2002


2 2
2

2

Đến đây tiếp tục giải theo phương pháp 1.
Chú ý: Cách này thường sử dụng khi quan hệ ẩn chính và ẩn phụ đưa được về
hệ phương trình đối xứng.
Ví dụ 2: Giải phương trình: ( x + 1) 2 x 2 − 2 x = 2 x 2 − 3x − 2 .
(2)
( Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Lam Sơn 2014 – 2015)
10


Đối với ví dụ này ta linh hoạt khi đặt ẩn phụ thì bài giải sẽ ngắn gọn hơn.
Giải: Điều kiện: x 2 − x ≥ 0 .
Phương trình đã cho tương đương: 2 x 2 − 2 x − ( x + 1) 2 x 2 − 2 x − x − 2 = 0 (2’)
Đặt t = 2 x 2 − 2 x , (t ≥ 0) . Ta có (2’) trở thành: t2 – (x +1)t – x – 2 = 0
⇔ t = - 1 (loại), t = x + 2.
 x ≥ −2
⇔ x = 3 ± 13 (thỏa mãn ĐKXĐ).
2
x − 6x − 4 = 0

2
Với t = x + 2 ⇔ 2 x − 2 x = x + 2 ⇔ 

Vậy nghiệm của phương trình là: x = 3 ± 13 .
Ví dụ 3: Tìm nghiệm dương của phương trình 7 y 2 + 7 y =

4 y +9
.
28

(Đề thi thử vào lớp 10 Trần Mai Ninh năm 2015- 2016)
Ví dụ này khó ở chỗ đặt ẩn thế nào cho phù hợp vì thế cần phải quan sát kỹ đề
bài hơn, ta có thể đặt ẩn để đưa về hai phương trình đối xứng sau:
1
4 y +9
1
=x +
Giải: Với y > 0 đặt
(ĐKXĐ x ≥− )
28
2
2
Ta có

4 y +9
1 2
1
2
= ( x + ) ⇔ 7 x + 7 x = y + <=> 7(x2 – y2) + 8(x – y) = 0
28
2
2

1
2

<= > (x – y)(7x + 7y + 8) = 0. Vì x ≥ − ; y > 0 nên (7x + 7y + 8) > 0 = > x = y.
1
2
Khi đó 7 y + 7 y = y + => 14y2 + 12y - 1 = 0
2

Giải ra ta có nghiệm dương của phương trình là y =

−6 + 50
14

3.3) Đặt 2 ẩn phụ:
Trong một số phương trình nếu đặt một ẩn phụ sẽ được phương trình mới
rất phức tạp. Ta có thể đặt 2 ẩn phụ đưa về hệ phương trình, giải hệ tìm giá trị
của ẩn phụ, từ đó đưa về phương trình đơn giản.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 2 − x + x −1 =1
(Đề thi học sinh giỏi Thành phố Hà Nội năm 2018- 2019)
Nhận xét: Ở vế trái có căn bậc 2 và căn bậc 3 nên việc nâng luỹ thừa 2 vế để
làm mất dấu căn là rất khó.
+ Hai biểu thức trong căn có mối quan hệ: 2 – x + x – 1 = 1 (hằng số)
+ Đặt 2 ẩn phụ: Sẽ đưa về hệ 2 phương trình không chứa căn và giải.
Giải: ĐKXĐ x ≥ 1
u + v = 1
3
Đặt 2 − x = u; x −1 = v ( v ≥ 0) Ta có hệ phương trình:  3
2
u + v = 1
Giải ra ta được u1 = 0; u2 = 1; u3 = - 2
Từ đó ta tìm được nghiệm x1= 1; x2 = 2; x3 = 10 ( thoả mãn ĐKXĐ)
Vậy phương trình có 3 nghiệm là x1= 1; x2= 2; x3 =10.

Tổng quát: Đối với phương trình có dạng:
n a − f ( x ) + m b ± f ( x) = c
(n, m∈ N; n, m>0).
11


Ta thường đặt: u = n a − f ( x) ; v = m b + f ( x) Khi đó ta được hệ phương trình:
u + v = c
u + v = c
hoặc
 n
 n m
m
u + v = a + b
u − v = a − b
Giải hệ này tìm u, v sau đó tìm x
Ví dụ 2: Giải phương trình: 4 97 − x + 4 x − 15 = 4
(2)
Đây là phương trình chứa căn bậc 4, ta thấy ngay hai biểu thức dưới dấu căn có
tổng bằng 82 nên đặt hai ẩn phụ để chuyển về hệ đối xứng như sau:
Giải: ĐKXĐ: 15 < x < 97
Đặt u = 4 97 − x ; v = 4 x −15
(u, v > 0)
u + v = 4
Khi đó ta có hệ phương trình:  4 4
 u + v = 82
Mặt khác u4 + v4 = [(u + v)2 - 2uv]2 - 2u2v2
Vì u + v = 4 nên u4 + v4 = (16 - 2uv)2 - 2u2v2
Đặt t = u.v (t > 0) ta có: (16 - 2t)2 - 2t2 = 82 <=> t1 = 3; t2 = 29
Từ đó ta tìm được nghiệm phương trình là x = 96 ; x = 16.

Ví dụ 3: Giải phương trình:

(5 − 2 6 ) x + (5 + 2 6 ) x = 10

(3)

(Đề thi học sinh giỏi tỉnh năm 2005 - 2006)
Phương trình này không quen thuộc như các phương trình trên, ẩn x nằm ở lũy
thừa, gặp phương trình này học sinh rất lúng túng. Giáo viên cần giúp học sinh
tìm thấy mối quan hệ giữa hai biểu thức dưới dấu căn, từ đó có cách đặt ẩn phụ
phù hợp.
Giải: ĐKXĐ: x ∈ R .
Ta thấy (5 − 2 6)(5 + 2 6) = 1 . Đặt
Khi đó: (3) <=> u +

x
(5 − 2 6) x = u (u > 0) thì (5 + 2 6 ) =

1
u

u = 5 + 2 6
1
= 10 <=> u2 - 10u + 1 = 0 ⇔ 
u
 u = 5 − 2 6

Nếu u = 5 - 2 6 thì (5 − 2 6 ) x = 5 − 2 6 <=> (5 − 2 6 ) x = (5 − 2 6 ) 2 <=> x = 2
x
Nếu u = 5 + 2 6 thì (5 − 2 6 ) = 5 + 2 6 =

x
<=> (5 − 2 6 ) =

1

(5 − 2 6 )

2

(

⇔ 5− 2 6

)

x+ 2

1
5−2 6

= 1 ⇔ x + 2 = 0 <=> x = - 2

Vậy nghiệm của phương trình là x = + 2
Ngoài cách trên có một số bài toán khi đặt 2 ẩn phụ nhưng không đưa được
về hệ phương trình thì ta có thể tìm quan hệ của 2 ẩn phụ, thay vào hệ thức đã
đặt lúc đầu để đưa về phương trình đơn giản.
Ví dụ 4: Giải phương trình: 2( x 2 + 2) = 5 x 3 + 1 (4)
12

(Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm 2015-2016)
Nhận xét: Nếu bình phương hai vế của phương trình sẽ đưa về phương trình bậc
4 rất khó giải. Đa số học sinh không làm được bài tập này.
Nếu quan tâm biểu thức x3+1.
Ta sử dụng hằng đẳng thức: x3 + 1= (x + 1)(x2 – x + 1)
+ Tìm mối quan hệ giữa x2 + 2 và x3 + 1 ta có x2 +2 = (x2 – x + 1)+( x + 1)
+ Từ đó có thể đặt 2 ẩn phụ: a = x + 1; b = x 2 − x + 1 và tìm mối quan hệ a, b từ
đó tìm x
Giải: ĐK XĐ x ≥ − 1
Đặt a = x + 1 ; b = x 2 − x + 1 Ta có: a2 = x + 1 ; b2 = x2 – x + 1 ; x2 + 2 = a2 + b2
(4) <=> 2( a2 + b2)= 5ab <=> (2a – b)(a – 2b)= 0 <=> (2a – b)=0 hặc(a – 2b) = 0
Từ đó ta tìm được nghiệm của phương trình ban đầu.
Ở dạng này việc tìm mối quan hệ giữa các biểu thức ở hai vế là rất quan
trọng.
Vì vậy trước khi giải phải quan sát nhận xét để tìm ra cách giải phù hợp.
3.4) Đặt nhiều ẩn phụ:
Ví dụ: Giải phương trình 2 x 2 − 1 + x 2 − 3x − 2 = 2 x 2 + 2 x + 3 + x 2 − x + 2
Nhận xét: + Phương trình này nhìn rất phức tạp, nếu dùng phương pháp bình
phương 2 vế sẽ không hiệu quả .
+ Việc đặt điều kiện để các căn thức có nghĩa có thể phức tạp, nên ta giải
phương trình tìm x rồi thử lại.
+ Quan sát nhận xét các biểu thức dưới dấu căn:
(2 x 2 − 1) − ( x 2 − 3x − 2) = (2 x 2 + 2 x + 3) − ( x 2 − x + 2)
Nên có thể nghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ:
Giải: ĐKXĐ x ≥ 2; x ≤ 1
Đặt 2 x 2 − 1 = u; x 2 − 3x − 2 = v; 2 x 2 + 2 x + 3 = z; x 2 − x + 2 = t ( u, v, z, t ≥ 0)
u + v = z + t
Ta có hệ :  2 2
2x 2 − 1 = 2x 2 + x + 3

2
2 Từ đó suy ra: u = t ⇒
u
−
v
=
z
−
t

Giải ra ta được x = - 2 (thoả mãn ĐKXĐ).
Vậy phương trình có nghiệm x= - 2
PHƯƠNG PHÁP 4: Đưa về dạng A2 + B2 = 0 hoặc A.B = 0
Ở phương pháp này ta sử dụng A2 + B2 = 0 <=> A = B = 0
A.B =0 <=> A = 0 hoặc B = 0
Ví dụ: Giải phương trình

1
x − 2 + y + 2009 + z − 2010 = ( x + y + z )
2

(Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm 2009 - 2010)
Đối với phương trình này ta không thể làm bằng cách bình phương hai vế hay
đặt ẩn phụ được, tuy nhiên quan sát kỹ hơn ta sẽ thấy xuất hiện các hằng đẳng
thức bậc hai, từ đó có cách giải sau:
Giải: ĐKXĐ: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010
Phương trình đã cho tương đương với:
13

x + y + z = 2 +2 y + 2009 + 2 z − 2010

⇔ ( x − 2 - 1)2+( y + 2009 - 1)2 + ( z − 2010 - 1)2 = 0.
Vì ( x − 2 - 1)2 ≥ 0; ( y + 2009 - 1)2 ≥ 0; ( z − 2010 - 1)2 ≥ 0 nên
 x − 2 −1 = 0
 x −2 =1
x =3





 y +2009 −1 =0 ⇔ y +2009 = 1 ⇔y =−2008


z =2011

 z −2010 −1 = 0
 z −2010 =1



Vậy nghiệm của phương trình là x = 3; y = - 2008; z = 2011.
PHƯƠNG PHÁP 5: Dùng bất đẳng thức
Ta dùng bất đẳng thức đánh giá mỗi vế của phương trình để từ đó suy ra
nghiệm của phương trình. Khi giải phương trình vô tỉ thường dùng phương
pháp bất đẳng thức ở nhiều dạng khác nhau.
5.1) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt để
chứng tỏ tập giá trị ở 2 vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 1: Giải phương trình x − 1 − 5x − 1 = 3x − 2

Cách 1. Điều kiện x ≥ 1
Với x ≥ 1 thì vế trái: x − 1 < 5x − 1 ⇒ vế trái luôn âm.
Vế phải 3x − 2 ≥ 1 ⇒ vế phải luôn dương. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Cách 2. Với x ≥ 1, ta có:
x − 1 = 5x − 1 + 3x − 2 ⇔ x − 1 = 8x − 3 + 2 (5x − 1)(3x − 2)
⇔ 2 − 7x = 2 (5x − 1)(3x − 2)
Với x ≥ 1 vế trái luôn là một số âm, vế phải dương nên phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 − 2 x − x 2
Nhận xét: +Ở phương trình này ta không nên bình phương hai vế,đặt ẩn phụ.
+ Xét các biểu thức trong căn và ngoài căn.
2
3x + 6x +7 = 3(x+1)2+ 4; 5x2+10x + 14 = 5(x+1)2 + 9; 4 - 2x - x2= -(x+1)2+5
Từ đó có lời giải:
Giải: VT = 3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 − 2 x − x 2 ≥ 4 + 9 = 5
VP = 4 − 2 x − x 2 = 5 − ( x + 1) 2 ≤ 5
Vậy 2 vế đều bằng 5, khi đó x + 1 = 0 <=> x = - 1
Kết luận phương trình có một nghiệm x = - 1.
Ví dụ 3: Giải phương trình: x − 4 + 6 − x = x 2 − 10 x + 27 (3)
Nhận xét: Nếu bình phương 2 vế ta có phương trình bậc 4, khó giải, phức tạp.
Ta sử dụng bất đẳng thức rồi so sánh 2 vế.
Giải: ĐKXĐ: 4 ≤ x ≤ 6
Ta thấy: x2 - 10x + 27 = (x – 5)2+ 2 ≥ 2
Mặt khác áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có
(1. x − 4 + 1 6 − x)) 2 ≤ (12 + 12 )( x − 4 + 6 − x) = 2.2 = 4 ⇔
2

’

Suy ra x - 10x + 27 = 2 (3 ) và x − 4 + 6 − x = 2

x −4 + 6 − x ≤ 2

(3’’)
14


Giải (3’) ta được x = 5 thay vào (3’’) ta thấy 2 vế bằng nhau.
Vậy phương trình có nghiệm x = 5.
Tổng quát cách giải
+ Biến đổi phương trình về dạng f(x)= g(x) mà f(x)≥ a; g(x)≤ a với a là hằng
số. Nghiệm của phương trình là các giá trị của x thoả mãn f(x)= a và g(x) = a.
+ Biến đổi phương trình về dạng h(x)=m (m là hằng số) mà ta luôn có h(x) ≥ m
và h(x) ≤ m thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm cho dấu đẳng
thức xảy ra.
+ Áp dụng bất đẳng thức Côsi và Bunhiacôpxki.
5.2) Đoán nghiệm, chứng minh nghiệm duy nhất
Ví dụ 1: Giải phương trình 5 − x 6 − 3 3x 4 − 2 = 1
Nhận xét: Nếu sử dụng 5 phương pháp trên đều khó giải được nên suy nghĩ để
tìm cách giải khác.
Hướng dẫn: + Thử nhẩm tìm nghiệm của phương trình
+ Chứng minh nghiệm duy nhất
Giải: Nhận thấy x = 1; x = -1 là một nghiệm của phương trình
 5 − x 6 < 2
⇒ 5 − x 6 − 3 3x 4 − 2 < 1 phương trình vô nghiệm
 4
 3x − 2 > 1
5 − x 6 > 4
⇒ 5 − x 6 − 3 3 x 4 − 2 > 1 phương trình vô nghiệm
+ Xét |x| <1 ta có:  4
3 x − 2 < 1

 5 − x 6 < 4
⇒
+ Xét |x| >1 thì  4
 3x − 2 > 1

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -1 và x = 1.
Ví dụ 2: Giải phương trình:

x+7
+ 8 = 2x 2 + 2x − 1
x +1

(Đề thi học sinh giỏi Thành Phố Thanh Hóa 2011-2012)
Đối với ví dụ này ta không thể dùng các phương pháp 1,2,3 hoặc dùng bất đẳng
thức được. Trước hết ta nhẩm nghiệm của phương trình, ngoài nghiệm đó ra ta
có còn nghiệm nào khác không? Sau đó ta chứng minh nghiệm đó là duy nhất.
Giải: ĐKXĐ: x ≥

1
2

Ta thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình
1
≤ x < 2 : VT =
2

6
+ 8 < 8 + 3 . Mà: VP > 8 + 3
x +1
– Nếu x > 2: VP = 2x2 + 2x − 1 > 2.22 + 3 = 8 + 3 . VT < 8 + 3

6
6
x >2⇒
x+
1>2 +
1 ⇒+
1
<
1+
=3
x+
1
2+
1

– Nếu

1+

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2.
Bài tập áp dụng: Giải phương trình a) x − 2 + 4 − x = x 2 − 6 x + 11 ;
b) x 2 + x − 1 + − x 2 + x + 1 = x 2 − x + 2 .
5.3) Sử dụng phương trình bậc hai:
Ngoài các phương pháp trên ta có thể vận dụng kiến thức về phương trình
bâc 2 để giải phương trình vô tỉ.
15


Đưa phương trình đã cho về dạng chính tắc ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)
Rồi tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình x 2 − 7x + 2( x + 2) x + 3 = 24

(*)

Giải: ĐKXĐ: x ≥ -3
2
Khi đó (*) <=> x + x − 8 x − 24 + 2 ( x + 2 ) . x + 3 = 0

<=> − 8 ( x + 3) +2 ( x + 2 ) . x + 3 + x 2 + x = 0 = 0
Đặt y = x + 3 (y > 0) , (2) <=> - 8y2 + 2(x + 2)y + x2 + x = 0
∆' = (x + 2)2 + 8(x2 + x) = (3x + 2)2
− x − 2 + 3x + 2 − x
− x − 2 − 3x − 2 x + 1
=
=
, y2 =
−8
4
−8
2
−x
−x
Với y1 =
ta có x + 3 =
<=> x + 4 x + 3 = 0 <=> x +3 + 4 x + 3 − 3 = 0
4
4

y1 =

Đặt x + 3 = u (u ≥ 0) ta có phương trình u2 + 4u – 3 = 0
∆' = 4 + 3 = 7> 0.
Phương trình có hai nghiệm u1= −2 − 7 < 0 (loại); u2 = −2 + 7 > 0
<=> x +3 = 4 + 7 - 4 7 <=> x = 8 - 4 7 < -3 (loại)
Với y2 =

x +1
ta có
2

x+3 =

x +1
<=> x + 1- 2 x + 3 = 0 <=> x + 3 − 2 x + 3 − 2 = 0
2

Đặt x + 3 = v (v ≥ 0) ta có phương trình v2 – 2v – 2 = 0
Ta có: ∆' = 1 + 2 = 3.
Phương trình có hai nghiệm v1 = 1 − 3 < 0 (loại); v2 = 1 + 3 > 0 (TMĐK)
<=> x + 3 = 1 + 3 + 2 3 <=> x = 1 + 2 3 (thoả mãn ĐKXĐ)
Vậy x = 1 + 2 3 là nghiệm của phương trình
PHƯƠNG PHÁP 6: Sử dụng biểu thức liên hợp.
Ví dụ 1: Giải phương trình

1
5
+
= 4.
x+3
x+4

(Đề thi giáo viên giỏi Thành Phố Thanh Hóa 2015-2016)
Đối với bài toán này ta có thể bình phương hai vế được không, nếu vậy ta
được phương trình bậc 4 không có nghiệm nguyên, rất khó khăn trong việc tìm
nghệm, dùng biểu thức liên hợp ta có cách giải độc đáo sau
Giải: ĐKXĐ x > - 3.


Khi đó phương trình đã cho tương đương với  2 −


1  
5 
+
2
−
÷

÷

÷= 0
x+3 ÷
x
+
4
 


1
5

4−
4−
4 x + 11
4 x + 11
x +3 +
x+4 =0 ⇔
+
=0


1
5
1 
5 
2+
2+
( x + 3)  2 +
÷ ( x + 4)  2 +
÷
x +3
x +4
x +3 
x+4 



16


1

Vì x > - 3 nên


( x + 3)  2 +


+

1 
÷
x +3 

1

( x + 4)  2 +


5 
÷
x +4 

>0

11
( thỏa mãn ĐKXĐ).
4
 11 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = −  .
 4

Do đó 4x + 11 = 0 ⇔ x = −

Ví dụ 2: Giải phương trình
Giải: ĐKXĐ: x ≥

x 2 + 12 + 5 = 3x + x 2 + 5

(2)

5
3

Ta có x = 2 là một nghiệm của phương trình. Như vậy phương trình đã
cho có thể phân tích được về dạng ( x − 2 ) Q ( x ) = 0
Phương trình đã cho tương đương với: x 2 + 12 − 4 = 3x − 6 + x 2 + 5 − 3
⇔

Do

x2 − 4
x 2 + 12 + 4
1



x+2
x+2
⇔ ( x − 2) 
−

− 3÷= 0
2
x2 + 5 + 3 
x2 + 5 + 3
 x + 12 + 4
1
x+2
x+2
⇒
−
< 0 nên x – 2 = 0.
2
2
2
x +5 +3
x + 12 + 4
x +5 +3

= 3( x − 2) +

x 2 + 12 + 4

<

x2 − 4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.
C) Vận dụng trong việc giải bất phương trình vô tỷ
Thường học sinh giải phương trình vô tỷ các em đã thấy rất khó khăn vì thế
khi gặp các bất phương trình vô tỷ thì các em hay lo ngại và dễ bỏ qua. Tuy

nhiên tôi đã hướng dẫn các em sử dụng các phương pháp giải và đạt được kết
quả cao.
MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1) Hai bất phương trình được gọi tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
2) Một số phép biến đổi tương đương:
+) Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức thì được một
bất phương trình mới tương đương.
+) Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức dương thì
được một bất phương trình mới cùng chiều với bất phương trình ban đầu.
+) Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức âm thì được
một bất phương trình mới ngược chiều với bất đẳng thức ban đầu.
PHƯƠNG PHÁP 1: Nâng lên lũy thừa hai vế.
Lưu ý: Khi làm các bài tập về bất phương trình ta cần chú ý tới điều kiện của
bài toán. Nếu điều kiện đơn giản có thể kết hợp vào bất phương trình, còn điều
kiện phức tạp nên để riêng.
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình x − 3 < 2 x −1
Giải: ĐKXĐ: x ≥ 3
Với x ≥ 3 thì 2x – 1 > 0. Bình phương hai vế ta có:
x – 3 < ( 2x – 1)2 < = > 4x2 – 5x + 4 > 0. Bất phương trình đúng với mọi x ≥ 3.
Vậy bất phương trình có nghiệm là x ≥ 3.
Như vậy trong ví dụ này khi lũy thừa hai vế ta luôn quan tâm đến ĐKXĐ để có
17


lời giải đơn giản hơn.
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình

x2 − x + 1 ≤ x + 3 .

Giải: Ta có x2 – x + 1> 0 với mọi x nên x 2 − x + 1 luôn có nghĩa

Lúc này học sinh dễ bình phương hai vế để làm mất căn thức mà quên cần có
thêm điều kiện vế trái luôn dương nên vế phải cũng luôn dương
Khi đó cần phải có thêm điều kiện x + 3 > 0 <=> x > – 3.
8
7

Bình phương hai vế ta có: x2 – x + 1 ≤ (x + 3)2 <=> x ≥ − .( Thỏa mãn x > –
3)
8
7

Vậy nghiệm của bất phương trình là: x ≥ − .
Ví dụ 3: Giải các bất phương trình

x + 4 − 1 − x ≤ 1 − 2x

(1).

1
2

Giải: ĐKXĐ: −4 ≤ x ≤ . Ta cần có hai vế của bất phương trình không âm trước
khi bình phương hai vế nên (1) ⇔ x + 4 ≤ 1 − 2x + 1 − x
⇔ x + 4 ≤ ( 1 − 2x + 1 − x ) 2 ⇔ 2x +1 ≤ 2x 2 − 3x +1

Đối với bất phương trình này học sinh thường quên mất điều kiện của 2x + 1.
Khi dạy giáo viên cần để học sinh làm và cần khắc sâu điều kiện này để không
bị mất nghiệm.
+) Nếu 2x + 1 < 0. Bất phương trình luôn thỏa mãn. (*)
+) Nếu 2x + 1 ≥ 0. Bình phương hai vế ta có: 2x2 – 3x + 1 ≥ ( 2x + 1)2

7
2

1
2

1
2

<=> 2x2 + 7x ≥ 0 <=> − ≤ x ≤ 0 Kết hợp với ĐK − ≤ x ta có − ≤ x ≤ 0 (**).
Từ (*); (**) và ĐKXĐ ta có nghiệm của bất phương trình là -4 ≤ x ≤ 0.
PHƯƠNG PHÁP 2: Đưa về bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Vận dụng kiến thức đưa biểu thức ra ngoài căn thức ta cần biến đổi các biểu
thức trong căn thức thành hằng đẳng thức.
Ví dụ : Giải các bất phương trình

x + 2 x −1 + x − 2 x −1 >

Giải: ĐKXĐ: x ≥ 1
(1) ⇔ x −1 + 2 x −1 + 1 + x −1 − 2 x − 1 + 1 >

3
2

(1).

3
2

3

3
⇔ x − 1 + 1 + x −1 −1 >
2
2
*Với x −1 −1 ≥ 0 ⇔ x −1 ≥ 1 ⇔ x ≥ 2 bất phương trình luôn đúng.
* Với x −1 −1 < 0 ⇔ x −1 < 1 ⇔ x < 2 mà x ≥ 1 nên 1 ≤ x < 2
3
3
Bất phương trình trở thành: x −1 +1 +1 − x −1 > ⇔ 2 > (luôn đúng).
2
2
⇔ ( x − 1 + 1) 2 + ( x − 1 − 1) 2 >

Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≥ 1
PHƯƠNG PHÁP 3: Đặt ẩn phụ
Trong phương pháp này học sinh cần quan sát kĩ các biểu thức chứa căn thức
18


và tìm mối quan hệ của nó với biểu thức nằm ngoài dấu căn từ đó có cách đặt
ẩn phụ một cách linh hoạt.
Ví dụ : Giải các bất phương trình
Giải: ĐKXĐ: x > 1; x < – 1
Đặt

x
x +1
−2
>3
x +1

x

(*)

1
x +1
3
2
= t (t > 0 ) bất phương trình trở thành: 2 − 2t > 3 ⇔ 2t + 3t −1 < 0
t
x

<=> ( t + 1)( 2t2 + t – 1) < 0 <=> 0 < t < 0,5.
Khi đó 0 <

x +1
4
< 0, 5 ⇔ − < x < −1 (Thỏa mãn ĐKXĐ).
x
3

4
3

Vậy nghiệm của bất phương trình là − < x < −1 .
PHƯƠNG PHÁP 4: Đưa về dạng bất phương trình tích.
Trong phương pháp này cần có kỹ năng phân tích thành nhân tử cao, linh hoạt.
Ví dụ: Giải các bất phương trình x − 1(3x 2 − x + 1) − 3x 3 − 1 ≥ 0 (1) .
Giải: ĐKXĐ: x ≥1 (*). Ta có x − 1 + 3x 2 x − 1 + x − 1 − x x − 1 − 3x 3 − x ≥ 0
⇔

⇔
⇔

(

(

) (

)

x − 1 x − 1 + 3x 2 + 1 − x x − 1 + 3x 2 + 1 ≥ 0
x −1 − x

)(

)

x − 1 + 3x 2 + 1 ≥ 0 ⇔

x − 1 − x ≥ 0 (do

x − 1 + 3 x 2 + 1 > 0 khi x ≥ 1 ).

x − 1 ≥ x ⇔ x − 1 ≥ x 2 ⇔ x 2 − x + 1 ≤ 0 (vô nghiệm).

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
PHƯƠNG PHÁP 5: Dùng bất đẳng thức
Trong phương pháp này ta cần vận dụng các bất đẳng thức phù hợp và linh
hoạt.

Ví dụ: Giải các bất phương trình

x− x
1 − 2( x 2 − 2 x + 1)

≥1

(2)

Giải: ĐKXĐ: x ≥ 1
Ta có: − 2( x 2 − 2 x + 1) = − x 2 + ( x −1)2 + 1 < 1 ⇒ 1 − 2( x 2 − 2 x + 1) < 0 .
Nên (2) ⇔ x − x ≤ 2( x 2 − 2 x + 1) ⇔ 2( x 2 − 2 x + 1) ≤ 1 − x − x
Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
2( x 2 − 2 x +1) = (1 +1) (1 − x ) 2 + x 2  ≥ 1 − x + x



1 − x ≥ 0

Dấu “ = ” xảy ra khi 1 − x = x ⇔ 

2
(1 − x) = x
3− 5
Vậy nghiệm của bất phương trình là x =
2

(3).

(4)

⇔x =

3− 5
2

PHƯƠNG PHÁP 6: Sử dụng biểu thức liên hợp.
Đối với giải phương trình vô tỷ khi dùng phương pháp này ta cũng đạt được
nhiều điều thú vị. Trong việc giải bất phương trình ta cũng có thể sử dụng một
cách hiệu quả. Khi dùng phương pháp này cần chú ý nhẩm với một số nghiệm
nguyên đơn giản; Chú ý tới các biểu thức nhân chia liên hợp.
19


Ví dụ: Giải các bất phương trình x 2 + 15 < 3x − 2 + x 2 + 8 (1)
Trong ví dụ này nếu biến đổi bằng các phương pháp trên thì vô cùng phức tạp.
Nếu quan sát ta có thể thêm bớt, nhóm các số hạng với nhau để xuất hiện nhân
tử chung từ việc nhẩm được khi x = 1 thì hai vể của bất phương trình bằng
nhau.
Giải:
⇔

Ta

có

(1)

⇔

x + 15 − x + 8 < 3x − 2 ⇔

2

2

x 2 + 15 − x 2 − 8

x 2 + 15 + x 2 + 8
7
2
< 3x − 2 (2). Từ (2) ta có 3 x − 2 > 0 ⇔ x > .
2
2
3
x + 15 + x − 8

< 3x − 2

* Mặt khác: (1) ⇔ x 2 + 15 − 4 < 3x − 3 + x 2 + 8 − 3

x +1
x +1 
<0
⇔ ( x − 1) 
−3−

2
2
x 2 + 15 + 4
x2 + 8 + 3
x

+
15
+
4
x
+
8
+
3


x +1
x +1
2
2
2
<
Lại có với x > thì x + 15 + 4 > x + 8 + 3 ⇔ 2
2
3
x + 15 + 4
x +8 +3
x +1
x +1
⇒
−
−3< 0.
2
2
x + 15 + 4

x +8 +3
Khi đó (3) ⇔ x − 1 > 0 ⇔ x > 1 . Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 1.
⇔

x2 −1

< 3( x − 1) +

x2 −1

(3)

Thường dùng cách giải tương tự cho bài toán : x 2 + a 2 < cx − d + x 2 + b 2 .
Lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉ rõ cho
học sinh phương pháp giải từng dạng toán, nên giải như thế nào cho hợp lý đối
với từng loại toán để được một bài toán đúng biến đổi đúng và suy luận có logic
tránh được các tình huống rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm. Trên cơ sở đó hình
thành cho học sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài toán về phương trình vô tỉ.
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Kết quả, đánh giá
Qua quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm đối với học sinh các lớp
tôi giảng dạy trong những năm qua (lớp 9E, 9F năm 2011 - 2012 và lớp 9C, 9G
năm 2015-2016, lớp 9C, 9B năm 2016 - 2017, lớp 9A, 9H năm học 2017 - 2018,
lớp 9A, 9H, 9K năm học 2018 - 2018) đã cho thấy kết quả rõ rệt.
- Các em tự tin khi giải phương trình vô tỉ.
- Biết lựa chọn phương pháp phù hợp sao cho ngắn gọn, dễ hiểu.
- Khắc phục các lỗi khi giải phương trình cũng như khi làm toán.
- Khả năng tư duy logic các vấn đề trong đời sống hằng ngày cũng như trong các
bài toán được cải thiện rất nhiều.
- Học sinh có hứng thú học tập, tích cực trong học toán.

- Qua khảo sát học kỳ I, kiểm tra chương I kết quả có nhiều khả quan như sau:
Số học sinh yêu thích môn đại số
Số học sinh giải tốt phương trình vô tỉ
Trước khi vận Sau khi vận Trước khi vận Sau khi vận dụng
dụng đề tài
dụng đề tài
dụng đề tài
đề tài
45/75 học sinh
65/75 học sinh
20/75 học sinh 55/75 học sinh
2.4.2. Tính ứng dụng của đề tài

20


Phương pháp nghiên cứu đề tài này được vận dụng với các giờ đại số nói
chung, giờ luyện tập toán nói riêng và có thể áp dụng vào các môn học khác.
Giáo viên có thể dùng làm tài liệu giảng dạy, nâng cao trình độ chuyên
môn đặc biệt trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi vòa lớp 10 PTTH. Nếu
được cho phép, có thể thực hiện một chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán cho
học sinh.

Phần 3: KẾT LUẬN
3.1. Kết luận.
Sau khi nghiên cứu và áp dụng sáng kiến kinh nghiệm học sinh đã rèn
luyện tốt kĩ năng giải phương trình. Nhằm mục đích bồi dưỡng và phát triển kĩ
năng vừa bền vững, vừa sâu sắc, phát huy tối đa sự tham gia tích cực của người
học. Đề tài này khắc sâu nhiều kiến thức, trong đó có nhiều kiến thức mở rộng,
nâng cao giúp học sinh có tầm nhìn xa hơn về phương trình, hiểu rõ nguồn gốc

của nó. Là cầu nối kiến thức giữa các loại phương trình đã học (từ cấp tiểu học
đến cấp THCS), là nền tảng để nghiên cứu các dạng phương trình khác ở cấp
PTTH, đại học, cao đẳng. Đề tài còn tác động đến việc phát triển tiềm lực trí
tuệ, nâng cao năng lực tư duy độc lập và khả năng tìm tòi, sáng tạo cho học sinh.
Ngoài ra đề tài cũng giúp các bài tập môn khác như: vật lí, hóa, sinh... một cách
linh hoạt, sáng tạo hơn.
3.2. Kiến nghị.
Những sáng kiến kinh nghiệm hay trong thành phố, Phòng Giáo dục nên tổ
chức hội thảo cho giáo viên trong thành phố học tập và áp dụng những sáng kiến
đó để nâng cao chất lượng dạy và học.
Trong quá trình làm đề tài này tôi đã cố gắng để phân dạng phương trình
vô tỷ nhằm áp dụng có hiệu quả nhất. Tuy nhiên trong quá trình thực hiện còn có
những thiếu sót, vướng mắc mong các đồng chí đồng nghiệp góp ý để hoàn thiện
đề tài tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiếm kinh nghiệm của mình không sao chép
nội dung của người khác.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
Thanh Hóa, ngày 24 tháng 3 năm 2019
ĐƠN VỊ
CAM KẾT KHÔNG COPY
Người viết

Bùi Thị Hiền
21


TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa, sách bài tập toán 9.
- Toán nâng cao và phát triển toán 9 – Vũ Hữu Bình.

- Các chuyên đề chọn lọc toán 9 – Tôn Thân, Phạm Thị Lệ Hằng, Nguyễn
Đức Trường.
- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9 – Bùi Văn Tuyên.
- Tài liệu chuyên toán trung học cơ sở - Toán 9 – Đại số - Vũ Hữu Bình –
Nguyễn Ngọc Đạm – Nguyễn Bá Đang – Lê Quốc Hân – Hồ Quang Vinh.
- Rèn luyện tư duy qua việc giải toán - Nguyễn Thái Hòe
- Kinh nghiệm dạy toán và học toán - Vũ Hữu Bình.
- Phương pháp dạy học toán của trường phổ thông trung học cơ sở - Hoàng
Chúng.
- Báo toán tuổi thơ, toán học tuổi trẻ.
- Mạng Internet .

22


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP
LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI
TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Bùi Thị Hiền
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên - Trường THCS Trần Mai Ninh

TT
1.

Tên đề tài SKKN

- Phòng GD - Loại A
- Sở GD

- Loại B

2013 - 2014

- Phòng GD - Loại A
- Sở GD
- Loại B

2015 - 2016

học 7
Rèn luyện kỹ năng giải
phương trình vô tỉ cho học

3.

Năm học
đánh giá xếp
loại

Rèn luyện, phát triển tư duy
logic trong giờ luyện tập hình

2.

Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
giá xếp loại
xếp loại

(Phòng, Sở,
(A, B,
Tỉnh...)
hoặc C)

sinh lớp 9
Rèn luyện kỹ năng giải
phương trình vô tỉ cho học

- Phòng GD - Loại A
- Sở GD
- Loại C

2017 - 2018

sinh lớp 9

23