SKKN nâng cao kỹ năng giải bài toán hình học bằng phương pháp kẻ thêm đường phụ cho học sinh lớp 7,8

MỤC LỤC
Trang
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài

1

1.2. Mục đích nghiên cứu

1

1.3. Đối tượng nghiên cứu

1

1.4. Phương pháp nghiên cứu

1

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

1

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2

2.3. Các giải pháp và tổ chức để giải quyết vấn đề

2

2.3.1. Giải pháp

2

2.3.2. Tổ chức thực hiện

3

2.3.2.1 Phương pháp kẻ thêm đường phụ để tạo nên các hình rồi sử
dụng định nghĩa hoặc tính chất các hình để giải quyết bài toán.

3

2.3.2.2 Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết
các mối liên hệ để giải quyết bài toán

11

2.3.2.3. Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh
phản chứng

17

2.4. Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm

19

3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận

19

3.2. Kiến nghị

20


1. Mở đầu
1.1 Lí do chọn đề tài.
Ngày nay, việc nâng cao chất lượng dạy và học là vấn đề thường xuyên và
có tính chất liên tục. Để đạt được điều này, yêu cầu người giáo viên (GV) phải
có một phương pháp dạy phù hợp và hệ thống bài tập đa dạng, phong phú đối
với mọi đối tượng học sinh (HS).
Toán học là một trong những môn khó ở chương trình phổ thông, đặc biệt
là phân môn Hình học. Khi giải các bài tập hình học, đặc biệt là các bài tập hình
học cần kẻ thêm đường phụ là yêu cầu khó đối với HS THCS. Song sẽ không
khó nếu HS nắm vững được kiến thức cơ bản, cũng như hiểu được các phương
pháp giải bài tập. Thông qua một số phương pháp giải các bài toán hình có kẻ
thêm đường phụ chắc chắn các em HS sẽ hiểu kĩ hơn, sâu sắc hơn, hứng thú hơn
về phương pháp giải loại toán này. Từ đó là nền tảng cho các em trong quá trình
giải các bài tập hình ở mức độ cao hơn, phức tạp hơn.
Thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung cho việc kẻ thêm
đường phụ khi giải các bài toán hình học. Vì thế, khi giải các bài toán này đòi
hỏi người HS phải có một suy nghĩ lôgic sáng tạo, biết kết hợp nhiều kiến thức
cũ và mới một cách có hệ thống và tổng hợp. Từ đó có cách kẻ thêm những
đường phụ hợp lý để có thể đưa đến cách giải hay và độc đáo. Song công việc
này không thể tuỳ tiện, việc kẻ thêm đường phụ luôn phải tuân theo những bài
toán dựng hình cơ bản mà chúng ta đã biết.
Để tạo ra một đường phụ liên kết tường minh các mối quan hệ toán học

giữa giả thiết với kết luận bài toán đòi hỏi HS có sự sáng tạo, tìm tòi, biết phân
tích tổng hợp, tư duy... Vì vậy, khi giải một bài toán hình việc xác định phương
pháp là một trong những yếu tố quan trọng để tìm lời giải, điều đó đòi hỏi HS
phải có năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của hình học, cụ thể là hướng giải và
phương pháp giải.
Để làm được điều đó, người GV cần cung cấp cho HS đầy đủ hệ thống
kiến thức cơ bản, đặc biệt một số phương pháp giải các bài toán hình có kẻ thêm
đường phụ.
Với đề tài “Nâng cao kỹ năng giải bài toán hình học bằng phương pháp
kẻ thêm đường phụ cho học sinh lớp 7 ; 8”, tôi muốn góp phần tạo nên cơ sở để
các em học sinh học tốt loại toán hình có kẻ thêm đường phụ nói riêng và các
loại toán hình học nói chung.
1.2 Mục đích nghiên cứu.
Trang bị cho học sinh lớp 7 ; 8 một cách có hệ thống các phương pháp
dạng toán hình học có kẻ đường phụ, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận
dụng tốt dạng toán này.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Các bài toán dựng hình cơ bản
- Các bài toán trong chương trình THCS cần kẻ thêm đường phụ .
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu tài liệu
- Thu thập thông tin
- Điều tra khảo sát
- Thử nghiệm thực tế.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài toán
khó đối với với HS THCS. Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu

2

cầu HS nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi HS có kỹ năng giải toán và có sự
sáng tạo nhất định. Để tạo ra được một đường phụ liên kết tường minh các mối
quan hệ toán học giữa các giả thiết với kết luận của bài toán đòi hỏi phải thực
hiện các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt
hoá...
Việc kẻ đường phụ để giải toán, trong sách giáo khoa (SGK) đề cập đến
không đáng kể. Do thời lượng không cho phép nên việc làm các ví dụ về dạng
toán này ở trên lớp cũng không nhiều. Tuy nhiên, các bài tập trong SGK, SBT
lại đưa ra khá nhiều dạng toán này và đặc biệt là ở các bài tập nâng cao khi giải
thông thường cần phải kẻ thêm đường phụ.
Trên thực tế, đối với HS khi giải các bài toán dạng này cần phải có rất
nhiều thời gian nghiên cứu. Mà việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cách
giải bài toán có kẻ thêm đường phụ đối với HS còn rất ít. Mặt khác, đối với đa
số HS việc nắm vững về mục đích, yêu cầu khi kẻ các đường kẻ phụ cũng như
kiến thức về một số loại đường phụ còn rất hạn chế. Các tài liệu viết riêng về
loại toán này cũng ít nên việc tham khảo đối với HS còn gặp nhiều khó khăn.
Vì vậy với trình bày của đề tài này bản thân tôi mong muốn đó sẽ là một nội
dung tham khảo cho GV, HS để góp phần tạo nên cơ sở cho GV có thể dạy tốt
hơn, HS hiểu và làm tốt hơn các bài tập loại toán hình có kẻ thêm đường phụ.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong quá trình dạy môn toán nói chung, đặc biệt là phân môn hình học
nói riêng, tôi nhận thấy hầu hết các em HS không thích và rất ngại khi làm các
bài toán hình. Bởi vì các em thấy các bài toán dạng này rất khó, các em không
biết phương pháp giải và giải như thế nào. Chính vì thế đã làm tôi trăn trở rất
nhiều, là một GV trực tiếp dạy bộ môn toán tôi suy nghĩ là làm thế nào giúp các
em có được phương pháp giải các bài toán hình. Từ đó giúp các em khi gặp các
bài toán hình các em không còn ngại nữa mà trở nên ham thích, say mê và hứng
thú hơn trong việc tìm ra lời giải hay, ngắn gọn và đơn giản nhất.

Trước khi đưa vào thực hiện sáng kiến này, tôi đã tiến hành điều tra về
hiểu và có kỹ năng giải bài toán hình có lời giải kẻ thêm đường phụ đối với HS
khối 7, 8 tại trường THCS tôi trực tiếp giảng dạy cuối năm học 2016 - 2017:
Kết quả thu được như sau:
Khối
lớp

Tổng
số HS

7
8

54
58

Số HS giải thành thạo
Số lượng

Tỉ lệ %

4
5

7,4
8,6

Số HS giải chưa
thành thạo
Số lượng

Tỉ lệ %

13
15

24,1
25,9

Số HS không
biết giải
Số lượng
Tỉ lệ %

37
38

68,5
65,5

Qua kết quả trên tôi nhận thấy rằng: số HS chưa biết làm, còn lúng túng,
lơ mơ chưa giải quyết được các bài toán hình có kẻ thêm đường phụ là rất lớn,
trong khi đó chỉ một số rất ít các em biết giải thành thạo đối với dạng toán này.
Từ thực tế trên, bản thân tôi là GV trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán tại
trường THCS luôn trăn trở làm thế nào để cuốn hút các em HS vào môn học này
và tạo cho các em tâm lí vững vàng, không sợ khó, không ngại học khi phải giải
các bài toán Hình học. Và SKKN “Nâng cao kỹ năng giải bài toán hình học
bằng phương pháp kẻ thêm đường phụ cho học sinh lớp 7 ; 8” là một phương
pháp mà bản thân tôi muốn đưa ra để chúng ta cùng áp dụng nhằm nâng cao chất
lượng dạy - học đối với phân môn Hình học nói riêng và bộ môn Toán học nói
chung.

2.3. Các giải pháp và tổ chức để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Các giải pháp.

3


2.3.1.1 Các yêu cầu khi kẻ (dựng) các đường phụ.
a. Kẻ đường phụ phải có mục đích.
Đối với một số bài toán hình để giải được chúng ta cần phải kẻ thêm
đường phụ. Vì thế kẻ đường phụ phải giúp được cho việc chứng minh bài toán.
Muốn vậy nó phải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tương tự hoá, dự đoán
logic theo một mục đích xác định là gắn kết được mối quan hệ của kiến thức đã
có với điều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm.
Nếu kẻ đường phụ không giúp ích cho việc chứng minh thì nó sẽ làm cho
hình vẽ rối thêm, dẫn đến làm khó thêm việc tìm ra lời giải đúng. Vì vậy, khi
tiến hành kẻ đường phụ phải luôn đặt ra câu hỏi: "Kẻ đường phụ này có đạt
được mục đích mình yêu cầu không ?”
b. Các đường phụ phải là các đường có trong phép dựng hình cơ bản và
phải xác định được.
2.3.1.2. Một số loại đường phụ thường được sử dụng trong giải toán
hình học ở THCS.
- Kéo dài một đoạn thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý.
- Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm đã xác định.
- Từ một điểm cho trước dựng đường thẳng song song với đường thẳng
cho trước.
- Từ một điểm cho trước dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng
cho trước.
- Dựng đường phân giác của một góc cho trước.
- Dựng một đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với một
đường thẳng khác một góc bằng góc cho trước.

2.3.1.3.Các phương pháp sử dụng đường phụ và phân dạng các loại
toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ.
* Các phương pháp sử dụng đường phụ.
- Kẻ thêm đường phụ để tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc tính
chất các hình để giải quyết bài toán.
- Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối liên
hệ để giải quyết bài toán.
- Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng.
* Phân dạng các loại toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng một nửa hay gấp hai lần
đoạn thẳng cho trước.
Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng tổng (hiệu) hai đoạn thẳng
xác định.
Dạng 4: So sánh hai đoạn thẳng hoặc tổng (hiệu) hai đoạn thẳng.
Dạng 5: Tính số đo đoạn thẳng.
Dạng 6: Tính số đo góc.
2.3.2. Tổ chức thực hiện.
2.3.2.1. Phương pháp kẻ thêm đường phụ để tạo nên các hình rồi sử
dụng định nghĩa hoặc tính chất các hình để giải quyết bài toán.
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
* Một trong những cách chứng minh hai đoạn thẳng
bằng nhau là ta có thể tạo ra các hình rồi sử dụng định
nghĩa hay tính chất các hình để giải quyết bài toán.
µ =C
µ . Chứng minh: AB =AC.
Bài 1: Cho ∆ ABC, có B
* Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi cho ta nghĩ đến
việc kẻ thêm đường phụ như thế nào? Để chứng minh

4


được AB = AC gợi cho ta nghĩ ngay đến việc kẻ thêm đường phụ sao cho AB và
AC là 2 cạnh của 2 tam giác nào đó, rồi chứng minh 2 tam giác có chứa 2 cạnh
đó bằng nhau.
- Cách 1:Kẻ thêm đường phụ: Qua A kẻ tia phân giác AI của góc BAC (I
∈ BC).
+ HD chứng minh : Ta có thể chứng minh AB = AC
bằng cách chứng minh : ∆ ABI = ∆ ACI
Để chứng minh ∆ ABI = ∆ ACI ta chỉ cần chứng minh :
·
·
.
AIB
= AIC

Đến đây HS dễ dàng chứng minh được bài toán.
* Ta có thể kẻ thêm đường phụ bằng cách khác:
- Cách 2: Qua A kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC).
A
+ HD chứng minh : Ta có thể chứng minh AB = AC
bằng cách chứng minh : ∆ ABH = ∆ ACH
Để chứng minh ∆ ABH = ∆ ACH ta chỉ cần chứng minh :
·
·
.
BAH
= CAH
·

·
Để chứng minh : BAH
ta dựa vào kiến thức tổng
= CAH
C
B
H
ba góc trong tam giác. Từ đó, ta giải quyết được bài toán
Kết luận: Như vậy, cũng từ cùng một đường phụ kẻ thêm nhưng do cách
dựng khác nhau nên dẫn đến các cách chứng minh cũng khác nhau. Tuy nhiên,
ta nên lựa chọn cách nào nhanh và đơn giản nhất, Và trong hai cách trên ta nên
chọn cách 1.
Bài 2. Cho ∆ ABC, vẽ AH vuông góc với BC (H ∈ BC). Trên nửa mặt
phẳng bờ AH có chứa điểm B, dựng AD ⊥ AB sao cho AD = AB. Trên nửa mặt
phẳng còn lại dựng AE ⊥ AC sao cho AE = AC. Nối D
với E, AH cắt DE ở M. Chứng minh MD = ME.
* Phân tích: Từ kết luận của bài toán, hình cần tạo ra
là hình nào để từ đó có thể giải được bài toán?.
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Từ D hạ DK ⊥ AH (K∈ AH).
- Từ E hạ EN ⊥ AH (N∈ AH).
+ HD chứng minh:
- Để chứng minh DM = ME ta chứng minh ∆ KDM =
∆ NEM.
- Để chứng minh ∆ KDM = ∆ NEM. Ta cần chứng minh
·
DK = EN, KDM
= ·NEM ( so le trong).
- Để chứng minh DK = EN ta chứng minh :
∆ HAB = ∆ KDA ( cạnh huyền - góc nhọn).

Và ∆ HAC = ∆ NEA ( cạnh huyền - góc nhọn).
Kết luận: Như vậy bằng cách kẻ thêm đường phụ DK và EN ta có thể giải bài
toán dễ dàng.
* Bài tập tự luyện
µ C
µ cắt nhau ở I và
Bài 1: Cho ∆ ABC có Â = 600. Các tia phân giác của B,
cắt AC, AB theo thứ tự ở D và E.
Chứng minh: a. ID = IE.
b. BE + CD = BC
·
Gợi ý: Kẻ tia phân giác BIC
cắt BC tại K ( K ∈ BC )
Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng một nửa hay gấp hai
lần đoạn thẳng cho trước.

5


* Chứng minh một đoạn thẳng có độ dài bằng nửa độ dài đoạn thẳng khác
hoặc đoạn này gấp hai lần đoạn thẳng cho trước ta có thể:
Cách1: Chia đôi đoạn thẳng dài rồi chứng minh trong hai đoạn thẳng này
bằng đoạn thẳng ngắn.
Cách2: Gấp đôi đoạn thẳng ngắn được đoạn thẳng mới và chứng minh
đoạn thẳng này bằng đoạn thẳng dài.
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có góc  =
o
120 . Tia phân giác của góc D đi qua trung điểm I của
cạnh AB. Kẻ AH ⊥ CD. Chứng minh AH =

1
DI.
2

1
DI gợi ý cho ta
2
1
nghĩ đến việc tạo ra đoạn thẳng nào đó trên DI sao cho đoạn thẳng đó bằng
2

* Phân tích: Từ kết luận của bài toán để chứng minh AH =

DI.
Từ sự phân tích trên ta đi đến kẻ thêm đường phụ nào?
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Qua A dựng AM ⊥ DI (M ∈ DI).
+ HD chứng minh: Để chứng minh AH =

1
DI.
2

Ta cần chứng minh: AH = DM.
Vì ∆ ADI cân tại A ( hai góc đáy bằng nhau), mà AM là đường cao,
suy ra AM là trung tuyến ⇒ DM =

1
DI.
2

- Để chứng minh AH = DM ta chỉ cần chứng minh :
∆ ADM = ∆ ADH ( cạnh huyền - góc nhọn).
Đến đây HS dễ dàng chứng minh bài toán.
Bài 2: Chứng minh rằng: Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng
với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
- Đối với bài toán này GV cần gợi ý cho HS :
1
2

* Phân tích: Để chứng minh được AM = BC ta cần
phải chứng minh điều gì? Điều này gợi cho ta cần phải
chứng minh: AM=BM
hoặc AM=CM.
Vậy để chứng minh AM=BM( hoặc AM = CM). Ta phải chứng minh ∆ AMB
(hoặc ∆ AMC) là tam giác cân tại M.
1
2

Từ sự phân tích đó, để chứng minh AM = BM hay AM = MC ta cần kẻ thêm
đường phụ nào?.
+Kẻ đường phụ:
- Dựng E là trung điểm của AC .
- Dựng đoạn thẳng ME .
1
2

+HD chứng minh:Để chứng minh AM = BC
1
2

ta chứng minh AM=MC= BC

6


- Để AM=MC ta chứng minh ∆ AMC cân tại M (hoặc ME là đường trung
trực của AC).
Như vậy với việc kẻ thêm đường phụ ME. HS có thể chứng minh bài
toán một cách dễ dàng.
* Ta có thể kẻ thêm đường phụ bằng cách khác:
+ Kẻ đường phụ: Từ M dựng Mx // AB cắt AC tại E.
+ Kẻ đường phụ: Dựng đường trung trực ME của AC.
+ Kẻ đường phụ: Từ M dựng ME ⊥ AC (E ∈ AC).
GV lưu ý : Tuy cùng một đường phụ kẻ thêm nhưng do cách dựng khác
nhau nên dẫn đến các cách chứng minh cũng khác nhau.
* Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho ∆ ABC, lấy M là trung điểm BC. Trên nửa mặt phẳng không
chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax ⊥ AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AB.
Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC, vẽ tia Ay ⊥ AC, trên đó lấy điểm E
sao cho AE = AC. Chứng minh rằng:
a) AM =

1
DE.
2

b) AM ⊥ DE
Gợi ý: trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho MK = MA.
Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng tổng (hay hiệu) hai

đoạn thẳng xác định.
Bài 1: Chứng minh rằng “ Đường trung bình của hình thang song song
với hai đáy và có độ dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy”.
* Phân tích:Để hướng cho HS biết cách
kẻ thêm đường phụ thì GV cần phải phân tích
cho HS: Từ khái niệm“ đường trung bình” của
hình thang gợi cho ta liên tưởng đến định lí
tương tự nào trong tam giác? Liệu định lí đường
trung bình trong tam giác có thể sử dụng cho lời
giải bài toán này không?
Từ đó GV cho HS có suy nghĩ tìm cách đưa về tam giác để vận dụng kiến
thức đã có để chứng minh bài toán.
Vậy phương án kẻ thêm đường phụ cụ thể là gì?
+Kẻ thêm đường phụ:
- Dựng đoạn thẳng BN
- Kéo dài BN về phía N cắt CD tại E.
+ HD chứng minh:
GV: Đến đây đã xuất hiện được vấn đề
gì cần giải quyết?
Ta có được MN là đường trung bình
của ∆ BEC
1
1
EC. Mà EC =ED + CD. Nên MN = (ED + CD).
2
2
1
- Như vậy để chứng minh được MN = ( AB + CD) ta cần chứng minh AB =
2

Do đó MN =

ED.
- Để chứng minh AB = ED ta chứng minh ∆ ABN = ∆ DEN (g.c.g)
Kết luận: Việc kẻ thêm đường phụ BN cắt DC tại E là do suy nghĩ quy về
việc sử dụng định lí về đường trung bình của tam giác (kiến thức đã có) để giải
bài toán. Đoạn thẳng CE tạo được bằng tổng hai đáy của hình thang (phù hợp

7


với mục đích tính chất). Như vậy đối với bài toán này nếu không dùng phương
pháp kẻ thêm đường phụ thì việc tìm lời giải trở nên khó khăn hơn nhiều.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân (Â = 90o). Lấy một
điểm M tuỳ ý trên cạnh BC (M khác B và C).
Chứng minh rằng: MB2 + MC2 =2 MA2
* Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi cho ta liên
tưởng đến định lý Py-ta-go
Từ đó ta suy nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ sao cho
MB và MC là hai cạnh của tam giác vuông nào đó.
Từ sự phân tích trên ta đi đến việc kẻ đường phụ như thế nào ?
Đến đây HS có thể tự tìm ra cách kẻ đường phụ và hướng chứng minh.
+ Kẻ đường phụ :
- Từ M, dựng MN ⊥ AB (N ∈ AB).
- Từ M, dựng MP ⊥ AC (P ∈ AC).
+ HD chứng minh:
Từ việc kẻ thêm đường phụ ta có:
- Để chứng minh MB 2 + MC 2 =2 MA2 ta cần chứng minh
MB 2 + MC 2 =2(MN 2 +NA 2 ).
Hay ta cần phải chứng minh

MB 2 = 2 MN 2
MC 2 = 2 NA 2
Đến đây ta chỉ cần áp dụng định lý Pitago đối với tam giác vuông cân
NMB tại N.
MB 2 = NB 2 +MN 2 = 2 MN 2
Áp dụng định lý Py-ta-go đối với ∆ vuông cân PMC tại P.
MC 2 = PM 2 + PC 2 = 2 MP 2
Đến đây HS chỉ cần chỉ ra MP = NA (tứ giác ANMP là hình chữ nhật).
Và dễ dàng suy ra điều cần chứng minh.
Kết luận: Như vậy để có thể giải được bài toán hình ta cần chú ý đến
phương pháp kẻ thêm đường phụ.
Đối với việc kẻ đường phụ là rất cần thiết khi giải một bài toán hình, do
đó cần phải xác định và phân tích đề bài thật tốt để định hướng cho việc kẻ
đường phụ. Kẻ đường phụ phải có mục đích thì mới giúp cho việc giải các bài
toán đi đến giải nhanh và đơn giản.
* Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho đường thẳng AB, O là trung điểm của AB. Trên cùng một nửa mặt
phẳng bờ AB vẽ các tia Ax, By vuông góc với AB. Gọi C là một điểm thuộc tia
Ax, đường vuông góc với OC tại O cắt tia By ở D. Chứng minh: CD = AC + DB
Gợi ý: kéo dài CA về phía A, OD về phía O cắt nhau
tại K
Dạng 4: So sánh hai đoạn thẳng hoặc tổng (hiệu)
hai đoạn thẳng.
Bài 1: Cho ∆ ABC có AB < AC. AD là là tia phân
·
giác của BAC
(D ∈ BC). Chứng minh rằng: CD > BD.
* Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi cho ta suy
nghĩ cần tạo ra một tam giác mà hai cạnh có độ dài bằng
BD; CD.

Từ đó có thể so sánh các góc đối diện với hai cạnh ấy.
Đến đây ta có thể kẻ thêm đường phụ nào ?
*Kẻ đường phụ:
- Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB.

8


Ta được ∆ DEC đạt được theo yêu cầu trên. Vậy điểm E là yếu tố phụ cần
vẽ thêm để giúp ta giải quyết được bài toán này.
* HD chứng minh:
 BD = DE
CD > DE

- Để chứng minh CD > BD ta cần chứng minh 

(CD và DE ·ACE ∆ DEC).
·
Do vậy để chứng minh CD > DE ta chứng minh DEC
> ·ECD .
·
Đến đây có thể dễ dàng chứng minh DEC
> ·ECD dựa vào mối quan hệ góc
ngoài của tam giác.
Bài 2:Cho ∆ ABC ( AB = AC) ,
A
·
·
D là điểm bất kỳ trong tam giác sao cho ADB > ADC .
Chứng minh rằng DC > DB.

Tương tự như bài toán trên, ta tìm cách tạo ra tam giác
có hai cạnh có độ dài bằng DC; DB.
D
Như vậy ta cần kẻ thêm đường phụ nào ?
B
C
* Kẻ thêm đường phụ.
- Vẽ tia Ax trên nửa mặt phẳng bờ AC không
·
·
chứa điểm B sao cho CAx
= BAD
- Trên tia Ax lấy điểm E sao cho AE = AD
* HD chứng minh :
- Để chứng minh DC >DB ta cần chứng minh
DC > EC ( EC =BD vì ∆ DAB = ∆ EAC ( c.g.c).)
·
·
- Để DC > EC ta chứng minh DEC
.
>EDC
·
·
- Để chứng minh DEC >EDC ta chỉ cần chứng
minh
·
·
·
·
.

AEC
- AED
> ADC
- ADE
·
·
·
·
Đến đây HS dễ dàng chứng minh vì AEC
và ADE
.
> ADC
= AED
Kết luận: Nhờ có kẻ thêm đường phụ dẫn đến việc giải quyết bài toán
một cách đơn giản.
Bài 3. Cho ∆ ABC, M là điểm trên tia phân giác ngoài của góc C.
Chứng minh rằng: MA + MB > AC + BC.
* Phân tích: Từ kết luận của bài toán ta
suy nghĩ tạo ra các đoạn thẳng bằng nhau, và dựa
vào quan hệ các cạnh trong tam giác. Vậy đường
phụ cần kẻ là đường nào ?.
+ Kẻ thêm đường phụ :
Qua A, dựng đường thẳng vuông góc với
MCcắt BC tại D.
Từ cách dựng ta chứng minh được AC =
CD; MA= MD.
Xét ∆ MBD có MD+MB>BD (Bất đẳng
thức tam giác). Mà BD = CD + BC nên từ đó ta
chứng minh được
MA + MB > AC + BC.

* Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho ∆ ABC có AC > AB. Tia phân giác của  cắt
BC ở D, điểm E trên đường thẳng AD
Chứng minh: AC - AB > EC - EB
Gợi ý: Trên cạnh AC lấy điểm P sao cho AP = AB

9


Dạng 5: Tính số đo đoạn thẳng.
Bài 1: Cho ∆ ABC vuông tại A, AD là tia phân giác của góc BAC (D ·ACE
12 2
cm. Tính độ dài đoạn thẳng BD.
7
* Phân tích:Từ giả thiết ∆ ABC vuông tại A, AD là tia phân giác của góc
·
·
BAC cho ta góc BAD
= 45o. Từ đó gợi cho ta nghĩ đến kiến thức định lý
= DAC

BC). Biết AB =3cm; AD =

Pytago, tam giác vuông cân để tạo ra một tam giác vuông sao cho có một cạnh là
BD và hai cạnh kia đã tìm được độ dài.
Từ phân tích trên ta có thể đường phụ nào?.
+ Kẻ đường phụ:
- Từ D dựng DE ⊥ AB (E ·ACE AB).
- Vậy DE là đường phụ cần vẽ thêm để giải bài toán.
+HD chứng minh:

- Để tìm được độ dài BD ta cần tính được
ED và BE.
- Tính ED dựa vào tam giác vuông cân
·
AED tại E vì có EAD
= 45o.
- Tính BE = AB - EA. Đến đây học có dễ
dàng tìm ra kết quả.
Bài 2: Cho ∆ ABCcó Â= 120o; AB = 4 cm;
AC= 6 cm.
Tính độ dài đường trung tuyến AM.
* Phân tích:Từ kết luận của bài toán, ta nghĩ đến định lý Pytago. Do vậy
phải tạo ra tam giác vuông sao cho có quan hệ với AM.
+ Kẻ đường phụ:
- Từ B hạ BH ⊥ AC (H∈ AC).
- Từ M hạ MK ⊥ AC (K∈ AC).
+ HD chứng minh:
- Để tính được AM ta cần phải tính được
AK và MK.
- Để tính được MK ta cần tính BH.
- Để tính được AK ta cần tính HA và
HK.
·
Từ cách dựng ta có ∆ ABH vuông tại H có BAH
= 600
Suy ra: AH =
⇒KM

=

AB
4
=
= 2 (cm). ⇒ BH = 2 3 (cm) (áp dụng định lý Pytago)
2
2

1
BH =
2

3 (cm).
1
2

Từ cách dựng ta có CH = HA + AC = 8 (cm). ⇒ HK = HC= 4 (cm).
Kết luận: Đến đây ta tính được AK = 2 (cm). Từ đó có tính được AM
một cách dễ dàng dựa vào định lý Pytago trong tam giác vuông AKM.
Dạng 6: Tính số đo góc.
Nhận thấy dễ dàng tính được số đo các góc của tam giác đều, tam giác
vuông cân, tính được các góc của tam giác cân khi biết được một góc
của nó, tính được các góc của tam giác vuông có một cạnh góc vuông
bằng nửa cạnh huyền. Song chúng ta vẫn cũng gặp không ít các bài
toán tính số đo góc phức tạp hơn nhiều. Chính điều này đòi hỏi sự
sáng tạo, phát hiện, ... đi đến việc kẻ thêm đường phụ hợp lý.

10


Bài 1: Cho ∆ ABC cân tại A, có Â = 20o. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD

·
= BC.Tính ACD
.
* Phân tích:Từ kết luận và giả thiết của bài toán.
·
Ta có BCA
- Â= 80o - 20o = 60o là góc của tam giác đều.
Từ đó gợi cho ta nghĩ đến dựng tam giác đều.
+ Kẻ dường phụ: Trên nửa mặt phẳng bờ BC cùng phía với A dựng tam giác
đều BEC.
- Dựng đoạn thẳng AE.
+ HD chứng minh:Bằng cách dựng tam giác đều BEC làm xuất
·
·
hiện ECA
= 20o. Suy ra ∆ ECA = ∆ DAC (c.g. c )
= DAC
·
·
⇒ CAE
.
= ACD
·
·
Ta dễ dàng tính được CAE
=10o. Do đó ACD
= 10o.
Đối với bài toán này ta có thể kẻ thêm đường phụ bằng cách khác:
- Vẽ tam giác đều ADE nằm ngoài ∆ ABC (H.1).
- Vẽ tam giác đều ACK nằm ngoài ∆ ABC (H.2).

Vẽ tam giác đều AFB (F và C cùng phía đối với AB )
(H.3)

Kết luận: Như vậy đối với một bài toán ta cũng có thể có nhiều cách kẻ
đường phụ khác nhau. Mỗi cách kẻ đường phụ, cho ta một cách chứng minh.Vì
thế ta nên lựa chọn phương pháp kẻ đường phụ nào mà dẫn đến cách chứng
minh dễ hiểu đơn giản và hay nhất.
Bài 2: Cho ∆ ABC, M là trung điểm của cạnh BC và AB = 6cm; AC = 10
·
cm AM = 4cm. Tính MAB
.

* Phân tích: Từ các chỉ số 6; 10; 4 gợi cho ta nghĩ đến định lý Pytago.
Vậy ta có thể nghĩ đến việc tạo ra một tam giác có các chỉ số các cạnh sao cho
bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia. Suy ra tam giác đó
là tam giác vuông ( định lý đảo của định lý Pytago). Từ kết luận của bài toán ta
có thể kẻ thêm đường phụ nào?.
+ Kẻ đường phụ:
- Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao
cho AM =MD
(M là trung điểm của AD).
+ HD chứng minh:
·
- Để tính MAB
ta có thể chứng minh ∆
ADB là tam giác vuông tại A.

·ACE

11

Ta có AB = 6cm; AD = 2AM = 8cm.
BD = AC ( ∆ AMC = ∆ DMB (c.g.c))
⇒ BD = 10cm ⇒ BD2 = 100.
Mà AB2 + AD2 = 100 ⇒ AB2 + AD2 = BD2.
Đến đây HS có thể chứng minh được ∆ ADB vuông tại A dựa vào định lý
·
đảo của định lý Pytago. Và từ đó có thể suy ra được số đo MAB
một cách dễ
dàng.
* Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho điểm E ∈ AC của tam giác đều ABC. Đường vuông góc AB kẻ
từ E cắt đường vuông góc với BC kẻ từ C tại D. Gọi K là trung điểm của AE.
Tính KBD
Gợi ý: Vẽ F đối xứng với D qua K, gọi H là giao điểm của AB và DE.
Bài 2: Cho ∆ ABC đều, một đường thẳng song song BC cắt AB, AC ở D
và E. Gọi G là trọng tâm của ∆ ADE, I là trung điểm của CD. Tính các góc của
∆ GIB.
Gợi ý: Qua C kẻ đường thẳng song song AB cắt DE tại K
2.3.2.2. Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết
các mối liên hệ để giải quyết bài toán.
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
* Một trong những cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau là tạo ra
đoạn thẳng thứ ba bằng cả hai đoạn thẳng đó.
Bài 1: Cho ∆ ABC ( AB < AC), từ trung điểm
M của BC kẻ đường vuông với tia phân giác của góc
A cắt tia này tại H, cắt AB tại D và AC tai E.
Chứng minh: BD = CE.
* Phân tích: Từ kết luận của bài toán muốn

chứng minh BD = CE ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng
thứ ba rồi chứng minh BD và CE bằng đoạn thẳng
thứ ba đó. Vậy ta cần nghĩ đến vẽ đường phụ nào?
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Qua B kẻ đường thẳng song song với
ACcắt DE tại F.
Như vậy BF là đoạn thẳng thứ ba đó.
+ Để chứng minh BD = CE ta chỉ cần
chứng minh BD = BF, CE = BF.
- Để CE=BF ta chứng minh
∆ MBF = ∆ MCE (g.c.g).
- Để BD = BF ta chứng minh ∆ BDF cân
tại B
·
·
( vì có BDF
.)
= BFD
Có thể kẻ thêm đường phụ bằng cách khác :
- Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt DE tại F. Ta chứng minh
tương tự.
Kết luận: Bằng cách vẽ đường phụ như trên HS có
thể chứng minh được bài toán.
µ = 60o .Hai tia phân giác
Bài 2 : Cho ∆ ABC có góc B
·
·
AD và CE của các góc BAC
và ACB
(D∈ BC; E ∈ AB ) cắt

nhau ở I.
Chứng minh IE = ID.
* Phân tích: Từ kết luận của bài toán. Đoạn thẳng
thứ ba cần kẻ sao cho bằng ID; IE là đoạn thẳng nào?

12


+ Kẻ thêm đường phụ:
- Trên cạnh AC dựng điểm F sao cho AF = AE .
- Nối F với I. Ta được IF là đoạn thứ ba cần vẽ.
+ HD chứng minh:- Để chứng minh ID = IE ta cần chứng minh IF = IE;
ID = IF.
- Để chứng minh IF = IE ta chứng minh ∆ IAE = ∆ IAF (c.g.c).
- Để chứng minh IF = ID ta chứng minh ∆ DIC = ∆ FIC (g.c.g).
Bằng cách vẽ thêm đường phụ IF, HS có thể chứng minh bài toán một cách dễ
dàng.
* Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho ∆ ABC cân tại A, Â= 1400. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa
·
điểm A, kẻ tia Cx sao cho ACx
= 1100. Gọi D là giao điểm của các tia Cx và
BA.
Chứng minh: AD = BC
·
Gợi ý: Kẻ tia CE ⊥ CD. Trên BC lấy điểm M, N sao cho BAN
= 400,
CAM = 400
Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng một nửa hay gấp hai
lần đoạn thẳng cho trước.

Bài 1: Cho ∆ ABC có BC = 2AB, M là trung điểm
của cạnh BC. D là trung diểm của BM. Chứng minh rằng
AC = 2AD.
* Phân tích: Từ kết kuận của bài toán để chứng
minh
AC = 2AD, ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng bằng 2AD.
Từ đó tìm cách chứng minh đoạn thẳng đó bằng đoạn thẳng AC. Từ việc phân
tích trên, việc vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào?.
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Trên tia đối của tia DA dựng điểm E sao cho
AD = DE.
+ HD chứng minh: Để AC =2AD ta cần
chứng minh AC= AE( AE = 2AD).
- Vậy để AC = AE ta chứng minh ∆ AME = ∆
AMC. Đến đây HS dễ dàng chứng minh:
AME = ∆ AMC (c.g.c).
·
·
Bài 2: Cho góc xAy
= 60o. Az là tia phân giác của xAy
. Từ điểm B trên Ax
vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C. Vẽ BD
vuông góc với Ay (D∈ Ay).

Chứng minh: BD =

1
AC.
2

Từ kết luận của bài toán, để chứng minh
BD =

1
AC ta cần phải tạo ra một đoạn thẳng
2

bằng hai lần đoạn BD sao cho đoạn thẳng đó bằng
AC.
Từ sự phân tích đó,ta có thể kẻ thêm đường phụ
nào ?.
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao
cho DF = DB.
+ HD chứng minh - Để chứng minh cho

13


1
2

DB = AC ta cần chứng minh BF = AC.
- Để BF = AC ta chứng minh ∆ ABF = ∆ BAC (g.c.g).
Đến đây HS chứng minh khá dễ dàng.
Kết luận: Việc kẻ thêm đường phụ giúp bài toán trở nên đơn giản hơn.
Vì thế GV phải hướng dẫn HS xác định việc kẻ thêm đường phụ nào đối với
dạng toán này là hợp lý để dẫn đến bài toán có lời giải.
Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng tổng hay hiệu hai đoạn
thẳng xác định.

Bài 1. Trên cạnh BC của ∆ ABC lấy các điểm
D,E sao cho BD = CE. Qua D và E vẽ các đường
thẳng song song AB cắt các cạnh AC ở F và G.
Chứng minh: DF + EG = AB.
* Phân tích: Từ kết luận của bài toán, ta có suy
nghĩ cần vẽ thêm một đường thẳng nào đó bằng tổng
hai đoạn thẳng đã cho, rồi chứng minh đoạn thẳng này
bằng doạn thẳng thứ ba.
Từ việc phân tích trên, ta có thể kẻ thêm đường
phụ như thế nào?
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Trên tia đối của tia DF lấy điểm M sao cho
DM = EG.
+ HD chứng minh - Để chứng minh FD + EG = AB ta cần chứng minh
FD + MD = AB.
- Để chứng minh FD + MD = AB ta cần chứng minh AB =FM.
- Để AB =FM ta chỉ cần chứng minh BM //AF (hai góc có vị trí so le
trong bằng nhau).
Đến đây HS dễ dàng chứng minh bài toán.
Kết luận:
Hoàn toàn tương tự có thể vẽ thêm điểm N trên tia đối EG sao cho EN = DF.
*Ta cũng có thể giải bài toán theo cách kẻ thêm đường phụ theo cách khác:
1) Vẽ một đoạn thẳng bằng hiệu của đoạn thẳng thứ ba và một trong hai đoạn
thẳng kia rồi chứng minh đoạn thẳng mới này bằng đoạn thẳng còn lại.
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho BI =EG.
+ HD chứng minh - Để DF + EG =AB ta chỉ
cần chứng minh AI+BI = AB.
Đến đây ta chỉ cần chứng minh AI = DF là
được. Và tương tự ta cũng có thể vẽ thêm điểm K

trên cạnh AB sao cho BK = DF.
2) Vẽ thêm một đoạn thẳng ‘bù thêm’ một
trong hai đoạn thẳng một cách thích hợp rồi
chứng minh đoạn thẳng mới này bằng đoạn thẳng
thứ ba và đoạn thẳng bù thêm bằng đoạn thẳng
kia.
+ Kẻ đường phụ :
- Qua A kẻ Ax//BC cắt DE tại P.
+ HD chứng minh Để DF + EG = AB ta
chứng minh AB = DP
Mà DP = DF + FP. Nên ta chỉ cần chứng minh
FP = EG.

14


Đến đây ta chỉ cần chứng minh ∆ APF = ∆ CEG (g.c.g)
Tương tự ta cũng thể vẽ thêm AQ//BC (Q ∈ EG) và cũng chứng minh
được: AB = DF + EG.
·
Bài 2 : Cho xOy
= 90o ; Oz là tia phân giác.
Trên tia Oz lấy điểm A, từ A kẻ AB ⊥ Ox, AC ⊥ Oy (B
∈ Ox ; C ∈ Oy). D là điểm tuỳ ý trên đoạn thẳng OB.
Nối A với D. Tia phân giác của góc CAD cắt Oy tại E.
Chứng minh: AD = CE + BD.
* Phân tích: Ta có thể chọn cách giải là tạo ra
đoạn thẳng có độ dài bằng CE + BD và cần chứng
minh đoạn thẳng đó bằng AD là xong.
Xuất phát từ suy nghĩ này yếu tố phụ cần kẻ ở đây là

gì ?.
+ Kẻ đường phụ:
Trên tia đối của tia BO lấy điểm F sao cho
BF = CE.
+ HD chứng minh: Để AD = CE +BD ta chỉ
cần chứng minh AD = BF + BD
Mà BF + BD = DF. Do đó chỉ cần chứng minh
AD = DF.
- Để chứng minh AD = DF ta cần chứng minh
∆ ADF cân tại D.
- Để chứng minh ∆ ADF cân tại D ta chứng
·
·
·
·
minh DAF
= DFA
. Đến đây HS có thể dễ dàng chứng minh DAF
= DFA
.
·
·
(Vì có ∆ CAE = ∆ BAF (c.g.c) suy ra CAE
= BAE
.
·
·
·
·
·

Lại có
+ BAF
= 90o. Có CAE
+ EAD
+ DAB
= 90o.
BFA
o
·
·
·
·
·
Hay EAD
+ BAF
+ DAB
= 90 suy ra DFA
= DAF
.)
Dạng 4: So sánh hai đoạn thẳng hoặc tổng (hiệu) hai đoạn thẳng.
Bài 1: Cho ∆ ABC và AB < BC. Đường phân
giác của B cắt AC tại D. Chứng minh rằng: DA< CD.
* Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi cho ta
suy nghĩ đến nội dung kiến thức nào đã có ?
Ta thấy CD và DA là hai cạnh của hai tam giác
BCD và BAD. Vậy ta có thể liên tưởng đến định lý về
quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác được không?
Liệu có thể áp dụng định lý quan hệ giữa góc và
cạnh đối diện trong một tam giác được không? và áp dụng vào tam giác nào? Từ
đó ta cần phải làm gì?

Bằng một số câu hỏi gợi mở cho HS. Đến đây để cho các em tự tư duy
nghĩ một cách tích cực, sáng tạo và có thể đi đến tự tìm đến lời giải.
Để làm được điều đó ta cần phải kẻ thêm đường phụ nào sao cho yếu tố
CD và DA có trong một tam giác.
Từ sự phân tích tổng hợp theo mục đích đề ra, ta đi đến việc kẻ thêm
đường phụ dựa trên cơ sở ∆ ABC và AB < BC và ta có thể dựng tam giác mới
bằng ∆ BCD như thế nào ?.
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Kéo dài BA về phía A, lấy một điểm E sao cho
BE = BC.
- Dựng đoạn thẳng DE; EC.
+ HD chứng minh - Từ cách dựng ta có ∆ BCD =
∆ BED (c.g.c) ⇒ CD=ED

15


- Từ việc chứng minh AD < CD ta đi đến chứng minh AD < ED. Và vì ED
và DA là các cạnh của ∆ ADE do đó điều cần chứng minh đến đây đã rõ ràng và
đơn giản hơn.
·
·
Từ việc chứng minh AD < DE. Ta suy ra chứng minh DEA
. Điều
< DAE
·
này khá dễ dàng vì DAE
là góc ngoài của ∆ ABC .
·
Bài 2: Cho ∆ ABC có AB > AC; AD là tia phân giác của BAC

( D ∈ BC).
M là điểm nằm trên đoạn thẳng AD .
Chứng minh rằng MB - MC < AB - AC.
* Phân tích: Từ điều cần chứng minh :
MB - MC < AB - AC và giả thiết AD là tia phân giác
·
của BAC
gợi cho ta suy nghĩ đến việc kẻ thêm đường
phụ nào sao cho từ các kiến thức đã học có mối quan hệ
với giả thiết và kết luận của bài toán.
Từ việc phân tích trên ta nghĩ đến việc kẻ thêm
đường phụ nào?
*Kẻ đường phụ:
- Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC.
Khi đó ta có: AB - AC = EB.
ME = MC ( ∆ AME = ∆ AMC ( c.g.c ))
∆ MEB cho ta MB - ME < EB.
Từ đó suy ra MB - MC < AB - AC .
Kết luận: Như vậy cũng có thể có lời giải bài toán
đơn giản bằng cách vẽ thêm đường phụ.
Dạng 5 : Tính số đo đoạn thẳng.
Bài 1: Cho ∆ ABC (AB = AC); µA = 300 ; BC = 2cm.
·
Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CBD
= 600 .
Tính độ dài AD.
* Phân tích: Để tính được độ dài AD, ta có thể nghĩ
tạo ra như thế nào để có được một đoạn thẳng bằng đoạn
thẳng AD mà có thể tính được độ dài của nó dựa vào các yếu
tố của bài toán đã cho.

·
Chẳng hạn: Từ ∆ ABC cân tại A; CBD
= 60 0 .
Từ đó ta suy nghĩ đến việc kẻ đường phụ nào?
+ Kẻ đường phụ:
- Dựng đường phân giác của góc A.
·
- Dựng điểm I thuộc tia phân giác A sao cho BIC
=1v.
+ HD chứng minh Đến đây từ việc tìm độ dài AD ta đi
chứng minh độ dài AD = BI.( độ dài BI là tính được).
- Để chứng minh được AD =BI ta chứng minh ∆ ADM = ∆
BIM (g.c.g) (M là giao điểm của BD và AI).
Từ đây có thể tính BI một cách dễ dàng BI =
Bài 2:

⇒ AD =

BC 2
=
2

2 (cm).

2 cm

Cho tam giác vuông cân ABC tại A, M là một điểm
nằm trong tam giác ABC sao cho MA = 2cm; MB = 3cm,
·
= 135o.

AMC
Tính độ dài đoạn thẳng MC.
* Phân tích:
·
Từ giả thiết bài toán: ∆ ABC có BAC
= 90o.
·ABC = ·ACB = 45o.

16


Ta có 135o = 90o + 45o.
Từ phân tích trên giúp ta nghĩ việc vân dụng kiến thức về định lý Pytago
và tam giác vuông cân để tạo ra một tam giác vuông sao cho có một cạnh là
MC và hai cạnh kia đã tìm được độ dài.
Từ phân tích trên ta có thể kẻ đường phụ như thế
nào ?
+ Kẻ đường phụ :
- Trên nửa mặt phẳng bờ AM không chứa điểm
B. Dựng ∆ ADM vuông cân tại A.
+ HD chứng minh Trong ∆ MCD vuông tại M
để tính được độ dài MC ta chỉ cần tính được MD và
DC.
- Tính MD dựa vào tam giác vuông cân AMD tại A có các cạnh góc vuông
AD = AM = 2cm
- Tính DC ta chứng minh DC = MB dựa vào ∆ ADC = ∆ AMB (c.g.c).
Như vậy nhờ việc kẻ thêm đường phụ mà HS có thể giải bài toán dễ dàng.
Dạng 6: Tính số đo góc.
Bài 1. Cho tam giác cân ABC (AB = AC) có Â=80o.
·

Gọi D là điểm nằm trong tam giác sao cho DBC
=10o ;
·
·
=30o. Tính số đo BAD
.
DCB
* Phân tích:Tam giác ABC (AB = AC), Â =80o suy ra
·ABC = ·ACB =50o.
·
·
·
Mà DBC
=10o; DCB
=30o cần tìm số đo BAD
.
·
Từ phân tích trên để tính được số đo BAC
ta cần phải
nghĩ đến việc vẽ tam giác đều.
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tam giác
đều BEC.
·
+ HD chứng minh: - Để tính được số đo BAD
ta cần tính
·
·
được ABD và ADB .
- Ta được ·ABD = ·ADB nếu có ∆ ABD cân tại B (BA= BD).

- Đến đây ta chỉ cần chứng minh BA = BD và HS có thể
chứng minh BA = BD một cách dễ dàng bằng cách chứng
·
minh ∆ EBA = ∆ CBD ( ·ABE = CBD
= 10o)
·
·
BE = BC ( ∆ BEC đều) , BEA
= BCD
= 30o).
Như vậy nhờ việc kẻ thêm yếu tố phụ mà HS đã đưa bài toán từ tưởng
chừng rất khó về bài toán đơn giản.
Bài 2: Cho ∆ ABC cân tại A có µA = 20o.
các điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC
·
·
·
sao cho BCM
= 50o, CBN
= 60o. Tính MNA
* Phân tích: Từ kết luận của bài toán, để tính được
·MNA ta cần phải tạo ra các góc sao cho có quan hệ với MNA
·
và giả thiết cho.
Từ đó ta có thể kẻ thêm đường phụ nào?.
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AN.
- Dựng các đoạn thẳng ND, CD, MI (I là giao điểm
của CD và BN).
+ HD chứng minh: Bằng cách dựng trên ta có DN//BC.

·AND = ·ACB = 80o.
·
·
Như vậy để tính MNA
ta cần tính được MNA

17


Ta có các tam giác BIC và tam giác DIN là các tam giác đều.
·
·
Để tính được DNM
ta cần chứng minh NM là tia phân giác DNI
.
Bằng cách chứng minh ∆ MDN = ∆ MIN. (1)
·
·
·
Vì: Ta đã có: MDI
= MDN
- NDI
=100o- 60o = 40o.
·
Ta cần tính MID
.
·
·
Ta có ∆ BCM cân tại B ( BMC
= BCM

= 50o)
⇒ BC = BM ⇒ BI = BM
·
·
·
⇒ ∆ BIM cân tại B có MBI
=20o ⇒ BIM
=80o ⇒ MID
= 40o (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ∆ MDI cân tại M, ⇒ MD = MI. ⇒ ∆ MDN = ∆ MIN (c.c.c).
·
Đến đây ta dễ dàng tính được MNA
= 30o + 80o = 110o.
2.3.2.3: Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp
chứng minh phản chứng.
* Phương pháp phản chứng là phương pháp chứng minh
gián tiếp, trong đó để chứng tỏ kết luận của bài toán là đúng, ta
chứng tỏ phủ định của kết luận là sai.
Bài 1. Chứng minh : “Nếu một đường thẳng cắt hai đường
thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau”.
* Phân tích: Từ kết luận của bài toán, bằng phương pháp
chứng minh phản chứng ta giả sử hai góc đồng vị đó không bằng nhau. Giả sử
µ
µ là hai góc đồng vị và µ
µ . Vậy ta cần vẽ thêm đường
A1 và B
A1 không bằng B
1
1
phụ như thế nào?.

+ Kẻ đường phụ:
- Qua B kẻ đường thẳng xy tạo với
đường thẳng c góc ·ABy = µA1 .

+ HD chứng minh Theo cách dựng ta có xy //a vì xy và a tạo thành hai
góc đồng vị bằng nhau.Nhưng qua B, theo tiên đề Ơclít chỉ có một đường thẳng
µ ⇒µ
µ
A1 = B
song song với a. Vậy đường thẳng xy ≡ b ⇒ ·ABy = B
1
1
Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu một tam giác có một góc bằng 300 và cạnh
đối diện với góc ấy bằng nửa một cạnh khác thì tam giác đó là tam giác vuông.
* Phân tích: Từ kết luận của bài toán, bằng phương pháp chứng minh
phản chứng ta chứng minh tam giác đó không vuông.
µ = 30o , AC= BC . Chứng minh BAC
·
- Xét ∆ ABC có B
= 90o .

2
o
·
Ta giả sử BAC ≠ 90 . Điều này gợi cho ta kẻ đường phụ như thế nào?

+ Kẻ đường phụ:
- Từ C dựng CH ⊥ AB. ( H ≠ A)
+ HD chứng minh
Cách 1: - Từ cách dựng ta có: HC < AC.Ta cần chỉ ra

được điều này mâu thuẫn với giả thiết.
µ = 30o nên CH = 1 BC.
- Tam giác vuông HBC có B
2

1
2

Mà AC= BC (gt)
⇒ CH = CA.Điều này mâu thuẫn với HC < AC (cách dựng). Điều giả sử trên

là sai.

18


·
Vậy BAC
phải bằng 90o ⇒ ∆ ABC vuông tại A.
Cách 2: - Theo cách dựng ta có:
µ = 30o suy ra CH = 1 BC.
Tam giác vuông HBC có B

2
1
µ = µA .
Mà AC = BC (gt) ⇒ CH = CA ⇒ ∆ AHC cân tai C ⇒ H
2

Vậy trong một tam giác không thể có hai góc cùng bằng 90 o điều giả sử

trên là sai. Vậy góc A phải bằng 90o.
µ = 60o ; BC = 1 AB.
Bài 3.: Tam giác ABC có B

Chứng minh: C¶ = 90o.

2

* Phân tích: Từ kết luận của bài toán, bằng
phương pháp chứng minh phản chứng ta giả sử ·ACB
≠ 90o.
Vậy kẻ đường phụ như thế nào ?.
+ Kẻ đường phụ:
- Từ A dựng AH ⊥ BC (H ≠ C).
+ HD chứng minh Từ cách dựng ta có ∆ AHB
µ = 60o (gt). Suy ra BAH
·
vuông tại H có B
= 30o, suy

ra BH =

1
AB ( từ kết quả bài 1)
2

Mà BC =

1
AB (gt)nên C ≡ H (mâu thuẫn).

2

Vậy ·ACB = 90o.
Bài 4.

∆ ABC có ba góc nhọn, các đường phân giác AD, đường trung tuyến BM

và đường cao CH đồng qui.
Chứng minh rằng: Â> 45o
* Phân tích: Từ kết luận của bài toán. Bằng
phương pháp chứng minh phản chứng : Giả sử Â ≤ 45o
Từ đó để chứng minh điều này ta cần kẻ thêm đường
phụ nào?
+ Kẻ đường phụ:
- Kẻ Hx là tia đối của tia HA.
- Trên tia Hx lấy điểm E sao cho HE = HA
- Qua O dựng đoạn thẳng EF (O là giao điểm của
AD, BM, CH.) (F ∈ AC).
- Dựng đoạn EC
+ Chứng minh:
·
·
≤ 45o
Từ HE = HA ⇒ ∆ CEA cân tại C ⇒ CEA
= CAE
o
Do đó ·ACE ≥ 90
·
·
Ta sẽ chứng minh rằng khi đó ACB

> ACE
·
Và đó là điều vô lí ( trái với giả thiết cho ACB
< 90 o)
Chứng minh điều này bằng cách chứng tỏ B ∈ tia Ex
Thật vậy: ∆ EAC có EA > EC (vì EA đối diện với góc lớn hơn). Mà EF là
AC
·
phân giác của AEC
(ba đường phân giác đồng qui). Suy ra AF > FC ⇒ AF >
.
2

19


Vỡ M l trung im ca AC (gt) nờn M nm gia A v F vỡ vy B Ex.
ã
ã
ã
ã
90o ACB
Do ú ACB
. M ACE
> 90o ( trỏi vi gi thit).
> ACE
Vy > 450.
2.4. Hiu qu sỏng kin kinh nghim
Qua thc nghim cỏc phng phỏp hng dn HS gii mt s bi toỏn
hỡnh7 ; 8 cú k thờm ng ph trờn 2 khi 7, 8 ti trng THCS m tụi trc

tip ging dy cui nm hc 2016 - 2017, kt qu thu c nh sau:
Kt qu kho sỏt cui nm hc 2016 - 2017:
Khi
lp

Tng
s HS

7
8

54
58

S HS gii thnh tho
S lng

T l %

4
5

7,4
8,6

S HS gii cha
thnh tho
S lng
T l %

13
15

24,1
25,9

S HS khụng
bit gii
S lng
T l %

37
38

68,5
65,5

Kt qu hc kỡ I nm hc 2017- 2018:
Khi
lp

Tng
s HS

S HS gii thnh tho
S lng

T l %

S HS gii cha

thnh tho
S lng
T l %

S HS khụng
bit gii
S lng
T l %

7
54
10
18,5
27
50
17
31,5
8
58
12
20,7
26
44,8
20
34,5
Qua kt qu trờn tụi nhn thy vic hng dn HS gii mt s bi toỏn hỡnh
7, 8 cú k thờm ng ph ó giỳp cho HS gii quyt c cỏc bi toỏn hỡnh m
lõu nay i vi cỏc em l mt vn nan gii.
Kinh nghim qua vic ging dy cỏc bi toỏn hỡnh cho thy HS cú c
nhng k nng gii bi toỏn hỡnh cú k thờm ng ph, GV phi hng dn HS

t mỡnh phõn tớch bi toỏn tỡm ra cỏch v ng ph phự hp nht cn v.
T ú, giỳp HS gii cỏc bi toỏn hỡnh khụng cũn khú khn. Nhng để nắm
vững đợc các bớc phân tích đòi hỏi học sinh phải có đầy đủ
kiến thức cơ bản, biết liên hệ các kiến thức tơng tự. õy l phn
rõt quan trng quyt nh n li gii ca bi toỏn. Bi l, nu quỏ trỡnh phõn
tớch rừ rng, c th, chớnh xỏc s giỳp HS d dng nhn ra ng ph. V cng
t ú giỳp cỏc em cú k c lp sỏng to ,phỏt huy tớnh t giỏc tớch cc trong
hc tp... hỡnh thnh cho cỏc em mt s phng phỏp k nng lm toỏn .
3. Kt lun v kin ngh
3.1. Kt lun:
Qua vic thc nghim dy cỏc bi toỏn hỡnh cú k thờm ng ph i
vi cỏc khi lp trng THCS bn thõn tụi thy: hu ht HS ó khụng cũn
quan nim vic k ng ph l mt cụng vic m GV mi lm c, cỏc em
ó cú th t lm, c bit cỏc em khụng phi mũ mm tỡm ra ng ph m
bng s phõn tớch bi v tng hp kin thc ó cú m ó t tỡm ra cho mỡnh
cỏch k thờm ng ph hp lý dn n vic tỡm ra li gii bi toỏn d dng
v n gin. Thm chớ cú nhng bi toỏn bng phng phỏp k thờm ng ph
m cho li gii hay hn, ngn gn hn. V cú th nh vic k thờm ng ph
m bi toỏn cho cỏc em nhiu cỏch gii khỏc nhau ng vi mi cỏch k thờm
ng ph khỏc nhau. t ú cỏc em cú th la chn mt cỏch d hiu nht,
ngn gn nht v hay nht trỡnh by.
c bit, i vi HS khỏ gii ó s dng linh hot phng phỏp k thờm
ng ph vo vic gii cỏc bi toỏn hỡnh khú, phc tp, cỏc em ó vn dng v
sỏng to hn trong quỏ trỡnh gii bi tp. iu ny giỳp cỏc em rt say mờ v
hng thỳ trong hc tp.

20


3.2. Kin ngh

Để giáo viên có cơ hội học hỏi kinh nghiệm của bạn bè
đồng nghiệp, rút kinh nghiệm cho bản thân trong quá trình
giảng dạy. Đề nghị Phòng giáo dục tổ chức những buổi sinh
hoạt ngoại khoá cho giáo viên, giới thiệu những sáng kiến hay, có
giá trị cho chúng tôi học tập.
XC NHN CA
TH TRNG N V

Th xuõn, ngy 23 thỏng 5 nm 2018
Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit,
khụng sao chộp ni dung ca ngi khỏc

Tỏc gi

Bựi Th Hin

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO
STT

TÊN TÁC GIẢ

NĂM
XUẤT
BẢN

TÊN TÀI LIỆU

NHÀ XUẤT
BẢN

1

Phan Đức Chính

2009

SGK toán 6

NXB Giáo dục

2

Phan Đức Chính

2009

SGK toán 7

NXB Giáo dục

3

Phan Đức Chính

2009

SGK toán 8

NXB Giáo dục

4

Phan Đức Chính

2009

SGK toán 9

NXB Giáo dục

5

Tôn Thân

2010

Sách bài tập toán 6

NXB Giáo dục

6

Tôn Thân

2010

Sách bài tập toán 7

NXB Giáo dục

7

Tôn Thân

2010

Sách bài tập toán 8

NXB Giáo dục

8

Tôn Thân

2010

Sách bài tập toán 9

NXB Giáo dục

22


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả:
Chức vụ :
Đơn vị công tác:

TT

Bùi Thị Hiền
Giáo viền
Trường THCS Tây Hồ

Tên đề tài SKKN
Rèn khả năng tư duy sáng tạo

1.

trong việc giải bài toán hình học
lớp 9 cho học sinh khá giỏi.
Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải tốt

2.

các dạng bài tập vận dụng định lí
Vi-Ét trong phương trình bậc hai.
Rèn khả năng vận dụng kiến thức

3.

để giải bài tập qua các tiết luyện
tập hình học phẳng lớp 9.

Cấp đánh
giá xếp loại
(Phòng, Sở,
Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)

Năm học
đánh giá xếp
loại

Phòng Giáo
dục Thọ
Xuân

Xếp loại
B

Năm học
2011 - 2012

Phòng Giáo
dục Thọ
Xuân

Xếp loại

C

Năm học
2014 - 2015

Phòng Giáo
dục Thọ
Xuân

Xếp loại
B

Năm học
2016 - 2017

23