SKKN hướng dẫn học sinh lớp 8 phân tích đa thức thành nhân tử theo định hướng nghiên cứu bài học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT NGỌC LẶC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 8 PHÂN TÍCH ĐA THỨC
THÀNH NHÂN TỬ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
BÀI HỌC

Người thực hiện: Phạm Thị Hằng
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Quang Trung
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2019


MỤC LỤC
1. Mở đầu...................................................................................................1
1.1. Lí do chọn đề tài.....................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu..............................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu:.........................................................2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.........................................................2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.....................................2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.........3
2.3. Các giải pháp đã sử dụng khi giải quyết vấn đề...........................4
2.4. Hiệu quả thực hiện:..............................................................11
3. Kết luận, kiến nghị..............................................................................11
3.1. Kết luận...............................................................................11

3.2. Kiến nghị.............................................................................12
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................14


1. Mở đầu.
1.1. Lí do chọn đề tài.
Là một giáo viên giảng dạy môn Toán học ở bậc THCS tôi nh ận th ấy:
Đổi mới phương pháp giảng dạy học nhằm nâng cao ch ất l ượng giáo d ục,
bồi dưỡng nhân tài góp phần thực hiện mục tiêu như Ngh ị quy ết 29NQ/TW ngày 4 tháng 11 năm 2013, Hội ngh ị Trung ương 8 khóa XI đã chỉ
rõ: “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, th ể ch ất, hình
thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi d ưỡng năng khi ếu,
định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao ch ất l ượng giáo d ục toàn
diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đ ức, lối s ống, ngo ại
ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến th ức vào th ực
tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuy ến khích học tập suốt đ ời ”.
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đ ường
duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay t ừ nhà tr ường
phổ thông.
Qua nghiên cứu các tài liệu và đặc biệt từ th ực tế vi ệc dạy, vi ệc h ọc
tại Trường THCS Quang Trung, bản thân tôi nhận thấy: Dạng toán phân
tích đa thức thành nhân tử là một dạng toán rất quan trọng của môn đại số
8 đáp ứng yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để h ọc sinh học tiếp các
chương sau này, nhất là khi học về rút gọn phân thức đại số, quy đ ồng
mẫu thức nhiều phân thức và việc giải phương trình. Dù mang nhi ều ý
nghĩa như vậy nhưng rất nhiều học sinh lớp 8 còn lúng túng khi g ặp bài
toán phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt đối với học sinh trung bình,
học sinh yếu. Đây là vấn đề mà các thầy cô giáo giảng dạy toán 8 và các
bậc phụ huynh đều rất quan tâm, lo lắng.
Xuất phát từ những lý do trên, cùng với những đòi h ỏi của xã h ội,
chất lượng dạy và học ngày càng phải được nâng cao, và bằng nh ững kinh

nghiệm dạy và học toán, tôi đã nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh
lớp 8 phân tích đa thức thành nhân tử theo định hướng nghiên cứu bài
học” với kỳ vọng góp một phần kinh nghiệm giảng dạy của mình v ề vi ệc
dạy học theo phương pháp mới, giúp học sinh học tốt h ơn các bài toán v ề
phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng và h ứng thú h ơn v ới b ộ môn toán
nói chung.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Nội dung trong đề tài cung cấp cho học sinh lớp 8 m ột cách có h ệ
thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho
học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa th ức thành nhân t ử, t ừ
3


đó hình thành cho các em các kĩ năng suy luận, biến đ ổi, nh ận d ạng
và thể hiện tốt lời giải bài toán vận dụng tốt dạng toán này.
Giúp các em học sinh thấy được vai trò của việc phân tích đa
thức thành nhân tử trong giải toán, từ đó giáo dục ý th ức h ọc tập c ủa
học sinh.
Tìm kiếm được nhiều tài liệu từ các nguồn khác nhau, nghiên
cứu kĩ càng các tài liệu để có thể sử dụng như một tài liệu tham
khảo phục vụ cho quá trình học tập và giảng dạy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Nghiên cứu các vấn đề để hướng dẫn học sinh lớp 8 phân tích
đa thức thành nhân tử theo định hướng nghiên cứu bài học.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu
- Phương pháp thu thập, sử lí thông tin .
- Phương pháp lập kế hoạch.
- Phương pháp phân tích, đánh giá, tổng hợp.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Nghị quyết TW 2 (Khóa VIII) khẳng định: “Phải đổi mới ph ương
pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối truyền th ụ một chi ều, rèn
luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học, từng b ước áp d ụng
các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình
dạy học đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học
sinh”.
Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định
số 16/2006/QĐ-BGD&ĐT ngày 5/5/2006 c ủa Bộ tr ưởng Bộ Giáo
dục và Đào tạo đã nêu: “ Phải phát huy tính tích cực, tự giác, ch ủ
động, sáng tạo của học sinh; phù hợp đặc trưng môn học, đặc đi ểm
đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi d ưỡng cho h ọc
sinh phương pháp tự h ọc; khả năng h ợp tác; rèn luyện kỹ năng vận
dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm
vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh”.
Theo phương hướng đổi mới phương pháp dạy học này, giáo
viên phải là người tổ chức, điều khiển; phát huy tính tích c ực ch ủ
4


động trong lĩnh hội tri thức Toán học của h ọc sinh; còn h ọc sinh là
chủ thể nhận thức, đòi hỏi phải có hứng thú trong học tập, từ đó
mới tích cực tự học, tự rèn luyện và có được các năng l ực cần thi ết
trong học tập cũng như trong lao động sản xuất.
Trong việc dạy và học bộ môn Toán giáo viên cần ph ải rèn cho
học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh ho ạt t ự tìm
tòi ra kiến thức mới, và không chỉ với các phương pháp cơ bản, thông
thường mà còn phải hình thành lên một số phương pháp khó hơn,
phải có những thủ thuật riêng đặc trưng t ừ đó giúp các em có h ứng
thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sáng tạo khi g ặp

các dạng Toán khó.
Vì vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh gi ải bài toán
phân tích đa thức thành nhân tử một cách nhanh chóng và chính xác.
Để làm được điều này thì người giáo viên cần phải xây dựng cho học
sinh kĩ năng quan sát, phân tích, tổng hợp bài toán. Tùy theo t ừng đ ối
tượng học sinh mà giáo viên xây dựng cách giải bài toán cho phù
hợp.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm.
Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán và tham khảo ý ki ến của
các đồng nghiệp, tôi nhận thấy: Khi đứng trước bài toán về phân
tích đa thức thành nhân tử các em chưa có khả năng nh ận dạng,
nhận định xem bài toán trên nên giải như thế nào, không biết áp
dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, hướng giải nào
là tốt nhất và trong quá trình phân tích các em còn gặp nhiều sai sót
trong lời giải cũng như cách trình bày.
Ví dụ: Phân tích đa thức x2 – 2x – 9y2 – 6y thành nhân tử. Một
số học sinh đưa ra lời giải sau.
x2 – 2x – 9y2 – 6y = (x2 – 9y2 ) – (2x – 6y ) (đặt dấu sai)
= (x + 3y)(x – 3y) – 2(x – 3y) (sai từ trên)
= (x – 3y)(x + 3y – 2)
(kết quả sai)
Hay trong ví dụ: Phân tích đa thức 15x 2y2 – 9x3y + 3x2y thành
nhân tử. Một số học sinh đưa ra lời giải sau.
9x2y2 – 15x3y + 3x2y = 3x2y.3y - 3x2y.5x + 3x2y
5


= 3x2y (3y - 5x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số 1)
Trong chương trình SGK Toán 8 giới thiệu ba phương pháp phân

tích đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân t ử chung, dùng h ằng đ ẳng
thức, nhóm các hạng tử nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên có
những bài tập học sinh sẽ gặp khó khăn trong quá trình giải.
Ví dụ: Bài 52a (SGK.Toán 8 tập 1). Phân tích đa th ức x 2 – 3x + 2
thành nhân tử. Với đa thức này ta không thể áp dụng ngay các
phương pháp đã học để phân tích. SGK hướng dẫn tách hạng tử - 3x
= - x – 2x hoặc tách 2 = - 4 + 6, t ừ đó đa th ức dễ dàng đ ược phân tích
tiếp. Vậy với các đa thức khác, có dạng tương tự ta làm nh ư th ế nào?
Kết quả thu được qua khảo sát kĩ năng vận dụng ba ph ương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử của HS kh ối 8 năm h ọc 2017 2018:
Kĩ năng đặt nhân tử
Kĩ năng dùng hằng
Kĩ năng nhóm các
chung.
đẳng thức.
hạng tử.
Lớp
(sĩ số)
Hs đạt
Tỉ lệ
Hs đạt
Tỉ lệ
Hs đạt
Tỉ lệ
yêu cầu
%
yêu cầu
%
yêu cầu
%

8A1(32 HS)
9
28,1%
7
21,9%
8
25%
8A2(34 HS)
9
26,5%
8
23,5%
7
20,6%
* Phân tích kết quả trên:
Kết quả khảo sát năm học 2017 - 2018 và năm h ọc 2018 2019 cho thấy: 55% các em HS khối 8 ch ưa có đ ược các kĩ năng c ần
thiết.
Qua đây cho thấy việc làm cho học sinh nắm vững ph ương
pháp để vận dụng kiến thức đã học vào giải toán là công việc rất
quan trọng và không thể thiếu được của người dạy toán. Vì thông
qua đó có thể rèn được tư duy logic, khả năng sáng tạo, khả năng
vận dụng cho học sinh. Để làm được điều đó thì theo tôi, giáo viên
phải cung cấp cho học sinh các phương pháp giải cụ th ể, chi tiết đ ể
học sinh hiểu được thực chất của vấn đề, phát hiện phương pháp
phù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau. T ừ đó giúp h ọc
sinh có các kĩ năng giải toán thành thạo, thoát khỏi tâm lí chán n ản,
hoang mang, dẫn đến sợ môn toán.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng khi giải quyết vấn đề
Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của
phép nhân đối với phép cộng (theo chiều ngược).

a. Phương pháp
6


+ Bước 1: Tìm hệ số của nhân tử chung là ƯCLN của các hệ số
nguyên dương.
+ Bước 2: Tìm biến (nếu có) của nhân tử chung: Biến có mặt
trong tất cả các hạng tử, với số mũ nhỏ nhất.
+ Bước 3: Xác định nhân tử chung: Lập tích của hệ số và biến
chung
+ Bước 4: Xác định các hạng tử trong ngoặc.
Nhằm đưa đa thức về dạng: A.B + A.C + …+ A.H = A.(B + C +…+
H)
b. Phân loại các dạng bài tập.
* Dạng bài chỉ đặt hệ số chung.
Ví dụ: (BT 39 a/SGK Toán 8 tập1/ Tr 19 )
Phân tích đa thức 3x – 6y thành nhân tử.
+ Giáo viên gợi ý: Ta xác định nhân tử chung như sau: Phần hệ
số là 3
(ƯCLN(3,6))
Giải:
Ta có: 3x – 6y = 3.(x – 6).
* Dạng bài chỉ đặt biến chung.
Ví dụ: (BT 39 b/SGK Toán 8 tập1/ Tr 19 )
2 2
x  5 x3  x 2 y
Phân tích đa thức 5
thành nhân tử.

là x

2

+ Giáo viên gợi ý: Ta xác định nhân tử chung như sau: Phần biến
Giải:
2 2
2
x  5 x3  x 2 y
 5x  y
Ta có: 5
= x2 ( 5
)

* Dạng bài đặt hệ số và cả đặt biến chung.
Ví dụ: (BT 39 d/SGK Toán 8 tập1/ Tr 19 )
2
2
.x  y  1  y  y  1
5
Phân tích đa thức 5
thành nhân tử.

+ Giáo viên gợi ý: Ta xác định nhân tử chung như sau:
2
Phần hệ số là: 5 ; Phần biến là: y -1

Giải:

2
2

2
.x  y  1  y  y  1
5
Ta có: 5
= 5 .(y - 1).(x – y).

* Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi
dấu các hạng tử.
Ví dụ: (BT 39 e/SGK Toán 8 tập1/ Tr 19 )
7


Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử.
+ Giáo viên gợi ý : Đổi dấu (x – y) thành (y - x) hoặc ngược lại
để xuất hiện nhân tử chung.
Phần hệ số là: 2 (ƯCLN(8,10)); Phần biến là: x – y.
Giải:
Ta có: 10x(x - y) - 8y(y - x) = 10x(x - y) + 8y(x - y)
= 2(x - y).5x + 2(x - y).4y = 2(x - y)(5x + 4y)
2.3.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Phương pháp dùng hằng đẳng thức có mục đích là để đưa m ột
đa thức về dạng tích, hoặc luỹ thừa bậc hai, bậc ba của một đa th ức
khác.
a. Phương pháp:
Các hằng đẳng thức thường dùng là:
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2. A2 - 2AB + B2 = (A - B)2
3. A2 - B2 = (A - B)(A + B)
4. A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3
5. A3 - 3A2 B + 3AB2 - B3 = (A - B)3

6. A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
- Để sử dụng được phương pháp này học sinh cần phải:
+ Nhận dạng hằng đẳng thức có thể phân tích qua số mũ các
hạng tử trong đa thức hoặc thông qua số hạng tử và các hệ số c ủa
các hạng tử đó. Có trường hợp cần thay đổi vị trí của các h ạng t ử đ ể
nhận dạng hằng đẳng thức dễ dàng hơn.
+ Phân tích đa thức theo dạng hằng đẳng thức đã chọn để xác
định nhân tử.
b. Phân loại các dạng bài tập.
* Dạng bài sử dụng hằng đẳng thức số 1: Bình phương
của một tổng.
Ví dụ: (BT 43 a/SGK Toán 8 tập1/ Tr 20)
Phân tích đa thức x2 + 6x + 9 thành nhân tử.
+ Giáo viên gợi ý:
Đa thức x2 + 6x + 9 thuộc dạng hằng đẳng thức A2 + 2AB + B2 =
(A + B)2.
Giải:
Ta có: x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2 . x . 3 + (3)2 = (x + 3)2
* Dạng bài sử dụng hằng đẳng thức số 2: Bình phương
của một hiệu.
Ví dụ: (BT 43 b/SGK Toán 8 tập1/ Tr 20 )
8


Phân tích đa thức 10x – 25 - x2 thành nhân tử.
+ Giáo viên gợi ý:
Đa thức 10x – 25 - x2 thuộc dạng hằng đẳng thức A2 - 2AB + B2
= (A - B)2.
Giải:

Ta có: 10x – 25 - x2 = - (x2 - 10x + 25) = - ((x)2 - 2.x.5 + (5)2) = (x - 5)2
* Dạng bài sử dụng hằng đẳng thức số 3: Hiệu hai bình
phương.
Ví dụ: (BT 43 d/SGK Toán 8 tập1/ Tr 20 )
1 2
x  64 y 2
Phân tích đa thức 25
thành nhân tử.

+ Giáo viên gợi ý:

1 2
x  64 y 2
25
Đa thức
thuộc dạng hằng đẳng thức A2 - B2 = (A - B)

(A + B)
Giải:

2

2
�1 �
1 2
x  64 y 2
� x �  8 y 
Ta có: 25
= �5 �
�1

�
�1
�
� x 8y �
� x  8y �
�
�5
�
= �5

* Dạng bài sử dụng hằng đẳng thức số 4: Lập phương của
một tổng.
Ví dụ: (BT 44 d/SGK Toán 8 tập1/ Tr 20)
3
2
2
3
Phân tích đa thức 8 x  12 x y  6 xy  y thành nhân tử.
+ Giáo viên gợi ý:

Đa thức 8 x  12 x y  6 xy  y thuộc dạng hằng đẳng thức:
A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3
Giải:
3

2

2

3


Ta có: 8 x  12 x y  6 xy  y =  
=
* Dạng bài sử dụng hằng đẳng thức số 5: Lập phương của
một hiệu.
Ví dụ: (BT 44 e/SGK Toán 8 tập1/ Tr 20)
3
2
Phân tích đa thức  x  9 x  27 x  27 thành nhân tử.
+ Giáo viên gợi ý:
3
2
Đa thức  x  9 x  27 x  27 thuộc dạng hằng đẳng thức:
A3 - 3A2 B + 3AB2 - B3 = (A - B)3
Giải:
9
3

2

2

3

2

2 x  3.(2 x) 2 . y  3.2 x. y 2  y 3

2x  y

3


3
2
 x 3  9 x 2  27 x  27 
Ta có:  x  9 x  27 x  27 = 

=



 x3  3.x 2 .3  3.x.32  33
  x  3



3

=
* Dạng bài sử dụng hằng đẳng thức số 6: Tổng hai l ập
phương.
Ví dụ: (BT 44 a/SGK Toán 8 tập1/ Tr 20)
Phân tích đa thức
+ Giáo viên gợi ý:
x3 

x3 

1
27 thành nhân tử.

1
27 thuộc dạng hằng đẳng thức:

Đa thức
A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
Giải:
1
x 
27 =
Ta có:
3

3

1�
3
 x  �
��
�3 � =

1�
� 1�
�2 1
�x  �
�x  x  �
9�
� 3�

� 3

* Dạng bài sử dụng hằng đẳng thức số 7: Hiệu hai lập
phương.
Ví dụ: (BT 43 c/SGK Toán 8 tập1/ Tr 20)
1
8 thành nhân tử.
Phân tích đa thức
1
8 x3 
8 thuộc dạng hằng đẳng thức:
+ Giáo viên gợi ý: Đa thức
8 x3 

Giải:

A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

2
3
� 2
1�
1 �1 ��
3
�1 � �
1
2
x

2

x

2
x
.

 
�
�
��
 2x  � � �
8x 
�
2 �
� 2�
�2 ��
2
�
�
�
�
8
Ta có:
=
=
1�
� 1�
� 2
4x  x  �
�2 x  �

�
4�
= � 2 ��
3

2.3.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
Phương pháp nhóm nhiều hạng tử có mục đích là lựa chọn các
hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện một
trong hai dạng sau là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng
thức.
a. Phương pháp:
- Bước 1: Phát hiện nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng th ức
trong đa thức
10


- Bước 2: Nhóm các hạng tử đã phát hiện lại để áp dụng
phương pháp hằng đẳng thức và nhân tử chung cho từng nhóm.
- Bước 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
b. Phân loại các dạng bài tập.
* Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung:
Ví dụ: (BT 47 b/SGK Toán 8 tập1/ Tr 22)
Phân tích đa thức xz + yz - 5(x + y) thành nhân tử.
+ Giáo viên gợi ý: Nhóm xz + yz và -5(x + y)
Giải:
Ta có: xz + yz - 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z - 5)
* Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng
thức.
Ví dụ: (BT 48 a/SGK Toán 8 tập1/ Tr 22)
Phân tích đa thức x2 + 4x – y2 + 4 thành nhân tử.

+ Giáo viên gợi ý: Nhóm x2 + 4x + 4 và - y2
Giải:
Ta có:
x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x + 4) – y2 = (x + 2)2 – y2 = (x + 2 – y)(x +
2 + y)
* Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:
Ví dụ: (BT 48 a/SGK Toán 8 tập1/ Tr 22)
2
2
2
Phân tích đa thức 3x  6 xy  3 y  3z thành nhân tử.

+ Giáo viên gợi ý: - Nhóm 3x  6 xy  3 y
- Đặt 3 làm nhân tử chung. Rồi sử dụng hằng đẳng thức số 1 và
2

số 3.

2

Giải:
2
2
2
2
2
2
Ta có: 3x  6 xy  3 y  3 z = 3.( x  2 xy  y )  3z
2
2

= 3.( x  y )  3z (Dùng hằng đẳng thức số

1)

2
3. �
 x  y  z2 �
�
�(Đặt nhân tử chung)
=
3.  x  y  z   x  y  z 

3)

=

(Dùng hằng đẳng thức số

2.3.4. Phương pháp: Phối hợp nhiều phương pháp.
Phối hợp nhiều phương pháp là sự kết hợp nhuần nhuy ễn
giữa các phương pháp: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức,
nhóm nhiều hạng tử.
a. Phương pháp:
11


Để p hối hợp nhiều phương pháp trên để phân tích đa th ức
thành nhân tử cần chú ý các bước sau đây:
+ Bước 1: Đ ặ t nhân t ử chung cho c ả đa th ức n ếu có th ể t ừ
đó làm đ ơn gi ản đa th ức.

+ Bước 2: Xem xét đa thức có dạng bằng đẳng thức nào
không ?
+ Bước 3: Nhóm nhiều hạng tử( thường mỗi nhóm có nhân t ử
chung, hoặc là hằng đẳng thức) nếu cần thiết ph ải đặt d ấu “-” tr ước
ngoặc và đổi dấu hạng tử.
b. Phân loại các dạng bài tập.
* Dạng bài kết hợp phương pháp đặt nhân tử chung và
hằng đẳng thức.
Ví dụ: (BT 51 a/SGK Toán 8 tập1/ Tr 24)
3
2
Phân tích đa thức x  2 x  x thành nhân tử.
+ Giáo viên gợi ý: Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung, rồi
dùng hằng đẳng thức số 2.
Giải:





3
2
x. x 2  2 x  1
x

2
x

x
Ta có:

=
(Đặt nhân tử chung)

x.  x  1

2

=
(Dùng hằng đẳng thức)
* Dạng bài kết hợp phương pháp nhóm hạng tử và h ằng
đẳng thức.
Ví dụ: (BT 51 c/SGK Toán 8 tập1/ Tr 24)
2
2
Phân tích đa thức 2 xy  x  y  16 thành nhân tử
+ Giáo viên gợi ý: Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử, rồi
dùng hằng đẳng thức số 3.
Giải:
2
2
16   x 2  2 xy  y 2 
Ta có: 2 xy  x  y  16 =
(Nhóm các hạng tử)

=

42   x  y 

2

(Dùng hằng đẳng thức)

=  4  x  y  .  4  x  y  (Dùng hằng đẳng thức)
*. Dạng bài kết hợp phương pháp đặt nhân tử chung,
nhóm hạng tử và hằng đẳng thức .
Ví dụ: (BT 51 b/SGK Toán 8 tập1/ Tr 24)
Phân tích đa thức 2 x  4 x  2  2 y thành nhân tử.
+ Giáo viên gợi ý: Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung,
nhóm hạng tử, rồi dùng hằng đẳng thức.
2

2

12


2
2
2. x  2 x  1  y 
Giải: Ta có: 2 x  4 x  2  2 y = 
(Đặt nhân tử
chung)
= 2.[(x2 +2x + 1) – y2] (Nhóm các hạng tử)
= 2.[(x + 1) 2 – y2] (Dùng hằng đẳng thức)
= 2.(x + 1 - y)(x + 1 + y)
2.3.5. Phương pháp tách hạng tử .
Việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất
hiện các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng h ằng
đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử.
a. Phương pháp:

Đối với đa thức có dạng ax2 + bx + c có thể thực hiện phương
pháp tách hạng tử bậc nhất hoặc hạng tử có giá trị không đổi (tự
do), cụ thể như sau:
- Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử .
Thực hiện các bước như sau:
+ Bước 1: Tìm tích 2 số a và c.
+ Bước 2: Tìm 2 số nguyên tố b 1 , b2 có tổng bằng b và có tích
bằng a.c.
Khi đó bx được tách thành 2 hạng tử bậc nhất b 1 x và b2x
Sau khi tách xong thì dùng phương pháp nhóm các h ạng t ử và
đặt nhân tử chung.
- Cách 2: Tách hạng tử không đổi (tự do) thành 2 hạng t ử r ồi
đưa đa thức về dạng hiệu hai bình phương hoặc làm xuất hiện h ằng
đẳng thức và có nhân tử chung với hạng tử còn lại.
b.Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: (BT 53 a/SGK Toán 8 tập1/ Tr 24)
2
Phân tích đa thức x  3x  2 thành nhân tử.
+ Giáo viên gợi ý:
Cách 1: Tách hạng tử bậc 1: - 3x = - x – 2x
Cách 2: Tách hạng tử tự do: 2 = - 4 + 6
Giải:
Cách 1: Tách hạng tử bậc 1.

2



2



2
x 2  3 x  2 = x 2  x  2 x  2 = x  x   2 x  2  (Nhóm các hạng tử)
x  x  1  2  x  1

=

(Đặt nhân tử chung)

=  x  1  x  2  .
Cách 2: Tách hạng tử tự do.
x 2  3x  2 = x2  3x  4  6

13


=

x

2



 4   3x  6 

(Nhóm các hạng tử)

=  x  2   x  2   3  x  2  (Dùng hằng đẳng thức và đặt nhân tử

chung)
=  x  1  x  2  (Đặt nhân tử chung).
Ví dụ 2: (BT 57 a/SGK Toán 8 tập1/ Tr 25)
2
Phân tích đa thức x  4 x  3 thành nhân tử.
+ Giáo viên gợi ý:
Cách 1: Tách hạng tử bậc 1: - 4x = - x – 3x
Cách 2: Tách hạng tử tự do: 3 = 4-1
Giải: Cách 1: Tách hạng tử bậc 1.
x 2  4 x  3 = x 2  x  3x  3
=

x

2



 x   3 x  3

(Nhóm các hạng tử)

= x.  x  1  3  x  1 (Đặt nhân tử chung)

=  x  1  x  3
Cách 2: Tách hạng tử tự do.
x2  4x  3 = x2  4x  4 1
x
=

2



 4x  4 1

(Nhóm các hạng tử)


=
=  x  1  x  3 (Dùng hằng đẳng thức)
2.3.6. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm sử dụng
phương pháp
nhóm để xuất hiện dạng đặt nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng
thức.
Phương pháp:
+ Bước 1: Dựa vào hạng tử của đa thức để nhận dạng ph ương
pháp đặt nhân tử chung hay hằng đẳng th ức.
+ Bước 2: Nhóm các hạng tử thuộc dạng đã được xác đ ịnh v ới
nhau và phân tích tiếp. Yêu cầu khi phân tích đó ph ải xu ất hi ện d ạng
đặt nhân tử chung.
+ Bước 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
b. Phân loại các dạng bài tập.
* Thêm và bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện hằng
đẳng thức.
Ví dụ : (BT 57 d/SGK Toán 8 tập1/ Tr 25)
4
Phân tích đa thức x  4 thành nhân tử.
2

x  2 1

2

14


2
+ Giáo viên gợi ý: Thêm bớt hạng tử 4x
Giải:
4
4
2
2
Ta có: x  4 = x  4 x  4  4 x =
hạng tử)

x
=

2

 2   2 x 
2

x

4



 4x2  4  4x2

(Nhóm các

2

(Dùng hằng đẳng thức)
= (x + 2 – 2x)( x2 + 2 + 2x).
* Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử
chung.
Ví dụ : Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử.
+ Giáo viên gợi ý: Thêm và bớt x3, x2, x .
Giải:
Ta có: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1
= (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1)
= x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x3 – x + 1 )
* Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử
chung và hằng đẳng thức.
Ví dụ : Phân tích đa thức x7 + x2 +1 thành nhân tử.
+ Giáo viên gợi ý: Thêm và bớt x .
Giải:
Ta có: x7 + x2 +1= x7 - x + x2 + x + 1
= x(x 6 - 1) + (x2+ x + 1) (Nhóm các hạng tử)
= x(x 3 - 1)(x3 + 1) +(x2 + x + 1) (Dùng hằng đẳng
thức)
= x(x 3 +1)(x -1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) (Đặt nhân
tử chung)

= (x 2 + x + 1)(x5 - x4 - x2 + 1).
2

2.4. Hiệu quả thực hiện:
Kết quả thu được qua khảo sát kĩ năng vận dụng ba ph ương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử của HS kh ối 8 năm h ọc 2017 2018:
Qua thực tế giảng dạy từ khi áp dụng phương pháp này tôi
nhận thấy: Kết quả học tập của học sinh được nâng lên, đặc biệt là
các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các th ủ thuật
phân tích đa thức thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan
đến việc phân tích đa thức đạt kết quả tốt. Đa số các em h ọc sinh đã
biết sử dụng các phương pháp phân tích thông th ường một cách
thành thạo, một số em học sinh có kỹ năng n ắm v ững thủ thu ật
15


phân tích đa thức dựa vào các phương pháp phân tích đã đ ược nêu
trong sáng kiến kinh nghiệm. Bên cạnh đó các ph ương pháp này các
em dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó và các kiến th ức m ới
cũng như việc hình thành một số thủ thuật trong quá trình học t ập
và giải toán khi học bộ môn Toán.
Kĩ năng đặt nhân tử Kĩ năng dùng hằng
Kĩ năng nhóm các
chung.
đẳng thức.
hạng tử.
Lớp
(sĩ số)
Hs đạt
Tỉ lệ

Hs đạt
Tỉ lệ
Hs đạt
Tỉ lệ
yêu cầu
%
yêu cầu
%
yêu cầu
%
8A1 (32 HS)
29
90,6
28
87,5
27
84,4
8A2 (34 HS)
28
82,4
27
79,4
26
76,5
Như vậy, so với trước khi áp dụng SKKN này, hiểu biết về các
nhóm kĩ năng của HS đều có sự tiến bộ rõ rệt: Cụ thể:
Kĩ năng đặt nhân tử chung: tăng 59,2% so với trước khi áp dụng.
Kĩ năng dùng hằng đẳng thức: tăng 60,7% so với trước khi áp
dụng.
Kĩ năng nhóm các hạng tử: tăng 57,6% so với trước khi áp dụng.

3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận.
Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng trải suốt
chương trình học của học sinh, nó liên quan kết hợp với các phương pháp
khác, các dạng toán khác tạo lên sự lôgíc chặt chẽ của toán học. Vì vậy
việc giúp học sinh phát hiện các phương pháp để thực hiện phân tích đa
thức thành nhân tử và các bài toán liên quan là vấn đề thật sự quan trọng
và rất cần thiết.
Từ thực tế giảng dạy cho thấy: Các phương pháp nghiên cứu
trong đề tài được nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học
sinh hiểu sâu hơn và phát triển có hệ thống các kỹ năng, kỹ xảo phân tích.
Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác,
năng lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức.
Để đề tài trên được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy và đem lại
hiệu quả thì giáo viên và học sinh cần phải có những yêu cầu sau:
1. Đối với học sinh:

16


- Xác định cho mình động cơ học tập đúng đắn, học tập để có kiến
thức và kỹ năng để vận dụng vào cuộc sống sau này.
- Học sinh cần nắm chắc các phương pháp cơ bản, kĩ năng biến
đổi, kĩ năng thực hành và việc vận dụng từng phương pháp đa dạng hơn
vào từng bài tập cụ thể, luyện tập khả năng tự học, gợi sự say mê hứng
thú học, kích thích và khơi dậy óc tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức.
2. Đối với giáo viên:
- Giáo viên phải có phương pháp giảng dạy tích cực, kích thích
động cơ, hứng thú học tập của học sinh. Trong quá trình dạy phải chú ý
khắc sâu kiến thức cơ bản cho học sinh, bồi dưỡng cho học sinh phương

pháp học và tự học.
- Giáo viên phải tích cực nghiên cứu tìm tòi các bài tập liên quan,
cách giải hay độc đáo và phân loại các dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh
nắm vững chắc hơn về các dạng toán và được rèn luyện về những kĩ năng
phân tích một cách tường minh trong mỗi dạng bài tập để tìm hướng giải
sau đó biết áp dụng và phát triển nhanh trong các bài tập tổng hợp, kĩ
năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử một
cách đa dạng hơn trong giải toán.
- Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng
của học sinh trong quá trình cung cấp các thông tin mới có liên quan tới
việc phân tích đa thức thành nhân tử.
- Giáo viên khi giảng bài nên tạo ra các tình huống có vấn đề một
cách dí dỏm, nhẹ nhàng; nêu câu hỏi đặt vấn đề; câu hỏi dẫn dắt gợi mơ
phù hợp với đối tượng học sinh yếu; giảng kĩ và hướng dẫn một cách tỉ
mỉ.
- Bài tập chọn chữa phải vừa sức với học sinh; giáo viên chia một
bài tập ra thành nhiều phần; nhiều ý; sau đó hướng dẫn học sinh giải qua
nhiều bước nhỏ đơn giản.
- Giáo viên chỉ ra cho học sinh thấy được vai trò, tác dụng của
kiến thức Toán học trong thực tiễn đời sống của các em.
3.2. Kiến nghị.
a) Đối với Nhà trường:
- Nhà trường tổ chức được các buổi ngoại khóa cho học sinh về
phương pháp học tập bộ môn; biểu dương những học sinh giỏi; những
17


tấm gương học sinh vượt khó vươn lên trong học tập, làm tấm gương
sáng để các học sinh khác phấn đấu noi theo.
- Tạo điều kiện về thời gian, không gian, tổ chức các chuyên đề

cấp trường để giáo viên có thể áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy.
b) Đối với Phòng Giáo dục:
- Tổ chức thêm nhiều buổi tập huấn chuyên đề về hướng dẫn xây
dựng đề tài NCKH và viết SKKN cho giáo viên.
- Tổ chức các chuyên đề toán để giáo viên được dự giờ, nghiên
cứu trao đổi học hỏi các đồng nghiệp, cùng tìm ra các biện pháp hay.
Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm của bản thân về “Hướng dẫn
học sinh lớp 8 phân tích đa thức thành nhân tử theo định hướng
nghiên cứu bài học”, được đúc kết từ thực tế giảng dạy, từ kết quả học
tập của HS và học tập kinh nghiệm của đồng nghiệp. Tuy nhiên chắc chắn
còn những giải pháp khác để học sinh học tốt hơn mà bản thân cần phải
học hỏi. Kính đề nghị hội đồng khoa học các cấp xem xét, điều chỉnh và
bổ sung để qua đó nhằm rèn luyện tay nghề của tôi ngày một vững vàng
hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN
VỊ

Thanh Hóa, ngày tháng năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
................................................................. mình viết, không sao chép nội dung của
................................................................. người khác.
Giáo viên
.................................................................
.................................................................
.................................................................

Phạm Thị Hằng

18

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa toán 8.
2. Phương pháp giải các dạng bài toán toán 8 - Nguyễn Văn Nho NXBGD.
3. Toán bồi dưỡng đại số 8- Vũ Hữu Bình, Tôn Thân, Đỗ Quang
Thiều - NXBGD.
4. Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục THCS môn Toán –
NXBGD
5. Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 4/11/2013 Hội nghị Trung ương
8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo.

19


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT
VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Phạm Thị Hằng.
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THCS Quang Trung,
Ngọc Lặc.
TT
1.
2.

Tên đề tài SKKN
Hướng dẫn học sinh tìm lời giải
cho các bài toán
Hướng dẫn học sinh chứng minh

tam giác đồng dạng

Cấp đánh giá
xếp loại

Kết quả
đánh giá
xếp loại

Năm học
đánh giá xếp
loại

Sơ GD&ĐT

B

2008-2009

Phòng GD&ĐT

B

2011-2012

20