SKKN hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ 1

Hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
1.1 Lí do chọn đề tài.............................................................................................1
1.2 Mục đích nghiên cứu......................................................................................1
1.3 Đối tượng nghiên cứu.....................................................................................2
1.4 Phương pháp nghiên cứu...............................................................................2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.................................................. 2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến...........................................................................2
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến.........................................2
2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề........................................3
2.3.1. Hệ thống kiến thức liên quan....................................................................3
2.3.2.Một số bài tập vận dụng............................................................................. 3
2.3.3. Hệ thống bài tập tự luyện:
………………………………………12
2.4. Hiệu quả của sáng kiến...............................................................................13
3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ...........................................................................14
3.1. Kết luận........................................................................................................14
3.2 Kiến nghị.......................................................................................................15

Tống Văn Khánh – THPT Nga Sơn

0


Hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Đất nước ta đang trên con đường hội nhập và phát triển, từ đó cần những con

người phát triển toàn diện. Muốn vậy, phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào
tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục phải được đổi mới một cách căn bản và toàn diện
để đáp ứng nhu cầu phát triển của xã hội. Để đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào
tạo trước hết phải đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có cả phương pháp
dạy học môn Toán.
Từ năm học 2016 – 2017 hình thức thi THPT Quốc Gia của môn Toán đã có sự
thay đổi ( chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm), bước
đầu làm cho giáo viên và học sinh thấy bỡ ngỡ. Trong các đề thi minh họa của bộ
giáo dục, câu liên quan đến thể tích khối đa diện thường là các câu dạng vận
dụng thấp, vận dụng cao , mặt khác việc tính thể tích thường thì diện tích đáy
của khối đa diện(khối chóp, khối lăng trụ ) công thức diện tích đã có và học sinh
đã quen . Khó khăn nhất của học sinh là tính độ dài đường cao của khối đa diện
khi mà việc vẽ hình không như trước đây nữa nên cần phải xác định nhanh
chóng được chân đường cao, đồng thời phải biết vận dụng khéo léo và linh hoạt
các mảng kiến thức trên vào từng bài toán cụ thể để tìm ra kết quả nhanh nhất và
chính xác nhất.
Trước kì thi THPT Quốc gia đến gần, và đề thi minh họa của năm nay số câu
khá giỏi nhiều hơn với mong muốn có thể cung cấp thêm cho các em học sinh
một số kiến thức để có thể lấy được điểm tối đa bài thi của mình, từ đó tôi
nghiên cứu và viết đề tài “Hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường
cao khối chóp khối lăng trụ’’. Hi vọng nó sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho
giáo viên và học sinh.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận và làm quen với cách học, cách làm nhanh
bài toán đặc biệt là toán trắc nghiệm, từ đó có thể phát huy tối đa hiệu quả làm
bài, nhằm đạt được kết quả cao nhất.

Tống Văn Khánh – THPT Nga Sơn

1

Hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ

-Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi muốn định hướng để
học sinh có thể phải xác định nhanh chóng được chân đường cao và tính độ dài
của nó , giải chính xác đối với những bài toán về thể tích.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Kiến thức về tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ.
- Học sinh lớp 12E, 12D năm học 2017 – 2018 trường THPT Nga Sơn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp.
- Sử dụng phương pháp thực nghiệm.
- Sử dụng phương pháp phân tích và so sánh những vấn đề có liên quan đến đề
tài.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Định lí :

(  )  ( )
�
(  ) �( )  d �
�
�� a  ( )
a �(  )
�
�
ad
�

( P)  ( )
�
�
� d  ( )
Định lí �(Q)  ( )
�
( P) �(Q)  d
�

V  Bh
1
V  Bh
3

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Việc hướng dẫn cho học sinh biết cách “ xác định đường cao khối chóp khối
lăng trụ” một cách nhanh nhất là rất cần thiết vì các lí do sau:
Thứ nhất: Môn toán đã có sự thay đổi hình thức thi từ hình thứ tự luận sang
trắc nghiệm, từ đó đòi hỏi học sinh phải giải một bài toán một cách nhanh nhất
có thể để tiết kiệm thời gian.
Thứ hai: Tạo hứng thú cho học sinh khi học hình học nói chung và giải các bài
tập chương một hình học 12 nói riêng. Vì mặt đáy khối đa diện thường là các
hình quen thuộc nên việc tính diện tích không còn khó khăn đối với các em nữa,

Tống Văn Khánh – THPT Nga Sơn

2


Hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ

vậy khó khăn lớn nhất là tính độ đai đường cao (hay xác định đường cao của
khối đa diện)
Trong bài viết này, tôi đưa ra một số cách một số cách xác định đường cao
khối chóp khối lăng trụ, thấy kết quả đạt tốt và phù hợp đối với các đối tượng
học sinh trường tôi.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Hệ thống kiến thức liên quan
 Thể tích khối lăng trụ V  Bh
1
 Thể tích khối chóp V  Bh
3
 Các công thức tính diện tích tam giác, hình bình hành, hình vuông, chữ nhật,

hình thoi…..
 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
2.3.2. Một số bài tập vận dụng
Nhận xét : Vì hình lăng trụ có hai đáy nằm trong hai mặt phẳng song song do đó nếu
ta lấy một đỉnh bất kì của mặt đáy này nối đến tất cả các đỉnh của mặt đáy kia thì ta có
được một hình chóp có chiều cao cũng chính là chiều cao của hình lăng trụ.
Vậy cách xác định đường cao của hình lăng trụ tương tự như xác định đường cao của
hình chóp.

A’

C
’

A’
B’

A

C
B

C

A
B

Minh họa :
+ Lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ và hình chóp A’ABC cùng có chung đường cao AA’ .
Dưới đây chúng ta xét một số trường hợp xác định đường cao của hình chóp có đỉnh S.
Mặt đáy đang nằm trong mặt phẳng ( ) .
Trường hợp 1 : Hình chóp có đỉnh S nằm trong một mặt phẳng (  ) vuông góc với
mặt phẳng ( ) .

Tống Văn Khánh – THPT Nga Sơn

3


Hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ

Nhận xét : Nếu ( ) cắt (  ) theo giao tuyến là đường thẳng d và điểm H là hình chiếu
vuông góc của S trên d thì SH sẽ vuông góc mặt phẳng ( ) suy ra SH là đường cao
hình chóp .
(  )  ( )
�

(  ) �( )  d �
�
Định lí :
�� a  ( )
a �(  )
�
ad

�
�

Ví dụ 1 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , mặt bên (SAB) là
tam giác cân tại S và vuông góc với mặt đáy (ABCD) , góc giữa SC và (ABCD) bằng
450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .

Bài giải
Gọi H là trung điểm AB. Do ∆SAB cân tại S nên
SH  AB .

S

( SAB)  ( ABCD)
�
( SAB) �( ABCD)  AB �
�
Ta có
�� SH  ( ABCD )
SH �( SAB)
�

�
SH  AB
�

SH là đường cao hình chóp S.ABCD nên hình
chiếu vuông góc của SC trên (ABCD) là HC.
Suy ra góc giữa SC và (ABCD) là góc �SCH  450

H
B

A

D
C

0
 SHC vuông cân tại H ( SH  HC; �SCH  45 )
a 5
Nên ta có SH  HC  BH 2  BC 2 
.
2

1
3

1
3

Vậy V  SH .S ABCD  .a

5 2 a3 5
.a 
(dvtt )
2
6

Ví dụ 2 :
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt
phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và �SBC  300 .
Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài giải

Tống Văn Khánh – THPT Nga Sơn

4


Hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC.

S

( SBC )  ( ABC )
�
( SBC ) �( ABC )  BC �
�
Ta có

�� SH  ( ABC )
SH �( SBC )
�
�
SH  BC
�

H

B

SH là đường cao hình chóp S.ABC
Ta có SH  SB.SinSBC  a 3
1
S ABC  BA.BC  6a 2
2
1
VS . ABC  SH .S ABC  2a 3 3
3

C

A

Trường hợp 2: Hình chóp có đỉnh S thuộc giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) ,
(Q) và hai mặt phẳng này cùng vuông góc với mặt đáy .
Nhận xét : Đường cao hình chóp xác định theo định lí sau
( P)  ( )
�
�

� d  ( )
Định lí �(Q)  ( )
�
( P) �(Q)  d
�

Ví dụ 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB =AD =2a,
CD = a , góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600 . Gọi I là trung điểm cạnh AD .
Biết các mặt phẳng (SIB) ,(SIC) cùng vuông đáy (ABCD). Tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a .
Bài giải
( SIB)  ( ABCD ) �
�
Ta có ( SIC )  ( ABCD ) �� SI  ( ABCD )
( SIB) �( SIC )  SI �
�

SI là đường cao hình chóp S.ABCD
Xác định góc giữa mp (SBC) với
(ABCD)
+ (SBC)

S

mặt phẳng

(ABCD) = BC (1)

+ Trong (ABCD) dựng IK vuông góc BC tại K (2)

Do SI

CB ( SI

(ABCD )) Nên suy ra SK vuông

I
D

A
C

B
K

góc BC tại K (3)
+ Từ (1) ,(2 ) ,(3) suy ra góc �SKI  600 .

Tống Văn Khánh – THPT Nga Sơn

5


Hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ

3a 2
3a 2
� SCBI 
2
2

2S
3a 5
BC  a 5, IK  IBC 
BC
5
3a 15
, từ đó suy ra SI 
5
S ABCD  3a 2 ; S ABI  SCDI 

1
3 15a 3
V  SI .S ABCD 
(dvtt )
3
5
Ví dụ 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Các mặt bên (SAB) và
(SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy , góc giữa mặt phẳng (SBD) và đáy bằng
600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .

Bài giải
( SAB )  ( ABCD) �
�
+ có ( SAD )  ( ABCD ) �� SA  ( ABCD )
( SAB ) �( SAD )  SA �
�

S

Suy ra SA là đường cao hình chóp S.ABCD
Gọi O là giao điểm của AC và BD
( SBD ) �( ABCD)  BD

A

(1)

BD  AO( ABCD là hình vuông ) (2)
�BD  AO (theo(2)
Ta có �
�BD  SA( SA  ( ABCD ))
� BD  ( SAO)

B

60
O

D
C

� BD  SO(3)
�

(1), (2), (3) � SOA  600

Tam giác SOA vuông tại A ,ta có:
ˆ  SA � SA  OA.tan SOA
ˆ  AC .tan 600  a 6

tan SOA
AO
2
2
3
1
1 a 6 2 a 6
V  SA.S ABCD  .
.a 
(dvtt )
3
3 2
6

Ví dụ 5 :
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt
phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của
AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABC) bẳng 60o. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.

Tống Văn Khánh – THPT Nga Sơn

6


Hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ

Bài giải
( SAB )  ( ABC )
�

�
Ta có ( SAC )  ( ABC )
�� SA  ( ABC )
( SAB ) �( SAC )  SA�
�

S

Suy ra SA là đường cao hình chóp S.ABC và hình
chóp S.BCNM
Xác định góc giữa mp (SBC) với mặt phẳng
(ABC)
+ (SBC)

(ABC) = BC (1)

+ BC AB (2) và BC SA ( SA

A

N

C

(ABC ))

M

Nên suy ra BC vuông góc SB (3)
+ Từ (1) ,(2 ) ,(3) suy ra góc �SBA  600

SA = AB.tanSBA= 2a 3 .
Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC
tại N nên suy ra MN song song BC và N là trung
điểm AC
Ta có

B

BC
AB
 a, BM 
a
2
2
( BC  MN ).BM 3a 2
S BCNM 

2
2
1
VS .BCNM  SA.S BCNM  3a3
3
MN 

Ví dụ 6 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; AC = 2 3a , BD = 2a ; AC và BD
cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng

a 3

.Tính thể tích khối chóp
4

S.ABCD theo a.

Bài giải

S

I

D

a 3
O

C
Tống Văn Khánh – THPT Nga Sơn

H
B

K
7

A


Hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ

Hai mp (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mp
(ABCD) nên giao tuyến SO vuông góc với mp(ABCD)
Suy ra SO là đường cao hình chóp S.ABCD
Ta có tam giác ABO vuông tại O có AO = a 3 ,
BO = a nên suy ra �ABD  600 .
Suy ra tam giác ABD là tam giác đều.
Gọi H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB
ta có DH  AB và DH = a 3 ; OK // DH và
OK 

1
a 3
 OK  AB  AB  (SOK)
DH 
2
2

Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI  SK và
AB  OI nên suy ra OI  (SAB) , hay OI là khoảng
cách từ O đến mặt phẳng (SAB).
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao
1
1
1
a


� SO 

2

2
2
OI
OK
SO
2
Diện tích đáy S ABCD  4SABO  2.OA.OB  2 3a 2 ;
a
đường cao của hình chóp là SO  .
2
VS . ABC D 

1
3a 3
S ABC D .SO 
3
3

Trường hợp 3 :
+Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.
+Hình chóp có các cạnh bên tạo với mặt đáy cùng một góc.

Nhận xét : Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc hình chóp có các cạnh
bên tạo với mặt đáy cùng một góc thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại
tiếp đa giác đáy.
Ví dụ 7 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , AB = a , AD = 2a .Đỉnh S
cách đều các đỉnh A,B,C,D của mặt đáy và SB  a 5 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Bài giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD
Vì S và O cùng cách đều các điểm A,B,C,D
nên SO vuông góc (ABCD) do đó SO là
đường cao hình chóp S.ABCD
Ta có BD  AB 2  AD 2  a 5
Do SB = SD =BD = a 5 nên tam giác SBD
là tam giác đều có SO là đường cao (do SO
vuông góc (ABCD))

Tống Văn Khánh – THPT Nga Sơn

8


Hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ

BD 3 a 15

2
2
2
 AB. AD  2a

Suy ra SO 
S ABCD

S

1
1 a 15 2 a 3 15

VS . ABCD  SO.S ABCD  .
.2a 
3
3 2
3

A

D
O

B

C

Trường hợp 4 : Hình chóp có đỉnh S cách đều 3 đỉnh bất kỳ của mặt đáy .
Nhận xét : Hình chóp có đỉnh cách đều 3 đỉnh bất kỳ của mặt đáy thì chân đường cao là
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi 3 đỉnh đó .
Ví dụ 8:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , �ABC  600 ;SB = 2a .
Đỉnh S cách đều các đỉnh A,B,C của mặt đáy ABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Bài giải
Tam giác ABC là tam giác đều ( do AB = BC
S
và �ABC  600 )
Gọi H là tâm tam giác đều ABC . Vì S và H
cùng cách đều các điểm A,B,C nên SH vuông
góc (ABC) do đó SH là đường cao hình chóp
S.ABCD

A
D
2
a 3
a
33
BH  BO 
; SH  SB 2  BH 2 
O
H
3
3
9
B
C
a2 3
S ABCD  2S ABC 
2
1
1 a 33 a 2 3 a3 11
VS . ABCD  SH .S ABCD  .
.

3
3 9
2
18
Ví dụ 9:
Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, A’C’ = a, độ dài cạnh bên
bằng b. Đỉnh D cách đều 3 đỉnh A’,D’,C’.

a) Tính thể tích khối tứ diện DA’C’D’, tính thể tích V của khối hộp đã cho.
b) Gọi V1 là thể tích của khối đa diện BCDA’C’. Tính

V1
V

Bài giải
a) Tam giác A’D’C’ là đều ( do A’D’=D’C’ =
A’C’)
Gọi I là tâm tam giác đều A’D’C’. Vì D và I
cùng cách đều các điểm A’,D’,C’ nên DI vuông

Tống Văn Khánh – THPT Nga Sơn

9


Hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ

góc (A’D’C’) do đó DI là đường cao tứ diện
DA’C’D’ và khối hộp đã cho
S A'D 'C ' 

a2 3
.
4

C

B

b

a2
3

DI  DD' 2  D' I 2  b 2 
2

A'

a

D'
I

2

1
1 a 3 2 a
V DA'D 'C '  DI .S A'D 'C '  .
b 
3
3 4
3


D

A

a
B'

a

M

C'

a 2 3b 2  a 2
12

V 6V DA'D 'C ' 

a 2 3b 2  a 2
.
2

1
b) VBA'B 'C '  V .
6
V1 V  V BA'B 'C '  VDA'C 'D ' V 

1
1
2
V V V
6
6

3

V1 2

V 3
Trường hợp 5 : Hình chóp có từ ba mặt bên trở lên tạo với mặt đáy cùng một góc


Nhận xét : Hình chóp có ba mặt bên trở lên tạo với mặt đáy cùng một góc thì chân
đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
Ví dụ 10 :
Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a,BC = 6a , CA = 7a . Các mặt bên (SAC),
(SBC), (SCA) tạo với mặt đáy một góc 600

Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .

Bài giải

- Kẻ SH  ABC  ,HE AB,HF  BC và HJ  AC .
Theo định lí ba đường vuông góc ta có
SE  AB, SF  BC , SJ  BC

Từ đó suy ra �SEH  �SFH  �SJH  600
Do đó các tam giác vuông SHE,SFH,SJH bằng nhau
Từ đó suy ra HE = HF =HJ nên H chính là tâm đường
tròn nội tiếp tam giác ABC.
-Ta có HE = HF = HJ = r với r là bán kính đường tròn
nội tiếp tam giác ABC.
Nửa chu vi tam giác ABC bằng p = 9a.
Theo công thức Hê-rông, diện tích S của tam giác ABC

bằng : S = 9.4.3.2.a2 =6 6a2

Tống Văn Khánh – THPT Nga Sơn

10


Hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ

Áp dụng công thức S = p.r � r =

S 2a 6
=
p
3

S

Tam giác SEH vuông tại H nên ta có
2 6a
SH  r. tan 600 
. 3  2 2a
3

J

A

1

Vậy VS.ABC  SH .S ABC  8 3a 3
3

C
E

H F
B

Trường hợp 6 : Hình chóp có hai mặt bên liên tiếp tạo với mặt đáy cùng một góc .
Nhận xét : Hình chóp có hai mặt bên tạo với mặt đáy cùng một góc thì chân đường cao
thuộc đường phân giác của góc  với  là góc của đa giác đáy có đỉnh là đỉnh chung
của mặt đáy với hai mặt bên nêu ở trên.
Ví dụ 11:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, I là trung điểm BC .
Các mặt bên (SAC), (SAB) tạo với mặt đáy cùng một góc.Chứng minh rằng chân
đường cao xuất phát từ đỉnh S của hình chóp S.ABC thuộc AI.
Bài giải
- Kẻ SH  ( ABC ),HE AB,HF  AC .
Theo định lí ba đường vuông góc ta có
S
SE  AB, SF  AC
Từ đó suy ra �SEH  �SFH .

Do đó các tam giác vuông SHE,SFH bằng nhau.
Từ đó suy ra HE = HF nên suy ra H thuộc
đường phân giác của góc BAC
Vì ABC là tam giác cân tại A, I là trung điểm BC
nên đường trung tuyến AI cũng là đường phân
giác của góc BAC nên H thuộc AI.

A

F

C

E

I
B

Ví dụ 12;
Cho khối hộp ABCDA’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và ba góc ở đỉnh A đều
bằng 600 . Tính thể tích của khối hộp đó theo a.

Bài giải

 Xác định hình chiếu vuông góc của
đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABCD ).
Kẻ SH  ( ABCD),HE AB,HF  AD .
Theo định lí ba đường vuông góc ta có

Tống Văn Khánh – THPT Nga Sơn

H

11

Hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ

A ' E  AB, A ' F  AD .

Hai tam giác vuông A’AE,A’AF bằng nhau
( do AA’ chung , �A ' AE  �A 'AF ). Từ đó suy
ra HE = HF nên suy ra H thuộc đường phân
giác của góc �BAD .
Vì ABCD là hình thoi nên H thuộc AC.
 Tính thể tích khối hộp ABCDA’B’C’D’

+ A ' AE có �A ' AE  600 , AA’ = a nên là nữa
tam giác đều cạnh a do đó ta có
AE 

D’
A’

a
a 3
; A' E 
2
2

Tam giác HAE vuông tại E có góc HAE bằng
300 nên HE = AE.tan 300=

a 3
6

B’

F

C’

D

E

Tam giác A’EH vuông tại H , theo định lý
Pitago ta có A ' H 

A

C’

a 6
3

H

B

C

+ ABCD là hình thoi nên
S ABCD

a2 3

 AB. AD.sin BAD 
2

VABCDA ' B 'C ' D '  A ' H .S ABCD

�

a3 2

2

( dvtt )

2.3.3: Bài tập tự luyện.
Bài 1 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Cạnh bên tạo với mặt
đáy một góc 60o. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Bài 2 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa cạnh bên
và cạnh đáy bằng 60o. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Bài 3 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên tạo với
mặt đáy một góc 45o. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Bài 4 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Mặt bên (SCD ) tạo
với mặt đáy một góc 60o. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 5:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA = 2a và SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
trên SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) và SA = BC. Biết AB = a , AC = 2a ,
�BAC  1200 tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .

Tống Văn Khánh – THPT Nga Sơn

12


Hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , mặt bên
(SAB) là tam giác cân tại S và vuông đáy (ABCD) , góc giữa SC và đáy bằng 600 . Tính
thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
Bài 8 : Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , mp (SAB) và mp
(SAC ) cùng vuông góc với đáy (ABC) và biết diện tích tam giác SBC bằng

a2 57 .
8

1. Tính thể tích khối chóp S.ABC .
2. Tính d (A,(SBC))
Bài 9 :Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc đáy
(ABCD), mặt bên (SCD) hợp với đáy (ABCD) một góc 600.
1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
2. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 10 :Cho tứ diện A.BCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác cân tại D , ABC)
 (BCD) , AD = a và hợp với (BCD) một góc 60o .Tính thể tích tứ diện A.BCD.
Bài 11 :Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy
(ABCD ) .Góc giữa SC và đáy bằng 60 và M là trung điểm của SB.Tính thể tích của
khối chóp M.ABCD.
Bài 12 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB
=BC = a , AD = 2a . SA vuông góc (ABCD ) , góc giữa SC và mặt đáy bằng 450 .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
Bài 13 : Lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 4 cm và diện tích tam

giác A’BC bằng 8 cm2. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Bài 14 : Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a ,
mặt phẳng ( A’BC) hợp với mặt đáy ( ABC) một góc 600 . Tính thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ theo a .
Bài 15 Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a .Đỉnh A’
cách đều 3 đỉnh A,B,C. Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600 .
1. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ .
2. Chứng minh BCC’B’ là hình chữ nhật
3. Tính diện tích xung quanh khối lăng trụ ABC.A’B’C’ .
Bài 16 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB
= a , BC = 2a , AA’ = 3a .Mặt phẳng (P ) qua A và vuông góc CA’ cắt CC’ và BB’ tại
M và N.
1.Tính thể tích khối chóp C.A’AB.
2. Chứng minh AN vuông góc A’B.
3.Tính thể tích khối chóp A’AMN.
4. Tính diện tích tam giác AMN.
Bài 17 :
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông , AB = BC = a ,
AA’ = a 2 . M trung điểm BC.
1.Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ .
2.Tính d  AM , B ' C  .
Bài 18 :

Tống Văn Khánh – THPT Nga Sơn

13


Hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, góc BAC bằng
600 , BB’ = a .Cạnh bên BB’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 .Hình chiếu vuông
góc của B’ trên (ABC) là trọng tâm tam giác ABC.
1. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ .
2. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC .
Bài 19 :
Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a , AC =
a 3 , AA’ = 2a.Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC.
1. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC .
2. Tính Cosin góc giữa 2 đường AA’ và B’C’.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Thực tế cho thấy, với cách làm trên đã tạo được cho học sinh sự nhanh nhẹn,
kiên trì, linh hoạt, tiết kiệm được thời gian trong quá trình giải toán. Học sinh
biết vận dụng và có sự sáng tạo hơn trong học tập, biết liên kết nhiều mảng kiến
thức, nhiều phương pháp giải cho mỗi phần trong cùng một bài toán. Cách làm
trên đã đáp ứng được nhu cầu học tập tích cực của học sinh. Sau khi đã được ôn
tập những kiến thức cơ bản về thể tích khối chóp, khối lăng trụ, học sinh đã tự
giải được những bài tập tương tự, nhất là những bài tập nằm trong các đề thi thử
THPT Quốc gia của các trường trên cả nước trong thời gian gần đây. Đồng thời
biết tự xây dựng cho mình hệ thống bài tập phù hợp với nội dung kiến thức được
học và những bài tập tương tự trong các đề thi thử nghiệm của Bộ giáo dục và
đào tạo. Qua đó, hiệu quả trong học tập của học sinh đã được nâng lên rõ rệt.
Để có được bài viết trên, tôi đã phải mày mò nghiên cứu và kiểm chứng qua một
số nhóm học sinh có học lực khá và trung bình khá trong các lớp mà tôi giảng
dạy như lớp 12E và lớp 12D năm học 2017 – 2018.
Với bài toán: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , mặt
bên (SAB) là tam giác cân tại S và vuông đáy (ABCD) , góc giữa SC và đáy bằng 600 .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .

Tôi đã chọn ra hai nhóm học sinh với số lượng bằng nhau, có lực học ngang
nhau:
Nhóm 1:15 h/s 12D đã học phương pháp nêu trên
Nhóm 2: 15h/s 12E chưa tiếp cận phương pháp nêu trên

Tống Văn Khánh – THPT Nga Sơn

14


Hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ

Kết quả thu được thể hiện ở bảng sau:
Nhóm

Số học

Số học sinh có lời

Số học sinh có lời

sinh

giải

giải đúng
Số
%

Số

Nhóm 1
Nhóm 2

15
15

lượng
15
10

%
100%
66,7%

lượng
14
7

93,3%
46,7%

Qua bảng thống kê trên ta thấy, kết quả học tập của học sinh đã vượt trội
sau khi các em tìm được lời giải phù hợp với khả năng của mình trong một bài
toán cụ thể.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Trong quá trình dạy học, đối với mỗi thể loại kiến thức, nếu giáo viên biết tìm
ra những cơ sở lý thuyết, biết phát huy, sáng tạo cái mới và hướng dẫn học sinh
vận dụng một cách hợp lý vào việc giải các bài tập tương ứng thì sẽ tạo được
điều kiện để học sinh củng cố và hiểu sâu về lý thuyết cùng với việc thực hành

giải toán một cách hiệu quả hơn, tạo được sự hứng thú, phát huy được tính chủ
động và sự sáng tạo trong học tập của học sinh.
Mỗi nội dung kiến thức luôn chứa đựng những cách tiếp cận thú vị. Mỗi
giáo viên, cần có sự chủ động trong việc tìm tòi cách giải mới, kế thừa và phát
huy những kiến thức có sẵn một cách sáng tạo. Trong quá trình giảng dạy, cần
xây dựng phương pháp giải và đưa ra hệ thống các bài tập phù hợp với từng đối
tượng học sinh để giúp cho việc học của học sinh tích cực, chủ động và đạt kết
quả cao hơn.
3.2. Kiến nghị
Mặc dù đã có sự đầu tư kĩ lưỡng nhưng bài viết chắc không tránh khỏi những
thiếu sót, tôi rất mong các bạn đồng nghiệp bổ sung góp ý để bài viết được hoàn

Tống Văn Khánh – THPT Nga Sơn

15


Hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ

thiện hơn, cũng như ứng dụng vào việc dạy học cho học sinh lớp mình giảng dạy,
đem lại cho học sinh những bài giảng hay hơn, cuốn hút hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỎNG
ĐƠN VỊ

Nga sơn, ngày 15/05/2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Người viết :

Tống Văn Khánh

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Các bài giảng luyện thi môn Toán – Phan Đức Chính – Lê Thống Nhất –
Tạ Mân – Đào Tam – Vũ Dương Thụy – NXB Giáo Dục
2. Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPTQG môn Toán năm 2017 – Phan Đức
Tài – Nguyễn Ngọc Hải – Lại Tiến Minh – NXBGD Việt Nam

Tống Văn Khánh – THPT Nga Sơn

16


Hướng dẫn học sinh một số cách xác định đường cao khối chóp khối lăng trụ

3. Đề thi cao đẳng, đại học của các năm trước đây.
4. Đề thi thử THPTQG của các trường THPT – Nguồn internet

Tống Văn Khánh – THPT Nga Sơn

17