SKKN một số biện pháp giúp học sinh giải nhanh các bài toán nguyên hàm, tích phân dạng trắc nghiệm

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU……………………………………………………………………………1
1.1. Lí do chọn đề tài…………………………………………………………………..1
1.2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………………………...1
1.3. Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………………..1
1.4. phương pháp nghiên cứu………………………………………………………….2
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm..........................................................2
2. NỘI DUNG…………………………………………………………………………3
2.1. Cơ sở lí luận………………………………………………………………………3
2.2. Thực trạng của đề tài……………………………………………………………...3
2.3. Các giải pháp thực hiện…………………………………………………………...3
2.3.1. Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp phân tích …………….......4
2.3.2. Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp đổi biến số……………......5
2.3.3. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần……………………… ..6
2.3.4. Xác định tích phân bằng phương pháp dựng nguyên hàm phụ……………........7
2.3.5. Xác định tích phân của các hàm số lượng giác…………………………………8
2.3.6. Tích phân các hàm số hữu tỉ …………………………………………………....9
2.3.7.Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối……………………….....10
2.3.8.Một số tích phân đặc biệt ...................................................................................11
2.3.9.Một số bài tập trắc nghiệm..................................................................................11
3.KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ ………………………………………………………..14
3.1. Kết luận………………………………………………………………………….14
3.2. Kiến nghị………………………………………………………………………...14
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………………15
DANH MỤC…………………………………………………………………………15

0


1. MỞ ĐẦU.
1.1. Lí do chọn đề tài.

Để giúp học sinh giải một số bài toán nguyên hàm, tích phân trong các kỳ thi, đặc
biệt là kỳ thi THPT quốc gia. Để học sinh giải nhanh các bài toán trắc nghiệm với thời
gian ngắn mà không chỉ đơn thuần dùng máy tính Casio mà phải sử dụng các kiến
thức cơ bản một cách hợp lí, sử dụng một cách linh hoạt các phương pháp giải nguyên
hàm, tích phân một cách nhanh nhất. Muốn vậy phải bồi dưỡng năng lực tư duy độc
lập, tư duy tích cực và tư duy sáng tạo của học sinh và kỹ thuật tính nhanh, trước tiên
phải trang bị cho các em nền kiến thức cơ bản phổ thông vững trắc, các khả năng giải
các dạng bài tập. Muốn vậy, người giáo viên phả vận dụng các phương pháp khác
nhau, hướng các em vào một môi trường hoạt động tich cực, xem học tập là một quá
trình tự khám phá liên tục. Học tập phải thực sự là nhu cầu, mang đậm tính tự giác,
chủ động và sáng tạo của học sinh. Người thầy giỏi phải giúp học sinh xem xét một
bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, kích thích sự liên tưởng, kết nối giữa giả thiết
và yêu cầu của bài toán. Giữa bài toán chưa biết cách giải với bài toán quen thuộc đã
biết cách giải. Biết phân tích, tổng hợp, và so sánh, từng trường hợp riêng lẻ để giải
một bài toán nhanh nhất. Với lý do trên tôi đã chọn chọn đề tài “Một số biện pháp
giúp học sinh giải nhanh các bài toán nguyên hàm, tích phân dạng trắc nghiệm”
1.2. Mục đích nghiên cứ.
Cùng với các môn học khác, môn toán giúp học phần đào tạo ra những con người
lao động mới, có tri thức khoa học, năng động, sáng tạo trong công việc, đóng góp
một phần không nhỏ trong thời đại khoa học kĩ thuật đang phát triển như vũ bão hiện
nay.
Từ thực tiễn kiến thức nguyên hàm, tích phân rất phong phú và đa dạng, nó cũng
dạng toán mà ta rất hay sử dụng vào thực tế như: Tính diện tích hình phẳng, thể tích
vật thể tròn xoay. Thời lượng trong phân phối chương trình thì ít ỏi. Vì vậy tôi mạnh
dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp học sinh giải một cách
nhanh gọn một số bài tập nguyên hàm, tích phân. Giúp các em đạt hiệu quả cao trong
các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia. Vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài “Một số
biện pháp giúp học sinh giải nhanh các bài toán nguyên hàm, tích phân dạng trắc
nghiệm”
1.3. Đối tượng nghiên cứu: Cách giải một số dạng nguyên hàm, tích phân.

1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1


Trong chương trình giải tích 12, kiến thức về nguyên hàm và tích phân chiếm
một phần rất quan trọng. Tuy nhiên các bài toán về nguyên hàm tích phân chưa
nhiều và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, chưa có nhiều phương pháp và kỹ
thuật giải từng dạng cho học sinh. Học sinh chỉ mới giải các bài toán theo một
hướng nhất định nào đó. Do đó các bài toán về nguyên hàm tích phân chưa khai
thác được hết cách giải. Qua quá trình giảng dạy học tập, tìm hiểu sách vở và đặc
biệt mạng internet tôi nhận thấy việc dạy cho học sinh giải một cách nhanh nhất
một bài toán là rất cần kiến để phù hợp với việc giải toán cho các kỳ thi đặc biệt là
kỳ thi THPT Quốc gia rất cấp bách như hiện nay.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.
Khi tôi được phân công dạy môn Toán khối 12 tôi nhận thấy nếu cứ dạy theo sách
giáo khoa học sinh rất mơ hồ, không nhận dạng được các bài toán để giải quyết nhanh
được. Từ đó tôi đã có suy nghĩ là làm cách nào để các em có thể giải quyết nhanh các
bài toán nguyên hàm, tích phân. Trong quá trình giảng dạy tôi đã tích lũy được
đề tài “Giúp học sinh giải nhanh các bài toán nguyên hàm, tích phân dạng trắc
nghiệm”
2. NỘI DUNG.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Dựa vào định nghĩa tích phân. Các tính chất của tích phân. Các phương pháp tính
tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích.
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh ngiêm.
Học sinh chỉ biết vận dụng định nghĩa, định lí một cách máy móc mà không phân loại
được thành từng dạng.
2.3. Các giải pháp thực hiện
2.3.1. Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp phân tích .
Phương pháp chung:

Bước 1: Biến đổi f(x) về dạng:
n

f(x) =



i

f i ( x)

i 1

với fi(x) là nguyên hàm trong bảng công thức và i là các hằng số.
Bước 2: Khi đó:
n

n

i 1

i 1

f ( x)dx   i f i ( x)dx   i f i ( x)dx
2


Ví dụ 1: Tinh tích phân :

dx

I 
1 ex

.

Giải: Sử dụng đồng nhất thức:
1 = (1 + ex) – ex.
Ta được:





1
1 ex  ex
ex


1

1 ex
1 ex
1 ex

ex 
d 1 ex

 I  1 
dx


dx

x 
  1 ex
 1 e 





= x - ln(1 + ex) + C.
1

dx

Ví dụ 2: Tích phân I  �
bằng:
x 2  5x  6
0

A. I = 1

4

B. I  ln 3

D. I = ln2

C. I = ln2

[1]

Nhận xét :
- Nếu học sinh không biết cách phân tích đưa về dạng đã gặp thì bài toán này rất khó
giải quyết.
- Ở ví dụ 2 ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức.
1
a
b


x  5x  6 x  3 x  2
2

- Nếu bậc của tử cao hơn bậc của mẫu thì ta có thể chia tử cho mẫu trước rồi mới thực
hiện đồng nhất thức .
Ví dụ 3: Giả sử


4

sin 3x.sin 2 xdx (a  b)
0

A.



1
6

B

2
2

khi đó a+b là

1

C.



3
10

D.

1
5

Ở ví dụ 3 ta thấy rằng muốn tính được nguyên hàm tích phân ta phải biến đổi lượng
giác tích thành tổng sin3x.sin2x =

1
2

(cosx – cos5x )

Như vậy: Nếu ta gặp hàm lượng giác ở dạng tích thì cách làm nhanh nhất thường
là biến đổi tích thành tổng.
2.3.2. Xác định nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân.
Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm và dựa vào định lí sau.
Định lý1:
3


a.Nếu f(x)dx = F(x) + C và u = (x) là hàm số có đạo hàm thì:
f(u)du = F(u) + C.
b. Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = (t) trong đó (t) cùng với đạo hàm
’(t) là những hàm số liên tục, ta được:
f(x)dx = f[(t)].’(t)dt.
Định lý 2:
a. Nếu f(x)dx = F(x) + C và u = (x) là hàm số có đạo hàm trên [a,b] thì:
 (b)

 (b)

f (u )du F (u )

 (a)

.
 (a)

b. Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số x = (t) xác
định và liên tục trên đoạn [, ] và thoả mãn các điều kiện sau:
(i). Tồn tại đạo hàm ’(t) liên tục trên đoạn [, ].

(ii). () = a và ( ) = b.
(iii). Khi đó :

b



f ( x)dx f  (t ) ' (t )dt.
a

[1]

Tuy nhiên cái khó của phương pháp này là cách chọn hàm x = (t) hay u = (x)
sao cho phù hợp với từng bài toán cụ thể.
Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:

Dấu hiệu
2

a  x

2

x2  a2

Cách chọn


 
 x  a sin t ,  2 t  2 




 x  a cos t ,  0 t  

a
   

,t  
, , t 0
x 
sin t
 2 2 


a

x 
, t   0,   , t 
cos t
2


ax a x
,
a x ax

x a cos 2t

 x  a  b  x 

x= a + (b – a)sin2t
4


Hàm có mẫu số
Hàm f(x, f (x) )

t là mẫu số
t = f (x)
1

Hàm f(x) =

t = x a  x b

 x  a  x  b 

t = lnx

1

Hàm f(x) = f(lnnx; x )
dx

Ví dụ 1: Tính tích phừn: I 

x x2 1

.

Giải: Đổi biến số:
t  x 2  1  t 2 x 2  1  tdt  xdx

Ta có:
dx
xdx
I 

2
2
x x 1
x
x 2 1
tdt
dt
1  1
1 
 2
 2
 

 dt
t  1t
t  1 2  t  1 t 1 





1 t  1 
  ln
 C
2  t  1 
1  x 2  1  1 
 ln
C
2  x 2  1  1 
8

Ví dụ 2: Tính tích phân: I  
3

dx

x x 2 1

Giải:
Đặt:
t  x 2  1  dt 

x
x 2 1

dx 

xdx
tdt
 dx 
t

x

x  3  t 2
x  8  t 3

Khi đó:
dx
2

x x 1



tdt
x

2

2

x 1





tdt
dt
1 1
1 

 2
 

 dt
t  1 t t  1 2  t  1 t 1
2



3

3

1  1
1 
1
 I  

 dt   ln t  1  ln t  1 
2 2  t  1 t 1 
2
2
3

1 3
 1 t  1
 ln
  ln .
 2 t 1 2 2 2

[2]
5


2.3.3. Tínhnguyên hàm, tích phân bằng phương pháp từng phần.
Khi gặp các dạng sau thì ta dùng phương pháp tích phân từng phần
Dạng 1: P(x)axdx, P(x)sin(ax +b)dx, P(x)cos(ax + b)dx
đặt: u = P(x)
Dạng 2 : P(x)logaxdx
Đặt u = loga x
Dạng 3: eaxsinbxdx, eaxcosbxdx
nên dùng tích phân từng phần hai lần để tính với cách đặt: u = eax hoặc u = sinbx ;
u = cosbx
Sau đây là ví dụ nhằm minh hoạ cho tính phổ biến và tiện lợi của phương pháp
này:
x ln( x  x 2  1)
I 
dx.
x2 1

Ví dụ1 : Tinh tích phân :

2
Giải: Ta viết lại I dưới dạng: I  ln( x  x  1)

x
x2 1

dx.

x

1

 u ln x  x 2  1

x 2  1 .dx  dx

 du 
 
Đặt: 
x
x  x 2 1
x 2 1
dx
 dv  2

x 1

 v  x 2 1






Đặc biệt: Khi bài toán là bài thi trắc nghiệm
Ví dụ 2 : Gọi F(x) = ( ax3 + bx2 +cx + d )ex là nguyên hàm của hàm số
f(x) = ( 2x3 + 9x2 - 2x + 5 )ex . Tính a2 + b2 +c2 +d2
A . 244

B. 247

C. 245

D. 246

- Như vậy khi gặp dạng tích phân này ta tính như thế nào?
- Cũng dùng tích phân từng phần nhưng để tính nhanh ta làm như sau :
F(x) = f(x)ex - f’(x)ex + f”(x)ex - f’’’(x)ex sau đó ta cộng tổng các bình phương của
các hệ số và chọn đáp án đúng.
Nhận xét: Nếu ta dùng tích phân từng phần thì rất rắc rối và dài dòng và dẫn
đến thời gian làm bài rất lâu, nên trong quá trình giảng bài tôi đưa ra cách tính nhanh
như vậy để có kết quả nhanh trong quá trình làm bài trắc nghiệm.
6


2.3.4. Xác định nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp dựng nguyên hàm phụ.
Phương pháp xác định nguyên hàm của hàm số f(x) bằng kỹ thuật dựng hàm phụ
xuất phát từ ý tưởng chủ đạo là tìm kiếm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các
hàm số f(x)  g(x) dễ xác định hơn, từ đó suy ra nguyên hàm F(x) của hàm số f(x).Để
xác định nguyên hàm của hàm số f(x) theo phương pháp này, ta tiến hành thực hiện
theo các bước sau:
- Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x).
- Bước 2: Xác định các nguyên hàm của các hàm số f(x)  g(x), tức là:

 F ( x)  G ( x)  A( x)  C

 F ( x )  G ( x ) B ( x )  C '
- Bước 3: Từ hệ trên ta nhận được: F(x) =

1
2

[A(x) + B(x)] + C.

Đối với phương pháp này, điều khác là cách tìm hàm số g(x) như thế nào để sao
cho việc giải bài toán là dễ dàng hơn.
sin x
Ví dụ : Tìm nguyên hàm của hàm số: f(x) =
.
sin x  cos x
cos x
Hướng dẫn : Chọn hàm số phụ: g(x) =
.
sin x  cos x
Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có:
f(x) + g(x) =

sin x  cos x
sin x  cos x

Và tính f(x) - g(x) = sin x  cos x
sin x  cos x

[3]

2.3.5. Xác địnhnguyên hàm, tích phân của các hàm số lượng giác.
Để xác định tích phân của các hàm số lượng giác ta dùng cá phương pháp sau:
a)Sử dụng các nguyên hàm cơ bản.

b) Các hàm phân thức hữu tỉ đối với các hàm số lượng giác.
c ) Sử dụng phương pháp biến đổi các công thức lượng giác.
d) Phương pháp đổi biến.
I = R(sinx, cosx)dx, ta giải bằng cách đổi biến lựa chọn một trong các
hướng sau:
-Hướng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) đổi biến t = cosx.
-Hướng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) đổi biến t = sinx.
7


-Hướng 3: Nếu R(-sinx, - cosx) = R(sinx, cosx) đổi biến t = tgx.
-Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm hữu tỉ bằng phép đổi
x
.
2
e) Phương pháp tích phân từng phần.
f) Sử dụng nguyên hàm phụ.

biến t = tg

0

sin 2 x

dx.
2
Tính: I  
  2  sin x 

Ví dụ 1 :



2

Giải:

Nhận xét
2 sin x( cos x)
sin 2 x
2 sin x cos x
R (sin x, cos x) 


2
2
 2  sin x   2  sin x 
 2  sin x  2
 R(sin x, cos x)

Từ nhận xét ta đổi biến
Đặt: t = sinx, khi đó dt = cosxdx.
Đổi cận: x = 0  t = 0;

x= 
 t = -1.
2
Ví dụ 2 : Tìm các hằng số A , B để hàm số f(x) = A.sinx + B thỏa các điều
kiện:
2

f ' (1) = 2 ;

f (x)dx  4
�
0

2
�
A
�

A. �
�
B2
�

B.

� 2
A
�
� 
�
B  2
�


�
A

�
2
C. �
�
B2
�

HD: f ' (x) = A.cosx  f ' (1) = - A mà f ' (1) = 2  A =
2

2

0

0

f (x)dx  4  B = 2
f (x)dx  ...= 2B mà �
�

D.


� 2
�A 
� 
�
�B  2

2



[6]

2.3.6. Tích nguyên hàm, phân các hàm số hữu tỉ.
Để xác định cách tính tích phân hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các
phương pháp cơ bản sau:
a) Phương pháp tam thức bậc hai.
8


b) Phương pháp phân tích.
c) Phương pháp đổi biến.
d) Phương pháp tích phân từng phần.
e) Sử dụng các phương pháp khác nhau: có thể kết hợp việc dựng công thức đổi biến
số với kĩ thuật phân tích ra số hạng đơn giản hoặc tích phân từng phần.
Tuy nhiên, chọn cách sử dụng phương pháp nào cần phải căn cứ vào dạng của từng
bài toán cụ thể.
1

dx
.
Tính tích phân: I  4
2
0 x  4x  3

Ví dụ 1:
Giải:

Biến đổi:

1
1
1 1
1 
 2
  2
 2

2
2
x  4x  3
x 1 x  3 2  x 1 x  3 



4





Khi đó :
1

1  dx
I    2

2  0 x 1

1

dx 


2

x

3
0


.
1

+) Ta đi xác định tích phân


t 
2;
Đặt x = tgt, 2

dx
I 1  2
0 x 1

.





dx
1  tg 2 t dt
dx  1  tg t dt & 2

dt
2
x

1
1

tg
t
Suy ra:
Đổi cận: x = 0  t = 0;

x = 1  t = 4 .a



2


4

Khi đó:





I 1  dt t 04 
0


4

.
1

+) Ta đi xác định tích phân
Đặt x = 3 tgt,

dx
I 2  2
.
x 3
0



t  ;
2
2
9





dx
3 1  tg 2 t dt
1

 dt .
Suy ra: dx  3 1  tg t dt & 2
2
x 3
3(1  tg t )
3





2

[3]

Đổi cận: x = 0  t = 0;

x=1t= .
6
Khi đó
I2 

1


6

dt 
3
0

1
3

t


6



0

 .
6 3

Từ đó ta có:

1 
 
 
.

2  4 6 3 
Nhận xét: Như vậy, ta đã kết hợp nhiều phương pháp lại với nhau để giải ví dụ
trên, cụ thể ở ví dụ trên ta đã sử dụng đồng thời hai phương pháp là phương pháp
phân tích và phương pháp đổi biến.
2.3.7.Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
I=

b

Để tính tích phân : I f ( x, m) dx ta thực hiện theo các bước sau:
a

+) Bước 1: Xétt dấu biểu thức f(x,m) trên đoạn [a, b]. Từ đố phân đoạn [a, b] thành
các đoạn nhỏ mà trên mỗi đoạn đó f(x, m) có một dấu xác định, giả sử:
[a, b] = [a, c1]  [c1, c2] …  [ck, b].
+) Bước 2: Khi đó ta có :
c1

c2

b

I f ( x, m) dx  f ( x, m) dx  ...  f ( x, m) dx
a

c1

ck

1

Ví dụ : Tính tích phân: I  x x  a dx (a > 0).
0

Giải:
Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu a  1, khi đó ta có:
1

1

 x 3 ax 2
a 1
I  x( x  a )dx 

  .
3
2 0 2 3
0

Trường hợp 2: Nếu 0 < a < 1, khi đó ta có:
10


a

1

I  x( x  a)dx  x( x  a )dx
0

a

a

1

[4]

  x 3 ax 2   x 3 ax 2 
  



2  0  3
2  a
 3
a3 a3 1 a a3 a3 a3 a 1

   
    .
3 2 3 2 3 2
3 2 3

2.3.8.Một số tích phân đặc biệt :
Khi làm các bài toán nguyên hàm tích phân chúng ta thường lúng túng khi gặp một
số bài toán đặc biệt: Sử dụng tính chẵn , lẻ của hàm số .


Nếu hàm số y = f(x) là hàm lẻ thì

f ( x)dx 0



4

Ví dụ 1 :

tan





5

xdx = 0

4


Nếu hàm số y = f(x) là hàm chẵn thì



f ( x)dx 2f ( x)dx
0



a



Và

f ( x)dx
 f ( x)dx
x
1 
0

 a



Ví dụ 2 :

1

1

x 4 1
dx  ( x 4  1) dx
x

1 e 1
0

[5]

2.3.9.Một số bài tập trắc nghiệm :
Bài 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1], thỏa mãn
1

2. f ( x )  3. f ( x  1)  1  x . Giá trị của tích phân
2

f ' ( x)dx

bằng

0

A. 0

B.
1

Lời giải. Ta có

1
2

C. 1
1

f ' ( x)dx  f ( x) 0  f (1) 

D.

3
2

f (0)

0

 2 f (0)  3 f (1) 1
2

Từ 2. f ( x)  3. f ( x  1)  1  x  
 2 f (1)  3 f (0) 0

 2

 f (0)  5

 f (1)  3

5

1

Vậy

f ' ( x)dx 1 chọn đáp án C
0

Bài 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1], thỏa mãn f(0) = f(1) = 1.

11


1

x
Biết rằng e  f ( x)  f ' ( x) dx ae  b . Tính Q a 2018  b 2018
0

A. Q = 2018

B. Q = 2

1

C. Q = -2

C. Q = -2018

1
1
x
e

f
(
x
)

f

'
(
x
)

dx

e x f ( x) ' dx e x f ( x) e  1
Lời giải: Ta có 

0
0
0





 a 1
 Q 12018  ( 1) 2018 2 . Chọn B
 b  1

Suy ra 

2017

Bài 3. Cho

f ( x)dx 2 . Tính tích phân

e 2017  1

I



0

0

A. I = 1

B. I = 2

x
f ln( x 2  1) dx
x 1



2

C. I = 4

Lời giải. Đặt t ln( x 2  1) . Suy ra dt 



D. I = 5

2 xdx
dt
xdx

 2
2
2 x 1
x 1

 x 0  t 0
 x  e 2017  1  t 2017

Đổi cận: 

1
Khi đó I =
2

2017

f (t )dt 
0

1
2

2017

1

 f ( x)dx  2.2 1 . Chọn đáp án A
0

 
Bài 4: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên 0;  thỏa mãn
 2

Và f (0) 3 . Tính


2

f ' ( x) cos

2

xdx 10

0


2

f ( x) sin 2 xdx
0

A. I = -13

B. I = -7


2

C. I = 7

 u cos 2 x

Lời giải. Xét f ' ( x) cos xdx 10 , đặt 
dv

f
'
(
x
)
dx

0

Khi đó



2


2

D. I = 13

 du  sin 2 xdx

 v  f ( x)



 2
2
2
10  f ' ( x) cos xdx cos xf ( x) 2  f ( x ) sin 2 xdx
0
0 0


2

f ( x) sin 2 xdx

= 10+f(0)=13. Chọn đáp án D

0

Bài 5: Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên [0;1], thỏa mãn
1

3 f ( x)  x. f ' ( x)  x

2018

với mọi x trên [0;1]. Tính I  f ( x)dx

0

12


A. I 

1
1
B. I 
2018.2021
2019.2020

C. I 

1
2019.2021

D. I 

1
2018.2019

Lời giải. Từ giả thiết 3 f ( x)  x. f ' ( x)  x 2018 , nhân 2 vế với x 2 ta được





3 x 2 f ( x)  x 3 . f ' ( x)  x 2020  x 3 f ( x) '  x 2020 

3

Suy ra  x f ( x)  x

2020

1

Vậy I  f ( x)dx 
0

0

x 3 f ( x )  '  x 2020

x 2021
dx 
c
2021

Thay x = 0 vào ta có C = 0  f ( x) 
1



1
x 2018
2021

x 2018

1
dx 
. Chọn đáp án C
2021
2019.2021

2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
2.4.1. Với hoạt động giáo dục: Tôi đã sử dụng những phương pháp giải các bài nguyên hàm
,tích phân này vào giảng dạy thấy đa số học sinh hiểu bài và vận dụng một cách linh hoạt, dễ dàng
khi giải toán, kết quả giải bài tập chương này tăng lên rõ rệt.

Năm
học
20162017
20172018

Lớp

Tổng
số

Điểm 8 trở lên

12C4
12C7

43
45

Số

lượng
20
25

12C5

45

25

Tỷ lệ
46 %
55 %
55%

Điểm từ 5 đến
8
Số
Tỷ lệ
lượng
18
42%
18
40%
17

38%

Điểm dưới 5
Số

lượng
6
2
3

Tỷ lệ
12%
5%
7%

2.4.2. Với bản thân : Trong quá trình giảng dạy khi sử dụng sáng kiến kinh nghiệm
vào dạy thì tôi đã dẫn dắt học sinh áp dụng bài tập một cách nhanh chóng, định hướng
.cho học sinh có thể giải nhanh một số bài toán nguyên hàm, tích phân.
2.4.3Với đồng nghiệp : Trong quá trình sinh hoạt chuyên môn tôi cũng đưa ra sáng
kiến kinh nghiệm của mình, đã được đồng nghiệp trong tổ đón nhận và đóng góp ý
kiến để bài dạy được sâu sắc hơn, hoàn thiện hơn.
2.4.4. Với nhà trường: Với sáng kiến kinh nghiệm của các đồng nghiệp trong
trường nói chung và của bản thân tôi nói riêng cũng đã đóng góp một phần nhỏ để
chất lượng nhà trường ngay càng đi lên .
3. Kết luận và kiến nghị:
13


3.1. Kết luận: Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối trong quá
trình dạy và học đối với học sinh THPT và đặc biệt đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với
học sinh trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia hiện hành. Theo tôi khi
dạy phần toán nguyên hàm, tích phân và ứng dụng giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán
và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn.
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn
chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho

tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2. Kiến nghị :
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn
nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng
cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
- Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu lại
các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên
cứu phát triển chuyên đề.
- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập.
Thanh hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến do
mình viết, không coppi, không sao chép.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Người viết sáng kiến
Lê Thị Hằng

TÀI LIỆU THAM KHẢO
14


[1]. Sách giáo khoa giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục.
[2]. Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất bản giáo dục.
[3]. Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất bản Giáo dục.
[4]. Các bài giảng luyện thi môn toán - Nhà xuất bản giáo dục.
[5]. Đề thi ĐH môn toán các năm và đề thi minh họa năm 2017 của bộ GD và ĐT.
[6]. Đề thi ĐH môn toán các năm và đề thi minh họa năm 2017 của bộ GD và ĐT.
[7]. Mạng internet.

Thứ tự
1

DANH MỤC
Tên SKKN
Một số kĩ thuật giải phương trình, bất
phương trình vô tỉ

Giải
Đạt giải C do hội đồng
Khoa học tỉnh công nhận
năm học 2013-2014

15