SKKN một số kỹ năng cơ bản giải nhanh các câu hỏi có bảng biến thiên, đồ thị hàm số trong đề thi THPT quốc gia môn

A - MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
“Mục tiêu của việc đổi mới chương trình giáo dục phổ thơng là xây dựng
nội dung chương trình, phương pháp giáo dục, sách giáo khoa phổ thông mới nhằm
nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện thế hệ trẻ, đáp ứng yêu cầu phát triển nguồn
nhân lực phục vụ cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước, phù hợp với thực tiễn và
truyền thống Việt Nam; tiếp cận trình độ giáo dục phổ thông ở các nước phát triển
trong khu vực và thế giới” [1] (Nghị quyết số 40/2000/QH 10, ngày 9/12/2000). Đổi
mới chương trình giáo dục phổ thơng phải là một quá trình từ đổi mới mục tiêu, nội
dung, phương pháp đến phương tiện giáo dục, đánh giá chất lượng giáo dục.
Như vậy, nâng cao chất lượng giáo dục phổ thông theo tình thần Nghị quyết số
29-NQ/TW Hội nghị Ban Chấp hành Trung ương Đảng lần thứ 8, khoá XI về “Đổi
mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo...” [2] được khẳng định như một chiến
lược, một chính sách giáo dục quốc gia.
Việc tổ chức kiểm tra, đánh giá theo định hướng phát triển năng lực học sinh
chiếm một vai trò hết sức quan trọng bởi từ kết quả kiểm tra, đánh giá khoa học, chính
xác giúp giáo viên và nhà trường từ các cấp học phổ thông đến đào tạo nghề nghiệp,
đào tạo đại học định hướng chiến lược phát triển của nhà trường, phát huy những ưu
điểm trong thực hiện nhiệm vụ chính trị của ngành và địa phương.
Trước mắt, vào năm cuối cấp học phổ thông đối với học sinh thì cần đạt được
kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia. Vì vậy, câu hỏi đặt ra là: Làm thế nào để
có thể giải quyết nhanh nhất, chính xác nhất, chắc chắn nhất những câu hỏi trong đề thi
THPT Quốc gia mơn Tốn? Những yêu cầu về kiến thức ở mức độ nào? Kỹ năng giải
tốn hiệu quả nhất là gì? ...
Trong những năm giảng dạy bộ mơn tốn ở trường phổ thơng tơi thường
được nhiều học sinh hỏi: Tại sao khi giải bài toán này phải bắt đầu như thế này hoặc
thế kia? Nhiều khi em không hiểu được tại sao người giải lại biết phải xuất phát từ đối
tượng mà tưởng chừng như khơng liên quan(!) đến đối tượng cần phải tìm? …
Những câu hỏi như thế đã làm tôi suy nghĩ và trăn trở nhiều trong quá trình
truyền thụ tri thức cho học sinh. Đành rằng việc giải toán là một q trình mị mẫm tìm
tịi dựa trên những hiểu biết của người học tốn. Tuy nhiên có người phải mầy mị rất

lâu lại có người tìm được hướng giải khá nhanh bí quyết là ở chỗ nào ?!
Đối với đại đa số học sinh thì việc chú trọng giải quyết các câu hỏi ở mức độ
nhận thức nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp là nhu cầu thiết yếu không thể thiếu.
Một bộ phận học sinh được gọi là có chỉ số IQ cao (thường là học sinh giỏi) thì có nhu
cầu giải quyết các câu hỏi ở mức độ vân dụng cao. Khi đó việc giải quyết nhanh, chính
xác các câu hỏi ở các mức độ nhận thức thấp hơn càng cần thiết, bởi vì có thể giành
được nhiều thời gian hơn và tạo đà tâm lý tốt hơn cho phần câu hỏi còn lại.
Để trả lời được những câu hỏi đặt ra thì trước hết bản thân học sinh phải có một
nền tảng kiến thức cơ bản vững chắc, có kỹ năng thiết yếu và một số kỹ sảo (hay còn
gọi là thủ thuật) giải quyết các dạng câu hỏi này. Bên cạnh sự nỗ lực, khả năng tự học,
tích lũy kiến thức của học sinh ... thì vai trò của người thầy là hết sức quan trọng.

1


Người thầy phải định hướng và trang bị kiến thức chuẩn cho học sinh, còn phải
biết đúc rút kinh nghiệm, tìm ra những phương pháp, kỹ năng cần thiết, hiệu quả để
trang bị cho học sinh thông qua các tiết đứng lớp giảng dạy kiến thức cơ bản, tiết ôn
tập ... nhằm từng bước tích lũy kỹ năng, kỹ sảo làm bài, chuyển hóa từ lượng sang
chất, có điểm “rơi” phù hợp, tạo niềm tin và tâm lý vững vàng, tự tin cho học sinh qua
đó giảm áp lực “thi cử” mà học sinh là người phải gánh chịu nhiều nhất (áp lực này
được tạo ra từ nhiều phía, từ xã hội, gia đình, nhà trường, việc làm, định hướng nghề
nghiệp, định hướng tương lai ...).
Mặc dù việc hướng dẫn học sinh giải tốn đã có nhiều thầy, cơ giáo đề cập khá
nhiều, thậm chí cịn thực hiện trên tầm vĩ mơ hơn xong việc trình bày lại một số kinh
nghiệm của cá nhân thiết nghĩ là không thừa.
Từ nhận thức trên và thực tiễn giảng dạy, bồi dưỡng học sinh cùng với q
trình tích lũy kinh nghiệm của bản thân, tơi xin đề xuất một số kỹ năng (có thể gọi là
phương pháp cũng được) giải quyết nhanh, hiệu quả một số dạng câu hỏi về bảng biến
thiên và đồ thị hàm số trong đề thi THPT quốc gia mơn Tốn (TNKQ) cho học sinh ở

trường trung học phổ thông (THPT) qua đề tài: “Một số kỹ năng cơ bản giải nhanh
các câu hỏi có bảng biến thiên, đồ thị hàm số trong đề thi THPT Quốc gia mơn
Tốn”.
Hy vọng rằng, sáng kiến kinh nghiệm (SKKN) này sẽ giúp được phần nào cho
đồng nghiệp trong quá trình giảng dạy và đặc biệt là học sinh THPT trong quá trình
học tập và dự thi THPT Quốc gia. Các kỹ năng tư duy được trình bày trong SKKN có
thể được áp dụng cho cả các bộ môn khác. Tuy nhiên, trong phạm vi đề tài và do góc
nhìn của mỗi người nên đề tài chỉ giới hạn trong phạm vị các câu hỏi mà nội dung có
chứa bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số đã được cho trước và sẽ khơng tránh khỏi
những thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp để đề tài
nghiên cứu đi vào thực tiễn. Xin chân thành cảm ơn!
2. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài trong SKKN xoay quanh việc nâng cao tính hiệu quả và sự khả thi trong
việc trang bị kiến thức, vận dụng các kỹ thuật, kỹ năng thiết yếu giải nhanh hệ thống
câu hỏi TNKQ trong đề thi THPT Quốc gia mơn Tốn về bảng biến thiên, đồ thị hàm
số cho học sinh (chủ yếu là học sinh lớp 12). Đề tài này áp dụng đối với học sinh
trường THPT Đào Duy Từ Thành phố Thanh Hóa và có thể vận dụng cho học sinh
nhiều nơi khác.
3. Đối tượng nghiên cứu:
- Cơ sở lý luận của việc đánh giá năng lực học sinh: Yêu cầu về mức độ nhận
thức của học sinh, yêu cầu về năng lực học sinh. Khả năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn giải Tốn của học sinh.
- Mục đích, mục tiêu cần đạt về kiến thưc, kỹ năng của học sinh sau khi học
xong chương trình Tốn THPT đã được cụ thể hóa trong nội dung của sách giáo khoa
Đại số 10, Đại số và Giải tích lớp 11 và Giải tích lớp 12.
- Tác động của đề tài “Một số kỹ năng thiết yếu giải nhanh các câu hỏi có
bảng biến thiên, đồ thị hàm số trong đề thi THPT Quốc gia mơn Tốn” lên đối tượng
người dạy và người học: Nội dung của đề tài giúp thầy, cơ có thêm hệ thống các kỹ
năng suy luận logic, suy luận có lý để áp dụng vào q trình giảng dạy; học sinh biết
2

được sự cần thiết của việc hệ thống hóa kiến thức cũng như tự tin hơn khi giải quyết
các câu hỏi trong quá trình học tập và thi THPT Quốc gia.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện tốt đề tài này tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
- Nghiên cứu cơ sở lý luận của một số kỹ thuật xây dựng đề và chuẩn hóa đế thi
TNKQ;
- Nghiên cứu kỹ thuật xây dựng hệ thống câu hỏi theo các mức độ nhận thức: Nhận
biết, thông hiểu, vận dụng (vận dụng thấp, vận dụng cao);
- Tổng hợp, hệ thống hóa các kiến thức liên quan theo hướng sử dụng sơ đồ tư duy;
- Áp dụng đối chứng giữa cách giải bài thông thường với cách giải bài khi
được trang bị, sử dụng kỹ năng mới;
- Tiếp tục điều chỉnh và bổ sung những kỹ năng mới hiệu quả hướng tới việc hệ
thống hóa những kỹ năng áp dụng cho thầy, cô giáo và mọi đối tượng học sinh (người
học).

B - NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I. Cơ sở lý luận của đề tài.
3


- Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV (khóa VII, 1993), hội nghị lần III (khóa VIII,
1997) của Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng sản Việt Nam đã chỉ rõ: “Mục tiêu
giáo dục - đào tạo phải hướng vào đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng
tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp...” và mục tiêu của chương trình
mới là “góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa
học, biết lao động hợp tác, có ý chí và thói quen tự học thường xuyên” [3]. Các quan
điểm đó được thể chế hóa trong Luật giáo dục nước Cộng hồ Xã hội Chủ nghĩa Việt
Nam: “Chương trình giáo dục phổ thông thể hiện mục tiêu giáo dục; quy định chuẩn

kiến thức, kỹ năng, phạm vi và cấu trúc nội dung giáo dục phổ thơng; phương pháp và
hình thức tổ chức hoạt động giáo dục, cách thức đánh giá kết quả giáo dục đối với
mỗi môn học ở mỗi lớp và mỗi cấp học của giáo dục phổ thông” [4] (Điều 29, mục II Luật Giáo dục - 2005).
- Tính cấp thiết của thời đại mà con người ngày càng sử dụng nhiều phương tiện
khoa học kỹ thuật tân tiến thì năng lực suy luận, tư duy và năng động trong việc giải
quyết vấn đề ngày càng trở nên cấp thiết.
- Đổi mới kiểm tra, đánh giá gắn liền với đổi mới PPDH nhằm phát huy tính tích
cực, tự giác, chủ động trong học tập của học sinh; bồi dưỡng phương pháp tự học; rèn
luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn;
1.1. Cơ sở khoa học.
Việc phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho học sinh, tạo cho học sinh sự
ham mê tìm hiểu, khám phá về các khái niệm mới, liên hệ với thực tiễn là một trong
những yêu cầu tất yếu trong sự ”Dạy” và ”Học” đòi hỏi cần xác định đúng, đánh giá
đúng năng lực của học sinh. Xác định cho học sinh mục tiêu, mục đích một cách khoa
học, đúng đắn và phù hợp nhằm đạt hiệu quả cao nhất sau q trình học tập.
Như vậy, có thể khẳng định mục đích của việc dạy học Tốn học ở trường
THPT khơng chỉ giúp cho học sinh phát triển tư duy nhận thức, khả năng vận dụng vào
thực tiễn của học sinh mà để đạt được điều đó thì yếu tố khơng thể thiếu trong hệ
thống logic nhận thức là tích hợp đầy đủ những thông tin một cách khoa học về năng
lực người học thông qua kiểm tra đánh giá. Kết quả của kỳ thi THPT Quốc gia là một
cơ sở quan trọng kiểm định chất lượng giảng dạy của thầy, cơ và q trình học tập, tích
lũy kiến thức của học sinh.
Điều này có đạt được hay khơng hồn tồn phụ thuộc vào việc xây dựng và tổ
chức việc học cho học sinh của giáo viên (GV), phương thức thu thập thông tin của
GV thông qua tổ chức kiểm tra, đánh giá chất lượng nhận thức của học sinh. Đó là lý
do chính để tơi chọn đề tài nghiên cứu trong sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kỹ năng
cơ bản giải nhanh các câu hỏi có bảng biến thiên, đồ thị hàm số trong đề thi THPT
Quốc gia mơn Tốn”.
1.2. Cơ sở thực tiễn.
Đánh giá trong giáo dục là công cụ để xác định năng lực nhận thức người

học, điều chỉnh quá trình dạy học. Đổi mới phương pháp dạy học được chú trọng để
đáp ứng những yêu cầu mới của mục tiêu giáo dục nên việc kiểm tra, đánh giá phải
chuyển biến mạnh theo hướng phát triển trí thơng minh, sáng tạo của học sinh, khuyến
khích vận dụng linh hoạt các kiến thức, kỹ năng đã học vào những tình huống thực tế,
4


làm bộc lộ khả năng của học sinh. Đánh giá không chỉ thực hiện ở thời điểm cuối cùng
của mỗi giai đoạn giáo dục mà trong cả quá trình giáo dục.
Hướng tới yêu cầu kiểm tra đánh giá công bằng, khách quan kết quả học tập của
học sinh, ngoài phương pháp đánh giá bằng quan sát và vấn đáp, người ta bổ sung các
hình thức đánh giá khác như đưa thêm các dạng câu hỏi trắc nghiệm khách quan; chú ý
hơn tới việc đánh giá cả quá trình lĩnh hội tri thức của học sinh, quan tâm tới việc tích
cực hoá hoạt động học tập của học sinh.
Trong thực tiễn, nhu cầu đạt được một điểm số nhất định (tương ứng với các
mức độ nhận thức) của học sinh sau mỗi cấp học ở chương trình phổ thơng và chuyển
tiếp lên bậc học cao hơn là tất yếu (trong giai đoạn hiện nay). Kết quả của kỳ thi THPT
Quóc gia là thước đo, là tiêu chuẩn đánh giá và là một trong những mục tiêu ban đầu
của học sinh trong quá trình chuẩn bị hành trang vào đời của người học.
II. Thực trạng của vấn đề.
Trong quá trình giảng dạy, một trong những điều tôi quan tâm là giáo viên dạy và
học sinh đã học, tiếp thu và vận dụng kiến thức toán học như thế nào? Thái độ của học
sinh đối với khái niệm Hàm số và các vấn đề liên quan ra sao? Đặc biệt, trước khi làm
đề tài này, tôi đã tiến hành điều tra thực tiễn về thực trạng dạy và học khái niệm Hàm
số, tổng hợp, phân tích các kiến thức có liên quan và vận dụng của học sinh, của giáo
viên khi giải quyết các câu hỏi (bài tốn) có chứa bảng biến thiên (BBT), đồ thị hàm số
ở tổ chuyên môn, tham khảo và trao đổi với nhiều giáo viên toán các thế hệ khác nhau
ở các trường THPT khác bằng các hình thức:
- Phỏng vấn một số giáo viên dạy giỏi, có kinh nghiệm trong giảng dạy;
- Dự giờ, quan sát tiết học; phỏng vấn học sinh, trao đổi tâm sự với học sinh;

Kết hợp cùng những kiến thức tiếp thu được trong các đợt tập huấn thay sách ở
Bộ GD & ĐT, tập huấn về đổi mới phương pháp dạy học, phương pháp kiểm tra đánh
giá, lộ trình đổi mới chương trình giáo dục phổ thơng. Từ đó, có thể nhận thấy:
+ Ở mỗi tiết dạy, cùng với việc tổ chức học tập theo hướng đổi mới thì việc rèn
luyện các dạng bài tập trắc nghiệm ứng với từng đơn vị kiến thức của từng bài, từng
chương, từng chủ đề cần được quan tâm (giai đoạn tích lũy về lượng của học sinh).
+ Trong thời đại bùng nổ thông tin như hiện nay, khơng khó để tìm được những bộ
câu hỏi trắc nghiệm được soạn sẵn cho từng chủ đề. Tuy nhiên, việc áp dụng các tài
liệu này vào giảng dạy sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh là điều không dễ
dàng. Thiết nghĩ, việc mỗi giáo viên có thể tự mình thiết kế, tổng kết được những kỹ
năng cơ bản về hàm số gắn với bộ câu hỏi trắc nghiệm phù hợp nhận thức học sinh,
phù hợp yêu cầu mức độ kiến thức kỹ năng cần đạt trong cấu trúc đề thi THPT Quốc
gia là điều hết sức cần thiết.
+ Trong đề thi THPT Quốc gia từ năm 2017, mơn Tốn thi theo hình thức TNKQ
(theo định hướng của Bộ Giáo dục và Đào tao) thì câu hỏi về Hàm số luôn chiếm tỉ lệ
lớn một cách trực tiếp hay gián tiếp (lồng ghép) mà trong đó câu hỏi có chứa bảng biến
thiên (BBT) hay đồ thị được trải rộng ở tất cả các mức độ nhận thức (điều này là tất
yếu, bởi nhẽ hàm số được xem là “Xương sống” là “Cốt lõi” trong chương trình Tốn
học phổ thơng).
+ Một số giáo viên khi soạn câu hỏi TNKQ tỏ ra “dễ dãi” khơng phân tích, đánh
giá đầy đủ, khoa học nên một bộ phận học sinh mất phương hướng (chẳng hạn, quá
5


nhiều câu hỏi mà học sinh chỉ cần sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) là có thể giải
quyết được) nên khi bước vào các kì thi, gặp các câu hỏi địi hỏi nắm vững kiến thức
cơ bản thì học sinh thường lúng túng, không tự tin để giải quyết. Mặt khác với thực
trạng này, học sinh luôn bị động, đôi khi chủ quan, hoặc quá tả, quá hữu (nhất là đối
với số học sinh chưa xác định được mục tiêu học tập, lười tư duy, “Ăn sẵn” hay máy
móc, dập khn ...).

Trước thực trạng đó, là một giáo viên dạy Tốn THPT nhiều năm, tơi thấy cần
thiết phải giúp các em học sinh, đóng góp một phần vào quá trình giảng dạy của thầy,
cơ giáo qua nội dung của đề tài “Một số kỹ năng cơ bản giải nhanh các câu hỏi có
bảng biến thiên, đồ thị hàm số trong đề thi THPT Quốc gia mơn Tốn”.
Tuy nhiên, vì điều kiện và hạn chế của phạm vi đề tài. Tơi chỉ xin trình bày nội
dung đề tài trong một số vấn đề cơ bản thường gặp nhất về BBT và đồ thị hàm số (có
mở rộng với một vài hàm số đạo hàm).
III. Các giải pháp thực hiện đề tài.
3.1. Bảng phân loại (đặc tính) các cấp độ tư duy
Bảng 1. Bảng phân loại các cấp độ tư duy (theo GS. Boleslaw Niemierko)
Cấp độ tư duy
Mô tả
Học sinh nhớ các khái niệm cơ bản, có thể nêu lên hoặc nhận
Nhận biết
ra chúng khi được yêu cầu.
Thông hiểu

Vận dụng thấp

Vận dụng cao

Học sinh hiểu các khái niệm cơ bản và có thể vận dụng chúng
khi chúng được thể hiện theo các cách tương tự như cách giáo
viên đã giảng hoặc như các ví dụ tiêu biểu về chúng trên lớp học.
Học sinh có thể hiểu được khái niệm ở cấp độ cao hơn “thông
hiểu”, tạo ra được sự liên kết lơgic giữa các khái niệm cơ bản và
có thể vận dụng chúng để tổ chức lại các thông tin đã được trình
bày giống với bài giảng của giáo viên hoặc trong sách giáo khoa.
Học sinh có thể sử dụng các khái niệm về môn học – chủ đề để
giải quyết các vấn đề mới, không giống với các điều đã được học

hoặc trình bày trong sách giáo khoa nhưng phù hợp khi được giải
quyết với kĩ năng và kiến thức được giảng dạy ở mức độ nhận
thức này. Đây là những vấn đề giống với các tình huống học sinh
sẽ gặp phải ngoài xã hội.

Bảng 2. Bảng phân loại các cấp độ tư duy được áp dụng vào mơn Tốn.
Cấp độ tư duy

Nhận biết

Thông hiểu

Mô tả
- Nhớ (nhận ra) các kiến thức cơ bản (khái niệm, định nghĩa, tính chất,
định lý, hệ quả, ...)
- Nhận ra kết quả, khẳng định giống như trong SGK hay các ví dụ điển
hình ...
- Thể hiện được các kiến thức cơ bản bằng ngôn ngữ của cá nhân

6


- Giải quyết các tình huống Tốn học đơn giản, giống hoặc tương tự các
tình huống học sinh đã được luyện tập trên lớp, cũng như đã có trong
SGK

Vận dụng thấp

Vận dụng cao

- Tạo ra được sự liên kết logic giữa các thông tin
- Vận dụng để tổ chức lại các thơng tin được trình bày giống với bài
giảng của giáo viên hoặc trong SGK
- Nhận biết nội dung toán học trong tình huống có vấn đề phải giải
quyết
- Vận dụng tổng hợp các kiến thức để giải quyết các bài tốn tốn học
có liên quan, các vấn đề mới, khơng giống với những điều hoặc trình
bày trong SGK.
- Biết phân tích, tổng hợp, suy luận, lập luận, khái quát hóa trong chứng
minh tốn học.
- Biết quy lạ thành quen. Biết vận dụng để giải quyết các bài toán trong
thực tiễn cuộc sống.

3.2. Bảng tổng hợp các phép biến đổi đồ thị
3.2.1. Phép tịnh tiến đồ thị hàm số
Bao gồm các phép tịnh tiến dọc theo các trục tọa độ (đã được trang bị ở chương
trình Đại số 10 – NC).
3.2.2. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng 1: Lập BBT và vẽ đồ thị (G) của hàm số y  f  x 

�
�f  x  khi f  x  �0
Ta có: y  f  x   �
, suy ra  G    C1  � C2 
� f  x  khi f  x   0





+  C1  là phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành y C  �0 .
+  C2  là phần đối xứng qua trục Ox của phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox
Dạng 2: Lập BBT và vẽ đồ thị (H) của hàm số y  f  x 

 y   0
C

Vì  x  x nên y  f  x  là hàm số chẵn, suy ra đồ thị (H) nhận trục tung làm trục
đối xứng. Suy ra ( H )   C3  � C4 
+  C3  là phần đồ thị của (C) nằm bên phải trục tung  x �0  .
+  C4  là phần đối xứng của  C3  qua trục tung.
3.3. Tổng hợp, hệ thống hóa, dấu hiệu đặc trưng của các hàm số thường gặp
Trên cơ sở các bảng tóm tắt kiến thức về các phép biến đổi đồ thị (Đại số lớp 10
– Nâng cao), đạo hàm, giới hạn hàm số, tính liên tục của hàm số (Đại số và Giải tích
lớp 11) và chương trình Giải tích 12.
Để ý rằng: BBT hàm số là một cách Đại số hóa, Giải tích hóa đồ thị và ngược
lại Đồ thị là một cách Hình học hóa BBT của hàm số, hay cịn có thể nói rằng: Trong
BBT có Đồ thị, trong Đồ thị có BBT.
3.3.1. Định dạng đồ thị và dấu hiệu đặc trưng của hàm số bậc ba

7


1. Định dạng hàm số bậc 3: y  ax 3  bx 2  cx  d ; a �0
a>0

a<0

y '  0 có hai
nghiệm phân biệt

hay  y /  0
(H1)

(H2)

y '  0 có
nghiệm kép hay

 y/  0
(H3)

(H4)

y '  0 vô
nghiệm hay

 y/  0
(H5)

(H6)

2. Dấu hiệu đặc trưng của hàm số bậc ba
+) TXĐ: D  �
+) Giới hạn tại vô cực và bằng vô cực
Nếu a  0 : lim f  x   �; lim f  x   � (tương ứng với các dạng đồ thị ở hình
x ��

x��

(H1), (H3) và (H5))

Nếu a  0 : lim f  x   �; lim f  x   � (tương ứng với các dạng đồ thị ở hình
x ��

x��

(H2), (H4) và (H6))
+) Tính đơn điệu và cực trị: Dựa vào dấu của đạo hàm (các định lý về dấu)
+) Điểm uốn của đồ thị hàm số ln có và tại đó tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất khi
a  0 , hệ số góc nhỏ nhất nếu a  0 .
3.3.2. Định dạng đồ thị và dấu hiệu đặc trưng của hàm số trùng phương
1. Định dạng hàm số bậc bốn trùng phương: y  ax 4  bx 2  c; a �0
a>0

a<0

y '  0 có 3
nghiệm phân
biệt hay ab  0
(H7)

(H8)

8


y '  0 có đúng
1 nghiệm hay

ab �0
(H9)

(H10)

2. Dấu hiệu đặc trưng của hàm số bậc bốn trùng phương
+) Hàm số y  ax 4  bx 2  c; a �0 là hàm số chẵn và trục đối xứng là trục Oy
x0
�
3
2
+) Đạo hàm: y '  4ax  2bx  2 x  2ax  b  , y '  0 � � 2
2ax  b  0
�
+) Hàm số có 3 cực trị: ab  0
�a  0
- Nếu �
hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu (Hình H7)
b0
�
�a  0
- Nếu �
hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu (Hình H8)
b0
�
+) Hàm số có 1 cực trị ab �0, a �0
�a  0
- Nếu �
hàm số có 1 cực tiểu và khơng có cực đại (Hình H9)
b �0
�
�a  0

- Nếu �
hàm số có 1 cực đại và khơng có cực tiểu (Hình H10)
b �0
�
ax  b
3.3.3. Định dạng đồ thị và dấu hiệu đặc trưng của hàm số y 
cx  d
ax  b
ad  bc �0, c �0
y
1. Định dạng đồ thị hàm số
cx  d ,
ad  bc  0
ad  bc  0

(H11)

2. Dấu hiệu đặc trưng của hàm số y 

(H12)

ax  b
, ad  bc �0, c �0
cx  d

�d�
 �
+) Tập xác định: D  �\ �
�c
ad  bc

+) Đạo hàm: y 
2
 cx  d 

- Nếu ad  bc  0 : Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm
góc phần tư (II) và (IV) theo các đường tiệm cận chia ra. (Hình H11)

9


- Nếu ad  bc  0 : Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm
góc phần tư (I) và (III) theo các đường tiệm cận chia ra. (Hình H12)
d
a
�d a�
+) Đồ thị hàm số có: TCĐ: x   và TCN: y  . Tâm đối xứng: I � ; �
c
c
� c c�
3.4. Phân tích, hướng dẫn một số kỹ năng cơ bản về bảng biến thiên và đồ thị
hàm số trong đề thi THPT Quốc gia mơn Tốn.
3.4.1. Kỹ năng 1: Xác định khoảng đơn điệu của hàm số y  f  x  , y '  f '  x 
3.4.1.1. Đối với hàm số y  f  x 
Học sinh chỉ cần quan sát dòng y '  f '  x  hoặc hướng mũi tên “đi lên” và “dóng”
ngược lên dịng biểu diễn biểu diễn các giá trị đặc biệt của biến số x (tức là dòng biểu
diễn hình học tập xác định của hàm số) trong BBT. Đối với đồ thị hàm số (C) thì quan
sát phần đồ thị có hướng đi lên từ trái sang phải.
Cần chú ý đến các điểm “mút” mà tại đó y '  f '  x  xảy ra dầu bằng (tại “hữu hạn
điểm” hoặc tại “một số điểm”).
3.4.1.2. Đối với hàm số y  f  x  cho bởi BBT hoặc đồ thị của y '  f '  x 

Từ BBT hoặc đồ thị của y '  f '  x  ta chuyển về BBT của hàm số y  f  x  . Từ đó
sử dụng kỹ năng về xác định khoảng đơn điệu của hàm số y  f  x  để tìm. Trường
hợp hàm số được cho bởi hàm số hợp thì cần tính đạo hàm hàm số hợp để có kết luận.
3.4.1.3. Ví dụ minh họa
Câu 1. [NB] (Câu 28 – Đề thi THPT QG năm 2017, mã đề 101)
ax  b
Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y 
với a,b,c,d là các số
cx  d
thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. y '  0, x ��

B. y '  0, x ��

C. y '  0, x �1

D. y '  0, x �1

Hướng dẫn suy luận:
+ Đồ thị có TCĐ x  1 nên loại A, B
+ Đồ thị có hướng “đi xuống” nên hàm sô nghịch biến
+ Chọn đáp án D
Câu 2. [TH] (Câu 4 – Đề thi THPT QG năm 2018, mã đề 101)
Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
10


A.  0;1 .

B.  �;0  .

C.  1;� .

D.  1;0  .

Hướng dẫn suy luận:
+ Yêu cầu là hàm số nghịch biến nên y '  0 trên 2 khoảng, trong các phương án
lại khơng có dầu đẳng thức
+ Suy ra chọn đáp án A.
Câu 3. [TH] (Câu 13 – đề thi THPT QG năm 2018, mã đề 112)
Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  2;3 .

B.  3;� .

C.  �; 2  .

D.  2; � .

Hướng dẫn suy luận:
+ Yêu cầu là hàm số đồng biến nên y '  0 trên 1 khoảng, trong các phương án lại
khơng có dầu đẳng thức
+ Suy ra chọn đáp án A.
Câu 4. [VDC] (Đề KSCL lớp 12–Sở GD&ĐT Thanh Hóa 2019)

 x  như hình bên

Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị hàm số y  f �
và f  2   f  2   0. Hàm số g  x   �
�f  3  x  �
� nghịch biến trên
khoảng nào trong các khoảng sau?
A.  2; � .
B.  2;5  .
C.  1;2  .
D.  5; � .
Hướng dẫn suy luận:
2

 x  , suy ra bảng biến thiên của hàm số f  x  :
+ Dựa vào đồ thị hàm số y  f �

+ Từ bảng biến thiên suy ra f  x  �0, x ��. .

 x   2 f �
 3  x . f  3  x .
+ Tính đạo hàm của hàm số hợp. Ta có g �
�
 3  x   0 �2  3  x  1 �2  x  5
�f �
�
�
g
x

0
�

f
3

x
.
f
3

x

0
�
��
��
.






Xét
�
3 x  2
�
�x  1
�f  3  x   0
+ Suy ra hàm số g  x  nghịch biến trên các khoảng  �;1 và  2;5  .
3.4.1.4. Bài tập đề nghị
Câu 1. Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên như sau. Chọn khẳng định đúng.

11


A. Hàm số nghịch biến trên (1;1) .
B. Hàm số nghịch biến trên (1; �)
C. Hàm số đồng biến trên (�; 1) .
D. Hàm số đồng biến trên (1;1)
Câu 2. (Đề tham khảo 2019 – Bộ GD&ĐT). Cho hàm số y  f (x) có đồ thị như hình vẽ

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
A. 0;1
B.  ; 1
C. 1;1
Câu 3. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

D. 1;0)

Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  �;  1 .

B.  0;1 .

C.  1;1 .

D.  1;0  và  1;�

Câu 4. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên �, thoả mãn f  1  f  3  0 và đồ thị
của hàm số y  f '  x  có dạng như hình dưới đây. Hàm số y   f  x   nghịch biến trên
2

khoảng nào trong các khoảng sau?
4
3
2
1

f(x)=-X^3+3X^2+X-3
-3

A.  2; 2  .

-2

B.  0; 4  .

-1

-1
-2
-3
-4

y

x
1

2

3

C.  2;1 .

D.  1; 2  .

Câu 5. Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu như sau:

Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  �; 2  .

B.  3;1 .

C.  0; � .

D.  2;0  .

Câu 6. Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

12


3
Hàm số y  3 f  x  2   x  3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.  �; 1 .

B.  1; � .

C.  1;0  .

D.  0; 2  .
y

Câu 7. (Đề KSCL lớp 12 – Sở GD&ĐT Thanh Hóa 2019)

 x
Cho hàm số y  f  x  liên tục trên � có đồ thị hàm số y  f �

5

1
2

như hình vẽ. Xét hàm số g  x   f  x   x 2  3x . Khi đó khẳng định

3

nào sau đây đúng ?

1

A. g  4   g  2  .

B. g  0  �g  2  .

C. g  2   g  4  .

D. g  2   g  0  .

- 2

O

2

Câu 8. Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên � và có bảng biến thiên:
.
–∞+∞0

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  �;1 . B. Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.
C. Hàm số đạt cực trị tại x  2 .
D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 .
Câu 9. Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên �, có đồ thị f '  x  như hình vẽ.

Hàm số y  f  2  x   1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  1;0 

B.  0;2 

C.  1; �

� 1�
� 2�

0; �
D.  2;3 va #�

Câu 10. [VDC] (Câu 50, mã đề 10-Đề thi THPT QG 2018)

Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  . Hai hàm số y  f '  x  ,
y  g '  x  có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong

đậm hơn là đồ thị của hàm số y  g '  x  . Hàm số
� 3�
h  x   f  x  4   g �2 x  �đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
� 2�
� 31 �
�9 �
�31
�
� 25 �
5; � B. � ;3 � C. � ; �� D. �
6; �
A. �
� 5�
�4 �
�5
�
� 4 �
3.4.2. Kỹ năng 2: Xác định điểm cực trị, giá trị cực tri của hàm số; điểm cực trị
của đồ thị hàm số y  f  x  , y '  f '  x 
3.4.2.1. Đối với hàm số y  f  x 

13

x


Chú ý rằng: Điểm cực trị x0 của hàm số phải là điểm “tới hạn”. Nghĩa là

f '  x0   0 hoặc x0 thuộc TXĐ mà tại đó hàm số khơng có đạo hàm. Từ việc xác định

được x0 , suy ra giá trị cực trị f  x0  và điểm cực trị của đồ thị hàm số M  x0 ; f  x0  
3.4.2.2. Đối với hàm số y  f  x  cho bởi BBT hoặc đồ thị của y '  f '  x 

Thường được thể hiện bởi f '  x0   0 hoặc đó là giao điểm của đồ thị hàm số
y '  f '  x  (C) với trục hồnh Ox .
3.4.2.3. Ví dụ minh họa
Câu 1. [NB] (Câu 2 - Đề tham khảo thi THPT QG 2019 của Bộ GD&ĐT)
Cho hàm số y  f (x) có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A. 1
B. 2
C. 0
D. 5
Hướng dẫn suy luận:
+ Từ BBT: Hàm số có điểm cực đại và giá trị cực đại của hàm số;
+ Hàm số đạt cực đại tại điểm x  2 và giá trị cực đại của hàm số yCD  5 ;
+ Chọn đáp án D.
Câu 2. [TH] (Câu 4 – Đề minh họa thi THPT QG năm 2017 của Bộ GD&ĐT)
Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên � và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số có đúng 1 cực trị.
B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0, giá trị nhỏ nhất bằng -1.
D. Hàm số đạt cực đại tại x  0 và đạt cực tiểu tại x  1 .
Hướng dẫn suy luận:
+ Từ BBT: Hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu và giá trị hàm số tương ứng;

Loại đáp án A, C (chú ý từ khóa “đúng”);
+ Hàm số đạt cực đại tại điểm x  0 và đạt cực tiểu tại x  1 ;
+ Chọn đáp án D.
Câu 3. [TH] (Câu 4 đề thi THPT QG năm 2017, mã đề 101)
Cho hàm số y  f  x  , có bảng biến thiên như sau

14


Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số có ba điểm cực trị.
B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3.
C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0
D. Hàm số có hai điểm cực tiểu.
Hướng dẫn suy luận:
+ Từ BBT: Hàm số có 1 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu và giá trị hàm số tương ứng; các
đáp án A, B và D đều đúng;
1 (Chú ý từ khóa “sai”); Chọn đáp án C.
+ Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  �
Câu 4. [TH] (Đề KSCL lớp 12 – Sở GD&ĐT Thanh Hóa 2019)
Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên đoạn  1;3 và có đồ thị như
hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x  0, cực đại tại x  2.
B. Hàm số có hai điểm cực tiểu là x  0, x  3.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x  0, cực đại tại x  1.
D. Hàm số có hai điểm cực đại là x  1, x  2.
Hướng dẫn suy luận:
+ Từ đồ thị: Hàm số có 1 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu;
+ Dựa vào hình dáng của đồ thị suy ra kết luận (Chú ý từ khóa “đúng”);
+ Chọn đáp án A.

Câu 5. [VD] (Câu 16- Đề tham khảo 2019 – Bộ GD&ĐT)
Cho hàm số y  f x liên tục trên đoạn 1;3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M
và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 1;3 . Giá
trị của M  m bằng

A. 0
B. 1
C. 4
D. 5
Hướng dẫn suy luận:
+ Dựa vào đồ thị hàm số ta xác định được điểm cao nhất và điểm thấp nhất của đồ thị
trên đoạn 1;3;
+ Tung độ điểm cao nhất là giá trị lớn nhất của hàm số, tung độ điểm thấp nhất là giá
trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;3.;
+ Từ đó ta tìm được M ; m � M  m . Chọn đáp án D.
15


3.4.2.4. Bài tập đề nghị
Câu 1. (Đề KSCL lớp 12 – Sở GD&ĐT Thanh Hóa 2019)
Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên:
�

x
f ' x 

3
+

1



0

0

�

2
+

P

+

�
3

f  x

5

�

4

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là 4.

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng  �; 3 và  1;� .
C. Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu.
D. Giá trị cực đại của hàm số là 5.
Câu 2. (Đề KSCL lớp 12 – Sở GD&ĐT Thanh Hóa 2019)
Cho hàm số y  f  x  liên tục trên � và có đồ thị là đường cong
như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
� 3�

1; . Giá trị của M  m bằng
nhỏ nhất của hàm số f  x  trên �
� 2�
�

A.

1
.
2

B. 5.

C. 4.

D. 3.

3.4.3. Kỹ năng 3: Xác định hàm số y  f  x 
Học sinh cần dựa vào dấu hiệu đặc trưng của các hàm số cơ bản, chẳng hạn:
+ Hàm số bậc ba nên nhận dạng theo thứ tự: Xác định dấu của hệ số a � giao

điểm với trục tung D  0; d  � giao điểm với trục hồnh (nếu có) � sự tồn tại cực trị

(ln có 2 cực trị hoặc khơng có cực trị) � quan hệ của 2 cực trị � Điểm uốn của
đồ thị …
+ Hàm số bậc bốn trùng phương nên nhận dạng theo thứ tự: Xác định dấu
của hệ số a � dấu của tích ab � giao điểm với trục tung C  0; c  � độ dốc của
đồ thị … (cần chú ý phân biệt giữa đồ thị hàm số bậc 2 – parabol với đồ thị hàm số

y  f  x  ).

ax  b
, ad  bc �0, c �0 nên nhận dạng theo thứ tự: Giao điểm
cx  d
với trục tung, trục hoành � Tiệm cận của đồ thị � Dấu của ad  bc ...
+ Hàm số y 

3.4.3.1. Ví dụ minh họa
Câu 1. [TH] (Câu 1 - Đề minh họa thi THPT QG năm 2017)
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong
bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D
dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. y   x 2  x  1 .

4
2
C. y  x  x  1 .

B. y   x 3  3x  1 .

3
D. y  x  3 x  1 .

16


Hướng dẫn suy luận:
+ Dựa vào đồ thị hàm số: Nhận xét đây là đồ thị hàm số bậc ba với hệ số a  0 ;
+ Thêm dấu hiệu: Có 2 cực trị và các nhánh “vơ cực” phù hợp;
+ Từ đó chọn đáp án D.
Câu 2. [TH] (Câu 5 – Đề thi THPT QG năm 2017, mã đề 101)
Đường cong ở hình bên là đồ thị của 1 trong 4 hàm số
dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
A. y   x 3  x 2  1 .

B. y  x 4  x 2  1

C. y  x 3  x 2  1 .

D. y   x 4  x 2  1

Hướng dẫn suy luận:
+ Dựa vào đồ thị hàm số: Nhận xét đây là đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương với hệ
số a  0 ; nên loại đáp án A, C và D;
+ Thêm dấu hiệu: Có 3 cực trị nghĩa là tích ab  0 phù hợp;
+ Từ đó chọn đáp án D.
Câu 3. [TH] (Câu 15- Đề tham khảo 2019 – Bộ GD&ĐT)
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ?

A. y 

2x 1

x 1

B. y 

x 1
x 1

C. y  x 4  x 2  1

D. y  x 3  3x  1

Hướng dẫn suy luận:
+ Dựa vào đồ thị hàm số: Xác định đây là đồ thị của hàm số dạng y 

ax  b
và
cx  d

nghịch biến trên từng khoảng xác định; nên loại đáp án C, D;
+ Thêm dấu hiệu: Đồ thị hàm số trên hình nhận y=1 làm TCN, x=1 làm TCĐ;
+ Từ đó chọn đáp án B.
3.4.3.2. Bài tập đề nghị

Câu 2. (Đề KSCL lớp 12 – SỞ GD&ĐT Thanh Hóa năm 2019)
Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?
A. y   x 3  4 x.

B. y  x 3  4 x.

C. y  x 4  4 x 2 .

D. y   x 4  4 x 2 .

Câu 3. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị là đường
cong như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?.
17


A. a > 0,b = 0,c < 0,d < 0.
B. a > 0,b > 0,c = 0,d < 0.
C. a > 0,b = 0,c > 0,d < 0.
D. a > 0,b < 0,c = 0,d < 0.
Câu 4. Cho biết hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Trong các
khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
y
�

�

�
a>0
�
A. �
�2

�
a<0
�
B. �
�2

.

b - 3ac < 0
�
�
�
a<0
�
C. �
.
�
b2 - 3ac > 0
�
�

.

b - 3ac < 0
�
�
�
a>0
�
D. �
.
�
b2 - 3ac > 0
�
�

x

O

3.4.4. Kỹ năng 4: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
f  x  ; lim f  x  ; lim f  x  va lim f  x  . Đặc biệt, để
Trên cơ sở các giới hạn xlim
��
x ��
x � x0
x � x0
có TCN, TCX cần có “nhánh vơ cực”, TCĐ cần có x0 mà TXĐ phải có dạng K \  x0  .
3.4.4.1. Ví dụ minh họa
Câu 1. [TH] Cho hàm số y  f x có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 4
B. 1
C. 3
D. 2
Hướng dẫn suy luận:
+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định các tiệm cận của đồ thị hàm số.
+ Đồ thị hàm số có 1 tiệm cần đứng là x=1 và có 2 tiệm cận ngang là y=2, y=5
+ Từ đó chọn đáp án C.
Câu 2. [VD] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số
đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
x
�
2

'
y

�

0




�

1

y

�

A. 4.
Hướng dẫn suy luận:

B. 2.

0

C. 3.

D. 1.

f  x   0; lim f  x  =-�; lim f  x   �;

+ Dựa vào BBT hàm số: Có các giới hạn xlim
��
x �2
x �0

+ Thêm dấu hiệu: Suy ra được TXĐ của hàm số D   2; � \  0 ;
+ Từ đó chọn đáp án C.
3.4.4.2. Bài tập đề nghị
Câu 1. (Đề KSCL lớp 12 – Sở GD&ĐT Thanh Hóa 2019)
Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

18


x
y'
y

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 2 .
B. 4 .
C. 1 .
D. 3 .
Câu 2. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. 4.
B. 2.
C. 3.
D. 1.

3.4.5. Kỹ năng 5: Xác định số nghiệm của phương trình, bất phương trình
3.4.5.1. Số nghiệm của phương trình
Cơ sở lý thuyết là: Hàm số y  f1  x 

 C1  ,

y  f2  x 

 C2 

có số giao điểm được

�y  f1  x 
suy ra từ số nghiệm của phương trình f1  x  =f 2  x  hay hệ phương trình �
�y  f 2  x 
và ngược lại.
Nếu phương trình có chứa tham số thì có thể chọn cách “cô lập” tham số. Khi tham
số thay đổi, đồ thị tương ứng thay đổi, nên số giao điểm thay đổi (số nghiệm thay đổi).
3.4.5.1.1. Ví dụ minh họa
Câu 1. [VD] (Đề KSCL lớp 12 – Sở GD&ĐT Thanh Hóa 2019)
Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực của phương trình 2 f  x   3  0 là
A. 4 .
Hướng dẫn suy luận:

B. 1 .

C. 2 .

D. 0 .

3
3
. Xét các hàm số y  f  x  và y  .
2
2
+ Hình dung BBT ra hình dạng của đồ thị để có số giao điểm của đường cong
+ Biến đổi phương trình thành f  x  

 C  : y  f  x

và đường thẳng  d  : y 

3
;
2

19


ax 2  bx  c
, p �0 )
+ Từ đó chọn đáp án D. (BBT này là của hàm số dạng y 
px  q
Câu 2. [VD] Đường cong ở bên hình là đồ thị của hàm số y  ax 4  bx 2  c với a,b,c là
các số thực. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm thực phân biệt
B. Phương trình y’ = 0 có ba nghiệm thực phân biệt

C. Phương trình y’ = 0 có vơ nghiệm trên tập số thực
D. Phương trình y’ = 0 có đúng một nghiệm thực
Câu 3. [VDC] (Đề KSCL lớp 12–Sở GD&ĐT Thanh Hóa 2019)

y

Cho hàm số y  f  x  liên tục trên � có đồ thị như hình vẽ. Có

2

bao nhiêu giá trị ngun của tham số m để phương trình
f



2 f  cos x 



 �
�
 m có nghiệm x �� ;  �.
�2 �

A. 5 .
C. 2 .

B. 3 .
D. 4 .

1
- 2

1
- 1 O
- 1

2

- 2

Hướng dẫn suy luận:
+ Đây là dạng hàm số hợp có chứa hàm số lượng giác nên cần chọn cách đặt ẩn phụ
(cần xác định điều kiện của ẩn phụ) hoặc suyn luận trực tiếp;
 �
�
Ta có, với x �� ; �� cos x � 1;0 � f  cos x  � 0;2  � 2 f  cos x  � 0;2 
khi đó f



�2



�

2 f  cos x  � 2;2  .

 �

�
+ Do vậy, từ dạng của đồ thị suy ra phương trình đã cho có nghiệm x �� ; �khi và
�2 �

chỉ khi m � 2; 2  . Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu. Chọn đáp án D.
3.4.5.1.2. Bài tập đề nghị
Câu 1. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình bên. Khi đó tất cả các giá trị
của m để phương trình f  x   m  1 có ba nghiệm thực là

A. m � 3;5  .

B. m � 4;6  .

C. m � �;3 � 5;  � .

D. m � 4;6 .

Câu 2. Cho hàm số f  x  liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau:

.
Xét các mệnh đề sau:.
20

x


1. Phương trình f  x   m có nghiệm khi và chỉ khi m �2 .
2. Cực đại của hàm số là -3.
3. Cực tiểu của hàm số là 2.
4. Đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị.

5. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang.
Số mệnh đề đúng là:
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Câu 3. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên. Tìm tất cả các giá trị thực của
tham số m để phương trình f  x   m có bốn nghiệm thực phân biệt.
A. m  1 .
B. m  5 .
C. 1  m  5 .
m 1
�

D. �
.
m5
�

4
3
2
Câu 4. Cho hàm số f  x   mx  nx  px  qx  r  m, n, p, q, r �� . Hàm số y 
fx có đồ thị như hình vẽ bên.

Tập nghiệm của phương trình f x  r có số phần tử là
A. 4
B. 3
C. 1

D. 2

3.4.5.2. Tập nghiệm của bất phương trình
3.4.5.2.1. Ví dụ minh họa
Câu 1. Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f '  x  có bảng biến thiên như sau

x
Bất phương trình f  x   e  m đúng với mọi x (1;1) khi và chỉ khi

A. m �f  1  e

B. m  f  1 

1
e

1
e

C. m �f  1 

D. m  f  1  e

Hướng dẫn suy luận:
m, x
+ Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng g  x  �۳

 a; b 

max g  x 

m

 a ;b

+ Đặt g  x   f  x   e . Từ đồ thị của f '  x  suy ra g '  x   f '  x   e  0; x � 1;1
x

  

+ Max g  x 
 1;1

f

 1

1
e

x

m

f

 1

1
. Vậy chọn đáp án C.

e

Câu 2. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

21


Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình f  x  1  1 �m có nghiệm?
A. m  5 .
Hướng dẫn suy luận:

B. m �2 .

C. m �4 .

D. m �1 .

+ Đặt t  x  1  1 , t �1 . Bất phương trình trở thành f  t  �m .
+ Bất phương trình có nghiệm � bất phương trình f  t  �m có nghiệm thuộc  1; �
۳ m

min f  t  ۳ m
 1;�

4 . Chọn đáp án C.

3.4.5.2.2. Bài tập đề nghị
Câu 1. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình dưới đây.

2

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 f  x   x  4 x  m

nghiệm đúng với mọi x � 1;3 .
A. m  3 .
B. m  10 .
C. m  2 .
D. m  5 .
Câu 2. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f(2)  2,f(2)  2 và có bảng biến thiên như hình bên

Có bao nhiêu số tự nhiên m thỏa mãn f  f  x   �m có nghiệm thuộc đoạn  1;1 ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3.5. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình giảng dạy ở các năm học 2016 – 2017, 2017 – 2018, 2018 –
2019 một số lớp ôn tập khác, tôi đã vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào kiểm tra
đánh giá năng lực học sinh và đã đạt được kết quả rất khả quan. Tôi nhận thấy rằng
những kỹ năng này rất phù hợp theo định hướng kiểm tra đánh giá trong các kì thi
THPT quốc gia. Đặc biệt giúp các em học sinh không chỉ ôn luyện kiến thức mà còn
rèn luyện thêm khả năng tư duy logic cho học sinh. Học sinh có hứng thú học tập hơn,
tích cực chủ động sáng tạo để mở rộng vốn hiểu biết, đồng thời cũng rất linh hoạt
22


trong việc thực hiện nhiệm vụ lĩnh hội kiến thức và phát triển kĩ năng. Tôi cũng hy
vọng việc áp dụng đề tài này học sinh sẽ đạt được kết quả cao trong các kì thi và đặc
biệt học sinh sẽ u thích mơn học này hơn.
Kết quả cụ thể của năm học 2017 – 2018 và 2018 - 2019:
Lớp

Sĩ số

Giỏi

Khá

Tb

Yếu

Kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

11B8

50

15

30%

31

62%

4

8%

0

0

0

0

Lớp BD

50

22

44%

24

48%

4

8%

0

0

0

0

Như vậy, việc trang bị cho học sinh (có thể cả giáo viên) “Một số kỹ năng cơ
bản giải nhanh các câu hỏi có bảng biến thiên, đồ thị hàm số trong đề thi THPT
Quốc gia mơn Tốn” góp phần tích cực vào hoạt động học tập nhằm vận dụng các
kiến thức cơ bản Tốn học nói chung và học về Hàm số nói riêng đã thực sự trở thành
một khâu quan trọng không thể thiếu trong dạy học theo lý thuyết kiến tạo. Góp phần
phát triển tư duy, tích cực hố hoạt động nhận thức của HS, nâng cao chất lượng dạy
và học cũng như hiệu quả trong các kỳ thi. Đặc biệt là thi THPT Quốc gia.
C – KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận.

Tóm lại, kiểm tra - đánh giá là một khâu quan trọng trong quá trình giáo dục. Quá
trình giáo dục nào mà một con người tham gia cũng nhằm tạo ra những biến đổi nhất
định trong con người đó. Muốn biết những biến đổi đó xảy ra ở mức độ nào phải đánh
giá hành vi của người đó trong một tình huống nhất định.
Hiện nay, với sự phân hố về trình độ và tính tập thể trong tâm lí học của học sinh
trung học phổ thông, hợp tác trong dạy học sẽ giúp học sinh cùng học hỏi, giảng giải
cho nhau bằng các hình thức tổ chức hợp tác nhằm tạo các mối liên hệ ràng buộc giữa
các cá thể trong học tập.
Như vậy nếu áp dụng SKKN ngày vào giảng dạy, kiểm tra đánh giá đại trà sẽ
giúp thầy, cô giáo nắm bắt và điều chỉnh kịp thời quá trình giảng dạy; giúp học sinh
tiếp thu bài học tốt hơn, tự tin hơn trong học tập và đạt hiệu quả cao trong giải các bài
tập trong SGK cũng như trong các đề thi THPT Quốc gia...
Đổi mới chương trình, đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới kiểm tra đánh giá
là tất yếu trong hành trình thực hiện Nghị quyết của Đảng và Nhà nước về Giáo dục và
đào tạo, đặc biệt là đối với đội ngũ giáo viên – Những người thực thi, trực tiếp tác
động, tương tác với đối tượng người học và là yếu tố có tính quyết định đến sự thành,
bại của chương trình đổi mới giáo dục.
2. Kiến nghị
- Cần phải tăng cường các hoạt động học tập trong sách giáo khoa theo hướng tích cực,
giúp học sinh chủ động tìm tịi, khám phá tri thức hiệu quả hơn;
- Thiết kế, phân phối thời lượng chương trình hợp lý cho từng bài học;
- Mối tổ bộ môn, mỗi nhà trường nên và cần phải xây dựng một ngân hàng đề thi
phong phú, hiệu quả đồng thời cập nhật, điều chỉnh thường xuyên. Nếu duy trì tốt việc
này mỗi nhà trường sẽ có một kho báu vơ tận về tri thức;
- Tăng cường điều kiện về cơ sở vật chất phục vụ công tác dạy và học. Tăng cường sử
23


dụng CNTT và đồ dùng học tập (có sẵn hoặc tự tạo);
- Chú trọng bồi dưỡng về công tác chuyên môn, nghiệp vụ. Đặc biệt, tổ chức bồi

dưỡng thường xuyên về các phương pháp dạy học tích cực cho giáo viên.
XÁC NHẬN
Thanh Hóa, ngày 28 tháng 5 năm 2019.
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Nguyễn Quốc Tuấn

24